Sarjat ja integraalit

Transkriptio

1 Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: Viimeksi muoknnut: Peter Hästö

2 Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä Funktion rj-rvo Funktion jtkuvuus Funktion tsinen jtkuvuus Srjt 7. Srjn suppeneminen Suppenemistestejä positiivitermisille srjoille Itseisesti suppenevt srjt Vuorottelevt srjt Riemnnin integrli 4 3. Integrlin perusominisuuksi Anlyysin perusluse Epäoleelliset integrlit 58 5 Funktiojonot j -srjt Pisteittäinen j tsinen suppeneminen Jonon j srjn derivoiminen j integroiminen Potenssisrjt Potenssisrjn suppeneminen Potenssisrjn summfunktion ominisuuksi i

3 A Relilukujen peruskäsitteitä 90 B Lukujonoist 00 B. Lukujonon rj-rvo B. Monotoniset jonot B.3 Osjonot B.4 Cuchyn jono ii

4 Esipuhe Tämä moniste vst sisällöltään ikisemp monistett Anlyysi I. Monisteeseen ilmntunee pieniä korjuksi kurssin kuluess, eli ei välttämättä knnt tulost sitä kokonisuudessn etukäteen, vn sitä mukn kuin mterili trvitsee. Ensimmäinen luku on osittin päällekkäinen Euklidisen topologin kurssin knss. Srjt j integrlit lk funktioiden rj-rvon j jtkuvuuden nopell kertmisell, jost siirrytään käsittelemään ensimmäisenä uuten teemn funktion tsist jtkuvuutt. iii

5 Luku Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä Kerrtn luksi peruskäsitteitä kurssist PM I. Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen määritysjoukon eli lähtöjoukon A = D f lkioon x yksikäsitteisesti jonkin mlijoukon B lkion y, merkitään y = f(x). Joukko R f = {y B y = f(x), x A} on funktion f kuv- eli rvojoukko. Tätä merkitään usein myös f(a). Funktiot f : A B snotn () surjektioksi, jos R f = B, () injektioksi, jos on voimss ehto x x = f(x ) f(x ), (3) bijektioksi, jos se on injektio j surjektio. Injektion ehdon voi ilmist myös muodoss Esimerkki... Olkoon f : A B, f(x) = x. f(x ) = f(x ) = x = x. () Jos A = B = R eli f : R R, niin f ei ole injektio (f( x) = f(x)) eikä surjektio ( / R f )). () Jos A = R j B = {x R x 0} eli f : R {x R x 0}, niin f on surjektio, mutt ei ole injektio. (3) Jos A = B = {x R x 0} eli f : {x R x 0} {x R x 0}, niin f on surjektio j injektio (f(x ) = f(x ) = x = x = x = x, sillä x, x 0), joten f on bijektio. Huomutus... Ellei toisin minit, niin tällä kurssill käytetään seurv sopimust: Kun funktio f on nnettu lusekkeen, niin sen määritysjoukko D f on ljin mhdollinen relilukujen osjoukko, joss luseke on mielekäs. Esimerkiksi funktion f(x) = + x 3 x+5 määritysjoukko on D f = {x R x > 5 j x 3}.

6 Olkoon E perusjoukko j A, B E. Tällöin (i) A = {x E x / A} on joukon A komplementti, (ii) A B = {x E x A ti x B} on joukkojen A j B unioni eli yhdiste, (iii) A B = {x E x A j x B} on joukkojen A j B leikkus, (iv) A\B = {x E x A j x / B} on joukkojen A j B (joukko-opillinen) erotus. Unionille, leikkukselle j komplementille pätevät De Morgnin lit: Näiden todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. (A B) = A B, (A B) = A B. Määritelmä..3. Pisteen x 0 R (ε-säteiseksi) ympäristöksi snotn väliä ]x 0 ε, x 0 + ε[ (ts. siinä ovt ne x R, joiden etäisyys pisteestä x 0 on (idosti) pienempi kuin ε). Joukko A R snotn voimeksi, jos jokisell joukon A pisteellä on ympäristö, jok sisältyy joukkoon A. Joukko A R snotn suljetuksi, jos sen komplementti on voin. A = R\A = {x R x / A} Esimerkki..4. Väli ]0, [ on voin joukko. Väli A = [0, ] on suljettu, sillä A = {x R x < 0 ti x > } on voin. Jokinen äärellinen pistejoukko A = {x, x,..., x n } on suljettu. Erityisesti yksiö {x } on suljettu. Relilukujen joukko R sekä tyhjä joukko ovt sekä voimi että suljettuj (nämä ovt inot joukon R osjoukot, joill on tämä ominisuus). Määritelmä..5. Pistettä x 0 R snotn joukon A R ksutumispisteeksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen piste x A, että x x 0 j x x 0 < ε. Määritelmän trkoitus: x 0 on joukon A R ksutumispiste, jos jokinen pisteen x 0 ympäristö ]x 0 ε, x 0 + ε[ sisältää joukon A pisteen, jok ei ole x 0. Esimerkki..6. () Joukon ]0, [ ksutumispisteiden joukko on [0, ]. () Joukon ]0, [ {} ksutumispisteiden joukko on [0, ]. (3) Joukoll {0, } ei ole ksutumispisteitä. (4) Joukon { n n =,,...} ksutumispisteiden joukko on {0}. (5) Joukon Q [0, ] ksutumispisteiden joukko on [0, ]. Vroitus: Ksutumispiste ei välttämättä kuulu joukkoon.

7 Luse..7. Piste x 0 R on joukon A R ksutumispiste jos j vin jos on olemss sellinen jono (x n ), että x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0. Todistus. : Olkoon x 0 R joukon A ksutumispiste. Tällöin jokist n =,,... kohti on olemss sellinen x n A, x n x 0, että Jonolle (x n ) pätee nyt lim x n = x 0. x n x 0 < n. : Oletetn, että x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0 = ε > 0 n ε siten, että x n x 0 < ε, kun n n ε = ε > 0 pätee x nε A, x nε x 0 j x nε x 0 < ε = x 0 on joukon A ksutumispiste. Suljettu joukko voidn luonnehti myös seurvll tvll (tulost ei todistet tällä kurssill). Seurus..8. Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikkien suppenevien jonojens rj-lkiot. Huomutus..9. () Topologiss seurus..8 on myös suljetun joukon määritelmä. () Luseen..7 nojll seurus..8 sdn seurvn muotoon: Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikki ksutumispisteensä.. Funktion rj-rvo Määritelmä... Olkoon A R, f : A R funktio j x 0 R joukon A ksutumispiste. Luku R snotn funktion f rj-rvoksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Tällöin merkitään f(x), kun x x 0, ti lim f(x) =. x x 0 Huomutus... () Määritelmässä δ riippuu vin luvust ε j pisteestä x 0. () Rj-rvo on lokli ominisuus: vin se, mitä tphtuu pisteen x 0 mielivltisen pienessä ympäristössä vikutt funktion f rj-rvoon pisteessä x 0. (3) Funktion ei trvitse oll määritelty pisteessä x 0 j vikk se olisikin määritelty, niin sen rvo pisteessä x 0 ei vikut rj-rvoon. Tämä on tärkeää myös derivtn määritelmässä (ks. PM I): f : R R on derivoituv pisteessä x 0 R, jos f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 on olemss. Huom, että erotusosmäärää ei ole määritelty pisteessä x = x 0. 3

8 (4) Jos rj-rvo on olemss, se on yksikäsitteinen (todistus hrjoituksen). Esimerkki..3. Olkoon f : R R, f(x) = 5x +. Osoitetn, että lim x f(x) =. Olkoon ε > 0. Tutkitn, miten δ > 0 on vlittv, jott f(x) < ε, kun 0 < x < δ. Nyt f(x) = 5x + = 5x 0 = 5 x < ε, kun 0 < x < ε, joten voidn vlit δ = ε. Täten lim = ε, kun 0 < x < x f(x) =. Esimerkiksi f(x) < Esimerkki..4. Olkoon f : R\{0} R, f(x) = x. Osoitetn, että lim f(x) = 0 (vikk funktiot f ei ole määritelty pisteessä x = x x 0 0). Olkoon ε > 0. Tällöin f(x) 0 = x x 0 = x < ε, kun 0 < x 0 < ε, joten voidn vlit δ = ε määritelmässä... Esimerkki..5. Olkoon f : R R, f(x) = x j x 0 R mielivltinen. Osoitetn, että lim f(x) = x x x 0 0. Olkoon ε > 0 mielivltinen j x 0 R. Selvästi Jos x x 0, niin Tästä seur, että kun f(x) x 0 = x x 0 = x x 0 x + x 0. x + x 0 x x 0 + x 0 x 0 +. x x 0 ( x 0 + ) x x 0 < ε, x x 0 < { ε } Vlitn δ = min,, jolloin x 0 + ε x 0 + j x x 0 <. f(x) f(x 0 ) < ε kun 0 < x x 0 < δ. Jos esimerkiksi x 0 = j ε =, niin f(x) 4 <, kun 0 < x < Luse..6 (funktion rj-rvon jonokrkteristio). Jos f : A R, x 0 on joukon A ksutumispiste j R, niin seurvt väitteet ovt yhtäpitäviä: (i) lim x x0 f(x) =, (ii) Jokiselle jonolle (x n ), jolle x n A, x n x 0 kikill n =,,... j lim x n = x 0, pätee lim f(x n) =. 4

9 Todistus. (i) (ii) : Olkoon lim f(x) =. Olkoot lisäksi x n A, x n x 0 kikill n =,,... j x x0 lim x n = x 0. Osoitetn, että lim f(x n ) =. Olkoon ε > 0. Kosk lim x x0 f(x) =, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Kosk lim x n = x 0, niin on olemss sellinen n δ, että 0 < x n x 0 < δ, kun n n δ (oletetuksen mukn x n x 0 ). Siten joten lim f(x n ) =. f(x n ) < ε, kikill n n δ, (ii) (i) : Tehdään vstoletus: (i) ei toteudu eli on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss x A, jolle 0 < x x 0 < δ j f(x) ε. Vlitn δ n = n, n =,,... Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n A, että 0 < x n x 0 < n j f(x n) ε. Täten lim x n = x 0, mutt jono (f(x n )) ei suppene kohti luku. Tämä on ristiriit. Esimerkki..7. Osoitetn, että funktioll f : R R,, x > 0, f(x) = 0, x = 0,, x < 0. ei ole rj-rvo pisteessä 0. Olkoot x n =, y n n =, n =,,... Silloin n mutt lim x n = lim y n = 0, lim f(x n) = lim = j lim f(y n ) = lim =. Luseen..6 nojll lim x 0 f(x) ei ole olemss. Esimerkki..8. Osoitetn, että funktioll f : ]0, [ R, f(x) = x 0. ei ole rj-rvo pisteessä Olkoon x n =, n =,,... n Silloin lim x n = 0, mutt jono (f(x n )) = (n) hjntuu. Luseen..6 nojll lim x 0 f(x) ei ole olemss. 5

10 Esimerkki..9. Osoitetn, että funktioll f : R \ {0} R, f(x) = sin x pisteessä 0. Olkoot x n = πn, y n = πn + π, n =,,... Silloin ei ole rj-rvo mutt j Luseen..6 nojll lim x 0 f(x) ei ole olemss. lim x n = lim y n = 0, lim f(x n) = lim sin(πn) = lim 0 = 0 ( lim f(y n) = lim sin πn + π ) = lim sin π =. Edelliset esimerkit (joiss rj-rvo ei ole olemss) voidn todist myös muodollisesti rj-rvon määritelmän.. vull tekemällä vstoletus j johtmll ristiriit..3 Funktion jtkuvuus Määritelmä.3.. Olkoon A R, f : A R j x 0 A. Funktiot f snotn jtkuvksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ j x A. Funktiot f snotn jtkuvksi joukoss A, jos se on jtkuv joukon A jokisess pisteessä. Jos funktio ei ole jtkuv, sitä snotn epäjtkuvksi. Huomutus.3.. () Kuten rj-rvo, myös jtkuvuus on lokli ominisuus: vin se, mitä tphtuu pisteen x 0 mielivltisen pienessä ympäristössä vikutt funktion f jtkuvuuteen pisteessä x 0. () Jos f ei ole määritelty pisteessä x 0, niin ei ole mielekästä tutki funktion f jtkuvuutt pisteessä x 0. Esimerkki.3.3. () Olkoon f : R \ {} R, f(x) = x. Usein funktion f snotn olevn epäjtkuv pisteessä, vikk sitä ei ole määritelty pisteessä. () Olkoon g : R \ {0} R, g(x) =. Usein funktion g snotn olevn epäjtkuv pisteessä 0, x vikk sitä ei ole määritelty nollss. (Jos funktiolle määritellään rvo nollss, niin stu funktio on väistämättä epäjtkuv joukoss R.) (3) Olkoon h: ] π, [ π sin x R, h(x) = tn x = cos x. Funktio h on jtkuv välillä ] π, [ π. Jtketn h jksollisesti joukkoon A = {x R x π + kπ, k Z} settmll h(x+π) = h(x). Nyt h : A R on jtkuv (eikä epäjtkuv, kuten sttisi luull). 6

11 Esimerkki.3.4. Osoitetn, että funktio f : ]0, [ R, f(x) = on jtkuv välillä ]0, [. x Olkoon x 0 > 0 kiinteä j ε > 0. Olkoon lisäksi x > 0. Selvästi f(x) f(x 0 ) = x x 0 = x x 0 = x x 0. xx 0 xx 0 Jos x x 0 < x 0, niin x > x 0 j edelleen Tästä seur, että <. xx 0 x 0 f(x) f(x 0 ) < x x x 0, kun x x 0 < 0 x 0. Toislt x x 0 < ε, kun x x 0 < x 0ε. x 0 Vlitn δ = min { x 0, x 0ε }, jolloin Siten f on jtkuv pisteessä x 0. f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ. Luse.3.5 (jtkuvuuden jonokrkteristio). Funktio f : A R on jtkuv pisteessä x 0 A jos j vin jos lim f(x n) = f(x 0 ) kikill jonoill (x n ), joille pätee x n A, n =,,... j lim x n = x 0. Todistus. Kuten luse..6 rj-rvolle. Huomutus.3.6. () Luseen.3.5 väitteessä on pieniä eroj vstvn luseeseen..6 verrttun: lukujonon (x n ) termi voi oll myös x 0 eikä pisteen x 0 trvitse oll ksutumispiste. () Luseen ehto voidn myös kirjoitt muodoss: lim x x 0 f(x) = f(x 0 ), jolloin yhtälön vsemmn puolen täytyy oll olemss j oiken puolen täytyy oll määritelty. Tämä on kurssill PM I esiintynyt määritelmä jtkuvuudelle. (3) Jos x 0 A ei ole joukon A ksutumispiste, niin on olemss sellinen ε > 0, että ]x 0 ε, x 0 + ε[ A = {x 0 }. Tällisiss, ns. eristetyissä, pisteissä f on utomttisesti jtkuv määritelmän.3. nojll. Esimerkki.3.7. Esimerkkejä erityyppisistä epäjtkuvuuksist: () hyppäysepäjtkuvuus pisteessä 0: f(x) = {, x 0,, x < 0; 7

12 () krkminen äärettömyyteen pisteessä 0: (3) heilhteluepäjtkuvuus pisteessä 0: f(x) = f(x) = Esimerkki.3.8. Osoitetn, että funktio f(x) = on epäjtkuv jokisess pisteessä x 0 R. { x x 0, 0, x = 0; { sin x, x 0, 0, x = 0. {, x Q, 0, x R \ Q. Jetn trkstelu khteen os sen mukn, onko x 0 rtionlinen vi irrtionlinen. () Olkoon ensin x 0 Q. Kosk irrtionliluvut ovt tiheässä joukoss R, niin on olemss jono x n R \ Q, n =,,..., jolle pätee lim x n = x 0. Silloin lim f(x n) = lim 0 = 0 = f(x 0 ), joten f ei ole jtkuv pisteessä x 0 luseen.3.5 nojll. () Olkoon seurvksi x 0 R\Q. Kosk rtionliluvut ovt tiheässä joukoss R, niin on olemss jono x n Q, n =,,..., jolle pätee Silloin lim x n = x 0. lim f(x n) = lim = 0 = f(x 0 ), joten f ei ole jtkuv pisteessä x 0 luseen.3.5 nojll. Esimerkki.3.9. Osoitetn, että funktio, x = jollkin k =,,..., f(x) = k 0 muulloin. on epäjtkuv joukoss E = {0,,, } 3,... j jtkuv joukoss R \ E. Jos x 0 R \ E, niin on olemss sellinen r > 0, että ]x 0 r, x 0 + r[ E =. Nyt f(x) = 0 kikill x ]x 0 r, x 0 + r[, joten vkiofunktion f on jtkuv pisteessä x 0. Jos x 0 E, niin on kksi vihtoehto: joko x 0 = 0 ti x 0 = k jollkin k =,,... 8

13 Oletetn ensin, että x 0 = 0. Olkoon x n =, n =,,... Silloin n lim x n = 0 j lim f(x n) = lim = 0 = f(0), joten f ei ole jtkuv pisteessä 0. Oletetn sitten, että x 0 = k jollkin k =,,... Olkoon x n = k +, n =,,... Silloin n j lim x n = k lim f(x n) = 0 = f ( ) = f(x 0 ), k joten f ei ole jtkuv pisteessä x 0 = k. Esimerkki.3.0 (vrsin ptologinen tpus). Olkoon f : ]0, [ R, f(x) = {, n jos x = m, n > 0, syt(n, m) = (supistettu muoto), n 0, jos x ]0, [ \ Q. Seurvss on muutmi funktion f rvoj: ( f = n) ( n, f ) ( n ) = f = n n n, ( ) ( 3 f = 0, f = 7) ( 4 ( f = f = 7 6) 3) 3. Lisäksi jos f( m n ) = n, niin f( m n ) = f(n m n ) = n. Huom, että jos n Z +, niin lukuj x ]0, [, joille f(x), on vin äärellinen määrä. Näin on, n sillä jos f(x), niin n x = p q, missä q n. Tästä seur, että q n j p n, joten lukuj 0 < x <, joille pätee f(x) on korkeintn n n(n ) kpplett. Osoitetn, että tämä ns. Dirichlet n funktio f on jtkuv jokisess irrtionlipisteessä j epäjtkuv jokisess rtionlipisteessä. Väite sdn, kun todistetn, että lim f(x) = 0 kikill x 0 ]0, [. x x 0 Olkoon ε > 0. Silloin on olemss sellinen n, että n < ε. Kosk f(x) vin äärellisen monell (korkeintn n(n )) muuttujn x rvoll, niin on olemss n sellinen δ > 0, että ]x 0 δ, x 0 + δ[ ei sisällä pisteitä x ]0, [ Q, x x 0, joille f(x). Tästä n seur, että f(x) 0 = f(x) < n < ε, kun 0 < x x 0 < δ, 9

14 sillä tällisille x joko f(x) = 0 ti f(x) = jollkin q > n. Siten lim f(x) = 0 kikill x q 0 ]0, [. x x 0 Näin ollen f on jtkuv täsmälleen niissä pisteissä x 0, joiss f(x 0 ) = 0. Voidn todist, että ei ole olemss funktiot, jok olisi jtkuv jokisess rtionlipisteessä j epäjtkuv jokisess irrtionlipisteessä. Tätä ei todistet tällä kurssill. Seurvss on lueteltu muutmi jtkuvien funktioiden perusominisuuksi. () Alkeisfunktiot ovt jtkuvi määrittelyjoukossn. Alkeisfunktioit ovt polynomit, rtionli-, eksponentti-, logritmi-, potenssi-, trigonometriset j ns. lgebrlliset funktiot sekä näistä äärellisellä määrällä funktioiden peruslskutoimituksi, kääntämisiä j yhdistämisiä sdut funktiot. Alkeisfunktioit ovt siis esimerkiksi x x 3,, x 3 + ex, log 3 (4x + ), x, cos(3x), x j rcsin ( tn x+ln x ) ( 3 )x + 5 x 4 +sin x. () Jos funktiot f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0, niin myös funktiot ovt jtkuvi pisteessä x 0. f f ± g, cf (c R), fg, g (g(x 0) 0), f, min{f, g}, mx{f, g} (3) Jos f on jtkuv pisteessä x 0 j g on jtkuv pisteessä f(x 0 ), niin yhdistetty funktio g f on jtkuv pisteessä x 0. Esimerkiksi funktio f(x) = on jtkuv pisteessä x x 0 0 j funktio g(x) = sin x on jtkuv pisteessä f(x 0 ) = x 0, joten funktio (g f)(x) = sin on jtkuv pisteessä x x 0 0. (4) Suppiloperite funktioille: Jos f, g, h: A R ovt sellisi funktioit, että f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0 A, f(x) h(x) g(x) kikill x A j f(x 0 ) = h(x 0 ) = g(x 0 ), niin myös h on jtkuv pisteessä x 0. Tämä tulos seur suorn luseist B..7 j.3.5. Määritelmä.3.. Funktiot f : A R snotn rjoitetuksi, jos sen kuvjoukko R f = f(a) = {y R y = f(x) jollkin x A} on rjoitettu eli on olemss sellinen vkio M 0, että f(x) M kikill x A. Luse.3.. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R on rjoitettu. Todistus. Tehdään vstoletus: f ei ole rjoitettu. Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n [, b], että f(x n ) > n. Kosk x n [, b] kikill n =,,..., niin jono (x n ) on rjoitettu. Bolznon Weierstrssin luseen nojll sillä on suppenev osjono (x nk ), eli lim k x n k = x 0 0

15 jollkin x 0 R. Kosk x nk b kikill k =,,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll x 0 b, ts. x 0 [, b] (tässä on olennist, että väli on suljettu). Edelleen, kosk lim x n k = x 0, x 0 [, b] j f on jtkuv välillä [, b], k niin jtkuvuuden jonokrkteristion nojll lim f(x n k ) = f(x 0 ). k Tästä seur, että (f(x nk )) on suppenevn jonon rjoitettu. Tämä on ristiriit, sillä missä n k, kun k. f(x nk ) > n k, k =,,..., Huomutus.3.3. Edellisessä luseess on olennist, että väli on suljettu: funktio f : ]0, [ R, f(x) = on jtkuv välillä ]0, [, mutt ei ole rjoitettu. Toislt on olennist, että funktio on x jtkuv: funktio { x f : [0, ] R, f(x) =, 0 < x,, x = 0 ei ole rjoitettu suljetull välillä [0, ]. Kertus: Funktio f : A R svutt suurimmn rvons joukoss A R, jos mx f(a) on olemss eli on olemss sellinen x 0 A, että Silloin f(x) f(x 0 ) kikill x A. f(x 0 ) = mx x A f(x) = sup f(x). x A Vstvsti f svutt pienimmän rvons joukoss A, jos min f(a) on olemss eli on olemss sellinen x 0 A, että f(x) f(x 0 ) kikill x A. Silloin f(x 0 ) = min f(x) = inf f(x). x A x A Luse.3.4 (Weierstrssin mx-min-luse). Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R svutt suurimmn j pienimmän rvons. Todistus. Luseen.3. nojll funktio f on rjoitettu. Täydellisyysksioomn nojll sup f(x) = M R x [,b] on olemss. Osoitetn seurvksi, että on olemss sellinen x 0 [, b], että f(x 0 ) = M (jolloin M = mx f(x)). x [,b] Luseen A.0.35 nojll jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n [, b], että M n < f(x n) M.

16 Kosk x n b kikill n =,,..., niin (x n ) on rjoitettu jono. Bolznon Weierstrssin luseen nojll tällä on suppenev osjono (x nk ), joten rj-rvo lim x n k = x 0 R k on olemss. Kosk x nk b kikill k =,,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll x 0 b, joten x 0 [, b] (tässä on olennist, että väli on suljettu, vrt. luseen.3. todistukseen). Kosk niin suppiloperitteen nojll M n k < f(x nk ) M kikill k =,,..., lim f(x n k ) = M. k Kosk f jtkuv pisteessä x 0, niin jtkuvuuden jonokrkteristion nojll f(x 0 ) = lim k f(x nk ) = M. Minimiä koskev väite todistetn vstvll tvll (hrjoitustehtävä). Huomutus.3.5. Edellisessä luseess on olennist, että väli on suljettu: funktio f : ]0, [ R, f(x) = x on jtkuv, mutt ei svut suurint eikä pienintä rvo välillä ]0, [. Huom, että mutt minimiä ti mksimi ei ole olemss. inf f(x) = 0 j sup f(x) =, x ]0,[ x ]0,[ On myös olennist, että väli on rjoitettu: funktio f : [, [ R, f(x) = x svut pienintä rvo välillä [, [. Huom, että on jtkuv, mutt ei inf f(x) = 0. x [, [ Luse.3.6. Oletetn, että f : [, b] R on jtkuv. Jos f() < 0 < f(b) ti f() > 0 > f(b), niin on olemss sellinen x 0 ], b[, että f(x 0 ) = 0. Todistus. Oletetn, että f() < 0 < f(b) (tpuksen f() > 0 > f(b) voi tämän jälkeen hoit trkstelemll funktiot g = f, jok on jtkuv j jolle g() < 0 < g(b)). Väitteen voi todist khdell eri tvll: käyttämällä täydellisyysksioom suorn ti jonojen j suljettujen välien peritteen vull. Olkoon A = {x [, b] f(x) < 0}. Kosk A, niin A. Lisäksi A [, b] on (ylhäältä) rjoitettu, joten x 0 = sup A on olemss. Osoitetn, että f(x 0 ) = 0. Jos f(x 0 ) < 0, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < 0 kikill x x 0 < δ (ks. hrjoituksen 6 tehtävä ). Erityisesti f(x 0 + δ ) < 0, ts. x 0 + δ A eikä x 0 ole joukon A ylärj. Jos f(x 0 ) > 0, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) > 0 kikill x x 0 < δ. Lisäksi x 0 on joukon A ylärj, joten x / A kikill x ]x 0 δ, b]. Tällöin kuitenkin x 0 δ on joukon A ylärj eikä x 0 voi oll pienin ylärj. Näin ollen on oltv f(x 0 ) = 0.

17 Toinen tp todist väite on käyttää jonoj j iemmst tuttu puolitusmenetelmää. Olkoon I = [, b ], missä = j b = b j sen keskipiste c = + b. Jos f(c ) = 0, niin hettu piste on löydetty j x 0 = c. Jos f(c ) 0, niin joko f(c ) > 0 ti f(c ) < 0. Jos f(c ) > 0, niin vlitn = j b = c. Jos f(c ) < 0, niin vlitn = c j b = b. Kummsskin tpuksess siis I = [, b ] I j f( ) < 0 < f(b ). Jtketn näin: jos välit I, I,..., I n on vlittu kuten edellä j c n = n + b n on välin I n = [ n, b n ] keskipiste, niin vlitn väli I n+ = [ n+, b n+ ] I n siksi välin I n = [ n, b n ] puolikkksi, jolle f( n+ ) < 0 < f(b n+ ). Jos f(c n ) = 0 jollkin n Z +, niin vlitn x 0 = c n j väite on todistettu. Jos vlintprosessi ei pysähdy vn f(c n ) 0 kikill n Z +, niin smme jonon sisäkkäisiä suljettuj välejä I n = [ n, b n ], joille pätee I I I 3..., f( n ) < 0 < f(b n ), n =,,... Suljettujen välien peritteen nojll on olemss Välien pituudet Kosk n x 0 b n kikill n =,,..., niin x 0 I n. n= b n n = b 0, kun n. n 0 x 0 n b n n = b n j 0 b n x 0 b n n = b n. Tässä b n 0, kun n, joten suppiloperitteen nojll lim n = x 0 = lim b n. Kosk f on jtkuv pisteessä x 0, niin jtkuvuuden jonokrkterition nojll lim f( n) = f(x 0 ) = lim f(b n ). Kosk f( n ) < 0 kikill n =,,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll Toislt f(b n ) > 0 kikill n =,,..., joten f(x 0 ) = lim f( n ) 0. Tästä seur, että f(x 0 ) = 0. f(x 0 ) = lim f(b n ) 0. 3

18 Luse.3.7 (Bolznon luse). Oletetn, että f : [, b] R on jtkuv. Jos y R on sellinen luku, että inf f(x) y sup f(x), x [,b] x [,b] niin on olemss sellinen x 0 [, b], että f(x 0 ) = y. Todistus. Weierstrssin luseen (luse.3.4) mukn on olemss selliset x, x [, b], että Jos x = x, niin joten inf f(x) = min f(x) = f(x ) y f(x ) = mx f(x) = sup f(x). x [,b] x [,b] x [,b] x [,b] f(x ) f(x) f(x ) = f(x ) f(x) = f(x ) kikill x [, b] kikill x [, b], j f on vkiofunktio. Oletetn sitten, että x < x (tpus x > x todistetn smll tvll). Funktio g : [, b] R, g(x) = f(x) y on jtkuv, g(x ) = f(x ) y 0 j g(x ) = f(x ) y 0. Jos g(x k ) = 0 toisell k =,, niin vlitn x 0 = x k. Muutoin g(x ) < 0 j g(x ) > 0. Tällöin luseen.3.6 nojll on olemss sellinen x 0 [x, x ], että g(x 0 ) = 0 eli f(x 0 ) = y. Huomutus.3.8. () Bolznon luse snoo käytännössä sen, että jtkuv funktio svutt inkin kerrn kikki rvot miniminsä j mksimins välillä. () Bolznon luseess j luseess.3.6 on olennist, että funktio f on jtkuv j että relikseliss ei ole reikiä. Esimerkiksi funktio {, kun x < 0, f : [, ] R, f(x) =, kun x 0, on epäjtkuv eikä sillä ole nollkoht välillä [, ] vikk f( ) < 0 < f(). Lisäksi, jos g : Q [0, ] Q, g(x) = x, niin g(0) = j g() =, mutt ei ole olemss sellist luku x 0 Q [0, ], että g(x 0 ) = 0..4 Funktion tsinen jtkuvuus Olkoot A R j f : A R jtkuv joukoss A. Tällöin f on jtkuv jokisess pisteessä t A. Siten jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε, kun x t < δ j x A. Kuitenkin δ riippuu yleensä pisteestä t. Siis sm δ ei yleensä kelp kikille pisteille t A. Yleensä δ riippuu luvust ε, funktiost f j pisteestä t. 4

19 Esimerkki.4.. Olkoon f : ]0, ] R, f(x) = cos. Tällöin f on jtkuv joukoss ]0, ], erityisesti x pisteessä t ]0, ]. Oletetn, että jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε kikille x, t ]0, ], x t < δ, ts. oletetn ettei δ riipu pisteestä t. Vlitn sellinen n, että Olkoot x = nπ Nyt 0 < t < x < δ, joten x t < δ, mutt δ > nπ. j t = (n + )π. f(x) f(t) = cos(nπ) cos((n + )π) =. Jos vlitn 0 < ε <, niin ei ole olemss sellist luku δ > 0, jolle pätee f(x) f(t) < ε kikille x, t ]0, ], x t < δ. Siis δ riippuu pisteestä t olennisell tvll. Määritelmä.4.. Funktiot f : A R snotn tsisesti jtkuvksi joukoss A, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε kikill x, t A j x t < δ. Määritelmän trkoitus: Funktio f : A R on tsisesti jtkuv joukoss A, jos funktion rvot ovt mielivltisen lähellä toisin in, kun muuttujn rvot ovt riittävän lähellä toisin. Siis funktion rvot eivät s muuttu liin nopesti (ti jos ne muuttuvt hyvin nopesti, niin muutoksen on tphduttv riittävän pienellä välillä). Huomutus.4.3. () Tsinen jtkuvuus määritellään joukoss A, ei pisteittäin kuten jtkuvuus. () Jos f on tsisesti jtkuv joukoss A, niin f on jtkuv joukoss A (kiinnitetään t = x 0 määritelmässä.4.). Käänteinen väite ei päde esimerkin.4. vloss. Esimerkki.4.4. Osoitetn, että funktio f(x) = x Olkoon ε > 0 mielivltinen j x, t [, ]. Tällöin f(x) f(t) = x = t x = t tx kun t, x [, ] (nyt t j x Siis f(x) = x on tsisesti jtkuv välillä [, ]. t x t x t x < ε, ). Vlitsemll määritelmässä.4. δ = ε sdn f(x) f(t) < ε kikill x, t A, x t < δ. on tsisesti jtkuv välillä [, ]. Funktio f(x) = ei kuitenkn ole tsisesti jtkuv välillä ]0, ], kuten seurv päättely osoitt. x Tehdään vstoletus, että f on tsisesti jtkuv välillä ]0, ]. Tällöin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε, kun t, x ]0, ] j x t < δ. Vlitn tässä ε =. Vlitn lisäksi sellinen n Z +, että n < δ. Asetetn x = n j t = n+. Tällöin x, t ]0, ] sekä 0 < t < x < δ, joten x t < δ, mutt smll f(x) f(t) = n (n + ) = > = ε, eli sdn ristiriit. Siten f(x) = ei ole tsisesti jtkuv välillä ]0, ] (vikk f on jtkuv x kyseisellä välillä). (Huom, että tässä lusekett ei void rvioid ylöspäin.) t x 5

20 Luse.4.5. Jtkuv funktio f : [, b] R on tsisesti jtkuv suljetull j rjoitetull välillä [, b]. Todistus. Tehdään vstoletus: funktio f ei ole tsisesti jtkuv välillä [, b]. Tästä seur, että on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss selliset pisteet x, t [, b] (jotk riippuvt luvust δ), että x t < δ j f(x) f(t) ε. Vlitn δ = n, n =,,..., jolloin jokist n kohti on olemss selliset x n, t n [, b], että x n t n < n j f(x n) f(t n ) ε. Jono (x n ) on rjoitettu, joten Bolznon Weierstrssin luseen (luse B.3.8) nojll sillä on suppenev osjono (x nk ). Olkoon x 0 = lim k x nk. Kosk niin epäyhtälön säilymisperitteen nojll Lisäksi x nk b kikill k =,,..., x 0 b eli x 0 [, b]. t nk x 0 t nk x nk + x nk x 0 < n k + x nk x 0 k + x n k x 0 0, kun k (huom, että n k k), joten lim t nk k jonokrkteristion (luse.3.5) nojll lim k f(x n k ) = f(x 0 ) = lim k f(t nk ). Täten on olemss sellinen k ε Z +, että f(x nk ) f(x 0 ) < ε j f(t nk ) f(x 0 ) < ε = x 0. Kosk f on jtkuv, niin jtkuvuuden kikill k k ε. Siten ε f(x nk ) f(t nk ) f(x nk ) f(x 0 ) + f(x 0 ) f(t nk ) < ε + ε = ε, kikill k k ε. Ristiriit. Esimerkki.4.6. Olkoon f : R R, f(x) = x + sin x. Osoitetn, että f on tsisesti jtkuv joukoss R. Rtkisu: Olkoon ε > 0 mielivltinen. Kun x, t R, on voimss f(x) f(t) = x + sin x (t + sin t) x t + sin x sin t = x t + sin x t cos x + t, sillä sin x sin t = sin x t cos x + t kikill x, t R. Edelleen, kosk cos y j sin y y kikill y R, sdn rvio x t f(x) f(t) x t + = x t < ε, kun x t < ε. Voidn siis vlit δ = ε. Siten f on tsisesti jtkuv joukoss R. 6

21 Luku Srjt. Srjn suppeneminen Määritelmä... Olkoon (x k ) relilukujono. Muodostetn uusi jono (s n ), jolle s n = n x k = x + x + + x n, n =,,... Jono (s n ) snotn jonoon (x k ) liittyväksi ossummien jonoksi ti srjksi. Jos jono (s n ) suppenee eli on olemss sellinen S R, että lim s n = S, niin snotn että srj suppenee. Luku S snotn srjn summksi j merkitään x k = lim n x k = lim s n = S. Jos srj ei suppene, niin snotn, että se hjntuu. Summ R n = x k = S s n k=n+ snotn srjn (s n ) (n:nneksi) jäännöstermiksi. Huomutus... () Srj merkitään x k riippumtt siitä, suppeneeko se. () Jos srj x k suppenee, niin sen ossummien jono (s n ) suppenee, ts. rj-rvo lim s n = S on olemss. Tällöin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että s n S = x k < ε kikill n nε. k=n+ Tästä nähdään, että srj suppenee, jos j vin jos sen jäännöstermien jono suppenee kohti luku 0. Esimerkki..3. () Osoitetn, että =. Todistetn ensin induktioll, että k n s n = = k = n n 7

22 kikill n =,,...: Väite pätee rvoll n =, sillä s = =. Jos sitten s k = k jollkin k Z + (induktio-oletus), niin s k+ = s k + k+ = k + k+ = k+. Induktio-peritteen nojll väite pätee kikill n Z +. Siten () Srj ( lim s n = lim ) =. n ( ) k hjntuu: Nyt s =, s = 0, s 3 =, s 4 = 0,... Induktioll nähdään, että s n = 0, kun n on prillinen, j s n =, kun n on priton. Siten jono (s n ) hjntuu. (3) Osoitetn, että srj niin sdn rvio k k + s n = hjntuu. Kosk k k + = + /k n n + n = n, n =,,... Siten jono (s n ) ei ole rjoitettu j (s n ) hjntuu lemmn B..0 nojll. kikill k =,,..., Lemm..4. Jos srj x k suppenee, niin lim k x k = 0. Todistus. Srj, 3,..., niin x k suppenee, joten on olemss lim s n = S R. Kosk x n = s n s n, n = lim x n = lim (s n s n ) = lim s n lim s n = S S = 0. Huom, että tässä myös rj-rvo lim s n on olemss j on S. x k suppeneminen! Esimer- Huomutus..5. () Ominisuudest lim x k = 0 ei seur srjn k kiksi hrmoninen srj hjntuu vikk lim k = 0. k k () Yleisesti srjn suppeneminen riippuu siitä, että kuink nopesti x k menee nolln luvun k ksvess. Seurus..6. Jos lim x k 0 (ti rj-rvo ei ole olemss), niin x k hjntuu. k Esimerkki..7. () Srj k k + hjntuu, sillä lim k k k + = 0. 8

23 () Toislt srjt ( ) k j eivät ole olemss. ( cos k π ) hjntuvt, sillä rj-rvot ( lim k ( )k j lim cos k π ). k Luse..8 (Cuchyn kriteeri srjoille). Srj suppenee, jos j vin jos sen ossummien jono (s n ) on Cuchyn jono eli jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että s n s m < ε, kun n, m n ε. Todistus. Seur suorn Cuchyn kriteeristä jonoille. Huomutus..9. () Ossummien jono (s n ) on Cuchyn jono, jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että s n s m = m k=n+ x k < ε, kun m > n nε. () Tämän kriteerin vull on jo osoitettu kppleess B.4, että k j ( ) k+ k suppenevt j että hjntuu. k Joskus srjn suppeneminen voidn osoitt lskemll ns. teleskooppinen summ. Esimerkki..0. Osoitetn, että srj k(k + ) suppenee. Kosk k(k + ) = (k + ) k k(k + ) = k, k =,,..., k + niin n:s ossumm voidn esittää muodoss ( s n = ) ( + ) ( n ) = n + n +, kikill n =,,... Siten joten srj suppenee j sen summ on. k(k + ) = lim s n = lim n + =, Trkstelln seurvksi eräitä keskeisiä srjoj. Todistetn sitä ennen yksi trpeellinen lemm. 9

24 Lemm... Jos <, niin lim n = 0. Jos =, niin lim n =. Muulloin jono ( n ) hjntuu. Todistus. Olkoon ensin <. Tällöin n = n < n =, joten jonot ( n ) j ( n ) ovt rjoitettuj. Lisäksi jono ( n ) on vähenevä, sillä n+ = n < n. Siten jono ( n ) suppenee j lim n = inf{ n n =,,...}. Merkitään tätä infimumi (j rj-rvo) m j osoitetn, että on m = 0. Selvästi 0 on lrjn lkioille n, j infimumin määritelmän ehto (i) toteutuu. Oletetn, että m > 0. Kosk m > m = inf{ n n =,,...}, niin on olemss sellinen n Z +, että n < m. Tällöin n+ < m = m, mikä on ristiriidss luvun m määrittelyn knss. Näin ollen m = 0 j hrjoituksen tehtävän 5c nojll myös lim n = 0. Jos =, niin ( n ) =,,... ti ( n ) =,,,,... eikä jono ( n ) suppene. Jos >, niin = + x jollkin x > 0. Tällöin n ( ) n n ( ) n ( + x) n = x k n k = + nx + x k > + nx, k k kikill n Z +, joten n > nx kikill n Z +. Tässä x > 0, joten jono ( n ) ei ole rjoitettu. Myöskään jonot ( n ) j ( n ) eivät siten voi oll rjoitettuj. Luse... Geometrinen srj k= x k = + x + x +..., x R, suppenee, jos j vin jos x <. Jos x <, niin srjn summ on x k = x. Todistus. : Oletetn, että x < j osoitetn, että x k = x. Nyt s n = + x + x + + x n xs n = x + x + + x n + x n+. j Vähentämällä nämä puolittin toisistn sdn s n xs n = x n+, joten s n = xn+, n = 0,,... x Huom, että nyt x 0. Kosk x <, niin lemmn.. mukn lim x n+ = 0, j x k x n+ = lim s n = lim x =, x <, x 0

25 Siten srj (s n ) suppenee. : Oletetn, että x. Tällöin jono (x k ) ei suppene nolln, kun k, j srj xk hjntuu seuruksen..6 nojll. Huomutus..3. Geometrinen srj on lähtökoht monelle muulle suppenevlle srjlle: () () (3) x k = x x k = ( ) k x k = 3 k x k = x, kun x <, x ( x ) k = ( x ) =, kun x <, + x (3x) k = 3x, kun x < 3. Seurvn srjn suppenemist koskev tulos on tärkeässä rooliss myöhemmin suppenemistestien yhteydessä. Luse..4. Olkoon p R. Srj suppenee, jos j vin jos p >. k p Todistus. : Tp (Hiemn epätrkk, ennen kuin integrlit on käsitelty trksti): Olkoon p >. Ossumm s n voidn rvioid ylöspäin määrätyn integrlin vull seurvsti: s n = n k + p = + p n ( n p x dx = + p p ) < + p = / n p p x p = + ( n p ) p (p > ). Siten jono (s n ) on ksvv (s n+ s n ) j rjoitettu, joten se suppenee monotonisen suppenemisen luseen nojll j k = lim s p n p <, kun p >. p Siis srj suppenee, kun p >. (Tällä menetelmällä sdn myös rvio virheen S s n suuruudelle.) Tp (Trkk perustelu): Olkoon p >. Kosk jono (s n ) on ksvv, niin monotonisen suppenemisen luseen nojll se suppenee, jos se on rjoitettu. Riittää siis osoitt, että jono (s n ) on rjoitettu.

26 Kun n Z +, vlitn sellinen t Z +, että n < t. Tällöin Tässä p s n s t = = + t k p ( + ) ( + p 3 p 4 + p 5 + p 6 + ) + p 7 ( p ) + ( t ) + + p ( t ) p t p p p ( t ) p = + + p ( p ) + ( p ) ( p ) t ( p ) k = <. p on vkio, jok ei riipu luvust n, joten jono (s n ) on rjoitettu. : Olkoon sitten p. Tällöin kikill k =,,... pätee rvio k p k, jost sdn. k k p Siten ossummille sdn rvio n k n, n =,,... (.) kp Ossummien jono n, n =,,..., ei ole ylhäältä rjoitettu, Epäyhtälön (.) nojll myöskään k srjn ossummien jono ei ole ylhäältä rjoitettu, joten se hjntuu. k p Sen, että srj k tpuksen p > yhteydessä): s n = hjntuu, voi nähdä myös seurvsti (tässä on sm epätrkkuus kuin n k = n+ n > dx = ln (n + ). x Kosk lim ln(n + ) =, niin myös lim s n =, joten (s n ) hjntuu. Tpus p 0 voidn perustell myös seurvsti. Kosk p 0, niin k p = k p kikill k =,,... Siten jono ( ) k ei suppene luku 0 kohti, kun k, j srj p hjntuu seuruksen..6 k p nojll. Suppenevt srjt toteuttvt yleisesti seurvn linerisuusominisuuden. Luse..5. Olkoot, b R. Jos x k = S j y k = T ovt suppenevi srjoj, niin myös srj (x k + by k ) suppenee j sen summ on S + bt. Todistus. Kosk lim n x k = S j lim n y k = T, niin lukujonon rj-rvon lskusääntöjen (huomutus B..4) nojll n n n lim (x k + by k ) = lim x k + b lim y k = S + bt.

27 Huomutus..6. Srjn (x k + y k ) suppenemisest ei seur, että x k ti y k suppenisi. Esimerkiksi (( ) k + ( ) k+ ) = 0 = 0 suppenee, mutt ( ) k j ( ) k+ hjntuvt.. Suppenemistestejä positiivitermisille srjoille Jonojen tpuksess osoitettiin, että relilukujono suppenee, jos j vin jos se on Cuchyn jono. Tällöin sen suppeneminen pääteltiin rj-rvo lskemtt. Vstvsti srjojen tpuksess on tärkeää pystyä päättelemään srjn suppeneminen lskemtt sen summ summn lskeminen on usein hyvin vike, jop mhdotont j myös turh, jos srj osoittutuukin hjntuvn. Srjn suppenemisen trkstelu summ lskemtt on usein mhdollist niin snottujen suppenemistestien vull. Määritelmä... Srj x k snotn positiivitermiseksi, jos x k 0 in, kun k =,,... Seurv luse nt monotonisen suppenemisen lusett vstvn tuloksen srjoille. Luse... Positiiviterminen srj suppenee, jos j vin jos sen ossummien jono (s n ) on ylhäältä rjoitettu. Tällöin x k = lim s n = sup{s n n =,,...}. Todistus. : Oletetn, että srj x k suppenee j x k 0, k =,,... Tällöin ossummien jono (s n ) suppenee, joten jono (s n ) on rjoitettu. : Oletetn, että (s n ) on ylhäältä rjoitettu. Jono s n on lisäksi ksvv, sillä n+ s n+ s n = x k n x k = x n+ 0, n =,,... Siis (s n ) on ksvv j ylhäältä rjoitettu, joten monotonisen suppenemisen luseen (luse B..3) nojll (s n ) suppenee. Siten srj suppenee. Lisäksi monotonisen suppenemisen luseen nojll x k = sup{s n n =,,...}. Huomutus..3. Luse ei päde, jos termit vihtvt merkkiä. Esimerkiksi ( ) k hjntuu, vikk sen ossummien jono on rjoitettu. 3

28 Seurv luse on yksinkertinen, mutt äärimmäisen tärkeä. Luse..4 (mjorntti- j minornttiperite). Oletetn, että jonoille (x k ) j (y k ) on voimss 0 x k y k kikill k =,,... (i) Jos (ii) Jos y k suppenee, niin x k suppenee. (mjornttiperite) x k hjntuu, niin y k hjntuu. (minornttiperite) Todistus. Osoitetn ensin koht (i). Merkitään s n = n x k j s n = n y k, n =,,... Kosk srj y k suppenee, niin jono (s n) suppenee j se on rjoitettu. Täten on olemss sellinen M R, että s n M kikill n =,,... Edelleen 0 s n M kikill n =,,..., sillä y k 0 kikill k Z +. Kosk kikill k pätee 0 x k y k, niin 0 s n s n M, n =,,... Srj x k on positiiviterminen j sen ossummien jono (s n ) on rjoitettu. Luseen.. nojll jono (s n ) j siten myös srj x k suppenee. Koht (ii) seur vstoletuksell kohdst (i). Huomutus..5. () Yleensä tehtävänä on tutki, suppeneeko nnettu srj. Tällöin on pääteltävä, kump peritett tehtävässä knntt käyttää; hjntuv mjornttisrj ti suppenev minornttisrj ei ut tehtävän rtkisuss. () Edellä srjn on oltv positiiviterminen. Esimerkiksi ( ) k hjntuu, vikk 0 kikill k =,,... j 0 = 0 suppenee. k Esimerkki..6. Tutki, suppeneeko srj 6k k Rtkisu: Aluksi voidn tehdä epämuodollinen päättely srjn suppenemisest. Srjn suppeneminen riippuu sen häntäosn käyttäytymisestä. Indeksin k suurill rvoill voidn rvioid j luseen..4 nojll k 3 6k k k k = 6 4 k 3 luss, mutt se nt vin vihjeitä srjn käyttäytymisestä. suppenee. Tällisen likimääräisen trkstelun voi tehdä tehtävän Osoitetn, että srj suppenee j käytetään mjornttiperitett. Nyt 0 6k k k k = 6, k =,,... 4 k3 4

29 Lisäksi luseen..4 nojll 6 k = 6 3 k 3 suppenee, joten lkuperäinen srj suppenee mjornttiperitteen nojll. Esimerkki..7. Tutki, millä rvoill x 0 srj suppenee. Rtkisu: Olkoon 0 x <. Tällöin x k k = x + x + x xk k xk, k =,,... Tässä x k on geometrinen srj, jok suppenee, kun 0 x <. Siten mjornttiperitteen nojll srj x k k suppenee, kun 0 x <. Olkoon sitten x. Tällöin Tässä hjntuu, kun x. 0 < k xk, k =,,... k on hrmoninen srj, jok hjntuu. Siten minornttiperitteen nojll k Esimerkki..8. Tutki, suppeneeko srj k +. x k k Rtkisu: Osoitetn, että srj hjntuu j käytetään minornttiperitett. Kosk k + k + k = k, niin k > 0. k + Luseen..4 nojll nojll k + hjntuu. Esimerkki..9. Tutki, suppeneeko srj hjntuu, joten myös hjntuu j minornttiperitteen k k k + 5 k 3 + k + k +. Rtkisu: Hnkitn ensin rvus suppenemisest. Suurill indeksin k rvoill k k = 3 k. Kosk srj k Käytetään mjornttiperitett. Nyt 0 k + 5 k 3 + k + k + suppenee, yritetään osoitt myös nnettu srj suppenevksi. k + 5 k 3 + k + k + = + 5/k k ( + /k + /k + /k 3 ) 6 k 5

30 kikill k =,,..., j suppenee. Siten lkuperäinen srj suppenee mjornttipe- k ritteen nojll. 6 k = 6 Esimerkki..0. Tutki, suppeneeko srj k + 5 k + k +. k+5 Rtkisu: Hnkitn ensin rvus suppenemisest. Suurill indeksin k rvoill k +k+ Kosk srj k hjntuu, yritetään osoitt myös nnettu srj hjntuvksi. Käytetään minornttiperitett. Alspäin rvioimll sdn Lisäksi srj k + 5 k + k + = + 5/k k( + /k + /k ) 4k 4k = k 0, k =,,... hjntuu, joten minornttiperitteen nojll nnettu srj hjntuu. k = k k. Huomutus... Mjorntti- j minornttiperitteess srj knntt yrittää verrt srjn ti geometriseen srjn, joiden suppeneminen hllitn täysin. Luse.. (suhdetesti). Oletetn, että x k > 0 kikill k =,,... k p (i) Jos on olemss selliset k 0 Z + j 0 M <, että niin x k suppenee. (ii) Jos on olemss sellinen k 0 Z +, että x k+ x k M kikill k k 0, niin Todistus. x k hjntuu. (i) Oletusten nojll x k+ x k kikill k k 0, x k0 + Mx k0, x k0 + Mx k0 + M x k0,. x k0 +(k k 0 ) Mx k M x k M k k 0 x k0, 6

31 joten (trkk perustelu induktioll). Lisäksi x k x k0 M k k 0 kikill k k 0 k=k 0 x k0 M k k0 = x k0 M k0 k=k 0 M k, missä k=k 0 M k on suppenev geometrinen srj, sillä 0 M <. Siten lkuperäinen srj suppenee mjornttiperitteen nojll. (ii) Oletusten mukn x k x k0 > 0 kikill k k 0. Tästä seur, että jono (x k ) ei suppene luku 0 kohti. Siten x k hjntuu seuruksen..6 nojll. Seurus..3. Oletetn, että x k > 0 kikill k =,,... (i) Jos lim k x k+ x k (ii) Jos lim k x k+ x k <, niin srj >, niin srj x k suppenee. x k hjntuu. Todistus. (i) Olkoon lim k x k+ x k = c, missä 0 c <. Tällöin on olemss sellinen k 0 Z +, että x k+ x k c < c kikill k k 0. Tästä seur, että x k+ < c + c = c + x k joten srj suppenee luseen.. nojll. < kikill k k 0, (ii) Olkoon lim k x k+ x k = c, missä c >. Tällöin on olemss sellinen k 0 Z +, että x k+ x k c < c kikill k k 0. Tästä seur, että x k+ > c c x k joten srj hjntuu luseen.. nojll. = c + > kikill k k 0, 7

32 Huomutus..4. Jos lim k x k+ x k =, niin srj voi supet ti hjntu. Esimerkiksi srj suppenee, kun p >, j hjntuu, kun 0 < p. Tässä tpuksess ( ) x k+ /(k + ) p p k lim = lim = lim = k x k k /k p k k + kikill 0 < p <. Huom, että tässä x k+ x k < kikill k =,,... Esimerkki..5. Tutki, suppeneeko srj Rtkisu: Merkitään x k = k k. Tällöin x k+ x k = (k + ) / k+ k / k = joten srj suppenee seuruksen..3 nojll. Esimerkki..6. Tutki, suppeneeko srj Rtkisu: Merkitään x k = (k!) (k)!. Tällöin k p k k. ( ) ( k + k k + k = k+ k (k!) (k)!. ), kun k, x k+ x k = ((k + )!) (k)! (k + )!(k!) = (k + ) (k + )(k + ), kun k, 4 joten srj suppenee seuruksen..3 nojll. Luse..7 (juuritesti). Oletetn, että x k 0 kikill k =,,... (i) Jos on olemss selliset k 0 Z + j 0 M <, että k xk M kikill k k 0, niin x k suppenee. (ii) Jos on olemss sellinen k 0 Z +, että k xk kikill k k 0, niin x k hjntuu. 8

33 Todistus. (i) Oletusten nojll on olemss sellinen k 0 Z +, että k xk M kikill k k 0, joten x k M k kikill k k 0. Tässä M k on geometrinen srj, jok suppenee, sillä 0 M <, joten lkuperäinen srj k=k 0 suppenee mjornttiperitteen nojll. (ii) Oletusten nojll on olemss sellinen k 0 Z +, että k xk kikill k k 0, joten x k k = kikill k k 0. Täten jono (x k ) ei suppene luku 0 kohti, joten srj x k hjntuu seuruksen..6 nojll. Seurus..8. Oletetn, että x k > 0 kikill k =,,... (i) Jos lim k k x k <, niin srj (ii) Jos lim k k x k >, niin srj x k suppenee. x k hjntuu. Todistus. Vstvsti kuin seuruksen..3 todistus (hrjoitustehtävä). Huomutus..9. () Juuritestiä käyttäessä knntt muist rj-rvo lim n n =. Todistus. Huom, että n n, kikill n =,,... Johdetn seurvksi luvulle n n ylärj, jonk rj-rvo on. Kun n, niin binomikvst ( + b) n = n ( n k) n k b k sdn rvio ( ( ) ( ) n n n ( ) ( + = + n) n + ) n + + n n ( ) n ( ) n(n ) + = + n n = n. Siis ( + n n =. lim n ) n n, mistä sdn + n n n. Siten suppiloperitteen mukn () Jos lim k k x k =, niin srj voi supet ti hjntu. Esimerkiksi srj suppenee, kun p >, j hjntuu, kun 0 < p. Tässä tpuksess kohdn () mukn k p, kikill 0 < p <. lim k k k = lim p k ( k k) = p 9

34 (3) Srjn suppenemist trksteltess voidn in jättää pois äärellisen mont termiä srjn lust. Ne eivät vikut srjn suppenemiseen, mutt vikuttvt kyllä srjn summn. Tällä tulkinnll positiivitermisten srjojen suppenemistestejä voidn sovelt myös srjoihin, joiden termit ovt positiivisi jostkin indeksin rvost lähtien. Esimerkki..0. () Tutki, suppeneeko srj Rtkisu: Merkitään x k = joten srj suppenee seuruksen..8 nojll. ( k + 3 ) k. () Tutki, suppeneeko srj 4k + 5 ( k + 3 ) k. Rtkisu: Merkitään x k = Tällöin 4k + 5 k= (log k) k., kun k =, 3,... Tällöin (log k) k k xk = k (log k) = 0, kun k, k log k (k k + 3 ) k k + 3 xk = k = 4k + 5 4k + 5 = + 3/k 4 + 5/k, kun k, joten srj suppenee seuruksen..8 nojll. (3) Millä rvoill x 0 srj kx k = x + x + 3x suppenee? Rtkisu: lim k k kxk = lim k x k k = x. Seuruksen..8 nojll srj suppenee, kun 0 x <, j hjntuu, kun x >. Kun x =, niin jono (k) ei suppene luku 0 kohti j srj hjntuu seuruksen..6 nojll. Luse.. (vertiluperite). Oletetn, että x k > 0 j y k > 0 kikill k =,,... j että on olemss. x k K = lim k y k (i) Jos 0 < K <, niin x k suppenee, jos j vin jos y k suppenee. (ii) Jos K = 0 j y k suppenee, niin x k suppenee. (iii) Jos K = j y k hjntuu, niin x k hjntuu. Todistus. (i) Oletetn, että 0 < K <. Tällöin on olemss sellinen k 0 Z +, että x k K < K kikill k k 0, y k 30

35 jost sdn epäyhtälö Ky k < x k < 3 Ky k kikill k k 0. Jos 3 y k suppenee, niin myös Ky k suppenee. Mjornttiperitteen nojll x k suppenee j siten myös x k k=k 0 k=k 0 suppenee. Jos x k suppenee, niin myös x k suppenee. Mjornttiperitteen nojll Ky k suppenee j siten myös y k k=k 0 k=k 0 suppenee. (ii) Oletetn, että K = 0 j y k suppenee. Jono ( x k y k ) on suppenevn jonon rjoitettu, joten on olemss sellinen M > 0, että x k M kikill k =,,... y k Siten 0 < x k My k kikill k =,,... Nyt y k suppenee, joten My k suppenee j mjornttiperitteen nojll myös x k suppenee. (iii) Oletetn, että K = j että y k hjntuu. Tällöin on olemss sellinen k Z +, että Siten x k y k kikill k k. x k y k kikill k k. Kosk y k hjntuu, niin minornttiperitteen nojll myös x k hjntuu. Huomutus... Edellinen luse snoo myös sen, että x k hjntuu, jos j vin jos hjntuu. Tämän s todistettu suornkin käyttämällä minornttiperitett. Jos K = 0 luseess.., niin srjn x k suppenemisest ei välttämättä seur srjn suppeneminen. Jos esimerkiksi x k = k j y k = k, niin j x k suppenee, mutt y k hjntuu. x k lim = lim k y k k k = 0 y k y k 3

36 Esimerkki..3. Tutki, suppeneeko srj Rtkisu: Suurill indeksin k rvoill pätee Kosk srj k 3 k k + 7 k 5 + 5k 4 3k + k. k k + 7 k 5 + 5k 4 3k + k k k 5 = k 3. suppenee, yritetään osoitt lkuperäinen srj suppenevksi. k k + 7 Vlitn x k = k 5 + 5k 4 3k + k j y k = k luseess.. (nyt x 3 k > 0 j y k > 0, k =,,... ). Tällöin x k y k = = = k k + 7 k 5 + 5k 4 3k + k k3 k 5 k 4 + 7k 3 k 5 + 5k 4 3k + k k ( 5 + ) 7 k k k ( ), kun k. 3 + k k 3 k 4 k 5 Srj k 3 suppenee, joten luseen.. nojll srj x k suppenee..3 Itseisesti suppenevt srjt Määritelmä.3.. Srjn x k snotn suppenevn itseisesti, jos x k suppenee. Jos srj suppenee, mutt ei suppene itseisesti, niin snotn, että se suppenee ehdollisesti. Esimerkki.3.. Alternoiv hrmoninen srj hjntuu, mutt ( )k+ = k ( ) k+ suppenee ehdollisesti, sillä k ( ) k+ suppenee. Tämä osoitettiin jo esimerkissä B.4.0, mutt sen näkee myös seurvll tvll: Kosk ( s n = ) ( + 3 ) ( n ) n k k j s n = ( ) 3 ( 4 ) ( 5 n ), n 3

37 niin s n = s n n < s n. Jono (s n ) on ksvv j rjoitettu j jono (s n ) on vähenevä j rjoitettu, joten monotonisen suppenemisen luseen nojll ne suppenevt eli rj-rvot lim s n j lim s n ovt olemss. Yllä olevn nojll s n s n =, joten n lim (s n s n ) = lim ( n ) = 0. Täten jonot (s n ) j (s n ) suppenevt kohti sm luku S R. Hrjoituksen 4 tehtävän nojll myös lim s n = S. Esimerkki.3.3. Tutki srjn Rtkisu: Kosk niin 0 sin k = sin + k 3 8 sin + sin itseistä suppenemist. 7 sin k k 3 k 3 j sin k k 3 k 3 suppenee, suppenee mjornttiperitteen nojll. Siis srj suppenee itseisesti. Itse srjn sin k suppenemisen tutkiminen on kuitenkin ongelmllist, sillä sen termit vihtvt k 3 merkkiä! Tähän trvitn seurv lusett. Luse.3.4. Itseisesti suppenev srj suppenee j x k x k. Todistus. Olkoon y k = x k + x k, k =,,... Kosk x k x k x k, niin 0 y k x k, k =,,... Kosk x k suppenee, niin mjornttiperitteen nojll y k suppenee. Edelleen x k = lim n (y k x k ) = lim joten x k suppenee. Lisäksi kolmioepäyhtälön nojll x k = lim n n x k = lim n x k lim y k lim n x k, n x k = x k. 33

38 Huomutus.3.5. () Edellinen luse nt keinon tutki sellisten srjojen suppenemist, joiden termit vihtvt merkkiään. Ottmll itseisrvot sdn positiiviterminen srj, jonk suppenemist voidn tutki edellä olleiden suppenemistestien vull. Huom kuitenkin, että itseisrvojen muodostmn srjn x k hjntuminen ei kerro mitään srjn x k suppenemisest (hjntumisest). () Yleensä Esimerkiksi jos (x k ) =,, 0, 0,..., niin x k x k. x k = 0, j x k =. Määritelmä.3.6. Olkoon,,..., niin srj x k srj. Jos ϕ: Z + Z + on bijektio j y k = x ϕ(k) kikill k = snotn lkuperäisen srjn uudelleenjärjestelyksi. y k Esimerkki.3.7. Olkoon x k = k = j kuvus ϕ: Z + Z + bijektio ϕ(k) = { k +, k, kun k on priton, kun k on prillinen. Tällöin srj x ϕ(k) = , on hrmonisen srjn uudelleenjärjestely. Luse.3.8. Jos srj x k suppenee itseisesti, niin jokinen uudelleenjärjestely y k suppenee j y k = x k. Todistus. Luseen.3.4 nojll srj x k suppenee. Merkitään S = x k j s n = ε > 0. Silloin on olemss sellinen N, että n x k. Olkoon s n S < ε kikill n N 34

39 j N x k N+p x k = N+p k=n+ x k < ε kikill p Z +. Jälkimmäinen väite sdn Cuchyn kriteeristä (luse B.4.6), sillä srjn x k ossummien jono on Cuchyn jono. Merkitään t n = n x ϕ(k) = n y k. Vlitn M niin, että termit x,..., x N esiintyvät ossummss t M. Jos m M, niin t m s N on äärellinen summ termeistä x k, k > N. Tällöin yllä olevn nojll on olemss sellinen p Z +, että t m s N N+p k=n+ x k < ε. Siten t m S t m s N + s N S < ε + ε = ε, kun m M, joten y k = lim m t m = S. Huomutus.3.9. () Erityisesti suppenevt positiivitermiset srjt voidn järjestellä uudelleen ilmn, että summ muuttuu. () Ellei srj suppene itseisesti, niin uudelleenjärjestely voi vikutt suppenemiseen j summn. Olkoon ( ) k+ S = = k Aikisemmin todistettiin, että S. Järjestelemällä srj uudelleen sdn ( ) ( ) ( ) 0 + = = ( ) 6 + = S. Luse.3.0. Jos srjn jokinen uudelleenjärjestely suppenee, niin srj suppenee itseisesti. Todistus. Tehdään vstoletus: x k hjntuu. Olkoot x +, x +,... srjn x k ei-negtiivisten termien jono (x + i 0) j x, x,... negtiivisten termien jono (x i < 0). Kosk srj x k suppenee ehdollisesti, niin sekä hjntuu eli x + k että x k hjntuvt (hrjoitustehtävä). Siten erityisesti x + k = (x+ k 0). x + k 35

40 Srj x + k hjntuu, mutt se ei ole srjn x k uudelleenjärjestely (termit x k siten vielä nn ristiriit. Korjtn tilnne settmll termit x k väleihin. puuttuvt) eikä riittävän hrvsti termien x+ k Termin x settmiseksi vlitn sellinen luku k Z +, että jolloin x x + k + x. x + + x x + k x + = x +, Seurvksi termin x settmiseksi vlitn sellinen k > k, että x x + k + x + x + k x+ k x +, jolloin x x + k + x + x + k x+ k + x. Jtketn näin sijoittmll x n termin x + k n jälkeen siten, että ossumm termiin x n sti on suurempi ti yhtäsuuri kuin n. Näin sdn hluttu hjntuv srj, jok on lkuperäisen srjn uudelleenjärjestely. Huomutus.3.. Siis itseisesti suppenevt srjt ovt sellisi srjoj, joiden kikki uudelleenjärjestelyt suppenevt. Tämän tki itseisesti suppenevt srjt ovt tärkeitä. Luse.3. (Riemnnin uudelleenjärjestelyluse). Jos srj suppenee ehdollisesti, niin se sdn suppenemn kohti mitä thns luku järjestelemällä sen termit uudelleen. Todistus. Oletetn, että x k suppenee ehdollisesti. Olkoot x +, x +,... srjn ei-negtiivisten termien jono j x, x,... negtiivisten termien jono. Kosk srj täytyy oll voimss x k suppenee ehdollisesti, niin x + k = j x k = (hrjoitustehtävä). Jos molemmt olisivt äärellisiä, niin srj suppenisi itseisesti j jos vin toinen olisi äärellinen, niin srj itse hjntuisi. Lisäksi srjn x k suppenemisest seur, että lim x k k = 0. Siten myös lim k x+ k = 0 j lim k x k = 0. Olkoon S R. Osoitetn, että srjn summksi sdn S järjestelemällä se uudelleen. Olkoon k pienin luku, jolle Olkoon seurvksi k pienin luku, jolle Edelleen olkoon k 3 > k pienin luku, jolle x + + x x + k > S. (x x + k ) + (x + + x k ) < S. (x x + k ) + (x + + x k ) + (x + k x+ k 3 ) > S. 36