x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
|
|
- Tarja Mikkonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ), missä P = {x 0, x 1,, x n } on välin [, b] jko j ξ k [, +1 ], on rj-rvo, kun jko P tiennetään (trkemmin: kun P := mx 1 k n (+1 ) 0) 26 Kun f on Riemnn-integroituv, on Riemnnin summien rj-rvo f(x) dx Tämän mukisesti integrli f(x) dx voidn pproksimoid Riemnnin summill S P Yksinkertisuuden vuoksi on syytä tyytyä tsväliseen jkoon j välipis- teet ξ k knntt vlit järjestelmällisesti ; vlitn vikk ξ k = kikille k {1,, n} Kun väli [, b] jetn n ytä pitkään osväliin, on = +k, 0 k n, missä := (b )/n =, j päädytään summiin S n := f( ) = b ( f + (k 1) b ) n n Riemnnin summien käyttö integrlin pproksimointiin ei ole erityisen teokst; jtkuvsti derivoituvlle funktiolle f vire S n on suuruusluokk = 1 n (todistus: HT) 52 Puolisuunniksmenetelmä [4, 61b], [11, 133] Jtkuvn funktion integrlin pproksimointiin luonnollisen tuntuinen yritys on korvt funktion f kuvj puolisuunnikkill, ts kuvjn pisteitä (, f( )) j (, f( )) ydistävä kri korvtn jnll Merkitään yksinkertisuuden vuoksi y k := f( ) Välillä [, ] olkoon g(x) := y k 1 + y k y k 1 (x ) Funktion g integrli yli välin [, ] on g(x) dx = y k + y k 1 ( ) 2 Kun välin [, b] jko on tsvälinen, = + k, päädytään likirvoon g(x) dx = g(x) dx = 2 (y y y y n 1 + y n ) Vireen g(x) dx rvioimiseksi oletetn, että f on kdesti differentioituv, j että sen toinen derivtt on rjoitettu, f (x) C 2 kikille x [, b] 25 Viimeksi muutettu Loogisesti korrektimp olisi määritellä välin [, b] jko osvälien I k := [, ] muodostmksi joukoksi P = {I 1, I 2, I n } Riemnnin summi trksteltess oike käsite olisi merkitty jko {(ξ k, I k ) ξ k I k, 1 k n} 54
2 Funktio g on välillä [, ] pisteiden (, y k 1 ) j (, y k ) määräämä Lgrngen interpoltiopolynomi Väliltä [, ] löytyy siis piste ξ k siten, että f(x) g(x) = f (ξ k ) 2! Siis välillä [, ] on joten (x ) (x ) f(x) g(x) C 2 2! (x ) ( x), g(x) dx C 2 2! = C 2 2! (x ) ( x) dx 1 0 t ( t) dt = C 2 2! 6 3, missä viimeinen integrli lsketn mukvimmin muuttujnvidoll x = t + Siis g(x) dx (f(x) g(x)) dx n C = C 2 (b ) Simpsonin menetelmä [4, 61b], [11, 133/HT 4], [12, 35] Simpsonin menetelmä prnt puolisuunniksmenetelmää niin, että nyt välillä [, ] funktion f kuvj korvtn prbelin krell Kuten edellä olkoon y k := f( ), 0 k n Asetetn := + 2 j ȳ k := f( ), 1 k n Pisteiden (, y k 1 ), (, y k ) j (, ȳ k ) määräämä Newtonin interpoltiopolynomi on g(x) = y k (x ) + 2 (x ) (x ), missä 1 = y k y k 1 j 2 = ȳ k y k 1 y k y k 1 Kun välin [, b] jko on tsvälinen, = + k, on = = 2, joten 1 = y k y k 1 j 2 = 2 2(ȳ k y k 1 ) (y k y k 1 ) 2 Suorviivisell lskull sdn (tsväliselle jolle) g(x) dx = 6 (y k ȳ k + y k ) Integrlille f(x) dx sdn siis likirvo = 2 y k 2ȳ k + y k 1 2 g(x) dx = 6 (y y y n 1 + y n + 4 ȳ ȳ n ) 55
3 Vireen g(x) dx rvioimiseksi oletetn, että f on neljä kert differentioituv, j että sen neljäs derivtt on rjoitettu, f (4) (x) C 4 kikille x [, b] Olkoon välillä [, ] pisteisiin (, y k 1 ), (, y k ), (, ȳ k ) j (, f ( )) liittyvä Hermiten interpoltiopolynomi, ts on enintään stett neljä olev polynomi, jolle ( ) = y k 1, ( ) = y k, ( ) = ȳ k j ( ) = f ( ) Tällöin (x) = g(x) + c k (x )(x )(x ), x [, ], sopivlle vkion c k rvolle (jot jtkoss ei trvit) Suorll lskull (muuttujnvidoll x = (/2) t +, 1 t 1) todetn, että (x )(x )(x ) dx = 0 Tästä seur, että vire g(x) dx = Hermiten interpoltioss syntyvä vire on (x) dx f(x) (x) = f (4) (ξ) (x )(x )(x ) 2, 4! jollekin ξ [, ] Oletuksen nojll (j muuttujnvidoll x = (/2) t +, 1 t 1) sdn (x) dx C 4 (x )(x )(x ) 2 dx 4! = C ! 32 (t + 1) (t 1) C 4 t2 dt = 4! Siis 1 C 4 g(x) dx n 4! = C 4 (b ) Huomutus 51 Vikk Simpsonin menetelmä on trkempi kuin puolisuunniksmenetelmä, käytetään puolisuunniksmenetelmää osn muit vrsin toimivi integrointimenetelmiä (esimerkiksi Rombergin menetelmä, [11, 137] ti [12, 38]) 56
4 6 Differentiliytälöiden rtkisemisest 61 Eulerin murtoviivmenetelmä [2, 113], [5, luku XI, 3] (Cucyn j Lipscitzin menetelmä), [13, luku 8, 31] Vikk Eulerin murtoviivmenetelmää ei eikon trkkuutens vuoksi juurikn käytetä, on sitä yvä trkstell luksi, kosk se on erittäin elppo ymmärtää geometrisesti Pyritään määräämään likirvot lkurvotetävän (61) y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 rtkisulle y = y(x) Jos derivtt y (x) korvtn erotusosmäärällä y(x+) y(x), ts käytetään tieto y y(x + ) y(x) (x), kun on pieni, niin trksteltv differentiliytälö korvutuu ytälöllä y(x + ) y(x) = f(x, y(x)) eli y(x + ) = y(x) + f(x, y(x)) Tätä ytälöä voidn käyttää likirvojen lskemiseen seurvsti: Alkuedon nojll y(x 0 ) = y 0 Siis y(x 0 + ) = y(x 0 ) + f(x 0, y(x 0 )) = y 0 + f(x 0, y 0 ) Asetetn x 1 := x 0 + j y 1 := y 0 + f(x 0, y 0 ) Tästä sdn y(x 1 +) = y(x 1 )+ f(x 1, y(x 1 )) = y 1 + f(x 1, y 1 ) Yleisesti, kun k = 0, 1,, n, sdn lkurvotetävän rtkisulle y = y(x) likirvot pisteisiin x = := x 0 + k kvll (62) y k+1 := y k + f(, y k ) Geometrisesti tämä Eulerin murtoviivmenetelmä voidn tulkit seurvsti: Alkuetkellä x = x 0 lädetään pisteestä (x 0, y 0 ) suuntn f(x 0, y 0 ) (ti trkemmin tsovekktorin (1, f(x 0, y 0 )) suuntn) j kuljetn ikyksikköä; päädytään pisteeseen (x 1, y 1 ) = (x 0 +, y 0 + f(x 0, y 0 )) = (x 0, y 0 ) + (1, f(x 0, y 0 )) Tedään suunnn trkistus: pisteestä (x 1, y 1 ) pitää jtk suuntn f(x 1, y 1 ) Differentiliytälöiden kurssill [DY] osoitetn, että kun D R 2 on lue, (x 0, y 0 ) D j f : D R on jtkuv siten, että D 2 f on jtkuv, niin lkurvotetävällä (61) on yksi j vin yksi rtkisu y, jok on määritelty (voimell) mksimlisell välillä I Kun j n ovt niin pienet, että = x 0 + k I kikille k {0, 1,, n}, voidn Eulerin menetelmällä (62) lskettuj rvoj y k verrt trkn rtkisun rvoiin y( ) Voidn osoitt (ks esim [2, 1131], [13, luku 8, 31]), että 27 y( ) y k = O() 62 Tylorin keitelmän käyttö Kvn (62) voidn päätyä seurvllkin tvll: Sovelletn Tylorin keitelmää funktioon y( + ): y(+1 ) = y( + ) = y( ) + y ( ) + R 1 (), missä kksi kert differentioituvlle funktiolle y jäännöstermi R 1 () = O( 2 ) 27 Muist ([A3]): ilmisu F () = O( p ), kun 0 trkoitt, että on olemss vkiot M j δ > 0 siten, että F () M p, kun δ Jos on ilmeistä, että 0, käytetään usein vin merkintää F () = O( p ) 57
5 Kun jäännöstermi R 1 () jätetään uomiott, päädytään differentiliytälön (61) nojll ytälöön y(+1 ) = y( ) + f(, y( )) Tätä Tylorin keitelmäide voidn viedä pidemmälle Kun ensimmäisen Tylorin polynomin sijst käytetään toist Tylorin polynomi, sdn y(+1 ) = y( + ) = y( ) + y ( ) y ( ) 2 + R 2 (), missä kolme kert differentioituvlle funktiolle y jäännöstermi R 2 () = O( 3 ) Differentiliytälöstä (61) sdn ketjusäännön vull y (x) = d f f f(x, y(x)) = (x, y(x)) + dx x y (x, y(x)) y (x) Kun jäännöstermi R 2 () jätetään uomiott, päädytään ytälöön y(+1 ) = y( ) + f(, y( )) ( f x (, y( )) + f ) y (, y( )) f(, y( )) Jos tätä kv käytetään kvn (62) sijst rtkisun y likirvojen y k määräämiseen, on vire y( ) y k = O( 2 ) [2, 114], [13, luku 8, 31], [11, 143] Prnnettu Eulerin menetelmä [2, 115], [13, luku 8, 32] Jos lkurvotetävän (61) differentiliytälö integroidn yli välin [, +1 ] (j jkopisteet ovt edelleen tsväliset, = x 0 + k ), päädytään integrliytälöön y(+1 ) = y( ) + + f(t, y(t)) dt Jos tämä integrli lsketn Riemnnin summn + f(t, y(t)) dt f(, y( )), päädytään jälleen Eulerin murtoviivmenetelmään (62) Jos integrlin lskemiseen käytetään puolisuunniksmenetelmää, sdn y(+1 ) y( ) + 2 (f(, y( )) + f(+1, y(+1 )) Jos tässä rvot y( ) korvttisiin diskretoiduill rvoill y k, esiintyisi määrättävä uusi rvo y k+1 kuitenkin nklsti myös ytälön oikell puolell Jos tämä ongelm rtkistn korvmll y k+1 Eulerin murtoviivmenetelmästä (62) stvll rvoll y k+1 = y k + f(, y k ), päädytään ytälöön y k+1 = y k + 2 (f(, y k ) + f( +, y k + f(, y k )) Tään kvn perustuv lkurvotetävän (61) rtkisujen likimääräinen määrääminen tunnetn prnnettun Eulerin menetelmänä Tällekin vire y( ) y k = O( 2 ) Tylorin keitelmän käyttöön verrttun prnnetun Eulerin menetelmän etun on, että siinä ei trvitse lske funktion f osittisderivttoj
6 64 Rungen j Kuttn menetelmä [2, 116], [12, ], [13, luku 8, 32], [11, 145] Rungen j Kuttn menetelmän jotminen (j vireen rvioiminen) on vrsin mutkikst Tyydytään seurvn, yksinkertiseen euristiseen iden: Kun lkurvotetävän (61) differentiliytälö integroidn yli välin [, + ], päädytään siis integrliytälöön y(+1 ) = y( ) + + f(t, y(t)) dt Käytetään integrlin + f(t, y(t)) dt likirvon lskemiseen kv + 3 f(t, y(t)) dt µ j f(ξ j, η j ), missä pisteet ξ j vlitn väliltä [, + ] sopivsti, piste η 0 := y k j seurvt pisteet η j lsketn edellisestä (vrt prnnettuun Eulerin menetelmään) j=0 j 1 η j = η 0 + µ j,i f(ξ i, η i ), j kertoimet µ j j µ j,i ovt sopivsti vlittuj pinokertoimi Klssisess Rungen j Kuttn menetelmässä vlitn 28 j (63) j i=0 ξ 0 := 0, ξ 1 := 1 2, ξ 2 := 1 2, ξ 3 := 1, µ 1,0 := 1 2, µ 2,0 := 0, µ 2,1 : 1 2, µ 3,0 := 0, µ 3,1 := 0, µ 3,2 := 1 µ 0 := 1 6, µ 1 := 1 3, µ 2 : 1 3, µ 3 := 1 6 Toisin merkittynä päädytään seurviin kvoiin F k,1 := f(, y k ) F k,2 := f( + 2, y k + 2 F k,1) F k,3 := f( + 2, y k + 2 F k,2) F k,4 := f( +, y k + F k,3 ) (64) y k+1 := y k + 6 (F k,1 + 2 F k,2 + 2 F k,3 + F k,4 ) Voidn osoitt, että trkn rtkisun y j kvojen (63) j (64) ntmn likirvon y k väliselle vireelle on y( ) y k = O( 4 ) Todistus on vrsin työläs eikä virervioon liittyviä vkioit juuri pysty käytännössä määräämään Knntt uomt, että jos f ei riipu muuttujst y, jolloin lkurvotetävän (61) rtkiseminen merkitsee integrlin y 0 + x x 0 f(t) dt lskemist, Rungen j Kuttn menetelmä on sm kuin Simpsonin menetelmä Jos määrätyn yden määrätyn integrlin f(t) dt sijst on trve määrätä integrlifunktio x x f(t) dt, knntt lskeminen jtell lkurvotetävän y = f(x), y() = 0, rtkisemiseksi j käyttää esimerkiksi Rungen j Kuttn menetelmää sen sijn, että käytettäisiin Simpsonin menetelmää uselle eri rvolle x [, b] 28 Eri vkioiden ξ j, µ j,i j µ j vlinnoill sdn erilisi Rungen j Kuttn tyyppisiä menetelmiä 59
7 Toinen uomion rvoinen kot Rungen j Kuttn menetelmässä on, että siinä esiintyvät kvt käyvät sellisenn vektorirvoiselle funktiolle y, ts differentiliytälörymille (ks Bncin kiintopisteluseen 15 jälkeen ollutt lyyttä esittelyä): { y = f(x, y) 60 y(x 0 ) = y 0 missä D R n+1 = R x R n y on voin j f : D R n jtkuv funktio, jonk osittisderivtt f y j ovt jtkuvi Ytälörymänä esitettynä rtkistvn on siis y 1 = f 1 (x, y 1,, y n ) y n = f n (x, y 1,, y n ) y 1 (x 0 ) = y 0,1 y n (x 0 ) = y 0,n Lisäksi knntt muist, että korkemmn kertluvun normlimuotoinen differentiliytälö y (n) = F (x, y, y,, y (n 1) ) on ytäpitävä ytälörymän y 1 = y 2 y n 1 = y n y n = F (x, y 1,, y n ) knss, kun y 1 := y, y 2 := y,, y n 1 := y (n 1) Esittämällä korkemmn kertluvun differentiliytälö yllä olevn mukisesti differentiliytälörymänä, voidn niiden likimääräiseen rtkisemiseen käyttää Rungen j Kuttn menetelmää
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
Lisätiedot1. Yhtälöiden ratkaisemisesta Olkoon f välillä [a, b] jatkuva funktio, jolle f(a) f(b) < 0. Bolzanon lauseen [A1]
1. Yhtälöiden rtkisemisest Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio, jolle f() f(b)
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
Lisätiedoti 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotIntegroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P
Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
LisätiedotKorkeamman kertaluvut derivaatat
LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotJohdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin
Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin
LisätiedotANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
Lisätiedot7 Numeerinen derivointi ja integrointi
7 Numeerinen derivointi j integrointi 7.1 Derivttojen estimointi Numeerisell derivoinnill trkoitetn likirvon lskemist funktion f : R R derivtlle f ilmn derivtn nlyyttistä lusekett. Jos funktion f rvo tunnetn
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi B
Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotAnalyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto
Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
Lisätiedot4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI
4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.
LisätiedotNewton-Cotesin ja Gaussin integrointimenetelmistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Anniin Julku Newton-Cotesin j Gussin integrointimenetelmistä Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 215 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö JULKU,
Lisätiedot5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
LisätiedotAalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 5, mallivastaukset Syksy 2016
Alto-yliopisto, Teknillisen fysiikn litos Sipilä/Heikinheimo PHYS-E0460 Rektorifysiikn perusteet Hrjoitus 5, mllivstukset Syksy 2016 Tehtävä 2 on tämän hrjoituskierroksen tulutehtävä Vlmistudu esittelemään
LisätiedotLebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotPinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
LisätiedotNewtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
Lisätiedotfunktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.
I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotTYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET
TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Voimntulo Perusteet tulevt voimn 11008 Sisällysluettelo 1 LASKUPERUSTEMALLI1
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotMonikulmion pinta-ala ylioppilaille
Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n
LisätiedotSarjat ja integraalit
Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................
Lisätiedot1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa
Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk
Lisätiedota n := f(n), S n := a k ja I n := f(x) dx.
4. Summien lsemisest 4.. Integrlitesti. [5, luu IX, 5 7], [4, luu 8, A.II..c], [8, 9.5], [,??], [, 5.8] [5,...] Positiivitermisten luusrjojen suppenevuuden testmiseen urssill Anlyysi 3 [A3] nnetn useit
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista
Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
LisätiedotMonisteessa sivulla 10 esitetään pikku vilaus siitä, miten funktion f(x) määrätty integraali välillä [a, b], f(x) dx =
Määrätt integrli Määritelmä j peruside Monisteess sivull esitetään pikku vilus siitä, miten funktion f() määrätt integrli välillä [, ], f() d, määritellään trksti Tällä kurssill ei trkk määritelmää kätetä,
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
Lisätiedot