AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

Transkriptio

1 AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO

2 TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost Pro grdu -tutkielm, 46 s. Mtemtiikk Huhtikuu 015 Tässä tutkielmss trkstelln eräitä synkronisoituviin utomtteihin liittyviä ongelmi. Pääpino on Černýn konjektuuriss j tienväritysongelmss, joiden lisäksi käsitellään myös hyridikonjektuuri. Černýn konjektuuri on otksum, jonk mukn jokinen synkronisoituv n-tilinen utomtti voidn synkronisoid enintään pituutt (n 1) olevll snll. Ongelm on ollut voin 1970-luvult sti, mutt useit ostuloksi on todistettu. Tutkielmss esitetään niistä tärkeimmät. Tienväritysongelm koskee sitä, millisist suunntuist grfeist voidn muodost synkronisoituvi utomttej. Vuonn 009 todistetun tienväritysluseen mukn synkronisoituvi utomttej voidn muodost ns. primitiivisistä grfeist. Tutkielmss esitetään tienväritysluseen todistus. Hyridikonjektuuri on vuonn 010 esitetty otksum, joss on yhdistetty elementtejä Černýn konjektuurist j tienväritysluseest. Hyridikonjektuurin mukn jokisest n solmu sisältävästä primitiivisestä grfist voidn muodost synkronisoituv utomtti, jonk lyhimmän synkronisoivn snn pituus on enintään n 3n + 3. Tutkielmss esitetään tunnettuj ostuloksi sekä johdetn uusi lrj Eulerin grfeille. Asisnt: utomttien teori, synkronisoituvt utomtit, Černýn konjektuuri, tienväritysongelm, hyridikonjektuuri, Perronin-Froeniuksen luse.

3 Sisältö 1 Johdnto 1 Peruskäsitteitä 3 3 Linerilger 6 4 Černýn konjektuuri Ylärj-rvio lukujonolle C(n) Sykliset utomtit Vhvsti yhtenäiset utomtit L-yhtenäiset utomtit Tienväritysongelm 9 6 Hyridikonjektuuri Eulerin grfit Hmiltonin polut Lähteet 45

4 1 Johdnto Automttien teoriss tutkimuksen kohteen ovt systeemit, joille nnetn komentoj (esimerkiksi kukosäätimellä), j jotk muuttvt tilns smiens komentojen perusteell. Tilll voidn trkoitt konkreettist sijinti (esimerkiksi teollisuusrootti voi sijit kukosäätimen välityksellä nnetuist komennoist riippuen eri kohdiss tuotntolinjn vrrell) ti jotkin strkti til (esimerkiksi tietokoneen virtpiireissä voi tphtu jännitemuutoksi näppäimistöllä kirjoittmisen seuruksen). Tärkeän utomttien luokn muodostvt synkronisoituvt utomtit, joiden tutkimus on lknut vuonn 1964 Černýn rtikkelist [4]. Krkesti snottun synkronisoituvll utomtill trkoitetn systeemiä, jok voidn jollkin toimintosrjll "synkronisoid", eli stt hluttuun tiln riippumtt siitä, mikä systeemin til on loitettess. Hvinnollistetn tätä esimerkillä, jonk ide on kirjn [15] luvust 4.4. Trkstelln roottipölynimuri, jonk trkoituksen on siivot huone, jonk pohjpiirustus on kuvss 1. Huone on jettu ruutuihin j jokinen imurille nnettv komento (oike, vsen, ylös, ls) siirtää imuri yhden ruudun verrn vstvn suuntn. Jos komennon määrämässä suunnss on seinä, niin imuri yrittää liikku seinää päin eikä sen olinpikk siis muutu. Oletetn nyt, että imurill ei ole sensoreit j että se on ennen käynnistämistä päätynyt stunniseen pikkn. (Sensoreiden lisääminen ksvtt imurin vlmistuskustnnuksi, joten niiden puuttuminen on relistinen oletus.) Imurin on hyödyllistä oll selvillä omst sijinnistn. Sijinnin selvittämiseksi ohjelmoidn imuri etukäteen suorittmn käynnistyksen yhteydessä toimintosrj ls-oike-ylös-oike, jok siirtää imurin ruutuun 5 riippumtt siitä, mistä ruudust se loitt. Esimerkissä imuri s vrmn tiedon sijinnistn neljästä komennost koostuvn toimintosrjn seuruksen. Tutkielmn luvuss 4 trkstelln Kuv 1: Huoneen pohjpiirustus. 1

5 Kuv : Silmukk ennen j jälkeen mluksen. Yhtenäinen nuoli trkoitt must väriä, ktkoninen nuoli vlkoist. sitä, kuink pitkiä lyhimmät synkronisoivt toimintosrjt voivt oll sellisiss systeemeissä, joiss niitä ylipäätään on olemss. Jtketn imuriesimerkkiä j trkstelln tilnnett kuvn viiden käytävän muodostmss silmukss. Jos mhdolliset komennot ovt "myötäpäivään"j "vstpäivään", niin on selvää, että synkronisoiv toimintosrj ei voi oll olemss. Oletetn siis, että tällä kert imurill onkin yksinkertinen sensori, joll se pystyy erottmn kksi väriä toisistn, esim. mustn j vlkoisen. Mltn sitten kustkin käytävästä nuolet viereisiin käytäviin (yksi myötäpäivään j yksi vstpäivään), toinen mustll j toinen vlkoisell värillä. Jos nyt imurille nnettvt komennot ovtkin muoto "seur vlkoist nuolt"j "seur must nuolt"(lyhennetään v j m), niin nuolet voidn mhdollisesti mlt niin, että synkronisoiv toimintosrj on olemss. Kuvss on esitetty tällinen mlus; toimintosrjn mmvv jälkeen imuri on yläoikell olevss käytävässä riippumtt siitä, mistä käytävästä se loitt. Tutkielmn luvuss 5 tutkitn sitä, millä edellytyksillä voidn nuoli mlmll muodost sellinen systeemi, että siinä on olemss synkronisoivi toimintosrjoj. Kiinnostv on myös se, kuink lyhyeksi lyhin mhdollinen synkronisoiv toimintosrj voidn sd kun nuolet on mlttu optimlisesti; tätä käsitellään luvuss 6.

6 Peruskäsitteitä Määritellään tässä luvuss utomttien teorin peruskäsitteitä. Määritelmä.1. Luonnollisten lukujen joukko N = {1,, 3,... }. Määritelmä.. Äärellistä epätyhjää joukko Σ kutsutn kkostoksi. Sen lkioit kutsutn merkeiksi ti kirjimiksi. Jos Σ on jokin kkosto, niin sen kirjimist muodostettujen äärellisten merkkijonojen eli snojen joukko merkitään symolill Σ. Joukko Σ voidn tulkit monoidiksi, jonk kertolskun on khden merkkijonon kirjoittminen yhteen. Identiteettilkion on ns. tyhjä sn, jot merkitään ǫ. Snn w merkkien lukumäärää merkitään w. Esimerkki.3. Jos Σ = {, }, niin joukon Σ snoj ovt esim., j niiden tulo ()() =. Snss w = on viisi merkkiä, eli w = 5. Johdnnoss käytettiin epämuodollist käsitettä "systeemi"j nnettiin hvinnollistvi esimerkkejä systeemeistä. Esitetään seurvksi tämän käsitteen formli vstine. Määritelmä.4. Automtiksi kutsutn 3-tupl A = (Q, Σ, ), missä Q on äärellinen epätyhjä joukko, jonk lkioit kutsutn tiloiksi, Σ on kkosto j on kuvus Q Σ Q (lkion (q, ) Q Σ kuv merkitään q ). Esimerkki.5. Muodostetn utomtti A = (Q, Σ, ), jok vst ensimmäistä johdnnoss esitettyä systeemiä. Tiljoukko Q = {1,, 3, 4, 5} vst niitä ruutuj, joiss imuri voi oll j kkosto Σ = {o, v, y, } vst komentoj "oike", "vsen", "ylös"j "ls". Määritellään kuvus niin, että q = s jos sovellettess komento imurin olless ruuduss q imuri siirtyy ruutuun s, esim. o = 3. Automtti voidn esittää suunnttun grfin, jonk solmuj ovt joukon Q lkiot j joss on kirjimell merkitty nuoli solmust q solmuun q kikill q Q j Σ. Esimerkki.6. Kuvss 3 on utomtin A = (Q, Σ, ) grfiesitys, missä Q = {1,, 3, 4}, Σ = {, } j { { 1 kun q = 4 1 kun q = 4 q = j q =. q muulloin q + 1 muulloin 3

7 4, 1 3 Kuv 3: Erään utomtin grfiesitys. Solmust 4 solmuun 1 menee itse siss kksi nuolt, mutt kuvn yksinkertistmiseksi nämä on korvttu yhdellä nuolell, jok on merkitty khdell eri kirjimell. Opertio voidn induktiivisesti jtk kuvukseksi ˆ : Q Σ Q, missä qˆ ǫ = q kikill q Q j qˆ w = (q )ˆ w kikill q Q, Σ j w Σ. Jtkoss näistä molemmist opertioist käytetään merkintää. Olkoon A = (Q, Σ, ) utomtti. Jos S Q j w Σ, niin merkitään S w = {s w s S} j S w 1 = {q Q q w S}. Jos S w = {q}, niin voidn merkitä myös S w = q. Määritelmä.7. Automtti A = (Q, Σ, ) snotn synkronisoituvksi, jos on olemss sellinen sn w Σ, että Q w = 1. Tällinen sn w synkronisoi utomtin. Joukko S Q snotn synkronisoituvksi, jos on olemss sn w, joll S w = 1. (Erityisesti ei ole synkronisoituv.) Esimerkki.8. Kuvn 3 utomtti on synkronisoituv, sillä esim. sn synkronisoi sen. Synkronisoivi snoj etsittäessä seurvnlinen konstruktio on joskus hyödyllinen. Määritelmä.9. Olkoon A = (Q, Σ, ) utomtti. Sen potenssijoukkoutomtti on P(A) = ( Q, Σ, ), missä Q on joukon Q epätyhjien osjoukkojen joukko j kikill S Q, Σ on S = S. 4

8 , Kuv 4: Potenssijoukkoutomtti. Potenssijoukkoutomtin ide on, että se seur kerrll koko joukon S Q muutost snn w vikutuksest. Erityisesti utomtiss P(A) on kirjimill 1,..., k merkitty polku tilst Q johonkin tiln S, joss S = 1, trklleen silloin kun w = 1... k synkronisoi utomtin A. Esimerkki.10. Kuvss 4 on kuvn 3 utomtin potenssijoukkoutomtti. Sen vull synkronisoivien snojen löytäminen on helppo. Näiden joukoss on myös edellisessä esimerkissä minittu. 5

9 3 Linerilger Esitetään Perronin-Froeniuksen luseen todistus kirjn [14] luvust yhdeksän. Määritelmä 3.1. Jos A = ( ij ) on relinen mtriisi, joss kikill i j j on ij > 0 (vst. ij 0), niin mtriisi kutsutn positiiviseksi (vst. epänegtiiviseksi), merk. A > 0 (vst. A 0). Käytetään jtkoss merkintää A > B (vst. A B) trkoittmn sitä, että A B > 0 (vst. A B 0). Määritelmä 3.. Jos A = ( ij ) on epänegtiivinen neliömtriisi j jokist pri (i, j) kohti on olemss sellinen luku k N, että mtriisin A k koordintiss (i, j) olev lkio on noll suurempi, niin mtriisi A kutsutn redusoitumttomksi. Lemm 3.3. Jos A on redusoitumton, niin on olemss sellinen luku k N, että (I + A) k > 0. Todistus. Vlitn kutkin mtriisin A koordintti (i, j) kohti luku k ij N niin, että mtriisin A k ij koordintiss (i, j) olev lkio on noll suurempi. Vlitn lisäksi k = mx k ij. Kertomll (I + A) k uki nähdään, että (I + A) k > 0. (I + A) k = I + ka + ( ) k A + + A k Olkoon A redusoitumton n n-mtriisi j merkitään symolill L kikkien epänegtiivisten nollst poikkevien pystyvektorien joukko. Vektoreille x = (x 1,... x n ) T L, voidn määritellä funktio (Ax) i r(x) = min, 1 i n x i x i 0 missä (Ax) i on vektorin Ax i:s lkio. Määritelmästä seur, että kikill luvuill i on voimss r(x)x i (Ax) i j jollkin i:n rvoll r(x)x i = (Ax) i. Voidn siis sno, että r(x) on suurin sellinen luku ρ, että Ax ρx. Olkoon B = {x = (x 1,... x n ) T L i x i = 1} j B = {(I + A) k x x B}, missä k on edellisen lemmn mukinen kiinnitetty luku. Selvästi B on kompkti joukko, j kosk B on joukon B kuv jtkuvss kuvuksess (I+A) k, myös se on kompkti. Kosk joukonb lkiot ovt kikki positiivisi, 6

10 niin kuvuksen r(x) rjoittum kompktille joukolle B on jtkuv j sillä on siis suurin rvo. Olkoon nyt x B mielivltinen. Tällöin y = (I + A) k x B j r(x)y = r(x)(i + A) k x (I + A) k Ax = A(I + A) k x = Ay. Kosk r(y) on suurin luku ρ, joll ρy Ay, niin r(x) r(y). Siis sup x B r(x) mx y B r(y). Määritellään r = sup r(x). x L Jos α on positiivinen reliluku j x L, niin r(x) = r(αx). Voidn siis kirjoitt r = sup r(x) = sup r(x) mx r(y). x L x B y B Kosk kuitenkin B L, niin mx y B r(y) sup r(x) = r, x L eli r = mx y B r(y). Siis on olemss vektoreit z L, joill r(z) = r ti ekvivlentisti rz Az. Kikki tällisi vektoreit kutsutn mtriisin A äärivektoreiksi. Lemm 3.4. Olkoon A redusoitumton mtriisi. Siihen liittyvä edellä määritelty luku r on sen positiivinen ominisrvo. Lisäksi kikki mtriisin A äärivektorit ovt positiivisi ominisvektoreit, jotk kuuluvt ominisrvoon r. Todistus. Mikään mtriisin A = ( ij ) vkrivi ei muodostu pelkästään nollist, kosk nollrivi pysyisi nollrivinä myös mtriisiss A l kikill l N vstoin redusoitumttomuuden määritelmää. Siis jos u = (1,..., 1) T, niin r r(u) = min 1 i n nj=1 ij > 0. Olkoon z äärivektori j x = (I + A) k z, missä k on kuten edellisessä lemmss, siis x > 0. Kosk z on äärivektori, niin Az rz 0, j jos olisi Az rz 0, niin Ax rx = (I + A) k (Az rz) > 0. Tästä seurisi, että r < r(x), mikä olisi vstoin luvun r vlint. Siis Az = rz, joten z on ominisrvoon r kuuluv ominisvektori. Tästä seur, että x = (I + A) k z = (1 + r) k z. Kosk x > 0 j r > 0, niin myös z > 0. 7

11 Luse 3.5 (Perron-Froenius). Jos A on redusoitumton mtriisi, niin sillä on positiivinen ominisrvo r, jonk itseisrvo on vähintään yhtä suuri kuin muill ominisrvoill. Lisäksi on olemss positiivinen vektori, jok virittää ominisrvoon r kuuluvn ominisvruuden. Todistus. Olkoon r kuten edellisessä lemmss. Lemmn mukn r on mtriisin A positiivinen ominisrvo. Olkoon α jokin toinen ominisrvo, eli Ay = αy, missä y 0. Käytetään merkintää x vektorist, jok on stu vektorist x ottmll itseisrvo komponenteittin. Kosk A 0, niin α y = Ay A y. Siis α r( y ) r. Olkoon z jokin ominisrvoon r kuuluv ominisvektori, siis Az = rz j z 0. Todetn kuten edellä, että r z A z. Siis z on äärivektori j edellisen lemmn nojll z > 0 j erityisesti vektorin z ensimmäinen komponentti ei ole 0. Tästä seur, että ominisrvoon r kuuluvn ominisvruuden dimensio on 1, sillä muutoin voitisiin vlit linerisesti riippumttomt ominisrvoon r kuuluvt ominisvektorit z 1 j z j luvut α, β 0 niin, että ominisvektorin αz 1 + βz ensimmäinen komponentti olisi 0. Edellisen lemmn nojll z on positiivinen vektori, jok virittää kyseisen ominisvruuden. 8

12 4 Černýn konjektuuri Jos utomtti A on synkronisoituv, niin on luonnollist kysyä, kuink lyhyt voi oll lyhin mhdollinen sn, jok synkronisoi sen. Artikkeliss [5] esitetty Černýn konjektuuri ott knt tähän kysymykseen. 1 Käytetään jtkoss merkintää S kikkien synkronisoituvien utomttien joukost j merkintää S n kikkien n-tilisten synkronisoituvien utomttien joukost. Määritelmä 4.1. Jos A S, niin käytetään merkintää C(A) utomtin A lyhimmän synkronisoivn snn pituudest. Määritelmä ljennetn kikille T S seurvsti: C(T ) = mx{c(a) A T } (jos olemss). Tpuksess T = S n merkitään C(T ) = C(n). Konjektuuri 4. (Černýn konjektuuri). Kikill n N on C(n) = (n 1). Tiedetään, että C(n) (n 1), sillä lähteessä [4] esitetään jokist luonnollist luku n kohti synkronisoituv utomtti, joll on n til j jonk lyhin synkronisoiv sn on pituudeltn (n 1). Nämä utomtit ovt C n = (Q, Σ, ) (ks. kuv 5), missä Q = {1,,..., n}, Σ = {, } sekä { 1 kun q = n q = q muulloin j q = { 1 kun q = n q + 1 muulloin., 1 n n Kuv 5: Automtti C n. 1 Kirjllisuudess on tyypillisesti esitetty konjektuurin lähteeksi rtikkeli [4], joss kuitenkin vin todistetn Luse 4.5. Artikkeliss [5] konjektuuri minitn ohimennen j todistetn muutmss erikoistpuksess. 9

13 n, c n 1 1 c..., c, c 3 Kuv 6: Automtti W n. Tpuksess n = 1 nimittäin lyhin synkronisoiv sn on ǫ, j kun n > 1, niin voidn todet, että Q ( n 1 ) n = 1, joten C(C n ) (n 1). Osoitetn seurvksi lähteen [] esityksen mukisesti, että utomtill C n ei ole lyhyempää synkronisoiv sn. Aluksi on trksteltv utomtti W n = (Q,, ) (n > 1) (ks. kuv 6), missä Q = {1,,..., n}, = {c, } sekä q c = { kun q {1, n} q + 1 muulloin j q = { 1 kun q = n q + 1 muulloin. Lemm 4.3. Olkoon n j m positiivisi kokonislukuj, joiden suurin yhteinen tekijä on 1. Luku nm n m ei voi kirjoitt muodoss kn + lm, missä k j l ovt epänegtiivisi kokonislukuj. Todistus. Tehdään vstoletus, että nm n m = kn+lm. Jkmll yhtälön molemmt puolet luvull n j uudelleen ryhmittelemällä sdn m 1 k = l+1 m. Kosk tämän yhtälön molemmt puolet ovt kokonislukuj, j n kosk lukujen n j m suurin yhteinen tekijä on 1, niin l+1 on positiivinen n kokonisluku. Siis m 1 k < m l+1 m vstoin oletust. n Luse 4.4. C(W n ) = n 3n + 3. Todistus. Voidn helposti todet, että (c n ) n c on synkronisoiv sn, jonk pituus on n 3n + 3. Vielä on osoitettv, että lyhyempiä synkronisoivi snoj ei ole. Olkoon w lyhin mhdollinen synkronisoiv sn j q = Q w. Jos q, niin tiln q spuu nuoli vin yhdestä tilst, joten w olisi synkronisoiv sn myös ilmn viimeistä kirjintn. Tämä on mhdotont, kosk w on lyhin synkronisoiv sn, joten q =. Kikill u myös uw on sn joll Q uw =. Täten kikill l w utomtin W n grfiss on polku solmust siihen itseensä, jonk pituus 10

14 on l. Jokinen tällinen polku muodostuu silmukoist, joiden pituus on n ti n 1, joten Lemmn 4.3 nojll on w > n(n 1) n (n 1) = n 3n+1. Kosk solmust 1 on pituutt w olev polku solmuun j kosk solmun 1 molemmt nuolet menevät solmuun, niin solmust on pituutt w 1 olev polku siihen itseensä. Lemmn 4.3 nojll w 1 n 3n + 1. Siis w > n 3n +. Luse 4.5. C(C n ) = (n 1). Todistus. Olkoon w lyhin mhdollinen synkronisoiv sn. Kikill S Q on Q = Q, joten w päättyy kirjimeen j voidn kirjoitt w = w, missä Q w = {1, n}. Kosk kikill S Q on S = S j kosk w on lyhin mhdollinen synkronisoiv sn, niin snss w jokist kirjimen esiintymää seur. Siis korvmll snss w kikki snn esiintymät kirjimell c sdn sn v. Vertmll utomttej C n j W n todetn, että q = q c j q = q kikill q Q. Siis Q v = {1, n} j vc on utomtin W n synkronisoiv sn. Edellisen luseen nojll vc n 3n + 3, joten v n 3n +. Kosk kikill S Q on S c S 1, niin snss v on vähintään n kirjimen c esiintymää. Kosk c vst kht merkkiä snss w, niin w v +n n n j w n n+1 = (n 1). Synkronisoituvt utomtit A, joill C(A) = (n 1), ovt hrvinisi; itse siss äärettömän perheen C n lisäksi tällisi tunnetn vin khdeksn erilist. Ne on kuvttu rtikkeliss [18]. 4.1 Ylärj-rvio lukujonolle C(n) Černýn konjektuurin mukn lukujono C(n) on neliöllinen luvun n suhteen, mutt prht todistetut ylärjt tälle lukujonolle ovt kuutiollisi. Esitetään rtikkelin [16] todistus sille, että C(n) n3 n. 6 Olkoon A = (Q, Σ, ) jokin synkronisoituv utomtti, joss Q = n. Muodostetn sen synkronisoiv sn seurvsti. Etsitään lyhin mhdollinen sn w 1, joll Q w 1 < Q. Etsitään sitten lyhin mhdollinen sn w, joll Q w 1 w < Q w 1. Jtketn vstvsti, kunnes on muodostettu sellinen sn w = w 1... w k (k n 1), että Q w = 1. Olennist on sd selville, kuink pitkiä snt w i voivt pisimmillään oll. Olkoon S Q, S = k > 1 j w = 1... l, i Σ lyhin sellinen sn, että S w < S. Merkitään S 1 = S j S i+1 = S i i (1 i < l). Kosk S w < S, niin on olemss tilt x, y S (x y), joill x w = y w. Merkitään T 1 = {x, y} j T i+1 = T i i. Snn w määritelmän nojll S i = k, 11

15 T i = j T i S i kikill i l. Lisäksi in kun 1 i < j l, niin T j S i, kosk muutoin olisi S 1... i 1 j... l < S vstoin snn w vlint. Jtkoss trvitn tunnettu linerilgern lemm, jolle esitetään tässä todistus kirjst [1] (luse 5.9). Lemm 4.6. V (x 1,..., x n ) määr. = 1 x 1 x 1... x n x x... x n 1 = j x i ) x n x n... xn n 1 i<j(x Todistus. Todistetn väite induktioll muuttujien lukumäärän n suhteen. Tpus n = 1 on trivili, joten oletetn että väite on todistettu tpuksess n = k j todistetn se tpuksess n = k + 1. Lisäämällä llolevss determinntiss k:s srke sen oikell puolell olevn srkkeeseen kerrottun luvull x 1, k 1:s srke sen oikell puolell olevn srkkeeseen kerrottun luvull x 1 jne. (tässä järjestyksessä) sdn 1 x 1 x 1... x k 1 1 x x V (x 1,..., x k+1 ) =... x k x k+1 x k+1... x k k x x 1 x (x x 1 )... x k 1 (x x 1 ) = x k+1 x 1 x k+1 (x k+1 x 1 )... xk+1 k 1 (x k+1 x 1 ) Kehitetään tmä determinntti ylimmän vkrivin suhteen, otetn jokiselt vkrivilt i tekijä x i+1 x 1 determinntin ulkopuolelle j sovelletn induktio-oletust. x x 1 x (x x 1 )... x k 1 (x x 1 ) x 3 x 1 x 3 (x 3 x 1 )... x k 1 3 (x 3 x 1 ) x k+1 x 1 x k+1 (x k+1 x 1 )... xk+1 k 1 (x k+1 x 1 ) =V (x,..., x k+1 ) (x j x 1 ) = j x i ). 1<j i<j(x 1

16 Seurv putulos, jok nt ylärjn snn w pituudelle l edellä esitetyssä menetelmässä, on ensimmäisenä todistettu (yleisemmässä tpuksess) rtikkeliss [8]. Lemmlle esitetään rtikkelin [13] todistus seurten lähteen [1] esitystä. Lemm 4.7. Olkoon Q joukko, Q = n j {S 1,..., S l } sekä {T 1,..., T l } joukon Q osjoukkojen kokoelmi, missä S i = k, T i =, T i S i j T j S i in kun 1 i < j l. Silloin l ( ) n k+. Todistus. Rjoituksett voidn olett, että Q = {1,..., n}. Liitetään jokiseen joukon Q k-lkioiseen osjoukkoon S = {s 1,..., s k } relikertoiminen polynomi 1 s 1 s 1... s1 k 3 x s1 x s 1 1 s D(S) = s... s k 3 x s x s s k s k... sk k 3 x sk x s k ) ). Riittää osoitt, että joukon P mieli- Polynomit D(S 1 ),..., D(S l ) ovt linerisesti riippumttomi n:n muuttujn relikertoimisten polynomien muodostmss R-vektorivruudess. Todistetn tämä tekemällä vstoletus, että jokin polynomi D(S j ) voidn esittää polynomien D(S 1 ), D(S ),..., D(S j 1 ) linerikomintion. Tiedetään, että T j = {t 1, t } S j mutt T j S i kun i < j. Sijoituksell x t1 = t 1, x t = t j x t = 0 kun t / {t 1, t } polynomit D(S 1 ),..., D(S j 1 ) (j niiden linerikomintiot) svt rvon noll, sillä vstviss determinnteiss tulee khteen viimeiseen srkkeeseen pelkästään nolli (mhdollisesti yhtä riviä lukuunottmtt). Toislt smll sijoituksell determinntin D(s j ) rvo sdn etumerkkiä ville kertomll khdest viimeisestä srkkeest t stv determinntti 1 t 1 t t jollkin lemmn 4.6 tyyppiä olevll determinntill, joten D(S j ) ei s rvo noll. Tämä on ristiriit. Polynomien D(S 1 ),..., D(S l ) linerisest riippumttomuudest seur, että l ei voi ylittää sen R-vektorivruuden V dimensiot, jonk virittää joukko P = {D(S) S Q, S = k}. Määritellään nyt joukko W = {1,..., k }, muodostetn list, joss on jossin järjestyksessä kikki joukon Q \ W -lkioiset osjoukot j muodostetn joukko P i joukkojen W j listn i:nnen joukon unionin kun 1 i ( ) n k+. Väitetään, että polynomit D(P 1 ),..., D(P ( n k+ ) virittävät vektorivruuden V, eli vruuden dimensio on enintään ( n k+ vltinen lkio D(S) (missä S = {s 1,..., s k }) voidn esittää polynomien 13

17 D(P 1 ),..., D(P ( n k+ ) linerikomintion. Todistetn väite induktioll ) luvun S \ W suhteen. Tpuksess S \ W = on W S, joten jollkin i on S = P i j siis D(S) = D(P i ). Tpuksess S \ W > vlitn jokin lkio s 0 W \ S j määritellään S = S {s 0 }. Määritellään lisäksi polynomi p(x) = c w W \s 0 (x w), missä c R on sellinen luku, että p(s 0 ) = 1, j trkstelln determinntti p(s 0 ) 1 s 0 s 0... s0 k 3 x s0 x s 0 p(s = 1 ) 1 s 1 s 1... s1 k 3 x s1 x s p(s k ) 1 s k s k... sk k 3 x sk x s k Polynomi p(x) on stett k 3, joten determinntin ensimmäinen pystyrivi voidn ilmist muiden pystyrivien linerikomintion j siis = 0. Kehittämällä ensimmäisen pystyrivin suhteen sdn yhtälö k ( 1) i p(s i )D(S \ {s i }) = 0. i=0 Siirretään termi p(s 0 )D(S \ {s 0 }) yhtälön toiselle puolelle. Kosk p(s 0 ) = 1 j S \ {s 0 } = S, niin sdn k D(S) = ( 1) i+1 p(s i )D(S \ {s i }). i=1 Kosk p(s i ) = 0 kun s i W \ {s 0 }, niin induktioskeleen todistmiseksi riittää osoitt, että D(S \ {s i }) voidn esittää polynomien D(P 1 ),..., D(P ( n k+ ) ) linerikomintion, kun s i / W. Tämän osoittmiseen voidn käyttää induktio-oletust, sillä kun s i / W, niin (S \ {s i }) \ W = (S \ W) \ {s i } = (S \ W) \ {s i } = S \ W 1. Luse 4.8. C(n) n3 n 6. Todistus. Kun rkennetn n-tilisen utomtin synkronisoiv sn edellä esitetyllä menetelmällä, niin edellisen lemmn mukn sen pituus on enintään ( ) n n k + n = k= i= ( ) i. Induktioll on helppo todist, että tämän summn rvo on n3 n 6. Tpus n = 1 on nimittäin trivili, j jos oletetn, että yhtäsuuruus on voimss 14

18 kun n = k 1, niin k i= ( ) i = k 1 i= ( ) i + = k3 3k + k 6 ( ) k = (k 1)3 (k 1) k(k 1) k 3k 6 = k3 k Sykliset utomtit Černýn konjektuurin edellyttämä ylärj lyhimmän synkronisoivn snn pituudelle on pystytty todistmn useille äärettömille utomttien perheille; esimerkiksi rtikkeliss [7] on todistettu ylärj (n 1) ns. syklisille utomteille, joit ovt mm. kikki Černýn utomtit C n. Esitetään kuitenkin tässä osioss 0 vuott vnhempi todistus lähteestä [17], jok ktt sykliset utomtit, joiss tilojen lukumäärä n on lkuluku. Tässä erikoistpuksess sdn lisäksi yksinkertinen kriteeri sille, milloin utomtti on synkronisoituv. Määritelmä 4.9. Automtti A = (Q, Σ, ) on syklinen, jos on olemss sellinen kirjin c Σ, että Q = {q c r r N} kikill q Q. Rjoituksett voidn olett, että Q = {1,..., n} j että kikill q Q on q c q + 1 (mod n). Lemm Olkoon A = (Q, Σ, ) j c kuten määritelmässä j n = Q lkuluku. Oletetn, että on sellinen kirjin Σ, että Q < Q. Jos S Q j S {, Q} niin on olemss luku r N {0}, joll (S c r ) 1 > S. Todistus. Tehdään vstoletus, että kikill r on (S c r ) 1 S. Silloin yhtälöstä n 1 r=0 (S c r ) 1 = n 1 r=0 q 1 = S q 1 = S Q 1 = S n q S c r q Q seur, että (S c r ) 1 = S kikill r. Vlitn ζ C niin, että n on pienin positiivinen kokonisluku, joll ζ n = 1 (eli ζ on n:s primitiivinen ykkösenjuuri). Käytetään merkintää Q(ζ) kunnn C suppeimmst likunnst, jok sisältää kunnn Q j luvun ζ. Luvun ζ minimlipolynomi on n 1 i=0 x i, joten Q-vektorivruuden Q(ζ) dimensio on n 1 j sillä on knt {ζ i 0 i n }. Siis V = Q Q(ζ) on 15

19 n-dimensioinen Q-vektorivruus. Liitetään nyt jokiseen tiln q Q vektorivruuden V vektori q = (1, ζ q ) j jokiseen osjoukkoon T Q vektori T = q T q. Vektorit q virittävät vruuden V, sillä (1, 0) = Q 1 ( q Q q) j (0, ζ q ) = q (1, 0) kikill q Q. Kosk vruuden V dimensio on n, niin tästä seur, että vektorit q muodostvt V :n knnn. Määritellään linerikuvukset A : V V j B : V R kntvektoreiden vull: A(q) = (q 1 ) j B(q) = 1 kikill q Q. Merkitään nyt u = q S ζ q j osoitetn seurvksi, että joukkojen S c r (0 r n 1) vstinvektorit S c r = ( S, uζ r ) muodostvt vruuden V knnn. Vektori (1, 0) voidn esittää muodoss ( S n) 1 ( n 1 r=0(s c r )), joten riittää osoitt, että vektorit uζ r virittävät vruuden Q(ζ). Luku u = q S ζ q ei ole noll, kosk luvun ζ minimlipolynomi ei j polynomi q S x q. Siis luvull u on käänteislkio n 1 r=0 k i ζ i, eli 1 = n 1 r=0 k i (uζ i ). Kertomll tämä puolittin vruuden Q(ζ) mielivltisell kntvektorill ζ r sdn ζ r = n 1 r=0 k i (uζ i+r ), jost väite seur. Kosk kikill r N {0} on (S c r ) 1 = (S c r ), niin vstvsti B(A(S c r )) = B(S c r ). Kosk vektorit S c r muodostvt joukon V knnn, niin kikill v V on B(A(v)) = B(v); erityisesti B(A(q)) = B(q) = 1 kikill q Q. Tällöin q 1 = 1, mikä on ristiriidss sen knss, että Q < Q. Luse Olkoon A = (Q, Σ, ) syklinen utomtti, jonk tilojen lukumäärä n on lkuluku. Jos on olemss Σ, joll Q < Q, niin A on synkronisoituv j C(A) (n 1). Todistus. Olkoon kirjin c kuten edellisessä lemmss j q Q sellinen til, että q 1 > 1. Osoitetn induktioll, että kun 0 k n, niin on olemss sellinen sn w, että w 1+kn j q w 1 k +. Tpuksess k = 0 voidn vlit w =. Oletetn nyt, että sn u toteutt väitteen tpuksess k = t < n j todistetn väite tpuksess k = t + 1. Jos q u 1 t+3, niin voidn vlit w = u. Muutoin edellisen lemmn nojll on olemss sellinen luku r (0 r n 1), että ((q u 1 ) (c r ) 1 ) 1 > q u 1 = t + j voidn siis vlit w = c r u ( w 1 + (t + 1)n). Nyt todistetust voidn tpuksess k = n päätellä, että on olemss sellinen sn w, että w = 1 + (n )n = (n 1) j q w 1 n, eli q w 1 = Q. Tästä seur, että Q w = Vhvsti yhtenäiset utomtit Automtti A = (Q, Σ, ) snotn vhvsti yhtenäiseksi, jos jokist kht til q, s Q kohti on olemss sn w, joll q w = s. Černýn konjektuu- 16

20 rin tutkimisess riittää rjoittu vhvsti yhtenäisiin utomtteihin. Tämä nähdään seurvn lemmn vull, jok on esitetty yleisemmässä muodoss rtikkeliss [0]. Käytetään lemmn muotoiluss merkintää V n niiden n- tilisten utomttien joukost, jotk ovt synkronisoituvi j vhvsti yhtenäisiä. Lemm 4.1. Jos f : N N {0} on sellinen funktio, että C(V n ) f(n) kikill n N, j jos A = (Q, Σ, ) S n \ V n (siis n > 1), niin C(A) on enintään {( ) } n m + 1 mx + f(m) 1 m < n. Todistus. Olkoon u jokin utomtin A synkronisoiv sn j q sellinen til, että Q u = q. Merkitään S = {q w w Σ }, S = m < n j S = Q \ S. Etsitään ensin sellinen sn w, että S w S. Olkoon T S epätyhjä, T = i. Lyhin sellinen sn w, että jollkin t T on t w S (siis T w S < T ), on enintään pituutt n m i + 1. Jos nimittäin w = 1... j, 1,..., j Σ, niin t 1... l / S kikill l < j j t 1... p t 1... r kun p r. Muodostetn sn w = w 1... w t niin että snt w l ovt lyhimmät mhdolliset, joill S w 1 S < S, S w 1 w S < S w 1 S,..., S w S = 0. Edellä todetun nojll snn w pituus on enintään (n m) = ( ) n m+1. Kolmikko B = (S, Σ, ), missä on sm opertio kuin utomtiss A, on vhvsti yhtenäinen synkronisoituv utomtti. Olkoon u sen lyhin synkronisoiv sn; sen pituus on enintään f(m). Sn wu on utomtin A synkronisoiv sn. Luse Jos C(V n ) = (n 1) kikill n N, niin C(n) = (n 1) kikill n N. Todistus. Luseen oletuksin edellisestä lemmst seur, että jos A S n \ V n (siis n > 1), niin sen lyhin synkronisoiv sn on enintään pituutt mx{ ( ) n m+1 +(m 1) 1 m < n}. Polynomin g(m) = ( ) n m+1 +(m 1) korke-steisin termi on 3 m, joten g(m) svutt mksimins välillä [1, n 1] kun m = 1 ti m = n 1. Molemmill sijoituksill g(m) (n 1). Olkoon nyt A = (Q, Σ, ), Σ = k, vhvsti yhtenäinen utomtti. Rjoituksett voidn olett, että Q = {1,..., n}. Liitetään utomttiin A n n-mtriisi B = ( ij ), joss lkio ij on nuolien lukumäärä tilst j tiln i. Induktioll on helppo todet, että kikill k N mtriisin B k koordintiss (i, j) olev lkio kertoo, kuink mont pituutt k olev polku 17

21 grfiss on tilst j tiln i. Kosk utomtin A grfi on vhvsti yhtenäinen, niin B on redusoitumton. Siis myös mtriisi B T on redusoitumton. Perronin-Froeniuksen luseen nojll mtriisill B T on positiivinen ominisrvo r, jonk itseisrvo on vähintään yhtä suuri kuin muill ominisrvoill, j johon kuuluu positiivinen ominisvektori x = (x 1,..., x n ) T. Olkoon α sellinen luku, että vektorin αx suurin luku on x i = 1. Tästä seur, että k (B T αx) i = (rαx) i = r. Vlitn toislt luku β niin, että vektorin βx pienin luku on 1. Päätellään kuten edellä, että k r j siis r = k. Kosk mtriiseill B T j B on smt ominisrvopolynomit, niillä on smt ominisrvot. Siis mtriisill B on ominisrvo k, jonk itseisrvo on vähintään yhtä suuri kuin muill ominisrvoill. Mtriisill B on ominisrvoon k kuuluv ominisvektori, jonk komponentit ovt rtionlisi. Tämä nähdään trkstelemll yhtälöä Bx = kx, missä x = (x 1,..., x n ) T. Tiedetään, että positiivisi ominisvektoreit on olemss, joten voidn tehdä sijoitus x 1 = 1. Sdn n:n yhtälön yhtälöryhmä, joss on n 1 muuttuj x,... x n. Kosk ominisrvoon k kuuluvn ominisvruuden dimensio on 1, niin yhtälöryhmä määrää muuttujille yksikäsitteiset rvot. Yhtälöistä voidn siis vlit n 1:n linerisesti riippumttomn yhtälön joukko. Näiden muodostm yhtälöryhmä on muoto B x = c, missä B on kääntyvä kokonislukumtriisi, x = (x,..., x n ) T j c on kokonislukuvektori. Kosk B on kokonislukumtriisi, sen käänteismtriisin lkiot ovt rtionlilukuj. Siis rtkisemll yhtälöstä x selviää, että x,..., x n ovt rtionlilukuj. Kertomll ominisrvoon k kuuluv rtionlinen ominisvektori sopivll luvull sdn ominisvektori w T = (w 1,..., w n ) T, jonk komponentit ovt luonnollisi lukuj, joiden suurin yhteinen tekijä on 1. Tällinen vektori on yksikäsitteinen. Vektorin w vull voidn määritellä pinofunktio w : Q N, w(i) = w i kuten rtikkeliss [9] on tehty. Luku w(i) kutsutn tiln i pinoksi. Joukon S Q pinon määritellään olevn i S w(i) j siitä käytetään merkintää w(s). Pinon määrittelystä ominisvektorin w T vull seur, että kikill i Q luvun kw(i) rvo on niiden tilojen pinojen summ, joist tulee nuoli tiln i. (Jos jostkin tilst spuu usempi nuoli, niin summuksess tiln pino kerrotn siitä spuvien nuolien lukumäärällä.) Tämän tiedon vull on joskus helppo rvt pelkästään utomtin grfi ktsomll, mikä sen pinofunktio on. Esimerkki Kuvn 7 utomtiss on merkitty tiloihin niiden pinot. Edellisen kppleen mukisesti on helppo trkist, että pinot ovt juuri nämä. 18

22 1, Kuv 7: Automtti j tilojen pinot. Pinon käsitteen vull voidn muotoill yksi mhdollinen tp etsiä synkronisoituvn j vhvsti yhtenäisen utomtin A = (Q, Σ, ) synkronisoiv sn. Aloitetn mielivltisest tilst q Q j etsitään lyhin mhdollinen sn w 1, joll w(q w1 1 ) > w(q). Etsitään sitten lyhin mhdollinen sn, joll w(q (w w 1 ) 1 ) > w(q w1 1 ). Jtketn vstvsti, kunnes on löydetty sellinen sn w = w k... w 1, että q w 1 = Q. Tällöin Q w = q, eli w on synkronisoiv sn. On selvitettävä, kuink pitkiä snt w i voivt pisimmillään oll. Tehdään snojen w i pituutt koskevt trkstelut rtikkelin [11] esitystä seurten. Jokiseen joukkoon S Q voidn liittää vektori [S] = (s 1,.., s n ), missä { 1 kun q S s i = 0 muulloin. Jokiseen kirjimeen Σ voidn liittää n n mtriisi [] = ( ij ), missä { 1 kun i = j ij = 0 muulloin. Vstvsti snn w Σ voidn liittää mtriisi [w] = (w ij ), missä { 1 kun i w = j w ij = 0 muulloin. Induktioll on helppo todist, että jos w = 1... k, niin [w] = [ 1 ]...[ k ]. Mtriisi [w] T vst linerikuvust R n R n, jonk rjoittum joukolle {[S] S Q} on vrsin luontev: [S][w] T = [S w 1 ]. Määritellään linerikuvus ŵ : R n R, ŵ(x) = xw T, missä w T on edellä minittu ominisvektori. Sen rjoittum joukolle {[S] S Q} yhtyy pinofunktioon w: ŵ([s]) = w(s). 19

23 Jtkoss näistä molemmist funktioist käytetään merkintää w. Kikill x R n w(x[] T ) = w(x Σ Σ[] T ) = x( [] T )w T = kxw T = kw(x). (1) Σ On kksi vihtoehto: joko kikill Σ on w(x[] T ) = w(x) ti jollkin Σ on w(x[] T ) > w(x). Vstvsti voidn osoitt, että jos on sn u, joll w(x[u] T ) w(x), niin on olemss yhtä pitkä sn u, joll w(x[u ] T ) > w(x). Määritellään joukot Z 0 = {x R n w(x) = 0} j Z 1 = {(r,..., r) R n r R}. Jos y R n on mielivltinen, niin vlitsemll z Z 1 sopivsti sdn vektorin x = y z pino nollksi, eli vektorill y on esitys y = x + z, missä x Z 0 j z Z 1. Tämä esitys on yksikäsitteinen, sillä Z 0 Z 1 = {0}. Kosk z[w] T = z kikill snoill w, niin w(y[w] T ) w(y) trklleen silloin kun w(x[w] T ) w(x) = 0, eli silloin kun x[w] T / Z 0. Yhdistämällä tämä edellisen kppleen hvintoon voidn todet, että jos x[w] T / Z 0 jollkin w Σ, niin on olemss yhtä pitkä sn u Σ, joll w(y[u] T ) > w(y). Seurvksi todistettv lemm on yleisemminkin hyödyllinen. Lemm Liitetään kuhunkin kirjimeen Σ jokin relinen n- neliömtriisi j jokiseen snn w = 1... t mtriisi w = 1... t. Jos V R n on vektorivruus, x V, j on olemss sellinen sn w, että xw / V, niin lyhin tällinen sn on pituudeltn enintään dim(v ). Todistus. Olkoon U i (i 0) vektorivruus, jonk generoi joukko { {x} kun i = 0 G i = {x i 1 x i 1 G i 1, Σ} G i 1 muulloin. Jos jollkin luvull i on U i+1 = U i, niin U j = U i kikill j i. Tämä nähdään induktioll: jos U k = U i, niin G k+1 = {x k x k G k, Σ} G k {x k x k U k, Σ} U k = {x k x k U i, Σ} U i U i+1 U i = U i. Siis U k+1 = U i. Olkoon w lyhin sn, joll xw / V j i = w. Kosk kikill j joukon G j vektorit ovt xu, missä u on enintään pituutt j, niin i on pienin luku, joll G i V j smll pienin luku, joll U i V. Vektorivruusketjuss U 0 U 1 U i sisältymiset ovt itoj, joten Siis i dim(v ). 1 = dim(u 0 ) < dim(u 1 ) < < dim(u i 1 ) dim(v ). 0

24 Sovelletn lemm nyt tämän luvun tpukseen. Lemm Kikill x Z 0 \ {0} on olemss enintään pituutt n 1 olev sn w, joll x[w] T / Z 0. Todistus. Ensiksi osoitetn, että on olemss jokin sn w, joll x[w] T / Z 0. Olkoon nimittäin vektorin x koordinttiss i luku r 0. Kosk utomtti on synkronisoituv j vhvsti yhtenäinen, niin on olemss sellinen sn w, että Q w = {i}. Siis mtriisin [w] T i:s rivi koostuu ykkösistä j muut rivit nollist, joten x[w] T = (r,..., r) / Z 0. Väite seur nyt edellisestä lemmst vlinnll V = Z 0 j = [] T kikill Σ. Seurus Kikill S Q, S on olemss enintään pituutt n 1 olev sn u, joll w(s u 1 ) > w(s). Todistus. Esitetään vektori [S] muodoss x + z, missä x Z 0 j z Z 1. Edellä on todettu, että on olemss pituutt i olev sn u joll w(s u 1 ) > w(s) (eli w([s][u] T ) > w([s])) jos on olemss yhtä pitkä sn w, joll x[w] T / Z 0. Kosk [S] / Z 1, niin x 0 j väite seur edellisestä lemmst. Luse Jos A = (Q, Σ, ) V n j W mx on sen pinvimmn tiln pino, niin C(A) (w(q) W mx )(n 1). Todistus. Muodostetn synkronisoiv sn w sivun 18 menetelmällä loittmll tilst, jonk pino on W mx. Edellisen seurusluseen nojll kunkin ossnn w i pituus on enintään n 1, joten koko snn w pituus on enintään (w(q) W mx )(n 1). Luseest seur, että lyhimmän synkronisoivn snn pituus on enintään (n 1) sellisill vhvsti yhtenäisillä synkronisoituvill utomteill, joill yhden tiln pino on mielivltinen j jokisen muun tiln pino on 1. Erikoistpuksen tällisist utomteist muodostvt ns. Eulerin utomtit. Määritelmä Automtti A = (Q, Σ, ) on Eulerin utomtti, jos sen jokiseen tiln spuu Σ nuolt. Voidn helposti todet, että Eulerin utomtin jokisen tiln pino on 1. Tämä mhdollist sen, että edellisen luseen tulost voidn Eulerin utomttien tpuksess hiemn prnt. Käytetään merkintää E n synkronisoituvien n-tilisten Eulerin utomttien joukost. 1

25 1 4 8, 16 Kuv 8: Pinv utomtti Luse 4.0. Jos A = (Q, Σ, ) E n, niin C(A) 1 + (n )(n 1) = n 3n + 3. Todistus. On olemss q Q j Σ, joill q 1 > q = 1. Muodostetn synkronisoiv sn w edellä esitetyllä menetelmällä loittmll tilst q. Černýn konjektuuri on siis todistettu Eulerin utomttien tpuksess. Ei kuitenkn tiedetä, kuink pljon ylärj C(E n ) n 3n + 3 voidn prnt. Esitetään tähän kysymykseen liittyen todistuksett tulos lähteestä [10]. Luse 4.1. Jos n 5 on priton, niin C(E n ) n 3n+4. Luse 4.18 ei yleisesti nn hyviä ylärjoj lyhimmän synkronisoivn snn pituudelle. Kuvss 8 on 5-tilinen utomtti, jolle luse nt ylärjn 60 (vrt. luse 4.8: C(5) 0), mutt itse siss jo sn synkronisoi sen. Vstvll tvll voidn kikill n > 1 muodost n-tilinen utomtti, jolle luse nt eksponentilisen ylärjn (( n 1 ) ) ( n ) i n 1 (n 1) = i (n 1) = ( n 1 1)(n 1). i=0 i=0 4.4 L-yhtenäiset utomtit Trkstelln tässä rtikkeliin [3] pohjutuvss luvuss ns. L-yhtenäisten utomttien lyhimmän synkronisoivn snn pituutt. Esitettävistä tuloksist osoittutuu olevn hyötyä myös luvun 6 konjektuurin tutkimisess. Määritelmä 4.. Olkoon A = (Q, Σ, ) utomtti. Jos L = {w 1,..., w t } Σ j R = {q 1,..., q t } Q ovt selliset joukot, että kikill s Q on s L = {s w 1,..., s w t } = {q 1,..., q t }, niin utomtti A kutsutn L-yhtenäiseksi. Tällöin joukko L kutsutn riippumttomksi j joukko R kutsutn L:n kuvksi.

26 Käytetään jtkoss määritelmän merkintöjä ilmn erillistä minint. Lemm 4.3. Kikill v Σ joukko vl = {vw 1,..., vw t } on riippumton j sen kuv on R. Todistus. Jos s Q, niin s (vl) = {s vw 1,..., s vw t } = {(s v) w 1,..., (s v) w t } = R. Luse 4.4. Jos A = (Q, Σ, ) on L-yhtenäinen, niin kikill P R on t i=1 P w 1 i R = P t. Todistus. Jos P on tyhjä joukko, niin väite on trivili. Oletetn siis, että P = {p 1,..., p m }, m 1 jolloin t i=1 P w 1 i R = t m i=1 j=1 p j w 1 i t m R = i=1 j=1 p j w 1 i R. L-yhtenäisyyden määritelmän nojll kikill s Q j p R on trklleen yksi sn w i L, joll s p wi 1. Joukot p wi 1 muodostvt siis joukon Q prtition, joten t = R = t i=1 p wi 1 R. Nyt t m i=1 j=1 p j w 1 i R = m t j=1 i=1 p j w 1 i R = P t. Seurus 4.5. Jos P R, niin kikill i on P wi 1 i on P wi 1 R > P R = P ti jollkin Luse 4.6. Olkoon K R synkronisoituv j M suurimmn joukkoon R sisältyvän synkronisoituvn joukon koko. Seurvt ovt ekvivlenttej. 1. K = M.. Kikill w L j v Σ on K (vw) 1 R K. 3. Kikill w L j v Σ on K (vw) 1 R = K. 4. K on mksimlinen joukon R synkronisoituv osjoukko. 3

27 Todistus. 1 = : Seur suorn siitä, että K (vw) 1 R on myös synkronisoituv joukko. = 3: Kosk vl on riippumton joukko, jonk kuv on R, niin tämä impliktio seur Seuruksest = 4: Olkoon X R synkronisoituv, X = M. On olemss snt v Σ j w L sekä til q Q, joill X v = q j q w K. Siis X vw K j X K (vw) 1 R. Tästä j oletuksest 3 seur, että K = K (vw) 1 R M. Luvun M vlinnn nojll K = M j K on mksimlinen. 4 = 1: Olkoon X kuten edellä. On olemss snt v Σ j w L sekä til q Q, joill K v = q j q w X. Siis K X (vw) 1 R. Kosk X (vw) 1 R on synkronisoituv, niin joukon K mksimlisuudest seur, että K = X (vw) 1 R. Impliktio 1 = 3 on jo todistettu, joten tiedetään, että X (vw) 1 R = X = M. Siis K = M. Lemm 4.7. Olkoon K R j v Σ. Ehto K (vw i ) 1 R = K on voimss kikill w i L trklleen silloin, kun vektori ([R][v]) T on yhtälöryhmän ( [K wi 1 ] K ) R [Q] x = 0, 1 i t () rtkisu (sijoitus muuttujn x). Todistus. Tekemällä minittu sijoitus sdn ( [K wi 1 ] K R [Q] ) ([R][v]) T = ([K wi 1 ][v] T )[R] T K R ([Q][v]T )[R] T = K (vw i ) 1 R K R Qv 1 R = K (vw i ) 1 R K. Tämä on noll trklleen silloin kun K (vw i ) 1 R = K. Käytetään merkintää rnk(a) mtriisin A steest j merkintää A mtriisin A pystyrivilivruudest. Lemm 4.8. Jos A on t-rivinen relilukumtriisi, joss ei ole nollrivejä j jonk kusskin srkkeess on enintään x > 0 nollst erov lkiot, niin rnk(a) t/x. 4

28 Todistus. Mtriisin A srkkeist voidn vlit vektorivruuden A knt B = { 1,..., r }, missä r = rnk(a). Näissä vektoreiss on yhteensä enintään rx nollst erov lkiot. Väitteen osoittmiseksi tehdään vstoletus, että rx < t. Tällöin josskin koordintiss i on kikiss knnn B vektoreiss nolli. Kosk B virittää vruuden A, niin mtriisin A rivi i koostuu pelkästään nollist, mikä on vstoin lemmn oletust. Lemm 4.9. Jos A j B ovt relilukumtriisej, jotk voidn lske yhteen, niin rnk(a) + rnk(b) rnk(a + B). Todistus. Olkoon V suppein vektorivruus, jok sisältää vruudet A j B. Näiden vruuksien knnt yhdessä virittävät vruuden V, joten rnk(a)+ rnk(b) dim(v ). Avruus V sisältää kikki vruuden A + B vektorit, joten dim(v ) rnk(a + B). Lemm Olkoon K R j oletetn, että K w 1 Q kikill w L (erityisesti K R). Sivun 4 yhtälöryhmän () mtriisin ste on vähintään { } R \ K K mx,. K R \ K Todistus. Yhtälöryhmän mtriisi on C = A K R Y, missä mtriisi Y koostuu pelkästään ykkösistä j mtriisin A vkriveinä on vektorit [K wi 1 ] (1 i t). Kosk K wi 1, niin mtriiss A ei ole nollrivejä. Lisäksi joukon L määritelmästä seur, että jos q Q on mielivltinen, niin joukoss L on K sn w, joill q w K. Siis mtriisin A jokisess srkkeess on trklleen K nollst erov lkiot, joten lemmn 4.8 nojll rnk(a) t/ K. Lemmn 4.9 nojll rnk(c) + rnk(( K / R )Y ) rnk(a), joten rnk(c) rnk(a) rnk ( ) K R Y t/ K 1 = R \ K. K Mtriisi C voidn myös esittää muodoss C = (A Y ) +(1 K / R )Y. Mtriisin A Y lkio on erisuuri kuin noll trklleen silloin kun mtriisin A vstinlkio on noll. Siis mtriisin A Y jokisess srkkeess on trklleen 5

29 t K nollst erov lkiot. Lisäksi mtriisiss A Y ei ole nollrivejä (kosk K wi 1 Q), joten rnk(a Y ) t/(t K ) j ( ( rnk(c) rnk(a Y ) rnk 1 K ) ) t Y R t K 1 = K R \ K. Lemm Olkoon K synkronisoituv, ei-mksimlinen joukon R osjoukko. Tälloin on olemss snt v Σ j w L, joill { } R \ K K (vw) 1 K R > K j v n mx,, K R \ K missä n on utomtin tilojen lukumäärä. Todistus. Seuruksen 4.5 j Lemmn 4.3 nojll riittää osoitt, että on olemss vdittu pituutt olev sn v j jokin w L, joill K (vw) 1 R K. Voidn olett, että K w 1 Q, sillä muutoin väite seur helposti vlitsemll v = ǫ. Olkoon N sivun 4 yhtälöryhmän rtkisujen muodostm vektorivruus (tulkitn rtkisut nyt pystyvektorein). Kosk K ei ole mksimlinen, niin luseest 4.6 j lemmst 4.7 seur, että on olemss sn v Σ, joll [R][v] / N. Lemmn 4.15 nojll sn v voidn vieläpä vlit niin, että v dim N. Jos f : R n R t on linerikuvus, niin tunnetun linerilgern tuloksen mukn n = dim(f 1 (0)) + dim(f(r n )). Siis tulkitsemll yhtälöryhmän mtriisi C linerikuvuksen mtriisin voidn päätellä, että, dim(n) = n rnk(c) (sillä mtriisiss C on n pystyriviä). Tästä seur yhdessä lemmn 4.30 knss, että sn v on vdittu pituutt, j kosk [R][v] / N, niin lemmn 4.7 nojll jollkin w L on K (vw) 1 R K. Luse 4.3. Olkoon A = (Q, Σ, ) n-tilinen synkronisoituv L-yhtenäinen utomtti j L = t. Jos merkitään joukon L lyhimmän snn pituutt L ω j pisimmän snn pituutt L Ω, niin C(A) (t 1)(n L Ω ) t ln t L ω. Todistus. Tpuksess t = 1 joukon L ino sn synkronisoi utomtin. Sen pituus on L ω, joten väite toteutuu tässä tpuksess. Oletetn siis, että t > 1, vlitn mielivltinen q R j merkitään K 0 = {q}. Määritellään 6

30 joukkojen K i ketju induktiivisesti: jos K i R, niin edellisen lemmn mukn voidn vlit snt v i Σ j w γi, joill { } R \ K i (v i w γi ) 1 Ki K i R > K i j v i n mx,. K i R \ K i Merkitään K i+1 = K i (v i w γi ) 1 R j olkoon r indeksi, joll K r = R. Vlitsemll v = v r 1 w γr 1... v 0 w γ0 Σ L sdn R v = q j ( { } ) r 1 R \ Ki K i v n mx, + L Ω i=0 K i R \ K i ( { } ) t 1 t j j n mx, + L Ω j=1 j t j { } t 1 t = (t 1)(n + L Ω ) mx j 1, t t j 1 j=1 t 1 1 = (t 1)(n + L Ω + 1) t j 1 min{j, t j}. Jos w L, niin Q wv = 1. Jos vlitn w niin, että w = L ω, niin luseen todistmiseksi riittää osoitt, että t 1 j=1 1 min{j, t j} ln t + 1. Olkoon h = (t 1)/. Integroimll todetn, että h j=1 1/j = 1/(t j) ln(h + 1), joten t 1 j=t h S = h j=1 t 1 1 j + 1 j=t h t j ln(h + 1). Jos t on priton, niin h = (t 1)/ j t 1 j=1 1/ min{j, t j} = S ln(h+1) = ln((t+1)/). Jos ts t on prillinen, niin h = (t )/ j t 1 j=1 1/ min{j, t j} = S + /t ln(h + 1) + /t. Epäyhtälöstä ln((t + 1)/) ln(h + 1) = ln((t + 1)/((h + 1))) = ln(1 + 1/t) 1/t seur, että ln(h + 1) + /t = (ln(h+1)+/t) ln((t+1)/), joten t 1 1 j=1 ln((t+1)/). min{j,t j} Edellistä lusett sovellettess joukon L vlint on tärkeässä rooliss. Jos nimittäin A on synkronisoituv utomtti j w on sen lyhin synkronisoiv sn, niin A on L-yhtenäinen, kun vlitn L = {w}. Tällöin kuitenkin edellinen luse redusoituu muotoon C(A) C(A). Trkstelln nyt erästä utomttien luokk, missä joukko L voidn vlit premmin. 7

31 Määritelmä Automtti A = (Q, Σ, ) on 1-klusteriutomtti, jos sen grfiss jollkin kirjimell Σ merkityt nuolet muodostvt trklleen yhden syklin j (mhdollisesti) joukon puit, jotk johtvt tähän sykliin. Tällist sykliä kutsutn -pääsykliksi. Luse Jos A = (Q, Σ, ) on synkronisoituv 1-klusteriutomtti j Q = n, niin C(A) n 4n + 1 (n 1) ln n. Todistus. Olkoon Σ kuten määritelmässä 4.33, R W -pääsykliin kuuluvien tilojen joukko j R = t. Automtti A on L-yhtenäinen, missä L = { n 1, n,..., n t }. Nimittäin q n t R kikill q Q, j kun i käy luvut 0 i t 1, niin (q n t ) i käy läpi kikki joukon R tilt. Jos t = n, niin utomtti on syklinen j tässä tpuksess rtikkeliss [7] on todistettu, että C(A) (n 1). Epäyhtälö on ekvivlentti epäyhtälön (n 1) n 4n + 1 (n 1) ln n f(n) = n n (n 1) ln n 0 knss. Kosk ln x x 1 kun x > 0, niin f(n) = n(n ln(n/)) + ln(n/) n(n (n/ 1)) + ln(n/) = ln(n/) 0 kun n. Keskitytään nyt tpukseen t < n. Luseen 4.3 merkintöjä käyttämällä l ω = n t j L Ω = n 1, joten smn luseen nojll C(A) nt n t t ln t + 1. Luseen todistmiseksi osoitetn, että nt n t t ln t + 1 n 4n + 1 (n 1) ln n. Tämä epäyhtälö on ekvivlentti epäyhtälön (n 1) ln n t ln(t + 1) (n 1 + ln )(n t 1) knss. Käyttämällä ts rviot ln x x 1 sdn (n 1) ln n t ln(t + 1) = t ln n + (n t 1) ln n t + 1 t n t 1 + (n t 1)(n 1) n(n t 1) t + 1 (n 1 + ln )(n t 1); khdess viimeisessä epäyhtälössä trvitn oletust t < n. 8

32 5 Tienväritysongelm Olkoon Γ suunnttu grfi, jonk jokisest solmust lähtee sm määrä nuoli j joss khden solmun välillä voi oll useit nuoli. Jos Σ on kkosto, joss on kirjimi yhtä mont kuin kusskin solmuss on lähteviä nuoli, niin voidn muodost utomtti merkitsemällä jokinen grfin nuoli jollkin kirjimell niin, että mistään solmust ei lähde kht smll kirjimell merkittyä nuolt. Tällist grfin nuolien merkintää kutsutn grfin väritykseksi. (Nimitys tulee siitä, että joskus kkoston Σ lkioiden mielletään olevn värejä kirjinten sijst.) Väritykseksi voidn kutsu myös väritystä vstv utomtti. Jos värityksellä sdn muodostettu synkronisoituv utomtti, niin väritystä kutsutn synkronisoivksi. Kysymystä siitä, millisill grfeill on olemss synkronisoiv väritys, kutsutn tienväritysongelmksi. Oletetn jtkoss, että trksteltvt grfit ovt vhvsti yhtenäisiä, eli grfin mistä thns solmust pääsee mihin thns toiseen solmuun seurmll grfin nuoli oiken suuntn. Helposti sdn seurv välttämätön ehto synkronisoivn värityksen olemssololle. Luse 5.1. Jos grfill Γ on synkronisoiv väritys, niin grfin syklien pituuksien suurin yhteinen tekijä on 1. Todistus. Tehdään vstoletus, että grfin syklien pituuksien suurin yhteinen tekijä on d > 1. Olkoon grfill kiinnitetty synkronisoiv väritys A = (Q, Σ, ) j olkoon v jokin synkronisoiv sn. Kikill snoill u myös uv on synkronisoiv sn, joten on olemss synkronisoiv sn w, jonk pituus l ei ole jollinen luvull d. Olkoon Q w = q. Sn w indusoi utomtiss pituutt l olevn polun tilst q siihen itseensä. Tämä polku voidn muodost syklejä yhdistelemällä, joten vstoletuksen nojll d jk luvun l, mikä on mhdotont luvun l vlinnn nojll. Artikkeliss [1] esitetään konjektuuri, jonk mukn tämä välttämätön ehto on myös riittävä. Konjektuuri 5. (Tienväritysluse). Jos Γ on suunnttu, vhvsti yhtenäinen grfi, jonk jokisest solmust lähtee yhtä mont nuolt j jonk syklien pituuksien suurin yhteinen tekijä on 1, niin sillä on synkronisoiv väritys. Konjektuuri todistetn rtikkeliss [19]. Esitetään tässä kyseinen todistus. Kutsutn jtkoss konjektuurin ehdot täyttävää grfi primitiiviseksi. Trksteluiss käytetään stiilisuusreltion käsitettä lähteestä [6]. 9

33 Määritelmä 5.3. Automtin A = (Q, Σ, ) tiljoukon Q ekvivlenssireltiot kutsutn kongruenssiksi, jos kikill p, q, Q j Σ p q = p q. Määritelmä 5.4. Automtin A = (Q, Σ, ) tilpri p, q Q on stiili, merkitään p q, jos kikill u Σ on olemss sellinen w Σ, että p uw = q uw. Luse 5.5. Automtin A = (Q, Σ, ) stiilisuusreltio on kongruenssi. Todistus. Selvästi reltio on refleksiivinen j symmetrinen. Olkoon p, q, r Q selliset tilt, että p q j q r j olkoon u Σ mielivltinen. Kosk p q, niin on olemss w 1 Σ, joll p uw 1 = q uw 1. Kosk q r, niin on olemss w Σ, joll q uw 1 w = r uw 1 w. Kun w = w 1 w, niin p uw = q uw = r uw. Siis p r j reltio on ekvivlenssireltio. Stiilisuuden määritelmästä seur helposti, että jos p q, niin p w q w kikill w Σ. Siis reltio on kongruenssi. Olkoon A = (Q, Σ, ) utomtti, jolle on määritelty kongruenssi j käytetään merkintää [p] tiln p määräämästä ekvivlenssiluokst. Automtin A tekijäutomtti kongruenssin suhteen on A/ = (Q/, Σ, ), missä Q/ = {[p] p Q} j kikill [p] Q, w Σ on [p] w = [p w]. Kosk on kongruenssi, niin opertio on hyvin määritelty. Lemm 5.6. Olkoon Γ primitiivinen grfi j A = (Q, Σ, ) jokin grfin Γ väritys. Silloin utomtin A/ grfi Γ on myös primitiivinen, j jos grfill Γ on synkronisoiv väritys, niin myös grfill Γ on synkronisoiv väritys. Todistus. Kosk Γ on utomtin A/ = (Q/, Σ, ) grfi, niin sen jokisest tilst lähtee yhtä mont nuolt, j kosk Γ on vhvsti yhtenäinen, niin myös Γ on vhvsti yhtenäinen. Jos C on grfin Γ sykli, niin sitä vst suljettu polku grfiss Γ, joten syklin C pituus voidn ilmist jonkin grfin Γ syklien pituuksien summn. Siis grfin Γ kikkien syklien pituuksien suurin yhteinen tekijä on 1 j Γ on primitiivinen grfi. Oletetn sitten, että B = (Q/, Σ, ) on synkronisoituv utomtti, jok on stu grfin Γ jollkin värityksellä. Automtin B voidn myös jtell muodostetun utomtist A/ permutoimll kustkin tilst [p] 30

34 Q/ lähtevien nuolten kirjimi ijektioll π [p] : Σ Σ, jok toteutt ehdon [p] π [p] () = [p] kun Σ. Muodostetn grfin Γ uudelleenväritys A = (Q, Σ, ) määrittelemällä p π [p] () = p kikill p Q j Σ. Olkoon w jokin utomtin B synkronisoiv sn eli Q w = [p] Q/. Tällöin utomtiss A on Q w [p]. Kosk joukon [p] tilt ovt keskenään stiilej utomtiss A, niin on olemss sellinen sn u = 1... m, i Σ, että [p] u = 1. Jos merkitään P i = [p] 1... i, niin sn u = π [p] ( 1 )π P1 ( )... π Pm 1 ( m ) toteutt ehdon [p] u = 1. Siis sn wu synkronisoi utomtin A, joten grfill Γ on synkronisoiv väritys. Lemm nt seurvn mhdollisen tvn konjektuurin rtkisemiseen. Luse 5.7. Oletetn, että jokisell primitiivisellä grfill, joll on vähintään kksi solmu, on olemss väritys A, joss on epätrivili stiili tilpri p, q Q (eli p q j p q). Tällöin jokisell primitiivisellä grfill on synkronisoiv väritys. Todistus. Todistetn induktioll primitiivisen grfin Γ tilojen lukumäärän n suhteen. Selvästi synkronisoiv väritys on olemss jos n = 1. Oletetn, että n = k > 1 j että väite on todistettu pienemmille grfeille. Luseen oletuksen nojll grfill Γ on väritys A, joll on epätrivili stiili tilpri. Silloin utomtin A/ tilojen lukumäärä on pienempi kuin k, joten induktio-oletuksen nojll utomttiin A/ liittyvällä grfill Γ on synkronisoiv väritys. Lemmn nojll myös grfill Γ on synkronisoiv väritys. Seurvksi esitettävät tulokset tähtäävät luseen oletuksen todistmiseen. Määritelmä 5.8. Olkoon A = (Q, Σ, ) utomtti. Joukko S Q snotn klikiksi, jos kikill w Σ on S w = S. Lemm 5.9. Olkoon A = (Q, Σ, ) utomtti, S klikki jonk lkioiden lukumäärä on mksimlinen j w sellinen sn, että S \ (S w) = 1. Silloin utomtiss A on epätrivili stiili tilpri. Todistus. Oletetn vstoin väitettä, että utomtiss ei ole epätrivilej stiilej tilprej. Merkitään S w = T. Kosk S on klikki, niin S = T j T \ S = 1. Olkoon s S \ T j t T \ S näiden joukkojen uniikit lkiot. Kosk s t, niin on olemss sellinen sn u, että joukko {s u, t u} ei ole synkronisoituv. Kosk lisäksi joukot S u j T u ovt klikkejä, niin mitkään joukon (S T) u tilprit eivät muodost synkronisoituv joukko, eli (S T) u on klikki. Kosk s u t u, niin (S T) u = A + 1, mikä on vstoin joukon S mksimlisuusoletust. 31

35 Kuv 9: Virittävä grfi. Määritelmä Olkoon Γ primitiivinen grfi. Grfi kutsutn grfin Γ virittäväksi grfiksi, jos niillä on smt solmut j grfin nuolin on jokisest grfin Γ solmust trklleen yksi lähtevä nuoli. Esimerkki Kuvss 9 on eräs primitiivinen grfi j sen virittävä grfi. Yleisestikin virittävät grfit muodostuvt sykleistä j puist, joiden juuret ovt sykleillä. Jos s on jokin virittävän grfin solmu, niin lyhimmän polun pituutt solmust s johonkin syklillä olevn solmuun kutsutn solmun s syvyydeksi. Erityisesti kikkien sykleillä olevien solmujen syvyys on noll. Lemm 5.1. Olkoon Γ primitiivinen grfi, joss on n > 1 solmu, j sen virittävä grfi. Jos grfi koostuu vin sykleistä (eli kikkien solmujen syvyys on noll), niin grfill Γ on myös sellinen virittävä grfi, joss on vin yksi suurint, positiivist syvyyttä olev solmu. Todistus. Grfiss Γ on jokin solmu s, jost lähtee nuoli inkin khteen eri solmuun, sillä muutoin grfin kikki syklit olisivt pituutt n. Olkoon t se solmu, johon solmust s lähtevä nuoli spuu grfiss. Muodostetn uusi virittävä grfi, jok on muuten smnlinen kuin, pitsi että solmust s solmuun t lähtevä nuoli on korvttu jollkin toiseen solmuun menevällä nuolell. Tässä virittävässä grfiss solmu t on ino suurint syvyyttä olev solmu. Jos jostin grfin solmust s lähtee kikki nuolet smn solmuun, kutsutn näiden nuolien joukko kimpuksi. Lemm Olkoon Γ primitiivinen grfi, joss on n > 1 solmu j jonk mihinkään solmuun ei svu kht kimppu. Grfill Γ on virittävä grfi, jonk kikki mksimlist syvyyttä olevt solmut ovt smss puuss. 3

36 ... T... C c c r... p ā... s s... Kuv 10: Grfin os. Todistus. Vlitn grfin Γ virittävä grfi niin, että mksimlinen määrä solmuj (ekvivlentisti: mksimlinen määrä nuoli) on osn syklejä. Jos grfi koostuu vin sykleistä, niin väite seur edellisen lemmn nojll. Oletetn siis, että mksimlist syvyyttä olevn solmun syvyys d on positiivinen j että kikki tälliset solmut eivät ole smss puuss. Olkoon p jokin mksimlist syvyyttä olev solmu, T puu, jok sisältää solmun p j C sykli, johon puu T on yhteydessä. Olkoon r puun juurisolmu, c se syklin solmu, jost on nuoli juurisolmuun j se puun solmu, jost on nuoli juurisolmuun. Kosk Γ on primitiivinen grfi, niin siinä on solmu, jost on nuoli solmuun p; olkoon jonkin tällisen solmun nimi. Tämä tilnne, joidenkin lisämerkintöjen ohell, on esitetty kuvss 10. Kuvss tvlliset nuolet kuuluvt grfiin. Ktkoviivll merkitty nuoli ei kuulu grfiin, mutt kuuluu grfiin Γ. Trkoituksen on muodost grfin pohjlt uusi virittävä grfi, jok toteutt väitteen. Tpus 1. Oletetn, että solmust c lähtevät nuolet eivät muodost kimppu. Muodostetn grfi grfist korvmll nuoli c jollkin solmust c lähtevällä nuolell ū, jok ei johd solmuun r, vn solmuun, jonk nimi olkoon u. Solmu u ei voi kuulu puuhun T, sillä muutoin grfiss olisi sykli C, jok sisältää kikki syklin C solmut j lisäksi joitkin puun T solmuj, mikä on vstoin grfin vlint. Kosk u ei kuulu puuhun T, niin solmun p syvyys on grfiss suurempi kuin d j kikki mksimlist syvyyttä olevt solmut ovt smss puuss kuin p. Tpus. Oletetn, että solmust c lähtevät nuolet muodostvt kimpun. Muodostetn grfi grfist korvmll nuoli s nuolell ā. Oletetn luksi, että solmu ei ole syklillä C. Jos kuuluisi solmujen p j r väliseen polkuun P, niin nuolen ā lisäämisen myötä kikki grfin syklit säilyisivät grfiss, mutt tulisi osksi uutt sykliä. Tämä on vstoin grfin vlint, joten ei kuulu polkuun P. Siis tulee liitetyksi puuhun T solmun p perään j solmun syvyydeksi tulee d + 1. Nyt kikki 33

37 mksimlist syvyyttä olevt solmut ovt puuss, jonk juuri on r. Oletetn nyt, että on syklillä C. Tällöin grfiss on sykli C, jok sisältää solmun, polun P j nuolen ā. Jos syklissä C polun pituus solmust r solmuun on x, niin syklin C pituus on d+x+1. Jos syklissä C polun pituus solmust s solmuun r on y, niin syklin C pituus on x+y +1. Grfiss on muuten smt syklit kuin grfiss, mutt sykli C on korvttu syklillä C. Grfi on vlittu niin, että x + y + 1 d + x + 1, eli y d. Jos y > d, niin grfiss solmun s syvyys on y d+1. Nyt kikki mksimlist syvyyttä olevt solmut ovt puuss, jok sisältää solmun s. Jäljelle jää tpus y = d. Tällöin grfiss on mksimlinen määrä solmuj sykleillä j solmut s j ovt smss rooliss kuin solmut p j c grfiss. Kosk solmust c lähtevät nuolet muodostvt kimpun, niin solmust lähtevät nuolet eivät muodost kimppu, joten grfiin voidn sovelt tpust 1. Lemm Olkoon Γ primitiivinen grfi, joss on vähintään kksi solmu j jonk jossin virittävässä grfiss kikki mksimlist syvyyttä olevt solmut ovt smss puuss. Olkoon lisäksi A = (Q, Σ, ) grfist Γ muodostettu utomtti, jonk kikki grfiin kuuluvt nuolet on merkitty smll kirjimell Σ. Tällöin utomtill A on epätrivili stiili tilpri. Todistus. Olkoon C Q niiden solmujen joukko, jotk kuuluvt johonkin sykliin grfiss j N niiden solmujen joukko, jotk ovt mksimlist syvyyttä d. Olkoon lisäksi K jokin klikki, joss on mksimlinen määrä lkioit. Kosk A on vhvsti yhtenäinen utomtti, on olemss sellinen sn w, että klikki K = K w sisältää jonkin solmun joukost N. Kosk kikki joukon N lkiot ovt smss grfin puuss, niin N d = 1. Kosk klikissä ei voi tphtu synkronistiot, niin K N = 1. Tästä seur, että (K d 1 ) \ C = 1; merkitään S = K d 1. Olkoon m positiivinen kokonisluku, jok on grfin kikkien syklien pituuksien monikert. Klikkien S j T = S m yhteiset lkiot ovt trklleen joukon S C lkiot. Kosk S \ C = 1, niin S \ T = 1. Klikissä S on mksimlinen määrä lkioit, joten lemmn 5.9 nojll utomtill on epätrivili stiili tilpri. Luse Jos Γ on primitiivinen grfi, joss on vähintään kksi solmu, niin sillä on väritys, joss on epätrivili stiili tilpri. Todistus. Jos grfiss Γ on solmut u j v, joist lähtee kimput smn solmuun, niin solmut u j v muodostvt stiilin tilprin kikiss värityksissä. Voidn siis olett, että Γ toteutt lemmn 5.13 ehdot j että on virittävä grfi, joss kikki mksimlist syvyyttä olevt solmut ovt smss puuss. Nyt väite seur edellisestä lemmst. 34

38 q 0 Kuv 11: Grfi, jonk syklien pituudet ovt, 3 j 4. Tämä luse yhdessä luseen 5.7 knss todist tienväritysluseen. Esimerkki Olkoon 1,..., t N (t > 1) lukuj, joiden suurin yhteinen tekijä on 1. Joukon { 1,..., t } Froeniuksen luvuksi kutsutn luku F( 1,..., t ) = mx{n N k k t t n kikill k 1,..., k t N {0}}, jok toisin snoen on suurin luku, jot ei void esittää lukujen 1,..., t epänegtiivisten monikertojen summn. Tällisen luvun olemssololle on olemss lkeislukuteoreettinen todistus. Esitetään nyt vihtoehtoinen todistus luvun F(, 3, 4) olemssololle, joss sovelletn tienvärityslusett. Tähän tpukseen rjoitutn hvinnollisuuden vuoksi, mutt sm todistust voidn sovelt myös yleiseen tpukseen. Muodostetn primitiivinen grfi Γ, jonk syklien pituudet ovt, 3 j 4, kuten kuvss 11. Kosk grfin syklien pituuksien suurin yhteinen tekijä on 1, niin tienväritysluseen nojll sillä on synkronisoiv väritys A = (Q, Σ, ). Olkoon q 0 utomtin "keskustil"(ks. kuv) j w sellinen synkronisoiv sn, että Q w = q 0. Kikill snoill u Σ myös uw on synkronisoiv sn j Q uw = q 0. Erityisesti q 0 uw = q 0 kikill u Σ j snn uw määräämä tilst q 0 lähtevä polku voidn muodost yhdistämällä syklejä, joiden pituus on, 3 ti 4. Siis polun pituus uw voidn esittää lukujen, 3 j 4 epänegtiivisten monikertojen summn j F(, 3, 4) < w. 35

39 6 Hyridikonjektuuri Nyt kun tiedetään, että jokisell primitiivisellä grfill on synkronisoiv väritys, niin voidn Černýn konjektuurin hengessä kysyä, kuink lyhyeksi lyhin synkronisoiv sn voidn sd, kun grfin väritys vlitn sopivsti. Tähän kysymykseen liittyen on lähteessä [] esitetty seurv ns. hyridikonjektuuri. Käytetään merkintää Π kikkien primitiivisten grfien joukost j merkintää Π n kikkien n solmu sisältävien primitiivisten grfien joukost. Määritelmä 6.1. Jos Γ Π, niin käytetään merkintää H(Γ) lyhimmän sellisen snn pituudest, jok synkronisoi jonkin grfin Γ värityksen. Määritelmä ljennetn kikille Λ Π seurvsti: H(Λ) = mx{h(γ) Γ Λ} (jos olemss). Tpuksess Λ = Π n merkitään H(Λ) = H(n). Konjektuuri 6. (Hyridikonjektuuri). Kikill kokonisluvuill n > 1 on H(n) = n 3n + 3. Huomttv on, että vikk Černýn konjektuuri j hyridikonjektuuri ovt hyvin smntpisi, niin kumpikn ei välittömästi seur toisest (vikkkin trivilisti H(n) C(n)). Esitetään lähteen [] todistus sille, että konjektuuri ei voi tiukent. Luse 6.3. Kun n > 1, niin H(n) n 3n + 3. Todistus. Luseen 4.4 mukn kuvn 6 utomtin lyhin synkronisoiv sn on pituudeltn n 3n + 3. Väite seur siitä, että selvästi kyseiseen utomttiin liittyvän grfin kikki mhdolliset väritykset ovt olennisesti smnliset. 6.1 Eulerin grfit Olkoon O n niiden grfien Γ Π n joukko, missä jokiseen solmuun tulee yhtä mont nuolt. Kutsutn tällisi grfej jtkoss Eulerin grfeiksi. Selvästi Eulerin grfien kikki väritykset ovt Eulerin utomttej. Seurv tulos seur suorn luseest 4.0. Luse 6.4. Kikill n N on H(O n ) n 3n + 3. Englnninkielisessä kirjllisuudess ongelmst on käytetty kuvv, mutt epäkäytännöllisen pitkää nimitystä Hyrid Černý-Rod coloring prolem. 36

40 Kuv 1: Automtit E 7, E 8 j E 10. Hyridikonjektuuri siis pätee Eulerin grfien oslt. Ei kuitenkn tiedetä, kuink pljon ylärj n 3n+3 voidn prnt. Yritetään seurvksi rvioid luku H(O n ) lhltpäin. Määritellään jokisell luonnollisell luvull n 3 utomtti E n = (Q, Σ, ), missä Q = {1,,..., n}, Σ = {, } sekä q = { 1 kun q { n+1, n} q + 1 muulloin jos n on priton, { 1 kun q { n+ q =, n} q + 1 muulloin jos n on neljällä jollinen j { 1 kun q { n+4 q =, n} q + 1 muulloin j q = j q = j q = { n kun q = n q + 1 muulloin { n+ + 1 kun q = n q + 1 muulloin { n kun q = n q + 1 muulloin jos n on prillinen luku, jok ei ole neljällä jollinen (ks. kuv 1). Lemm 6.5. Kun n 3 on priton, niin C(E n ) = (n 1)

41 Todistus. Voidn helposti todet, että ( n 1 1 ) n 1 on synkronisoiv sn, jonk pituus on (n 1) + 1. Vielä on osoitettv, että lyhyempiä synkronisoivi snoj ei ole. Kosk synkronisoiv sn pysyy synkronisoivn, jos sen 4 loppuun lisätään kirjimi, niin riittää osoitt, että ei ole olemss synkronisoiv sn, jonk pituus on (n 1). Tämä on helppo trkist tpuksess 4 n = 3, joten voidn rjoittu tpukseen n 5. Tehdään vstoletus, että wd on pituutt (n 1) olev synkronisoiv sn, 4 missä w Σ j d Σ. Selvästi Q w = { n+1, n}, joten w j w ovt molemmt synkronisoivi snoj. Kirjin d voidn siis vlit niin, että wd = udvd, missä u, v Σ j u = n+1 1. Oletetn ensin, että d =. Tällöin 1 = 1 ud Q ud, j kosk (Q ud) vd = Q wd = { n+1, n} d = 1, niin 1 vd = 1. Automtin E n grfiss on siis pituutt vd = n 4n 1 olev polku solmust 1 siihen itseensä. Tämä polku 4 koostuu pituutt n+1, n 1 j n = n+1 + n 1 olevist sykleistä, joten n 4n 1 4 voidn kirjoitt muodoss k n+1 + l n 1, missä k j l ovt epänegtiivisi kokonislukuj. Tämä on kuitenkin mhdotont Lemmn 4.3 nojll. Oletetn sitten, että d =. Vstvll tvll voidn osoitt, että utomtin E n grfiss on pituutt vd olev polku solmust n+1 +1 siihen itseensä, mikä on mhdotont. Lemm 6.6. Olkoon n 4 prillinen. () Jos n on neljällä jollinen, niin C(E n ) = (n 1) + 1. () Jos n ei ole neljällä jollinen, niin C(E n ) = (n 1) 1. Todistus. Voidn helposti todet, että kun n on neljällä jollinen, niin ( n 1 ) n on synkronisoiv sn, j kun n ei ole neljällä jollinen, niin ( n 4 1 ) n+ on synkronisoiv sn. Se, että lyhyempiä synkronisoivi snoj ei ole, voidn todist kuten edellisessä lemmss. Luse 6.7. Olkoon n 3 luonnollinen luku. Jos n on prillinen mutt ei jollinen neljällä, niin H(O n ) (n 1) 4 1. Muuss tpuksess H(On ) (n 1) Todistus. Automtin E n grfill Γ on kksi olennisesti erilist väritystä; toinen on E n itse j toinen, G n = (Q, Σ, ), sdn utomtist E n vihtmll solmust n lähtevät nuolet keskenään. Automtti G n ei ole synkronisoituv, sillä Q = Q j Q = Q. Luseen väite seur nyt khdest edellisestä lemmst

42 6. Hmiltonin polut Esitetään tässä osioss hyridikonjektuuriin liittyvä tulos rtikkelist [3] primitiivisille grfeille Γ, joiss on ns. Hmiltonin polku. Tässä tpuksess rtikkelin tulos nt luvulle H(Γ) neliöllisen ylärjn, joskin kysymys siitä, onko H(Γ) n 3n + 3, jää voimeksi. Määritelmä 6.8. Grfin polku kutsutn Hmiltonin poluksi, jos polku käy jokisess grfin solmuss trklleen kerrn. Päätuloksen todistmiseksi jtketn iemmin loitettu L-yhtenäisten utomttien trkstelu. Käytetään jtkoss määritelmän 4. merkintöjä ilmn erillistä minint. Käytetään lisäksi jtkoss merkintää M suurimmn joukkoon R sisältyvän synkronisoituvn joukon koost j merkintää L Ω joukon L pisimmän snn pituudest. Lemm 6.9. Olkoon q R mielivltinen. On olemss K R j sellinen sn v {w 1 w w 1 Σ, w L} {ǫ} = Σ L {ǫ}, että K = M, K v = q j v (M 1)(n L Ω ) t ln M, missä n on utomtin tilojen lukumäärä. Todistus. Tpuksess M = 1 voidn vlit v = ǫ, joten oletetn, että M j merkitään K 0 = {q}. Määritellään joukkojen K i ketju induktiivisesti: jos K i < M, niin lemmn 4.31 mukn voidn vlit snt v i Σ j w γi L, joill K i (v i w γi ) 1 R > K i j v i n R \ K i. K i Merkitään K i+1 = K i (v i w γi ) 1 R j olkoon m indeksi, joll K m = M. Vlitsemll K = K m j v = v m 1 w γm 1... v 0 w γ0 Σ L sdn K = M, K v = q j v m 1 i=0 ( n R \ K i K i + L Ω ) M 1 j=1 ( n t j j + L Ω ) M 1 1 = (M 1)(n L Ω ) t j=1 j (M 1)(n L Ω) t ln M. Lemm Jos K on joukon R mksimlinen synkronisoituv osjoukko, niin ei ole stiili pri (p, q) K (R \ K). 39

43 Todistus. Tehdään vstoletus, että stiili pri (p, q) K (R \ K) on olemss j olkoon w joukon K synkronisoiv sn. Kosk (p, q) on stiili pri, niin on olemss sn u, joll p wu = q wu. Nyt (K {q}) wu = K wu q wu = p wu q wu = 1, mikä on ristiriidss joukon K mksimlisuuden knss. Lemm Jos epätyhjän tiljoukon C Q lkiot ovt prittin stiilej, niin on olemss sn u, joll C u = 1 j u (M 1)(n L Ω ) t ln M + L Ω. Todistus. Olkoon K M j v Σ kuten lemmss 6.9. Kosk C on epätyhjä, niin on olemss sn w L, joll C w K. Kosk joukon C lkiot ovt prittin stiilej, niin täytyy oll C w K j siis C wv K v = q jollkin q Q. Siis vlinnll u = wv sdn C u = 1. Lemm 6.1. Olkoon 1 h t/m. On olemss h eri til q 1,..., q h R j sn u Σ L {ǫ}, joill q i u 1 R = M kun 1 i h. Todistus. Todistetn väite induktioll luvun h suhteen. Tpuksess h = 1 väite seur lemmst 6.9. Oletetn seurvksi, että h > 1 j että on olemss tilt q 1,..., q h 1 R j sn u Σ L {ǫ}, joill q i u 1 R = M kun 1 i h 1. Kosk h t/m, niin (h 1)M < t j joukko R \ ( h 1 i=1 q i u 1 ) on epätyhjä. Vlitn tästä joukost jokin lkio q. Lemmn 6.9 nojll on olemss koko M olev joukko K R j sn v Σ L {ǫ}, joill K v = q. Määritellään nyt q h = q u R j u = vu. Kosk q h u 1 {q} j q v 1 K, niin q h u 1 R K j joukon K mksimlisuuden tki tämä sisältyminen on itse siss yhtäsuuruus. Jos ts 1 i h 1, niin q i u 1 R = M j lemmn 4.6 nojll (q i u 1 R) v 1 R = M. Tästä seur, että q i u 1 R = M. Lemm min{ Q w w Σ } = t/m. Todistus. Sovelletn edellistä lemm tpuksess h = t/m j olkoon q i (1 i h) j u kuten lemmss. Joukot q i u 1 R ovt joukon R lkiovierit osjoukkoj, joiss kusskin on M lkiot. Kosk h t/m, niin hm t j joukot q i u 1 R muodostvt joukon R prtition. Tästä seur, että h = t/m. Jos w L on mielivltinen, niin Q wu {q i 1 i h}, eli h min{ Q w w Σ }. Osoitetn nyt, että h = min{ Q w w Σ } tekemällä vstoletus, että Q u < h jollkin snll u. Tällöin on olemss indeksit i j j, joill q i u = q j u. Tästä seur, että (q i u 1 q j u 1 ) R on kertluku M olev synkronisoituv joukko, jonk synkronisoi sn uu, mikä on ristiriidss luvun M vlinnn knss. 40

44 Lemm Olkoon A = (Q, Σ, ) n-tilinen 1-klusteriutomtti, t sen jonkin pääsyklin tilojen lukumäärä j h = min{ Q w w Σ }. Jos C Q on epätyhjä tiljoukko, jonk lkiot ovt prittin stiilej, niin on olemss sellinen sn v, että C v = 1 j v nt h n 1 t ln t h. Todistus. Luseen 4.34 todistuksess nähtiin, että utomtin A riippumttomksi joukoksi voidn vlit L = { n 1, n,..., n t }. Edellisen lemmn mukn M = t/h, joten väite seur suorn lemmst Lemm Olkoon A = (Q, Σ, ) n-tilinen 1-klusteriutomtti, jok ei ole synkronisoituv. Jos C Q on epätyhjä tiljoukko, jonk lkiot ovt prittin stiilej, niin on olemss sellinen sn v, että C v = 1 j v n n 1 n ln n. Todistus. Väite seur edellisestä lemmst, kun osoitetn, että nt h t ln t h n n ln n kun n > 1 j h > 1. Tämä on ekvivlentti epäyhtälön n ln n t ln t h n nt h knss. Aloitetn soveltmll epäyhtälöä ln x x 1: n ln n t ln t h = (n t) ln n + t ln n t + t ln h ( ) ( ) ( ) n n h (n t) 1 + t t 1 + t 1. Todistettvksi jää epäyhtälö ( ) ( ) ( ) n n h (n t) 1 + t t 1 + t 1 n nt h : tämä on ekvivlentti epäyhtälön nt h + th t + nt + n 41

45 knss. Epäyhtälö on voimss tpuksess h 4, sillä tällöin nt/h nt/ j th/ n /. Tpuksess h = epäyhtälö redusoituu muotoon nt nt + n, jok on voimss, sillä t n. Tpuksess h = 3 sdn Tämä on voimss, sillä nt 6 + t n. nt 6 + t n 6 + n n 4 + n 4 n 4 + n 4 = n. Lemm Olkoon Γ vähintään kksi solmu sisältävä primitiivinen grfi, joss on Hmiltonin polku. Grfill Γ on väritys A = (Q, Σ, ), joss on epätrivili stiili tilpri j joss kikki Hmiltonin polun nuolet on merkitty smll kirjimell Σ. Todistus. Oletetn, että Hmiltonin polku käy solmut läpi järjestyksessä q 1, q,..., q n j nnetn solmust q i solmuun q i+1 menevälle nuolelle nimi e i, kun 1 i n 1. Jos solmust q n menee nuoli e n solmuun q q 1, niin nuolet e 1,..., e n muodostvt grfin Γ virittävän grfin, joss mksimlist syvyyttä olevt solmut ovt smss puuss. Tällöin väite seur lemmst Jos puolestn solmust q n menee nuoli e n solmuun q 1, niin nuolet e 1,..., e n muodostvt syklin, jonk pituus on n. Kosk Γ on primitiivinen grfi, niin on solmu, jost lähtevät nuolet eivät muodost kimppu. Rjoituksett voidn olett, että q n on tällinen solmu, joten voidn vlit nuoli e n, jok lähtee solmust q n solmuun q q 1. Tällöin nuolet e 1,..., e n muodostvt grfin Γ virittävän grfin, joss mksimlist syvyyttä olevt solmut ovt smss puuss. Väite seur ts lemmst Lemm Olkoon A = (Q, Σ, ) utomtti, joss on Hmiltonin polku, jonk kikki nuolet on merkitty smll kirjimell Σ. Kikill kongruensseill myös utomtiss A/ on kirjimell merkitty Hmiltonin polku. Todistus. Kongruenssi on kongruenssi myös utomtiss A = (Q, {}, ), missä on kuvuksen rjoittum joukolle Q {}. Tässä utomtiss on myös kirjimell merkitty Hmiltonin polku. Automteiss, 4

46 joiden kkostoss on vin yksi kirjin, on Hmiltonin polku trklleen silloin kun niiden jostkin tilst on polku kikkiin muihin tiloihin. Tästä seur, että myös utomtiss A / on Hmiltonin polku. Kosk utomtti A / sdn poistmll utomtist A/ kikki nuolet, joit ei ole merkitty kirjimell, niin utomtiss A/ on kirjimell merkitty Hmiltonin polku. Luse Jos Γ on primitiivinen grfi, joss on Hmiltonin polku j n > 1 solmu, niin H(Γ) f(n) = n 4n + 1 (n 1) ln n. Todistus. Todistetn väite induktioll solmujen määrän n suhteen. Tpus n = on trivili, joten oletetn jtkoss, että n >. Olkoon A = (Q, Σ, ) lemmn 6.16 mukisell värityksellä grfist Γ stu utomtti. Se on erityisesti 1-klusteriutomtti. Jos se on synkronisoituv, niin väite seur luseest 4.34, joten oletetn jtkoss, että A ei ole synkronisoituv. Trkstelln utomtin A/ = (Q/, Σ, ) grfi Γ. Automtti A ei ole synkronisoituv mutt siinä on epätrivili stiili tilpri, joten 1 < Q/ < n; merkitään Q/ = m. Lemmn 5.6 mukn Γ on primitiivinen grfi j edellisen lemmn mukn siinä on Hmiltonin polku. Induktiooletuksen mukn grfill Γ on synkronisoiv väritys B = (Q/, Σ, ), jonk lyhimmän synkronisoivn snn w pituus on enintään f(m). Lemmn 5.6 todistuksess esitetyllä tvll sdn grfille Γ uusi väritys A = (Q, Σ, ). Joukon C = Q w lkiot kuuluvt smn utomtin A stiilisuusluokkn, joten on olemss sn u, joll C u = 1. Lemmn 5.6 todistuksest nähdään, että on olemss yhtä pitkä sn u, joll Q wu = 1. Jetn todistuksen loppu khteen tpukseen luvun m koon perusteell. Tpus 1. Oletetn, että n < m. Tällöin on olemss sellinen joukko [q] Q/, että [q] = 1. Kosk utomtti A on vhvsti yhtenäinen, niin voidn vlit enintään pituutt m 1 olev sn u, joll C u [q], eli C u = 1. Siis utomtill A on synkronisoiv sn wu, jonk pituus on enintään f(m) + m 1. Differentililskennn välirvoluseen nojll voidn vlit ξ [m, n] niin, että f(n) f(m) = (n m)f (ξ), joten wu f(n) (n m)f (ξ)+m 1. Funktion f(x) ksvunopeudelle trvitn rvio, jonk vull voidn todet, että wu f(n). Väitetään nyt, että f (x) x kun x > 0. Ensiksikin f (x) = 4x 6 ln(x/) + /x, joten väite on ekvivlentti epäyhtälön 3x 6 ln(x/) + /x 0 knss. Kosk ln x x 1 kun x > 0, niin väite seur epäyhtälöstä g(x) = x + /x 4. Funktion g (x) = /x ino nollkoht joukoss x > 0 on x = 1, joten tässä pisteessä on funktion g(x) ino äärirvo. 43

47 Kosk g(1/) = g() = 5 j g(1) = 4, niin äärirvo on lokli minimi j g(x) g(1) = 4, kun x > 0. Kosk f (ξ) ξ m j n m 1, niin wu f(n) m + m 1 = f(n) 1 < f(n). Tpus. Oletetn, että n m. Lemmn 6.15 mukn sn u joll C u = 1 voidn vlit niin, että u n n 1 n ln(n/), jolloin wu f(m) + n n 1 n ln(n/). Kosk f(x) on ksvv kun x > 0 j m n/, niin ( ) n f(n) wu f(n) f ( ) n n + n n ln = n n(1 + ln ) ln 4 = h(n). Funktion h(x) kuvj on ylöspäin ukev preli j se s pienimmän rvons derivtn h (x) = n 1 ln nollkohdss 1 + ln <. Kosk n 3, niin h(n) > h() = 1 > 0 j wu < f(n). 44

48 Lähteet [1] R. L. Adler, L. W. Goodwyn, B. Weiss: Equivlence of topologicl Mrkov shifts. Isrel J. Mth. Vol. 7, s [] D. Annichev, V. Gusev, M. Volkov: Slowly synchronizing utomt nd digrphs. Kirjss Mthemticl Foundtions of Computer Science (toim. P. Hlineny, A. Kucer). Lecture Notes in Computer Science. Vol Springer Berlin Heidelerg, 010. s [3] A. Crpi, F. D Alessndro: Independent sets of words nd the synchroniztion prolem. Advnces in Applied Mthemtics. Vol. 50, 013. s [4] J. Černý: Poznámk k homogénnym eksperimentom s konečnými utomtmi. Mtemticko-fyzikálny Čsopis. Slovenská kdémi vied. Vol. 14, s [5] J. Černý, A. Pirická, B. Rosenuerová: On directle utomt. Kyernetik. No. 4, s [6] K. Culik II, J. Krhumäki, J. Kri: A note on synchronized utomt nd Rod Coloring Prolem. Int. J. Found. Comp. Sci. Vol. 13, 00. s [7] L. Duuc: Sur les utomtes circulires et l conjecture de Černý. RAI- RO Inform. Théor. App. Vol. 3, s [8] P. Frnkl: An extreml prolem for two fmilies of sets. Europen J. Comintorics. Vol. 3, 198. s [9] J. Friedmn: On the rod coloring prolem. Proceedings of the Americn Mthemticl Society. Vol. 110, s [10] V. Gusev: Lower ounds for the length of reset words in Eulerin utomt. Kirjss Rechility Prolems (toim. G. Delznno, I. Potpov). Lecture Notes in Computer Science. Vol Springer Berlin Heidelerg, 011. s [11] J. Kri: Synchronizing finite utomt on Eulerin digrphs. Theoreticl Computer Science. Vol. 95, 003. s [1] J. Kri, M. Volkov: Černý s conjecture nd the rod coloring prolem. Julkistn kirjss Hndook of Automt. Europen Science Foundtion. 45

49 [13] A. A. Klychko, I. K. Rystsov, M. A. Spivk. An extreml comintoril prolem ssocited with the ound of the length of synchronizing word in n utomton. Cyernetics nd System Anlysis. Vol. 3, s Käännetty lehdestä Kiernetik. No., s. 16-0, 5. [14] P. Lncster: Theory of Mtrices. Acdemic Press, [15] P. Norvig, S. Russell: Artificil Intelligence: A Modern Approch (Third Edition). Prentice Hll, 009. [16] J.-É. Pin: On two comintoril prolems rising from utomt theory. Ann. Disc. Mth. Vol. 17, s [17] J.-É. Pin: Sur un cs prticulier de l conjecture de Černý. Kirjss Proc. 5th Colloq. on Automt, Lnguges nd Progrmming (toim. G. Ausiello, C. Böhm). Lecture Notes in Computer Science. Vol. 6. Springer Berlin Heidelerg, s [18] A. Trhtmn: Notle trends concerning the synchroniztion of grphs nd utomt. Electronic Notes Discr. Mth. Vol. 5, 006. s [19] A. Trhtmn: The Rod Coloring Prolem. Isrel J. Mth. Vol. 17, 009. s [0] M. Volkov: Synchronizing utomt preserving chin of prtil orders. Kirjss Implementtion nd Appliction of Automt (toim. J. Holu, J. Zdárek). Lecture Notes in Computer Science. Vol Springer Berlin Heidelerg, 007. s [1] F. Zhng: Mtrix Theory: Bsic Results nd Techniques. Springer New York,