Sarjat ja integraalit

Transkriptio

1 Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: Viimeksi muoknnut: Peter Hästö

2 Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä Funktion rj-rvo Funktion jtkuvuus Funktion tsinen jtkuvuus Srjt 7. Srjn suppeneminen Suppenemistestejä positiivitermisille srjoille Itseisesti suppenevt srjt Vuorottelevt srjt Riemnnin integrli 4 3. Integrlin perusominisuuksi Anlyysin perusluse Epäoleelliset integrlit 58 5 Funktiojonot j -srjt Pisteittäinen j tsinen suppeneminen Jonon j srjn derivoiminen j integroiminen Potenssisrjt Potenssisrjn suppeneminen Potenssisrjn summfunktion ominisuuksi i

3 A Relilukujen peruskäsitteitä 90 B Lukujonoist 00 B. Lukujonon rj-rvo B. Monotoniset jonot B.3 Osjonot B.4 Cuchyn jono ii

4 Esipuhe Tämä moniste vst sisällöltään ikisemp monistett Anlyysi I. Monisteeseen ilmntunee pieniä korjuksi kurssin kuluess, eli ei välttämättä knnt tulost sitä kokonisuudessn etukäteen, vn sitä mukn kuin mterili trvitsee. Ensimmäinen luku on osittin päällekkäinen Euklidisen topologin kurssin knss. Srjt j integrlit lk funktioiden rj-rvon j jtkuvuuden nopell kertmisell, jost siirrytään käsittelemään ensimmäisenä uuten teemn funktion tsist jtkuvuutt. iii

5 Luku Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä Kerrtn luksi peruskäsitteitä kurssist PM I. Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen määritysjoukon eli lähtöjoukon A = D f lkioon x yksikäsitteisesti jonkin mlijoukon B lkion y, merkitään y = f(x). Joukko R f = {y B y = f(x), x A} on funktion f kuv- eli rvojoukko. Tätä merkitään usein myös f(a). Funktiot f : A B snotn () surjektioksi, jos R f = B, () injektioksi, jos on voimss ehto x x = f(x ) f(x ), (3) bijektioksi, jos se on injektio j surjektio. Injektion ehdon voi ilmist myös muodoss Esimerkki... Olkoon f : A B, f(x) = x. f(x ) = f(x ) = x = x. () Jos A = B = R eli f : R R, niin f ei ole injektio (f( x) = f(x)) eikä surjektio ( / R f )). () Jos A = R j B = {x R x 0} eli f : R {x R x 0}, niin f on surjektio, mutt ei ole injektio. (3) Jos A = B = {x R x 0} eli f : {x R x 0} {x R x 0}, niin f on surjektio j injektio (f(x ) = f(x ) = x = x = x = x, sillä x, x 0), joten f on bijektio. Huomutus... Ellei toisin minit, niin tällä kurssill käytetään seurv sopimust: Kun funktio f on nnettu lusekkeen, niin sen määritysjoukko D f on ljin mhdollinen relilukujen osjoukko, joss luseke on mielekäs. Esimerkiksi funktion f(x) = + x 3 x+5 määritysjoukko on D f = {x R x > 5 j x 3}.

6 Olkoon E perusjoukko j A, B E. Tällöin (i) A = {x E x / A} on joukon A komplementti, (ii) A B = {x E x A ti x B} on joukkojen A j B unioni eli yhdiste, (iii) A B = {x E x A j x B} on joukkojen A j B leikkus, (iv) A\B = {x E x A j x / B} on joukkojen A j B (joukko-opillinen) erotus. Unionille, leikkukselle j komplementille pätevät De Morgnin lit: Näiden todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. (A B) = A B, (A B) = A B. Määritelmä..3. Pisteen x 0 R (ε-säteiseksi) ympäristöksi snotn väliä ]x 0 ε, x 0 + ε[ (ts. siinä ovt ne x R, joiden etäisyys pisteestä x 0 on (idosti) pienempi kuin ε). Joukko A R snotn voimeksi, jos jokisell joukon A pisteellä on ympäristö, jok sisältyy joukkoon A. Joukko A R snotn suljetuksi, jos sen komplementti on voin. A = R\A = {x R x / A} Esimerkki..4. Väli ]0, [ on voin joukko. Väli A = [0, ] on suljettu, sillä A = {x R x < 0 ti x > } on voin. Jokinen äärellinen pistejoukko A = {x, x,..., x n } on suljettu. Erityisesti yksiö {x } on suljettu. Relilukujen joukko R sekä tyhjä joukko ovt sekä voimi että suljettuj (nämä ovt inot joukon R osjoukot, joill on tämä ominisuus). Määritelmä..5. Pistettä x 0 R snotn joukon A R ksutumispisteeksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen piste x A, että x x 0 j x x 0 < ε. Määritelmän trkoitus: x 0 on joukon A R ksutumispiste, jos jokinen pisteen x 0 ympäristö ]x 0 ε, x 0 + ε[ sisältää joukon A pisteen, jok ei ole x 0. Esimerkki..6. () Joukon ]0, [ ksutumispisteiden joukko on [0, ]. () Joukon ]0, [ {} ksutumispisteiden joukko on [0, ]. (3) Joukoll {0, } ei ole ksutumispisteitä. (4) Joukon { n n =,,...} ksutumispisteiden joukko on {0}. (5) Joukon Q [0, ] ksutumispisteiden joukko on [0, ]. Vroitus: Ksutumispiste ei välttämättä kuulu joukkoon.

7 Luse..7. Piste x 0 R on joukon A R ksutumispiste jos j vin jos on olemss sellinen jono (x n ), että x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0. Todistus. : Olkoon x 0 R joukon A ksutumispiste. Tällöin jokist n =,,... kohti on olemss sellinen x n A, x n x 0, että Jonolle (x n ) pätee nyt lim x n = x 0. x n x 0 < n. : Oletetn, että x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0 = ε > 0 n ε siten, että x n x 0 < ε, kun n n ε = ε > 0 pätee x nε A, x nε x 0 j x nε x 0 < ε = x 0 on joukon A ksutumispiste. Suljettu joukko voidn luonnehti myös seurvll tvll (tulost ei todistet tällä kurssill). Seurus..8. Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikkien suppenevien jonojens rj-lkiot. Huomutus..9. () Topologiss seurus..8 on myös suljetun joukon määritelmä. () Luseen..7 nojll seurus..8 sdn seurvn muotoon: Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikki ksutumispisteensä.. Funktion rj-rvo Määritelmä... Olkoon A R, f : A R funktio j x 0 R joukon A ksutumispiste. Luku R snotn funktion f rj-rvoksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Tällöin merkitään f(x), kun x x 0, ti lim f(x) =. x x 0 Huomutus... () Määritelmässä δ riippuu vin luvust ε j pisteestä x 0. () Rj-rvo on lokli ominisuus: vin se, mitä tphtuu pisteen x 0 mielivltisen pienessä ympäristössä vikutt funktion f rj-rvoon pisteessä x 0. (3) Funktion ei trvitse oll määritelty pisteessä x 0 j vikk se olisikin määritelty, niin sen rvo pisteessä x 0 ei vikut rj-rvoon. Tämä on tärkeää myös derivtn määritelmässä (ks. PM I): f : R R on derivoituv pisteessä x 0 R, jos f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 on olemss. Huom, että erotusosmäärää ei ole määritelty pisteessä x = x 0. 3

8 (4) Jos rj-rvo on olemss, se on yksikäsitteinen (todistus hrjoituksen). Esimerkki..3. Olkoon f : R R, f(x) = 5x +. Osoitetn, että lim x f(x) =. Olkoon ε > 0. Tutkitn, miten δ > 0 on vlittv, jott f(x) < ε, kun 0 < x < δ. Nyt f(x) = 5x + = 5x 0 = 5 x < ε, kun 0 < x < ε, joten voidn vlit δ = ε. Täten lim = ε, kun 0 < x < x f(x) =. Esimerkiksi f(x) < Esimerkki..4. Olkoon f : R\{0} R, f(x) = x. Osoitetn, että lim f(x) = 0 (vikk funktiot f ei ole määritelty pisteessä x = x x 0 0). Olkoon ε > 0. Tällöin f(x) 0 = x x 0 = x < ε, kun 0 < x 0 < ε, joten voidn vlit δ = ε määritelmässä... Esimerkki..5. Olkoon f : R R, f(x) = x j x 0 R mielivltinen. Osoitetn, että lim f(x) = x x x 0 0. Olkoon ε > 0 mielivltinen j x 0 R. Selvästi Jos x x 0, niin Tästä seur, että kun f(x) x 0 = x x 0 = x x 0 x + x 0. x + x 0 x x 0 + x 0 x 0 +. x x 0 ( x 0 + ) x x 0 < ε, x x 0 < { ε } Vlitn δ = min,, jolloin x 0 + ε x 0 + j x x 0 <. f(x) f(x 0 ) < ε kun 0 < x x 0 < δ. Jos esimerkiksi x 0 = j ε =, niin f(x) 4 <, kun 0 < x < Luse..6 (funktion rj-rvon jonokrkteristio). Jos f : A R, x 0 on joukon A ksutumispiste j R, niin seurvt väitteet ovt yhtäpitäviä: (i) lim x x0 f(x) =, (ii) Jokiselle jonolle (x n ), jolle x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0, pätee lim f(x n) =. 4

9 Todistus. (i) (ii) : Olkoon lim f(x) =. Olkoot lisäksi x n A, x n x 0 kikill n =,,... j x x0 lim x n = x 0. Osoitetn, että lim f(x n ) =. Olkoon ε > 0. Kosk lim x x0 f(x) =, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Kosk lim x n = x 0, niin on olemss sellinen n δ, että 0 < x n x 0 < δ, kun n n δ (oletetuksen mukn x n x 0 ). Siten joten lim f(x n ) =. f(x n ) < ε, kikill n n δ, (ii) (i) : Tehdään vstoletus: (i) ei toteudu eli on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss x A, jolle 0 < x x 0 < δ j f(x) ε. Vlitn δ n = n, n =,,... Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n A, että 0 < x n x 0 < n j f(x n) ε. Täten lim x n = x 0, mutt jono (f(x n )) ei suppene kohti luku. Tämä on ristiriit. Esimerkki..7. Osoitetn, että funktioll f : R R,, x > 0, f(x) = 0, x = 0,, x < 0. ei ole rj-rvo pisteessä 0. Olkoot x n =, y n n =, n =,,... Silloin n mutt lim x n = lim y n = 0, lim f(x n) = lim = j lim f(y n ) = lim =. Luseen..6 nojll lim x 0 f(x) ei ole olemss. Esimerkki..8. Osoitetn, että funktioll f : ]0, [ R, f(x) = x 0. ei ole rj-rvo pisteessä Olkoon x n =, n =,,... n Silloin lim x n = 0, mutt jono (f(x n )) = (n) hjntuu. Luseen..6 nojll lim x 0 f(x) ei ole olemss. 5

10 Esimerkki..9. Osoitetn, että funktioll f : R \ {0} R, f(x) = sin x pisteessä 0. Olkoot x n = πn, y n = πn + π, n =,,... Silloin ei ole rj-rvo mutt j Luseen..6 nojll lim x 0 f(x) ei ole olemss. lim x n = lim y n = 0, lim f(x n) = lim sin(πn) = lim 0 = 0 ( lim f(y n) = lim sin πn + π ) = lim sin π =. Edelliset esimerkit (joiss rj-rvo ei ole olemss) voidn todist myös muodollisesti rj-rvon määritelmän.. vull tekemällä vstoletus j johtmll ristiriit..3 Funktion jtkuvuus Määritelmä.3.. Olkoon A R, f : A R j x 0 A. Funktiot f snotn jtkuvksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ j x A. Funktiot f snotn jtkuvksi joukoss A, jos se on jtkuv joukon A jokisess pisteessä. Jos funktio ei ole jtkuv, sitä snotn epäjtkuvksi. Huomutus.3.. () Kuten rj-rvo, myös jtkuvuus on lokli ominisuus: vin se, mitä tphtuu pisteen x 0 mielivltisen pienessä ympäristössä vikutt funktion f jtkuvuuteen pisteessä x 0. () Jos f ei ole määritelty pisteessä x 0, niin ei ole mielekästä tutki funktion f jtkuvuutt pisteessä x 0. Esimerkki.3.3. () Olkoon f : R \ {} R, f(x) = x. Usein funktion f snotn olevn epäjtkuv pisteessä, vikk sitä ei ole määritelty pisteessä. () Olkoon g : R \ {0} R, g(x) =. Usein funktion g snotn olevn epäjtkuv pisteessä 0, x vikk sitä ei ole määritelty nollss. (Jos funktiolle määritellään rvo nollss, niin stu funktio on väistämättä epäjtkuv joukoss R.) (3) Olkoon h: ] π, [ π sin x R, h(x) = tn x = cos x. Funktio h on jtkuv välillä ] π, [ π. Jtketn h jksollisesti joukkoon A = {x R x π + kπ, k Z} settmll h(x+π) = h(x). Nyt h : A R on jtkuv (eikä epäjtkuv, kuten sttisi luull). 6

11 Esimerkki.3.4. Osoitetn, että funktio f : ]0, [ R, f(x) = on jtkuv välillä ]0, [. x Olkoon x 0 > 0 kiinteä j ε > 0. Olkoon lisäksi x > 0. Selvästi f(x) f(x 0 ) = x x 0 = x x 0 = x x 0. xx 0 xx 0 Jos x x 0 < x 0, niin x > x 0 j edelleen Tästä seur, että <. xx 0 x 0 f(x) f(x 0 ) < x x x 0, kun x x 0 < 0 x 0. Toislt x x 0 < ε, kun x x 0 < x 0ε. x 0 Vlitn δ = min { x 0, x 0ε }, jolloin Siten f on jtkuv pisteessä x 0. f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ. Luse.3.5 (jtkuvuuden jonokrkteristio). Funktio f : A R on jtkuv pisteessä x 0 A jos j vin jos lim f(x n) = f(x 0 ) kikill jonoill (x n ), joille pätee x n A, n =,,... j lim x n = x 0. Todistus. Kuten luse..6 rj-rvolle. Huomutus.3.6. () Luseen.3.5 väitteessä on pieniä eroj vstvn luseeseen..6 verrttun: lukujonon (x n ) termi voi oll myös x 0 eikä pisteen x 0 trvitse oll ksutumispiste. () Luseen ehto voidn myös kirjoitt muodoss: lim x x 0 f(x) = f(x 0 ), jolloin yhtälön vsemmn puolen täytyy oll olemss j oiken puolen täytyy oll määritelty. Tämä on kurssill PM I esiintynyt määritelmä jtkuvuudelle. (3) Jos x 0 A ei ole joukon A ksutumispiste, niin on olemss sellinen ε > 0, että ]x 0 ε, x 0 + ε[ A = {x 0 }. Tällisiss, ns. eristetyissä, pisteissä f on utomttisesti jtkuv määritelmän.3. nojll. Esimerkki.3.7. Esimerkkejä erityyppisistä epäjtkuvuuksist: () hyppäysepäjtkuvuus pisteessä 0: f(x) = {, x 0,, x < 0; 7

12 () krkminen äärettömyyteen pisteessä 0: (3) heilhteluepäjtkuvuus pisteessä 0: f(x) = f(x) = Esimerkki.3.8. Osoitetn, että funktio f(x) = on epäjtkuv jokisess pisteessä x 0 R. { x x 0, 0, x = 0; { sin x, x 0, 0, x = 0. {, x Q, 0, x R \ Q. Jetn trkstelu khteen os sen mukn, onko x 0 rtionlinen vi irrtionlinen. () Olkoon ensin x 0 Q. Kosk irrtionliluvut ovt tiheässä joukoss R, niin on olemss jono x n R \ Q, n =,,..., jolle pätee lim x n = x 0. Silloin lim f(x n) = lim 0 = 0 = f(x 0 ), joten f ei ole jtkuv pisteessä x 0 luseen.3.5 nojll. () Olkoon seurvksi x 0 R\Q. Kosk rtionliluvut ovt tiheässä joukoss R, niin on olemss jono x n Q, n =,,..., jolle pätee Silloin lim x n = x 0. lim f(x n) = lim = 0 = f(x 0 ), joten f ei ole jtkuv pisteessä x 0 luseen.3.5 nojll. Esimerkki.3.9. Osoitetn, että funktio, x = jollkin k =,,..., f(x) = k 0 muulloin. on epäjtkuv joukoss E = {0,,, } 3,... j jtkuv joukoss R \ E. Jos x 0 R \ E, niin on olemss sellinen r > 0, että ]x 0 r, x 0 + r[ E =. Nyt f(x) = 0 kikill x ]x 0 r, x 0 + r[, joten vkiofunktion f on jtkuv pisteessä x 0. Jos x 0 E, niin on kksi vihtoehto: joko x 0 = 0 ti x 0 = k jollkin k =,,... 8

13 Oletetn ensin, että x 0 = 0. Olkoon x n =, n =,,... Silloin n lim x n = 0 j lim f(x n) = lim = 0 = f(0), joten f ei ole jtkuv pisteessä 0. Oletetn sitten, että x 0 = k jollkin k =,,... Olkoon x n = k +, n =,,... Silloin n j lim x n = k lim f(x n) = 0 = f ( ) = f(x 0 ), k joten f ei ole jtkuv pisteessä x 0 = k. Esimerkki.3.0 (vrsin ptologinen tpus). Olkoon f : ]0, [ R, f(x) = {, n jos x = m, n > 0, syt(n, m) = (supistettu muoto), n 0, jos x ]0, [ \ Q. Seurvss on muutmi funktion f rvoj: ( f = n) ( n, f ) ( n ) = f = n n n, ( ) ( 3 f = 0, f = 7) ( 4 ( f = f = 7 6) 3) 3. Lisäksi jos f( m n ) = n, niin f( m n ) = f(n m n ) = n. Huom, että jos n Z +, niin lukuj x ]0, [, joille f(x), on vin äärellinen määrä. Näin on, n sillä jos f(x), niin n x = p q, missä q n. Tästä seur, että q n j p n, joten lukuj 0 < x <, joille pätee f(x) on korkeintn n n(n ) kpplett. Osoitetn, että tämä ns. Dirichlet n funktio f on jtkuv jokisess irrtionlipisteessä j epäjtkuv jokisess rtionlipisteessä. Väite sdn, kun todistetn, että lim f(x) = 0 kikill x 0 ]0, [. x x 0 Olkoon ε > 0. Silloin on olemss sellinen n, että n < ε. Kosk f(x) vin äärellisen monell (korkeintn n(n )) muuttujn x rvoll, niin on olemss n sellinen δ > 0, että ]x 0 δ, x 0 + δ[ ei sisällä pisteitä x ]0, [ Q, x x 0, joille f(x). Tästä n seur, että f(x) 0 = f(x) < n < ε, kun 0 < x x 0 < δ, 9

14 sillä tällisille x joko f(x) = 0 ti f(x) = jollkin q > n. Siten lim f(x) = 0 kikill x q 0 ]0, [. x x 0 Näin ollen f on jtkuv täsmälleen niissä pisteissä x 0, joiss f(x 0 ) = 0. Voidn todist, että ei ole olemss funktiot, jok olisi jtkuv jokisess rtionlipisteessä j epäjtkuv jokisess irrtionlipisteessä. Tätä ei todistet tällä kurssill. Seurvss on lueteltu muutmi jtkuvien funktioiden perusominisuuksi. () Alkeisfunktiot ovt jtkuvi määrittelyjoukossn. Alkeisfunktioit ovt polynomit, rtionli-, eksponentti-, logritmi-, potenssi-, trigonometriset j ns. lgebrlliset funktiot sekä näistä äärellisellä määrällä funktioiden peruslskutoimituksi, kääntämisiä j yhdistämisiä sdut funktiot. Alkeisfunktioit ovt siis esimerkiksi x x 3,, x 3 + ex, log 3 (4x + ), x, cos(3x), x j rcsin ( tn x+ln x ) ( 3 )x + 5 x 4 +sin x. () Jos funktiot f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0, niin myös funktiot ovt jtkuvi pisteessä x 0. f f ± g, cf (c R), fg, g (g(x 0) 0), f, min{f, g}, mx{f, g} (3) Jos f on jtkuv pisteessä x 0 j g on jtkuv pisteessä f(x 0 ), niin yhdistetty funktio g f on jtkuv pisteessä x 0. Esimerkiksi funktio f(x) = on jtkuv pisteessä x x 0 0 j funktio g(x) = sin x on jtkuv pisteessä f(x 0 ) = x 0, joten funktio (g f)(x) = sin on jtkuv pisteessä x x 0 0. (4) Suppiloperite funktioille: Jos f, g, h: A R ovt sellisi funktioit, että f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0 A, f(x) h(x) g(x) kikill x A j f(x 0 ) = h(x 0 ) = g(x 0 ), niin myös h on jtkuv pisteessä x 0. Tämä tulos seur suorn luseist B..7 j.3.5. Määritelmä.3.. Funktiot f : A R snotn rjoitetuksi, jos sen kuvjoukko R f = f(a) = {y R y = f(x) jollkin x A} on rjoitettu eli on olemss sellinen vkio M 0, että f(x) M kikill x A. Luse.3.. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R on rjoitettu. Todistus. Tehdään vstoletus: f ei ole rjoitettu. Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n [, b], että f(x n ) > n. Kosk x n [, b] kikill n =,,..., niin jono (x n ) on rjoitettu. Bolznon Weierstrssin luseen nojll sillä on suppenev osjono (x nk ), eli lim k x n k = x 0 0

15 jollkin x 0 R. Kosk x nk b kikill k =,,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll x 0 b, ts. x 0 [, b] (tässä on olennist, että väli on suljettu). Edelleen, kosk lim x n k = x 0, x 0 [, b] j f on jtkuv välillä [, b], k niin jtkuvuuden jonokrkteristion nojll lim f(x n k ) = f(x 0 ). k Tästä seur, että (f(x nk )) on suppenevn jonon rjoitettu. Tämä on ristiriit, sillä missä n k, kun k. f(x nk ) > n k, k =,,..., Huomutus.3.3. Edellisessä luseess on olennist, että väli on suljettu: funktio f : ]0, [ R, f(x) = on jtkuv välillä ]0, [, mutt ei ole rjoitettu. Toislt on olennist, että funktio on x jtkuv: funktio { x f : [0, ] R, f(x) =, 0 < x,, x = 0 ei ole rjoitettu suljetull välillä [0, ]. Kertus: Funktio f : A R svutt suurimmn rvons joukoss A R, jos mx f(a) on olemss eli on olemss sellinen x 0 A, että Silloin f(x) f(x 0 ) kikill x A. f(x 0 ) = mx x A f(x) = sup f(x). x A Vstvsti f svutt pienimmän rvons joukoss A, jos min f(a) on olemss eli on olemss sellinen x 0 A, että f(x) f(x 0 ) kikill x A. Silloin f(x 0 ) = min f(x) = inf f(x). x A x A Luse.3.4 (Weierstrssin mx-min-luse). Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R svutt suurimmn j pienimmän rvons. Todistus. Luseen.3. nojll funktio f on rjoitettu. Täydellisyysksioomn nojll sup f(x) = M R x [,b] on olemss. Osoitetn seurvksi, että on olemss sellinen x 0 [, b], että f(x 0 ) = M (jolloin M = mx f(x)). x [,b] Luseen A.0.35 nojll jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n [, b], että M n < f(x n) M.

16 Kosk x n b kikill n =,,..., niin (x n ) on rjoitettu jono. Bolznon Weierstrssin luseen nojll tällä on suppenev osjono (x nk ), joten rj-rvo lim x n k = x 0 R k on olemss. Kosk x nk b kikill k =,,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll x 0 b, joten x 0 [, b] (tässä on olennist, että väli on suljettu, vrt. luseen.3. todistukseen). Kosk niin suppiloperitteen nojll M n k < f(x nk ) M kikill k =,,..., lim f(x n k ) = M. k Kosk f jtkuv pisteessä x 0, niin jtkuvuuden jonokrkteristion nojll f(x 0 ) = lim k f(x nk ) = M. Minimiä koskev väite todistetn vstvll tvll (hrjoitustehtävä). Huomutus.3.5. Edellisessä luseess on olennist, että väli on suljettu: funktio f : ]0, [ R, f(x) = x on jtkuv, mutt ei svut suurint eikä pienintä rvo välillä ]0, [. Huom, että mutt minimiä ti mksimi ei ole olemss. inf f(x) = 0 j sup f(x) =, x ]0,[ x ]0,[ On myös olennist, että väli on rjoitettu: funktio f : [, [ R, f(x) = x svut pienintä rvo välillä [, [. Huom, että on jtkuv, mutt ei inf f(x) = 0. x [, [ Luse.3.6. Oletetn, että f : [, b] R on jtkuv. Jos f() < 0 < f(b) ti f() > 0 > f(b), niin on olemss sellinen x 0 ], b[, että f(x 0 ) = 0. Todistus. Oletetn, että f() < 0 < f(b) (tpuksen f() > 0 > f(b) voi tämän jälkeen hoit trkstelemll funktiot g = f, jok on jtkuv j jolle g() < 0 < g(b)). Väitteen voi todist khdell eri tvll: käyttämällä täydellisyysksioom suorn ti jonojen j suljettujen välien peritteen vull. Olkoon A = {x [, b] f(x) < 0}. Kosk A, niin A. Lisäksi A [, b] on (ylhäältä) rjoitettu, joten x 0 = sup A on olemss. Osoitetn, että f(x 0 ) = 0. Jos f(x 0 ) < 0, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < 0 kikill x x 0 < δ (ks. hrjoituksen 6 tehtävä ). Erityisesti f(x 0 + δ ) < 0, ts. x 0 + δ A eikä x 0 ole joukon A ylärj. Jos f(x 0 ) > 0, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) > 0 kikill x x 0 < δ. Lisäksi x 0 on joukon A ylärj, joten x / A kikill x ]x 0 δ, b]. Tällöin kuitenkin x 0 δ on joukon A ylärj eikä x 0 voi oll pienin ylärj. Näin ollen on oltv f(x 0 ) = 0.

17 Toinen tp todist väite on käyttää jonoj j iemmst tuttu puolitusmenetelmää. Olkoon I = [, b ], missä = j b = b j sen keskipiste c = + b. Jos f(c ) = 0, niin hettu piste on löydetty j x 0 = c. Jos f(c ) 0, niin joko f(c ) > 0 ti f(c ) < 0. Jos f(c ) > 0, niin vlitn = j b = c. Jos f(c ) < 0, niin vlitn = c j b = b. Kummsskin tpuksess siis I = [, b ] I j f( ) < 0 < f(b ). Jtketn näin: jos välit I, I,..., I n on vlittu kuten edellä j c n = n + b n on välin I n = [ n, b n ] keskipiste, niin vlitn väli I n+ = [ n+, b n+ ] I n siksi välin I n = [ n, b n ] puolikkksi, jolle f( n+ ) < 0 < f(b n+ ). Jos f(c n ) = 0 jollkin n Z +, niin vlitn x 0 = c n j väite on todistettu. Jos vlintprosessi ei pysähdy vn f(c n ) 0 kikill n Z +, niin smme jonon sisäkkäisiä suljettuj välejä I n = [ n, b n ], joille pätee I I I 3..., f( n ) < 0 < f(b n ), n =,,... Suljettujen välien peritteen nojll on olemss Välien pituudet Kosk n x 0 b n kikill n =,,..., niin x 0 I n. n= b n n = b 0, kun n. n 0 x 0 n b n n = b n j 0 b n x 0 b n n = b n. Tässä b n 0, kun n, joten suppiloperitteen nojll lim n = x 0 = lim b n. Kosk f on jtkuv pisteessä x 0, niin jtkuvuuden jonokrkterition nojll lim f( n) = f(x 0 ) = lim f(b n ). Kosk f( n ) < 0 kikill n =,,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll Toislt f(b n ) > 0 kikill n =,,..., joten f(x 0 ) = lim f( n ) 0. Tästä seur, että f(x 0 ) = 0. f(x 0 ) = lim f(b n ) 0. 3

18 Luse.3.7 (Bolznon luse). Oletetn, että f : [, b] R on jtkuv. Jos y R on sellinen luku, että inf f(x) y sup f(x), x [,b] x [,b] niin on olemss sellinen x 0 [, b], että f(x 0 ) = y. Todistus. Weierstrssin luseen (luse.3.4) mukn on olemss selliset x, x [, b], että Jos x = x, niin joten inf f(x) = min f(x) = f(x ) y f(x ) = mx f(x) = sup f(x). x [,b] x [,b] x [,b] x [,b] f(x ) f(x) f(x ) = f(x ) f(x) = f(x ) kikill x [, b] kikill x [, b], j f on vkiofunktio. Oletetn sitten, että x < x (tpus x > x todistetn smll tvll). Funktio g : [, b] R, g(x) = f(x) y on jtkuv, g(x ) = f(x ) y 0 j g(x ) = f(x ) y 0. Jos g(x k ) = 0 toisell k =,, niin vlitn x 0 = x k. Muutoin g(x ) < 0 j g(x ) > 0. Tällöin luseen.3.6 nojll on olemss sellinen x 0 [x, x ], että g(x 0 ) = 0 eli f(x 0 ) = y. Huomutus.3.8. () Bolznon luse snoo käytännössä sen, että jtkuv funktio svutt inkin kerrn kikki rvot miniminsä j mksimins välillä. () Bolznon luseess j luseess.3.6 on olennist, että funktio f on jtkuv j että relikseliss ei ole reikiä. Esimerkiksi funktio {, kun x < 0, f : [, ] R, f(x) =, kun x 0, on epäjtkuv eikä sillä ole nollkoht välillä [, ] vikk f( ) < 0 < f(). Lisäksi, jos g : Q [0, ] Q, g(x) = x, niin g(0) = j g() =, mutt ei ole olemss sellist luku x 0 Q [0, ], että g(x 0 ) = 0..4 Funktion tsinen jtkuvuus Olkoot A R j f : A R jtkuv joukoss A. Tällöin f on jtkuv jokisess pisteessä t A. Siten jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε, kun x t < δ j x A. Kuitenkin δ riippuu yleensä pisteestä t. Siis sm δ ei yleensä kelp kikille pisteille t A. Yleensä δ riippuu luvust ε, funktiost f j pisteestä t. 4

19 Esimerkki.4.. Olkoon f : ]0, ] R, f(x) = cos. Tällöin f on jtkuv joukoss ]0, ], erityisesti x pisteessä t ]0, ]. Oletetn, että jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε kikille x, t ]0, ], x t < δ, ts. oletetn ettei δ riipu pisteestä t. Vlitn sellinen n, että Olkoot x = nπ Nyt 0 < t < x < δ, joten x t < δ, mutt δ > nπ. j t = (n + )π. f(x) f(t) = cos(nπ) cos((n + )π) =. Jos vlitn 0 < ε <, niin ei ole olemss sellist luku δ > 0, jolle pätee f(x) f(t) < ε kikille x, t ]0, ], x t < δ. Siis δ riippuu pisteestä t olennisell tvll. Määritelmä.4.. Funktiot f : A R snotn tsisesti jtkuvksi joukoss A, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε kikill x, t A j x t < δ. Määritelmän trkoitus: Funktio f : A R on tsisesti jtkuv joukoss A, jos funktion rvot ovt mielivltisen lähellä toisin in, kun muuttujn rvot ovt riittävän lähellä toisin. Siis funktion rvot eivät s muuttu liin nopesti (ti jos ne muuttuvt hyvin nopesti, niin muutoksen on tphduttv riittävän pienellä välillä). Huomutus.4.3. () Tsinen jtkuvuus määritellään joukoss A, ei pisteittäin kuten jtkuvuus. () Jos f on tsisesti jtkuv joukoss A, niin f on jtkuv joukoss A (kiinnitetään t = x 0 määritelmässä.4.). Käänteinen väite ei päde esimerkin.4. vloss. Esimerkki.4.4. Osoitetn, että funktio f(x) = x Olkoon ε > 0 mielivltinen j x, t [, ]. Tällöin f(x) f(t) = x = t x = t tx kun t, x [, ] (nyt t j x Siis f(x) = x on tsisesti jtkuv välillä [, ]. t x t x t x < ε, ). Vlitsemll määritelmässä.4. δ = ε sdn f(x) f(t) < ε kikill x, t A, x t < δ. on tsisesti jtkuv välillä [, ]. Funktio f(x) = ei kuitenkn ole tsisesti jtkuv välillä ]0, ], kuten seurv päättely osoitt. x Tehdään vstoletus, että f on tsisesti jtkuv välillä ]0, ]. Tällöin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε, kun t, x ]0, ] j x t < δ. Vlitn tässä ε =. Vlitn lisäksi sellinen n Z +, että n < δ. Asetetn x = n j t = n+. Tällöin x, t ]0, ] sekä 0 < t < x < δ, joten x t < δ, mutt smll f(x) f(t) = n (n + ) = > = ε, eli sdn ristiriit. Siten f(x) = ei ole tsisesti jtkuv välillä ]0, ] (vikk f on jtkuv x kyseisellä välillä). (Huom, että tässä lusekett ei void rvioid ylöspäin.) t x 5

20 Luse.4.5. Jtkuv funktio f : [, b] R on tsisesti jtkuv suljetull j rjoitetull välillä [, b]. Todistus. Tehdään vstoletus: funktio f ei ole tsisesti jtkuv välillä [, b]. Tästä seur, että on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss selliset pisteet x, t [, b] (jotk riippuvt luvust δ), että x t < δ j f(x) f(t) ε. Vlitn δ = n, n =,,..., jolloin jokist n kohti on olemss selliset x n, t n [, b], että x n t n < n j f(x n) f(t n ) ε. Jono (x n ) on rjoitettu, joten Bolznon Weierstrssin luseen (luse B.3.8) nojll sillä on suppenev osjono (x nk ). Olkoon x 0 = lim k x nk. Kosk niin epäyhtälön säilymisperitteen nojll Lisäksi x nk b kikill k =,,..., x 0 b eli x 0 [, b]. t nk x 0 t nk x nk + x nk x 0 < n k + x nk x 0 k + x n k x 0 0, kun k (huom, että n k k), joten lim t nk k jonokrkteristion (luse.3.5) nojll lim k f(x n k ) = f(x 0 ) = lim k f(t nk ). Täten on olemss sellinen k ε Z +, että f(x nk ) f(x 0 ) < ε j f(t nk ) f(x 0 ) < ε = x 0. Kosk f on jtkuv, niin jtkuvuuden kikill k k ε. Siten ε f(x nk ) f(t nk ) f(x nk ) f(x 0 ) + f(x 0 ) f(t nk ) < ε + ε = ε, kikill k k ε. Ristiriit. Esimerkki.4.6. Olkoon f : R R, f(x) = x + sin x. Osoitetn, että f on tsisesti jtkuv joukoss R. Rtkisu: Olkoon ε > 0 mielivltinen. Kun x, t R, on voimss f(x) f(t) = x + sin x (t + sin t) x t + sin x sin t = x t + sin x t cos x + t, sillä sin x sin t = sin x t cos x + t kikill x, t R. Edelleen, kosk cos y j sin y y kikill y R, sdn rvio x t f(x) f(t) x t + = x t < ε, kun x t < ε. Voidn siis vlit δ = ε. Siten f on tsisesti jtkuv joukoss R. 6

21 Luku Srjt. Srjn suppeneminen Määritelmä... Olkoon (x k ) relilukujono. Muodostetn uusi jono (s n ), jolle s n = n x k = x + x + + x n, n =,,... Jono (s n ) snotn jonoon (x k ) liittyväksi ossummien jonoksi ti srjksi. Jos jono (s n ) suppenee eli on olemss sellinen S R, että lim s n = S, niin snotn että srj suppenee. Luku S snotn srjn summksi j merkitään x k = lim n x k = lim s n = S. Jos srj ei suppene, niin snotn, että se hjntuu. Summ R n = x k = S s n k=n+ snotn srjn (s n ) (n:nneksi) jäännöstermiksi. Huomutus... () Srj merkitään x k riippumtt siitä, suppeneeko se. () Jos srj x k suppenee, niin sen ossummien jono (s n ) suppenee, ts. rj-rvo lim s n = S on olemss. Tällöin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että s n S = x k < ε kikill n nε. k=n+ Tästä nähdään, että srj suppenee, jos j vin jos sen jäännöstermien jono suppenee kohti luku 0. Esimerkki..3. () Osoitetn, että =. Todistetn ensin induktioll, että k n s n = = k = n n 7

22 kikill n =,,...: Väite pätee rvoll n =, sillä s = =. Jos sitten s k = k jollkin k Z + (induktio-oletus), niin s k+ = s k + k+ = k + k+ = k+. Induktio-peritteen nojll väite pätee kikill n Z +. Siten () Srj ( lim s n = lim ) =. n ( ) k hjntuu: Nyt s =, s = 0, s 3 =, s 4 = 0,... Induktioll nähdään, että s n = 0, kun n on prillinen, j s n =, kun n on priton. Siten jono (s n ) hjntuu. (3) Osoitetn, että srj niin sdn rvio k k + s n = hjntuu. Kosk k k + = + /k n n + n = n, n =,,... Siten jono (s n ) ei ole rjoitettu j (s n ) hjntuu lemmn B..0 nojll. kikill k =,,..., Lemm..4. Jos srj x k suppenee, niin lim k x k = 0. Todistus. Srj, 3,..., niin x k suppenee, joten on olemss lim s n = S R. Kosk x n = s n s n, n = lim x n = lim (s n s n ) = lim s n lim s n = S S = 0. Huom, että tässä myös rj-rvo lim s n on olemss j on S. x k suppeneminen! Esimer- Huomutus..5. () Ominisuudest lim x k = 0 ei seur srjn k kiksi hrmoninen srj hjntuu vikk lim k = 0. k k () Yleisesti srjn suppeneminen riippuu siitä, että kuink nopesti x k menee nolln luvun k ksvess. Seurus..6. Jos lim x k 0 (ti rj-rvo ei ole olemss), niin x k hjntuu. k Esimerkki..7. () Srj k k + hjntuu, sillä lim k k k + = 0. 8

23 () Toislt srjt ( ) k j eivät ole olemss. ( cos k π ) hjntuvt, sillä rj-rvot ( lim k ( )k j lim cos k π ). k Luse..8 (Cuchyn kriteeri srjoille). Srj suppenee, jos j vin jos sen ossummien jono (s n ) on Cuchyn jono eli jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että s n s m < ε, kun n, m n ε. Todistus. Seur suorn Cuchyn kriteeristä jonoille. Huomutus..9. () Ossummien jono (s n ) on Cuchyn jono, jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että s n s m = m k=n+ x k < ε, kun m > n nε. () Tämän kriteerin vull on jo osoitettu kppleess B.4, että k j ( ) k+ k suppenevt j että hjntuu. k Joskus srjn suppeneminen voidn osoitt lskemll ns. teleskooppinen summ. Esimerkki..0. Osoitetn, että srj k(k + ) suppenee. Kosk k(k + ) = (k + ) k k(k + ) = k, k =,,..., k + niin n:s ossumm voidn esittää muodoss ( s n = ) ( + ) ( n ) = n + n +, kikill n =,,... Siten joten srj suppenee j sen summ on. k(k + ) = lim s n = lim n + =, Trkstelln seurvksi eräitä keskeisiä srjoj. Todistetn sitä ennen yksi trpeellinen lemm. 9

24 Lemm... Jos <, niin lim n = 0. Jos =, niin lim n =. Muulloin jono ( n ) hjntuu. Todistus. Olkoon ensin <. Tällöin n = n < n =, joten jonot ( n ) j ( n ) ovt rjoitettuj. Lisäksi jono ( n ) on vähenevä, sillä n+ = n < n. Siten jono ( n ) suppenee j lim n = inf{ n n =,,...}. Merkitään tätä infimumi (j rj-rvo) m j osoitetn, että on m = 0. Selvästi 0 on lrjn lkioille n, j infimumin määritelmän ehto (i) toteutuu. Oletetn, että m > 0. Kosk m > m = inf{ n n =,,...}, niin on olemss sellinen n Z +, että n < m. Tällöin n+ < m = m, mikä on ristiriidss luvun m määrittelyn knss. Näin ollen m = 0 j hrjoituksen tehtävän 5c nojll myös lim n = 0. Jos =, niin ( n ) =,,... ti ( n ) =,,,,... eikä jono ( n ) suppene. Jos >, niin = + x jollkin x > 0. Tällöin n ( ) n n ( ) n ( + x) n = x k n k = + nx + x k > + nx, k k kikill n Z +, joten n > nx kikill n Z +. Tässä x > 0, joten jono ( n ) ei ole rjoitettu. Myöskään jonot ( n ) j ( n ) eivät siten voi oll rjoitettuj. Luse... Geometrinen srj k= x k = + x + x +..., x R, suppenee, jos j vin jos x <. Jos x <, niin srjn summ on x k = x. Todistus. : Oletetn, että x < j osoitetn, että x k = x. Nyt s n = + x + x + + x n xs n = x + x + + x n + x n+. j Vähentämällä nämä puolittin toisistn sdn s n xs n = x n+, joten s n = xn+, n = 0,,... x Huom, että nyt x 0. Kosk x <, niin lemmn.. mukn lim x n+ = 0, j x k x n+ = lim s n = lim x =, x <, x 0

25 Siten srj (s n ) suppenee. : Oletetn, että x. Tällöin jono (x k ) ei suppene nolln, kun k, j srj xk hjntuu seuruksen..6 nojll. Huomutus..3. Geometrinen srj on lähtökoht monelle muulle suppenevlle srjlle: () () (3) x k = x x k = ( ) k x k = 3 k x k = x, kun x <, x ( x ) k = ( x ) =, kun x <, + x (3x) k = 3x, kun x < 3. Seurvn srjn suppenemist koskev tulos on tärkeässä rooliss myöhemmin suppenemistestien yhteydessä. Luse..4. Olkoon p R. Srj suppenee, jos j vin jos p >. k p Todistus. : Tp (Hiemn epätrkk, ennen kuin integrlit on käsitelty trksti): Olkoon p >. Ossumm s n voidn rvioid ylöspäin määrätyn integrlin vull seurvsti: s n = n k + p = + p n ( n p x dx = + p p ) < + p = / n p p x p = + ( n p ) p (p > ). Siten jono (s n ) on ksvv (s n+ s n ) j rjoitettu, joten se suppenee monotonisen suppenemisen luseen nojll j k = lim s p n p <, kun p >. p Siis srj suppenee, kun p >. (Tällä menetelmällä sdn myös rvio virheen S s n suuruudelle.) Tp (Trkk perustelu): Olkoon p >. Kosk jono (s n ) on ksvv, niin monotonisen suppenemisen luseen nojll se suppenee, jos se on rjoitettu. Riittää siis osoitt, että jono (s n ) on rjoitettu.

26 Kun n Z +, vlitn sellinen t Z +, että n < t. Tällöin Tässä p s n s t = = + t k p ( + ) ( + p 3 p 4 + p 5 + p 6 + ) + p 7 ( p ) + ( t ) + + p ( t ) p t p p p ( t ) p = + + p ( p ) + ( p ) ( p ) t ( p ) k = <. p on vkio, jok ei riipu luvust n, joten jono (s n ) on rjoitettu. : Olkoon sitten p. Tällöin kikill k =,,... pätee rvio k p k, jost sdn. k k p Siten ossummille sdn rvio n k n, n =,,... (.) kp Ossummien jono n, n =,,..., ei ole ylhäältä rjoitettu, Epäyhtälön (.) nojll myöskään k srjn ossummien jono ei ole ylhäältä rjoitettu, joten se hjntuu. k p Sen, että srj k tpuksen p > yhteydessä): s n = hjntuu, voi nähdä myös seurvsti (tässä on sm epätrkkuus kuin n k = n+ n > dx = ln (n + ). x Kosk lim ln(n + ) =, niin myös lim s n =, joten (s n ) hjntuu. Tpus p 0 voidn perustell myös seurvsti. Kosk p 0, niin k p = k p kikill k =,,... Siten jono ( ) k ei suppene luku 0 kohti, kun k, j srj p hjntuu seuruksen..6 k p nojll. Suppenevt srjt toteuttvt yleisesti seurvn linerisuusominisuuden. Luse..5. Olkoot, b R. Jos x k = S j y k = T ovt suppenevi srjoj, niin myös srj (x k + by k ) suppenee j sen summ on S + bt. Todistus. Kosk lim n x k = S j lim n y k = T, niin lukujonon rj-rvon lskusääntöjen (huomutus B..4) nojll n n n lim (x k + by k ) = lim x k + b lim y k = S + bt.

27 Huomutus..6. Srjn (x k + y k ) suppenemisest ei seur, että x k ti y k suppenisi. Esimerkiksi (( ) k + ( ) k+ ) = 0 = 0 suppenee, mutt ( ) k j ( ) k+ hjntuvt.. Suppenemistestejä positiivitermisille srjoille Jonojen tpuksess osoitettiin, että relilukujono suppenee, jos j vin jos se on Cuchyn jono. Tällöin sen suppeneminen pääteltiin rj-rvo lskemtt. Vstvsti srjojen tpuksess on tärkeää pystyä päättelemään srjn suppeneminen lskemtt sen summ summn lskeminen on usein hyvin vike, jop mhdotont j myös turh, jos srj osoittutuukin hjntuvn. Srjn suppenemisen trkstelu summ lskemtt on usein mhdollist niin snottujen suppenemistestien vull. Määritelmä... Srj x k snotn positiivitermiseksi, jos x k 0 in, kun k =,,... Seurv luse nt monotonisen suppenemisen lusett vstvn tuloksen srjoille. Luse... Positiiviterminen srj suppenee, jos j vin jos sen ossummien jono (s n ) on ylhäältä rjoitettu. Tällöin x k = lim s n = sup{s n n =,,...}. Todistus. : Oletetn, että srj x k suppenee j x k 0, k =,,... Tällöin ossummien jono (s n ) suppenee, joten jono (s n ) on rjoitettu. : Oletetn, että (s n ) on ylhäältä rjoitettu. Jono s n on lisäksi ksvv, sillä n+ s n+ s n = x k n x k = x n+ 0, n =,,... Siis (s n ) on ksvv j ylhäältä rjoitettu, joten monotonisen suppenemisen luseen (luse B..3) nojll (s n ) suppenee. Siten srj suppenee. Lisäksi monotonisen suppenemisen luseen nojll x k = sup{s n n =,,...}. Huomutus..3. Luse ei päde, jos termit vihtvt merkkiä. Esimerkiksi ( ) k hjntuu, vikk sen ossummien jono on rjoitettu. 3

28 Seurv luse on yksinkertinen, mutt äärimmäisen tärkeä. Luse..4 (mjorntti- j minornttiperite). Oletetn, että jonoille (x k ) j (y k ) on voimss 0 x k y k kikill k =,,... (i) Jos (ii) Jos y k suppenee, niin x k suppenee. (mjornttiperite) x k hjntuu, niin y k hjntuu. (minornttiperite) Todistus. Osoitetn ensin koht (i). Merkitään s n = n x k j s n = n y k, n =,,... Kosk srj y k suppenee, niin jono (s n) suppenee j se on rjoitettu. Täten on olemss sellinen M R, että s n M kikill n =,,... Edelleen 0 s n M kikill n =,,..., sillä y k 0 kikill k Z +. Kosk kikill k pätee 0 x k y k, niin 0 s n s n M, n =,,... Srj x k on positiiviterminen j sen ossummien jono (s n ) on rjoitettu. Luseen.. nojll jono (s n ) j siten myös srj x k suppenee. Koht (ii) seur vstoletuksell kohdst (i). Huomutus..5. () Yleensä tehtävänä on tutki, suppeneeko nnettu srj. Tällöin on pääteltävä, kump peritett tehtävässä knntt käyttää; hjntuv mjornttisrj ti suppenev minornttisrj ei ut tehtävän rtkisuss. () Edellä srjn on oltv positiiviterminen. Esimerkiksi ( ) k hjntuu, vikk 0 kikill k =,,... j 0 = 0 suppenee. k Esimerkki..6. Tutki, suppeneeko srj 6k k Rtkisu: Aluksi voidn tehdä epämuodollinen päättely srjn suppenemisest. Srjn suppeneminen riippuu sen häntäosn käyttäytymisestä. Indeksin k suurill rvoill voidn rvioid j luseen..4 nojll k 3 6k k k k = 6 4 k 3 luss, mutt se nt vin vihjeitä srjn käyttäytymisestä. suppenee. Tällisen likimääräisen trkstelun voi tehdä tehtävän Osoitetn, että srj suppenee j käytetään mjornttiperitett. Nyt 0 6k k k k = 6, k =,,... 4 k3 4

29 Lisäksi luseen..4 nojll 6 k = 6 3 k 3 suppenee, joten lkuperäinen srj suppenee mjornttiperitteen nojll. Esimerkki..7. Tutki, millä rvoill x 0 srj suppenee. Rtkisu: Olkoon 0 x <. Tällöin x k k = x + x + x xk k xk, k =,,... Tässä x k on geometrinen srj, jok suppenee, kun 0 x <. Siten mjornttiperitteen nojll srj x k k suppenee, kun 0 x <. Olkoon sitten x. Tällöin Tässä hjntuu, kun x. 0 < k xk, k =,,... k on hrmoninen srj, jok hjntuu. Siten minornttiperitteen nojll k Esimerkki..8. Tutki, suppeneeko srj k +. x k k Rtkisu: Osoitetn, että srj hjntuu j käytetään minornttiperitett. Kosk k + k + k = k, niin k > 0. k + Luseen..4 nojll nojll k + hjntuu. Esimerkki..9. Tutki, suppeneeko srj hjntuu, joten myös hjntuu j minornttiperitteen k k k + 5 k 3 + k + k +. Rtkisu: Hnkitn ensin rvus suppenemisest. Suurill indeksin k rvoill k k = 3 k. Kosk srj k Käytetään mjornttiperitett. Nyt 0 k + 5 k 3 + k + k + suppenee, yritetään osoitt myös nnettu srj suppenevksi. k + 5 k 3 + k + k + = + 5/k k ( + /k + /k + /k 3 ) 6 k 5

30 kikill k =,,..., j suppenee. Siten lkuperäinen srj suppenee mjornttipe- k ritteen nojll. 6 k = 6 Esimerkki..0. Tutki, suppeneeko srj k + 5 k + k +. k+5 Rtkisu: Hnkitn ensin rvus suppenemisest. Suurill indeksin k rvoill k +k+ Kosk srj k hjntuu, yritetään osoitt myös nnettu srj hjntuvksi. Käytetään minornttiperitett. Alspäin rvioimll sdn Lisäksi srj k + 5 k + k + = + 5/k k( + /k + /k ) 4k 4k = k 0, k =,,... hjntuu, joten minornttiperitteen nojll nnettu srj hjntuu. k = k k. Huomutus... Mjorntti- j minornttiperitteess srj knntt yrittää verrt srjn ti geometriseen srjn, joiden suppeneminen hllitn täysin. Luse.. (suhdetesti). Oletetn, että x k > 0 kikill k =,,... k p (i) Jos on olemss selliset k 0 Z + j 0 M <, että niin x k suppenee. (ii) Jos on olemss sellinen k 0 Z +, että x k+ x k M kikill k k 0, niin Todistus. x k hjntuu. (i) Oletusten nojll x k+ x k kikill k k 0, x k0 + Mx k0, x k0 + Mx k0 + M x k0,. x k0 +(k k 0 ) Mx k M x k M k k 0 x k0, 6

31 joten (trkk perustelu induktioll). Lisäksi x k x k0 M k k 0 kikill k k 0 k=k 0 x k0 M k k0 = x k0 M k0 k=k 0 M k, missä k=k 0 M k on suppenev geometrinen srj, sillä 0 M <. Siten lkuperäinen srj suppenee mjornttiperitteen nojll. (ii) Oletusten mukn x k x k0 > 0 kikill k k 0. Tästä seur, että jono (x k ) ei suppene luku 0 kohti. Siten x k hjntuu seuruksen..6 nojll. Seurus..3. Oletetn, että x k > 0 kikill k =,,... (i) Jos lim k x k+ x k (ii) Jos lim k x k+ x k <, niin srj >, niin srj x k suppenee. x k hjntuu. Todistus. (i) Olkoon lim k x k+ x k = c, missä 0 c <. Tällöin on olemss sellinen k 0 Z +, että x k+ x k c < c kikill k k 0. Tästä seur, että x k+ < c + c = c + x k joten srj suppenee luseen.. nojll. < kikill k k 0, (ii) Olkoon lim k x k+ x k = c, missä c >. Tällöin on olemss sellinen k 0 Z +, että x k+ x k c < c kikill k k 0. Tästä seur, että x k+ > c c x k joten srj hjntuu luseen.. nojll. = c + > kikill k k 0, 7

32 Huomutus..4. Jos lim k x k+ x k =, niin srj voi supet ti hjntu. Esimerkiksi srj suppenee, kun p >, j hjntuu, kun 0 < p. Tässä tpuksess ( ) x k+ /(k + ) p p k lim = lim = lim = k x k k /k p k k + kikill 0 < p <. Huom, että tässä x k+ x k < kikill k =,,... Esimerkki..5. Tutki, suppeneeko srj Rtkisu: Merkitään x k = k k. Tällöin x k+ x k = (k + ) / k+ k / k = joten srj suppenee seuruksen..3 nojll. Esimerkki..6. Tutki, suppeneeko srj Rtkisu: Merkitään x k = (k!) (k)!. Tällöin k p k k. ( ) ( k + k k + k = k+ k (k!) (k)!. ), kun k, x k+ x k = ((k + )!) (k)! (k + )!(k!) = (k + ) (k + )(k + ), kun k, 4 joten srj suppenee seuruksen..3 nojll. Luse..7 (juuritesti). Oletetn, että x k 0 kikill k =,,... (i) Jos on olemss selliset k 0 Z + j 0 M <, että k xk M kikill k k 0, niin x k suppenee. (ii) Jos on olemss sellinen k 0 Z +, että k xk kikill k k 0, niin x k hjntuu. 8

33 Todistus. (i) Oletusten nojll on olemss sellinen k 0 Z +, että k xk M kikill k k 0, joten x k M k kikill k k 0. Tässä M k on geometrinen srj, jok suppenee, sillä 0 M <, joten lkuperäinen srj k=k 0 suppenee mjornttiperitteen nojll. (ii) Oletusten nojll on olemss sellinen k 0 Z +, että k xk kikill k k 0, joten x k k = kikill k k 0. Täten jono (x k ) ei suppene luku 0 kohti, joten srj x k hjntuu seuruksen..6 nojll. Seurus..8. Oletetn, että x k > 0 kikill k =,,... (i) Jos lim k k x k <, niin srj (ii) Jos lim k k x k >, niin srj x k suppenee. x k hjntuu. Todistus. Vstvsti kuin seuruksen..3 todistus (hrjoitustehtävä). Huomutus..9. () Juuritestiä käyttäessä knntt muist rj-rvo lim n n =. Todistus. Huom, että n n, kikill n =,,... Johdetn seurvksi luvulle n n ylärj, jonk rj-rvo on. Kun n, niin binomikvst ( + b) n = n ( n k) n k b k sdn rvio ( ( ) ( ) n n n ( ) ( + = + n) n + ) n + + n n ( ) n ( ) n(n ) + = + n n = n. Siis ( + n n =. lim n ) n n, mistä sdn + n n n. Siten suppiloperitteen mukn () Jos lim k k x k =, niin srj voi supet ti hjntu. Esimerkiksi srj suppenee, kun p >, j hjntuu, kun 0 < p. Tässä tpuksess kohdn () mukn k p, kikill 0 < p <. lim k k k = lim p k ( k k) = p 9

34 (3) Srjn suppenemist trksteltess voidn in jättää pois äärellisen mont termiä srjn lust. Ne eivät vikut srjn suppenemiseen, mutt vikuttvt kyllä srjn summn. Tällä tulkinnll positiivitermisten srjojen suppenemistestejä voidn sovelt myös srjoihin, joiden termit ovt positiivisi jostkin indeksin rvost lähtien. Esimerkki..0. () Tutki, suppeneeko srj Rtkisu: Merkitään x k = joten srj suppenee seuruksen..8 nojll. ( k + 3 ) k. () Tutki, suppeneeko srj 4k + 5 ( k + 3 ) k. Rtkisu: Merkitään x k = Tällöin 4k + 5 k= (log k) k., kun k =, 3,... Tällöin (log k) k k xk = k (log k) = 0, kun k, k log k (k k + 3 ) k k + 3 xk = k = 4k + 5 4k + 5 = + 3/k 4 + 5/k, kun k, joten srj suppenee seuruksen..8 nojll. (3) Millä rvoill x 0 srj kx k = x + x + 3x suppenee? Rtkisu: lim k k kxk = lim k x k k = x. Seuruksen..8 nojll srj suppenee, kun 0 x <, j hjntuu, kun x >. Kun x =, niin jono (k) ei suppene luku 0 kohti j srj hjntuu seuruksen..6 nojll. Luse.. (vertiluperite). Oletetn, että x k > 0 j y k > 0 kikill k =,,... j että on olemss. x k K = lim k y k (i) Jos 0 < K <, niin x k suppenee, jos j vin jos y k suppenee. (ii) Jos K = 0 j y k suppenee, niin x k suppenee. (iii) Jos K = j y k hjntuu, niin x k hjntuu. Todistus. (i) Oletetn, että 0 < K <. Tällöin on olemss sellinen k 0 Z +, että x k K < K kikill k k 0, y k 30

35 jost sdn epäyhtälö Ky k < x k < 3 Ky k kikill k k 0. Jos 3 y k suppenee, niin myös Ky k suppenee. Mjornttiperitteen nojll x k suppenee j siten myös x k k=k 0 k=k 0 suppenee. Jos x k suppenee, niin myös x k suppenee. Mjornttiperitteen nojll Ky k suppenee j siten myös y k k=k 0 k=k 0 suppenee. (ii) Oletetn, että K = 0 j y k suppenee. Jono ( x k y k ) on suppenevn jonon rjoitettu, joten on olemss sellinen M > 0, että x k M kikill k =,,... y k Siten 0 < x k My k kikill k =,,... Nyt y k suppenee, joten My k suppenee j mjornttiperitteen nojll myös x k suppenee. (iii) Oletetn, että K = j että y k hjntuu. Tällöin on olemss sellinen k Z +, että Siten x k y k kikill k k. x k y k kikill k k. Kosk y k hjntuu, niin minornttiperitteen nojll myös x k hjntuu. Huomutus... Edellinen luse snoo myös sen, että x k hjntuu, jos j vin jos hjntuu. Tämän s todistettu suornkin käyttämällä minornttiperitett. Jos K = 0 luseess.., niin srjn x k suppenemisest ei välttämättä seur srjn suppeneminen. Jos esimerkiksi x k = k j y k = k, niin j x k suppenee, mutt y k hjntuu. x k lim = lim k y k k k = 0 y k y k 3

36 Esimerkki..3. Tutki, suppeneeko srj Rtkisu: Suurill indeksin k rvoill pätee Kosk srj k 3 k k + 7 k 5 + 5k 4 3k + k. k k + 7 k 5 + 5k 4 3k + k k k 5 = k 3. suppenee, yritetään osoitt lkuperäinen srj suppenevksi. k k + 7 Vlitn x k = k 5 + 5k 4 3k + k j y k = k luseess.. (nyt x 3 k > 0 j y k > 0, k =,,... ). Tällöin x k y k = = = k k + 7 k 5 + 5k 4 3k + k k3 k 5 k 4 + 7k 3 k 5 + 5k 4 3k + k k ( 5 + ) 7 k k k ( ), kun k. 3 + k k 3 k 4 k 5 Srj k 3 suppenee, joten luseen.. nojll srj x k suppenee..3 Itseisesti suppenevt srjt Määritelmä.3.. Srjn x k snotn suppenevn itseisesti, jos x k suppenee. Jos srj suppenee, mutt ei suppene itseisesti, niin snotn, että se suppenee ehdollisesti. Esimerkki.3.. Alternoiv hrmoninen srj hjntuu, mutt ( )k+ = k ( ) k+ suppenee ehdollisesti, sillä k ( ) k+ suppenee. Tämä osoitettiin jo esimerkissä B.4.0, mutt sen näkee myös seurvll tvll: Kosk ( s n = ) ( + 3 ) ( n ) n k k j s n = ( ) 3 ( 4 ) ( 5 n ), n 3

37 niin s n = s n n < s n. Jono (s n ) on ksvv j rjoitettu j jono (s n ) on vähenevä j rjoitettu, joten monotonisen suppenemisen luseen nojll ne suppenevt eli rj-rvot lim s n j lim s n ovt olemss. Yllä olevn nojll s n s n =, joten n lim (s n s n ) = lim ( n ) = 0. Täten jonot (s n ) j (s n ) suppenevt kohti sm luku S R. Hrjoituksen 4 tehtävän nojll myös lim s n = S. Esimerkki.3.3. Tutki srjn Rtkisu: Kosk niin 0 sin k = sin + k 3 8 sin + sin itseistä suppenemist. 7 sin k k 3 k 3 j sin k k 3 k 3 suppenee, suppenee mjornttiperitteen nojll. Siis srj suppenee itseisesti. Itse srjn sin k suppenemisen tutkiminen on kuitenkin ongelmllist, sillä sen termit vihtvt k 3 merkkiä! Tähän trvitn seurv lusett. Luse.3.4. Itseisesti suppenev srj suppenee j x k x k. Todistus. Olkoon y k = x k + x k, k =,,... Kosk x k x k x k, niin 0 y k x k, k =,,... Kosk x k suppenee, niin mjornttiperitteen nojll y k suppenee. Edelleen x k = lim n (y k x k ) = lim joten x k suppenee. Lisäksi kolmioepäyhtälön nojll x k = lim n n x k = lim n x k lim y k lim n x k, n x k = x k. 33

38 Huomutus.3.5. () Edellinen luse nt keinon tutki sellisten srjojen suppenemist, joiden termit vihtvt merkkiään. Ottmll itseisrvot sdn positiiviterminen srj, jonk suppenemist voidn tutki edellä olleiden suppenemistestien vull. Huom kuitenkin, että itseisrvojen muodostmn srjn x k hjntuminen ei kerro mitään srjn x k suppenemisest (hjntumisest). () Yleensä Esimerkiksi jos (x k ) =,, 0, 0,..., niin x k x k. x k = 0, j x k =. Määritelmä.3.6. Olkoon,,..., niin srj x k srj. Jos ϕ: Z + Z + on bijektio j y k = x ϕ(k) kikill k = snotn lkuperäisen srjn uudelleenjärjestelyksi. y k Esimerkki.3.7. Olkoon x k = k = j kuvus ϕ: Z + Z + bijektio ϕ(k) = { k +, k, kun k on priton, kun k on prillinen. Tällöin srj x ϕ(k) = , on hrmonisen srjn uudelleenjärjestely. Luse.3.8. Jos srj x k suppenee itseisesti, niin jokinen uudelleenjärjestely y k suppenee j y k = x k. Todistus. Luseen.3.4 nojll srj x k suppenee. Merkitään S = x k j s n = ε > 0. Silloin on olemss sellinen N, että n x k. Olkoon s n S < ε kikill n N 34

39 j N x k N+p x k = N+p k=n+ x k < ε kikill p Z +. Jälkimmäinen väite sdn Cuchyn kriteeristä (luse B.4.6), sillä srjn x k ossummien jono on Cuchyn jono. Merkitään t n = n x ϕ(k) = n y k. Vlitn M niin, että termit x,..., x N esiintyvät ossummss t M. Jos m M, niin t m s N on äärellinen summ termeistä x k, k > N. Tällöin yllä olevn nojll on olemss sellinen p Z +, että t m s N N+p k=n+ x k < ε. Siten t m S t m s N + s N S < ε + ε = ε, kun m M, joten y k = lim m t m = S. Huomutus.3.9. () Erityisesti suppenevt positiivitermiset srjt voidn järjestellä uudelleen ilmn, että summ muuttuu. () Ellei srj suppene itseisesti, niin uudelleenjärjestely voi vikutt suppenemiseen j summn. Olkoon ( ) k+ S = = k Aikisemmin todistettiin, että S. Järjestelemällä srj uudelleen sdn ( ) ( ) ( ) 0 + = = ( ) 6 + = S. Luse.3.0. Jos srjn jokinen uudelleenjärjestely suppenee, niin srj suppenee itseisesti. Todistus. Tehdään vstoletus: x k hjntuu. Olkoot x +, x +,... srjn x k ei-negtiivisten termien jono (x + i 0) j x, x,... negtiivisten termien jono (x i < 0). Kosk srj x k suppenee ehdollisesti, niin sekä hjntuu eli x + k että x k hjntuvt (hrjoitustehtävä). Siten erityisesti x + k = (x+ k 0). x + k 35

40 Srj x + k hjntuu, mutt se ei ole srjn x k uudelleenjärjestely (termit x k siten vielä nn ristiriit. Korjtn tilnne settmll termit x k väleihin. puuttuvt) eikä riittävän hrvsti termien x+ k Termin x settmiseksi vlitn sellinen luku k Z +, että jolloin x x + k + x. x + + x x + k x + = x +, Seurvksi termin x settmiseksi vlitn sellinen k > k, että x x + k + x + x + k x+ k x +, jolloin x x + k + x + x + k x+ k + x. Jtketn näin sijoittmll x n termin x + k n jälkeen siten, että ossumm termiin x n sti on suurempi ti yhtäsuuri kuin n. Näin sdn hluttu hjntuv srj, jok on lkuperäisen srjn uudelleenjärjestely. Huomutus.3.. Siis itseisesti suppenevt srjt ovt sellisi srjoj, joiden kikki uudelleenjärjestelyt suppenevt. Tämän tki itseisesti suppenevt srjt ovt tärkeitä. Luse.3. (Riemnnin uudelleenjärjestelyluse). Jos srj suppenee ehdollisesti, niin se sdn suppenemn kohti mitä thns luku järjestelemällä sen termit uudelleen. Todistus. Oletetn, että x k suppenee ehdollisesti. Olkoot x +, x +,... srjn ei-negtiivisten termien jono j x, x,... negtiivisten termien jono. Kosk srj täytyy oll voimss x k suppenee ehdollisesti, niin x + k = j x k = (hrjoitustehtävä). Jos molemmt olisivt äärellisiä, niin srj suppenisi itseisesti j jos vin toinen olisi äärellinen, niin srj itse hjntuisi. Lisäksi srjn x k suppenemisest seur, että lim x k k = 0. Siten myös lim k x+ k = 0 j lim k x k = 0. Olkoon S R. Osoitetn, että srjn summksi sdn S järjestelemällä se uudelleen. Olkoon k pienin luku, jolle Olkoon seurvksi k pienin luku, jolle Edelleen olkoon k 3 > k pienin luku, jolle x + + x x + k > S. (x x + k ) + (x + + x k ) < S. (x x + k ) + (x + + x k ) + (x + k x+ k 3 ) > S. 36

41 Näin jtkmll sdn srj, jonk ossummt heilhtelevt luvun S molemmill puolill. Tätä prosessi voidn jtk, sillä x + k = j x k =. Näin stu srj on lkuperäisen uudelleenjärjestely. Kosk lim k x+ k = 0 j lim k x k = 0, niin sdun srjn summ on S. ( ) k+ Esimerkki.3.3. Srj sdn suppenemn kohti mitä thns luku S järjestelemällä k sen termit uudelleen. Olkoon esimerkiksi S = 009. Menetellään kuten luseen.3. todistuksess:. Vlitn pienin luku k, jolle. Seurvksi vlitn pienin luku k, jolle 3. Sitten vlitn pienin luku k 3 > k siten,että k > k 4 k < k 4 + k k k 3 > 009. Jtkmll tähän tpn sdn srjn summ on 009. ( ) k+ k uudelleenjärjestely, jok suppenee j jonk.4 Vuorottelevt srjt Määritelmä.4.. Srj snotn vuorottelevksi, jos se on muoto ( ) k+ x k = x x + x 3 x , missä x k 0 kikill k =,,... Huomutus.4.. Kosk niin riittää trkstell vin toist. ( ) k x k = ( ) k+ x k, 37

42 Seurvksi esitetään j todistetn tärkeä vuorottelevien srjojen suppenemist koskev tulos. Luse.4.3 (Leibnizin luse). Oletetn, että (x k ) on vähenevä jono, x k 0 kikill k =,,... j lim x k = 0. Silloin srj k ( ) k+ x k suppenee. Jos S on ylläolevn srjn summ j s n sen n:s ossumm, niin seurv virhervio pätee: S s n = k=n+ ( ) k+ x k xn+ kikill n =,,... Todistus. Jonon (s n ) peräkkäisille lkioille pätee s (n+) s n = s n+ s n = ( ) n+ x n+ + ( ) n+ x n = x n+ x n 0, sillä jono (x n ) on vähenevä. Siten myös jono (s n ) on vähenevä. Vstvsti jonon (s n ) lkioille on voimss s (n+) s n = s n+ s n = ( ) n+3 x n+ + ( ) n+ x n+ = x n+ x n+ 0, sillä jono (x n ) on vähenevä. Täten jono (s n ) on ksvv. Toislt kikill n =,,... on voimss s n = s n + ( ) n+ x n = s n x n s n, sillä x n 0. Tästä sdn (kikill n Z + ) rviot s s 4 s n s n s n 3 s. Siis s on ksvvn jonon (s n ) ylärj j s on vähenevän jonon (s n ) lrj. Monotonisen suppenemisen luseen nojll jonot (s n ) j (s n ) suppenevt. Merkitään Nyt S = lim s n j S = lim s n. S S = lim s n lim s n = lim (s n s n ) = lim x n = 0, joten S = S. Hrjoituksen 4 tehtävän mukn myös S = lim s n = S. Todistus tälle ei ole pitkä, joten se on esitetty ll. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin on olemss selliset n ε j n ε Z +, että Vlitsemll n ε = mx{n ε, n ε} nähdään, että s n S < ε kikill n n ε, j s n S < ε kikill n n ε. s k S < ε kikill k n ε. 38

43 Todistetn lopuksi virherviot S s n koskev tulos. Yllä esitetyn nojll s n S s n kikill n =,,... Näin ollen S s n = S s n s n+ s n = x n+ j Täten rvio pätee kikill n =,,... S s n = s n S s n s n = x n. S s n s n+ s n = x n+ Huomutus.4.4. Leibnizin luseen tilnteess srj suppenee, jos j vin jos lim x k = 0: Jos k ( ) k+ x k suppenee, niin lim ( ) k+ x k = 0, joten myös lim x k = 0. Toislt ehto lim x k = 0 k k k sisältyy luseen oletuksiin. ( ) k Esimerkki.4.5. Osoitetn, että srj suppenee. k Kirjoitetn Tässä jono ( k) on vähenevä j lim k k ( ) k ( ) k+ =. k k = 0, joten srj suppenee Leibnizin luseen nojll. Virhervio: Kuink mont termiä ossummn s k on otettv, jott summn S pproksimoinniss tehty virhe on pienempi kuin ε > 0? Jos ossummn otetn k termiä, niin S s k x k+. Edelleen x k+ = k + < ε k > ε. Jos esimerkiksi ε = 0,00, niin k > 999, j 000 termiä riittää vrmsti (vähempikin stt riittää, mutt sitä tästä ei näe). Esimerkki.4.6. Leibnizin luseen nojll srj suppenee in, kun s > 0, sillä tällöin ( ) k+ x k = k s > 0, x k = k s (k + ) s = x k+ j lim k x k = 0. k s Esimerkki.4.7. Osoitetn, että srj ( ) k k + k hjntuu. Osoitetn, että lim ( ) k k + ei ole olemss, jolloin srj hjntuu lemmn..4 nojll. Jonoll k k on suppenevt osjonot x k = ( ) k k +, k =,,... k x l = l l +, kun l 39

44 j x l = l l +, kun l. Kosk nämä osjonot suppenevt kohti eri lukuj, jono (x k ) hjntuu. Huom, että esimerkin srj on vuorottelev j sen termien itseisrvojen muodostm jono on vähenevä. Yhteenveto srjojen suppenemistrkstelust Tutkittess srjn suppenemist knntt noudtt seurv strtegi: x k () Onko Ellei, niin srj hjntuu. lim x k = 0? k () Onko x k 0 kikill k =,,... (ti jostin indeksin rvost lähtien)? Jos on, niin mjornttij minornttiperite vertilusrjoin geometrinen srj ti k p. Mhdollisesti suhdetesti, juuritesti ti vertiluperite. (3) Jos termit vihtvt merkkiään, niin suppeneeko srj itseisesti? (4) Onko srj vuorottelev j voidnko Leibnizin lusett sovelt? (5) Miten srjn positiivisten j negtiivisten termien muodostmt srjt käyttäytyvät? Onko toinen suppenev j toinen hjntuv? (6) Muut menetelmät j kikkkolmoset. 40

45 Luku 3 Riemnnin integrli Määritelmä Olkoot, b R j < b. Välin [, b] joksi kutsutn äärellistä joukko D = {x 0, x,..., x n }, missä = x 0 < x < x <... < x n = b. Pistettä x k snotn jkopisteeksi j väliä I k = [x k, x k ], k =,,..., n, snotn jkoväliksi. Lisäksi luku l(i k ) = x k x k, snotn jkovälin I k pituudeksi. Edelleen jko D snotn jon D tihennykseksi, jos D D. Huomutus () D 0 = {, b} D jokisell välin [, b] joll D. () Jos D j D ovt välin [, b] jkoj, niin D D D j D D D. Määritelmä Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio j D = {x 0, x,..., x n } välin [, b] jko. Funktion f yläsummksi jon D suhteen snotn summ S D = S D (f) = n l([x k, x k ]) sup x [x k,x k ] f(x) j lsummksi summ s D = s D (f) = n l([x k, x k ]) inf f(x). x [x k,x k ] Huomutus () Täydellisyysksioomn nojll ylläolevt supremum j infimum ovt olemss, sillä f on rjoitettu. () Al- j yläsummille pätee järjestys s D S D, sillä inf f(x) sup f(x). x [x k,x k ] x [x k,x k ] Esimerkki f : [0, ] R, f(x) = x. Olkoon D välin [0, ] tsvälinen jko jkopisteinä x k = k, k = 0,,..., n. Silloin n inf f(x) = min x = x [x k,x k ] x [ k n, k n ] 4 (k ) n

46 j Tästä seur, että sup f(x) = x [x k,x k ] mx x = k, k n ] n. x [ k n S D = n (x k x k ) sup f(x) = x [x k,x k ] = n k = n 3 Siten S D, kun n. Vstvsti 3 s D = n n(n + )(n + ) 6n 3 = 6 (x k x k ) inf x [x k,x k ] f(x) = = n k = n 3 n k n n ( + n (n )n(n ) 6n 3 = 6 j täten s D, kun n. Tässä on käytetty summkv 3 ) ( + ). n n (k ) n n ( n n k = 6 n(n + )(n + ), n Z +, jok voidn todist induktioll. Lemm Jos D D, niin S D S D j s D s D. ) ( n ) Todistus. Oletetn luksi, että D = D {x } j missä x k j x k ovt jon D pisteitä. Nyt joten sup f(x) x [x k,x ] l([x k, x ]) x k < x < x k, sup f(x) j sup f(x) x [x k,x k ] x [x,x k ] sup x [x k,x ] l([x k, x ]) f(x) + l([x, x k ]) sup x [x k,x k ] sup x [x,x k ] f(x) f(x) + l([x, x k ]) = (x x k + x k x ) sup f(x) x [x k,x k ] = l([x k, x k ]) sup f(x). x [x k,x k ] sup f(x), x [x k,x k ] sup x [x k,x k ] Tästä seur, että S D S D. Yleinen tpus sdn induktioll. Alsummi koskev väite s D s D todistetn smll tvll. Lemm Jos D j D ovt välin [, b] jkoj, niin s D S D. f(x) 4

47 Todistus. Olkoon D = D D (jkopisteet suuruusjärjestyksessä). Tällöin D D j D D. Lemmn j huomutuksen 3.0.() nojll sdn s D s D S D S D. Olkoon D välin [, b] jko j D 0 = {, b}. Lemmn nojll j Siten yläsummien joukko on lhlt rjoitettu j lsummien joukko S D s D0 = (b ) inf x [,b] f(x) s D S D0 = (b ) sup f(x). x [,b] {S D D välin [, b] jko} {s D D välin [, b] jko} on ylhäältä rjoitettu. Täydellisyysksioomn nojll I = inf S D R j I = sup s D R D ovt olemss, missä infimum j supremum on lskettu välin [, b] kikkien jkojen yli. Määritelmä Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio sekä S D j s D jko D vstv ylä- j lsummt. Yllä esiteltyä luku I = inf D S D snotn funktion f yläintegrliksi j luku I = sup D s D funktion f lintegrliksi. Lemm Jokiselle välin [, b] jolle D pätee s D I I S D. D Todistus. Olkoot D j D välin [, b] jkoj. Lemmn nojll s D S D. Ottmll oikell puolell infimum jkojen D yli (j pitämällä jko D kiinnitettynä) sdn s D inf D S D = I. Vstvsti ottmll vsemmll puolell supremum jkojen D yli sdn I = sup s D I. D Määritelmä Rjoitettu funktiot f : [, b] R snotn Riemnn-integroituvksi, jos I = I. Tällöin luku f(x) dx = I = I snotn funktion f Riemnnin integrliksi välin [, b] yli. 43

48 Esimerkki Olkoon f(x) = c kikill x [, b]. Olkoon lisäksi D = {x 0, x,..., x n } välin [, b] jko. Nyt S D = = n (x k x k ) sup f(x) x [x k,x k ] n c(x k x k ) = c(x n x 0 ) = c(b ) j vstvsti s D = n (x k x k ) inf f(x) = c(b ). x [x k,x k ] Nyt siis Tällöin f on Riemnn-integroituv j I = c(b ) j I = c(b ). f(x) dx = c(b ). Esimerkki Osoitetn, että funktio f : [, ] R, {, kun x 0, f(x) =, kun 0 < x. on Riemnn-integroituv välillä [, ] j lsketn Olkoon 0 < ε <. Jolle D = {, 0, ε, } on j Täten kikill 0 < ε < on voimss rvio f(x) dx. S D = (0 ( )) + ε + ( )( ε) = + 3ε s D = (0 ( )) + ( )ε + ( )( ε) =. s D I I S D = + 3ε, joten I = I =. Siis f on Riemnn-integroituv j f(x) dx =. Huom: Epäjtkuv funktio voi siis oll Riemnn-integroituv. Esimerkki Osoitetn, että funktio f : [0, ] R, {, x Q [0, ], f(x) = 0, x (R \ Q) [0, ]. ei ole Riemnn-integroituv. 44

49 Olkoon D välin [0, ] jko. Jos 0 x k < x k, niin sup f(x) = j inf f(x) = 0. x [x k,x k ] x [x k,x k ] Edelleen j S D = n (x k x k ) = x n x 0 = 0 = n s D = 0(x k x k ) = 0, joten I = j I = 0. Siten f ei ole Riemnn-integroituv. (Funktio f on kuitenkin Lebesgueintegroituv, Anlyysi III.) Esimerkki Funktio f : [0, ] R, f(x) = { x, x =, n =,,..., n 0, muulloin, on Riemnn-integroituv j epäjtkuv joukoss {,,,... } (hrjoitustehtävä). Riemnn-integroituv 3 funktio voi siis oll epäjtkuv äärettömän moness pisteessä. Esimerkki (jtko esimerkkiin 3.0.) Jtketn funktion f : [0, ] R, f(x) = x trkstelu. Olkoon D välin [0, ] tsvälinen jko jkopisteinä x k = k, k = 0,,..., n. Silloin n I S D = n(n + )(n + ) 6n 3 3, kun n j I s D = (n )n(n ) 6n 3 3, kun n. Lemmn nojll I I, joten yllä olevn nojll I = I = 3. Siis f on Riemnn-integroituv j 0 x dx = 3. Luse (Riemnnin ehto). Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen välin [, b] jko D, että S D s D < ε. Todistus. : Oletetn, että f on Riemnn-integroituv. Olkoon ε > 0 j I = f(x) dx. Kosk I = I = inf D S D, niin luseen A.0.36 nojll on olemss sellinen D, että S D < I + ε = I + ε. 45

50 Edelleen I = I = sup s D, joten luseen A.0.35 nojll on olemss sellinen D, että D s D > I ε = I ε. Olkoon D = D D. Lemmn nojll S D S D j s D s D, joten S D s D S D s D < I + ε I + ε = ε. : Olkoon ε > 0. Tällöin on olemss sellinen jko D, että Lemmn nojll s D I I S D, joten Tällöin I I = 0 eli I = I. S D s D < ε. 0 I I S D s D < ε kikill ε > 0. Huomutus Riemnnin ehto on hyödyllinen, kosk ylä- j lintegrlej ei trvitse ost lske. Hyvät rviot ylä- j lsummille riittävät. Määritelmä Funktiot f : [, b] R snotn (i) ksvvksi, jos kikill x, y [, b] ehdost x y seur f(x) f(y), (ii) väheneväksi, jos kikill x, y [, b] ehdost x y seur f(x) f(y), (iii) monotoniseksi, jos se on ksvv ti vähenevä. Esimerkki Funktio f : [0, ] R, f(x) = { k kun < x, k =,,..., k+ k 0, kun x = 0, on monotoninen j epäjtkuv joukoss {,,... }. Monotoninen funktio ei siis välttämättä ole jtkuv. 3 Luse Monotoninen funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv. Todistus. Oletetn, että funktio f on ksvv. Silloin f() f(x) f(b) kikill x [, b], joten f on rjoitettu. Olkoon ε > 0 j D = {x 0, x,..., x n } välin [, b] tsvälinen jko, jolloin Kosk f on ksvv, niin j x k x k = b n. sup f(x) = mx f(x) = f(x k) x [x k,x k ] x [x k,x k ] inf f(x) = min f(x) = f(x k ). x [x k,x k ] x [x k,x k ] 46

51 Tällöin Siten S D s D = n (x k x k )(f(x k ) f(x k )) = b n n (f(x k ) f(x k )) = b (f(b) f()). n S D s D < ε, kun (b )(f(b) f()) n >. ε Riemnnin ehdon nojll f on integroituv. Jos funktio f on vähenevä, väite todistetn smn tpn. Vähenevän tpuksen voi käsitellä myös käyttämällä lusett 3..(i) funktioon f = ( )f, jok on ksvv. Luse Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv. Todistus. Luseen.3. nojll f on rjoitettu. Olkoon ε > 0. Luseen.4.5 nojll f on tsisesti jtkuv välillä [, b], joten on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(y) < ε b kikill x, y [, b], x y < δ. Olkoon D välin [, b] jko, jolle x k x k < δ kikill k =,,..., n. Weierstrssin luseen (luse.3.4) nojll funktio f svutt suurimmn j pienimmän rvons, joten on olemss selliset y k, z k [x k, x k ], että j Nyt sillä Nyt f(y k ) = f(z k ) = sup f(x) x [x k,x k ] mx f(x) = sup f(x) x [x k,x k ] x [x k,x k ] min f(x) = inf f(x). x [x k,x k ] x [x k,x k ] inf f(x) = f(y k) f(z k ) < x [x k,x k ] y k z k x k x k < δ. ε b, n ( ) S D s D = (x k x k ) sup f(x) inf f(x) x [x k,x k ] x [x k,x k ] < ε n (x k x k ) = ε (b ) = ε. b b Väite seur nyt Riemnnin ehdost (luse 3.0.3). 47

52 3. Integrlin perusominisuuksi Luse 3... Olkoot f, g : [, b] R Riemnn-integroituvi funktioit. Tällöin (i) jos α R, niin αf on Riemnn-integroituv j (ii) f + g on Riemnn-integroituv αf(x) dx = α (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx, f(x) dx + g(x) dx, (iii) jos < c < b, niin f on Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b], sekä f(x) dx = (iv) jos f(x) g(x) kikill x [, b], niin c f(x) dx + c f(x) dx g(x) dx, f(x) dx, (v) f on Riemnn-integroituv j f(x) dx f(x) dx. Todistus. (i) Trkstelln funktiot αf : [, b] R, (αf)(x) = α f(x), missä α 0 (tpus α = 0 on selvä). Olkoon D välin [, b] mielivltinen jko. Silloin Vstvsti s D (αf) = αs D (f). S D (αf) = = = = α n n n (x k x k ) sup (αf)(x) x [x k,x k ] (x k x k ) sup αf(x) x [x k,x k ] (x k x k )α sup x [x k,x k ] f(x) n (x k x k ) sup f(x) x [x k,x k ] = αs D (f). Olkoon ε > 0 mielivltinen. Kosk f on integroituv, niin Riemnnin ehdon (luse 3.0.3) nojll löytyy sellinen välin [, b] jko D, että S D (f) s D (f) < ε α. 48

53 Nyt S D (αf) s D (αf) = αs D (f) αs D (f) = α(s D (f) s D (f)) < α ε α = ε. Riemnnin ehdon nojll αf on integroituv. Edelleen kikill ε > 0 pätee Täten Toislt Siten α joten yhtäsuuruus pätee. ( αf(x) dx S D (αf) = αs D (f) α s D (f) + ε ) α α f(x) dx + ε. αf(x) dx α f(x) dx. ( f(x) dx αs D (f) α s D (f) + ε ) = s D (αf) + ε α α αf(x) dx + ε. f(x) dx αf(x) dx, (ii) Väitteen todistmisess trvitn seurvi putuloksi: Olkoon A [, b], A. Tällöin sup x A inf x A (f(x) + g(x)) sup x A (f(x) + g(x)) inf x A f(x) + sup g(x) x A f(x) + inf g(x). x A Näistä ylemmän epäyhtälön todistus oli hrjoituksen tehtävässä 5 j lempi todistetn vstvsti. Olkoon D välin [, b] jko, jolloin S D (f + g) = n (x k x k ) sup (f + g)(x) x [x k,x k ] ( n (x k x k ) = (x k x k ) + n sup x [x k,x k ] f(x) + n sup f(x) x [x k,x k ] (x k x k ) sup g(x) x [x k,x k ] = S D (f) + S D (g). ) sup g(x) x [x k,x k ] Vstvsti sdn s D (f + g) s D (f) + s D (g). 49

54 Olkoon ε > 0. Kosk f j g ovt integroituvi, niin Riemnnin ehdon (luse 3.0.3) nojll on olemss selliset jot D j D, että S D (f) s D (f) < ε j S D (g) s D (g) < ε. Olkoon D = D D. Silloin lemmn nojll S D (f + g) s D (f + g) S D (f) + S D (g) s D (f) s D (g) S D (f) s D (f) + S D (g) s D (g) < ε + ε = ε, joten Riemnnin ehdon nojll funktio f + g on integroituv. Lisäksi lemmn nojll (f(x) + g(x)) dx S D (f + g) S D (f) + S D (g) j S D (f) + S D (g) s D (f) + ε + s D (g) + ε f(x) dx + g(x) dx + ε (f(x) + g(x)) dx s D (f + g) s D (f) + s D (g) s D (f) + s D (g) S D (f) ε + S D (g) ε Tästä seur, että f(x) dx + (f(x) + g(x)) dx = g(x) dx ε. f(x) dx + g(x) dx. Loput kohdt todistuksest jätetään hrjoitustehtäviksi. Määritelmä 3... (täydennys integrlin määritelmään) Jos f : [, b] R, < b, on Riemnnintegroituv, niin setetn j b c c f(x) dx = f(x) dx f(x) dx = 0, c b. Huomutus Seurvt kksi si ovt mukn lähinnä sist kiinnostuneille ylimääräiseksi luettvksi. Riemnnin lkuperäinen määritelmä poikke hiemn esittämästämme määritelmästä 3.0.7: Olkoon f : [, b] R rjoitettu j D = {x 0, x,..., x n } välin [, b] jko. Merkitään I k = [x k, x k ] j D = mx{l(i k ) = x k x k k =,,..., n} 50

55 Luku D on siis suurimmn jkovälin pituus. Vlitn mielivltisesti λ k I k j merkitään S D (f, λ) = S D (f, λ, λ,..., λ n ) = n l(i k )f(λ k ) j kutsutn tätä funktioon f, jkoon D j vektoriin λ = (λ, λ,..., λ n ) liittyväksi Riemnnin summksi. Silloin s D S D (f, λ) S D. Määritellään uudentyyppinen rj-rvo, kun jko tihennetään: Luku I R on funktion f Riemnnin summien rj-rvo I = lim D 0 S D(f, λ), jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että S D (f, λ) I < ε kikill joill D, joill D < δ vlittiinp pisteet λ k miten hyvänsä. Voidn todist, että f on Riemnn-integroituv jos j vin jos rj-rvo lim S D(f, λ) D 0 on olemss. Tällöin f(x) dx = lim D 0 S D(f, λ). Tässä siis integrli määritellään summien rj-rvon eikä määritelmässä trvit supremumi ti infimumi, mutt vikeudet lkistn mton lle. Toisen minittkoon, että Riemnn-integroituvt funktiot voidn krkterisoid ns. Lebesguen ehdon vull: Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin jos sen epäjtkuvuuspisteiden joukko on nollmitllinen. Tätä ei todistet tällä kurssill. Joukon A R nollmitllisuus trkoitt sitä, että jokist ε > 0 kohti on olemss selliset voimet välit ] n, b n [, n =,,..., että A n= ] n, b n [ j (b n n ) < ε. n= Nollmitllinen joukko voidn siis peittää yhteispituudeltn mielivltisen lyhyillä voimill väleillä. Esimerkiksi Q on nollmitllinen. Tämä hvitn trkstelemll jono, jok sisältää kikki rtionliluvut täsmälleen kerrn. Aikisemmin osoitettiin, että tällinen jono, eli bijektio Z + Q, on olemss. Merkitään tätä jono (q n ), jolloin Esimerkiksi jono Q = {q n }. n= 0,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5,... 5

56 käy. Olkoon ε > 0. Nyt j n= ( q n + Q n= ε ( q n+ n ] q n ε, q n+ n + ε [ n+ ε )) = ε n+ n= = ε < ε. n+ n+ n= Huom, että vikk rtionlipisteet ovtkin tiheässä, ne voidn peittää väleillä, joiden yhteenlskettu pituus on mielivltisen pieni. 3. Anlyysin perusluse Perehdytään seurvksi Riemnnin integrlin j derivtn yhteyteen. Määritelmä 3... Avoimell välillä määriteltyä funktiot f : ], b[ R snotn derivoituvksi pisteessä x 0 ], b[, jos rj-rvo f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h = f (x 0 ) on olemss. Jos f on derivoituv jokisess pisteessä x ], b[, niin funktiot f snotn derivoituvksi välillä ], b[. Tällöin derivtt määrittelee derivttfunktion f : ], b[ R. Jos f on jtkuv välillä ], b[, niin funktiot f snotn jtkuvsti derivoituvksi välillä ], b[. Huomutus 3... () Derivtn määritelmässä on sisältää funktion rj-rvo (määritelmä..). Sitä ei voi lske sijottmll h = 0, sillä silloin joudutn 0 0 -tilnteeseen. () Derivtn määritelmä voidn myös kirjoitt muodoss: f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. (3) Jos f on derivoituv pisteessä x 0, niin f on jtkuv pisteessä x 0 : Siis ( lim f(x) f(x0 ) ) f(x) f(x 0 ) = lim (x x 0 ) x x 0 x x0 x x 0 f(x) f(x 0 ) = lim lim (x x 0 ) = f (x 0 ) 0 = 0. x x0 x x 0 x x0 lim f(x) = f(x 0 ), x x 0 joten huomutuksen.3.6 mukn f on jtkuv pisteessä x 0. (4) Vikk f olisikin derivoituv jokisess pisteessä x R, niin derivttfunktion f ei trvitse oll jtkuv. 5

57 Esimerkki Trkstelln funktiot f : R R, { x sin, kun x 0, x f(x) = 0, kun x = 0. Jos x 0, niin f (x) = x sin x + x ( x 3 ) cos x = x sin x x cos x. Olkoon sitten x = 0. Todistetn, että f (0) = 0. Olkoon ε > 0. Tällöin f(h) f(0) h 0 = f(h) f(0) h = h sin h h < ε, kun 0 < h < ε. Voidn siis vlit δ = ε funktion rj-rvon määritelmässä.., joten f (0) = 0. Siten derivttfunktio on f : R R, { f x sin x (x) = cos, kun x 0, x x 0, kun x = 0. Rj-rvo lim x 0 f (x) ei kuitenkn ole olemss, joten f ei ole jtkuv pisteessä 0. Lisäksi f ei ole rjoitettu pisteen 0 ympäristössä, joten f ei ole Riemnn-integroituv välillä [, ]. Luse 3..4 (nlyysin perusluse, os I). Oletetn, että funktio f : [, b] R on Riemnnintegroituv j setetn Tällöin seurvt ominisuudet pätevät. F : [, b] R, F (x) = x f(t) dt. (i) Funktio F on tsisesti jtkuv välillä [, b], erityisesti F on jtkuv. (ii) Jos f on jtkuv pisteessä x ], b[, niin F on derivoituv pisteessä x j F (x) = f(x). Todistus. (i) Olkoot x, y [, b], ε > 0 j M = sup u [,b] f(u). Oletetn ensin, että x < y. Luseen 3.. kohtien (iii) j (v) vull sdn x y y F (x) F (y) = f(t) dt f(t) dt = f(t) dt kun x y < kun x y < y x f(t) dt M(y x) = M y x < ε, ε. Tpuksess x > y sdn vstvsti M + ε M +. Vlitsemll δ = F (x) F (y) M y x < ε, ε M + sdn F (x) F (y) < ε kikill x y < δ. Täten F on tsisesti jtkuv välillä [, b] (määritelmä.4.) j myös jtkuv välillä [, b] (huomutus.4.3 ()). 53 x

58 (ii) Jos F on derivoituv pisteessä x, niin F (x) = lim h 0 x+h f(t) dt x f(t) dt h = lim h 0 h x+h x f(t) dt. Osoitetn, että lim h 0 h h x+h x x+h x f(t) dt = f(x). Nyt f(t) dt f(x) = h h x+h x x+h x (f(t) f(x)) dt f(x) f(t) dt. Kosk f on jtkuv pisteessä x, niin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε, kun x t < δ. Jos 0 < h < δ, niin myös 0 x t h < δ j siten h x+h x f(x) f(t) dt h ε h < ε. Siten F (x) = lim h 0 h x+h x f(t) dt = f(x). Huomutus () Muist, että funktion f : [, b] R integrlifuktio on sellinen jtkuv F : [, b] R, että F (x) = f(x) kikill x ], b[. Väite (ii) edellisessä luseess trkoitt, että jos f on jtkuv koko välillä [, b], niin F (x) = x f(t) dt on funktion f yksi integrlifunktio. Luse nt siis keinon määrittää nnetun funktion integrlifunktio. () Vikk luse 3..4 nt funktion F olemssolon, niin in tätä ei pysty esittämään helposti. Esimerkiksi, jos f : [, ] R, f(x) = e x, niin luseen 3..4 mukn on olemss sellinen funktio F : [, ] R, että F (x) = f(x) kikill x [, ]. Kuitenkn tämä funktio F (x) = ei ole esitettävissä lkeisfunktioiden vull. x e t dt (3) Luseen 3..4 jälkimmäisessä väitteessä integrli lk funktion f määrittelyvälin lkupisteestä, mutt tämä ei ole välttämätöntä: Jos c ], b[, c < x < b j luseen 3..4 muut oletukset ovt voimss, niin x f(t) dt = c f(t) dt + x c f(t) dt (tpus x < c < b todistetn vstvsti). Tässä c f(t) dt on vkio muuttujn x suhteen, joten d dx x c f(t) dt = 0 + d dx x f(t) dt = F (x) = f(x). 54

59 Esimerkki Trkstelln ns. Hevisiden funktiot f : [, ] R, missä { 0, kun x < 0, f(x) =, kun 0 x. Tällöin f on Riemnn-integroituv välillä [, ] j { x 0, kun x < 0, F (x) = f(t) dt = x, kun 0 x. Nyt F (x) = f(x), kun x 0, mutt F ei ole derivoituv pisteessä 0. Funktioll f ei ole integrlifunktiot. Luse 3..7 (nlyysin perusluse, os II). Jos F : [, b] R on sellinen derivoituv funktio, että F (x) = f(x) kikill x ], b[ j f on Riemnn-integroituv välillä [, b] (välin päätepisteissä f voidn määritellä miten hlutn), niin f(x) dx = F (b) F (). Todistus. Olkoon ε > 0. Riemnnin ehdon nojll on olemss sellinen välin [, b] jko D = {x 0, x,..., x n }, että S D (f) s D (f) < ε. Välirvoluseen nojll on olemss sellinen λ k ]x k, x k [, että Nyt Tästä seur, että Toislt Nyt j toislt Siten F (x k ) F (x k ) = F (λ k )(x k x k ) F (b) F () = = f(λ k )(x k x k ), k =,,..., n. = n (F (x k ) F (x k )) n f(λ k )(x k x k ). s D (f) F (b) F () S D (f). s D (f) f(x) dx S D (f). f(x) dx S D (f) < s D (f) + ε F (b) F () + ε f(x) dx s D (f) > S D (f) ε F (b) F () ε. Kosk tämä pätee kikill ε > 0, sdn väite. f(x) dx (F (b) F ()) < ε. 55

60 Huomutus Luse 3..7 nt keinon lske tiettyjen funktioiden integrlej. Luse 3..7 esitetään usein seurvss muodoss: jos f : [, b] R on jtkuvsti derivoituv, niin f(x) = f() + Välin päätepisteissä derivtn rvoksi tulevt toispuoleiset derivtt. x Esimerkki Esimerkkejä luseen 3..7 käytöstä. f (t) dt. (3.) Oike käyttö: / x dx = x = + =. Lusett 3..7 voidn käyttää, kosk f : [, ] R, f(x) = on (suljetull välillä) jtkuv. x Väärä käyttö: / x dx = x = =. Vstus on järjetön, sillä > 0, mutt integrli on negtiivinen. Nyt Lusett 3..7 ei void x käyttää, kosk f : [, ] R, f(x) = ei ole integroituv. x Esimerkki () Yhtälöä (3.) ei voi käyttää epäjtkuville funktioille. Olkoon esimerkiksi { 0, kun x < 0, f : [0, ] R, f(x) =, kun x 0. Nyt f (x) = 0, kun x 0. Derivtt f (0) ei kuitenkn ole olemss, eikä siten integrlej x f (t) dt, kun x 0. Toislt, jos f (0) määritellään miten thns, niin x f (t) dt = 0 kikill x [, ]. Erityisesti eikä yhtälö (3.) ole voimss. f( ) + f (t) dt = 0 = f(), () Yhtälö (3.) ei välttämättä ole voimss vikk f olisi derivoituv jokisess pisteessä: { x f : R sin, kun x 0, x R, f(x) = 0, kun x = 0. Tämä esimerkki oli ikisemmin esillä. Nyt f on derivoituv, mutt derivtt f ei ole rjoitettu pisteen 0 ympäristössä eikä f ole Riemnn-integroituv. Tässä tpuksess derivtt f ei ole jtkuv pisteessä x = 0. Todistetn tämän luvun lopuksi vielä osittisintegrointikv. Sitä vrten trvitn seurv lemm. Lemm 3... Olkoot f, g : [, b] R Riemnn-integroituvi funktioit. Tällöin funktiot f j fg ovt Riemnn-integroituvi. Todistus. Osoitetn ensin, että f on Riemnn-integroituv. Kosk f on integroituv, se on rjoitettu j on olemss sellinen M > 0, että f(x) M kikill x [, b]. Olkoon ε > 0, jolloin Riemnnin ehdon nojll on olemss sellinen välin [, b] jko D = {x 0,..., x n }, että S D (f) s D (f) < 56 ε M.

61 Jos x, y [x k, x k ], niin f (x) f (y) f (x) f (y) = f(x) f(y) f(x) + f(y) f(x) f(y) M M ( = M sup x [x k,x k ] f(x) Käytetään tässä esiintyvälle sulkulusekkeelle merkintää c k, jolloin Täten sup f(x) f(y) x, y [x k,x k ] ) inf f(y). y [x k,x k ] f (x) Mc k + f (y) kikill x, y [x k, x k ] = sup f (x) Mc k + f (y) kikill y [x k, x k ] x [x k,x k ] = sup f (x) Mc k + inf f (y). x [x k,x k ] y [x k,x k ] sup f (x) inf f (y) Mc k j sdn x [x k,x k ] y [x k,x k ] S D (f ) s D (f ) = n ( ) l([x k, x k ]) sup f (x) inf f (y) x [x k,x k ] y [x k,x k ] n n l([x k, x k ])Mc k = M l([x k, x k ])c k n ( ) = M l([x k, x k ]) sup f(x) inf f(y) x [x k,x k ] y [x k,x k ] = M ( S D (f) s D (f) ) M ε M = ε. Riemnnin ehdon mukn funktio f on integroituv välillä [, b]. Funktiot f g koskev väite seur siitä, että ( f(x)g(x) = 4 (f(x) + g(x)) (f(x) g(x)) ) kikill x [, b]. Käyttämällä funktioiden (f + g) j (f g) integroituvuutt sekä luseen 3.. kohti (ii) j (i) sdn jälkimmäinen väite. Luse 3.. (osittisintegrointikv). Oletetn, että u, v : [, b] R ovt jtkuvi j välillä ], b[ derivoituvi funktioit j että u j v ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b] (välin päätepisteissä u j v voidn määritellä miten hlutn). Silloin u(x)v (x) dx = u(b)v(b) u()v() u (x)v(x) dx. Todistus. Määritellään f : [, b] R, f(x) = u(x)v(x). Tällöin f (x) = u(x)v (x) + u (x)v(x) kikill x ], b[. Lemmn 3.. nojll f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Luseiden 3..7 j 3.. (ii) nojll f(b) f() = mistä väite seur. f (x) dx = u(x)v (x) dx + u (x)v(x) dx, 57

62 Luku 4 Epäoleelliset integrlit Luvuss 5 määritelty Riemnnin integrli toimii vin rjoitetuille funktioille, jotk on määritelty suljetull j rjoitetull välillä. Esimerkki Olkoon f : ]0, ] R, f(x) = x. Nyt f ei ole rjoitettu, eikä määrittelyväli ole suljettu. Olkoon 0 < c <. Kosk f on integroituv välillä [c, ], niin voidn tutki rj-rvo lim c 0+ c x dx = lim c 0+ / c x = lim c 0+ ( c) =. Huom, että kuvjn rjoittm pint-l on luonnollist tulkit Riemnn-integrlien rjn. Olkoon f : [, [ R, f(x) = x. Nyt f on rjoitettu, mutt määrittelyväli ei ole rjoitettu. Olkoon c >. Kosk f on integroituv välillä [, c], niin voidn tutki rj-rvo lim c c x dx = lim c / c x = lim c ( c ) =. Määritelmä Olkoot R { }, b R, < b. Jos funktio f : ], b] R on integroituv välin ], b] jokisell suljetull j rjoitetull osvälillä j jos rj-rvo lim c + c f(x) dx on olemss, niin snotn, että epäoleellinen integrli f(x) dx = lim c + c f(x) dx suppenee j määritellään f(x) dx. Jos rj-rvo ei ole olemss, niin snotn, että epäoleellinen integrli f(x) dx hjntuu. Jos =, niin merkinällä c + trkoitetn, että c. Tällöin merkitään f(x) dx = lim c c f(x) dx. Jos R, b R { }, < b, niin epäoleellinen integrli f(x) dx määritellään smn tpn. Esimerkki () Suorn sdn 0 e x dx = lim c c 0 e x dx = lim c / c 0 e x dx = lim c ( e c ) =. 58

63 () Luseen 3.. nojll c xe x dx = lim xe x dx = lim ( ce + e c + c c c = lim ( ce + e + e e ) = c c c e. ) e x dx Luse Integrli suppenee, jos j vin jos s <. 0 x s dx Todistus. Olkoon 0 < c <. Jos s, niin c x s dx = s / c x s = s ( c s ). Jos s <, niin s ( c s ), kun c 0+, s j integrli suppenee. Jos s >, niin j integrli hjntuu. Jos s =, niin c s ( c s ), kun c 0+, x dx = joten integrli hjntuu. Siis 0 Luse Integrli suppenee, jos j vin jos s >. / c ln x = ln c, kun c 0+, dx suppenee, jos j vin jos s <. x s x s dx Todistus. Olkoon c >. Jos s, niin c x dx = s s / c x s = s (c s ). Jos s <, niin s (c s ), kun c, j integrli hjntuu. Toislt, jos s >, niin j integrli suppenee. Jos s =, niin c s (c s ), kun c, s x s dx = joten integrli hjntuu. Siis / c ln x = ln c, kun c, dx suppenee, jos j vin jos s >. x s 59

64 Määritelmä Olkoon R { } j b R { }, < b, sekä d ], b[ kiinteä. Olkoon f : ], b[ R integroituv välin ], b[ jokisell suljetull j rjoitetull osvälillä. Jos molemmt epäoleelliset integrlit d f(x) dx suppenevt, niin snotn, että epäoleellinen integrli f(x) dx = d j d f(x) dx + f(x) dx f(x) dx suppenee j sen rvoksi setetn d f(x) dx. Huom, että pisteen d vlint ei vikut suppenemiseen eikä integrlin rvoon. Näin on, sillä jos jkopisteinä käytetään lukuj d j d, missä d < d, niin d f(x) dx = d f(x) dx + d d f(x) dx. Tässä jälkimmäinen integrli on tvllinen Riemnnin integrli eikä se vikut suppenemiseen. Määritelmässä esiintyvän jälkimmäisen integrlin tpuksess käy vstvsti. Esimerkki () Millä rvoill s R integrli dx suppenee? 0 xs Rtkisu: Epäoleellisuus on sekä l- että ylärjll. Kirjoitetn Luseen nojll 0 x 0 x s dx = suppenee, jos j vin jos s >. Siten integrli () Trkstelln integrli 0 x s dx + x s dx. s dx suppenee, jos j vin jos s < j luseen nojll x dx. 0 dx hjntuu kikill s R. xs Epäoleellisuus on sekä l- että ylärjll. Olkoon < b < 0 < c <. Tällöin c kun c, j vstvsti 0 kun b +. Siten b (3) Trkstelln integrli Kosk rj-rvo 0 / c dx = rcsin x = rcsin c rcsin = π x, 0 / 0 dx = rcsin x = rcsin b rcsin( ) = π x, 0 dx = x 0 b sin x dx. Nyt c 0 c lim c 0 ei ole olemss, niin integrli dx + x / c sin x dx = cos x = cos c. 0 0 x dx = π + π = π. sin x dx = lim ( cos c) = lim cos c c c 0 sin x dx hjntuu. 60 x s dx

65 (4) Trkstelln integrli e x dx. Esimerkin nojll integrli joten 0 hjntuu. 0 e x dx hjntuu. Siten Huomutus Yleisesti Esimerkiksi 0 e x dx = lim c e x dx suppenee. Toislt 0 c = lim c (e c ) =, e x dx = sin x dx = hjntuu (ks. ylläolev esimerkki), mutt c lim c c 0 / 0 e x dx = lim e x c c e x dx + c f(x) dx lim f(x) dx. c c 0 sin x dx = lim c sin x dx + / c c 0 0 e x dx. sin x dx ( cos x) = 0. Luse 4.0. (mjorntti- j minornttiperite). Olkoon R, b R { }, < b j olkoot funktiot f, g : [, b[ R integroituvi jokisell välin [, b[ suljetull j rjoitetull osvälillä. Oletetn, että 0 f(x) g(x) kikill x [, b[. (i) Jos mjorntti (ii) Jos minorntti g(x) dx suppenee, niin f(x) dx hjntuu, niin f(x) dx suppenee. g(x) dx hjntuu. Huomutus Muunlisille epäoleellisille integrleille mjorntti- j minornttiperite muotoilln j todistetn smn tpn. Todistus. (i) Määritellään kuvus F : [, b[ R settmll F (c) = c f(x) dx kikill c [, b[. Kosk f(x) 0 kikill x [, b[, niin F on ksvv muuttujn c funktio (hrjoitustehtävä). Silloin f(x) dx suppenee on olemss lim c b F (c) = f(x) dx R F on ylhäältä rjoitettu (vert luseeseen B..3). 6

66 Nyt 0 f(x) g(x) kikill x [, b[ j integrli sellinen M R, että g(x) dx suppenee. On siis olemss c f(x) dx c g(x) dx M kikill c [, b[, joten f(x) dx on rjoitettu j ylläolevn nojll se suppenee. (ii) Jos integrli g(x) dx suppenisi, niin kohdn (i) nojll myös integrli f(x) dx suppenee, mikä on ristiriit. Esimerkki Trkstelln integrli 0 e x x dx. Epäoleellisuus on sekä l- että ylärjoill, joten kirjoitetn e x e x e x dx = dx + dx 0 x 0 x x e x e x j tutkitn erikseen integrlej dx j dx. 0 x x Olkoon ensin 0 < x. Tällöin e x e 0 =, joten 0 < e x. Luseen nojll integrli x x 0 x dx suppenee, joten mjornttiperitteen nojll myös integrli 0 e x x dx suppenee. Olkoon sitten x. Tällöin x, joten 0 < e x x e x. Olkoon lisäksi c >, jolloin Siten Edelläolevn nojll c / c e x dx = e x = e e c, kun c, e e x dx suppenee. Mjornttiperitteen nojll 0 e x x dx suppenee. Esimerkki Trkstelln integrli 0 x + x + dx. e x x dx suppenee. Epäoleellisuus on integroimisvälin ylärjll. Pisteen 0 ympäristössä funktiolle x +x+ riittävän hyviä rvioit, joten kirjoitetn 0 x + x + dx = 0 x + x + dx + 6 x + x + dx. ei sd

67 Tässä ensimmäinen osintegrleist on tvllinen integrli, jok suppenee. Tutkitn jälkimmäisen integrlin suppenemist. Olkoon x. Tällöin x + x + 3x = x 3, joten 0 3 x x + x +. Luseen nojll 3 x dx = 3 dx hjntuu, joten minornttiperitteen nojll x x + x + dx hjntuu. Siten myös integrli dx hjntuu. 0 x + x + Määritelmä Olkoot R, b R { }, < b, j olkoon funktio f : [, b[ R integroituv välin [, b[ jokisell suljetuill osvälillä. Jos f(x) dx suppenee, niin snotn, että epäoleellinen integrli f(x) dx suppenee itseisesti. Huomutus Luseen 3.. (v)-kohdn nojll f on integroituv välin [, b[ suljetuill osväleillä. Itseinen suppeneminen määritellään muille epäoleellisuuden tyypeille (eli R { }, b R j R { }, b R { }) vstvsti, vert iempiin määritelmiin. Luse Jos Todistus. Kosk kikill x [, b[, niin kikill x [, b[. Integrli suppenee. Lisäksi f(x) dx suppenee itseisesti, niin se suppenee j f(x) dx f(x) dx. f(x) dx = lim f(x) f(x) f(x) 0 f(x) + f(x) f(x) f(x) dx suppenee, joten mjornttiperitteen nojll c b c c = lim c b = lim c b c (f(x) + f(x) ) dx f(x) dx joten f(x) dx suppenee. Tällöin c f(x) dx = lim f(x) dx c b c = lim f(x) dx c b c c b lim = f(x) dx ( (f(x) + f(x) ) f(x) ) dx (f(x) + f(x) ) dx lim f(x) dx c b c f(x) dx, (rj-rvo on olemss) (rj-rvo on olemss) (luse 3.. (v)) (integrli suppenee itseisesti). 63

68 Huomutus Muunlisille epäoleellisille integrleille itseinen suppeminen määritellään vstvll tvll. Lisäksi lusett vstv tulos pätee myös muille epäoleellisille integrleille. Esimerkki Osoitetn, että integrli Olkoon c >. Osittisintegroinnill sdn c sin x x dx = / c cos x x = cos cos c c sin x x c c dx suppenee, mutt ei suppene itseisesti. ( cos x) ( x ) dx cos x x Kosk 0 cos x, kun x, niin mjornttiperitteen nojll x x cos x dx suppenee, joten luseen nojll suppenee. Tästä seur, että joten sin x x c lim c dx suppenee. sin x x Itseinen suppeneminen: Toislt nπ π sin x dx = x = dx = lim c n = cos kπ k= (k )π kπ n k= n k= (k )π kπ = π x cos x x dx ( cos c cos c cos x x sin x x dx dx. ) c cos x lim dx c x dx, sin x kπ dx = n n k= k, kun n, sillä hrmoninen srj hjntuu. Rj-rvo nπ lim sin x dx x ei siis ole olemss, joten integrli sin x x Esimerkki Trkstelln integrli Kirjoitetn π k= dx ei suppene itseisesti. sin x x dx. kπ sin x dx kπ (k )π sin x x dx = sin x 0 x dx + sin x x dx + sin x 0 x dx + sin x x dx 64

69 j tutkitn erikseen osintegrlien suppenemist. Edellisen esimerkin nojll dx suppenee. Vstvsti integrli sin x x dx suppenee, sillä kun c >, niin sin x x sin x c c x dx = sin x c x dx = sin( x) c sin t ( dx) = dt. x t Kun 0 < x, niin sin x x (PM I), joten 0 sin x x. Mjornttiperitteen nojll integrlit 0 sin x x dx j sin x x dx suppenevt, joten luseen nojll integrlit 0 0 sin x x dx j 0 sin x x dx suppenevt. Kosk kikki osintegrlit suppenevt, niin myös integrli sin x x dx suppenee. Yhteenveto epäoleellisten integrlien suppenemistrkstelust Tutkittess epäoleellisen integrlin suppenemist knntt noudtt seurv strtegi: () Tutki, missä epäoleellisuudet ovt j määrittele epäoleellinen integrli rjprosessin vull. () Voidnko rjprosessiss olevt tvlliset Riemnnin integrlit lske uki? (3) Onko integroitv funktio positiivinen? Kokeile mjorntti- j minornttiperitett vertiluintegrlein x dx j s x dx. s 0 (4) Jos integroitv funktio viht merkkiään, niin suppeneeko integrli itseisesti? (5) Suppeneeko integrli jostin muust syystä? 65

70 Luku 5 Funktiojonot j -srjt 5. Pisteittäinen j tsinen suppeneminen Määritelmä 5... Olkoon D R j olkoon f n : D R, n =,,..., jono funktioit. Jos rj-rvo lim f n(x) on olemss jokisess pisteessä x D, niin funktiojonon (f n ) snotn suppenevn pisteittäin joukoss D. Funktiot f : D R, f(x) = lim f n (x) snotn jonon (f n ) pisteittäiseksi rj-rvoksi eli rjfunktioksi joukoss D. Esimerkki 5... Olkoon f n : [0, ] R, f n (x) = x n, n =,,... Osoitetn, että { lim f 0, 0 x <, n(x) =, x =. Kosk f n (0) = 0 j f n () = kikill n =,,..., niin Jos 0 < x < j ε > 0, niin lim f n(0) = 0 j lim f n () =. joten f n (x) 0 = x n < ε, kun n > ln ε ln x, lim f n(x) = 0. Huom: Vikk jokinen f n on jtkuv, niin rjfunktio f on epäjtkuv pisteessä x = : Rjnkäyntien järjestystä ei siis s viht. lim lim f n(x) = 0 = lim lim f n (x). x x 66

71 Esimerkki Olkoon f n : [0, ] R, f n (x) = xn, n =,,... Osoitetn, että lim f n n(x) = 0 kikill x [0, ]. Olkoon ε > 0. Silloin f n (x) 0 = = x n n n n < ε, kun n > ε. xn Nyt f n(x) = x n kikill x [0, ] (päätepisteissä toispuoleiset derivtt), joten edellisen esimerkin nojll { lim f n(x) 0, 0 x <, =, x =. Huom: Vikk jokinen f n on derivoituv j rjfunktio f on derivoituv, niin pisteessä x = lim f n(x) = 0 = ( lim f n (x) ). Derivoinnin j rjnkäynnin järjestystä ei siis s viht. Esimerkki Olkoon f n : [0, ] R, n =, 3,..., n x, 0 x <, n f n (x) = n (x ), x, n n n 0, < x. n Osoit, että f(x) = lim f n (x) = 0 kikill x [0, ]. Rtkisu: Jos x = 0, niin f n (x) = 0 kikill n =,,... j siten f(x) = 0. Olkoon 0 < x j ε > 0. Tällöin f n (x) = 0, kun x > n. Siten f n (x) 0 = 0 < ε, kun n > x. Huom: Rjfunktio f j kikki funktiot f n ovt jtkuvi j siten Riemnn-integroituvi välillä [0, ], mutt rjfunktion integrli ei ole integrlien rj-rvo: 0 lim f n(x) dx = 0 = lim Integroinnin j rjnkäynnin järjestystä ei siis s viht. 0 f n (x) dx. Funktiojonon pisteittäinen suppeneminen on liin heikko jtkuvuuden, derivoimisen j integroimisen knnlt. Tähän trvitn vhvempi suppenemisen käsite. Määritelmä Olkoot D A R j f n : A R, n =,,..., jono funktioit. Jos sup f n (x) f(x) 0, kun n, x D niin jonon (f n ) snotn suppenevn joukoss D tsisesti kohti funktiot f : A R. Huomutus Ellei joukko D erikseen minit, niin D = A. Yleensä näin on. Ylläolev määritelmä voidn kirjoitt myös seurvss muodoss: Jono (f n ) suppenee joukoss D tsisesti kohti funktiot f, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että f n (x) f(x) < ε kikill x D j n n ε. Tämä esitysmuoto poikke pisteittäisen suppenemisen määritelmästä siinä suhteess, että smn luvun n ε täytyy kelvt jokiselle x D. 67

72 Esimerkki Olkoon f n : [0, π] R, f n (x) = sin(nx), n =,,... Osoitetn, että (f n ) n suppenee tsisesti kohti funktiot f(x) = 0 joukoss [0, π]. Olkoon ε > 0. Silloin kun n > ε. Siten sup f n (x) 0 = sup x [0,π] x [0,π] sin(nx) n = n < ε, sup f n (x) f(x) 0, kun n, j suppeneminen on tsist. x [0,π] Esimerkki Olkoot f n : [0, ] R, f n (x) = x n, n =,,... Nyt { 0, 0 x <, f(x) = lim f n (x) =, x =. Tällöin f n (x) f(x) = Kosk sup x n = kikill n =,,..., niin myös 0 x< { x n, kun 0 x <, 0, kun x =. sup f n (x) f(x) = kikill n Z +. 0 x Täten jono (f n ) ei suppene tsisesti kohti funktiot f välillä [0, ]. Tsinen suppeneminen voi riippu myös määritysjoukost D. Trkstelln funktioit f n joukoss [0, ] eli olkoot f n : [0, ] R, f n(x) = x n, n =,,... Nyt f(x) = lim f n (x) = 0 kikill x [0, ] j ( ) n sup f n (x) f(x) = sup x n = < ε, x [0, ] x [0, ] kun n > ln ε. Siten sup f n (x) f(x) 0, kun n, j suppeneminen on tsist välillä [0, ln ]. x [0, ] Osoitetn seurvksi, että jtkuvuus säilyy tsisess suppenemisess. Luse Jos funktiot f n : D R ovt jtkuvi kikill n =,,... j jono (f n ) suppenee tsisesti kohti funktiot f joukoss D, niin rjfunktio f on jtkuv joukoss D. Todistus. Olkoot x 0 D j ε > 0. Osoitetn, että olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0 ) < ε kikill x D j x x 0 < δ. Jokisell x D j n Z + on voimss f n (x) f(x) sup f n (y) f(y). Kolmioepäyhtälön nojll y D f(x) f(x 0 ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) sup f n (y) f(y) + f n (x) f n (x 0 ). y D Kosk suppeneminen on tsist, voidn vlit sellinen n ε Z +, että sup f n (y) f(y) < ε y D 3 kikill n n ε. 68

73 Tällöin erityisesti f(x) f(x 0 ) ε 3 + f n ε (x) f nε (x 0 ). Kosk f nε on jtkuv, niin on olemss sellinen δ > 0, että f nε (x) f nε (x 0 ) < ε 3 kikill x D j x x 0 < δ. Siten f(x) f(x 0 ) < ε 3 + ε 3 = ε kikill x D j x x 0 < δ. Huomutus Funktio f on jtkuv pisteessä x 0, jos j vin jos f(x 0 ) = lim x x0 f(x). Edellä osoitettiin siis, että lim lim f n (x) = lim f(x) = f(x 0 ) = lim f n (x 0 ) = lim lim f n (x), x x0 x x0 x x 0 kun jono (f n ) suppenee tsisesti kohti funktiot f. Esimerkki 5... Trkstelln funktiojono f n : [0, ] R, f n (x) = e nx, n =,,.... Selvästi jokinen funktio f n on jtkuv välillä [0, ]. Lsketn rjfunktio f : [0, ] R, f(x) = lim f n (x). Kun x = 0, niin f n (0) = kikill n =,,..., joten f(0) =. Kun 0 < x, niin f(x) = lim e nx = 0. Siis {, kun x = 0, f(x) = 0, kun 0 < x. Rjfunktio ei ole jtkuv, joten luseen 5..9 nojll suppeneminen ei ole tsist välillä [0,]. Funktiosrjt, kuten lukusrjtkin, määritellään ossummien jonojen vull. Määritelmä 5... Olkoon f k : D R, k =,,..., jono funktioit j olkoon S n (x) = n f k(x), n =,,... Jos rj-rvo lim S n (x) on olemss jokisell x D, niin funktiosrjn f k(x) snotn suppenevn pisteittäin joukoss D. Funktiot S : D R, S(x) = lim S n (x) snotn srjn summfunktioksi joukoss D. Jos ossummien jono (S n ) suppenee tsisesti joukoss D, niin srjn snotn suppenevn tsisesti joukoss D. Summ R n (x) = k=n+ snotn srjn (n:nneksi) jäännöstermiksi. f k (x) = S(x) S n (x) Srjn suppenemisen trksteluss riittää trkstell jäännöstermiä, kuten seurv luse osoitt. Luse Olkoot f k : D R, k =,,... Tällöin srj f k(x) suppenee tsisesti joukoss D, jos j vin jos jäännöstermien jono suppenee tsisesti kohti nollfunktiot joukoss D. Vstv väite pätee myös pisteittäisen suppenemisen tpuksess. 69

74 Todistus. Olkoon S : D R, S(x) = f k(x) srjn summfunktio j olkoot S n (x) vstvt ossummt j R n (x) vstvt jäännöstermit. Kosk S(x) S n (x) = R n (x) = R n (x) 0 kikill x D, (5.) niin lim S n (x) = S(x), jos j vin jos lim R n (x) = 0 (vrt. huomutus.. ()). Täten pisteittäistä suppenemist koskev väite pätee. Edelleen yhtälön (5.) nojll sup x D S(x) S n (x) = sup R n (x) 0, x D mikä nt tsist suppenemist koskevn väitteen. Luse Olkoot funktiot f k : D R jtkuvi joukoss D kikill k Z +. Jos f k(x) suppenee tsisesti joukoss D, niin summfunktio S(x) on jtkuv joukoss D. Todistus. Funktiot S n (x) = n f k(x) ovt jtkuvi kikill n =,,..., j jono (S n ) suppenee tsisesti kohti summfunktiot S joukoss D. Luseen 5..9 nojll summfunktio S on jtkuv joukoss D. Luse 5..5 (Weierstrssin M-testi). Oletetn, että funktioit f k : D R, k =,,..., kohti on olemss selliset reliluvut k 0, että f k (x) k kikill x D. Jos lukusrj k suppenee, niin funktiosrj f k (x) suppenee tsisesti joukoss D. Todistus. Kosk f k (x) k kikill x D, niin mjornttiperitteen nojll srj f k (x) suppenee kikill x D. Siten srj f k (x) suppenee, kosk se suppenee itseisesti. Toislt, kosk kikill x D, niin R n (x) = k=n+ sup R n (x) x D f k (x) k=n+ k=n+ f k (x) k=n+ k 0, kun n, sillä k=n+ k on suppenevn srjn jäännöstermi. Siten (R n ) suppenee tsisesti kohti nollfunktiot, joten srj f k(x) suppenee tsisesti joukoss D. Esimerkki Srj cos(kx) suppenee tsisesti joukoss D = [, 4]: k 3 x 3 Kosk x 4, niin cos(kx) k 3 x 3 k 3 x 3 8 k 3 k 3 suppe- (mjorntin 8k tulee oll muuttujst x riippumton). Luseen..4 nojll srj 3 8 nee, joten Weierstrssin M-testin nojll srj cos(kx) suppenee tsisesti välillä [, 4]. k 3 x 3 k Erityisesti luseen 5..4 nojll summfunktio S(x) = cos(kx) k 3 x 3 on jtkuv välillä [,4]. 70

75 5. Jonon j srjn derivoiminen j integroiminen Tämän luvun luss olleiden esimerkkien nojll funktiojonon derivoinnin j integroinnin järjestystä ei yleisesti s viht rjnkäynnin knss. Tässä kppleess trkstelln niitä lisäehtoj, joiden vllitess tämä järjestyksen vihtminen on mhdollist. Luse 5... Jos f n : [, b] R, n =,,..., ovt jtkuvi funktioit j jono (f n ) suppenee tsisesti välillä [, b] kohti rjfunktiot f, niin ( ) lim f n(x) dx = lim f n (x) dx. Todistus. Luseen 5..9 nojll rjfunktio f on jtkuv välillä [, b]. Luseen nojll jokisell n Z + funktiot f, f n j f n f ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b]. Olkoon ε > 0. Kosk jono (f n ) suppenee tsisesti välillä [, b], niin on olemss sellinen n ε, että Siten jokisell x [, b] on voimss Nyt kun n n ε. Siten lim f n (x) dx sup f n (x) f(x) < ε x [,b] b f n (x) f(x) < ε b f n (x) dx = f(x) dx = kikill n n ε. kikill n n ε. (f n (x) f(x)) dx f n (x) f(x) dx < = ε (b ) = ε, b f(x) dx. Lusett 5.. vstv tulos pätee myös srjoille. ε b dx Luse 5... Jos f n : [, b] R, n =,,..., ovt jtkuvi funktioit j srj f k(x) suppenee tsisesti kohti summfunktiot S(x) välillä [, b], niin S on integroituv välillä [, b] j f k (x) dx = f k (x) dx. Todistus. Olkoon S n (x) = n f k(x). Kosk jono (S n ) suppenee tsisesti kohti summfunktiot S(x) = f k(x) välillä [, b], niin luseen 5..4 nojll S on jtkuv välillä [, b]. Lisäksi luseen nojll S, S n j f k ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b]. Siten luseen 5.. nojll lim S n(x) dx = lim S n (x) dx = lim n f k (x) dx. 7

76 Esimerkki Lske summ k k. Rtkisu: Olkoon h(x) = x = x k, kun x <. Olkoon lisäksi < c <. Kun x [ c, c], niin x k c k kikill k Z +. Srj ck suppenee, joten Weierstrssin M-testin nojll srj xk suppenee tsisesti välillä [ c, c]; erityisesti välillä [0, ] [ c, c]. Luseen 5.. nojll Suorn lskemll sdn Siten = ln. kk 0 0 x dx = = 0 x k dx = / k + = k+ k. k / x dx = ln( x) = ln 0 0 k + xk+ = ln. Luse Oletetn, että jono (f n ) jtkuvsti derivoituvi funktioit f n : [, b] R suppenee pisteittäin kohti rjfunktiot f : [, b] R. Jos derivttjono (f n) suppenee tsisesti välillä [, b], niin f on derivoituv j f (x) = lim f n(x) kikill x [, b]. Todistus. Luseen 5..9 nojll rjfunktio g(x) = lim f n(x) on jtkuv j siten integroituv. Luseest 5.. seur, että x g(t) dt = x lim f n(t) dt = lim x kikill x [, b]. Anlyysin perusluseen osn II (luse 3..7) nojll x kikill x [, b] j n Z +. Tästä seur, että x g(t) dt = lim x Anlyysin perusluseen osn I (luse 3..4) nojll f n(t) dt = f n (x) f n () f n(t) dt f n(t) dt = lim (f n (x) f n ()) = f(x) f(). f (x) = g(x) kikill x [, b], toisin snoen d dx lim f d k(x) = lim k k dx f k(x). Vstvsti funktiosrjn derivoinnille on voimss seurv luse. 7

77 Luse Oletetn, että funktiot f k : [, b] R ovt jtkuvsti derivoituvi kikill k Z + j että srj f k(x) suppenee pisteittäin kohti summfunktiot S välillä [, b]. Jos srj f k (x) suppenee tsisesti välillä [, b], niin summfunktio S on derivoituv j d dx f k (x) = d dx f k(x) kikill x [, b]. Todistus. Olkoon S n (x) = n f k(x), jolloin S n(x) = n f k (x). Oletusten nojll funktiot S n ovt jtkuvsti derivoituvi välillä [, b] j jono (S n ) suppenee kohti summfunktiot S välillä [, b]. Lisäksi jono (S n) suppenee tsisesti välillä [, b], joten luseen 5..4 nojll S on derivoituv j d dx lim S d n(x) = lim dx S n(x) = lim n d dx f k(x). Esimerkki Osoit, että kx k =, kun x <. (x ) Rtkisu: Olkoot f k : ], [ R, f k (x) = x k, k =,,... Tällöin f k (x) = x x k = x x kikill x <. Vlitn sellinen 0 < c <, että x [ c, c]. Nyt f k (x) = kxk j f k (x) kck. Kosk (k + )c k c <, kun k, niin srj kc k suppenee suhdetestin (seurus..3) nojll. kc k Weierstrssin M-testin nojll srj f k (x) = kx k suppenee tsisesti välillä [ c, c]. Luseen 5..5 perusteell kx k = d dx f k(x) = d dx ( x ) = x = d dx ( x) f k (x) = d dx kikill x [ c, c]. Kun x < on nnettu (kiinteä) luku, voidn vlit sellinen c, että x < c <, joten yllä olev kv kx k = pätee kikill x <. ( x) x k 73

78 Luku 6 Potenssisrjt 6. Potenssisrjn suppeneminen Määritelmä 6... Funktiosrj k (x x 0 ) k, x R, missä kertoimet k R j x 0 R, kutsutn potenssisrjksi. Luku x 0 R snotn kyseisen srjn keskukseksi. Tässä setetn (x x 0 ) 0 = myös, kun x = x 0. Huomutus 6... () Kosk potenssisrjn ossummt ovt polynomej, potenssisrj voidnkin intuitiivisesti jtell ääretönsteisen polynomin. () Jos x 0 = 0, niin potenssisrj on k x k = 0 + x + x + Usein tutkitn vin tätä tpust, sillä yleinen tpus voidn plutt tähän. (3) Potenssisrjn suppeneminen riippuu pisteestä x. Kun x = x 0, niin potenssisrj on , joten jokinen potenssisrj suppenee inkin yhdessä pisteessä. Esimerkki () Geometrinen srj x k on potenssisrj, jonk summfunktio on x k =, kun x <. x Kun x, niin srj hjntuu. Srj on funktion f(x) = x potenssisrjesitys, kun x <. Huom, että funktio on määritelty kikill x, mutt srjesitys pätee vin, kun x <. 74

79 () Srj S(x) = k k x k = x + 4x + 7x 3 + suppenee, kun x = 0. Kun x 0, niin S(x) hjntuu, sillä k k x k ei suppene noll kohti. Täten srj S(x) suppenee vin yhdessä pisteessä. (3) Millä luvun x R rvoill srj x k k k suppenee? Rtkisu: Kosk k x lim k k x k = lim = x lim k k k k k k k k = 0, niin juuritestin (seurus..8) nojll srj suppenee itseisesti kikill x R. (4) Millä x R srj x k k suppenee? Rtkisu: Kosk lim k k k =, niin lim k k x k = lim k k x k k = x j juuritestin (seurus..8) nojll srj suppenee itseisesti, kun x <. Kun x >, niin srj hjntuu, sillä xk ei suppene noll kohti, kun k. k Kun x =, sdn vuorottelev hrmoninen srj ( ) k, jok suppenee Leibnizin luseen k nojll. Kun x =, sdn hrmoninen srj, jok hjntuu. k Siten srj x k k (5) Millä rvoill x R srj Rtkisu: Kosk suppenee, jos j vin jos x <. x k k suppenee. lim k x k k x k = lim k k ( k k) = x, niin juuritestin (seurus..8) nojll srj suppenee itseisesti, kun x <. Kun x >, niin srj hjntuu, sillä xk ei suppene noll kohti, kun k. k Kun x =, sdn srj ( ) k, jok suppenee Leibnizin luseen.4.3 nojll. Kun x =, k sdn srj, jok suppenee luseen..4 nojll. Arvot x = ± s käsiteltyä myös k smll kert, sillä tällöin x k k = j srj suppenee itseisesti. k Siten srj x k suppenee, jos j vin jos x. k 75

80 Luse 6..4 (Abelin luse). Jos potenssisrj k (x x 0 ) k suppenee pisteessä x = x x 0, niin se suppenee itseisesti jokisess pisteessä x R, jolle Erityisesti srj suppenee näissä pisteissä x. x x 0 < x x 0. Todistus. Kosk k (x x 0 ) k suppenee, niin lemmn..4 nojll lim k(x x 0 ) k = 0. k Lemmn B..0 nojll on olemss sellinen M R, että kikill k = 0,,,... k (x x 0 ) k M k M x x 0 k Olkoon x R sellinen piste, että x x 0 < x x 0. Silloin k (x x 0 ) k M ( x x x 0 x x 0 k x0 ) k = M k x x 0 kikill k = 0,,,... Kosk x x 0 x x 0 <, niin geometrinen srj ( x x0 x x 0 suppenee j mjornttiperitteen (luse..4) nojll k (x x 0 ) k suppenee. Seurus Jos potenssisrj ) k k (x x 0 ) k ei suppene itseisesti pisteessä x = x, niin se hjntuu jokisess pisteessä x R, jolle x x 0 > x x 0. Todistus. Tehdään vstoletus: k(x x 0 ) k suppenee pisteessä x, missä x x 0 > x x 0. Silloin Abelin luseen nojll k(x x 0 ) k suppenee itseisesti, mikä on ristiriit. Määritelmä Potenssisrjn k (x x 0 ) k suppenemissäteeksi snotn luku { R = sup x x 0 } k (x x 0 ) k suppenee. Tässä käytetään tulkint, että supremum on, jos joukko ei ole ylhäältä rjoitettu. Jos R > 0, niin väliä ]x 0 R, x 0 + R[ snotn srjn suppenemisväliksi. 76

81 Seurv luse osoitt, että suppenemissäteen määritelmä on järkevä. Luse Olkoon R srjn suppenemissäde. k (x x 0 ) k (i) Jos R = 0, niin srj suppenee vin, kun x = x 0. (ii) Jos R =, niin srj suppenee itseisesti kikill x R. (iii) Jos 0 < R <, niin srj suppenee itseisesti, kun x x 0 < R j hjntuu, kun x x 0 > R. Todistus. (i) Tehdään vstoletus: srj suppenee pisteessä x x 0. Silloin mikä on ristiriit. { R = sup x x 0 (ii) Olkoon x R. Kosk R =, niin joukko A = { y R } k (x x 0 ) k suppenee x x 0 > 0, } k (y x 0 ) k suppenee ei ole rjoitettu. Täten on olemss sellinen x A, että x x 0 < x x 0. Kosk x A, niin k (x x 0 ) k suppenee, joten Abelin luseen nojll suppenee itseisesti. k (x x 0 ) k (iii) Jos x x 0 < R, niin luvun R määritelmän nojll on olemss sellinen x R, että x x 0 < x x 0 < R j k (x x 0 ) k suppenee. Abelin luseen nojll suppenee itseisesti. k (x x 0 ) k Jos x x 0 > R, niin luvun R määritelmän nojll k (x x 0 ) k hjntuu. Huomutus Kun x x 0 = R, niin srj voi supet ti hjntu. Tämä vtii in tpuskohtisen trkstelun, minkä nojll potenssisrjn suppenemislue on jokin väleistä [ R, R], ] R, R[, [ R, R[ ti ] R, R]. Suppenemissäde voidn usein lske helposti suhdetestin (luse.. j seurus..3) ti juuritestin (luse..7 j seurus..8) vull, kuten seurv luse osoitt. 77

82 Luse Oletetn, että k 0 kikill k = 0,,,... Jos jompikumpi rj-rvoist k k = R R { }, lim k = R R { } lim k k on olemss, niin tämä rj-rvo on potenssisrjn k (x x 0 ) k suppenemissäde. k+ Todistus. Trkstelln ensin juuren rj-rvo. Oletusten nojll x x 0 k x x lim k (x x 0 ) k 0, 0 < R <, R = lim k k = 0, R =, k k, R = 0, x x 0. Jos 0 < R <, niin juuritestin (seurus..8) nojll srj k (x x 0 ) k suppenee, kun R x x 0 <, j hjntuu, kun R x x 0 >. Täten srj suppenee itseisesti, kun x x 0 < R. Jos x x 0 > R, niin R < x x 0 < x x 0 jollkin x R. Ylläolevn mukn srj ei suppene itseisesti pisteessä x, joten seuruksen 6..5 nojll se hjntuu pisteessä x. Srj siis hjntuu kikill x x 0 > R. Suppenemissäde on näin ollen R. Olkoon R = j x R. Tällöin on olemss sellinen k 0, että k k (x x 0 ) k < kikill k k 0, joten srj suppenee itseisesti juuritestin (luse..7) nojll, j suppenemissäde on. Olkoon R = 0 j x x 0. Tällöin on olemss sellinen k 0, että k k (x x 0 ) k kikill k k 0. Luseen..7 nojll srj k (x x 0 ) k ei suppene itseisesti, j seuruksen 6..5 nojll suppenemissäde on 0. Osmäärälle pätee vstvsti x x 0 lim k+(x x 0 ) k+ x x 0, 0 < R <, R = lim k k (x x 0 ) k k k = 0, R =, k+, R = 0, x x 0. Todistuksen loppuos menee vstvsti kuin juuren tpuksess, nyt vin sovelletn suhdetestiä (luse.. j seurus..3). 78

83 Huomutus Luseen 6..9 rj-rvot eivät in ole olemss, mutt yleisesti suppenemissäde voidn määritellä settmll Tämä on in olemss! R = lim sup k k k [0, ] (Cuchy Hdmrd). Esimerkki 6... () Geometrinen srj x k suppenee, jos j vin jos x <. Nyt k = kikill k, joten suppenemissäde on. () Srjn x k k = (x k 0)k kk kertoimet ovt k = k k kikill k (sopimus: 00 = ), joten k k = k = k, kun k. k k Suppenemissäde on siten, j srj suppenee itseisesti kikill x R. (3) Srjn k!x k kertoimet ovt k = k! kikill k (sopimus: 0! = ), joten k = 0, kun k. k + k+ Suppenemissäde on 0 j srj hjntuu kun x 0. (4) Potenssisrj + x + x + x 3 + x 4 + on muoto missä Nyt joten lim k toimi, sillä k = k x k, {, kun k on priton,, kun k on prillinen. k k k kikill k =,,..., k k =, j suppenemissäde on. Huom, että luseen 6..9 osmäärätulos ei nyt k = k+ joten rj-rvo lim k k k+ ei ole olemss. {, kun k on prillinen,, kun k on priton, 79

84 6. Potenssisrjn summfunktion ominisuuksi Olkoon R > 0 potenssisrjn k (x x 0 ) k suppenemissäde. Tässä luvuss trkstelln potenssisrjn summfunktion ominisuuksi. f : ]x 0 R, x 0 + R[ R, f(x) = k (x x 0 ) k Luse 6... Potenssisrj k(x x 0 ) k suppenee tsisesti jokisell välillä [x 0 r, x 0 + r], missä 0 < r < R. Srjn määrittelemä funktio f on jtkuv välillä ]x 0 R, x 0 + R[. Todistus. Jos x [x 0 r, x 0 + r], niin k (x x 0 ) k = k x x 0 k k r k. Kosk x 0 + r ]x 0 R, x 0 + R[, niin srj suppenee itseisesti, kun x = x 0 + r. Tällöin k (x x 0 ) k = k r k, joten k r k suppenee. Weierstrssin M-testin (luse 5..5) nojll srj k (x x 0 ) k suppenee tsisesti välillä [x 0 r, x 0 + r]. Funktion f jtkuvuus seur luseest Kun potenssisrj derivoidn termeittäin, sdn potenssisrj k k (x x 0 ) k. Tutkitn seurvksi tämän srjn ominisuuksi. Luse 6... Termeittäin derivoidun srjn suppenemissäde on sm kuin lkuperäisen srjn. Todistus. Olkoon R lkuperäisen srjn suppenemissäde j R termeittäin derivoidun srjn suppenemissäde. Osoitetn ensin, että R R. Jos R = 0, niin väite on selvä. Oletetn, että R > 0. Jos x ]x 0 R, x 0 + R [, niin k k (x x 0 ) k suppenee. Kosk k (x x 0 ) k k k (x x 0 ) k = x x 0 k k (x x 0 ) k kikill k =,,..., niin mjornttiperitteen nojll myös k (x x 0 ) k 80

85 suppenee. Siten srj suppenee itseisesti kikill x ]x 0 R, x 0 + R [, joten R R. Osoitetn vielä, että R R. Jos R = 0, niin väite on selvä. Oletetn siis, että R > 0. Jos x ]x 0 R, x 0 + R[, niin vlitn sellinen r, että x x 0 < r < R. Srj suppenee, pisteessä x = x 0 + r, joten k r k suppenee. Siten on olemss sellinen M, että Tällöin Srj k r k M kikill k = 0,,,... k k (x x 0 ) k M ( r k x x 0 ) k kikill k =,,... r ( x x 0 k r suppenee, sillä srjn kxk suppenemissäde on (ks. luse 6..9 ti esimerkki 5..6) j x x 0 r <. Mjornttiperitteen nojll myös ) k k k (x x 0 ) k suppenee kikill x ]x 0 R, x 0 + R[, joten R R. Jos potenssisrj integroidn termeittäin, niin sdn potenssisrj sillä x k k + (x x 0) k+ = x 0 k (t x 0 ) k dt = k / x x 0 (t x 0 )k+ k + k k (x x 0) k, = k k + (x x 0) k+. Kun integroitu srj derivoidn termeittäin, niin sdn lkuperäinen srj, joten luseen 6.. nojll integroidun srjn suppenemissäde on sm kuin lkuperäisen. Luse Jos f : ]x 0 R, x 0 + R[ R, f(x) = k (x x 0 ) k, missä R > 0 on potenssisrjn suppenemissäde, niin funktio f on derivoituv välillä ]x 0 R, x 0 + R[ j se voidn derivoid termeittäin eli f (x) = Lisäksi se voidn integroid termeittäin eli x x 0 f(t) dt = k k (x x 0 ) k. k k + (x x 0) k+. Kikill näillä potenssisrjoill on sm suppenemissäde R. 8

86 Todistus. Suppenemissäteitä koskevt väitteet seurvt luseest 6.. j väitettä edeltävästä huomiost. Olkoon summi koskevi väitteitä vrten x ]x 0 R, x 0 + R[. Vlitn sellinen r, että x x 0 < r < R. Luseen 6.. nojll srjt suppenevt tsisesti välillä [x 0 r, x 0 + r]. Ensimmäinen väite seur luseest 5..5 j toinen luseest 5... Huomutus Edellisen luseen nojll potenssisrjoj voidn siis derivoid j integroid kuten polynomej. Luseen 6..3 tulos pätee myös määräämättömälle integrlille (ntiderivtlle): missä C on integroimisvkio. f(x) dx = C + k k + (x x 0) k+, Esimerkki Olkoon f : ], [ R, f(x) =. Geometrisen srjn summkvn nojll + x (suhdelukun x) f(x) = ( x) k = ( ) k x k. Nyt kikill x < on voimss Kosk x 0 x 0 x x + t dt = ( ) k t k dt = ( ) k t k dt 0 0 = ( ) k xk+ k + = x x + x dt = ln( + x), niin sdn uusi potenssisrjesitys + t ln( + x) = ( ) k xk+ k + = x x + x3 3..., x <. Sijoittmll ylläolevn srjn x = sdn hrmoninen srj, jok hjntuu. Vstvsti x = nt lternoivn hrmonisen srjn, jok suppenee. Osoitetn, että ylläolev summ pätee myös, kun x = eli että lternoivn hrmonisen srjn summ on ln( + ) = ln. Jokisell n =, 3,... pätee n + t = ( t) k + ( t)n + t. Tässä oikell puolell olevss summss on äärellinen määrä termejä, joten integroimll välin [0, x] yli sdn jokisell x > ln( + x) = x 0 n + t dt = ( ) k xk+ k + + ( )n x 0 t n + t dt. Täten n ( ) k xk+ k + ln( + x) = x 0 t n + t dt. 8

87 Osoitetn, että kun x =, tässä esiintyvän integrlin rj-rvo on 0, kun n (vstv päättely pätee muillekin x ], ]). Integrliss + t j sdn x 0 t n + t dt kun n. Täten srj suppenee myös pisteessä x =, j 0 t n dt = n + 0, ( ) k k = ln( + ) = ln. Seurus Luseen 6..3 tilnteess funktio f on mielivltisen mont kert jtkuvsti derivoituv välillä ]x 0 R, x 0 + R[ j f (n) (x 0 ) = n! n kikill n =,,... Todistus. Luseen 6..3 nojll f (x) = f (x) = k k (x x 0 ) k kikill x x 0 < R, k(k ) k (x x 0 ) k kikill x x 0 < R. k= Induktioll sdn, että kikill n Z + pätee f (n) (x) = k(k ) (k n + ) k (x x 0 ) k n, kun x x 0 < R. Sijoittmll x = x 0 sdn f (n) (x 0 ) = n(n ) n = n! n. k=n Seurus Jos potenssisrjt f(x) = k (x x 0 ) k j g(x) = b k (x x 0 ) k suppenevt j esittävät sm funktiot jossin pisteen x 0 ympäristössä, niin k = b k kikill k = 0,,,... Todistus. Oletusten mukn on olemss sellinen r > 0, että f(x) = g(x), kun x ]x 0 r, x 0 + r[. Tällöin f (x) = g (x) kikill x ]x 0 r, x 0 + r[ j erityisesti f (x 0 ) = g (x 0 ). Vstvsti nähdään, että f (x) = g (x) kikill x ]x 0 r, x 0 + r[ j erityisesti f (x 0 ) = g (x 0 ). Induktioll nähdään, että f (n) (x 0 ) = g (n) (x 0 ) kikill n = 0,,,... j siten n = f (n) (x 0 ) n! = g(n) (x 0 ) n! = b n kikill n = 0,,,... 83

88 Edellisen luseen nojll potenssisrj f(x) = k (x x 0 ) k voidn (suppemisvälillään) esittää muodoss f(x) = f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! Tätä esitystä kutsutn funktion f Tylorin srjksi pisteessä x 0. Esimerkki Olkoon f(x) = + x, kun x ], [. Lske f (00) (0). Rtkisu: Geometrisen srjn summkvn nojll (suhdelukun x ) f(x) = ( x ) k = ( ) k x k = x + x 4 + ( ) k x k +... Funktion f 00. derivtt pisteessä 0 on f (00) (0) = 00! 00 = 00!( ) 50 = 00!. Huom: Funktio f on määritelty koko relikselill, mutt srjesitys pätee vin välillä ], [. Funktioll f ei voi oll potenssisrjesitystä koko relikselill, sillä sen pitäisi oll sm srj välillä ], [ j seuruksen 6..7 j ylläolevn nojll srjn pitäisi oll ( x ) k koko relikselill. Tämä on mhdotont, sillä srj hjntuu, kun x. Lisäksi integroimll srj välin [0, x], x <, yli sdn Toislt x 0 x 0 x x + t dt = ( ) k t k dt = ( ) k t k dt 0 0 = ( ) k xk+ k + = x x3 3 + x dt = rctn x, joten sdn Tylorin srj + t rctn x = ( ) k xk+ k + = x x3 3 + x5 5..., x <. Kun x = ±, sdn srj ( ) k x, jok suppenee Leibnizin luseen nojll. Kuten funktion k + ln( + x) tpuksess, pisteissä x = ± sdn n ( ) k x x k + rctn x = 0 t n + t dt kun n. Siten srj suppenee myös pisteessä x = ±, j x 0 t n dt = n + 0, erityisesti rctn x = ( ) k xk+ k + π 4 = rctn = ( ) k k +. kikill x ; 84

89 Esimerkki Olkoon f : ], [ R, f(x) =. Geometrisen srjn summkvn nojll x (suhdelukun x) f(x) = x k, joten luseen 6..3 mukn kikill x < pätee k=3 k= Induktioll nähdään, että yleisesti kx k = f (x) = d ( ) = dx x k(k )x k = f (x) = d dx k(k )(k )x k 3 = f (x) = d dx (k + n)! x k = k! ( ( ) ( x) ) ( x) 3 k(k ) (k n + )x k n = k=n ( x), Esimerkki Olkoon f(x) = ln( + x ), x ], [. Lske f (00) (0). Rtkisu: Esimerkin 6..5 perusteell = = ( x) 3, 6 ( x) 4. n! ( x) n+. ln( + x) = ( ) k k + xk+, kun x <. Tällöin kikill x < on voimss Seuruksen 6..6 nojll f(x) = ln( + x ) = ( ) k k + xk+ = x x4 + x6 3 x = x + x + 0 x 3 + ( ) x f (00) (0) = 00! 00, missä 00 on termin x 00 kerroin. Jos k + = 00, niin k = 004. Siten 00 = ( ) = 005 j f (00) (0) = 00! 005. Esimerkki 6... Olkoon f : R R, f(x) = kikill x R (hrjoitustehtävä). Nyt ( f (x) = D x k ) = k! x k. Srjn suppenemissäde on j se suppenee k! x k k! = f(x). Itse siss f(x) = e x (ks. hrjoitukset; tämä voidn ott eksponenttifunktion määritelmäksi). x Kosk tehtävän srj suppenee kikill x R, niin lemmn..4 nojll lim k = 0 kikill x R. k k! 85

90 Jos nnettu funktio f on äärettömän mont kert derivoituv josskin pisteen x 0 ympäristössä, niin voidn muodost srj f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k (6.) k! j tutki, milloin srj (6.) suppenee j, jos srj (6.) suppenee, niin onko f(x) = f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k. Tylorin luseen todistuksess trvitn seurv putulost. Sitä ei todistet tällä kurssill. Lemm 6.. (Integrlilskennn välirvoluse). Jos funktio f : [, b] R on jtkuv j funktio g : [, b] R on Riemnn-integroituv sekä g(x) 0 kikill x [, b] (ti g(x) 0 kikill x [, b]), niin on olemss sellinen ζ ], b[, että f(x)g(x) dx = f(ζ) g(x) dx. Luse 6..3 (Tylorin luse). Jos f on (vähintään) n + kert jtkuvsti derivoituv välillä ]x 0 R, x 0 + R[, R > 0, niin n f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k + R n (x), k! missä j ζ ]x 0, x[ (ti ζ ]x, x 0 [). R n (x) = f (n+) (ζ) (n + )! (x x 0) n+ Todistus. Osoitetn ensin induktioll luvun n suhteen, että funktion f esitys pätee jäännöstermillä R n (x) = n! Kun n = 0, niin nlyysin perusluseen osn II (luse 3..7) nojll x f(x) = f(x 0 ) + x 0 f (n+) (t)(x t) n dt. (6.) x x 0 f (t) dt. Oletetn sitten, että (6.) pätee jollkin n Z +. Osittisintegroimll (luse 3..) sdn x R n (x) = f (n+) (t)(x t) n dt n! x 0 = ( / x f (n+) (x t)n+ (t) + x ) f (n+) (t)(x t) n+ dt n! x 0 n + n + x 0 = (n + )! f (n+) (x 0 )(x x 0 ) n+ + R n+ (x). Täten (6.) pätee kikill n Z +. Oletetn, että x > x 0. Silloin integrlilskennn välirvoluseen nojll on olemss sellinen ζ ]x 0, x[, että x Tpus x < x 0 sdn vstvsti. x 0 f (n+) (t)(x t) n dt = f (n+) (ζ) x x 0 (x t) n dt = f (n+) (ζ) (x x 0) n+. n + 86

91 Esimerkki Olkoon f : ], [ R, f(x) =. Geometrisen srjn summkvn nojll x (suhdelukun x) n f(x) = x k + xn+ x = S n(x) + R n (x), missä S n (x) = + x + x + + x n j R n (x) = xn+ x. Jos x <, niin R n (x) 0, kun n. Jos x, niin R n (x) ei suppene kohti luku noll, kun n. Seurus Jos funktio f on äärettömän mont kert derivoituv välillä ]x 0 R, x 0 + R[, niin sillä on potenssisrjesitys tällä välillä, jos j vin jos lim R n(x) = 0 kikill x ]x 0 R, x 0 + R[. Todistus. : Jos lim R n (x) = 0, niin luseen 6..3 nojll f(x) = f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! : Jos niin seuruksen 6..6 nojll f(x) = k (x x 0 ) k, k = f (k) (x 0 ). k! Kosk srj suppenee, niin luseen 6..3 nojll ( lim R n(x) = lim f(x) n f (k) (x 0 ) ) (x x 0 ) k = 0. k! Esimerkki Olkoon f : R R, f(x) = e x. Kosk f (k) (0) = e 0 = kikill k =,,..., niin Tylorin luseen nojll n e x x k = k! + R n(x), missä Tästä sdn rvio y n Kosk lim n! R n (x) = = 0 kikill y R, niin e ζ (n + )! xn+, 0 < ζ < x. 0 R n (x) e x x n+ (n + )!. x n+ lim e x (n + )! = 0 87

92 j siten myös R n (x) 0, kun n. Seuruksen 6..5 perusteell e x = x k k! = + x + x! + x3 3! +... kikill x R. Keskukseksi voidn vlit myös muu piste x 0 kuin 0: e x = e x 0 e x x 0 = e x 0 k! (x x 0) k e x 0 = k! (x x 0) k. Lisäksi kikill x R on voimss esimerkiksi (x ) k x k e x = = k! k! j edelleen (huom, että d dx (ex ) = xe x ) xe x = x k+ k! = + x + x4! + x6 3! +... = x + x 3 + x 5 + x7 3 + Esimerkki Kikki mielivltisen mont kert derivoituvi funktioit ei kuitenkn void esittää potenssisrjn. Osoitetn, että funktiot f : R R, f(x) = { e x, x > 0, 0, x 0. ei void esittää potenssisrjn keskuksen x 0 = 0 ympäristössä. Jos x < 0, niin f (x) = 0. Jos x > 0, niin f (x) = e x x = e x x. Pisteessä x = 0 toispuoleisille derivtoille pätee j joten Vstvsti f (x) sillä lim x 0 x = 0 j f(x) f(0) 0 lim = lim x 0 x 0 x 0 x = 0 f(x) f(0) lim x 0+ x 0 = lim x 0+ f (0) = lim x 0 f(x) f(0) x 0 f (0) = lim x 0 f (x) f (0) x 0 f (x) lim x 0+ x e x = lim x 0+ x 3 x e x t = lim t e = 0, t = lim x 0 f(x) x = 0. = lim x 0 f (x) x t 3 = lim t e = 0. t Induktioll voidn osoitt, että f (n) (0) = 0 kikill n =,,... Jos nyt olisi f(x) = kx k, niin k = k! f (k) (0) = 0 kikill k = 0,,... = 0, Tällöin olisi f(x) = 0 josskin pisteen 0 ympäristössä, mikä on ristiriit. 88

93 Funktiot, jok voidn esittää potenssisrjn jokisen pisteen ympäristössä, snotn nlyyttiseksi. Edellisen esimerkin funktio ei ole nlyyttinen, mutt esimerkiksi funktiot e x, sin x j cos x ovt nlyyttisiä. Esimerkki Hjntuvi (potenssi)srjoj voidn käyttää joisskin tpuksiss likirvojen lskemiseen. Oletetn, että srj T n (x) = kx k hjntuu jokisell x 0 j että f(x) = T n (x) + R n (x). Vikk T n (x) hjntuu, kun x 0, niin stt löytyä sellinen n x Z, että virhetermi R nx (x) on pieni. Tällöin sdn trkk likirvo f(x) T n (x). Olkoon esimerkiksi f(x) = e t dt, missä x > 0. Tämä suppenee mjornttiperitteen nojll (mjornttin xe t ). t x Toistuvll osittisintegoinnill (integroidn funktiot e t j derivoidn funkiot t k ) j induktioll sdn missä T n (x) = n / c f(x) = lim c x e t = xe x lim c t / c x x e t t + = xe x x e x + x ( t )( e t ) dt = xe x e t t 3 x dt ( t 3 )( e t ) dt = = e x (x x + x 3 + ( ) n (n )!x n ) = e x Tn (x) + R n (x), ( ) k (k )!x k j R n (x) = ( ) n n! x x e t t dt + ( ) n n! x 0 (termin rj-rvo ei ole 0). Kuitenkin e t R n (x) = n! dt n! dt tn+ tn+ x x / c = n! lim ( ) n c n t n = (n )! = (n )!x n x x x e t dt tn+ e t t n+ dt. Srj T n(x) hjntuu jokisell Merkitsemällä r n = (n )!x n nähdään, että r n+ = n!x n+ = nxr n. Siten r n+ < r n, kun nx < eli n < x, j r n+ > r n, kun nx > eli n > x. Jos esimerkiksi x = 4, niin pienin r n on r 4 = 3! 4 4 = 3 8 = r 5 j f( 4 ) e 4 ( ) 0,

94 Liite A Relilukujen peruskäsitteitä Usein trkstelun kohteen ovt nnetun joukon A R, A, mksimi j minimi sekä ylä- j lrjt, erityisesti pienin ylärj (supremum) j suurin lrj (infimum). Määritelmä A.0.9. Olkoon A R, A. Reliluku M R snotn joukon A mksimiksi (eli suurimmksi rvoksi), jos (i) x M kikill x A j (ii) M A. Merkitään M = mx A. Vstvsti reliluku m R snotn joukon A minimiksi (eli pienimmäksi rvoksi), jos (i) x m kikill x A j (ii) m A. Merkitään m = min A. Esimerkki A.0.0. A = [3, 7]. min A = 3, sillä x 3 in, kun x A, j 3 A. mx A = 7, sillä x 7 in, kun x A, j 7 A. Esimerkki A.0.. Osoit, että joukoll A = ]0, [ = {x R 0 < x < } ei ole minimiä eikä mksimi. Todistus: Osoitetn ensin, että joukoll A ei ole minimiä. Vstoletus: joukoll A on minimi m. Tällöin m A = ]0, [, joten m A j m < m. Täten m ei ole joukon A minimi j sdn ristiriit. Siis vstoletus on väärä j min A ei ole olemss. Osoitetn sitten, että joukoll A ei ole mksimi. Vstoletus: joukoll A on mksimi M. Tällöin M A eli 0 < M <. Tällöin M + < j M = M + M < M +, ts. M < M+ <. Siis M + A j 90 M + > M.

95 Täten M ei ole joukon A mksimi j sdn ristiriit. Siis vstoletus on väärä j mx A ei ole olemss. Esimerkki A.0.. Osoit, että joukoll A = [0, [ on minimi 0, mutt ei mksimi. Todistus: min A = 0, sillä x 0 kikill x A, j 0 A. Osoitetn sitten, että joukoll A ei ole mksimi. Tehdään vstoletus: joukoll A on mksimi M. Jos M < 0, niin M / A j M ei voi oll joukon A mksimi. Jos M 0, niin M + A j M + > M, joten M ei voi oll joukon A mksimi. Ristiriit. Siis vstoletus on väärä j joukoll A ei ole mksimi. Huomutus A.0.3. Mksimi j minimi ovt yksikäsitteisiä, mikäli ne ovt olemss. Perustelu: Olkoot M = mx A j M = mx A. Nyt x M kikill x A. Tällöin M M, sillä M A. Toislt x M kikill x A j siten M M, kosk M A. Siis M = M. Minimi todistetn smll tvll (hrjoitustehtävä). Määritelmä A.0.4. Olkoon A R, A. (i) Joukko A snotn ylhäältä rjoitetuksi, jos on olemss sellinen M R, että x M kikill x A. Tällist luku M snotn joukon A ylärjksi. (ii) Joukko A snotn lhlt rjoitetuksi, jos on olemss sellinen m R, että x m kikill x A. Tällist luku m snotn joukon A lrjksi. (iii) Joukko A snotn rjoitetuksi, jos se on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu. Huomutus A.0.5. () Jos joukoll on mksimi ti minimi, niin se on vstvsti joukon ylä- ti lrj. () Toisin kuin mksimi j minimi, joukon ylä- j lrjt eivät ole yksikäsitteisiä. Esimerkki A.0.6. Osoit, että joukko A = ]0, [ on rjoitettu. Rtkisu: Mikä thns luku m 0 kelp joukon A lrjksi, sillä tällöin x m kikill x A. Siis A on lhlt rjoitettu. Toislt mikä thns luku M kelp joukon A ylärjksi, sillä tällöin x M kikill x A. Siten A on ylhäältä rjoitettu. Siis A on rjoitettu. Esimerkki A.0.7. Joukko A = [0, [ on lhlt rjoitettu, mutt se ei ole ylhäältä rjoitettu. Perustelu: Mikä thns luku m 0 kelp lrjksi, joten A on lhlt rjoitettu. Vstoletus: A on ylhäältä rjoitettu j olkoon M joukon A (eräs) ylärj. Kosk 0 A, niin M 0. Silloin M + A j M + > M, joten M ei voi oll joukon A ylärj. Ristiriit. Siis A ei ole ylhäältä rjoitettu. 9

96 Esimerkki A.0.8. Määritellään joukko A = Tutkitn joukon A rjoittuneisuutt. Nyt x = j siten {x n } induktiivisesti n= x =, x n+ = x n + x n, n =,,... x = + = 3 =,5 x 3 =,5 +,5,47 x 4 =,47 +,47,44. Näyttäisi siltä, että lkiot x lukuunottmtt joukon A jokinen lkio on vähintään j että x n+ x n, kun n. Todistetn nämä väitteet oikeiksi. Väite : x n, n =, 3,... (x = ) Todistus: Selvästi x n+ = x n + x n > 0 kikill n =,,... (x = ). Lisäksi x n+ = x n + = x n + ( ) x n x n x n = x n sillä x n 0, kun n =,,... Edellä on käytetty ekvivlenssiin +b b ( b) 0 perustuv rviot x n + ( ) x n. Stiin siis, että x n, kun n =, 3,..., joten x n = x kikill n =,,... Näin ollen A on lhlt rjoitettu j min A =. Väite : x n+ x n, n =, 3,... Todistus: Väite voidn yhtäpitävästi muutt seurvn muotoon: x n+ x n x n + x n x n x n + x n (x n > 0) x n x n (x n > 0). Kosk x n > 0, kun n =, 3,..., niin myös x n+ x n, n =, 3,... Tästä seur, että x n x = 3 kikill n =,,..., joten A on ylhäältä rjoitettu j mx A = 3. Siis = x x n x = 3 kikill n =,,..., joten A on rjoitettu. Vroitus: Ei ole olemss yleistä menetelmää todist, että nnettu joukko on rjoitettu. Ain sitä ei ole helppo nähdä. Huomutus: Käytännössä joukon rjoittuneisuus knntt usein todist seurvn kriteerin vull: Joukko A R, A, on rjoitettu jos j vin jos on olemss sellinen K 0, että x K kikill x A. 9

97 Perustelu: : Oletetn, että m x M kikill x A. Kosk m mx{ m, M }, niin x m m mx{ m, M } kikill x A j Siten x M M mx{ m, M } kikill x A. mx{ m, M } x mx{ m, M } kikill x A, eli x mx{ m, M }. Täten esimerkiksi vlint K = mx{ m, M } kelp. : Jos x K jokisell x A (K 0), niin K x K jokisell x A. Siten K on joukon A lrj j K sen ylärj. Siis A on rjoitettu. Määritelmä A.0.9. Olkoon A R, A. Luku M R snotn joukon A pienimmäksi ylärjksi eli supremumiksi, jos (i) x M kikill x A j (ii) jos x M kikill x A, niin M M. (Koht (i) kertoo sen, että M on ylärj j (ii) sen, että M on ylärjoist pienin.) Merkitään M = sup A. Vstvsti luku m R snotn joukon A suurimmksi lrjksi eli infimumiksi, jos (i) x m kikill x A j (ii) jos x m kikill x A, niin m m. (Koht (i) kertoo sen, että m on lrj j (ii) sen, että m on lrjoist suurin.) Merkitään m = inf A. Määritelmän merkitys: Kosk ylä- j lrjt eivät ole yksikäsitteisiä, pyritään vlitsemn niille prs mhdollinen edustj. Huomutus A () Jos joukoll A on mksimi, niin mx A = sup A. Vstvsti jos joukoll A on minimi, niin min A = inf A. Supremun j infimum ovt mksimin j minimin korvikkeit. Perustelu: Olkoon M = mx A. Silloin x M kikill x A, joten M on ylärj. Oletetn, että x M kikill x A. Kosk M A, niin M M, joten M on pienin ylärj. Infimum todistetn smn tpn (hrjoitustehtävä). () Mikäli supremum ti infimum on olemss, niin se on yksikäsitteinen. Perustelu: Olkoot M = sup A j M = sup A. Kosk M on ylärj j M on pienin ylärj, niin M M. Toislt M on ylärj j M on pienin ylärj, joten M M. Siis M = M. Infimumin yksikäsitteisyys todistetn smn tpn (hrjoitustehtävä). Esimerkki A.0.3. Olkoon A = ]0, [. Määrätään sup A j inf A. Rtkisu: Olkoon M =. Osoitetn, että sup A = M =. (i) x M kikill x A, joten M on joukon A ylärj. 93

98 (ii) Olkoon M R sellinen, että x M kikill x A. Kosk A, niin M > 0. Osoitetn, että M M. Vstoletus: M < M. Tällöin 0 < M <, joten M + < j M = M + M < M +, ts. M < M + <. Siis M + M A j M + M > M, joten M ei voi oll joukon A ylärj. Tämä on ristiriit, joten vstoletus on väärä j M M. Kohtien (i) j (ii) nojll M = sup A. Olkoon m = 0. Osoitetn, että inf A = m =. (i) x m kikill x A, joten m on joukon A lrj. (ii) Olkoon m R sellinen, että x m kikill x A. Kosk A, niin m. Osoitetn, että m m. Vstoletus: m > m. Nyt 0 = m < m, joten m A j m < m, joten m ei voi oll joukon A lrj. Tämä on ristiriit, joten vstoletus on väärä j m m. Kohtien (i) j (ii) nojll m = inf A. Yleensä sup A ei kuulu joukkoon A. Seurvn luseen nojll se kuuluu joukkoon A täsmälleen silloin kun se on joukon A mksimi. Vstvt väitteet pätevät myös infimumille j minimille. Luse A.0.3. Olkoon A R, A j M = sup A. Silloin joukoll A on mksimi (jok on M) jos j vin jos M A. Olkoon m = inf A. Silloin joukoll A on minimi (jok on m) jos j vin jos m A. Todistus. : Oletn, että Q = mx A on olemss. Tällöin x Q in, kun x A (ts. Q toteutt supremumin ehdon (i)), j Q A. Olkoon M joukon A mikä thns ylärj, jolloin x M in, kun x A. Kosk Q A, niin erityisesti Q M j Q toteutt supremumin ehdon (ii). Siis Q on joukon A pienin ylärj eli Q = M = sup A. : Oletetn, että M A. Tällöin lisäksi x M kikill x A, joten M on joukon A mksimi. Infimumi j minimiä koskev väite todistetn vstvsti. Esimerkki A Määrää sup A j inf A, kun A = { n Osoitetn, että m = = inf A. n =,,... }. (i) n, kun n =,,..., joten m = on joukon A lrj. (ii) Jos m on joukon A lrj, niin m =, joten m m. Siis inf A =. (Kosk A, niin min A = = inf A.) Osoitetn seurvksi, että M = = sup A. 94

99 (i), kun n =,,..., joten M = on joukon A ylärj. n (ii) Jos M on joukon A ylärj, niin on osoitettv, että M M =. Vstoletus: M <. Vlitn n N niin, että n > M n > M. Silloin n A j n > M, joten M ei ole joukon A ylärj. Ristiriit. Siten sup A = M =. ( / A, joten joukoll A ei ole mksimi.) Täydellisyysksioom. Olkoon A R, A. Jos A on ylhäältä rjoitettu, niin joukoll A on pienin ylärj (eli sup A on olemss). Jos A on lhlt rjoitettu, niin joukoll A on suurin lrj (eli inf A on olemss). Täydellisyysksioomn merkitys on siinä, että vikk rjoitetull joukoll ei yleensä ole mksimi eikä minimiä, niin sillä kuitenkin on pienin ylärj j suurin lrj. Huomutus A Täydellisyysksioom on erittäin tärkeä relilukujen ominisuus, jot esimerkiksi rtionliluvuill ei ole: Joukoll A = {x Q x 0, x < } ei ole supremumi joukoss Q. Todistuksen ide: Kosk A j A on ylhäältä rjoitettu, niin täydellisyysksioomn nojll on olemss M = sup A R. Lisäksi M = (hrjoitustehtävä). Kosk M / Q j supremum on yksikäsitteinen, niin joukoll A ei ole pienintä ylärj joukoss Q. Siten Q ei toteut täydellisyysksioom. Intuition mukn täydellisyysksioom tk, ettei relikseliss ole reikiä. Reliluvut R voidn määritellä järjestettynä kuntn, jok sisältää rtionliluvut Q j toteutt täydellisyysksioomn. Krkesti snottun relilukujen kikki täydellisyysksioomn liittyvät ominisuudet ovt nlyysiä, muut lgebr. Ongelmn täydellisyysksioomn käytössä on kuitenkin, ettei se nn mitään keino löytää supremumi ti infimumi. Käytännössä ensin on tehtävä (hyvä) rvus j sitten todistettv se oikeksi. Jos joukko ei ole ylhäältä rjoitettu, sillä ei ole supremumi (vstvsti lhlt rjoittmton joukko j infimum). Myöskään tyhjällä joukoll ei ole supremumi eikä infimumi. Usein kuitenkin käytetään seurvi merkintöjä: sup A = A ei ole ylhäältä rjoitettu, inf A = A ei ole lhlt rjoitettu, sup =, inf = (mikä thns luku on tyhjän joukon ylä- j lrj). Käytännössä supremum knntt yrittää määrittää seurvn luseen vull. Luse A Oletetn, että A R, A, A on ylhäältä rjoitettu j että M on joukon A ylärj. Silloin M = sup A jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen x A, että x > M ε. 95

100 Todistus. : Oletetn, että M = sup A j tehdään vstoletus: On olemss sellinen ε > 0, että x M ε kikill x A = M ε on joukon A ylärj j M ε < M = M ei ole pienin ylärj. Ristiriit. : Oletetn, että M on joukon A ylärj, jolle luseen ehto pätee. Jos M < M, niin vlitn ε = M M > 0. Nyt on olemss sellinen x A, että x > M ε = M (M M ) = M. Siis M ei ole joukon A ylärj, joten M on joukon A pienin ylärj. Vstv tulos pätee myös infimumille: Luse A Oletetn, että A R, A, A on lhlt rjoitettu j että m on joukon A lrj. Silloin m = inf A, jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen x A, että x < m + ε. Esimerkki A Olkoon A = { } n n =,,.... Osoit, että sup A =. Rtkisu: Merkitään M =. Nyt n, n =,,..., joten M = on joukon A ylärj. Olkoon ε > 0. Vlitn n niin, että n > ε n > ε. Silloin n A j n > M ε. Siten M = sup A. Huom, että tässä ei käytetty vstoletust (toisin kuin edellä). Vstoletus sisältyy luseeseen A Todistetn seurvksi ilmeiseltä tuntuv väite, että luonnollisten lukujen joukko N ei ole rjoitettu. Tätä ominisuutt on jo käytetty esimerkeissä. Väite ei seur joukon R lgebrllisist (ts. sen lskutoimitusten) ominisuuksist vn todistuksess käytetään täydellisyysksioom. Luse A.0.38 (Arkhimedeen ominisuus). Jokist x R kohti on olemss sellinen n N, että x < n. Todistus. Vstoletus: On olemss sellinen x R, että n x kikill n N. Selvästi voidn olett, että x. = x on joukon N ylärj, joten N on ylhäältä rjoitettu = on olemss M = sup N R (täydellisyysksioom) = M ei ole joukon N ylärj, kosk M on pienin ylärj = on olemss sellinen m N, että m > M (M ei ole ylärj) = m + > M j m + N = M ei voi oll joukon N ylärj. Ristiriit. Kolmnnen j neljännen viheen voi perustell myös vlitsemll A = N j ε = luseess A

101 Huomutus A Arkhimedeen ominisuudest seur, että jokist x > 0 kohti on olemss sellinen n N että n < x (eli n > x ). Arkhimedeen ominisuutt käyttämällä voidn todist seurv luse. Luse A Khden erisuuren reliluvun välissä on in rtionliluku, ts. rtionliluvut ovt tiheässä joukoss R. Todistus. Olkoot x, y R sellisi, että y x > 0. Osoitetn, että on olemss sellnen m Q, n että x < m < y. Todistuksen iden on etsiä niin suuri luku n N, että väli ]nx, ny[ sisältää inkin n yhden kokonisluvun m. Nyt y x > 0, joten Arkhimedeen ominisuuden nojll löytyy sellinen n N, että n > y x. Kosk y x > 0, niin n < y x. Olkoon A = {k Z k > x} = {k Z k > xn} (n > 0). Arkhimedeen ominisuuden nojll n A. Nyt n( x) R, joten Arkhimedeen ominisuuden nojll löytyy sellinen p N, että p > n( x) = p n < x = p, (p + ), (p + ),... / A. Siten A on lhlt rjoitettu kokonislukujen joukko, joten inf A on olemss. Vlitn ε = luseess A Tällöin on olemss sellinen m A, että m < inf A + eli m < inf A. Siis m A j m / A, eli m > x j (m ) x. Näin ollen n n joten x < m n < y. m n = m + n n x + n < x + (y x) = y, Seurus A.0.4. Khden erisuuren reliluvun välissä on in irrtionliluku. Todistus. Olkoot luvut x j y sekä y > x. Luseen A.0.40 nojll välillä ]x, y [ on rtionliluku m n, ts. x < m n < y = x < m n + < y. Lisäksi m n + R\Q, sillä R\Q. Seurus A.0.4. Khden erisuuren reliluvun välissä on äärettömän mont rtionli- j irrtionliluku. Todistus. Olkoot luvut x j y, y > x. Tehdään vstoletus: Lukujen x j y välissä on n kpplett rtionlilukuj. Väli ]x, y[ voidn jk osväleihin, joit on (n + ) kpplett. Luseen A.0.40 nojll jokisell osvälillä on inkin yksi rtionliluku, joten väliltä ]x, y[ löytyy n + rtionliluku. Tämä on ristiriidss vstoletuksen knss, joten lukujen x j y välissä on ääretön määrä rtionlilukuj. Irrtionlilukuj koskev väite todistetn smll tvll käyttämällä seurust A

102 Luse A.0.43 (sisäkkäisten välien perite). Jos [, b ] [, b ] ovt sisäkkäisiä suljettuj välejä ( n, b n R, n =,,...), niin [ n, b n ] On siis olemss sellinen x R, että x [ n, b n ] kikill n =,,... n= Huomutus A () Sisäkkäisten välien perite kertoo smn kuin täydellisyysksioomkin eli ettei relikselill ole reikiä. Voidn todist, että sisäkkäisten välien perite on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss. () Luseen knnlt on olennist, että välit ovt suljettuj, esimerkiksi ] [ 0, =. n n= Perustelu: Vstoletus: ] [ ] [ n= 0, n. Tällöin on olemss sellinen x R, että x 0, n in, kun n =,,... Tälle luvulle x pätee siis 0 < x < eli n < in, kun n =,,... Tämä n x on ristiriidss Arkhimedeen ominisuuden knss. Huom, että n= [0, ] = {0} (hrjoitustehtävä). n (3) Luseen knnlt on olennist, että välit ovt rjoitettuj: (hrjoitustehtävä). [n, [ = n= Luseen A.0.43 todistus. Merkitään I n = [ n, b n ]. Tällöin I n I kikill n =,,... = n b n b n =,,... = A = { n n =,,...} on ylhäältä rjoitettu j A = on olemss M = sup A R (täydellisyysksioom) Kosk M = sup A on joukon A ylärj, niin n M kikill n =,,... Väite: M b n kikill n =,,... Perustelu: Todistetn, että jokinen b n, n =,,..., on joukon A ylärj. Oletetn, että n on kiinnitetty. Siten k b n jokisell k =,,... k n = I k I n = k b k b n k < n = I n I k = k n b n. = b n on joukon A ylärj = M b n, kosk M on pienin ylärj = n M b n kikill n =,,... = M [ n, b n ]. n= 98

103 Esimerkki A Olkoon x R. Vlitn, b Q, < b niin, että Jetn väli [, b ] khteen osn keskipisteestä x [, b ]. + b j vlitn näistä väli [, b ] niin, että, b Q, < b j x [, b ]. Jtketn näin. Kun [ n, b n ] on vlittu, niin jetn se khteen osn keskipisteestä n + b n j vlitn näistä seurv väli [ n+, b n+ ], n+, b n+ Q, n+ < b n+ niin, että x [ n+, b n+ ]. Siis n+ x b n+ b b. Näin sdn jono suljettuj sisäkkäisiä välejä joiden pituudet kun n. Lisäksi [, b ] [, b ], b n n = b n n {x} = = = b n 0, [ n, b n ]. Näin jokinen reliluku sdn määriteltyä rtionlipäätepisteisten välien vull. n= 99

104 Liite B Lukujonoist B. Lukujonon rj-rvo Määritelmä B... Relilukujono on kuvus x: Z + R, missä x(n) = x n. (x n ) = x, x, x 3,... Määritelmän trkoitus: Jokist luku n =,,... setetn vstmn reliluku x n. Määritelmää käytetään myös joukon Z + äärettömille osjoukoille numeroimll niiden lkiot uudelleen. Vroitus: Jono (x n ) ei s smist joukkoon Esimerkiksi ovt eri jonoj vikk {x n n =,,...}. (x n ) = 0,, 0,,... (y n ) =, 0,, 0,... {x n n =,,...} = {y n n =,,...} = {0, }. Jonoiss esimerkiksi termien järjestystä ei s muutt! Määritelmä B... Jonon (x n ) snotn suppenevn kohti luku R, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n < ε in, kun n n ε. Tällöin snotn, että on jonon (x n ) rj-rvo j merkitään lim x n = ti x n, kun n. Jos jono ei suppene kohti mitään luku, niin snotn, että se hjntuu. Määritelmän trkoitus: Kikki termit x n ovt mielivltisen lähellä pistettä, kun n on riittävän suuri. 00

105 Huomutus B..3. () Suppenevn jonon rj-rvo on yksikäsitteinen luku. Jono ei siis voi supet kohti kht eri luku. Perustelu: Tehdään vstoletus: = lim x n j b = lim x n sekä b. Vlitn ε = b > 0. Tällöin määritelmän B.. nojll on olemss selliset n ε, n ε Z +, että Kolmioepäyhtälön nojll on voimss rvio x n < ε, kun n n ε, j x n b < ε, kun n n ε. b = b x n + x n b x n + x n < ε + ε = ε = b, kun n mx{n ε, n ε}. Tämä on ristiriit, joten = b. () Rj-rvon määritelmä ei nn keino määrittää rj-rvo. Käytännössä ensin on tehtävä rvus siitä, mikä rj-rvo on, j sitten todistettv rvus oikeksi. Tässä on sm vikeus kuin täydellisyysksioomn käytössä. Joskus rj-rvon snotn olevn (ti ), jolloin käytetään seurv määritelmää. Määritelmä. Jonon (x n ) snotn hjntuvn kohti ääretöntä, merkitään lim x n = + (vstvsti ), jos j vin jos jokist M R kohti on olemss sellinen n 0 Z +, että x n > M (vstvsti x n < M) kikill n n 0. Esimerkki B..4. (x n ), x n =, n =,,... n Väite: lim x n = 0. Perustelu: Olkoon ε > 0. Silloin x n 0 = n 0 = n < ε, kun n > ε. Vlitn n ε pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin ε ominisuuden nojll). (vlint mhdollist Arkhimedeen Esimerkki B..5. Jono (x n ) = 0,, 0,,... hjntuu. Perustelu: Vstoletus: Jono (x n ) suppenee. Tällöin rj-rvo = lim x n R on olemss. Siis jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n < ε in, kun n n ε. Erityisesti, luku ε = kohti on olemss sellinen n Z +, että x n < in, kun n n. Täten = x n x n+ x n + x n+ < + = jokisell n n, mikä on ristiriit. Siis jono (x n ) hjntuu. Esimerkki B..6. Jono (x n ), x n = ( ) n( n), n =,,... hjntuu (vikk kuvst ktsottun näyttäisikin suppenevn kohti sekä luku että luku ) (hrjoitustehtävä). 0

106 Esimerkki B..7. Tutkitn jono (x n ), x n = 3n +, n =,,..., suppenemist. 5n + 3 Arvuksen tekeminen: Kun n on suuri, niin Väite: lim x n = n + 5n + 3 = 3 + n n 3 5. Perustelu: Olkoon ε > 0. Silloin x n 3 5 = 3n + 5n = 5n + 0 5n 9 5(5n + 3) = 5(5n + 3) < 5n < ε, kun n > 5ε. Siten n ε voidn vlit pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin 5ε. n + Esimerkki B..8. (x n ), x n =, n =,,... n Arvuksen tekeminen: Kun n on suuri, niin n + n = + n. Väite: lim x n =. Perustelu: Olkoon ε > 0. Silloin x n n + = n = < n < ε, n+ n n+ n + = ( n + + ) n kun n > ε. Siten n ε voidn vlit pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin ε. Määritelmä B..9. Jono (x n ) snotn rjoitetuksi, jos sitä vstv joukko {x n } on rjoitettu eli on olemss sellinen reliluku M > 0, että x n M kikill n =,,... Lemm B..0. Suppenev jono (x n ) on rjoitettu. Todistus. Olkoon = lim x n. Tällöin Vlitn ε =, jolloin ε > 0 n ε Z + siten, että x n < ε, kun n n ε. n Z + siten, että x n <, kun n n = x n x n + x n + < +, kun n n. 0

107 Toislt Siis x n mx{ x, x,..., x n }, kun n n. x n mx{ +, x,..., x n } kikill n =,,..., j väite pätee, kun vlitn siinä M = mx{ +, x,..., x n }. Huomutus B... Käänteinen väite ei päde. Siitä, että jono on rjoitettu, ei seur, että se suppenee. Esimerkiksi jono (x n ) = 0,, 0,,... hjntuu vikk se on rjoitettu. Lemm B..0 voidn kuitenkin käyttää jonon hjntumisen näyttämiseen. Esimerkiksi jono (x n ), x n = n, n =,,..., ei ole rjoitettu, joten se ei suppene. Esimerkki B... Olkoon (x n ), x n = {, n n priton, n, n prillinen. Jono (x n ) ei ole rjoitettu, joten se ei suppene (vikk kuvst ktsottun näyttäisikin suppenevn kohti noll). Esimerkki B..3. Trkstelln jono (s n ), missä s n = n, n =,,... k Osoit, että jono (s n ) hjntuu. Perustelu: Osoitetn, että (s n ) ei ole rjoitettu. Nyt s =, s = +, s 4 = + ( ) > = +, s 8 = + ( ) ( ) 8 > = + 3. Induktioll luvun n suhteen voidn todist, että s n + n = + n, n = 0,,,..., j + n, kun n. Siis (s n) ei ole rjoitettu, eikä siten suppene. (Hrmoninen srj hjntuu.) Huom, että (s n ) hjntuu todell hitsti: s n, kun n = Lskimest ti tietokoneest ei juurikn ole pu suppenemisen totemisess. Huomutus B..4. Rj-rvoille pätevät seurvt lgebrlliset ominisuudet (hrjoitustehtävä): Jos jonot (x n ) j (y n ) suppenevt sekä lim x n = j lim y n = b, niin myös jonot (x n +y n ), (x n y n ) j (x n y n ) suppenevt. Jos y n 0 kikill n =,,..., j b 0, niin myös jono ( x n yn ) suppenee. Näiden jonojen rj-rvot ovt tällöin 03

108 (i) lim (x n + y n ) = + b, (ii) lim (x n y n ) = b, (iii) lim (x n y n ) = b, x n (iv) lim = y n b, kun y n 0, n =,,..., j b 0. Vroitus: Siitä, että summjono (x n + y n ) suppenee, ei voi päätellä, että lkuperäiset jonot (x n ) j (y n ) suppenevt. Vstv tulos pätee muillekin lskutoimuksille. Jos esimerkiksi x n = ( ) n j y n = ( ) n+, n =,,..., niin x n + y n = 0 kikill n =,,... Näin ollen mutt jonot (x n ) j (y n ) eivät suppene. lim (x n + y n ) = 0, Luse B..5 (epäyhtälön säilymisen perite). Olkoot (x n ) j (y n ) sellisi suppenevi jonoj, että x n y n kikill n =,,.... Silloin lim x n lim y n. Todistus. Merkitään = lim x n j b = lim y n. Olkoon ε > 0, jolloin on olemss selliset n ε j n ε, että x n < ε, kikill n n ε, j y n b < ε, kikill n n ε. Kosk x n x n j y n b y n b, niin x n < ε j y n b < ε, kun n mx{n ε, n ε} = n ε = b = ( x n ) + (y n b) + (x n y n ) < ε }{{} + ε = ε, kun n n ε 0 = b < ε kikill ε > 0. Täten b 0, eli lim x n = b = lim y n. Vroitus: Aito epäyhtälö ei välttämättä säily rjnkäynnissä: Esimerkiksi x n = 0, y n =, n =,,... Tällöin n x n < y n = / lim x n < lim y n. x n < y n, n =,,..., mutt lim x n = 0 = lim y n. Lusett B..5 vstv tulos pätee myös silloin, kun rj-rvo on ±. Todistus jätetään hrjoitukseksi. 04

109 Luse B..6. Olkoot (x n ) j (y n ) jonoj. Oletetn, että on olemss sellinen n 0 Z +, että x n y n kikill n n 0. Jos lim x n = +, niin myös lim y n = +. Jos lim y n =, niin myös lim x n =. Jos nnetun jonon lkioille tiedetään sm luku kohti suppenev ylä- j lrj, niin smn tpn kuin epäyhtälön säilymisen perite sdn seurv, käyttökelpoinen tulos. Luse B..7 (suppiloperite). Oletetn, että (x n ), (y n ) j (z n ) ovt sellisi jonoj, että Jos (x n ) j (z n ) suppenevt kohti sm luku eli x n y n z n kikill n =,,... lim x n = = lim z n, niin myös (y n ) suppenee j lim y n =. Todistus. Olkoon ε > 0 mielivltinen, jolloin on olemss selliset n ε j n ε, että Kosk niin Siis joten lim y n =. x n < ε kikill n n ε, j z n < ε kikill n n ε. x n x n < ε, kun n n ε, j z n z n < ε, kun n n ε, ε < x n y n z n < + ε, kun n mx{n ε, n ε} = n ε. y n < ε, kikill n n ε, Huomutus B..8. Suppiloperittess on tärkeää, että jonot (x n ) j (z n ) suppenevt kohti sm luku. Esimerkiksi jonoille x n =, y n = ( ) n j z n =, kun n =,,..., on voimss j x n y n z n, mutt (y n ) hjntuu. Esimerkki B..9. Osoit, että lim sin n n = 0. lim x n = = lim z n Rtkisu: Kosk sin n kikill n =,,..., niin Vlitn suppiloperitteess x n = n, n sin n n, n =,,... n y n = sin n n, z n =, n =,,... n 05

110 Tällöin joten myös lim sin n n = 0. Vroitus: sin n lim n lim x n = lim z n = 0, lim sin n lim n Esimerkki B..0. Osoit, että lim 5n + 4 5n + 4n + 3 = 0. Rtkisu: Arvioidn lusekett 5 n = 5n n = 5n + 4 5n + 4n + 3 kun n =,,... Vlitn suppiloperitteess (jälkimmäinen ei ole olemss) 5n 5n + 4n + 3n 5n + 4 5n + 4n + 3 x n = 5 n, y n = jolloin lim x n = lim z n = 0 j siten myös ylöspäin j lspäin (esimerkiksi) seurvsti: 5n n 5n + 4n + 3 = n, 5n + 4 5n + 4n + 3, z n =, n =,,..., n lim 5n + 4 5n + 4n + 3 = 0. Huom, että nämä esimerkit voidn myös käsitellä suorn suppenevn jonon määritelmän vull. B. Monotoniset jonot Määritelmä B... Jono (x n ) snotn (i) ksvvksi, jos x n+ x n kikill n =,,..., idosti ksvvksi, jos x n+ > x n kikill n =,,..., (ii) väheneväksi, jos x n+ x n kikill n =,,..., idosti väheneväksi, jos x n+ < x n kikill n =,,..., (iii) monotoniseksi, jos se on ksvv ti vähenevä, idosti monotoniseksi, jos se on idosti ksvv ti idosti vähenevä. Esimerkki B... () x n = n, n =,,... (x n ) on idosti ksvv. () x n = n, n =,,... (x n) on idosti vähenevä. (3) x n =, n =,,... (x n ) on vkiojonon sekä ksvv että vähenevä. (4) x n = ( ) n, n =,,... (x n ) ei ole ksvv eikä vähenevä. Luse B..3 (monotonisen suppenemisen luse). Monotoninen jono suppenee jos j vin jos se on rjoitettu. Lisäksi pätee: 06

111 (i) Jos (x n ) on ksvv j ylhäältä rjoitettu, niin lim x n = sup{x n n =,,...}. (ii) Jos (x n ) on vähenevä j lhlt rjoitettu, niin lim x n = inf{x n n =,,...}. Todistus. : Jos jono (x n ) suppenee, niin lemmn B..0 nojll se on rjoitettu. : Todistetn koht (i). Tällöin erityisesti ksvv j rjoitettu jono suppenee, eli kohdst (i) seur ensimmäisen väitteen toinen suunt ksvville jonoille. Olkoon (x n ) ksvv j ylhäältä rjoitettu. Tällöin on olemss sellinen M R, että Täydellisyysksioomn nojll on olemss. Osoitetn, että = lim x n. x n M kikill n =,,... sup{x n n =,,...} = R Olkoon ε > 0 mielivltinen. Luseen A.0.35 nojll on olemss sellinen n ε, että x nε > ε. Kosk jono (x n ) on ksvv, niin x n x nε > ε kikill n n ε = ε < x n < + ε kikill n n ε ( on ylärj) = ε < x n < ε kikill n n ε = x n < ε n n ε = = lim x n. Koht (ii) todistetn vstvll tvll (hrjoitustehtävä). Huomutus B..4. () Edellä monotonisuusoletus on olenninen. Esimerkiksi jono x n = ( ) n, n =,,..., on rjoitettu, mutt se ei suppene. () Voidn osoitt, että monotonisen suppenemisen luse on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). Esimerkki B..5 (Newtonin menetelmä). Jtko esimerkkiin A.0.8. Olkoon f(x) = x. Silloin f(x) = 0 x = ±. Asetetn x =. Käyrän y = f(x) pisteeseen (x, f(x )) piirretyn tngentin yhtälö on y = f(x ) + f (x )(x x ). Tngentti leikk x-kselin, kun y = 0, eli kohdss x = x f(x ) f (x ) = x x x = x + x. 07

112 Merkitään x = x + x. Vstvsti käyrän pisteeseen (x, f(x )) piirretty tngentti leikk x-kselin kohdss x 3 = x + x, jne. Iteroidn tätä: Olkoon Väite : Jos (x n ) suppenee, niin lim x n =. x =, x n+ = x n + x n, n =,,... Perustelu: Olkoon = lim x n. Kosk x n, n =,,... (esimerkki.6), niin epäyhtälön säilymisperitteen nojll > 0. = = lim x n+ = lim x n + x n = = = + ( > 0) = = Kosk > 0, niin =. = = ± Väite : Jono (x n ) suppenee (tämä ei ole selvää!). ( ) lim x n + ( ) = lim x n + Perustelu: Esimerkissä.6 on jo osoitettu, että x n+ x n, n =, 3,... j että x n, n =, 3,... Siten jono x, x 3,... on vähenevänä j rjoitettun jonon suppenev. Siis = lim x n on olemss j Väitteen nojll =. Vroitus: Rj-rvon olemssolo on todistettv erikseen rekursiivisesti määritellyille jonoille. Esimerkki B..6. Olkoon Jos = lim x n olisi olemss, niin x =, x n+ = x n +, n =,,... x n + = lim x n+ = lim = + = 0 = ( ) = 0 = =. = + Tässä tpuksess rj-rvo ei ole olemss, ts. (x n ) ei suppene. Perustelu: sillä x n+ = x n + = x n + x n +, n =,,..., x n x n x n ( xn ) 0 x n, n =,,... Todistetn induktioll, että x n, n =,,... 08

113 ) x =. ) Tehdään induktio-oletus: x k jollkin k Z +. Tällöin induktio-oletuksen nojll x k+ = x k + + = 5. Induktioperitteen nojll x n, n =,,... Tästä seur (induktioll), että x n x n + x n + x + (n ) = + n, kun n =,,... Siten jono (x n ) ei ole rjoitettu eikä se suppene. Esimerkki B..7. Olkoon Osoit, että jono (s n ) suppenee. s n = +! +! + + n! = n, n =,,... k! Rtkisu: Selvästi (s n ) on (idosti) ksvv, sillä s n+ = s n + (n+)! > s n, kun n =,,.... Lisäksi s n (n )n ( = + + ) ( + ) ( n ) n = 3 n 3, n =,,... Edellä on käytetty ensin rviot k! (k )k (k )k j sitten osmurtohjotelm = k (k ) (k )k = k k, kun k =,..., n. Jono (s n ) siis suppenee, kosk se on ksvv j rjoitettu. Voidn osoitt (tosin ei helposti), että rj-rvo on Neperin luku e =, , toisin snoen e = lim s n = Esimerkki B..8. Olkoon x = j x n+ = 6 (x n + 9), n =,,... Osoit, että lukujono (x n ) suppenee j määrää lim x n. Rtkisu: Väite : Jos (x n ) suppenee, niin lim x n = 3. Todistus: Jos = lim x n on olemss, niin k!. = lim x n+ = lim 6 (x n + 9) = (( lim 6 x n) + 9) = = = 0 = ( 3) = 0 = = 3. 09

114 Väite : 0 < x n < 3 kikill n =,,.... Todistus: Todistetn väite induktioll luvun n suhteen. ) Väite on tosi, kun n =, sillä 0 < x = < 3. ) Induktio-oletus: Väite on tosi, kun n = k, toisin snoen 0 < x k < 3. Induktioväite: Väite on tosi, kun n = k +, toisin snoen 0 < x k+ < 3. Induktiotodistus: Kosk x k > 0, niin x k+ = 6 (x k + 9) > 0 j induktio-oletuksen nojll x k+ = (x k + 9) 6 < (kosk 0 < x k < 3, niin x k < 9). Siis 0 < x k+ < 3. Induktioperitteen nojll Väite on tosi kikill n Z +. Väite 3: x n+ > x n kikill n =,,... Todistus: Väitteen nojll = 3 joten x n+ > x n kikill n Z +. x n+ x n = 6 (x n + 9) x n = (x n 3) 6 > 0, Täten jono (x n ) on ksvv j (ylhäältä) rjoitettu, joten monotonisen suppenemisen luseen nojll (x n ) suppenee. Väitteen nojll lim x n = 3. B.3 Osjonot Määritelmä B.3.. Jono (y k ) snotn jonon (x n ) osjonoksi, jos on olemss selliset luvut n < n <..., että y k = x nk kikill k =,,... Määritelmän trkoitus: Osjono sdn lkuperäisestä jonost jättämällä pois tämän lkioit j numeroimll sdun jonon lkiot uudelleen smss järjestyksessä. Huomutus B.3.. () Jono (x n ) on sellinen kuvus x: Z + R, että x(n) = x n. Olkoot n k Z + sellisi, että n < n <... Tällöin on olemss kuvus Osjono (x nk ) on yhdistetty kuvus () Huom, että in n k k. σ : Z + {n, n,...}, σ(k) = n k. x σ : Z + R, (x σ)(k) = x(σ(k)) = x(n k ) = x nk. Esimerkki B.3.3. Olkoot x n = n, n =,,... Seurvss on eräitä jonon (x n) osjonoj: ( ) (y k ) = (x k ) = = k, 4, 6,... ( ) (y k ) = (x k ) = =, k 3, 5, 7,... 0

115 ( ) (y k ) = (x k) = = k, 4, 8, 6,... ( (y k ) = (x k! ) = =, k!)!, 3!,... Seurvt jonot eivät ole jonon (x n ) osjonoj:,, 4, 3, 6, 5,..., 0, 3, 0, 5, 0,...,,,, 3, 3,... Luse B.3.4. Jos jono (x n ) suppenee kohti luku, niin sen jokinen osjono suppenee kohti luku. Kääntäen jos jonon (x n ) jokinen osjono suppenee, niin myös (x n ) suppenee. Todistus. Oletetn, että lim x n =. Olkoon (y k ) jonon (x n ) osjono j y k = x nk, n k k. Kosk lim x n =, niin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että Jos k n ε, niin n k k n ε j Siten lim k y k =. x n < ε kikill n n ε. y k = x nk < ε, kun k n ε. Käänteinen väite on selvä, sillä (x n ) on itsensä osjono. Huomutus B.3.5. Luse B.3.4 nt keinon todist, että jono hjntuu. Riittää löytää osjono, jok ei suppene, ti kksi osjnono, jotk suppenevt eri lukuj kohti. Muist kuitenkin, että yhden osjonon suppeneminen ei tk lkuperäisen jonon suppenemist. Esimerkki B.3.6. Jono x n = ( ) n ( n ), n =,,..., hjntuu. Perustelu: x n = 0,, 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7,... Jonoll (x n) on suppenevt osjonot (y k ) = (x k ), ( x k = ( ) k ), kun k k (prilliset indeksit) j (y k ) = (x k ), ( x k = ( ) k ) k, kun k (prittomt indeksit). Kosk osjonot suppenevt kohti eri lukuj, niin lkuperäinen jono ei suppene.

116 Esimerkki B.3.7. Jono hjntuu. x n = n, n prillinen, n, n priton Perustelu: (x n ) =,, 3, 4, 5, 6, 7,... Osjono (y k) = (x k ) = ( k) suppenee j osjono (yk ) = (x k ) = (k ) ei ole rjoitettu, joten se hjntuu. Siis (x n ) hjntuu. Luse B.3.8 (Bolznon Weierstrssin luse). Rjoitetull jonoll on suppenev osjono. Todistus. Olkoon jono (x n ) rjoitettu. Tällöin on olemss selliset m, M R, että m x n M kikill n =,,... Merkitään = m j b = M. Silloin x n [, b ] kikill n =,,... Jetn väli [, b ] khteen osn keskipisteestään c = + b. Tällöin inkin toinen väleistä [, c ], [c, b ] sisältää äärettömän mont jonon (x n ) lkiot, sillä jos molemmt sisältäisivät vin äärellisen mont jonon lkiot, niin koko jonoss olisi vin äärellisen mont lkiot. (Huom, että {x n n =,,...} voi oll äärellinen joukko, mutt sitä ei s smist jonoon (x n ). Esimerkiksi jonon (x n ) =,,,,... lkiot muodostvt joukon {x n n =,,... } = {, }.) Vlitn näistä väli, joss on äärettömän mont jonon lkiot j merkitään sitä [, b ]. Jtketn näin. Olkoon c k = k + b k välin [ k, b k ] keskipiste j vlitn väleistä [ k, c k ], [c k, b k ] se, jok sisältää äärettömän mont jonon lkiot. Merkitään vlittu väliä [ k+, b k+ ]. Kosk välit [ k, b k ], k =,,..., ovt sisäkkäisiä suljettuj välejä, niin sisäkkäisten välien peritteen (luse A.0.43) nojll on olemss sellinen x 0 R, että Toislt, kosk välien [ k, b k ] pituus niin b k k = b k k x 0 [ k, b k ]. = = b k 0, kun k, [ k, b k ] = {x 0 }. Konstruoidn sitten suppenev osjono. Vlitn n =, jolloin x n [, b ]. Vlitn sitten luvut n k+ induktiivisesti niin, että n k+ > n k j x nk+ [ k+, b k+ ]. Tämä on mhdollist, sillä jokinen väli [ k+, b k+ ] sisältää äärettömän mont jonon (x n ) lkiot.

117 Nyt x nk, x 0 [ k, b k ], joten Siis j (x nk ) kelp suppenevksi osjonoksi. x nk x 0 b k k = b k 0, kun k. x 0 = lim k x nk Huomutus B.3.9. () Suppenev osjono ei ole yksikäsitteinen. Esimerkiksi jonoll x n = ( ) n, n =,,... on suppenevt osjonot (x k ) =,,... j (x k ) =,,... () Bolznon Weierstrssin luse yleistää monotonisen suppenemisen luseen. Bolznon Weierstrssin luseen nojll erityisesti jokisell rjoitetull monotonisell jonoll on suppenev osjono j monotonisuudest seur, että lkuperäinenkin jono suppenee. (3) Bolznon Weierstrssin luse voidn todist myös monotonisen suppenemisen luseen vull, sillä jokisell jonoll (ilmn mitään ehtoj!) on in monotoninen osjono (hrjoitustehtävä). (4) Voidn todist, että Bolznon Weierstrssin luse on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). Esimerkki B.3.0. Osoitetn, että jokist [0, ] kohti on olemss sellinen jonon osjono, jok suppenee kohti luku. Jonon (x n ) lkiot ovt muoto (x n ) =, 3, 3, 4, 4, 3 4, 5, 5, 3 5, 4 5,... m, missä k =,,... j m =,,..., k, k + olevi rtionlilukuj. Nämä luvut on järjestetty ryhmiin, joill on sm nimittäjä k +, kun k =,,... Selvästi jono (x n ) käy lävitse (numeroi) kikki välin ]0, [ rtionlipisteet, toisin snoen {x n n =,,...} = Q ]0, [. Olkoon [0, ]. Hluttu, luku kohti suppenev, osjono löytyy, kun todistetn seurv väite: Jokist k =,,... kohti on olemss sellinen x nk Q ]0, [, että x nk < k j n k > n k. Todistus: Vlitn n =, jolloin x n = j x n <. Oletetn sitten, että indeksit n < n < < n k on vlittu niin, että x nj <, j =,,..., k. j 3

118 Väli ] k +, + [ ]0, [ k + on epätyhjä, joten seuruksen A.0.4 nojll se sisältää äärettömän mont rtionliluku. Siten on olemss sellinen n k+ > n k, että x nk+ < k +. Näin jono (x nk ) sdn määriteltyä induktiivisesti. Jokist k =,,... kohti on siis olemss sellinen x nk, että x nk < k. Tästä seur, että lim x n k =. k Seurvt käsitteet ovt tärkeitä nlyysin jtkokursseill. Olkoon (x n ) rjoitettu jono, ts. on olemss sellinen M > 0, että x n M kikill n N. (i) Määritellään uusi jono ( n ) settmll Tällöin n = sup{x k k n} = sup x k. k n n+ = sup{x k k n + } = sup x k n k n+ (jos A B, niin sup A sup B), joten jono ( n ) on vähenevä. Lisäksi M x k M kikill k = M n = sup x k M k n = n M kikill n, kikill n joten jono ( n ) on rjoitettu. Luseen B..3 nojll ( n ) suppenee j lim n = inf{ n n =,,... }. Tälle rj-rvolle (ns. limes superior) käytetään merkintää lim n = lim sup x k = k n lim sup x n. (ii) Muodostetn vstvsti jono (b n ), jolle b n = inf k n x k, n =,,... Jono (b n ) on ksvv j kuten edellä nähdään, että b n M kikill n. Siten luseen B..3 nojll (b n ) suppenee j lim b n = sup{b n n =,,... }. Tälle rj-rvolle (ns. limes inferior) käytetään merkintää lim b n = lim inf k n x k = lim inf x n. Huomutus B.3.. Olkoon (x n ) rjoitettu jono sekä U = lim sup x n j L = lim inf x n. Todistukset sivuutten minitn, että tällöin (i) L U, (ii) on olemss sellinen osjono (x nk ), että lim k x nk = U, 4

119 (iii) on olemss sellinen osjono (x nl ), että lim l x nl = L, (iv) Jono (x n ) suppenee jos j vin jos L = U. Esimerkki B.3.. Merkitään U = lim sup x n j L = lim inf x n. () Olkoon x n = ( ) n, n =,,... Tällöin U = j L =. j jono (x n ) hjntuu (vert huomutuksen B.3. kohtn (iv)). () Olkoon x n = n, n =,,... Tällöin U = L =, joten huomutuksen B.3. kohdn (iv) n+ mukn myös lim x n = (hrjoitustehtävä). (3) Olkoon x n = n( + ( ) n ), n =,,... Tällöin L = 0 j U ei ole olemss (hrjoitustehtävä). B.4 Cuchyn jono Määritelmä B.4.. Jono (x n ) snotn Cuchyn jonoksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n x m < ε in, kun n, m n ε. Määritelmän trkoitus: Kikki jonon termit x n ovt mielivltisen lähellä toisin, kun n on riittävän suuri. Huomutus B.4.. () Vikk Cuchyn jonon määritelmä näyttää melkein smlt kuin jonon rj-rvon määritelmä, siinä on vin jonon termejä eikä mhdollist rj-rvo. () Ehto voidn kirjoitt muodoss: x n x n+p < ε in, kun n n ε j p Z +. Vroitus: Cuchyn ehto ei voi kirjoitt seurvsti: jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n x n+ < ε in, kun n n ε eli Esimerkiksi käy jono lim (x n x n+ ) = 0. (x n ) =,,, 3, 3, 3, 3 4, 3 4, 33 4,... Silloin lim (x n x n+ ) = 0, mutt (x n ) ei ole Cuchyn jono (jono (x n ) ei myöskään suppene). Esimerkki B.4.3. Osoitetn, että jono (x n ), x n =, n =,,..., on Cuchyn jono. n Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin kolmioepäyhtälön nojll x n x m = n m n + m < ε + ε = ε, kun n, m > ε. Siten n ε voidn vlit (esimerkiksi) pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin ε. 5

120 Esimerkki B.4.4. Osoitetn, että (x n ), x n = n+, n =,,..., on Cuchyn jono. n Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin kolmioepäyhtälön nojll x n x m = n + n m + m = mn + m (mn + n) nm = m n nm n + m < ε + ε = ε, kun n, m > 4 ε. Siten n ε voidn vlit (esimerkiksi) pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin 4 ε. Esimerkki B.4.5. Osoitetn, että jono (x n ), x n = + ( ) n, n =,,..., ei ole Cuchyn jono. On siis osoitettv, että löytyy sellinen ε > 0, että jokist N N kohti on olemss selliset n, m N, että x n x m ε. Kosk x n x n+ =, niin edellä voidn vlit ε = j nähdään, että (x n ) ei ole Cuchyn jono. Huom, että kksi peräkkäistä termiä riittävät vstesimerkkiin. Luse B.4.6 (Cuchyn suppenemiskriteeri). Relilukujono (x n ) suppenee jos j vin jos se on Cuchyn jono. Todistus. : Oletetn, että jono (x n ) suppenee j = lim x n. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin on olemss sellinen n ε, että x n < ε kikill n n ε. Siten eli (x n ) on Cuchyn jono. x n x m x n + x m < ε + ε = ε kikill n, m n ε, : Olkoon (x n ) Cuchyn jono. Osoitetn ensin, että jono (x n ) on rjoitettu. Kosk (x n ) on Cuchyn jono, niin luku ε = kohti on olemss sellinen n, että x n x m <, kun n, m n = x n x n + x n x n x n +, kun n n. Lisäksi x n mx{ x,..., x n }, kun n < n. Täten eli jono (x n ) on rjoitettu. x n mx{ x,..., x n, x n + } = M kikill n =,,... Bolznon Weierstrssin luseen (luse B.3.8) nojll jonoll (x n ) on suppenev osjono (x nk ). Merkitään = lim k x nk j osoitetn, että tämä on myös jonon (x n ) rj-rvo. Kolmioepäyhtälön nojll x n x n x nk + x nk. 6

121 jokisell n, k Z. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Kosk (x n ) on Cuchyn jono, niin on olemss sellinen n ε, että x n x nk < ε, kun n, n k n ε. Kosk jono (x nk ) suppenee, niin on olemss sellinen n ε, että Vlitn kiinteä n k mx{n ε, n ε}. Silloin eli = lim x n. x nk < ε, kun n k n ε. x n < ε + ε = ε, kikill n n ε, Huomutus B.4.7. () Todistuksest nähdään, että Cuchyn jono suppenee jos j vin jos sillä on yksikin suppenev osjono. Sm ominisuus pätee monotonisille rjoitetuille jonoille, mutt ei mielivltisille (rjoitetuille) jonoille. () Cuchyn suppenemiskriteeri on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). (3) Luseen B.4.6 mukn relilukujonon rj-rvo ei trvitse tietää, kun osoitetn, että jono suppenee. Pelkkien jonon lkioiden trkstelu riittää. n Esimerkki B.4.8. Osoitetn, että jono (s n ), s n =, n =,,..., suppenee eli rj-rvo k on olemss. lim s n = lim n k = k Tehdään tämä osoittmll, että (s n ) on Cuchyn jono. Olkoon ε > 0. Jos m > n, niin s n s m = = = m k m k(k ) k=n+ k=n+ m k + k k(k ) = m ( k ) k k=n+ k=n+ ( n ) ( + n + n + ) ( + + n + m ) m = n m < n < ε, kun n > ε. Jos n m, niin vihtmll edellä lukujen n j m roolit nähdään, että s n s m < m < ε, kun m > ε. Tästä seur, että s n s m < ε kikill n, m > ε, joten (s n ) on Cuchyn jono j se suppenee Cuchyn kriteerin nojll. On mhdollist todist, että lim s n = π 6. 7

122 Esimerkki B.4.9. Osoitetn, että jono (s n ), s n = n, n =,,..., hjntuu. Nyt k s n s n = n + + n n n n =. Vlitn ε =. Tällöin jokist N N kohti on olemss selliset n N j m = n N, että s n s n = ε, joten (s n ) ei ole Cuchyn jono eikä siten suppene. Esimerkki B.4.0. Osoitetn, että jono (s n ), n s n = ( ) k+ k = ( )n+ n, suppenee, toisin snoen että lim s n = ( ) k+ k on olemss. Tehdään tämä osoittmll, että (s n ) on Cuchyn jono. Olkoon ε > 0. Olkoon luksi m > n j osoitetn, että s m s n < kikill n =,,... Trkstelu on prs jk khteen osn sen n+ mukn, onko m n prillinen vi priton:. Jos m = n + p (eli m n on prillinen luonnollinen luku), niin n+p s m s n = s n+p s n = ( ) k+ k k=n+ = n + n m m = n + n m m = ( n + n + ) n + 3 < n + kikill n =,,.... Jos m = n + p + (eli m n on priton luonnollinen luku), niin ( m ) m m n+p+ s m s n = s n+p+ s n = ( ) k+ k k=n+ = n + n m m + m = n + n m m + m = ( n + n + ) ( n + 3 m ) m < kikill n =,,... n + 8

123 Näiden khden kohdn nojll s m s n < n + < n < ε, kun n > ε. Jos toislt n m, niin vihtmll edellä lukujen n j m roolit nähdään, että s n s m < m + < m < ε, kun m > ε. Tästä seur, että s n s m < ε, kun n, m > ε, joten (s n ) on Cuchyn jono j suppenee Cuchyn kriteerin nojll. Lisätieto: Jonon (s n ) rj-rvo on ns. lternoiv hrmoninen srj, johon pltn myöhemmin srjoj trkstelevss luvuss. Voidn osoitt, että tämä rj-rvo on ( ) k+ k = ln. Huomutus B.4.. () Kurssill Anlyysi III tutkitn täydellisiä vruuksi, jotk määritelmänsä nojll ovt sellisi, että jokinen Cuchyn jono suppenee. () Reliluvut voidn konstruoid käyttämällä rtionlilukujen Cuchyn jonoj: Olkoot (x n ), (y n ) Cuchyn jonoj, missä x n, y n Q, n =,,... Määritellään ekvivlenssireltio Cuchyn jonoille settmll (x n ) (y n ) lim (x n y n ) = 0. Reliluvut voidn nyt määritellä tämän ekvivlenssin ekvivlenssiluokkin. 9

124 LOPPU 0