funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

Transkriptio

1 I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6.. Sijoitusmenetelmä, helppo muoto. Jos F on funktion f integrlifunktio j ψ on derivoituv, niin F ψ on funktion g, g(x = f(ψ(xψ (x, integrlifunktio. Tod. (F ψ (x = F (ψ(xψ (x = f(ψ(xψ (x = g(x. Huom. Eo. muodoss sijoituksen tekeminen ei ole välttämätöntä, mutt trvittess voidn merkitä ψ(x = t, jost differentioimll ψ (x = dt. Sitten lsketn f(t dt, jonk jälkeen sijoitetn tkisin t = ψ(x. Sovellus. Olkoon n Z. Tpuksess n < oletetn lisäksi, että ψ(x < x ti ψ(x > x. Tällöin ψ(x n ψ (x = ψ(xn+ + C, kun n, ψ (x ψ(x Esim. e sin x cos x = e t dt = e t + C = e sin x + C x + x 4 = = n + = ln ψ(x + C (tpus n =. Sij. sin x = t, cos x = dt x + (x Sij. x = t, x = dt dt + t = rc tn t + C = rc tn(x + C 3 I = sin x cos x =? Sijoittmll sin x = t, cos x = dt, sdn I = sin x + C. b Sijoittmll cos x = t vstvsti I = cos x + C. sin x = ( cos x + C = 4 cos x + C. c Myös I = Huom. Sdut lusekkeet ovt vkiotermiä ville smt! Esim. 4 cos x = 4 (cos x sin x = 4 ( sin x = 4 + sin x. 6.. Sijoitusmenetelmä, vhvempi muoto. Olkoon väli j ϕ:, t ϕ(t, idosti monotoninen derivoituv bijektio, sekä olkoon G: R funktion t f(ϕ(tϕ (t = g(t integrlifunktio välillä j olkoon f:llä integrlifunktioit välillä. Tällöin G ϕ : R on f:n integrlifunktio välillä, ts. [ f(x = ] g(t dt t=ϕ (x Tod. Olkoon F f:n integrlifunktio välillä, ts. F (x = f(x x. Kosk G (t = f(ϕ(tϕ (t = F (ϕ(tϕ (t = (F ϕ (t t, niin G(t = (F ϕ(t + C t. Siis (G ϕ (x = G(ϕ (x = F (x + C kikill x, joten myös G ϕ on f:n integrlifunktio välillä..

2 Huom. Oletus f:llä on integrlifunktioit välillä on mm. voimss silloin, jos f on jtkuv ti jos ϕ (t t (jolloin (ϕ (x = /ϕ (ϕ (x j (G ϕ (x = G (ϕ (x(ϕ (x = G (t ϕ (t = g(t ϕ = f(ϕ(t = f(x. (t Käytännössä. Sijoitetn f(x :ss x = ϕ(t, = ϕ (tdt, sdn g(t dt j etsitään G(t, 3 sijoitetn tkisin t = ϕ (x j sdn F (x. ln x Esim. I = x, x >. Sij. x = et = ϕ(t t = ln x, x > = ϕ (t dt = e t dt t I = e t et dt = t dt = t + C = (ln x + C Ol., x =? Voidn trkstell joko väliä x ], [ ti x ], [. x + Sijoitetn x = t, = t dt (t t ], [ ], [. Tällöin x x + = t t + = on idosti vähenevä bijektio ], [ ], [ ti + t t t = x x + = Olkoon x > (eli t >. Sijoittmll vielä + t = u, t dt = du, sdn x x + = Jos x < (eli t <, sdn sm tulos. B. Riemnnin integrli t dt + t du = x u + C = + u t + + C = + C. x 6.3. Sijoitusmenetelmä Riemnnin integrleille. Olkoon f: R jtkuv välillä, j ϕ: [α, β] R, jolle o ϕ on jtkuv välillä [α, β], o ϕ(t kikill t [α, β], 3 o ϕ(α =, ϕ(β = b. Tällöin on b β f(x = f(ϕ(tϕ (t dt. α Tod. f jtkuv = sillä on integrlifunktio F, F (x = f(x x. Määritellään G = F ϕ: [α, β] R (voidn määr. kohdn o nojll, jolloin G (t = F (ϕ(tϕ (t = f(ϕ(tϕ (t = g(t kikill t [α, β] eli G on jtkuvn funktion g integrlifunktio välillä [α, β]. Anlyysin perusluseen 5.6 mukn β α f(ϕ(tϕ (t dt = β α g(t dt = G(β G(α = F (b F ( = b f(x.

3 6.4. Huom. Tässä ϕ:n ei trvitse oll monotoninen (ei tkisinsijoitust t = ϕ (x. Voidn sovelt myös toisin päin: b g(ψ(xψ (x = β α g(t dt, kun g: R on jtkuv, ψ: [, b] R jtkuvsti derivoituv, ψ([, b] j ψ( = α, ψ(b = β (siis sij. ψ(x = t, ψ (x = dt. 3π/ sin x 6.5. Esim. I = =? π/ + cos x Sijoittmll t = cos x, dt = sin x uudet rjt ovt t(π/ = j t(3π/ =, joten I = Olkoon > vkio, I = dt + t =. Myös: I = x =? 3π/ / π/ ln( + cos x =. Sijoitetn x = sin t = ϕ(t, ϕ: [, π] [, ], jolloin = cos t dt, ϕ( = j ϕ( π =. Siis x = sin t = cos t = cos t, kun t [, π] = I = π/ = π/ π/ cos t cos t dt = cos t dt ( + cos t dt = / π/ (t + sin t = 4 π. (Lskettiin origokeskisen -säteisen ympyrän neljänneksen pint-l Esim. Olkoon > j f: [, ] R jtkuv. Jos f on prillinen eli f(x = f( x x, niin Jos f on priton eli f( x = f(x x, niin f(x = f(x =. f(x. sdn Tod. Kosk f(x = f(x = f( t dt = f(x + f( tdt = f(x, niin sijoituksell x = t, = dt, f(tdt, jos f prillinen, f(t dt, jos f priton.

4 I.7. Osittisintegrointi Tulon derivoimiskv D(uv = u v +uv nt uv = D(uv u v, jost integroimll sdn 7.. Luse. Jos u, v ovt derivoituvi välillä j F on u v:n integrlifunktio välillä, niin uv F on uv :n integrlifunktio välillä, ts. u(xv (x = u(xv(x u (xv(x. Tod. D(uv F = D(uv F = u v + uv u v = uv. Jos merkitään v = dv j u = du, niin lyhyesti u dv = uv v du. Luse 5. nt vstvn tuloksen Riemnnin integrleille: 7.. Luse. Olkoot u, v: [, b] R derivoituvi j u, v integroituvi (esim. jtkuvi välillä [, b]. Tällöin b u(xv (x = / b u(xv(x b u (xv(x. Tod. Kosk uv on integroituvn funktion uv + u v integrlifunktio, niin b uv + b u v = b (uv + u v = Esimerkkejä. x sin x = u(x = x u (x = = x cos x + cos x = sin x x cos x + C v (x = sin x v(x = cos x 3 = ln x = x ln x x = x ln x x + C (x > x x cos x = u(x = x u (x = π/4 π/4 / = π π/4 / 4 + x tn x π/4 tn x = π 4 π/4 ln cos x = π 4 + ln = π 4 ln. sin x cos x / b uv. v (x = cos x v(x = tn x I.8. Eräiden lkeisfunktioiden integrointi A. Rtionlifunktiot Olkoon R(x = P (x Q(x = + x m x m b + b x b n x n. Jos P :n ste deg(p = m n = deg(q, voidn jk j sdn R(x = P (x + P (x Q(x, P j P polynomej, deg(p < n = deg(q. 3

5 Tässä P ostn integroid. Siis jtkoss voidn olett m < n.. Erikoistpuksi: Jos n =, niin R(x = b n =, m = = R(x = b + b x j R(x = b ln b + b x + C. b + b x + b x eli muoto R(x = x + px + q. Nyt x + px + q = (x + p + q p. Olkoon luksi q p, jolloin nimittäjällä on reliset nollkohdt x j x (mhd. yhtäsuuret j siis x + px + q = (x x (x x. Jos x = x, niin R(x = (x x = + C. x x Jos x x, niin R(x = (x x (x x = A + B = A(x x + B(x x, x x x x (x x (x x missä tulee oll (jtkuvuuden nojll myös, kun x = x ti x = x { A + B = = A(x x + B(x x = (A + Bx x A x B x x A x B = Vkiot A j B voidn rtkist, kosk in on kerroindeterminntti = x x = = x + x (j A = /(x x, B = /(x x. Siis R(x = A ln x x + B ln x x + C. Olkoon sitten q p >, jolloin nimittäjällä ei ole nollkohti. Nyt R(x = q p + (x + p = (q p ( + u, missä u = x + p q p, joten integrlifunktio on tyyppiä rc tn. c n =, m = = R(x = + x eli muoto b + b x + b x sx + t R(x = x + px + q = s x + p x + px + q + t sp x + px + q = R(x = s ln x + px + q + (t sp x + px + q, jok tämän jälkeen plutuu kohtn b.. Yleinen tpus: R(x = P (x, missä deg(p < deg(q. Q(x Voidn todist, että Q:ll on lkutekijähjotelm Q(x = (x x k... (x x m k m (x + p x + q l... (x + p n x + q n l n, 4

6 missä k i, l j N, x i :t ovt erisuuri relijuuri, p j q j < kikill j j (p j, q j (p h, q h, kun j h, sekä että R:llä on osmurtohjotelm R(x = m k i i= j= n ij (x x i j + l i i= j= b ij x + c ij (x + p i x + q i j. Q:n erityyppisiä tekijöitä kohden on R:n osmurtohjotelmn otettv vstvt termit seurvsti: (x x i k A A + x x i (x x i A k (x x i k, (x + p i x + q i l B x + C B x + C x + + p i x + q i (x + p i x + q i B l x + C l (x + p i x + q i l. Sdut lusekkeet ostn jo integroid pitsi jälkimmäisen tpus l. Se on tyyppiä (vrt. myös edellä c-koht sx + t (x + px + q l = s x + p (x + (t sp + px + q l (x + px + q l, missä siis p q <. Ensimmäinen integrli on selvä (sijoitus t = x + px + q j jälkimmäinen voidn muunt seurvsti: x + px + q = (x + p + q p = (q p ( + u, missä u = x + p, = q p q p du = q p (x + px + q l = du (q p l ( + u l. Olkoon l. Integrlin määrittämiseksi voidn kirjoitt + x ( + x l = x ( + x l = ( + x l j sovelt jälkimmäiseen osittisintegrointi: x ( + x l = x x ( + x l = (l [ x ( + x l x ( + x l ] ( + x l Jtkmll näin päädytään lopult tpukseen l =. Tulos: R(x voidn lusu rtionlifunktioiden, logritmien j rc tn:n vull. Lsku onnistuu käytännössä, jos nimittäjäpolynomi Q ostn jk lkutekijöihin. Esimerkkejä. Ain ei knnt etsiä osmurtohjotelm: x 7 ( x 4 + = x 3 x3 x 4 = x 3 4x 3 + x 4 + = 4 x4 ln(x4 + + C. + x 3 =? + x3 = x = + x 3 = ( + x( x + x. + x 3 = A + x + Bx + C x + x = A Ax + Ax + Bx + C + Bx + Cx ( + x( x + x = (A + Bx + ( A + B + Cx + A + C x R x 5

7 A + B = A + B + C = A + C = B = A A + C = A + C = + x 3 = ( 3 + x x x + x = ( 3 + x x x x A = /3 B = /3 C = /3 x x + Tässä x x + = (x = 3 4 [ 4 3 (x + ], joten sijoittmll t = (/ 3(x, dt = (/ 3 sdn Siis x x + = t dt = 3 + x 3 = 3 ln + x 6 ln x x + + mikä pätee erikseen väleillä ], [ j ], [. x Määritä x(x 3. Integroitvn funktion osmurtokehitelmästä x + 6 x(x 3 = A x + B x rc tn ( 3 ( x + C 3 3 rc tn ( 3 (x + C, C (x 3 = (A + Bx + ( 6A 3B + Cx + 9A x(x 3 sdn A = /3, B = /3 j C = 5. Tällöin väleillä ], [, ], 3[ j ]3, [ on x [ ] + 6 x(x 3 = 3x + 3(x (x 3 = 3 ln x + 5 ln x 3 3 x 3 + C. B. Trigonometriset funktiot. f(x = R(sin x, cos x, missä R(s, t on khden muuttujn rtionlifunktio. Jos esim. R(s, t = s t sin x cos x, niin f(x = + st + sin x cos x. Seurv stndrdisijoitus on metodi, jok in onnistuu, mutt ei ole välttämättä mukvin: Sijoitetn tn( x = t välillä, joss x π + kπ k Z; siis oltv π + k π k Z. Tällöin x = rc tn t + k π sopivll k Z, = dt + t j sin x = sin( x cos( x = sin( x cos( x cos ( x + sin ( x = tn( x t + tn ( = x + t, cos x = cos ( x sin ( x = cos ( x sin ( x cos ( x + sin ( x = tn ( x t + tn ( = x + t ( t = f(x = R + t, t + t + t dt ts. plutuu rtionlifunktion integrointiin (koht A. 6

8 + t Esim. sin x = dt dt t + t = t = ln t + C = ln tn( x + C välillä ]kπ, π + kπ[ (k Z, joss sin x j tn( x on määritelty.. Potensseille muut keinot ovt usein helpompi: Esim. Jos n =,, 3,... j sij. t = cos x, dt = sin x, niin sin n+ x = (sin x n sin x = ( cos x n sin x = ( t n dt. Siis (n = sin 3 x = ( t dt = (t 3 t3 + C = 3 cos3 x cos x + C. Esim. Vstvsti sin n x = sin n x sin x = ( + cot x n [ sin x = ] ( + t n dt t=cot x Esim. 3 sin n x j sin n+ (n N hoituvt osittisintegroinnin ntmill plutuskvoill (ks. Myrberg s. x Esim. I n = I = π/ π/ = π, I = cos n x =? (n =,,,... π/ cos x = π/ / sin x = Olkoon n. Osittisintegroinnill (u(x = cos n x, v (x = cos x I n = π/ = (n cos n x cos x = π/ π/ / cos n x sin x cos n x( cos x = (n π/ π/ (n cos n x( sin x sin x cos n x (n π/ cos n x Sdust yhtälöstä I n = (n I n (n I n voidn I n rtkist: I n = n n I n j jtk I n = n n 3 n n I n 4 jne. I :een ti I :n sti. Siis (n... 3 n prillinen = I n = π (n... 4 j n priton = I n = n... 4 n Tyyppi f(pxg(qx, p ±q, missä f j g ovt sin ti cos. { cos(px + qx = cos px cos qx sin px sin qx Kosinin summkvoist sdn rtkisemll { cos px cos qx = cos(px qx = cos px cos qx + sin px sin qx [cos(p + qx + cos(p qx] sin px sin qx = [[cos(p qx cos(p + qx], jotk on helppo integroid. Sinin summkvoist seur vstvsti sin px cos qx = [sin(p + qx + sin(p qx]. 7

9 Esim. π cos x sin 3x = π (sin 5x + sin x = Esim. Erikoistpuksiss voidn käyttää muitkin kvoj: = 5 π/ 5π/ cos 5x cos x = Sij. 5x=t 5 (cos t cos t sin tdt = 5 5π/ / 5π/ cos t cos t dt = 5 π/ ( 5 cos 5x cos x = π/ (sin t 3 sin3 t = 5 cos t( sin tdt ( = 3 5. C. Juurilusekkeit ( x + b. R x, n, missä R rtionlifunktio. cx + d x + b Sijoitetn t = n cx + d x = dtn b ct n = r(t rtionlinen, = r (tdt myös rtionlinen; lisäksi x j t on rjoitettv sopiviin väleihin. Esim. Määritä I = Sijoitetn I = 3 3/ x x. x x = t x = 3 t( t (t dt = t Osmurtokehitelmän. siis t (t dt = t t, = t dt (t j osittisintegroidn: / 3 t t + 3 t = (t + (t = t t + vull dt t = dt t. dt t = (ln t ln t + + C = ln t + C, t + I = ln 3 + ln =... = ln 3 3 R(x, x +, vkio Hyperbelisijoitus Yhtälö y x = esittää hyperbeliä, kun y = x +. Kosk (y + x(y x =, niin merkitsemällä y + x = t sdn jolloin = y + x = t y x = t x = ( t t y = ( t +, t ( + t dt = ( t + t dt t = y dt t. 8

10 Siis plutuu t:n rtionlifunktion integrointiin. Usein on mukvmpi käyttää hyperbolisi funktioit, jolloin trvitn niiden peruskvoj; eksponenttimuodoss integroitess knntt rjt muutt logritmimuotoon (ks. seur. esim.. Integroinnin perusmuodot ovt: x + = r sinh x + C = ln(x + x + + C x = r cosh x + C = ln(x + x + C, kun x >. Esim. I = + x =? Hyperbelisijoitus: x = ( t, y = ( t + = x t t +. = ( + t dt x = t = y + x = + x + x = x = t = + + ( I = t + + t ( t dt = 4 = [ 4 (3 + + ln( + ( + (t + t + t 3 dt = / + ( t + ln t ] =... = + ln( +. b Sijoitetn x = sinh t t = r sinh x = ln(x + x +, jolloin = cosh t dt, + x = + sinh t = cosh t j uudet rjt t( =, t( = ln( +. Siis t I = ln(+ cosh t dt = ln(+ 4 (et + + e t dt = ln(+ / 4 ( et + t e t, jost sdn sm kuin :ss. 3. R(x, x, > vkio Ympyräsijoitus y = x { y = x y = t(x + x = t + t y = t + t = x Kosk = 4t ( + t dt, niin tehtävä plutuu t:n rtionlifunktion integrointiin. Usein trigonometrinen sijoitus x = sin t, = cos t dt, x = cos t on kätevämpi. Tähän liittyvä integroinnin peruskv on = rc sin x + C. x 9

11 4. R(x, x + bx + c,, plutuu neliöksi täydentämällä tpukseen, jos >, j tpukseen 3, jos <, sillä ( x + bx + c = x + b x + c [( = x + b = b 4c A (t ±, missä A = j t = A b 4c ] [( 4 = x + b ( x + b. ± A ] Joskus voi käyttää muitkin menetelmiä: Esim. Lske ( + x 3/. Sijoitetn x = tn t, = ( + tn tdt: I = π/4 + tn t π/4 ( + tn dt = t 3/ dt π/4 + tn t = cos t dt = π/4 / sin t =.. Pint-l tsoss I.9. Geometrisiä sovelluksi Kolmio on epätyhjä, suljettu (eli reunjnt mukn j surkstumton (ts. ei pelkkä jn, vn sisus j sen pint-l on = knt korkeus. Joukko K R on monikulmio, jos K = K... K n, missä K i :t ovt kolmioit. Monikulmion pint-l S(K sdn jkmll K kolmioihin, joiden sisukset ovt prittin erillisiä. Perusominisuudet: monotonisuus: K K = S(K S(K. dditiivisuus: S(K K = S(K + S(K, kun K:ll j K :ll ei ole yhteisiä sisäpisteitä. Sopimus: Myös on monikulmio, S( =. Olkoon A R rjoitettu joukko. Merkitään m(a = inf{s(k K A, K monikulmio} A:n ulkopint-l, m(a = sup{s(k k A, k monikulmio} A:n sisäpint-l. Huom: m(a = ei ole olemss monikulmiot k s.e. k A. k A K = S(k S(K = in m(a m(a. Määritelmä. Jos m(a = m(a, A:ll on pint-l m(a, jolle m(a = m(a = m(a. Huom. Jos A on monikulmio, niin voidn vlit k = A = K j S(A = m(a. 9.. Luse. Joukoll A on pint-l jokist ε > kohti on olemss monikulmiot k ε j K ε s.e. k ε A K ε j m(k ε m(k ε < ε. Tod. Vrt. Riemnnin ehto integroituvuudelle. 9.. Esim. Jos A on piste ti jn, niin m(a =, joten m(a =. 3

12 A = {(x, y x, y, x, y Q} = m(a =, m(a = (trkk tod. sivuutetn = A:ll ei ole pint-l. 3 A ympyräsektori, säde R >, keskuskulm α ], π]. Jetn α n:ään yhtäsuureen osn (n N j muodostetn monikulmiot k n A j K n A n:stä tskylkisestä kolmiost. sin ( α h = n tn ( α n m(k n = n Rh = n R = h = R sin( α n x = R = x = R tn( α n RR sin( α m(k n = n x R = n R tn ( α n n = R α sin(α/n (α/n n R α, = R α sin(α/n (α/n Kosk m(k n m(a m(a m(k n kikill n N, niin m(a = R α. cos(α/n n R α, 9.3. Luse. Olkoon f: [, b] R integroituv j f(x kikill x [, b]. Merkitään Tällöin A:ll on pint-l m(a = A = {(x, y x b, y f(x}. b f(x. Tod. Olkoon ε >. Kosk f on integroituv, niin on olemss jko D = {x, x,..., x n }, jolle S D < b f + ε j s D > b f ε. Merkitään i = [x i, x i ], g i = inf{f(x x i } j G i = sup{f(x x i }, i =,..., n. Jos g i >, merkitään E i = i [, g i ], j muuten E i =, sekä setetn k D = E... E n. Tällöin k D A on monikulmio (k D =, jos g i = kikill i j m(k D = s D. Jos G i >, merkitään F i = i [, G i ], j jos G i =, setetn F i = i [, h ε ], missä h ε = ε/[(b ]. Nyt K D = F... F n on suorkulmioist koostuv monikulmio, jolle A K D j m(k D S D + ε < b f + ε. Kosk s D = m(k D m(a m(a m(k D, niin b f ε < m(a m(a < joten m(a = m(a = b f eli väite seur. b f + ε ε >, 9.4. Luse. Jos f, g: [, b] R ovt integroituvi j f(x g(x kikill x [, b], niin joukoll A = {(x, y x b, f(x y g(x} on pint-l m(a = b [g(x f(x]. 3

13 Tod. Hrjoitustehtävä.. Tsokäyrät (kertus syksyn kurssilt Trkstelln tso R = {(x, y x R, y R} = R R. Olkoon R väli, mhdollisesti rjoittmton. Määr. Polku tsoss on pri (f, g jtkuvi funktioit f: R, g: R. Jos t, niin (f(t, g(t = α(t R. Siis α: R on kuvus tsoon; merkitään α = (f, g. Kuvjoukko α = α( = {(f(t, g(t t } R on käyrä (eli Peno-käyrä, t on prmetri, α on käyrän α prmetriesitys. Usein kirjoitetn { { x = f(t x = x(t ti y = g(t y = y(t. Näistä jälkimmäinen on mukv, mutt ei ihn täsmällinen, kosk siinä x j y on sekä luku että funktio Esim. = [, ], jnpolku pisteestä = (, pisteeseen b = (b, b { x = + t(b = ( t + tb y = + t(b = ( t + tb eli vektorimuodoss (x, y = ( t + tb. α(t = ( + t(b, + t(b Tässä tpuksess α on jn. = [, ], sm jn, toinen prmetriesitys: { x = + t(b = ( t + tb y = + t(b = ( t + tb. 3 = [, π], α(t = (R cos t, R sin t, R > { x = R cos t y = R sin t Nyt α on R-säteinen origokeskinen ympyrä. Huom. Päätepisteet kuvutuvt smn pisteeseen (R,. Polku α: [, b] R on umpininen, jos α( = α(b. Kohdn 9.5. esimerkkien j polut eivät ole umpinisi, mutt esim. 3 polku on. 3

14 Käyrä on kri, jos sillä on prmetriesitys α: [, b] R, jok on injektio. Tämä trkoitt: t t = α(t α(t eli f(t f(t ti g(t g(t Käyrä on Jordn-käyrä, jos sillä on sellinen prmetriesitys α: [, b] R, että α [, b[ on injektio j α( = α(b. (Myös: A R on Jordn-käyrä on olemss jtkuv bijektio α: Y A, missä Y on ympyrä, mutt tämä vtisi tällisen jtkuvuuden määritelmän. Prmetrin vihto: Olkoon α: R polku, toinen väli j h: jtkuv idosti ksvv bijektio. Tällöin α h: R on uusi polku, jok on stu α:st ksvvll prmetrin vihdoll (voisi myös trkstell pienenevää tpust. Esim. Kuvus h: [, ] [, ], h(t = t, nt edellä kohdss 9.5 :stä :n. Tngentti Olkoon α = (f, g: R polku. Olkoon t sellinen, että on olemss derivtt f (t, g (t. Lisäksi oletetn, että f (t ti g (t. Oletetn, että t + h, h R {}. Jos esim. f (t, niin f(t + h f(t, kun h on pieni. Tällöin on α(t + h α(t. Siis voidn sett suor (sekntti pisteiden α(t j α(t + h kutt. Merkitään f = f(t + h f(t, g = g(t + h g(t. Vektori ( f, g osoitt sekntin ( f suunnn, smoin vektori h, g. Kun h, lähenee tämä vektori (f (t, g (t, jot h voidn merkitä myös α (t. Tulos. Jos f (t j g (t ovt olemss j f (t + g (t > (eli f (t ti g (t, niin polull α on t :ss tngentti, jonk suunt on sm kuin vektorin α (t = (f (t, g (t. Jos f (t, on tngentin kulmkerroin g (t f (t j yhtälö y g(t = g (t f (t (x f(t. Jos f (t =, niin tngentti on pystysuor j sen yhtälö on x = f(t. Esimerkin ympyrälle on x (t = R sin t j y (t = R cos t, joten tngentin suunt on sm kuin vektorin ( R sin t, R cos t j siis myös sm kuin vektorin ( sin t, cos t. { x = t 9.6. Esim. 3 = f(t y = t = g(t Kikill t on olemss f (t, g (t, mutt molemmt ovt nolli, kun t =. t > : t = 3 x = y = ( 3 x = x /3, kun x >. (, j { f( t = f(t g( t = g(t Siis käyrä on symmetrinen y-kselin suhteen. Origoss käyrällä on huipputerävä kärki. 33

15 Määr. Polku α = (f, g: R on säännöllinen, jos ( on olemss jtkuvt derivtt f j g välillä (päätepisteissä toispuoliset, ( f (t + g (t > kikill t. Säännöllisellä polull on tngentti jok pisteessä (päätep. puolitngentti. Esimerkkien 9.5., j 3 polut ovt säännöllisiä, mutt esimerkin 9.6 polku ei ole säännöllinen. { x = t 9.7. Esim. = x(t y = t 3 t = R t = y(t x (t = t y (t = 3t = t = } = polku = t = ±/ 3 säännöllinen tngentti vksuor, kun y (t = tngentti pystysuor, kun x (t = { x( t = x(t y( t = y(t Siis käyrä on symmetrinen x-kselin suhteen. Kosk x ( = j y ( = 3 =, niin tngentin kulmk. = pisteessä (x(, y( = (,. Myös x( = = y(, mutt tngentin kulmk. =. Käyrä leikk itsensä origoss. Implisiittifunktiot. Ol. A R, F : A R. Yhtälö F (x, y = määrittelee usein käyrän, ei kuitenkn in. Esim. F (x, y = x + y R, joss R >. Y = {(x, y x + y R = } on ympyrä j sm kuin edellä ollut α[, π], missä α(t { = (R cos t, R sin t. x = R cos t Perustelu. Prmetriesityksestä päästään muotoon x + y = R eliminoimll t: y = R sin t x + y = R cos t + R sin t = R (cos t + sin t = R. Olkoon x + y = R, R >. Tällöin x, joten on olemss -käsitteinen t [, π] R s.e. cos t = x R j lisäksi myös cos(π t = x R, π t [π, π]. Nyt ( x ( y sin t = cos t = = = sin t = y R R R ti sin t = y R. Jälkimmäisessä tpuksess on kuitenkin sin(π t = sin t = y. Kiken kikkin in on R olemss t [, π] s.e. cos t = x R j sin t = y R. Erikoistpus: Kuvus F on muoto F (x, y = y f(x, joss f: R jtkuv. Tällöin F (x, y = y = f(x eli kyseessä on f:n kuvj. 34

16 { x = t Sillä on luonnollinen prmetriesitys. y = f(t Tämä on säännöllinen f jtkuvsti derivoituv (sillä x (t =, y (t = f (t. { x = f(t Käänteinen ongelm: Olkoon nnettu polku. Määrittelevätkö nämä funktion y = g(t y = h(x? Vstus: Ei in, ktso esim ti 9.7. Kuitenkin näin on, jos esim. f on idosti monotoninen. Tällöin on olemss käänteisfunktio f, jolloin prmetrinvihdoll t = f (s sdn esitys { x = f(f (s = s y = g(f (s = h(s = h(x. Miten sdn h (x? Olkoon f (t pisteessä t. Merkitään x = f(t eli t = f (x Tällöin (yhdistetyn funktion derivointi h (x = (g f (x = g (f (x (f (x = g (t f (t = y (t x (t. Eli h (x = y (t x (t, kun x = x(t. Ide: y x = y/ t y x/ t x x. { x = 3t + e t Esim. Osoit, että yhtälöpri määrittelee funktion h: R R, y = h(x. y = cos t Määritä ne pisteet x, joiss h (x =. Kuvus x on jtkuv j x (t = 3 + e t > 3 > = x idosti ksvv. t : x(t > 3t, joten lim x(t = t t : Kun t <, niin x(t < 3t + j lim x(t =. t Siis x: R R on bijektio j täten on olemss h: R R, jolle y = h(x. h (x(t = y (t x (t = sin t = sin t = t = kπ, k Z. 3 + et x(kπ = 3kπ + e kπ ts. kysytyt pisteet x = 3kπ + e kπ. Npkoordintit (x, y R { x = r cos ϕ y = r sin ϕ r, ϕ määrätty π:n monikert ville r = x + y { cos ϕ = x/r = x/ x + y Jos (x, y = (,, ei ϕ ole määritelty. Muulloin in sin ϕ = y/r = y/ x + y x : ϕ = rc tn y + nπ, joss x > = n prillinen j x < = n priton. x Jos x =, y >, on ϕ = π (+n π. Jos x =, y <, on ϕ = π (+n π. 35

17 { r = r(t Polku voidn nt prmetrimuodoss ϕ = ϕ(t ti r = r(ϕ. Esimerkkejä. r = r = x + y = yksikköympyrä. r = ϕ, ϕ Arkhimedeen spirli 3 r = r(ϕ = e kϕ, k > vkio ϕ = r ϕ = r kyseessä logritminen spirli Tutkitn kuvion kulm ω: ω = α ϕ tn ω = tn α tn ϕ + tn α tn ϕ, missä tn ϕ = y x j tn α = y x { x = r(ϕ cos ϕ y = r(ϕ sin ϕ = { x = r (ϕ cos ϕ r(ϕ sin ϕ y = r (ϕ sin ϕ + r(ϕ cos ϕ Siten tn ω = y /x y/x + (yy /xx = xy yx xx + yy =... = r rr (ϕ = r r (ϕ Nyt r (ϕ = ke kϕ = tn ω = /k = vkio. 4 r = sin ϕ, ϕ [, π] Jos ϕ j ϕ π, niin r j r = sin ϕ r = r sin ϕ x + y = y x + (y = (. Lisäksi r =, jos ϕ = ti π. Siis yhtälön esittämä käyrä on ympyrä, jonk keskipiste on (, j säde =. 3. Pint-l j npkoordintit Olkoon f: [α, β] R integroituv j f(ϕ kikill ϕ [α, β], β α π. Merkitään A = {(r cos ϕ, r sin ϕ α ϕ β, r f(ϕ} R. Olkoon D = {ϕ, ϕ,..., ϕ n } välin [α, β] jko, jkovälit k = [ϕ k, ϕ k ] sekä g k = inf f(ϕ j G k = sup f(ϕ ϕ k ϕ k (k =,..., n. Muodostetn pproksimoivt joukot sektorien vull: b k = {(r cos ϕ, r sin ϕ ϕ k, r g k }, E n = b... b n A, c k = {(r cos ϕ, r sin ϕ ϕ k, r G k }, F n = c... c n A. 36

18 Esim mukn m(b k = g k (ϕ k ϕ k = g k l( k j m(c k = G k l( k, joten m(a m(e n = m(b k = k= j vstvsti m(a m(f n = S D(f. gkl( k = s D(f Olkoon ε >. Kosk f on integroituv, niin löydetään sellinen jko D ε, että S Dε (f < = β α β Siis joukoll A on pint-l m(a = α k= f + ε j s Dε (f > f ε < m(a m(a < β α f(ϕ dϕ. β α β α f + ε. f ε Huom: Yleensä käyrää r = f(ϕ merkitään r = r(ϕ, jolloin m(a = Esim. Määritä krdioidin r = ( cos ϕ ( > rjoittmn joukon l. f(ϕ = ( cos ϕ = r(ϕ >, kun < ϕ < π; r( = = r(π A = {(r cos ϕ, r sin ϕ ϕ π, r r(ϕ} β α r(ϕ dϕ. m(a = π r(ϕ dϕ = π π ( cos ϕ dϕ = ( cos ϕ + cos ϕ dϕ π / π( 3 = ( cos ϕ + + cos ϕ dϕ = ϕ sin ϕ + 4 sin ϕ = 3 π. Prmetrimuoto. Edellisen kohdn npkoordinttitilnteeseen liittyen merkitään edelleen A = {(r cos ϕ, r sin ϕ α ϕ β, r f(ϕ}. { x = f(ϕ cos ϕ Npkoordinttipolull r = f(ϕ on prmetriesitys, ϕ [α, β]. y = f(ϕ sin ϕ Tehdään prmetrin vihto jtkuvll j ksvvll kuvuksell t ϕ(t, ϕ: [, b] [α, β], ϕ( = α, ϕ(b = β. Sdn polku { x = x(t = r(t cos ϕ(t, missä r(t = f(ϕ(t, t [, b]. y = y(t = r(t sin ϕ(t Oletetn kuvukset f j ϕ jtkuvsti derivoituviksi. Tällöin { x (t = r (t cos ϕ(t r(t sin ϕ(t ϕ (t y (t = r (t sin ϕ(t + r(t cos ϕ(t ϕ (t = = (xy yx (t = r(t cos ϕ(t ϕ (t + r(t sin ϕ(t ϕ (t b (xy yx (tdt = = r(t ϕ (t = f(ϕ(t ϕ (t b f(ϕ(t ϕ (tdt = Sij. ϕ=ϕ(t β α f(ϕ dϕ = m(a 37

19 Tulos: m(a = b (xy yx dt Huom: Kv on johdettu ϕ:n olless ksvv, joten rjojen järjestyksen vlinnss olisi yleisesti huomioitv npkoordintteihin liittyvä positiivisen kiertosuunnn järjestys. Kv pätee kikkien umpinisten (jtk. derivoituvien polkujen rjoittmille tsojoukoille, kunhn prmetriväli vst yhtä kierrost vstpäivään (trkemmin Diff. II. Esim. Määritä ellipsin {(x, y x + y = } ( >, b > rjoittmn joukon E pint-l. b x { + y x = cos t b =, t [, π] y = b sin t (tässä t ei ole npkoordinttien vihekulm, jos b m(e = π Kosk E = (xy yx dt = π { (x, y x, b x y b m(e = = 4b ( b x π/ π ( cos t b cos t + b sin t sin tdt = b dt = πb. + b missä on sijoitettu x = sin t, = cos t dt. x = 4b cos t dt = 4b π 4 = πb, } x, niin Luseen 9.4 kvll x Jos polun prmetriesitys määrittelee funktion, niin pint-l voidn usein mukvsti määrittää tämän vull, kuten näkyy seurvst esimerkistä. { x = (t sin t Esim. Olkoon >. Osoit, että sykloidin kri, t [, π], määrittelee y = ( cos t funktion y = h(x. Lske tämän vull sykloidin kren j x-kselin rjoittmn joukon A pintl. Merkitään x(t = (t sin t = f(t, t [, π]. Kosk f (t = x (t = ( cos t j f (t = t = ti π, niin funktio f: [, π] [, π] on idosti ksvv, joten sillä on käänteisfunktio f : [, π] [, π]. Siis prmetriesitys määrittelee funktion y = h(x, h(x = y(f (x. Kysytty l on m(a = π y(f (x(t = (y f f(t = y(t sdn m(a = π y(tx (t dt = h(x. Sijoittmll x = x(t, = x (tdt, h(x(t = π π ( cos t ( cos t dt = ( cos t dt π π = ( cos t + cos tdt = ( cos t + cos t + dt / π( 3 = t sin t + 4 sin t = 3π. 38

20 4. Polun pituus Piste P = (x, y R j vektori v = (x, y = x ı+y j. Pisteen P etäisyys origost = x + y = v = vektorin v pituus. Vektorin kertominen luvull R: v = (x, y; j vektorien summ: v + u = (x, y + (x, y = (x + x, y + y. Tson vektoreille pätevät: Komponenttiepäyhtälöt: Jos v = (x, x, niin x i v x + x, i =,. Kolmioepäyhtälöt: v u v ± u v + u, v = (x, y j u = (x, y. Tod. Jos i =,, niin x i x i x + x ( x + x = x + x. (xx + yy (xx + (yy + xx yy + (xy x y = (xx + (yy + (xy + (x y = (x + y (x + y = xx + yy xx + yy x + y x + y = v u v + u = (x + x + (y + y = x + y + x + y + xx + yy v + u + v u = ( v + u = v + u v + u Tällöin siis v = ( v + u u v + u + u = v + u + u, joten v u v + u. Kosk smoin u v v + u, niin v u v + u. Olkoon α: [, b] R, α(t = (x(t, y(t, polku (siis t x(t j t y(t jtkuvi. Muodostetn välin [, b] jko D : = t < t <... < t n = b. Sitä vst murtoviiv, jonk pituus on l D = = α(t k α(t k k= [x(tk x(t k ] + [y(t k y(t k ] k= Määritelmä. Jos l = l(α = sup{l D D on välin [, b] jko} <, niin polku α on suoristuv j l sen pituus. Jos polku α ei ole suoristuv, setetn l(α =. Siis α on suoristuv on olemss vkio L < s.e. l D L kikill D. Lemm. Jos D D, niin l D l D. Tod. Voidn olett, että D = D {t }, t k < t < t k. Kolmioepäyhtälön mukn l D l D = α(t k α(t + α(t α(t k α(t k α(t k. Kun f: [, b] R on funktio j D on välin [, b] jko kuten edellä, merkitään v D = v D (f = f(t k f(t k. k= Määritelmä. Jos v = v(f = sup{v D (f D on välin [, b] jko} <, niin f on rjoitetusti heilhtelev j v sen kokonisheilhtelu. 39

21 Siis f on rjoitetusti heilhtelev vkio V < s.e. v D V kikill D Esimerkkejä. Jos f: [, b] R on derivoituv j f rjoitettu (esim. f jtkuv välillä [, b], niin f on rjoitetusti heilhtelev. Tod. Olkoon M > sellinen, että f (t M kikill t [, b]. Muodostetn välin [, b] jko D = {t, t,..., t n }. DVAL = on olemss sellinen ξ k ]t k, t k [, että f(t k f(t k = f (ξ k (t k t k (k =,..., n, jolloin v D (f = f(t k f(t k = k= f (ξ k (t k t k M { x cos(π/x, kun < x Asetetn f(x =, kun x =. Tällöin f: [, ] R on jtkuv, mutt ei ole rjoitetusti heilhtelev. k= Perustelu. Jtkuvuus on selvä. Olkoon n N j D n = ( f k = (t k t k = M(b. k= {, ( f = k + k cos(kπ k + cos((k + π k ( k k + ( k+ = k + k + > k = v Dn (f k= n +, n,..., 3, },. (k =,,..., n ( ( f f > + k k n n (viimeisen kohdn perustelu srjteoriss, hrmoninen srj Luse. Polku α: [, b] R, α(t = (x(t, y(t, on suoristuv x j y ovt rjoitetusti heilhtelevi funktioit. Tod. = Oletuksen mukn α on suoristuv, joten on olemss L R s.e. l D L kikill D. Olkoon D = {t, t,..., t n } välin [, b] jko. Komponenttiepäyhtälön mukn x(t k x(t k α(t k α(t k kikill k =,..., n, joten v D (x = x(t k x(t k k= α(t k α(t k = l D L. Siis funktio x on rjoitetusti heilhtelev, j smoin y. = Kosk funktiot x, y ovt rjoitetusti heilhtelevi, niin on olemss V, V < s.e. v D (x V j v D (y V kikill joill D. Olkoon D = {t, t,..., t n } välin [, b] jko kuten edellä. Komponenttiepäyhtälön oiken puolen mukn α(t k α(t k x(t k x(t k + y(t k y(t k (k =,..., n. Summmll sdn l D v D (x + v D (y V + V, joten α on suoristuv. { x = t Esim. Olkoon f: [, b] R jtkuv. Polku, t [, b], on f:n kuvj. Kosk y = f(t v D (x = b kikill joill D, niin x(t = t on in rjoitetusti heilhtelev. Siis kuvjpolku on suoristuv f on rjoitetusti heilhtelev. Erityisesti edellisen esim. 9.8.:n kuvjpolku ei ole suoristuv. 4 k=

22 Merkitään α (t = (x (t, y (t. 9.. Luse. Jos α: [, b] R, α(t = (x(t, y(t, on jtkuvsti derivoituv polku (ts. x j y jtkuvi, niin α on suoristuv j sen pituus on l = l(α = b α (t dt = b x (t + y (t dt. Tod. Luseen 9.9 j esimerkin 9.8. mukn α on suoristuv. Merkitään I = b α (t dt. On osoitettv, että l = I. Olkoon D = {t, t,..., t n } välin [, b] jko j k = [t k, t k ] (k =,..., n. DVAL = jokisell k =,..., n on olemss ξ k, η k ]t k, t k [ siten, että x(t k x(t k = x (ξ k (t k t k = x (ξ k l( k j y(t k y(t k = y (η k l( k. Nyt siis α(t k α(t k = (x (ξ k l( k, y (η k l( k = l( k v k, missä v k = (x (ξ k, y (η k, joten l D = α(t k α(t k = v k l( k. k= Jtkuvn funktion t x (t + y (t = α (t jkoon D liittyvä eräs Riemnnin summ on S D = x (ξ k + y (ξ k l( k = k= k= α (ξ k l( k. k= Lopputrkstelu jetn osiin seurvsti: kikill joill D on ( l I (l l D + l D S D + S D I. Olkoon ε >. Suoristuvn polun pituuden l määritelmän mukn on olemss jko D ε siten, että l Dε > l ε. Kun D D ε, niin (Lemmn nojll l Dε l D, joten l l D l l Dε < ε. Luseen. mukn S D I < ε in, kun D on riittävän tiheä. Trkstelln vielä termiä l D S D : l D S D = v k α (ξ k l( k ey y (η k y (ξ k l( k. k= k= v k α (ξ k l( k Kosk y on tsisesti jtkuv välillä [, b], niin on olemss δ > s.e. y (s y (t < ε/(b in, kun s t < δ j s, t [, b]. Erityisesti, jos D < δ, on η k ξ k < δ kikill k, joten ε l D S D < b l( k = ε. k= Kikkin, kun D D ε on riittävän tiheä, on ( :n mukn l I < ε + ε + ε = 3ε. Tämä on voimss kikill ε >, joten l = I. { 9.. Seuruksi:. Jtkuvsti derivoituvn funktion f: [, b] R kuvjn eli polun x = t, t [, b], pituus on y = f(t b l = + f (x. 4 k=

23 . Olkoon r = r(ϕ npkoordinteiss nnettu polku j ϕ r(ϕ jtkuvsti derivoituv. { x(ϕ = r(ϕ cos ϕ y(ϕ = r(ϕ sin ϕ = { x (ϕ = r (ϕ cos ϕ r(ϕ sin ϕ y (ϕ = r (ϕ sin ϕ + r(ϕ cos ϕ Siis polun pituus l = = x (ϕ + y (ϕ = r (ϕ cos ϕ + r(ϕ sin ϕ r(ϕr (ϕ sin ϕ cos ϕ+ b β α + r (ϕ sin ϕ + r(ϕ cos ϕ + r(ϕr (ϕ sin ϕ cos ϕ = r (ϕ + r(ϕ r(ϕ + r (ϕ dϕ. Esim. Ketjukäyrän y = f(x = cosh(x/ pituus välillä x b ( >, b > on (f (x = sinh(x/ on jtkuv b b l = + f (x = + sinh ( x b = cosh ( x = ( x b ( x cosh = cosh = / b ( x sinh ( b = sinh. Esim. Määritä krdioidin r = ( cos ϕ ( >, ϕ π, pituus. Kuvus ϕ r(ϕ = ( cos ϕ on jtkuvsti derivoituv j r(ϕ + r (ϕ = ( cos ϕ + cos ϕ + sin ϕ = cos ϕ = cos ϕ = sin ( ϕ = sin( ϕ = l = π r(ϕ + r (ϕ dϕ = π { Esim. Ellipsin x + y x = cos t b = eli y = b sin t l = = π π π / π sin( ϕ dϕ = cos( ϕ = 8., t [, π], b >, pituus on x (t + y (t dt = sin t + b cos t dt π ( b ( cos t + b cos t dt = e cos t dt, e =, missä e on eksentrisyys. Tätä integrli ei void lske lkeisfunktioiden vull. Erikoistpuksess = b eli e = sdn ympyrän kehän pituus l = π dt = π. 5. Pyörähdyskppleen tilvuus. Oletetn tunnetuksi suorn ympyrälieriön tilvuus V = πr h. Ol. f: [, b] R jtkuv, f(x kikill x [, b]. Kun käyrä y = f(x, x [, b], pyörähtää x-kselin ympäri, syntyy pyörähdyskpple K = {(x, y, z x b, y + z f(x }. 4

24 Olkoon D = {x, x,..., x n } välin [, b] jko, jkovälit k = [x k, x k ] (k =,..., n, j merkitään m k = min{f(x x k }, M k = mx{f(x x k }. Approksimoidn K:n suiklett {(x, y, z K x k } ympyrälieriöillä, jolloin sisäkppleen k n tilvuus on V (k n = πm kl( k = πs D (f k= j ulkokppleen K n tilvuus on V (K n = πmk l( k = πs D (f eli jkoon D liittyvät l- j yläsummt funktiolle πf. Siis K:n tilvuus on V (K = π k= b f(x. Esim. Ellipsi x + y = ( >, b > pyörähtää x-kselin ympäri. Pyörähdysellipsoidin b tilvuus on V = π y(x = π b ( x = πb ( x / = πb (x x3 3 = πb ( = πb. { x = cos Esim. Astroidi 3 t y = sin 3 ( >, t π, t pyörähtää x-kselin ympäri. Trkstelln funktiot x(t = cos 3 t = f(t. Kosk f (t = 3 cos t( sin t kikill t [, π] j f (t = t = k(π/, niin f eli x(t on idosti vähenevä jtkuv kuvus [, π] [, ]. Sillä on siis käänteisfunktio f, x f (x, joten prmetriesitys määrittelee funktion y = h(x, h = y f, j h(x(t = h(f(t = (y f f(t = y(t. Kysytty tilvuus on V = π h(x = π h(x. Sijoitetn x = x(t = cos 3 t, = x (tdt j h(x(t = y(t, jolloin V = π y(t x (tdt = π sin 6 t 3 cos t( sin tdt. π/ π/ Sijoittmll u = cos t, du = sin t dt sdn sin 6 t = ( cos t 3 = ( u 3, joten V = 6π 3 ( u 3 u du = 6π 3 (u 3u 4 + 3u 6 u 8 du = 3 5 π3. TAI: { x = cos 3 t y = sin 3 t { cos t = (x/ /3 sin t = (y/ /3 ( x /3 + ( y /3 = 43

25 x /3 + y /3 = /3 y = ( /3 x /3 3. Astroidi on symmetrinen koordinttikselien suhteen, joten kysytty tilvuus on V = π y(x = π ( 3 4/3 x /3 + 3 /3 x 4/3 x / ( = π x 3 4/3 3 5 x5/3 + 3 /3 3 7 x7/3 3 x3 = π ( = π 3( = π = 3 5 π3. Jos pyörähdys tphtuu y-kselin ympäri, voidn tilnne yleensä muutt eo. tpukseen soveltuvksi. Toislt on myös mhdollist joht om kvns esim. seurvin oletuksin: Olkoon f: [, b] R jtkuv, < b j f(x kikill x [, b]. Joukon {(x, y x b, y f(x} pyörähtäessä y-kselin ympäri muodostuu kpple K. Olkoon D = {x, x,..., x n } välin [, b] jko. Se muodost pproksimoivn kppleen K D, jok koostuu ympyrärengslieriöistä R k. R k :n tilvuus V (R k = π(x k x k f(ξ k, ξ k [x k, x k ]. DVAL = x k x k = η k(x k x k, missä η k ]x k, x k [. Joukon K D = R... R n tilvuus on V (K D = π η k f(ξ k (x k x k. Integroituvuuden perusteell tiedetään Riemnnin summn rj-rvo: S D (ξ = π k= k= ξ k f(ξ k (x k x k D π Merkitään M = mx{ f(x : x [, b]}. Tällöin (vrt. L 9. todistus V (K D S D (ξ = π π b (η k ξ k f(ξ k (x k x k k= xf(x = I. η k ξ k f(ξ k (x k x k π D M(b }{{}}{{} k= D M D = V (K I V (K V (K D + V (K D S D (ξ + S D (ξ I D Siis K :n tilvuudelle sdn luseke V (K = π b 44 xf(x.

26 Esim. Olkoon f(x = sin x, kun < x π, j f( =. x Joukon {(x, y x π, y f(x} pyörähtäessä y-kselin ympäri muodostuu kpple, jonk tilvuus on π V = π x sin x = π x π/ cos x = 4π. 6. Pyörähdyspinnn l (eli pyörähdyskppleen vipn l. Ol. f: [, b] R jtkuvsti derivoituv, f(x kikill x [, b]. Käyrän y = f(x, x [, b], pyörähtäessä x-kselin ympäri muodostuu pyörähdyspint jonk l A(P hlutn määrittää. P = {(x, y, z R 3 x b, y + z = f(x }, Aputulos. Ktkistun krtion vipn l on (kuvion merkinnöin A v = π(r + r s. Perustelu: r = s + s r s = r s + r s r s A v = πr (s + s πs r = π(r s + r s s r = π(r + r s. Olkoon D = { = x, x,..., x n = b} välin [, b] jko, jkovälit k = [x k, x k ] (k =,..., n. Tällöin sdn P :tä pproksimoiv pint P D, jok koostuu ktkistujen krtioiden vipoist P k. P k :n l = π[f(x k + f(x k ] l( k + [f(x k f(x k ] DVAL = ξ k ]x k, x k [ s.e. f(x k f(x k = f (ξ k (x k x k = f (ξ k l( k Bolznon luseen mukn on olemss η k ]x k, x k [ s.e. f(η k = [f(x k + f(x k ]. Siis P k :n l = πf(η k + f (ξ k l( k, joten pproksimoivn pinnn P D l on A(P D = π f(η k + f (ξ k l( k. k= Toislt jkoon D liittyy Riemnnin summ S D (ξ = π k= f(ξ k + f (ξ k l( k D π Väite: A(P D S D (ξ, kun D. Merkitään b f(x + f (x. ε k = f(η k f(ξ k, M = mx{ f (x : x b} j ε(d = sup{ ε k : k n}. 45

27 Kosk f on tsisesti jtkuv välillä [, b], niin lim ε(d =. Nyt D A(P D S D (ξ π f(η k f(ξ k + f (ξ k l( k π k= Siis pyörähdyspinnn P l on πε(d + M (b, kun D. A(P = π b f(x + f (x. ε k + M l( k { x = cos Esim. Astroidi 3 t y = sin 3 ( >, t π, pyörähtää x-kselin ympäri. Pyörähdyspinnn l A =? t Prmetriväliä t π vst funktio y = h(x, x (ikisempi esim.. Sijoitetn x = x(t = cos 3 t, = x (tdt, h(x(t = y(t, jolloin h (x(t = y (t x (t = A = π lim ε + = 4π lim ϕ (π/ = π lim ε ϕ ϕ (π/ k= 3 sin t cos t 3 cos t sin t = tn t, kun t [, π[ (ts. x ], ] h(x + h (x = 4π sin 3 t ϕ/ lim ϕ (π/ cos t ( 3 cos t sin t dt = π 5 sin5 t = 5 π. ϕ y(t + tn t x (t dt lim ϕ (π/ ϕ cos t sin 4 t dt { x = R cos t Esim. R-säteinen pllopint syntyy, kun puoliympyrä, t [, π], pyörähtää y = R sin t x-kselin ympäri. Tässä y = h(x = R x, x [ R, R] (h tosin ei ole derivoituv kohdiss x = ±R, joten olisi trksteltv rj-rvoj kuten stroidin tpuksess, mutt tämä on seurvss sivuutettu. Pllon l on A = π R R h(x + h (x. Sijoitetn x = x(t = R cos t, = x (tdt = R sin t dt, h(x(t = y(t, jolloin h (x(t = y (t x (t = cos t sin t. Siis R A = π = π R π h(x + h (x = π R sin t + cos t sin t π ( R sin t dt = πr y(t + h (x(t x (t dt π sin t dt = 4πR. 46