SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

Transkriptio

1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin. Tekstissä viittn muihin mtemtiikn kursseihin seurvsti: A Anlyysi A2 Anlyysi 2 VeM Vektorit j mtriisit LA Linerilgebr EA Euklidiset vruudet Esitietoin vditn ensimmäisen vuoden nlyysin kurssit kurssit A j A2. Ve- M:st käytetään inostn yhtälöprien lkeellisimpi ominisuuksi. LA:hn j EA:hn viittn sellisiss kohdiss, joiss on luonnollinen yhteys näiden kurssien sisältöön, näiden kurssien sioit ei kuitenkn trvit esitietoin. Anlyysin tuloksiin viitttess käytetään Kilpeläisen lukuvuoden kurssimonisteen numerointi. A:ssä määriteltiin lukujono:. Funktiojonot (.) ( k ) k= = ( k ) k N = ( k ) =, 2, 3,..., k R kikill k N. Jono ( k ) k= suppenee, jos jollekin b R pätee (.2) ɛ > 0 N ɛ siten, että k N ɛ = b k < ɛ. Luku b on jonon ( k ) rj-rvo, b = lim k k. Yleistämme tämän käsitteen tilnteeseen, joss reliluvut k korvtn funktioill: Määritelmä.. Olkoon A R j olkoot f k : A R, k N, funktioit. (.3) (f k ) k= = (f k ) k N = (f k ) = f, f 2, f 3,..., on funktiojono. Esimerkki.2. A = [0, ]. Asettmll kikill k N, f k : [0, ] R, (.4) f k (x) = x k, smme funktiojonon (f k ) k=. Nyt siis (.5) f (x) = x, f 2 (x) = x 2, f 3 (x) = x 3,... Versio: 3. syyskuut 2003.

2 2 JOUNI PARKKONEN Huomutus.3. Jono joukoss A on kuvus : N A. Määritelmän. tpuksess A = {f : A R}. Lukujonoille A = R. Hlumme trkstell funktiojonojen suppenemist. Ensin on mietittävä, milloin kksi funktiot on lähellä toisin. Määritelmä.4. Olkoon A R j olkoot f, g : A R funktioit. Funktioiden f j g etäisyys on (.6) d(f, g) = sup f(x) g(x). x A Esimerkki.5. Olkoon f : R R, f(x) = 0. () Olkoon g : R R, g(x) = x. Tällöin (.7) d(f, g) = sup 0 x = sup x =. x R x R (b) Olkoon h : R R, h(x) = /( + x 2 ). Nyt (.8) d(f, h) = sup + x 2 x R Kosk x 2 0 kikill x R, niin /( + x 2 ) kikill x R. Toislt h(0) =, joten d(f, h) =. Khden funktion etäisyys voi siis oll. Muuten d on kuten metriikk, vert EA. Määritelmä.6. Olkoon A R j olkoot f k : A R, k N, funktioit. Funktiojono (f k ) k= suppenee () pisteittäin (kohti funktiot f), jos on funktio f : A R siten, että (.9) lim k f k(x) = f(x) kikill x A. Tällöin funktio f on funktiojonon (f k ) pisteittäinen rjfunktio. (b) tsisesti (kohti funktiot f), jos on N N j funktio f : A R siten, että d(f k, f) <, kun k N j (.0) lim k d(f k, f) = 0, kun rj-rvo lsketn osjonolle f N, f N+, f N+2,.... Tällöin funktio f on funktiojonon (f k ) tsinen rjfunktio. Huomutus.7. () Määritelmän.6 (b)-kohdss oletmme etäisyyden olevn äärellinen joistin indeksistä lähtien, jott smme kvn.0 lukujonon. (b) Suppenevn funktiojonon joidenkin funktioiden etäisyys rjfunktiost voi siis oll, kuitenkin vin äärellisen monen. Esimerkki.8. Olkoon funktiojono (f k ) k= kuten esimerkissä.2 (). A:ssä osoitettiin, että (.) x [0, [ = lim k xk = 0. Toislt k = kikill k. Siis funktiojono (f k ) k= suppenee pisteittäin kohti funktiot f : [0, ] R, (.2) f(x) = { 0, kun x [0, [,, kun x =.

3 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT f + ɛ f k f f ɛ Kuv. Tsinen suppeneminen Kuitenkin (.3) d(f k (x), f) = sup x [0,] f k f k (x) f(x) ( k 2 ) f ( k 2 ) = 2 0 = 2 kikill k N. Siis funktiojono (f k )) k= ei suppene tsisesti inkn kohti funktiot f. Näyttää siltä, että pisteittäisen rjfunktion f epäjtkuvuus pisteessä iheutt sen, että jono (f k ) k= ei suppene tsisesti. Ongelmn voi tässä tpuksess korjt rjoittumll lyhyemmälle välille: Olkoon ]0, [. Funktiojono ( ) f k [0,] ) k= suppenee tsisesti kohti 0-funktiot välillä [0, ]: (.4) sup f k (x) 0 = sup x k = k, x [0,] x [0,] kosk funktio f k on (idosti) ksvv kikill k (ktso A). Edellä totesimme jo, että lim k k = 0. Huom, että funktiojono ( f k ]0,[ ) ) k= ei suppene tsisesti kohti 0-funktiot. Funktiojonon tsisell suppenemisell on selkeä Kuvn mukinen geometrinen tulkint: Kun k on iso, f k :n kuvj mhtuu f:n kuvjn ɛ-ympäristöön. Seurvt kksi lusett ntvt ehtoj tsiselle suppenemiselle. Cuhyn ehdon etu (kuten A:ssä lukujonojen tpuksess) on se, että rjfunktiot ei trvitse tunte. Luse.9. Olkoon A R. Olkoot f k, f : A R, k N, funktioit. Funktiojono (f k ) k= suppenee tsisesti kohti f:ää, jos j vin jos (.5) ɛ > 0 N N : x A f k (x) f(x) < ɛ, kun k N. Todistus. Hrjoitus. Huomutus.0. Tsinen suppeneminen määritellään usein Luseen.9 ehdoll. Luse. (Cuhyn ehto tsiselle suppenemiselle). Olkoon A R. Olkoot f k : A R, k N, funktioit. On funktio f : A R siten, että funktiojono (f k ) k= suppenee tsisesti kohti f:ää, jos j vin jos (.6) ɛ > 0 N N s.e. (m N j n N) = f n (x) f m (x) < ɛ x A. Todistus. Hrjoitus. Todistuksen ide on sm kuin A:n vstvlle tulokselle. Seurvss pisteittäisen j tsisen suppenemisen perusominisuuksi:

4 4 JOUNI PARKKONEN Kuv 2. Esimerkin.5(b) funktioiden f, f 2,... f 5 kuvjt. Luse.2. () Jos funktiojono (f k ) k= suppenee tsisesti kohti funktiot f, niin se suppenee pisteittäin kohti funktiot f. (b) Funktiojonon (tsinen/pisteittäinen) rjfunktio on yksikäsitteinen. Todistus. () Olkoon x A. Olkoon f tsinen rjfunktio. Supremumin määritelmän perusteell (.7) 0 f k (x) f(x) sup f k (y) f(y) 0, y A kun k. (b) Lukujonon rj-rvo on yksikäsitteinen. Siis pisteittäinen rjfunktio on yksikäsitteinen. Tsisen rjn yksikäsitteisyys seur ()-kohdst. Pisteittäinen suppeneminen on heikko ominisuus, esimerkiksi jtkuvien funktioiden muodostmn jonon pisteittäinen rjfunktio ei välttämättä ole jtkuv, kuten Esimerkki.8 osoitt. Tsinen suppeneminen säilyttää jtkuvuuden j rjoitetull välillä määriteltyjen funktioiden Riemnn-integroituvuuden. Luse.3. Olkoon A R j olkoot f k : A R jtkuvi funktioit kikill k N. Jos funktiojono (f k ) k= suppenee tsisesti kohti funktiot f : A R, niin f on jtkuv. Todistus. Tsisen suppenemisen nojll kikill ɛ > 0 on N ɛ N siten, että (.8) k N ɛ = f k (x) f(x) < ɛ x A. Olkoon x 0 A. Osoitmme, että f on jtkuv x 0 :ss. Olkoon ɛ > 0 j m N ɛ. Funktio f m on jtkuv x 0 :ss, joten on δ > 0 siten, että (.9) (x A j x x 0 < δ) = f m (x) f m (x 0 ) < ɛ. Siis (.20) f(x) f(x 0 ) = f(x) f m (x) + f m (x) f m (x 0 ) + f m (x 0 ) f(x 0 ) f(x) f m (x) + f m (x) f m (x 0 ) + f m (x 0 ) f(x 0 ) < 3ɛ epäyhtälöiden (.8) j (.9) j kolmioepäyhtälön nojll. Seurus.4. Olkoon (f k ) k= funktiojono siten, että f k on jtkuv kikill k N. Jos (f k ) k= suppenee pisteittäin kohti epäjtkuv funktiot, niin (f k) k= ei suppene tsisesti.

5 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Esimerkki.5. () Esimerkki.8 osoitt, että jtkuvien funktioiden muodostmn jonon pisteittäinen rjfunktio voi oll epäjtkuv. (b) Olkoot f k : [0, [ R, k N, kx, kun 0 x k, (.2) f(x) = 2 kx, kun k < x 2 k, 0, kun x > 2 k. Funktio f k on jtkuv jokisell k N, j se svutt mksimins pisteessä /k: f k (/k) = k N (Kuv 2). Jokisell x [0, [ on K x N siten, että k N x = f k (x) = 0. Siis funktiojono (f k ) k= suppenee pisteittäin kohti 0- funktiot. Jos (f k ) k= suppenee tsisesti, niin Luseen.2 mukn sen tsinen rjfunktion on 0-funktio. Kuitenkin (.22) d(f k, 0) = sup f k (x) 0 f k (/k) =, x [0, [ joten (f k ) k= ei suppene tsisesti. () On tsisesti suppenevi funktiojonoj (f k ) k N siten, että f k : R R on epäjtkuv kikill k N, mutt (f k ) k N :n tsinen rjfunktio on jtkuv. (Hrjoitus) A2:st plutmme mieliin Riemnnin ehdon: Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin jos kikill ɛ > 0 on porrsfunktiot g : [, b] R j h : [, b] R siten, että (.23) g f h (.24) j h g < ɛ. Ehdon (.23) toteuttv funktio g on f:n lporrsfunktio j h on f:n lporrsfunktio. Luse.6. Olkoon I = [, b] suljettu j rjoitettu väli. Olkoot f k : I R, k N, Riemnn-integroituvi funktioit siten, että funktiojono (f k ) k N suppenee tsisesti kohti funktiot f : I R. () Tällöin f on Riemnn-integroituv. (b) Olkoon I. Olkoot F, F k : I R, (.25) F (x) = j (.26) F k (x) = x x f(t)dt f k (t)dt, k N. Tällöin funktiojono (F k ) k= suppenee tsisesti kohti funktiot F. Todistus. () Olkoon ɛ > 0. Kosk (f k ) k N suppenee tsisesti, on N N siten, että (.27) d(f N, f) = sup f N (x) f(x) < ɛ. x I Funktio f N on rjoitettu, kosk se on Riemnn-integroituv. On siis M > 0 siten, että f N (x) M kikill x I. Ehdost (.27) seur, että f(x) M + ɛ kikill x I, joten myös f on rjoitettu.

6 6 JOUNI PARKKONEN Kuv 3. Tsisen rjfunktion integrli Funktioll f N on porrsfunktiot h j h + siten, että h f N h + j (.28) h + h < ɛ. Ehdost (.27) seur, että porrsfunktio (h + + ɛ) on f:n yläporrsfunktio, j porrsfunktio (h ɛ) on f:n lporrsfunktio. Ktso kuv 3. Lisäksi (.29) (b) Hrjoitus. (h + + ɛ) Luse.6 (b) nt erityisesti (.30) lim k (h ɛ) = d f k = h + h + 2 <ɛ + 2(b )ɛ = ( + 2(b )) ɛ. d lim f k, k jos funktiojono (f k ) k N suppenee tsisesti kohti rjfunktiot f. Derivtn suppeneminen ei ole yhtä yksinkertist: Esimerkki.7. Olkoot f k : [, ] R, f k (x) = xe kx2. (Kuv 4.) Funktio f k on jtkuv j n kert jtkuvsti derivoituv kikill n N, joten sen äärirvojen trkstelemiseksi riittää tutki pisteet ± j derivtn nollkohdt. (Tähän riittää huomttvsti vähäisempikin säännöllisyys, ktso A2.) (.3) f k(x) = e kx2 + xe kx2 ( 2kx) = ( 2kx 2 )e kx2. Siis f (x) = 0 x = ±/ 2k. Kosk (.32) pätee f k (±) =e k j ( f k ± ) = e 2, 2k 2k (.33) sup f k (x) 0 = mx f(x) = mx x [,] x [,] { } e k, e k k ɛ

7 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Kuv 4. Esimerkin.7 funktioiden f, f 2, f 3, f 4, f 5 j f 00 (ylempi kuv) j niiden derivttojen (lempi kuv) kuvjt Siis (f k ) k= suppenee tsisesti kohti 0-funktiot. Luseen.6 nojll siis (.34) lim k x f k = 0. Kuitenkin f k (0) = kikill k N, mutt 0-funktion derivtt on kikkill 0. Siis derivttojen jono ei suppene edes pisteittäin kohti 0-funktion derivtt. Funktiojonon j sitä vstvn derivttojen jonon rjfunktioiden välillä on yhteys seurvn luseen tilnteess: Luse.8. Olkoot f k : [, b] R jtkuvi, välillä ], b[ derivoituvi funktioit. Jos on x 0 ], b[ siten, että lukujono (f k (x 0 )) k= suppenee j on g :], b[ R siten, että (f k ) k= suppenee tsisesti kohti g:tä, niin () funktiojono (f k ) suppenee tsisesti välillä ], b[ kohti rjfunktiot f, j (b) funktio f on derivoituv välillä ], b[ j f = g. Todistus. Funktiosrjojen yhteydessä luvuss 4. Deprtment of Mthemtis nd Sttistis, P.O. Box 35, 4004 University of Jyväskylä, Finlnd E-mil ddress: prkkone@mths.jyu.fi