11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

Transkriptio

1 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn. Mtemtiikss käsitteellä trkoitetn tvllisesti jonkin suljetun pinnn sisään jäävää vruuden os. Suljettu pintn on sellinen, että ken sellisen sisään joutuu, poispääsyn mdollisuutt ei ole. Lukion integrlilskennn kurssiss rjoitutn enimmäkseen tpuksiin, joiss vruuden os rjoittv pint syntyy jonkun funktion kuvjn pyörätäessä jonkun suorn (tvllisesti x-kselin) ympäri. Melko usein näin syntyvää vruuden os leiktn kdell ydensuuntisell tsoll, jotk ovt kotisuorss pyörädyskseli vstn. Joskus nämä tsot ovt surkstuneet pisteiksi, kuten esimerkiksi pllon tpuksess on lit. Ajttelun ljentminen pint-lojen määrityksestä tilvuuden määrityksiin sujuu pitämällä mielessä in se, että määrätty integrli on erään summn rjrvo, joss summss on äärettömän mont äärettömän pientä yteenlskettv. Pint-loj määritettäessä tämän summn termit olivt yvin kpeiden suorkulmioiden loj. Äärellisulotteisen kppleen voidn ts ktso muodostuvn päällekkäin pinotuist lieriöistä, joiden korkeus (dx) on erinomisen pieni, mutt niistä jokisen pojpint-l täytyy tunte, kuten pint-lojen määrityksen yteydessä tunnettiin sinomisen suorkulmion toisen sivun pituus muuttujn x funktion. Sopinee opintojen tässä vieess usko, että suorn lieriön tilvuus on pojn ln j korkeuden tulo, V = A. Kun tilvuutt määritetään integrlin vull, niin nyt täytyy olett, että siinä vruuden osss, missä tilvuuden määrityksen koteen olev kpple sijitsee, tämä pojpint-l tunnetn integroimis-muuttujn (jtkuvn) funktion. Kppleen sijinnin täytyy, ettei mentäisi kovin suurelle vikeustsolle, settu yleensä niin, että sen jkminen erinomisen ouisiin suoriin lieriöiin tptuu tsoleikkuksin, jotk ovt kotisuorss x-kseli vstn, j kunkin poikkileikkuskuvion l tunnetn x:n jtkuvn funktion. 1(7)

2 x x b Kuvn on yritetty motell epämääräisen muotoinen putki, jot on leikttu x-kseli vstn kotisuorill tsoill pikoiss, x j b. Kun tällisi ydensuuntisi tsoj setetn yvin läelle (etäisyys tsost seurvn on in dx) toisin, niin voidn ekä ymmärtää kolmiulotteisen kppleen syntyminen päällekkäin pinotuist lieriöistä, joiden yteenlskettu tilvuus on kyseisen pinnn rjoittmn vruuden osn (kppleen) tilvuus. Tämä tilvuus voidn sitten määrittää rj-rvon, missä tsojen välinen etäisyys dx läenee rjttomsti noll j siten b V = A(x)dx Oleellisint tässä tilvuuden määrityksessä on se, että tulee tietää jokisell x:n rvoll välillä [, b] sen pinnn l, jok syntyy leiktess kpplett x-kseli vstn kotisuorll tsoll. Helpoin näistä tpuksist lienee se, missä x- kselin, suorien x = j x = b sekä funktion y = f(x) kuvj pyörätää x-kselin ympäri. Tällöin millä tns x:n rvoll poikkileikkuskuvio on y-säteinen ympyrä, jonk l A(x) = π y = π[ f (x ) ] Esim.. Määritä R-säteisen pllon tilvuus., j ns. pyörädyskppleen tilvuus b V = π [f (x)] dx. Pllopint on vruuden niiden pisteiden ur, jotk kikki ovt säteen R etäisyydellä kiinteästä pisteestä. Helpoint on lske origokeskeisen pllon tilvuus. Tällisen pllon voidn jtell syntyvän origokeskeisen ympyrän x + y = R pyörätäessä x- kselin ympäri (tässä riittää pyörätää vin puoli kierrost). (7)

3 y x Pllo lk sieltä, missä ympyrä kot negtiivisen x-kselin j päättyy sinne, missä se kot positiivisen x-kselin. Integroimisväli on täten [-R,R] R R R x V = π y dx =π (R x )dx = π / (xr ) = R R R R = π R ( R) R R = π R R + R = R 4πR = π R = Merkillistä ti ei, pllon tilvuuden määritys integroimll on pljon elpompi kuin ympyrän pint-l määrätyn integrlin vull!! Esim.. Osoit, että krtion tilvuus on pojn ln j korkeuden kolmnnes. Krtiopinnn voidn jtell syntyvän siten, että ydestä pisteestä pikoilln pysyvän suorn jokin toinen piste kiertää jonkin suljetun (tso)käyrän ympäri. Prst olisi, jos kiinteä piste ei kuuluisi tämän käyrän määräämään tsoon. Itse krtio syntyy sitten leikttess krtiopint tsoll. Kiinteästä pisteestä tsolle piirretty normli määrää krtion korkeuden. Erikoisesti puutn suorst ympyräkrtiost silloin, kun korkeusjn kulkee pojympyrän keskipisteen kutt, mutt täytyy uomt, että krtion pojn ei suinkn trvitse oll ympyrä. Se voi oll ytä yvin kolmio, kuusikulmio, ellipsi ti vikk puoliympyrä. A(x) A (7)

4 Krtion tilvuuden määrityksessä trvitn kuitenkin sitä geometrist tosisi, että ydenmuotoisten pintojen lojen sude on mittkvn neliö. Olkoon krtion uippu origoss, jolloin sen pojn jokisen pisteen x-koordintti = = krtion korkeus. Olkoon krtion pojn l A. Kuvn on moteltu eräs poikkileikkus kotn x j olkoon sen l A(x). Tuost minitust geometrisest tosisist j siitä että A(x) on ydenmuotoinen A:n knss mittkvss x : seur verrnto A(x) A x Ax = A(x) =, j Ax A x A A V = A(x)dx = = = = /. Tulos on yleinen j koskee siis minkälist krtiot tns. Muun muss pyrmidit ovt krtioit. Esim. 4. Prbelin y = x 1 j x-kselin rjoittm pint pyörätää x- kselin ympäri. Kuink suuri on syntyvän kppleen tilvuus. Jokisell x:n rvoll snotun pyörädyskppleen j x-kseli vstn kotisuorn tson leikkus on y säteinen ympyrä, jonk l on π y. Pyörädyskpple lk pikst x = 1 j päättyy, kun x = 1. Siten kysytty tilvuus 4(7)

5 [ ] 4 V = π f (x) dx = π y dx = π (x 1) dx =π (x x + 1)dx = x x 1 1 ( 1) ( 1) = π/ ( + 1) = π 1 ( ( 1) = π = π = Pyörädyskppleen tilvuus on 16 15π tilvuuden yksikköä. Esim. 5. Prbeli y = x 1 pyörätää y-kselin ympäri. Kun näin syntyvää kpplett, pyörädysprboloidi leiktn tsoll, jok on y- kselin normlitso, niin mikä on tämän tson ytälö, jott syntyvän pikrinmuotoisen stin tilvuus olisi kuutiosenttimetriä? Olkoon koordintistoss yksikköjnn pituus senttimetrin. Kun käyrä pyörätää y-kselin ympäri, niin snotun pyörädyskppleen j y-kseli vstn kotisuorn tson leikkus on x säteinen ympyrä, jonk l on π x. Tässä probleemss tilvuus tiedetään, mutt integrlin ylärj on tuntemton. Kpplen lk pikst y = 1. y y y y y ( 1) V = = π x dy = π (y + 1)dy = π /( + y) = π + y 1 = y = π + y + = y + y + 1 y + y + 1 = π π 4 y = 1± 1 1+ y = 1± π π Juurist toinen tit oll negtiivinen, vieläpä pienempi kuin y = 1 kuuluen lueeseen, joss pikri ei edes ole. Siten vin positiivinen juuri kelp j sen likirvo on 8 S siten juod ienoj ineit pikrist, jonk sisäkorkeus on noin 11, cm. Pikriss on tietysti myös jlk, kosk ei pyörädysprboloidi st pysyä inkn itsekseen pystyssä. 5(7)

6 Lienet pnnut merkille, että määrätyn integrlin lskeminen on joskus vään työlästä puu. On kuitenkin olemss eräs elpotus, jok koskee integrli yli sellisen välin, jonk keskipisteenä on origo, siis esimerkiksi integrli f (x)dx. Puutn origon suteen symmetrisestä välistä. Miten tätä sitten sovelletn, riippuu integroitvst funktiost. Menetelmä ei suinkn sovi kikenlisille funktioille, vn soveltminen käy inostn j vin, jos funktio on joko prillinen ti priton. Funktio on prillinen, jos vstluvut ntvt sille smn rvon: f(x) = f( x). Prillisen funktion kuvj on symmetrinen y-kselin suteen. Funktio on priton, jos vstluvut ntvt sille vstlukurvot; f( x) = f(x). Prittomn funktion kuvj on symmetrinen origon suteen. Origo on toisin snoen pisteitä ( x, f( x)) j (x, f(x)) ydistävän jnn keskipiste. Kun muistetn, että määrätty integrli on erään summn rj-rvo, niin origon suteen symmetrisen välin [, ] kyseessä ollen tässä summss on termejä, joiden käsittely elpottuu funktion symmetriominisuuksien nojll, j elpottuu erikoisesti prittomn funktion tpuksess melkoisen pljon. -x x - x x Vsemmnpuoleisess kuvss (prillinen funktio) on kksi määrättyä integrli kuvvn summn kuuluv termiä geometrisesti motettu. Näissä kummsskin pint-ltulkinnn mukn ovt funktion rvo kerrottun osvälin pituudell keskenään ytä suuret, j oikenpuoleisess kuvss ts (priton funktio) ovt vstvt tulot toistens vstlukuj, kosk funktion rvot ovt vstlukuj keskenään. Välin [, ] joss tsväliseen jkoon kuuluvss summss on termejä origon molemmin puolin ytä mont edellyttäen, että 6(7)

7 origo on yksi jkopiste. Prittomn funktion tpuksess kikki termit yteenlskuss preittin kumovt toisens j prillisen funktion tpuksess riittää integroid pelkästään yli välin [,] j kerto tulos kkkosell. **************************************************************** Luse. Olkoon positiivinen luku. Jos funktio f on prillinen, toisin snoen jos f(x) = f( x), niin f (x)dx = f (x)dx Jos funktio f on priton, toisin snoen jos f(x) = f( x), niin f (x)dx =. **************************************************************** Tulee uomt, ensiksikin se, että ellei integrointiväli on symmetrinen origon suteen, esitettyä lusett ei juuri knnt trjoill. Toisekseen tulee uomt, että läeskään kikki funktiot eivät kuulu prittomiin ti prillisiin. Määrätyn integrlin dditiivisuuden vuoksi (seän on erään summn rj-rvo) on ekä mdollist jk integroitv funktio osiin j integroid niitä kutkin os erikseen. 4x Esim. 6. ( e + x + x + sin x + cosx ) 44 dx Integroitvss funktioss + cosx 44 on prillinen os, x 4x + sin x on priton os, mutt e ei ole kumpkn. Helpotust sdn näin: = = 4x e 4x e x 4x ( e + x + x + sin x + cosx ) dx + (x dx sin x)dx + (x (x 44 dx = + cosx 44)dx. + cosx 44)dx = Esimerkki oli sngen teoreettinen, mutt stt tull käytäntöä vstsi pintl- j tilvuussovellutuksisskin j miksei ivn yvin myös roiss määrätyn integrlin lskuiss. 7(7)