Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Transkriptio

1 Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten integrlilskent sovelletn. Rjoitmme trkstelun jtkuviin funktioihin. Lähtötiedoksi riittää, että tuntee integrlifunktion käsitteen: välillä ], b[ määritelty funktio G on jtkuvn funktion g integrlifunktio, jos G () = g() kikill ], b[. Jos G 1 j G 2 ovt g:n integrlifunktiot, niin G 1 G 2 on vkio. 1. Mihin integrlilskent trvitn? Lukemttomt käytännön ongelmt johtvt integrlilskentn. Esittelemme tässä inostn kolme fysiikn esimerkkiä. Jos kpple liikkuu vkionopeudell v, niin sen ikvälillä [, t ] kulkem mtk on s = vt. Jos kppleen kulkusuuntn vikuttv vkiovoim F siirtää kpplett mtkn, niin voimn suorittm työ on W = F. Jos johtimen läpi kulkee vkiovirt I, niin ikvälillä [, t ] johtimen läpi kulkev sähkömäärä on Q = It. Nämä suureet voidn hvinnollist (t, v)-, (, F )- j (t, I)-koordintistoiss suorkulmioiden pint-loin. v/(km/h) F/(N) I/(A) v s = vt F I W = F Q = It t t/(h) /(m) t t/(h) Jos nopeus, voim j virrn voimkkuus vihtelevt, niin eräät koordintiston pint-lt ti niiden vstluvut esittävät tuolloinkin mtk, työtä j sähkömäärää, mutt emme voi käyttää perinteisiä geometrisi menetelmiä niiden lskemiseen. Ongelmn on tällöin lueen pint-ln ti sen vstluv/(km/h) F/(N) I/(A) v = v(t) F = F () I = I(t) s =? W =? Q =? t t/(h) /(m) t t/(h) {347 } (1/8)

2 vun lskeminen, kun vähintään yhtä lueen reunviivoist esittää tunnettu funktio, tässä tpuksess v = v(t), F = F () j I = I(t). Se knntt rtkist yleisesti tutkimll funktiot y = f() -kselin välillä [, b]. Osoittutuu, että sen kuvjn j -kselin rjoittm pint-l ti sen vstluku voidn lske eräiden funktion kuvjn liittyvien summien yhteisenä rj-rvon. 2. Integrlin määritelmä Johdttvksi esimerkiksi lskemme funktion f() = 3 kuvjn j -kselin välillä [, h] rjoittmn kuvion ln pproksimoimll sen kuvn osoittmll tvll suorkulmioill. Kysytty l A on suurempi kuin kuvss olevien y f() = 3 k h punisten plkkien lojen summ j pienempi kuin punisten j keltisten plkkien lojen summ. Plkit on stu ikn jkmll väli [, h] n:ään yhtäsuureen osn. Jkopisteet ovt = < 1 <... < k 1 < k <... < n 1 < n = h, eli k = kh/n, missä k {, 1, 2,... n}. Jkovälin pituus on = h/n. Kosk funktio f on idosti ksvv, ovt f( k 1 ) j f( k ) sen pienin j suurin rvo jkovälillä [ k 1, k ]. Punisten plkkien lojen summ on siten s n = h n ( f( ) + f( 1 ) f( n 1 ) ) = h4 n 1 n 4 k= j punisten sekä keltisten plkkien lojen summ vstvsti S n = h ( f(1 ) + f( 2 ) f( n ) ) = h4 k 3. n n 4 k 3, {347 } (2/8)

3 Induktioll todistuvn kvn vull summt sievenevät muotoon n 3 = 1 4 n2 (n + 1) 2 ( s n = h4 1 1 ) 2 ( j S n = h n 4 n) Kosk s n < A < S n kikill n:n rvoill, on A = lim n s n = lim n S n = 1 4 h4. Tämän esimerkin jälkeen on helppo oivlt, että sm jtus voidn toteutt inkin jtkuville funktioille. Oletetn siis, että funktio f on jtkuv välillä I = [, b]. Jetn I osväleihin jkopisteillä = < 1 < 2 <... < n 1 < n = b. Voimme yksinkertisuuden vuoksi olett, että jokisen osvälin pituus on = (b )/n. Olkoot M k j m k f:n suurin j pienin rvo välillä I k = [ k 1, k ] j ξ k I k. Osväleillä I k on voimss kksoisepäyhtälöt j kun ne lsketn yhteen, sdn m k f(ξ k ) M k, m k f(ξ k ) M k. Kksoisepäyhtälön lidoill olevi summi kutsutn funktion f l- j yläsummiksi j keskellä olev summ funktion f Riemnnin 1 summksi. Voidn todist, mutt se ei ole koulumtemtiikk, että kikill kolmell kksoisepäyhtälössä olevll summll on yhteinen rj-rvo, kun n. Tätä rj-rvo kutsutn funktion f määrätyksi integrliksi yli välin [, b]. Jos f(), niin integrlin rvo on se pint-l, jonk käyrä y = f() rjoitt -kselin knss välillä [, b]. Funktion f määrätty integrli yli välin [, b] merkitään f()d, j se on siis summn rj-rvo: f()d = lim f(ξ k ). n 1 Bernhrd Riemnn ( ), skslinen mtemtikko. {347 } (3/8)

4 3. Miten integrli lsketn? Seurvt määrätyn integrlin ominisuudet seurvt suorn integrlin määritelmästä. 1. Jos c on vkio, niin cd = c(b ). 2. f()d =. 3. (f() + g())d = f()d + g()d. 4. Jos k on vkio, niin kf()d = k f()d. 5. Jos f() välillä [, b], niin f()d. 6. Jos f() g() välillä [, b], niin f()d g()d. 7. Jos m j M ovt f:n pienin j suurin rvo välillä [, b], niin m(b ) f()d M(b ). 8. Integrlin määritelmään sisältyy implisiittisesti integroinnin suunt: lähtökoht oli, että < b j integrlin määrittelevässä summss oli = k k 1 >. Voimme vstvsti määritellä integrlin vstkkiseen suuntn b:stä :hn settmll f()d = lim f( k ) ( k 1 k ). b n Selvästi on voimss b f()d = f()d. 9. Kikill c R (edellyttäen, että f on riittävän ljll välillä määritelty j jtkuv) on voimss f()d = c f()d + c f()d. {347 } (4/8)

5 Ominisuuksi 1 9 sovelten sdn yksinkertinen tp integrlin lskemiseksi. Määrittelemme f:n kertymäfunktion K yhtälöllä K() = f(t)dt, jolloin K(b) = f()d. Selvästi K() = j K:n erotusosmäärä kohdst kohtn + h on K K( + h) k() = = 1 ( +h f(t)dt h h = 1 ( +h ) f(t)dt + f(t)dt f(t)dt = 1 h h f(t)dt +h ) f(t)dt. Olkoot m h j M h funktion f pienin j suurin rvo välillä [, + h] (ti [ + h, ], jos h < ). Tällöin on m h 1 h +h f(t) dt M h. Kun h, luvut m h j M h lähestyvät luku f(), joten kertymäfunktion erotusosmäärän rj-rvo on f(). Kertymäfunktio on siis eräs f:n integrlifunktioist: K() = F () + C. Kosk K() =, on C = F () j K() = f(t)dt = F () F (). Integrli :st b:hen on siis f()d = / b F () = F (b) F (). Keskellä olev lskutekninen os luetn sijoitus :st b:hen. Esim. Käyrän y = 3 j -kselin välillä [, h] rjoittmn kuvion l on A = h 3 d = / h = 1 4 h4. {347 } (5/8)

6 4. Miten integrlilskent sovelletn? Snotun perusteell on selvää, että luss setetun ongelmn v/(km/h) F/(N) I/(A) v = v(t) F = F () I = I(t) s =? W =? Q =? t t/(h) /(m) t t/(h) rtkisut ovt s = t v(t)dt, W = F ()d j Q = t I(t) dt. Integrointiongelmi rtkistn käytännössä soveltmll perinteisen geometrin menetelmiä pituuksien, pint-lojen j tilvuuksien lskemismenetelmiä äärettömän pieniin kuvioihin j kppleisiin. Tällöin sovelletn jtust integrlist tiettyjen summien rj-rvon. Tämä hvinnollinen menetelmä on mtemttisesti epätäsmällinen mutt kuitenkin oikeit tuloksi ntv. Esim. Olkoon (, y) origokeskeisen r-säteisen ympyrän ensimmäisessä neljänneksessä olev kehäpiste. (, y) r ϕ d Asetmme kohtn pint-lkion, eli äärettömän ohuen suorkulmion, jonk korkeus on y j knt on d. Suorkulmion l on da = yd, j neljäsos ympyrän lst sdn summmll kikki välillä [, r] olevt pint-lkiot. Siis r r A = 4 da = 4 y d. Kuvn mukn y = y(ϕ) = r sin ϕ j = (ϕ) = r cos ϕ, joten (ϕ) = d dϕ = r sin ϕ j d = r sin ϕdϕ. {347 } (6/8)

7 Pint-lkio voidn nyt kirjoitt muotoon da = yd = r sin ϕ( r sin ϕ)dϕ = r 2 sin 2 ϕdϕ. Muuttujn rjoj j r vstvt ϕ:n rvot ovt π/2 j, j ympyrän l on r A = 4 da = 4 π/2 π/2 r 2 sin 2 ϕdϕ = 4r 2 sin 2 ϕdϕ = πr 2. Myös integrointeihin johtvi fysiikn ongelmi voidn trkstell hvinnollisesti. Esim. Kuink suuri työ tehdään, kun järven rnnll vesirjss kärjellään seisov krtion muotoinen säiliö täytetään vedellä? Krtion korkeus on h, krtioon mhtuvn veden mss on m j putomiskiihtyvyys on g. Olkoon A krtion pohjn l j A() korkeudell olevn krtion kseli vstn kohtisuorn leikkuskuvion l. Kun vesimss-lkio dm nostetn h A dv = A()d dm = ρdv dw = gdm Järvi korkeudelle, tehdään työ dw = gdm. Mss-lkio on muodoltn lieriö, jonk pohjn l j korkeus ovt A() j d. Lieriön tilvuus on dv = A()d, joten dm = ρdv, missä ρ on veden tiheys. Yhdenmuotoisist krtioist sdn Työlkio on siis A() A = ( h ) 2, j edelleen A() = A h 2 2. dw = gdm =... = 3mg h h 3 3 d j W = dw =... = 3mgh. 4 {347 } (7/8)

8 5. Lopuksi Integrlin määritelmää voi yleistää luopumll funktion jtkuvuusoletuksest j jkmll integroimisväli osvälejä monimutkisemmiksi joukoiksi. Myös se relilukujoukko, jonk yli integrli lsketn, voi oll väliä yleisempi R:n osjoukko. Näitä yleistyksiä pohditn lukion jälkeen yliopistomtemtiikss. Hrjoitustehtäviä 1. Vesirjss olev r-säteisen puolipllon muotoinen pt täytetään vedellä. Ptn mhtuvn veden mss on m. Kuink suuri työ tehdään? 2. Muovist vlmistetun pllon mss on jkutunut siten, että pllon sisällä mssn tiheys on suorn verrnnollinen etäisyyteen pllon keskipisteestä. Smst mterilist vlmistetn smll peritteell mssltn kksinkertinen pllo. Kuink mont prosentti sen säde on suurempi kuin ensin minitun pllon säde? 3. Koordinttikselien sekä funktion f() = sin kuvjn välillä ], π] rjoittm kuvio pyörähtää y-kselin ympäri. Lske syntyvän kppleen tilvuus. 4. Kukisess glksien välisessä vruudess sijitsevn pölypilven keskipisteessä tiheys on ρ j keskipisteestä etäännyttäessä tiheys vähenee eksponentilisesti siten, että etäisyydellä r keskipisteestä tiheys on ρ/2. Lske pölypilven mss. Vstukset: 1. 5mgr/8. 2. Noin 19%. 3. 4π. 4. Noin 75ρr 3. {347 } (8/8)