MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II

Transkriptio

1 MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut os16 II 1 / 6 1 Implisiittifunktiot Äärirvot Tylorin polynomi 3 Pienimmän neliösummn menetelmä Lgrngen kertoimet 5 Tsointegrli 6 Muuttujien vihto tsointegrleiss G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut os16 II / 6

2 Implisiittifunktioluse: f(x, y = Jos f(x, y on jtkuvsti derivoituv, f(x, y =, f y (x, y on kääntyvä mtriisi,? y = g(x niin on olemss jtkuvsti derivoituv funktio g(x siten, että g(x = y j f(x, g(x = kun x x on riittävän pieni. erivoimll smme f x (x, g(x + f y (x, g(xg (x = j kun sijoitmme x = x j rtkisemme g (x yhtälöstä smme g (x = f y (x, y 1 f x (x, y. Tässä f : R m R n R n eli jott f y (x, y voisi oll kääntyvä, sen täytyy oll neliömtriisi, eli meillä pitää oll yhtä mont yhtälöä systeemissä f(x, y = kuin mitä meillä on tuntemttomi vektoriss y. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut os16 II 3 / 6 Implisiittifunktioluse j pproksimtiot Jos f(x, y =, f(x, y on jtkuvsti derivoituv j f(x + x, y + y = niin pätee f x (x, y x + f y (x, y y j jos f x (x, y on kääntyvä mtriisi niin ( w x y =? x f x (x, y 1 f y (x, y y. Jos f (x, y, z, w = j g(x, y, z, w = niin voimme (ehkä? esimerkiksi? rtkist joko w j z muuttujien x j y funktioin (eli w = w(x, y, z = z(x, y ti w j y muuttujien x j z funktioin (eli w = w(x, z, y = y(x, z j silloin ei ole selvää mitä w x trkoitt. Tällisess tpuksess merkintä ( w ( x w funktio, eli = x y y w(x, y. x trkoitt, että w on muuttujien x j y G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut os16 II / 6

3 Suljetut, voimet j rjoitetut joukot Joukko Ω R d on suljettu jos sen reun Ω Ω j se on voin jos Ω Ω = eli jos R d \ Ω on suljettu. Joukon Ω reun Ω sisältää täsmälleen kikki R d :n pisteet x, joille pätee että jokisell δ > on olemss v δ Ω j u δ R d \ Ω siten, että v δ x < δ j u δ x < δ. (Huom, että on in mhdollist vlit x toiseksi näistä pisteistä v δ j u δ j että Ω = (R d \ Ω. Joukko Ω R d on rjoitettu jos on olemss luku C < siten, että x C kun x Ω. Suurin j pienin rvo Jos f : Ω R on jtkuv j Ω R d on suljettu j rjoitettu niin on olemss x 1 j x Ω siten, että f (x 1 f (x f (x kikill x Ω, eli funktio f svutt suurimmn j pienimmän rvons joukoss Ω. Jos Ω ei ole suljettu ti ei ole rjoitettu niin näin ei välttämättä ole sin lit. Jos f : R d R on jtkuv j lim x f (x = niin pienin rvo svutetn, eli on olemss x 1 siten, että f (x 1 f (x kikill x R d. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut os16 II 5 / 6 Optimoinnin perusluse Jos f on dervoituv pisteessä x j f (x f (x kun x x < δ missä δ >, eli x on pikllinen minimipiste, niin pätee f (x = f (x = f (x =. Milloin derivtn nollkoht on mksimi- ti minimipiste? Olkoon f kksi kert jtkuvsti derivoituv, f (x = j f x1 x 1 (x... f x1 x n (x f (x = f xn x 1 (x... f xn x n (x Jos kikki f (x :n ominisrvot ovt > niin x on pikllinen minimipiste. Jos kikki f (x :n ominisrvot ovt < niin x on pikllinen mksimipiste. Jos f (x :ll on inkin yksi positiivinen j inkin yksi negtiivinen ominisrvo niin x ei ole mksimi- eikä minimipiste vn ns. stulpiste. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut os16 II 6 / 6

4 Symmetrisen j relisen -mtriisin ominisrvot? Olkoon A symmetrinen j relinen mtriisi. A:n ominisrvot ovt > A(1, 1 > j det(a >. A:n ominisrvot ovt < A(1, 1 < j det(a >. A:n ominisrvoill on eri merkki det(a <. Mistä löytyy funktion suurin (ti pienin rvo? Jos f : Ω R on jtkuv j Ω on suljettu (Ω:n reun on Ω Ω j rjoitettu niin pätee f (x f (x, x Ω (eli funktio svutt suurimmn rvons pisteessä x missä x Ω (Ω:n reun, ti x Ω \ Ω j f (x =, ti x Ω \ Ω eikä f ole derivoituv pisteessä x. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut os16 II 7 / 6 Tylorin polynomi Linerisess pproksimointikvss esiintyvä polynomi f (x, y + f x (x, y (x x + f y (x, y (y y, on funktion f (x, y 1. steen Tylorin polynomi pisteessä (x, y. Funktion f (x, y. steen Tylorin polynomi pisteessä (x, y on f (x, y + f x (x, y (x x + f y (x, y (y y + 1 f xx(x, y (x x +f xy (x, y (x x (y y + 1 f yy(x, y (y y. Jos f (x, y on kksi kert jtkuvsti derivoituv niin pätee f (x, y = p(x, y + η(x, y, missä p(x, y on korkeintn stett kksi olev polynomi j η(x,y lim (x,y (x,y (x x +(y y = jos j vin jos p(x, y on funktion f (x, y. steen Tylorin polynomi pisteessä (x, y. Yleisemmin: Jos f : R d R niin. steen Tylorin polynomi on f (x + f (x (x x + 1 (x x T f (x (x x. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut os16 II 8 / 6

5 Pienimmän neliösummn menetelmä Jos oletetn, että yhteys muuttujien y j x välillä voidn kuvt yhtälöllä y c 1 f 1 (x + c f (x c m f m (x, j hlutn määrittää kertoimet c j kun pisteet (x j, y j, j = 1,..., n ovt tiedoss niin eräs mhdollisuus on minimoid funktio n (. q(c 1,..., c m = c1 f 1 (x j c m f m (x j y j Minimirvo svutetn kun j=1 c 1. c m = (A T A 1 A T Y, missä A(j, k = f k (x j j Y (k, 1 = y k kosk minimoitv funktiot q voidn esittää muodoss n ( m j=1 k=1 A(j, kc(k, 1 Y (j, 1 = AC Y missä C(k, 1 = c k. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut os16 II 9 / 6 Linerinen regressio Jos oletmme, että yhteys muuttujien x j y välillä on y + bx j hlumme minimoid n j=1 ( + bx j y j voimme määritellä [ ] A(j, 1 = 1,A(j, = x j jolloin rtkisu on = (A b T A 1 A T Y. Mutt voi oll edullist ensin lske x = 1 n n j=1 x j j y = 1 n n j=1 y j j sitten minimoid n f (ã, b = (ã + b(x j x (y j y. j=1 Ehdost fã(ã, b = seur ã = kosk n j=1 (x j x = n j=1 (y j y = j ehdost = f b (, b = n j=1( b(xj x (y j y (x j x smme n j=1 b = (x j x(y j y n j=1 (x j x. Kerroin lusekkeess y = + bx tulee olemn = y bx. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 1 / 6

6 mx minf (x, y, z =? kun g(x, y, z = j Lgrngen kertoimet Lgrngen kertoimien ide on seurv: Muodost uusi funktio L(x, y, z, λ = f (x, y, z + λg(x, y, z, j rtkise yhtälösysteemi L (x, y, z, λ = eli f x (x, y, z + λg x (x, y, z = f y (x, y, z + λg y (x, y, z = f z (x, y, z + λg z (x, y, z = g(x, y, z = Jos funktio f (x, y, z svutt suurimmn ti pienimmän rvons kun g(x, y, z = jossin pisteessä (x, y, z niin jokin seurvist ehdoist on voimss: L (x, y, z, λ = jollin luvull λ, g (x, y, z =, f ti g ei ole jtkuvsti derivoituv (x, y, z pisteen läheisyydessä. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 11 / 6 Mont ehto j mont Lgrngen kerroint Jos pitää määrittää mx min f (x =? kun g(x = j h(x = niin muodostetn funktio j rtkistn yhtälösysteemi L(x, λ, µ = f (x + λg(x + µh(x L (x, λ, µ =. Mitä Lgrngen kerroin kertoo? Olet että funktion f (x suurin (ti pienin rvo kun g(x + c = svutetn pisteessä x(c j tämä piste on Lgrngen funktion L(x, λ = f (x + λ(g(x + c nollkoht, eli L (x(c, λ(c =. Jos nyt h(c = f (x(c on mksimirvo (ti minimirvo niin pätee h (c = λ(c. Lgrngen kerroin siis kertoo miten mksimi- ti minimirvo riippuu muutoksist rjoitusehdoss. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 1 / 6

7 Tsointegrli, määritelmä I Jos f (x, y niin f (x, y da on kppleen { (x, y, z : (x, y, z f (x, y } tilvuus. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 13 / 6 Tilvuus, skelfunktiot j integrlit Suorkulmisen särmiön tilvuus on särmien pituuksien tulo. Funktio f (x, y : R R on skelfunktio jos on olemss luvut x < x 1... < x m, y < y 1 <... < y n j c j,k, 1 j m, 1 k n siten, että { c j,k, jos x j 1 x < x j j y k 1 y < y k, f (x, y =, muuten. Askelfunktion f (x, y tsointegrli on R f (x, y da = m j=1 k=1 n c j,k (x j x j 1 (y k y k 1, eli xy-tson, funktion f (x, y j tsojen x = x j sekä y = y k rjoittmien suorkulmisten särmiöden tilvuuksien summ missä xy tson lpuolell olevien särmiöiden tilvuudet on otettu negtiivisin. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 1 / 6

8 Tsointegrli, määritelmä II Jos funktio f : R R on sellinen että löytyy jono skelfunktioit f n : R R, n 1 siten 1 (x, yf (x, y = lim n f n (x, y melkein kikill (x, y R (missä 1 (x, yf (x, y = f (x, y jos (x, y j muuten. n=1 R f n (x, y f n+1 (x, y da <, niin f on integroituv joukoss j f (x, y da = lim f n (x, y da. n R Huom! Jott yllä olevst määritelmästä tulisi kunnon määritelmä on osoitettv, että f (x, y da ei riipu siitä miten skelfunktiot f n on vlittu, eikä tämä ole ivn yksinkertinen si todist. Tätä määritelmää käytettäessä ei trvitse puhu epäoleellisist integrleist mutt f on integroituv jos f on integroituv. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 15 / 6 Jtkuvt funktiot ovt integroituvi Jos = [, b] [c, d] j f : R on jtkuv niin f on integroituv joukoss j f (x, y da = lim mx{(x j x j 1,(y k y k 1 } Ääretön integrli m j=1 k=1 n f (x j, y j (x j x j 1 (y k y k 1. Jos f : R R on ei-negtiivinen j funktiot f n (x, y = 1 Cn (x, y min(n, f (x, y, missä C n = { (x, y : x + y n } ovt integroituvi joukoss j lim n f n(x, y da = niin snomme, että f (x, y da =. Smoin, jos f (x, y = f + (x, y f (x, y missä f + (x, y j f (x, y, f +(x, y da = j f on integroituv joukoss, jolloin f (x, y da < niin f (x, y da =. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 16 / 6

9 Iteroidut integrlit j integroimisjärjestyksen vihto eli Fubinin luse Jos < b, c < d j (,b (c,d f (x, y da < ti ti b d c ( d c ( b f (x, y dy f (x, y dx dx < dy < (j f on skelfunktioiden (ti jtkuvien funktioiden rj-rvo melkein kikiss pisteissä niin kikki integrlit ovt olemss j (,b (c,d f (x, y da = b ( d c f (x, y dy dx = d c ( b f (x, y dx dy. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 17 / 6 Huom! Tsointegrlit lsketn tvllisesti siten, että ne kirjoitetn edellisen tuloksen (ns. Fubinin luseen nojll iteroitun integrlin j silloin, kuten erityisesti myös integroimisjärjestystä vihdettess, ongelmksi voi muodostu kysymys siitä mitä integroimisrjt ovt: ( b h(x (??(y f (x, y dy dx = f (x, y dx dy, g(x??(y Joskus on myös syytä kirjoitt oiken puolen luseke usemmn integrlin summn. Huom! Vikk tsointegrlit on tässä määritelty tilvuuksin niin käytännön sovelluksiss tsointegrli on tilvuus inostn jos molempien muuttujien j integroitvn funktion yksikkönä on pituusyksikkö j näin ei tietenkään useimmiten ole sin lit. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 18 / 6

10 Tsointegrlin ominisuuksi 1 da on joukon pint-l. f (x, y da = jos joukon pint-l on. Jos f (x, y joukoss niin V = f (x, y da on joukon { (x, y, z : (x, y, z f (x, y } tilvuus. ( αf (x, y + βg(x, y da = α f (x, y da + β g(x, y da. Jos f (x, y g(x, y, (x, y niin f (x, y da g(x, y da. f (x, y da f (x, y da. f (x, y da = k j=1 j f (x, y da mikäli = k j=1 j j joukon i j pint-l on kun i j. b d c f (xg(y dy dx = b f (x dx d c g(y dy. Jos funktiot f n, n 1 j g ovt integroituvi joukoss R, (siis eritysesti g(x, y da <, lim n f n (x, y = f (x, y j f n (x, y g(x, y melkein kikill (x, y niin lim n f n(x, y da = f (x, y da. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 19 / 6 Jos Mjornttiperite f (x, y g(x, y kun (x, y (j f on skelfunktioiden rj-rvo, g on integroituv joukoss, eli g(x, y da <, niin f on integroituv joukoss, eli f (x, y da <. Avruusintegrlit Integrli W f (x, y, z dv määritellään j lsketn smll tvll kuin tsointegrli! tilvuus(w = 1 dx dy dz. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II / 6 W

11 Muuttujien vihto tsointegrleiss Jos muuttujien x j y sijst integrliss käyttöön muuttujt s j t siten, että f (x, y dx dy otetn x = x(s, t, y = y(s, t, j siten, että (x, y jos j vin jos (s, t (j kuvus on bijektio, mhdollisesti lukuunottmtt joukko jonk pint-l on niin f (x, y dx dy = f (x(s, t, y(s, t (x, y (s, t ds dt, ([ (x, y x x ] missä (s, t = det s t y Huom myös, että y s (x, y (s, t = 1. (s, t (x, y G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 1 / 6 t. Npkoordintit { x = r cos(θ { r y = r sin(θ θ [, π] dxdy = rdr dθ. Pllokoordintit x = ρ sin(ϕ cos(θ y = ρ sin(ϕ sin(θ z = ρ cos(ϕ ρ θ [, π] ϕ [, π] dxdy dz = ρ sin(ϕdρ dθ dϕ G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II / 6

12 Muuttujien vihto vruusintegrliss dx dy dz = (x, y, z (u, v, w du dv dw x x x (x, y, z (u, v, w = det u v w y y y u v w z u z v z w G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 3 / 6 Esimerkki: Muuttujien vihto Jos hlumme määrittää sekä pllon x + y + z = että sylinterin x + y = sisäpuolelle jäävän kppleen tilvuus, eli joukon { (x, y, z : x + y + z, x + y } tilvuus niin yksinkertisint on käyttää sylinterikoordintit [r, θ, z] missä x = r cos(θ, y = r sin(θ jolloin dx dy dz = rdr dθ dz. Näillä koordinteill joukoksi tulee { [r, θ, z] : r, θ < π, z r } j tilvuus on π r = r π = π r dz dr dθ r( r ( r dr dθ r r dr dθ = = 3 π π / ( ( 3 + ( 3 ( ( r 3, dθ 3 dθ = π3 3 ( 1. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II / 6

13 Esimerkki: Muuttujien vihto, jtk. Jos sylinterikoordintien sijst käytämme pllokoordinttej, eli x = ρ sin(ϕ cos(θ, y = ρ sin(ϕ sin(θ och z = ρ cos(ϕ niin dx dy dz = ρ sin(ϕ drho dθ dϕ j integroimisrjoiksi tulee θ < π, ϕ π och ρ mx{, sin(ϕ }. Nyt sin(ϕ kun ϕ π j 3π ϕ π joten voimme jk integrlin khteen osn j rjoitt muuttuj ϕ välille [, p i ] mutt kerto tulost khdell jolloin tilvuus on π π = ρ sin(ϕ dρ dϕ dθ+ ( π + π dθ ( π sin(ϕ ( π ( π dθ π π π sin(ϕ ( ρ dρ ( / sin(ϕ ρ sin(ϕ dρ dϕ dθ ρ 3 3 sin(ϕ dϕ = G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 5 / 6 Esimerkki: Muuttujien vihto, jtk. ( / π ( / = π ( cos(ϕ = 8 π 3 3 ρ 3 + π 3 ( π3 3 = 8 π 3 3 π π / π π ( π sin(ϕ dϕ ( cos(ϕ sin(ϕ = π3 3 ( 1. G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem 9. Yhteenveto, helmikuutos 16 II 6 / 6