Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Transkriptio

1 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt Tylorin polynomit Tylorin srjt Yleisimpi srjkehitelmiä 14 1

2 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 2 / 15 1 Funktiojonoist Reliset lukujonot määriteltiin funktioin f : Z + R. Anlogisesti funktiojonot määritellään funktioin positiivisten kokonislukujen joukolt relifunktioiden joukolle. Täten funktiojono liittää jokiselle kokonisluvulle täsmälleen yhden funktion f : A B, missä A, B R. Jos f 1 : D R, f 2 : D R,... on jono relifunktioit, niin funktiojono merkitään (f k ). Mikäli indeksistä ei ole epäselvyyttä, niin lyhennetään vin (f k ). Olkoon (f k ) funktiojono, joss f k suppenee pisteittäin kohti funktiot f : D R, mikäli : D R j D R. Tämä funktiojono lim f k(x) = f(x) in, kun x D. Tällöin funktiot f snotn jonon (f k ) rjfunktioksi j merkitään lim f k = f ti f k f, kun k. Kiinnittämällä x 0 D sdn normli relinen lukujono (f k (x 0 )). Selvästi mikäli tämä lukujono hjntuu, niin ei voi oll olemss funktiot f : D R, jok toteuttisi ehdon f k (x 0 ) f(x 0 ), kun k. Tällöin funktiojono (f k ) ei voi supet. Esimerkiksi funktiojono (f k ), missä f k : [0, 1] R, f k (x) = x k on jono jtkuvi funktioit, jok suppenee kohti funktiot f : [0, 1] R, missä 0, kun 0 x < 1 f(x) = 1, kun x = 1. Nyt funktio f ei ole jtkuv funktio, vikk jokinen funktiojonon funktio f k on. Tämä on hiemn ongelmllist, sillä jtko jtellen olisi hyödyllistä, että suppeneminen säilyttäisi rjfunktion jtkuvuuden. Otetn käyttöön tiukempi ehto suppenemiselle. 2

3 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 3 / 15 Funktiojono (f k ) suppenee tsisesti joukoss D R kohti rjfunktiot f, mikäli sup f k (x) f(x) 0, kun k. x D Tsisest suppenemisest seur suorn pisteittäinen suppeneminen, sillä f k (x) f(x) sup f k (x) f(x) 0, kun k. x D Täten lim f k (x) = f(x) kikill x D. Pisteittäisessä suppenemisess jokist luku ɛ > 0 on olemss sellinen luku k(x, ɛ) Z +, että f k (x) f(x) < ɛ in, kun k > k(x, ɛ), missä x D. Kosk jokinen (f k (x 0 )) on om lukujonons, niin k(x 0, ɛ) tulee riippumn luvust ɛ > 0 j määritysjoukon pisteestä x 0 D. Edellisessä esimerkissä jokinen k Z + käy luvuksi k(x, ɛ), kun x = 0 ti x = 1. Kun 0 < x < 1, täytyy vlit k(x, ɛ) > ln ɛ. Tämä rvio vkiolle sdn ottmll epäyhtälöstä ln x x k 0 = x k < ɛ puolittin luonnollinen logritmi. Tämä voidn tehdä, kosk molemmt puolet ovt positiivisi. Täten ln x k = k ln x < ln ɛ. Epäyhtälön suunt säilyy, kosk luonnollinen logritmi on idosti ksvv funktio. Kosk 0 < x < 1, niin ln x < 0 j sdn k > ln ɛ ln x. Tsisess suppenemisess vditn luvun k ɛ Z + täyttävän ehdon sup f k (x) f(x) < ɛ in, kun k > k ɛ. x D 3

4 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 4 / 15 Täten k ɛ tulee riippumn vin luvust ɛ > 0 j joukost D. Siis f k (x) f(x) < ɛ in, kun k > k ɛ j x D. Ero ei vikut ehkä järin suurelt, mutt on käytännössä huomttv, sillä erotuksen f k (x) f(x) supremum lsketn ennen kuin luvun k nnetn ksv rjtt. Seurv luse osoitt, että määritelmänä tsinen suppeneminen on hyvin vlittu, sillä se tulee tkmn, että rjfunktio tulee säilyttämään jtkuvuuden. Luse. Jos jtkuvien funktioiden muodostm funktiojono (f k ) suppenee tsisesti joukoss D R kohti rjfunktiot f : D R, niin funktio f on jtkuv. Smll luse nt helpon tvn osoitt joisskin tpuksiss, että funktiosrjn suppeneminen ei ole tsist. Nimittäin jos rjfunktio f on epäjtkuv vikk funktiojonon termit f k ovt jtkuvi, niin suppeneminen ei voi oll tsist. Huomutus. Kosk suljetull j rjoitetull välillä I = [, b] jtkuv funktio svutt mksimins tällä välillä, niin sup f k (x) f(x) = mx f k(x) f(x). x I x I Kosk mx f k(x) f(x) on luvust k riippuv lukujono, niin tsisen suppenemisen trkstelu sdn plutettu lukujonon suppenemiseen, mikäli x I mksimirvo pystytään määräämään. 4

5 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 5 / 15 2 Funktiosrjoist Olkoon (g k ) mielivltinen jono funktioit g k : D R. Vstvll tvll kuin tvllinen srj muodostetn lukujonost summmll lukujonon termejä, niin funktiosrj sdn muodostmll uusi funktiojono (f n ), missä f n (x) = n g k (x) = g 1 (x) + g 2 (x) g n (x) in, kun x D j n Z +. Tätä funktiot snotn funktiosrjn g k (x) n:nneksi ossummksi. Funktiosrj g k (x) suppenee pisteittäin kohti funktiot f joukoss D, mikäli ossummien jono (f n ) suppenee pisteittäinäin kohti funktiot f joukoss D. Siis jos lim n n g k (x) = f(x) in, kun x D. Kiinnittämällä x 0 D sdn ikn relilukujen srj g k (x 0 ). Tähän voi- dn sovelt suorn srjteorin tuloksi. Esimerksi funktiosrj g k (x 0 ) ei voi supet, mikäli g k (x 0 ) 0, kun k. Myös muit suppenemistestejä, esimerkiksi suhdetestiä j juuritestiä, voidn sovelt pisteittäisissä suppenemistrksteluiss. Funktiosrj g k (x) suppenee tsisesti kohti funktiot f joukoss D, mikäli ossummien jono (f n ) suppenee tsisesti kohti funktiot f joukoss D. Eli jos n sup g k (x) f(x) 0, kun n. x D Kosk khden jtkuvn funktion summfunktio on jtkuv, niin jtkuvien funktioiden muodostm srjn jokinen ossumm on jtkuv funktio. Täten voidn funktiojonoille osoitettu tulost sovelt j sd 5

6 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 6 / 15 Luse. Jos funktiot (g k ) ovt jtkuvi kikill k Z + joukoss D j funktiosrj g k (x) suppenee tsisesti joukoss D R kohti summfunktiot f : D R, niin summfunktio f on jtkuv. Vrsinkin srjojen tpuksess tsisen suppenemisen osoittminen voi oll hyvin työlästä. Onneksi Weierstrssin M-testi yksinkertist tätä huomttvsti, mikäli onnistuu löytämään sopivn mjornttisrjn. Weierstrssin M-testi. Jos srj niin funktiosrj k suppenee j g k (x) k in, kun x D j k Z +, g k (x) suppenee tsisesti joukoss D. Huomutus. Korvmll g n (x) termillä g n (x) huomtn, että jos Weierstrssin M-testin ehdot täyttyvät, niin myös funktiosrj g k (x) suppenee tsisesti joukoss D. 6

7 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 7 / 15 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi Jtkuvuuden lisäksi tsinen suppeneminen tulee säilyttämään myös funktion integroituvuuden j lisäksi integroimisen s suoritt termeittäin. Luse. Olkoon (f k ) jono funktioit, jotk ovt integroituvi välillä [, b]. Jos jono (f k ) suppenee tsisesti välillä [, b] kohti funktiot f, niin funktio f on integroituv välillä [, b] j f(x)dx = Vstv tulos funktiosrjoille on: lim f k(x)dx = lim f k (x)dx Luse. Olkoon (f k ) jono funktioit, jotk ovt integroituvi välillä [, b]. Jos srj f k suppenee tsisesti välillä [, b] kohti funktiot f, niin funktio f on in- tegroituv välillä [, b] j f(x)dx = f k (x)dx = f k (x)dx Kosk esimerkiksi kikki suljetull j rjoitetull välillä jtkuvt funktiot ovt integroituvi tällä välillä, niin käytännön lskutehtävissä usein riittää todet, että funktiojonon funktiot ovt jtkuvi välillä, jonk yli integrointi suoritetn. Ikävä kyllä, derivoimisen suhteen tilnne ei ole yhtä yksinkertinen. Luse. Olkoon (f k ) jono funktioit, jotk ovt jtkuvsti derivoituvi välillä [, b]. Jos jono (f k ) suppenee pisteittäin välillä [, b] kohti funktiot f j derivttojen jono (f k ) suppenee tsisesti välillä [, b] kohti funktiot g, niin funktio f on derivoituv jtkuvsti välillä [, b] j f (x) = g(x) = lim f k(x) in, kun x [, b]. Funktio f k on jtkuvsti derivoituv välillä, mikäli funktion derivttfunktio on olemss j se on jtkuv. Tämän merkintään kirjoittmll f k C 1 (R). J srjoille sm tulos on: 7

8 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 8 / 15 Luse. Olkoon (f k ) jono funktioit, jotk ovt jtkuvsti derivoituvi välillä [, b]. Jos srj f k suppenee pisteittäin välillä [, b] kohti funktiot f j derivttojen srj f k suppenee tsisesti välillä [, b] kohti funktiot g, niin funktio f on derivoituv jtkuvsti välillä [, b] j f (x) = d dx f k (x) = f k(x) = g(x) in, kun x [, b]. Huomutus. Edellä olevi tuloksi voidn prnt, eli os oletuksist on turhi. Tämän kurssin trpeisiin tulokset ovt kuitenkin riittäviä. Voidn osoitt, että jos f on välillä [, b] jtkuv funktio, niin on olemss polynomijono (P k ), jok suppenee tsisesti välillä [, b] kohti funktiot f. Jokinen polynomi on derivoituv kikiss relilukupisteissä. Kuitenkin on olemss funktioit, jotk ovt jtkuvi kikkill, mutt eivät missään derivoituvi. Täten derivoituvuus ei ole ominisuus, jonk tsinen suppeneminen säilyttää. Tämä voi tuntu oudolt, kosk tsinen suppeneminen säilyttää kuitenkin jtkuvuuden j integoituvuuden. Derivoituvuus on vin pljon tiukempi ehto kuin integroituvuus ti jtkuvuus. 8

9 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 9 / 15 4 Potenssisrjt Olkoon x 0 mielivltinen reliluku j ( k ) mielivltinen relinen lukujono. Funktiosrj k (z x 0 ) k snotn potenssisrjksi. Lukuj 0, 1, 2,... kutsutn potenssisrjn kertoimiksi j luku x 0 on srjn keskipiste. Merkitsemällä x = z x 0 sdn kikki potenssisrjt plutettu muotoon k x k = x + 2 x x , joiss keskipisteenä on siis 0. Potenssisrj määrittelee siis funktion f : D R, f(x) = k x k, missä funktion f määritysjoukko D sisältää täsmälleen ne luvut x R, joiss potenssisrj suppenee. Eli x D jos j vin jos srjn äärellisenä olemss. Siis { } D = x R k x k suppenee. k x k 0 summ on Huomutus. Yleensä lusekett 0 0 ei ole määritelty, mutt potenssisrj käsiteltäessä sovitn, että 0 0 = 1. Tällöin f(0) = k 0 k = 0. Potenssisrjn k x k suppenemissäde on luku { } R = sup x R k x k suppenee = sup D. 9

10 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 10 / 15 Selvästi jokinen potenssisrj suppenee, kun x = 0, joten R 0. Mikäli potenssisrj suppenee kikill reliluvuill x R eli { } R = x R k x k suppenee = D, niin joukon suprenumi ei ole äärellisenä olemss, jolloin merkitään R =. Siten 0 R. Määritelmän nimi on mielekäs, sillä mjorntti- j minornttiperitett käyttämällä sdn, että Luse. Potenssisrj kun x > R k x k suppenee in, kun x < R j hjntuu in, Huomutus. Luseen suppenemis- j hjntumisehdot eivät ole jos j vin jos, sillä potenssisrj voi supet ti hjntu rvoill x = R ti x = R. Nämä pitää siis trkstell erikseen srjn suppenemist tutkittess. Srjojen osmäärä- j juuritestiä muokkmll sdn seurvt tulokset: Osmäärätesti. Olkoon lim k+1 k = p. Jos p = 0, niin R =. Jos p =, niin R = 0. Jos 0 < p <, niin R = 1 p. j Juuritesti. Olkoon lim k k = p. Jos p = 0, niin R =. Jos p =, niin R = 0. Jos 0 < p <, niin R = 1 p. Weierstrssin M-testi soveltmll sdn tsen: k x k suppenee tsisesti jokisell välillä [, b] ] Luse. Potenssisrj R, R[, missä, b R j < b. 10

11 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 11 / 15 Kosk funktiot f k (x) = k x k ovt jtkuvi j tsinen suppeneminen säilyttää jtkuvuuden, niin Luse. Funktio f :] R, R[ R, f(x) = k x k on jtkuv. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] jtkuvt funktiot ovt myös integoituvi tällä välillä. Tsinen suppeneminen säilytti integoituvuuden j slli termeittäin integroinnin, joten Luse. Jos [, b] ] R, R[, niin funktio f(x) = k x k on integroituv välillä [, b] j f(x)dx = ( k ) x k dx = ( k b/ ) x k+1 = k + 1 Derivoituvuuden osoittmiseen trvitn seurvn putulost. k k + 1 xk+1 Luse. Potenssisrjoill k x k, k k + 1 xk+1 j k k x k 1 on smt suppenemissäteet. Luse. Jos x ] R, R[, niin funktio f on derivoituv pisteessä x j f (x) = d dx k x k = d dx kx k = k k x k 1. Täten jokinen potenssisrj voidn derivoid mielivltisen mont kert suppenemissäteensä ] R, R[ sisällä. Tutkimll srjn derivttoj sdn seurv tulos. Luse. Jos f(x) = k x k j g(x) = b k x k sekä on olemss sellinen r > 0, että f(x) = g(x) in, kun x ] r, r[, niin k = b k kikill k = 0, 1, 2... Täten potenssisrjn kertoimet ovt yksikäsitteisiä. 11

12 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 12 / 15 5 Tylorin polynomit j srjt Jokist potenssisrj voidn derivoid mielivltisen mont kert suppenemissäteensä ]x 0 R, x 0 + R[ sisällä. Ottmll srjn f(x) = k (x x 0 ) k i:s derivtt, sdn f (i) (x) = i(i 1)(i 2) (k i + 1) k (x x 0 ) k i k=i Sijoittmll x = x 0 kikki kertoimen (x x 0 ) sisältävät termit supistuvt pois j jäljelle jää f (i) (x 0 ) = i! i eli potenssisrjn kertoimelle i sdn uusi esitysmuoto i = f (i) (x 0 ). i! Nyt potenssisrjt voidn kirjoitt uudell tvll f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k, k! jot snotn funktion f Tylorin srjksi pisteen x 0 ympäristössä. Mikäli x 0 = 0, niin srj kutsutn Mclurinin srjksi. Jokinen potenssisrjn määräämä funktio f voidn siis kirjoitt Tylorin srjn. Seurvksi trkstelln milloin funktiolle on mhdollist muodost Tylorin srj eli milloin se voidn esittää potenssisrjn. 5.1 Tylorin polynomit Olkoon f sellinen funktio, että se on n kert derivoituv pisteessä x 0. Tällöin sen n:nnen steen Tylorin polynomi pisteessä x 0 on n f (k) (x 0 ) T n (x, x 0 ) = (x x 0 ) k k! 12

13 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 13 / 15 Funktiot R n (x, x 0 ) = f(x) T n (x, x 0 ) snotn Tylorin polynomin jäännöstermiksi. Se siis kertoo millinen virhe tehdään, kun funktiot f rvioidn n:nnen steen Tylorin polynomill. Luse. Jos funktio f on äärettömän mont kert derivoituv pisteen x 0 eräässä R-säteisessä ympäristössä, niin R n (x, x 0 ) = 1 n! x in, kun x x 0 < R j n = 0, 1, 2,... x 0 f (n+1) (t)(x t) n dt Soveltmll integrlilskennn välirvoluseen yleistettyä muoto tähän sdn, että on olemss sellinen luku s pisteiden x j x 0 (ei tiedetä kumpi on suurempi) välissä, että Täten f(x) = R n (x, x 0 ) = f (n+1) (s) (n + 1)! (x x 0) n+1. n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + f (n+1) (s) k! (n + 1)! (x x 0) n+1, mikä on välirvoluseen yleistys, sillä tpuksess n = 0 yhtälö on supistuu muotoon f(x) = f(x 0 ) + f (s)(x x 0 ). Huomutus. Edellisen luseen kv nt virheelle trkn rvon, mikäli integrlin x x 0 f (n+1) (t)(x t) n dt rvo ostn lske. Kosk yleensä hlutn tietää vin rvio virheelle luvun n eri rvoill, niin helpoin tp tähän voi oll lske jokin ylärj lusekkeelle missä s ]x 0 R, x 0 + R[. f (n+1) (s) (n + 1)! (x x 0) n+1, 13

14 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 14 / Tylorin srjt Olkoon R > 0 srjn f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k suppenemissäde. Oletetn, että R n (x, x 0 ) 0, kun n välillä ]x 0 R, x 0 + R[. Tällöin T n (x, x 0 ) f(x), kun n j x ]x 0 R, x 0 + R[. Siis funktioll f on srjkehitelmä pisteen x 0 ympäristössä, jok yhtyy funktioon f funktiosrjn suppenemissäteen ]x 0 R, x 0 + R[ sisällä. Tätä srjkehitelmää f(x) = f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k in, kun x ]x 0 R, x 0 + R[ k! kutsutn funktion f Tylorin srjksi pisteen x 0 ympäristössä. Useimmiss tpuksiss funktion Tylorin polynomin virhefunktion R n (x, x 0 ) rj-rvo on hnkl trkstell. Seurvn luseen soveltminen voi helpott trkstelu. Luse. Jos funktion f jokinen derivtt f (k) (x) on rjoitettu pisteen x 0 ympäristössä B R (x 0 ) eli on olemss sellinen vkio M > 0, että f (k) (x) < M in, kun x x0 < R j k = 0, 1,..., niin lim n R n (x, x 0 ) = 0 in, kun x x 0 < R. Täten esimerkiksi funktioiden sin x j cos x Tylorin srjt suppenevt kikkill lueess R. Mikäli funktio f voidn kirjoitt funktioon yhtyvänä Tylorin srjn, niin funktio on polynomifunktioiden rj-rvo. Polynomien j rj-rvon käsitteet voidn helposti yleistää esimerkiksi kompleksiluvuille j mtriiseille. Täten funktio f voidn määritellä mielekkäästi myös kompleksiluvuille j mtriiseille. 5.3 Yleisimpi srjkehitelmiä 1. e x = x k k! = 1 + x + x2 2 + x kikill x R 14

15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 15 / ln(1 + x) = k+1 xk ( 1) 3. sin x = ( 1) k x2k+1 = x x3 (2k+1)! k = x x2 + x3 +..., kun 1 < x x kikill x R 4. cos x = ( 1) k x2k = 1 x2 + x4... kikill x R (2k)! 2 4! 5. (1 + x) α = 1 + ( ( α 1) x + α ) 2 x 2 + ( α 3) x kikill x < 1 j α R. Huomutus. Edellisessä merkintä ( α n) on nk. yleistetty binomikerroin j ( ) α α(α 1)(α 2) (α n + 1) = n n! kikill α R j n = 0, 1, 2,