Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Transkriptio

1 Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216

2 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj Välijost Funktiojonoist Riemnn-integrli Drbouxin määritelmä Riemnn-integrlin perusominisuuksi Anlyysin perusluse Epäoleellinen integrli Rjfunktion integroituvuus Riemnn-integrlin epäkohti Riemnn-integroituvien funktioiden joukon pienuus Anlyysin Perusluse Rjfunktion integroituvuus Mittintegrli Nolljoukot, nollfunktiot j poikkeukselliset joukot Sks-Henstockin Lemm Funktion itseisrvon integrli Mittintegrlin päätulokset Anlyysin perusluse Epäoleellinen integrli ntegrli rjoittmttomien välien yli Konvergenssiluseet Tsinen suppeneminen Monotoninen konvergenssi Dominoitu j keskeinen konvergenssi

3 5.4.4 Yhtäintegroituvuus Kirjllisuutt 59 2

4 Johdnto Riemnnin integrli käytetään usein opetuksess, kosk Riemnnin lähestymistp on helppo ymmärtää j sen perusluseet ovt helppoj todist. Menetelmä ei ole kuitenkn trpeeksi tehoks, eikä sen hstvmmt tulokset ole yhtään helpompi todist. On tott, että Riemnnin integrlimenetelmä iknn edisti mtemtikkoj huomttvsti, mutt siitä on jo yli 15 vuott. Mittintegrlin esitti lun perin vuonn 1957 tsekkiläinen mtemtikko Jroslv Kurzweil. Vikk hän ei ntnut yksityiskohtisi oppej integrlist, hän käytti menetelmää omss työssään dierentiliyhtälöiden priss. ntegrlin löysi uudelleen vuonn 1961 englntilinen mtemtikko Rlph Henstock, jok kehitti mittintegrlin perusominisuudet j loi mittintegrlin suppenemisluseet. Trkoituksenni on esitellä tämä suhteellisen uusi integrliteori (tunnetn nimillä "mittintegrli", "yleistetty Riemnn-integrli", j "Henstock- Kurzweil-integrli), jok korj perinteisen Riemnnin integrlin epäkohti j sekä yksinkertist, että ljent Lebesguen integrliteori. Riemnnin integrliss on useit olennisi epäkohti. Phin epäkoht on Riemnn-integroituvien funktioiden joukon pienuus. Rimnn-integrli joudutn ljentmn niin snotuksi "epäoleelliseksi integrliksi", jos jokin piste integroimisvälillä on ongelmllinen ti jos hlutn integroid yli äärettömien välien. Toinen keskeinen ongelm Riemnnin integrliteoriss on että Riemnn-integroituvist funktioist koostuv suppev jono ei välttämättä suppene kohti funktiot, jok on Riemnn-integroituv. Erityisesti epäkoht jok motivoi mtemtikkoj 19-luvun luss oli Anlyysin Perusluseen yleistys. Anlyysin perusluseen mukn x f(t)dt = F (x) F () kikill x [, b], kun F = f. Vlitettvsti luse ei ole voimss Riemnnin eikä Lebesguen integrlille, sillä molemmiss teorioiss vditn oletus, että derivtn F on oltv integroituv. Riemnnin integrliteori ei tk, että jokisell Riemnn-integroituvll funktioll olisi integrlifunktiot ti vikk integrlifunktio olisikin olemss se ei välttämättä ole Riemnn-integroituv. Mittintegrlin määritelmä on vin kevyt muunnelm perinteisestä Riemnnin integrlist j se tuott integrlin, jok sisältää Riemnnin j Lebesguen integrlin erityistpuksin. Kosk menetelmä on hyvin smnlinen Riemnnin integrlin knss, se on teknisesti Lebesguen integrli pljon helpompi. Kuitenkin se on huomttvsti yleisempi, erityisesti se sisältää kikki funktiot, jotk ovt derivttfunktioit j se myös sisältää kik- 3

5 ki "epäoleelliset integrlit". Kosk vin pienellä lisäpnostuksell sdn pljon enemmän, menetelmää voidn pitää erittäin merkittävänä. 4

6 Luku 1 Esitietoj Trkstelln luksi terminologi j työkluj, joit trvitn jtkoss. Tässä työssä käytetään välejä := [, b] R, b. Välin pituus l() sdn lskemll l() := b. Välin pituudelle on oltv voimss l(). Välin pituus l() =, jos j vin jos välin päätepisteet yhtyvät eli jos = b. Lisäksi määritellään, että l( ) =, missä on tyhjä joukko. Olkoon r >. Pisteen x R r-säteinen suljettu ympäristö on suljettu väli B[x; r] := [x r, x + r]. Pisteen x r-säteinen voin ympäristö on voin väli B]x; r[:=]x r, x + r[. 1.1 Välijost Määritelmä 1.1. Olkoon = [, b] väli relilukujoukoss R. Välin välijko eli jko P on sellinen äärellinen joukko suljettuj välin osvälejä { 1,..., n }, että i j =, kun i j j n i=1 i =. Merkitään i :ll osväliä i, jost on poistettu välin päätepisteet. Osväli i on siten muoto i =]x i, x i+1 [. Huomutus 1.2. Osvälit i on in mhdollist järjestää ksvvn järjestykseen siten, että mx i = min i+1, kun i = 1,..., n 1. Jos setetn x := j x i := mx i, kun i = 1,..., n, voimme kirjoitt välit: 1 := [x, x 1 ], 2 := [x 1, x 2 ],..., n := [x n 1, x n ]. Jtkoss välin jko on joukko sisäpisteiltään erillisiä osvälejä, siten että i j = ti äärellinen järjestetty joukko jkopisteitä. 5

7 Määritelmä 1.3. Välin merkitty jko Ṗ = {(t i, i ) : 1 i n} on sellinen järjestettyjen prien äärellinen joukko, että t i i, kun i = 1,..., n j { i : 1 i n} on sellinen välin jko, että n i=1 i =. Joukon Ṗ lkioit i kutsutn joukon Ṗ osväliksi j kutkin lkiot t i kutsutn välin i merkiksi. Määritelmä 1.4. Olkoon Ṗ := {(t i, i )} n i=1 välin = [, b] merkitty jko j olkoon δ >. Snotn, että Ṗ on δ-hieno, jos i [t i δ, t i + δ] kikill i = 1,..., n. Määritelmä 1.5. Väliä R, jok sisältää molemmt päätepisteensä kutsutn rjoitetuksi suljetuksi väliksi ti kompktiksi väliksi. Ljennettu relilukujoukko Lisätään kksi lkiot { } j { } relilukujoukkoon R j merkitään joukko symbolill R = R { } { }. Alkioit {± } ei pidetä relilukuin, joten ljennetn joitin relijoukon opertioit joukkoon R. Olkoon c R. Määritellään: + c = c + = kikill < c. ( ) + c = c + ( ) = kikill c <. Kun c >, niin c = c = j c ( ) = ( ) c =. Kun c <, niin c = c = j c ( ) = ( ) c =. = = j ( ) = ( ) =. Kikill x R on voimss järjestys < x <. Olkoon, b R. Tällöin suljetut välit joukoss R ovt muoto: [, [:= {x R : x}, Vstvsti voimet välit ovt muoto: ], [:= {x R : < x}, ], b] := {y R : y b}. ], b[:= {y R : y < b}. Jos hlutn lisätä lkiot ± näille väleille, määritellään: [, ] := {x R : x }, smll tvll väleille ], ], [, b], [, b[ j [, ] = R. Kikki tämän tyyppisiä välejä kutsutn äärettömiksi väleiksi. Määritellään, että äärettömän välin pituus l() on in. 6

8 1.2 Funktiojonoist Määritelmä 1.6 (Pisteittäinen suppeneminen). Olkoon S R j S. Snotn, että funktiojono (f n ) : S R suppenee pisteittäin joukoss S, jos jokisell joukon S pisteellä x on olemss rj-rvo lim f n(x) = f(x). n Funktiot f kutsutn funktiojonon (f n ) rjfunktioksi. Määritelmä 1.7 (Tsinen suppeneminen). Olkoon f n : S R, n = 1,.... Jonon (f n ) snotn suppenevn tsisesti joukoss S kohti funktiot f, jos kikill ɛ > on olemss sellinen luku K ɛ N, että jos k K ɛ, niin f k (x) f(x) ɛ in, kun x S. Määritelmä 1.8. Jono (f n ) on tsisesti rjoitettu joukoss S, jos on olemss sellinen vkio M >, että f n (x) M kikill x S j kikill n. Määritelmä 1.9. Jono (f n ) : R on ksvv välillä, jos Jono (f n ) on vähenevä välillä, jos f k (x) f k+1 (x) kikill x, k N. f k (x) f k+1 (x) kikill x, k N. Jono snotn monotoniseksi välillä, jos se on joko ksvv ti vähenevä välillä. Cuchyn suppenemiskriteeri nt menetelmän relilukujonon suppenemisen osoittmiseen ilmn, että tiedetään jonon rj-rvo. Määritelmä 1.1. Relilukujono (x n ) snotn Cuchyn jonoksi, jos jokist ɛ > kohti on olemss sellinen n ɛ Z, että x n x m < ɛ in, kun n, m n ɛ. Luse 1.11 (Cuchyn suppenemiskriteeri). Relilukujono (x n ) suppenee, jos j vin jos (x n ) on Cuchyn jono. Todistus. (Ks. [6, s.86]) Määritelmä Olkoon (f n ) funktiojono relilukujoukoss R. Snotn, että srj f n suppenee itseisesti, jos srj f n suppenee joukoss R. 7

9 Luku 2 Riemnn-integrli Mtemttisen nlyysin keskeisimpiä ongelmi on käyrän lpuolelle jäävän pint-ln rvioiminen. Positiivisen funktion f j x-kselin väliin jäävän pint-ln rvioimiseksi välillä [, b] jetn väli [, b] osväleihin i = [x i 1, x i ], joit on äärellinen määrä n. Kun osvälin i pituus on l( i ) = x i x i 1 j t i on jokin piste välillä i, summ n i=1 f(t i)l( i ) voidn pitää likirvon, sillä se on pint-l suorkulmioist, joiden kntn on osvälit i j korkeus on f(t i ). Kuv 2.1: Riemnnin summ, t i = x i 1. Määritellään ensin Riemnn-integrli. Riemnnin integrli on sm kuin lukioss opetettu integrli j käytetty myös useiss sovelluksiss. Määritelmä 2.1. Olkoon funktio f määritelty välillä := [, b] R j olkoot funktion rvot joukoss R. Merkitään f : R. Olkoon Ṗ = {(t i, i ) : 1 i n} mikä thns välin merkitty jko. Tällöin summ n S(f; Ṗ) := i=1 8 f(t i )l( i )

10 kutsutn funktion f jko Ṗ vstvksi Riemnnin summksi. Kun i = [x i 1, x i ] j i = 1,..., n, niin Riemnnin summ tulee muotoon S(f; Ṗ) = n f(t i )(x i x i 1 ). i=1 Kun f, niin Riemnnin summ on likirvo lueen pint-llle, jok jää funktion f j x-kselin väliin. Jon hienouden mittn on nnettujen osvälien i mksimipituus. Määritelmä 2.2 (Riemnn-integrli). Funktio f : [, b] R on Riemnnintegroituv välillä [, b], jos on olemss sellinen luku A R, että kikill ɛ > on olemss sellinen δ ɛ >, että jos Ṗ on mikä thns merkitty δ ɛ -hieno jko, niin S(f; Ṗ) A < ɛ. Luku A snotn funktion f integrliksi välin yli j merkitään b f. Riemnn-integrlist käytetään jtkoss myös lyhennettä R-integrli. Merkitään jtkoss kikkien välin Riemnn-integroituvien funktioiden joukko symbolill R(). Funktion f Riemnn-integrli välillä sdn siis Riemnnin summn rj-rvon, kun jkovälejä hienonnetn. Kosk osvälejä kontrolloi luku δ, osvälien i pituudet ovt ovt pienempiä ti yhtäsuuri kuin jokin vkio 2δ. Esimerkki 2.3. Määritellään funktio g : [, 3] R, niin että { 2, kun x 1 g(x) := 3, kun 1 < x 3. Olkoon Ṗ välin [, 3] δ-hieno jko. Olkoon Ṗ1 sellinen jon Ṗ osjoukko, jonk merkit on välillä [, 1], joll g(x) = 2. Lisäksi olkoon Ṗ2 sellinen jon Ṗ osjoukko, jonk merkit on välillä ]1, 3], joll g(x) = 3. Selvästi sdn, että S(g; Ṗ) = S(g; Ṗ1) + S(g; Ṗ2). (2.1) Olkoon U 1 välijon Ṗ1 osvälien yhdiste, tällöin [, 1 δ] U 1 [, 1 + δ]. Kosk g(t k ) = 2 välijon Ṗ1 merkeissä, sdn 2(1 δ) S(g; Ṗ1) 2(1 + δ). 9

11 Smoin olkoon U 2 välijon Ṗ2 osvälien yhdiste, jok tällöin kuuluu välille [1 + δ, 3], jonk pituus on 2 δ, j jok kuuluu välille [1 δ, 3], jonk pituus on 2 + δ. Näin ollen 3(2 δ) S(g; Ṗ2) 3(2 + δ). Kun lisätään nämä epäyhtälöt yhtälöön (2.1), sdn mistä seur, että 8 5δ S(g; Ṗ) = S(g; Ṗ1) + S(g; Ṗ2) 8 + 5δ, S(g; Ṗ) 8 5δ. Viimeinen termi sdn < ɛ, kun vlitn δ ɛ < ɛ/5. Kosk ɛ on mielivltinen, niin g R([, 3]) j 3 g = 8. Funktion muuttminen toiseksi funktioksi äärellisessä pistejoukoss ei vikut funktion integroituvuuteen eikä sen integrlin rvoon. Luse 2.4. Jos g R() j jos f(x) = g(x) muull pitsi äärellisessä pistejoukoss välillä, niin f R() j f = g. Todistus. (Ks. [6, s.21]) Seurv lusett voidn käyttää funktioiden R-integroituvuuden osoittmiseen. Tulos on hyödyllinen, kosk integrlin rvo ei trvitse tietää. Luse 2.5 (Cuchyn kriteeri). Funktio f : R on Riemnn-integroituv, jos j vin jos kikill ɛ > on olemss sellinen η ɛ >, että jos Ṗ = {(t i, [x i 1, x i ])} n 1 j Q = {(s i, [x j 1, x j ])} n 1 ovt mitä thns välin η ɛ - hienoj merkittyjä jkoj, niin Todistus. (Ks. [6, s.28]) S(f; Ṗ) S(f; Q) ɛ. Käsite melkein kikkill, jot käytetään seurvss Luseess, määritellään luvuss 4. Luse 2.6. Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin jos se on jtkuv melkein kikkill. Todistus. (Ks. [6, s.362]) 1

12 2.1 Drbouxin määritelmä Drbouxin integrlimenetelmä on teknisesti helpompi, kosk sillä vältetään monimutkiset äärettömän monet merkkivlinnt. Drbouxin j Riemnnin integrlit ovt yhtäpitäviä suljetuill j rjoitetuill väleillä. Määritelmä 2.7. Olkoon f : R rjoitettu funktio välillä = [, b] j olkoon P = { 1,..., n } välin jko. Kun k = 1,..., n, olkoon m k := inf {f(x) : x [x k 1, x k ]}, j M k := sup {f(x) : x [x k 1, x k ]}. Määritellään välijko P vstv funktion f lsumm L(f; P) := n m k (x k x k 1 ), k=1 j yläsumm U(f; P) := n M k (x k x k 1 ). k=1 Jos f on positiivinen funktio, niin lsumm L(f; P) on pint-l jok muodostuu suorkulmioist, joiden kntn on väli [x k 1, x k ] j korkeus on m k. Vstvsti yläsumm U(f; P) muodostuu suorkulmioist joiden kntn on [x k 1, x k ] j korkeus on M k. Merkitään kikkien välin välijkojen joukko symbolill P(). Määritelmä 2.8. Olkoon := [, b] j olkoon f : R rjoitettu funktio. Funktion f lintegrli yli välin on luku L(f) := sup {L(f; P) : P P()}, j funktion f yläintegrli yli välin on luku U(f) := inf {U(f; P) : P P()}. Jos on suljettu, rjoitettu väli j funktio f : R on rjoitettu, niin lintegrli L(f) j yläintegrli U(f) ovt in olemss. Määritelmä 2.9. Olkoon := [, b] j olkoon f : R rjoitettu funktio. Tällöin funktio f on Drboux-integroituv välillä, jos L(f) = U(f). Tässä tpuksess funktion f Drbouxin integrlin rvo yli välin on luku L(f) = U(f). 11

13 Esimerkki 2.1. Määritellään funktio g välillä [, 3] niin, että g(x) := 2, kun x 1 j g(x) := 3, kun 1 < x 3, kuten Esimerkissä 2.3. Olkoon ɛ >. Kun määrätään välijko P ɛ := (, 1, 1 + ɛ, 3), niin sdn yläsumm U(g; P ɛ ) = 2 (1 ) + 3(1 + ɛ 1) + 3(2 ɛ) = 2 + 3ɛ + 6 3ɛ = 8. Tällöin yläintegrlille on voimss U(g) 8. Vstvsti sdn lsumm L(g; P ɛ ) = 2 + 2ɛ + 3(2 ɛ) = 8 ɛ, joten lintegrlille on voimss L(g) 8. Tällöin sdn, että 8 L(g) U(g) 8, jost seur, että L(g) = U(g) = 8. Näin ollen funktion g Drbouxin integrlin rvo yli välin [, 3] on 8. Luse Funktio f välillä := [, b] on Drboux-integroituv, jos j vin jos se on Riemnn-integroituv. Todistus. (Ks. [6, s.232]) 2.2 Riemnn-integrlin perusominisuuksi Esittelen seurvksi tärkeimpiä Riemnn-integrlin perusominisuuksi. Ominisuudet ovt muodollisesti smt myös mittintegrlille, joten niiden todistuksetkin erovt vin kevyesti. Jätän todistukset pois tutkielmstni, mutt Riemnn-integrlille ne löytyvät esimerkiksi teoksest [6] j mittintegrlille [2]. Luse 2.12 (Additiivisuus). Jos f j g R(), niin niiden summ f + g R() j (f + g) = f + g. Luse 2.13 (Homogeenisuus). Jos f R() j c R, niin cf R() j cf = c f. Luse Jos f R() j f(x) kikill x, niin f. Seurus 2.15 (Epäyhtälön säilyminen). Jos f, g R() j f(x) g(x) kikill x, niin f g. 12

14 Seurus Jos f R() j jos m, M ovt sellisi lukuj, että m f(x) M kikill x := [, b], niin m(b ) b f M(b ). Seurus Jos f on Riemnn-integroituv välillä, niin funktio f on myös Riemnn-integroituv j f f. Huomutus Mittintegrlin tpuksess Seurksess 2.17, täytyy lisäksi olett, että myös f on mittintegroituv, sillä funktion f mittintegroituvuudest ei seur, että myös funktio f on mittintegroituv. ntegrli välien funktion Jos funktio on Riemnn-integroituv yli välin, se on myös Riemnn-integroituv yli minkä thns osvälin väliltä. Lisäksi integrli on dditiivinen seurvn Luseen nojll. Luse Olkoon f : [, b] R j olkoon c ], b[. Tällöin f R([, b]) jos j vin jos sen rjoittumt väleille [, c] j [c, b] ovt molemmt Riemnnintegroituvi. Tässä tpuksess b f = c Seurus 2.2. Jos f R([, b]) j jos [c, d] [, b] niin funktion f rjoittum välille [c, d] on R-integroituv. Seurus Jos f R([, b]) j jos = c < c 1 <... < c n = b, niin funktion f rjoittumt kikille osväleille [c i 1, c i ] ovt R-integroituvi j f + b c f. b f = n i=1 ci c i 1 f. Jos f R ([, b]) j α, β [, b], α < β, niin määritellään, että β α f on funktion f rjoittumn integrli osvälille [α, β]. Seurvksi määritellään integrlin myös mielivltisille pisteille α, β [, b]. Määritelmä Jos f R([, b]) j α, β [, b], α < β määritellään α f := β β α f j α α f :=. 13

15 Luse Jos f R([, b]) j jos α, β, γ ovt mitä thns lukuj väliltä [, b], niin β α f = γ α siinä mielessä, että jos mitkä thns kksi ylläolevst integrlist on olemss, niin siitä seur että myös kolms integrli on olemss j yhtäsuuruus on voimss. f + β γ f, 2.3 Anlyysin perusluse Anlyysin perusluse yhdistää derivoinnin j integroinnin peruskäsitteet j osoitt, että ne ovt pääsillisesti toistens käänteistoimituksi. Anlyysin perusluse voidn jk krkesti khteen osn: derivtn integrliin j integrlin derivttn. Käsittelen tässä derivtn integrlin. Menetelmän vull pystytään käytännössä lskemn integrlien rvoj, sillä pelkän määritelmän vull integrlin rvon määrittäminen on yleensä hnkl. Anlyysin perusluse väittää, että F (b) F () = Kv kutsutn Newton-Leibnizin kvksi j sen pikknspitävyys riippuu integrlin käsitteestä, jot käytetään. Huomutus Anlyysin perusluse Riemnnin integrlille sllii joitin poikkeuksellisi pisteitä c E, joiss F (c) ei ole olemss ti F (c) f(c). Määritellään poikkeuksellisen joukon käsite Luvuss 4. Luse 2.25 (Anlyysin perusluse). Oletetn, että on olemss sellinen numeroituv poikkeuksellinen joukko E välillä [, b] j selliset funktiot f, F : [, b] R, että 1. F on jtkuv välillä [, b], 2. F (x) = f(x) kikill x [, b] \ E, 3. f R([, b]). b F. Tällöin Todistus. (Ks. [6, s.216]) b F = F (b) F (). 14

16 Huomutus ntegrlifunktiot F kutsutn myös funktion f primitiiviksi. Trkemmin snottun F on funktion f primitiivi välillä [, b], jos F on jtkuv välillä [, b] j F (x) = f(x) kikill x ], b[. Anlyysin perusluse nt mhdollisuuden Riemnnin määrätyn integrlin lskemiseen, kun integroitv funktio on jonkun tunnetun funktion derivtt. Esimerkki Määrätään integrli π sin xdx. Kosk D x ( cos x) = sin x kikill x R, niin funktio F (x) = cos x on funktion f(x) = sin x integrlifunktio. Kosk f(x) on jtkuv, niin Anlyysin perusluseen 2.25 nojll π sin xdx = cos π + cos = ( 1) + 1 = Epäoleellinen integrli Jos funktio f ei ole rjoitettu ti se heilhtelee pljon jonkin pisteen ympäristössä, niin f ei ole Riemnn-integroituv. Tällöin integrli voidn rvioid niin snottun Riemnnin epäoleellisen integrlin. Luse Jos f on R-integroituv välillä [, b], niin f on rjoitettu välillä [, b]. Todistus. (Ks. [6, s.25]) Määritelmä Olkoon funktio f rjoittmton ti erittäin heilhtelev jossin pisteen c [, b] ympäristössä. Määritellään Riemnnin epäoleellinen integrli settmll b f := lim α c α f + lim β c + Mikäli rj-rvo on äärellisenä olemss, niin snotn, että epäoleelliset integrlit c f j b f suppenevt. c Esimerkki 2.3. Funktio f = 1 x, kun x ], 1] j f() =, ei ole Riemnnintegroituv välillä [, 1], kosk se ei ole rjoitettu pisteessä. ntegrli voidn lske yli välin [, 1] rj-rvon: 1 1 x dx = lim + 1 b β f. 1 x dx = lim + (2 2 ) = 2. 15

17 Kuv 2.2: Funktion f(x) = 1 x kuvj. 2.5 Rjfunktion integroituvuus Useiss mtemttisiss ongelmiss rj-rvon j integrlin järjestystä pitää viht. Tällöin on hyödyllistä tietää, onko rjfunktio Riemnn-integroituv j onko rjfunktion integrli yli välin sm kuin funktion f n välin integrlin rj-rvo, eli päteekö f n = lim f n. n lim n Merkittävä tsisesti suppenevn funktiojonon ominisuus on, että rjrvon muodostmisen j integroimisen järjestys voidn viht. Luse Olkoon (f n ) jono R-integroituvi funktioit. Jos (f n ) suppenee tsisesti kohti funktiot f välillä := [, b], niin rjfunktio f R() j lim f n = lim f n. n n Todistus. (Ks. [3, s. 16]) Esimerkki Olkoot f(x) = e x j f n (x) = e x+ 1 n x2. Tällöin f n f tsisesti välillä [, 1], kosk sup f n (x) f(x) = sup e x e 1 n x2 1 e e 1 n 1, kun n. x [,1] x [,1] Luseen 2.31 perusteell lim n 1 f n (x)dx = 1 e x dx = e 1. 16

18 Tsisen suppenemisen oletukset ovt erittäin tiukkoj, mikä rjoitt tuloksen käytettävyyttä. Esitän seurvksi tuloksen, jok ei vdi funktioiden tsist suppenemist, mutt rjfunktion on oltv R-integroituv. Luse 2.33 (Arzelàn dominoidun konvergenssin luse). Olkoon (f n ) tsisesti rjoitettu R-integroituvien funktioiden jono jok suppenee välillä := [, b] kohti funktiot f R(). Tällöin on voimss Todistus. (Ks. [3, s. 18]) lim n f n = Esimerkki Olkoon f n (x) = x n, kun x 1. Rjfunktio on f(x) =, kun x [, 1[ j f(1) = 1. Kosk kyseessä on jtkuvien funktioiden f n R() jono epäjtkuvll rj-rvoll, suppeneminen ei ole tsist. ntegrlien jonon rj-rvo on 1 f n (x)dx = 1 x n dx = 1 n Joten lim n f n(x)dx = 1 f(x)dx =. f. kun n. Kuv 2.3: Funktioiden f n (x) = x n, kun x 1 j n =, 1, 2,..., 9 kuvjt. 17

19 Luku 3 Riemnn-integrlin epäkohti Trkstelln Riemnnin integrliteorin epäkohti esimerkein. 3.1 Riemnn-integroituvien funktioiden joukon pienuus Suurin epäkoht Riemnnin integrliss on R-integroituvien funktioiden joukon pienuus. Jos funktio on jollin välillä rjoittmton (ti jos integroimisväli ulottuu äärettömyyteen) ti funktion rvot heilhtelevt pljon jonkin pisteen ympäristössä, funktio ei välttämättä ole integroituv. Esimerkki 3.1. Olkoon funktio { 2x sin 1 2 x f(x) = cos 1, kun x, 2 x x 2, kun x =. Osoitetn, että funktio f ei ole Riemnn-integroituv millään välillä, jok sisältää luvun. Luvuill x k = 1/ (1 + 2k)π, missä k = 1, 2,..., sdn f(x k ) =2x k sin 1 2 cos 1 x 2 k x k x 2 k =(2/ ( ) 1 (1 + 2k)π) sin (1/ (1 + 2k)π) 2 2 ( ) 1 (1 + 2k)π cos (1/ (1 + 2k)π) 2 = 2 (1 + 2k)π ( 1) = 2 (1 + 2k)π. 18

20 Luvun k ksvess myös f(x k ) ksv, joten funktio ei ole rjoitettu millään välillä [, h), kun h >. Tällöin funktio f ei ole myöskään Riemnnintegroituv millään välillä, jok sisältää luvun. Kuv 3.1: Funktion f(x) = 2x sin 1 x 2 2 x cos 1 x 2 kuvj. Esimerkki 3.2 (Dirichletin funktio). Olkoon { 1, kun x [, 1], x Q f(x) =, kun x [, 1], x R \ Q. Olkoon ɛ := 1. Jos Ṗ on mikä thns välin [, 1] jko, jonk merkit ovt 2 rtionlilukuj, niin S(f; Ṗ) = 1 j jos Q on mikä thns välin [, 1] jko, jonk merkit ovt irrtionlilukuj, niin S(f; Ṗ) =. Kosk molemmt jot voidn tehdä mielivltisen lyhyillä välijoill, Cuchyn kriteerin 2.5 nojll funktio ei ole Riemnn-integroituv. Esimerkki 3.3. Epäoleellinen integrli sin x, jok tunnetn myös Dirichletin integrlin, ei ole olemss Riemnnin integrlille. x nπ sin x n kπ π x dx = sin x n kπ sin x dx k=2 (k 1)π x k=2 (k 1)π kπ dx n 1 kπ n 2 sin x dx = kπ kπ = 2 n 1 π k, k=2 (k 1)π k=2 kun n, sillä hrmoninen srj hjntuu. Näin ollen myös epäoleellinen integrli sin x x dx hjntuu, joten Seuruksen 2.17 nojll funktioll ei ole epäoleellist R-integrli. sin x x 19 k=2

21 Kuv 3.2: Funktion f(x) = sin x x kuvj. 3.2 Anlyysin Perusluse Vikk funktio F olisi derivoituv jok pisteessä välillä [, b], funktio F ei välttämättä ole Riemnn-integroituv välillä [, b]. Esimerkki 3.4. Olkoon funktio {, kun t = F (t) = t 2 cos (π/t 2 ), kun < t 1. Tällöin F (t) = {, kun t = 2t cos (π/t 2 ) + (2π/t) sin (π/t 2 ), kun < t 1. Funktio F ei ole rjoitettu välillä [, 1], joten se ei ole Riemnn-integroituv välillä [, 1], joten Anlyysin peruslusett 2.25 ei voi sovelt. Esimerkki 3.5. Jos F (x) := 2 x, kun x [, b], niin F on jtkuv välillä [, b] j F (x) = 1/ x, kun x ], b]. Kosk funktio f := F ei ole rjoitettu välillä ], b], se ei ole R-integroituv välillä [, b]. Näin ollen Anlyysin peruslusett 2.25 ei voi sovelt. 3.3 Rjfunktion integroituvuus Suurin os funktioist, joit käsitellään koulumtemtiikss, on joko (ploittin) monotonisi ti (ploittin) jtkuvi. Jok tpuksess ne ovt yleensä 2

22 Kuv 3.3: Funktion f(t) = 2t cos (π/t 2 ) + (2π/t) sin (π/t 2 ) kuvj. Riemnn-integroituvi. Kuitenkin jop suhteellisen lkeellisiss mtemttisiss sovelluksiss on välttämätöntä trkstell funktiojonojen ti srjojen rj-rvoj j nämä rj-rvolusekkeet tuottvt usein vielä monimutkisempi funktioit. Riemnn-integroituvien funktioiden jonon (f k ) rjfunktio ei välttämättä ole Riemnn-integroituv. Sen lisäksi vikk rjfunktio olisikin Riemnn-integroituv, sen Riemnn-integrlin rvo ei välttämättä ole sm kuin integrlien ( f k) jonon rj-rvo. Esimerkki 3.6. Olkoon Q 1 := {r 1,..., r k } rtionlilukujen luetelm väliltä [, 1]. Olkoon f k (x) := 1, kun x = r 1,..., r k j f k = muulloin. Tällöin jono (f k ) suppenee jok pisteessä kohti Dirichletin epäjtkuv funktiot f(x) := 1, kun x Q 1 j f(x) := muulloin. Vikk kikki funktiot f k ovt R-integroituvi integrlill, rjfunktio ei ole R-integroituv, joten Arzelàn lusett ei void käyttää. Selvästi jono (f n ) ei myöskään ole tsisesti suppenev, kosk f / R(). Ylläolev esimerkki osoitt, että Riemnn-integroituvuus ei käyttäydy hyvin, edes yksinkertisimmisskn rjnkäyntiopertioiss. Esimerkki 3.7. Olkoon g k : [, 1] R, k > 2 määritelty niin, että k 2 x, kun x 1/k, g k (x) := k 2 (x 2/k), kun 1/k < x 2/k,, kun 2/k < x 1. Osoitetn, että jono (g k ) suppenee jok pisteessä välillä [, 1] kohti nollfunktiot g(x) =. Kun x =, g k () = kikill k N. Kun x >, on olemss sellinen luku k x N, että k x 2/x, jolloin g k (x) = kikill 21

23 k k x. Täten rjfunktioksi sdn lim g k (x) = kikill x [, 1]. Kosk kikki funktiot g k ovt jtkuvi, ne ovt R-integroituvi j siten myös rjfunktio on R-integroituv. Kuitenkin Joten 1 1/k 2/k 1 g k dx = g k dx + g k dx + g k dx 1/k 2/k ( 2 = k 2 k 4 2 k 1 2 2k + 2 ) + 1/2 = 1. 2 k 2 lim k 1 g k = 1 1 g = kikill k N. Esimerkissä 3.7 on jtkuvien funktioiden jono, jok suppenee kikiss välin pisteissä kohti jtkuv funktiot. Rjfunktion Riemnn-integrli ei kuitenkn ole sm kuin funktion Riemnn-integrlien jonon rj-rvo. Funktiojono ei ole rjoitettu, sillä sen rvot ksvvt erittäin suureksi pisteessä x = 1, kun k, kosk g k k(1/k) = k 2 1 = k, kun k k. 22

24 Luku 4 Mittintegrli Riemnn-integrlin määritelmä perustuu integrlin oletetun rvon likirvoon Riemnnin summien vull. Yleisesti funktio käyttäytyy eri tvll eri osiss integroimisväliä, joten on luonnollist odott, että jos jotkut jon osvälit on huomttvsti pienempiä kuin toiset, on mhdollist sd prempi likirvo. Mittintegrlimenetelmässä huomio kiinnittyy välien merkkeihin selvästi enemmän kuin Riemnn-integrliss. Välien merkittyjen jkojen Ṗ = {(t i, i )} n i=1 hienoutt voidn hllit vtimll, että jokinen osväli i kuuluu välille B[t i ; δ(t i )] := [t i δ(t i ), t i + δ(t i )], jok riippuu merkistä t i j δ(t) on vkion sijn funktio. Olkoon = [, b], < b j olkoon Ṗ = {(t i, i )} n i=1 välin = [, b] merkitty jko. Määritelmä 4.1. Olkoon := [, b] R. Funktiot δ : R snotn mittfunktioksi ti mitksi välillä, jos δ(t) > kikill t. Väli, jot mittfunktio δ kontrolloi pisteen t ympäristössä, on B[t; δ(t)] := [t δ(t), t + δ(t)]. Otetn seurvksi esimerkkejä välin mittfunktioist, jotk vlisevt teori j ovt myös hyödyllisiä jtkoss. Esimerkki 4.2. () Olkoon δ > positiivinen luku. Tällöin voidn määritellä mitt δ : R settmll δ(t) := δ kikill t. Tällist mittfunktiot kutsutn vkiomitksi. Huomtn, että välijko Ṗ := {(t i, i )} n i=1 on δ-hieno tälle vkiomitlle jos j vin jos i [t i δ, t i + δ] = B[t i ; δ] kikill i = 1,..., n. (b) Olkoot δ 1 j δ 2 välin := [, b] mittfunktioit j kun määritellään δ(t) := min {δ 1 (t), δ 2 (t)}, kun t, 23

25 niin δ on välin mittfunktio. Tämä konstruktio voidn ljent äärelliseen määrään mitä thns välin mittoj. (c) Usein on kätevää vlit mittfunktio δ, jok pkott jonkun tietyn nnetun pisteen merkiksi mille thns δ-hienolle välijolle. Esimerkiksi olkoon := [, 1] j olkoon δ() := 1 j δ(t) := 1 t, kun 4 2 < t 1. Tällöin δ on välin mittfunktio. Olkoon Ṗ välin δ-hieno välijko, tällöin pisteen täytyy kuulu jollekin välijon Ṗ osvälille 1 = [, x 1 ]. Osoitetn, että osvälin 1 merkkinä t 1 täytyy oll. Kosk Ṗ on δ-hieno, niin selvästi on oltv [, x 1 ] [t 1 δ(t 1 ), t 1 +δ(t 1 )], mistä seur, että t 1 δ(t 1 ). (4.1) Nyt jos t 1 >, niin δ(t 1 ) = 1 2 t 1 j t 1 δ(t 1 ) = t t 1 >, mikä on ristiriidss epäyhtälön (4.1) knss. Näin ollen täytyy oll t 1 =. Huomtn, että jotkut pisteet välillä hllitsevt suuri välejä j toiset pisteet hllitsevt erittäin pieniä välejä. Seurvn tuloksen mukn, jos = [, b] R, < b on kompkti väli, j jos δ on mikä thns mittfunktio välillä, niin on olemss välin välijko, joss kukin merkki t i hllitsee vstv osväliä i. Luse 4.3 (Cousinin Luse). Jos δ on mitt välillä = [, b], niin on olemss välin δ-hieno merkitty jko. Todistus. (Ks. [1, s.11]) Mittintegrli f määritellään Riemnnin summn hyvin smn tpn kuin Riemnnin integrli. Summn jon hienoutt hllitsee vkion δ sijn mittfunktio δ(t). Määritelmä 4.4 (Mittintegrli). Funktio f : R on mittintegroituv, jos on olemss sellinen luku B R, että kikill ɛ > on olemss sellinen mitt δ ɛ, että jos Ṗ on mikä thns merkitty δ ɛ-hieno jko, niin S(f; Ṗ) B ɛ. Luku B snotn funktion f integrliksi välin yli j merkitään b f(t)dt = f(t)dt. Merkitään jtkoss kikkien välin mittintegroituvien funktioiden joukko symbolill R (). Mittintegrliss osvälien pituuksien nnetn vihdell enemmän, kunhn väleillä, joss funktion rvot muuttuvt nopesti, on trpeeksi lyhyt pituus. 24

26 Kuv 4.1: Mittintegrlimenetelmä. Esimerkki 4.5. Olkoon f(x) = 1/ x, kun x > j f() =. Kuten esimerkissä 2.3 todettiin, funktio f ei ole Riemnn-integroituv yli välin [, 1]. Osoitetn, että f on mittintegroituv j sen integrli yli välin := [, 1] on 2. Olkoon ɛ >. Trkstelln ensin funktiot luvun lähellä. Kun < x < 1 käytetään funktion f epäoleellist integrli 2 x välillä [, x] funktion f j x-kselin väliin jäävän pint-ln rvioimiseen. Vlitn sellinen mitt δ, että δ(t) ], t[ kikill t ], 1]. Jos Ṗ on välin [, 1] δ-hieno merkitty jko, niin välijon Ṗ osvälin jok sisältää luvun merkkinä on oltv luku. Vlitn mitksi pisteessä : δ() = ɛ 2 /16. Tällöin f()(x 1 ) 2 x 1 = 2 x 1 < 2 ɛ 2 /16 = ɛ/2, in kun [, x 1 ] [ ɛ 2 /16, ɛ 2 /16]. Kun < u < v 1, kuvjn j x-kselin 25

27 välinen pint-l välillä [u, v] on 2 v 2 u j kun u z v, sdn f(z)(v u) (2 v 2 u) = (v u) 1 2 z v + u = v u z( v + u) 2z z v + u v u z( v + u) 2z z z = v u v + u 2 z z v u z = v u z v u z ( v z + u z ) ( v z + z u ) v + z u + z ( v z z + z u ) = z (v u)2 z 2/3. Tämän perusteell määritellään mitt δ(z) = ɛz 3/2 /4, kun z >. Olkoon Ṗ = {(t i, i ) : i n} välin [, 1] δ-hieno jko. Nyt i = [x i, x i+1 ] j = x < x 1 < < x n+1 = 1. Tällöin Riemnnin summss ensimmäinen merkki t = j sdn n S(f; Ṗ) 2 = {f(t i )(x i+1 x i ) 2( x i+1 x i )} i= 2 n x 1 + f(t i )(x i+1 x i ) 2( x i+1 x i ) < ɛ/2 + ɛ/2 + i=1 i=1 n (x i+1 x i ) 2 ɛ/2 + n i=1 t 3/2 i ɛ(x i+1 x i ) 2 = ɛ. n (x i+1 x i ) 2δ(t i ) Seurv tuloksen mukn, jos funktio on Riemnn-integroituv, se on myös mittintegroituv. Luse 4.6. Olkoon := [, b] väli relilukujoukoss j olkoon f : R. Jos f on Riemnn-integroituv yli välin, niin f on myös mittintegroituv yli välin. Todistus. Huomtn välittömästi, että kun vlitn mittfunktioksi vkio mittintegrlin määritelmässä, määritelmä on sm kuin Riemnnin integrliss. 26 i=1 t 3/2 i

28 Trkstelln seurvksi tilnteit, joiss mittfunktio toimii premmin välien jkjn kuin vkio. Mittfunktion vull pystytään sulkemn äärellinen ti numeroituv joukko pisteitä selliseksi välien yhdisteeksi, joll on pieni kokonispituus, jolloin se nt vin pienen osuuden Riemnnin summn. Esimerkki 4.7 (Dirichletin funktio). Osoitetn, että Esimerkin 3.2 Dirichletin funktio on mittintegroituv. Olkoon { 1, kun x [, 1], x Q f(x) =, kun x [, 1], x R \ Q. Funktio f(x) on epäjtkuv jokisess pisteessä. Funktio ei ole Riemnnintegroituv. Osoitetn, että funktio f(x) on mittintegroituv j 1 f =. Olkoon {r k : k N} kikki rtionliluvut väliltä [, 1] j olkoon ɛ > mielivltinen. Määritellään mitt { ɛ/2 k+1, kun t = r k δ ɛ (t) := 1, kun t / Q. Olkoon Ṗ := {(t i, i )} n i=1 δ ɛ -hieno merkitty jko välillä [, 1]. Jos luku t i on irrtionlinen niin f(t i ) =, joten tämä osuus Riemnnin summss on noll. Jos luku t i on rtionlinen, niin f(t i ) = 1. Välin pituus l( i ) = x i x i 1 on pieni, kosk i [t i δ(t i ), t i + δ(t i )] kikill i = 1,..., n. Kun r k on merkkinä välillä i, sdn i [r k δ ɛ (r k ), r k + δ ɛ (r k )], joten l( i ) 2 δ ɛ (r k ) = 2 ɛ/2 k+1 = ɛ/2 k. Siis jokinen r k nt Riemnnin summn korkeintn osuuden ɛ/2 k. Sdn S(f; Ṗ) k=1 ɛ/2k = ɛ. Luku ɛ on mielivltinen, joten Dirichletin funktio f on mittintegroituv j 1 f =. Mittfunktion vull voidn pkott jokin tietty piste merkiksi. Jos jokin tietty piste tekee integroinnist hstvn, voidn hnkluutt hllit pkottmll piste merkiksi. Esimerkki 4.8. Olkoon g(x) := 1/ x, kun x (, 1]. Nyt funktio g(x), kun x. Jott funktio olisi määritelty kikkill välillä [, 1], määritellään g() =. Funktio ei ole R-integroituv, kosk se ei ole rjoitettu. Kun vlitn mittfunktio, kuten Esimerkissä 4.2(c), jok pkott ensimmäiseksi merkiksi pisteen t 1 =, niin ensimmäisen termin osuus Riemnnin summss on. Näin ollen funktio g on jäljellä olevll välillä [x 1, 1] rjoitettu j jtkuv j Esimerkin 4.5 nojll se on mittintegroituv. 27

29 4.1 Nolljoukot, nollfunktiot j poikkeukselliset joukot Nolljoukon j nollfunktion käsitteet ovt jtkoss erittäin tärkeitä. Lisäksi tietyille pienille joukoille hlutn slli poikkeuksellist käyttäytymistä. Määritelmä 4.9. () Joukko Z R snotn nolljoukoksi, jos jokisell ɛ > on olemss sellinen voimien välien numeroituv kokoelm {J k } k=1, että Z j l(j k ) ɛ. k=1 J k (b) Olkoon A R joukko. Funktiot f : A R snotn nollfunktioksi jos joukko {x A : f(x) } on nolljoukko. (c) Olkoon Q(x) luseke pisteelle x j olkoon E. Joukko E on poikkeuksellinen joukko lusekkeelle Q, jos luseke Q on voimss kikill x \ E. (d) Jos joukko E on nolljoukko (c)-kohdss, snotn että Q(x) pätee melkein kikkill joukoss j kirjoitetn: Q(x) pätee m.k. joukoss. (e) Jos joukko E on numeroituv (vstvsti, äärellinen) joukko (c)- kohdss, snotn että Q(x) pätee numeroituvn (vstvsti äärellisen) monell poikkeuksell j kirjoitetn: Q(x) pätee n.p (vstvsti, ä.p) joukoss. Esimerkki 4.1. () Mikä thns nolljoukon osjoukko relilukujoukoss R on nolljoukko. (b) Mikä thns yhden lkion sisältävä joukko {p} on nolljoukko. Tämä nähdään vlitsemll nnetull ɛ > jot J 1 :=]p 1 2 ɛ, p ɛ[ j J 2 = J 3 =... =. (c) Mikä thns numeroituv joukko relilukujoukoss R on nolljoukko. Jos Z := {p 1, p 2,...} on joukon Z luetelm j jos ɛ >, vlitn k=1 J k :=]p k ɛ/2 k+1, p k + ɛ/2 k+1 [ kikill k = 1, 2,.... Kosk l(j k ) = ɛ/2 k sdn k=1 l(j k) ɛ. (d) Numeroituv yhdiste nolljoukkoj on nolljoukko. Olkoon {Z m } m=1 numeroituv kokoelm nolljoukkoj relilukujoukoss R. Olkoon ɛ >, m N j olkoon {J m,k } k=1 numeroituv kokoelm sellisi voimi välejä, että Z m k=1 J m,k j 28 l(j m,k ) k=1 ɛ 2 m.

30 Kokoelm {J m,k } m,k=1 on numeroituv j nähdään selvästi, että Z m,k=1 J m,k j m,k=1 l(j m,k ) ɛ. Voidn osoitt, että kikki nollfunktiot ovt mittintegroituvi j niiden integrlin rvo on noll. Yleisen tpuksen sijn trkstelln esimerkkiä. Esimerkki Olkoon Z mikä thns nolljoukko jok kuuluu välille := [, b] j olkoon ϕ : R nollfunktio, jok on määritelty: { 1, kun x Z ϕ(x) =, kun x \ Z. Osoitetn, että ϕ R () j ϕ =. Olkoon ɛ > j olkoon {J k } k=1 numeroituv kokoelm voimi välejä kuten Määritelmässä 4.9(). Määritellään mitt välille. Olkoon δ ɛ (t) := 1, kun t \ Z j kun t Z olkoon k(t) pienin indeksi k siten että t J k j vlitn sellinen mitt δ ɛ >, että [t δ ɛ (t), t + δ ɛ (t)] J k(t). Nyt olkoon Ṗ := {(t i, i )} n i=1 välin δ ɛ -hieno jko. Jos t i \ Z, niin ϕ(t i ) =, joten termien, joiden merkit kuuluvt joukkoon \ Z, osuus summss S(ϕ; Ṗ) on. Välien i osvälien, joiden merkit kuuluvt välille Z J k, kokonispituus l(j k ) kikill k N. Näin ollen termien, joiden merkit kuuluvt välille J k, summn osuus summss S(ϕ; Ṗ) on l(j k). Sdn epäyhtälö S(ϕ; Ṗ) < l(j k ) ɛ. k=1 Kosk ɛ > on mielivltinen, niin ϕ R () j ϕ =. 4.2 Sks-Henstockin Lemm Seurvksi esittelen yksinkertisen j tehokkn puluseen, jot hyödynnetään lähes kikiss tärkeimmissä mittintegrlin luseiden todistuksiss. Lemmn mukn Riemnnin summt eivät inostn rvioi integrlin likirvo yli koko välin, vn myös yli osvälien yhdisteiden. Smn steinen likirvo on voimss minkä thns osvälien Riemnnin summn j funktion f integrlien summn erolle vstvill väleillä. 29

31 Määritelmä Olkoon := [, b], < b kompkti väli. () Välin osvälijko on joukko {J j } s j=1 suljettuj osvälejä väliltä siten, että Ji Jj =, kun i j. Osvälijkojen yhdiste ei välttämättä muodost koko väliä, eli on mhdollist että s k=1 J k. (b) Välin merkitty osvälijko on järjestettyjen prien Ṗ := {(t j, J j )} s j=1 joukko, jok muodostuu välin osvälijon väleistä {J j } s j=1 j merkeistä t j J j kikill j = 1,..., s. (c) Olkoon δ mitt välillä. Merkitty osvälijko Ṗ on δ-hieno, jos J j [t j + δ(t j ), t j + δ(t j )] kikill j = 1,..., s. (d) Olkoon δ on mitt välillä E. Merkitty osvälijko Ṗ on (δ, E)- hieno, jos kikki merkit t j E j J j [t j + δ(t j ), t j + δ(t j )] kikill j = 1,..., s. Olkoon Ṗ = {(t j, J j ) : j = 1,..., s} välin osvälijko j olkoon U(Ṗ) := s j=1j j. Jos f R () määritellään, että S(f; Ṗ) := s f(t j )l(j j ) j=1 j U(Ṗ) f := s j=1 J j f. Lemm 4.13 (Sks-Henstockin Lemm). Olkoon f R () j ɛ >. Olkoon δ ɛ sellinen mitt välillä, että jos Ṗ on δ ɛ-hieno välijko, niin S(f; Ṗ) f < ɛ. (4.2) Jos Ṗ := {(t j, J j )} s j=1 on mikä thns välin δ ɛ -hieno merkitty osvälijko, niin { s } f(t j )l(j j ) = S(f; Ṗ) f ɛ. j=1 J j f U(Ṗ) Todistus. Olkoot K 1,..., K m sellisi suljettuj välin osvälejä, että {J j } {K k } muodost välin välijon. Trkoituksen on käyttää hyväksi tieto, että f on mittintegroituv jokisell välillä K 1,..., K m j sd näiden välien välijot, jotk ovt niin hienoj, että niiden osuus summss on mielivltisen pieni. Olkoon α > mielivltinen. Seuruksen 2.2 mukn funktion f rjoittum jokiselle välille K k on mittintegroituv, kun k = 1,..., m. On siis olemss sellinen mitt δ α,k välillä K k, että jos Q k on välin K k δ α,k -hieno merkitty jko, niin S(f; Q k ) K k f α/m. (4.3) 3

32 Selvästi voidn olett, että δ α,k (x) δ ɛ (x) kikill x K k. Merkitään symbolill Ṗ välin merkittyä välijko Ṗ := Ṗ Q 1... Q m. Kosk Ṗ on δ ɛ -hieno, niin epäyhtälö (4.2) on voimss myös välijoll Ṗ. Lisäksi on selvää, että S(f; Ṗ ) =S(f; Ṗ) + S(f; Q 1 ) + + S(f; Q m ), f = f + f + + f. U(Ṗ) K 1 K m Näin ollen sdn S(f; Ṗ) f U(Ṗ) { = S(f; Ṗ ) S(f; Ṗ ) m k=1 S(f; Q k ) } { m f + S(f; Q k ) k=1 f K k f joten m k=1. K k f Käyttämällä epäyhtälöitä (4.2) j (4.3) summn ylärjn rvoimiseen, sdn S(f; Ṗ) f ɛ + m(α/m) = ɛ + α. U(Ṗ) Kosk α > on mielivltinen, niin S(f; Ṗ) f ɛ, jost sdn U(Ṗ) väite. Seurus Sks-Henstockin lemmn 4.13 oletuksill sdn, että s f(t j)l(j j ) 2ɛ. j=1 Todistus. Olkoon Ṗ+ sellisten prien joukko merkitystä välijost Ṗ, joill f(t j )l(j j ) J j f, j olkoon Ṗ selliset prit, joill f(t j )l(j j ) J j f <. Käyttämällä Sks-Henstockin Lemm 4.13 kumpnkin välijkoon Ṗ+ j Ṗ, sdn epäyhtälöt f(t j)l(j j ) f Ṗ + J j = { } f(t j )l(j j ) f ɛ, Ṗ + J j f(t j)l(j j ) f Ṗ J j = { } f(t j )l(j j ) f ɛ. Ṗ J j J j f Yhdistämällä termit sdn s j=1 f(t j)l(j j ) J j f 2ɛ. 31 }

33 4.3 Funktion itseisrvon integrli Jos funktio f : R on Riemnn-integroituv välillä := [, b], niin funktio f on myös Riemnn-integroituv j f f. (4.4) Sm johtopäätöstä ei void tehdä mittintegrlin tpuksess, kosk funktion f mittintegroituvuudest välillä ei seur, että myös funktio f on mittintegroituv. Näytetään tämä myöhemmin vstesimerkkinä Esimerkissä 5.6. Mittintegrlin tpuksess täytyy siis olett, että molemmt funktiot f j f ovt mittintegroituvi, tällöin epäyhtälö (4.4) on voimss. Jos f on mittintegroituv, snotn että f on itseisesti mittintegroituv ti Lebesgue-integroituv. Mittintegroituvien funktioiden joukko siis sisältää funktiot, jotk ovt itseisesti integroituvi, mutt myös suuren määrän funktioit, joiden itseisrvofunktiot eivät ole mittintegroituvi. Seurv tulos on tärkeä työklu funktion itseisrvon integroituvuuden osoittmiseen. Luse 4.15 (Vertiluperite). Olkoon f, g R () j f(x) g(x) kikill x := [, b], niin f R (). Lisäksi f f g. 32

34 Luku 5 Mittintegrlin päätulokset Korjtn lopuksi Riemnn-integrlin epäkohdt mittintegrlin päätuloksin. 5.1 Anlyysin perusluse Anlyysin perusluse mittintegrlille on merkittävästi vhvempi, kuin Riemnnin integrlille. Seurvksi osoitetn, että minkä thns funktion derivttfunktio on in mittintegroituv, joten funktion integroituvuudest tulee enemmänkin johtopäätös kuin oletus. Anlyysin perusluseen todistmiseen mittintegrlille, trvitn seurv pulusett, jok on suor seurus derivtn määritelmästä. Lemm 5.1 (Strddle lemm). Olkoon F : [, b] R derivoituv pisteessä z [, b]. Tällöin kikill ɛ >, on olemss sellinen vkio δ >, että F (v) F (u) F (z)(v u) ɛ(v u) (5.1) kun u z v j [u, v] [, b] (z δ, z + δ). Todistus. Kosk funktio F on derivoituv pisteessä z, on olemss sellinen vkio δ >, että F (x) F (z) F (z) x z < ɛ kun < x z < δ j x [, b]. Jos z = u ti z = v, niin lemm pätee. Oletetn siis, että u < z < v. Tällöin F (v) F (u) F (z)(v u) F (v) F (z) F (z)(v z) + F (z) F (u) F (z)(z u) < ɛ(v z) + ɛ(z u) = ɛ(v u). 33

35 Seurv nlyysin perusluseen versio tk, että minkä thns funktion derivtt välillä := [, b] on in mittintegroituv, ilmn mitään lisäoletuksi derivttfunktiolle. Luse 5.2 (Anlyysin perusluse). Jos funktioll F : [, b] R on derivttfunktio F (x) välillä [, b] j F (x) = f(x) kikill x [, b], niin F R ([, b]) j b F = F (b) F (). Todistus. Olkoon ɛ > nnettu. Kikill z [, b] olkoon δ z > vkiomitt kuten Strddle Lemmss j määritellään mittfunktio välillä [, b] : γ(z) = (z δ z, z+δ z ). Oletetn, että Ṗ = {(z i, J i ) : 1 i n} on δ z -hieno merkitty jko välillä [, b]. Järjestetään jkovälien Ṗ osvälit siten, että mx J i 1 = min J i j J i = [x i 1, x i ], i = 1,..., n. Huomtn, että F (b) F () = n [F (x i ) F (x i 1 )]. i=1 Strddle Lemmn nojll sdn S(F, Ṗ) [F (b) F ()] n = {[F (z i )(x i x i 1 ) [F (x i ) F (x i 1 )]} i=1 n < ɛ(x i x i 1 ) = ɛ(b ). i=1 Anlyysin perusluse Riemnn-integrlille vtii lisäksi oletuksen, että derivtn F on oltv Riemnn-integroituv. Mittintegrliss oletust ei trvitse tehdä, sillä kikki derivtt ovt mittintegroituvi. Pltn Esimerkkiin 3.5. Esimerkin funktiolle Anlyysin peruslusett Riemnnin integrlille ei void sovelt, sillä derivttfunktio ei ole Riemnn-integroituv. Seurvss esimerkissä nähdään, että mittintegrlille Anlyysin perusluseen todistust voidn muokt niin, että se hyväksyy yhden pisteen, joss funktio ei ole derivoituv. 34

36 Esimerkki 5.3. Olkoon g(x) := 1/ x, kun x ], 1] j g() :=. Funktio g(x) ei ole rjoitettu välillä [, 1]. Olkoon G(x) := 2 x, kun x [, 1]. Nyt G on jtkuv välillä [, 1] j G (x) = g(x) kikill x ], 1], mutt derivtt G () ei ole olemss. Näin ollen G on sellinen funktion g integrlifunktio, jolle on olemss äärellinen poikkeuksellinen joukko E = {}, joss G (x) ei ole olemss. Kuten Strddle Lemmn 5.1 todistuksess, kun t ], 1] j ɛ >, olkoon δ ɛ (t) > sellinen mitt, että epäyhtälö (5.1) on voimss funktiolle G. Määritellään mitt δ ɛ () := ɛ 2 /4, jolloin G(v) G() = 1 v ɛ, kun v δ ɛ (). Nyt olkoon Ṗ := {(t i, [x i 1, x i ])} n i=1 δ ɛ -hieno välin merkitty jko. Jos kikki merkit kuuluvt välille ].1], niin Anlyysin peruslusett voidn sovelt ilmn muutost. Kuitenkin kun ensimmäinen merkki t 1 =, niin Riemnnin summss S(g; Ṗ) ensimmäinen termi on g()(x 1 x ) =. Lisäksi sdn G(x 1 ) G(x ) g()(x 1 x ) = G(x 1 ) = 1 x 1 ɛ. Kun sovelletn Anlyysin perusluseen todistust jäljellä oleville termeille, sdn n [G(x i ) G(x i 1 ) g(t i )(x i x i 1 )] ɛ(x n x 1 ) ɛ. i=2 Kun lisätään kyseiset termit, sdn G(1) G() S(f; Ṗ) ɛ + ɛ = 2ɛ. Kosk ɛ > on mielivltinen, voidn päätellä, että g on mittintegroituv välillä [, 1] j, että 1 g = G(1) G() = 2. Yhtälö voidn kirjoitt muodoss 1 1/ xdx = 2, kun ymmärretään, että funktion derivtn rvo on pisteessä, joss sitä ei ole määritelty. Selvästi Anlyysin perusluse voidn yleistää mille thns selliselle derivttfunktiolle f, että on olemss sellinen jtkuv funktio F välillä [, b], että f(x) = F (x) kikkill pitsi äärellisessä määrässä pisteitä. Seurvn prnnetun Anlyysin perusluseen osn nojll poikkeuksellisten pisteiden numeroituv määrä on sllittu. Luse 5.4 (Anlyysin perusluse*). Jos funktioll f : [, b] R on sellinen jtkuv fuktio F välillä [, b], että on olemss numeroituv poikkeuksellinen joukko E, jok koostuu pisteistä x, joiss joko funktiot F (x) ei ole olemss, ti F (x) f(x). Tällöin f on mittintegroituv välillä [, b] j b F = F (b) F (). 35

37 Todistus. Olkoon E = {c k } k=1 integrlifunkion F poikkeuksellinen joukko. Joukko E on numeroituvn joukkon nolljoukko. Kosk f(x) = F (x) melkein kikill x, voidn olett, että f(c k ) =. Määritellään seurvksi mitt δ välille. Olkoon δ ɛ (t) Strddle lemmn 5.1 mukinen mitt, kun ɛ > j t \ E. Kun t E, niin t = c k joillkin k N. Kosk integrlifunktio F on jtkuv pisteessä c k, vlitn sellinen mitt δ ɛ (c k ) >, että F (z) F (c k ) ɛ/2 k+2 kikiss pisteissä z, jotk toteutt ehdon z c k δ ɛ (c k ). Oletetn seurvksi, että Ṗ := {(t i, [x i 1, x i ])} n i=1 on välin δ ɛ -hieno merkitty jko. Jos mitkään merkeistä ei kuulu joukkoon E, Anlyysin perusluseen 5.2 todistust voidn sovelt suorn. Kuitenkin jos c k E on merkkinä osvälille [x i 1, x i ], niin F (x i ) F (x i 1 ) f(c k )(x i x i 1 ) F (x i ) F (c k ) + F (c k ) F (x i 1 ) + f(c k )(x i x i 1 ) ɛ/2 k+2 + ɛ/2 k+2 + = ɛ/2 k+1. Nyt kukin joukon E piste voi oll merkkinä korkeintn khdell osvälillä merkityllä välijoll Ṗ. Näin ollen termien, joill t i E, summn osuudeksi sdn F (x i ) F (x i 1 ) f(t i )(x i x i 1 ) ɛ/2 k = ɛ. t i E Lisäksi Strddle lemmn 5.1 nojll termien, joill t i / E osuus summss: F (x i ) F (x i 1 ) f(t i )(x i x i 1 ) ɛ (x i x i 1 ) ɛ(b ). t i / E t i / E Näin ollen, kosk Ṗ on välin δ ɛ-hieno jko sdn k=1 F (b) F () S(f; Ṗ) ɛ(1 + b ). Kosk ɛ > on mielivltinen, niin f R () j sen integrlin rvo yli välin on F (b) F (). Esimerkin 3.1 funktio f ei ole Riemnn-integroituv millään välillä, jok sisältää pisteen. Funktio f on kuitenkin mittintegroituv funktion F derivttfunktion kikill väleillä. Esimerkki 5.5. Olkoon funktio { 2x sin 1 2 x f(x) = cos 1, kun x, 2 x x 2, kun x =. 36

38 Tällöin F (x) = { x 2 sin 1 x 2, kun x,, kun x =. Funktio f on mittintegroituv kikkill välillä R, poikkeuksellisell joukoll E = {} j Anlyysin perusluseen vull voidn lske funktion f integrli yli minkä thns välin := [, b]. Esimerkin 3.4 ongelmn oli funktion F Riemnn-integroituvuus. Kosk derivttfunktio F on in mittintegroituv, voidn Anlyysin peruslusett soveltmll lske integrli yli välin [, 1]. Esimerkki 5.6. Asetetn {, kun t = F (t) = t 2 cos (π/t 2 ), kun < t 1. Tällöin F (t) = {, kun t = 2t cos (π/t 2 ) + (2π/t) sin (π/t 2 ), kun < t 1. Funktio F on mittintegroituv välillä [, 1] j 1 F (t)dt = F (1) F () = 1. Osoitetn seurvksi, että funktio F ei ole mittintegroituv välillä [, 1]. Tehdään vstoletus j oletetn, että F R ([, 1]) j määritellään funktio f i (t) = F (t) välillä ] i, b i [:=]1/ i + 1, 1/ i[ j f i (t) = muuten. Tällöin 1 bi bi bi f = F i = i i F Kikill n N j kikill t [, 1] on voimss n F (t) f i (t). Näin ollen 1 F = F (b i ) F ( i ) = 1 i + 1 i i + 1. n i=1 i=1 2 i + 1, kun n, joten sdn ristiriit j F / R ([, 1]). 37

39 5.2 Epäoleellinen integrli Tässä kppleess todistettv merkittävä tulos osoitt, että ei ole olemss epäoleellist mittintegrli. Tällä trkoitetn sitä, että mikä thns funktio, joll on olemss "epäoleellinen"integrli, on mittintegroituv. Rj-rvomenetelmä on kuitenkin hyödyllinen väline integrlin rvioimiseen. Esimerkki 5.7. Osoitetn, että A f(x)dx = 2 A, missä f(x) = 1 x, kun x j f() =. Määritellään mittfunktio δ(x) = ɛx, kun x j δ() = ɛ 2. Olkoon < ɛ < 1/2 j olkoon Ṗ := {(t i, i )} n i=1 välin [, A] δ ɛ -hieno merkitty jko. Huomtn, että välijko sett ensimmäiseksi merkiksi t 1 =. Kosk f(t i )(x i x i 1 ) = 1 ti (x i x i 1 ) 2 xi t i ( x i x i 1 ) j kun y i, sdn xi t i ti + ɛt i t i = 1 + ɛ, n S(f; Ṗ) ɛ ( x i x i 1 ) = 2 A 1 + ɛ. (5.2) Seurvksi rvioidn summlle lrj. Huomtn, että i=1 xi 1 t i ti ɛt i t i = 1 ɛ, kun i 2. Näin ollen n S(f; Ṗ) f(t i )(x i x i 1 ) 2 n 1 ɛ ( x i x i 1 ) i=2 i=2 =2 1 ɛ( A x 1 ) = 2 1 ɛ( A ɛ). (5.3) Kosk ɛ > on mielivltinen ylärjst (5.2) j lrjst (5.3) sdn, että A f(x)dx = 2 A. 38

40 Todistetn vrsinisen tuloksen todistmist vrten puluse, jonk mukn funktion f R ([, b]) rjoittum välille [, c], kun c [, b], on mittintegroituv. Lemm 5.8. Oletetn, että f : [, b] R on mittintegroituv välillä [, c] kikill c ], b[ j olkoon ɛ >. Tällöin on olemss sellinen mitt δ välillä [, b[, että jos c ], b[ j Ṗ on mikä thns välin [, c] δ-hieno jko, niin c S(f; Ṗ) f < ɛ. Todistus. Olkoon ( n ) ksvv jono välillä ], b[, jok suppenee kohti pistettä b j olkoon =. Vlitn jokiselle n N sellinen mittfunktio δ n välille [ n 1, n ], että S(f; Ṗ) n n 1 f < ɛ2 n, kun Ṗ on välin [ n 1, n ] δ n -hieno jko. Olkoon n =] n 1, n [ j määritellään mittfunktio δ välillä [, b[ min {δ 1 (), 1 }, kun x =, δ(x) = min {δ n (x), inf { y x : y n C }}, kun x n, min {δ n ( n ), δ n+1 ( n ), l( n ), l( n+1 )}, kun x = n. Olkoon c ], b[ j oletetn, että Ṗ on välin [, c] δ-hieno jko. Voidn olett, että jon Ṗ merkkeinä on välien päätepisteet. Kiinnitetään sellinen indeksi q N, että q < c < q+1 on voimss. Huomtn, että n on merkkinä kikill n =, 1, 2,..., q j, että kikki välijon Ṗ välit ovt välin [ n 1, n ] osvälejä, jollin 1 n q + 1. Olkoon kikill n = 1, 2,..., q välijko Ṗn sellinen välijon Ṗ osjoukko, jonk välit ovt välillä [ n 1, n ] j olkoon Ṗq+1 sellinen välijon Ṗ osjoukko, jonk välit ovt välillä [ q, c]. Nyt Ṗn on välin [ n 1, n ] δ n -hieno jko, kun 1 n q j Ṗq+1 on välin [ q, c] δ q+1 -hieno jko. Sks-Henstockin lemmn 4.13 nojll c S(f; Ṗ) q f n S(f; Ṗn) c f + n=1 n 1 S(f; Ṗq+1) f q q < ɛ2 n + ɛ2 q 1 < ɛ. n=1 Tämä viimeistelee todistuksen. Luse 5.9 (Hken Luse). Oletetn, että funktio f : [, b] R on mittintegroituv kikill väleillä [c, d] ], b[. Jos d f suppenee kohti äärellistä rj-rvo, kun c + j d b, niin funktio f R () j b c f = d lim c +,d b f. c 39

41 Todistus. Trkstelln seurv luseen erikoistpust. Jos f on mittintegroituv välillä [, c] kikill c ], b[ j c f suppenee kohti äärellistä rj-rvo, kun c b, niin f on mittintegroituv välillä [, b] j b f = c lim c b f. Todistus vsemmlle päätepisteelle on hyvin smnlinen j yleinen tpus seur näistä khdest tuloksest. c Olkoon L = lim c b f j olkoon ɛ >. Edellisen lemmn 5.8 nojll on olemss sellinen mitt δ 1 välillä [, b[, että jos Ṗ on mikä thns δ 1-hieno jko välillä [, c], niin S(f; Ṗ) c f < ɛ. Vlitn sellinen luku η >, että c f L < ɛ kikill c ]b η, b[. Määritellään mittfunktio δ välillä [, b]: { min {δ 1 (x), b x}, kun x [, b[, δ(x) = min {η, ɛ/(1 + f(b) }, kun x = b. Olkoon Ṗ välin [, b] δ-hieno jko. Kosk pisteen b on oltv merkkinä, muoto (b, [c, b]) olev merkitty väli kuuluu merkittyyn välijkoon Ṗ, kun b η < c < b. Olkoon Ṗ = Ṗ {(b, [c, b])} j lsketn c S(f; Ṗ) L S(f; Ṗ) c f + f L + f(b) (b c) (5.4) <ɛ + ɛ + ɛ = 3ɛ. Näin ollen funktio f R () j b f = lim c b c f. Esimerkki 5.1. Trkstelln integrli 1 xr dx, kun r R. Olkoon g r (x) := x r, kun x ], 1] j g r () :=. Kun r + 1 >, niin funktioill g r on integrlifunktio x x r+1 /(r + 1) muull pitsi poikkeuksellisiss joukoiss {} ti. Näin ollen g r R ([, 1]) j 1 x r dx = x r+1 /(r + 1) 1 = 1/(r + 1), kun r > 1. Huomutus Jos funktion f rjoittum jokiselle osvälille [, γ], kun γ γ ], b[ on mittintegroituv j jos rj-rvo lim γ b f on äärellinen, niin f R ([, b]). Funktion mittintegroituvuutt välillä [, b] voidn siis rvioid tutkimll sen käyttäytymistä osvälillä [, γ]. 5.3 ntegrli rjoittmttomien välien yli Riemnnin integrliteoriss integrli yli rjoittmttomien välien [, [ voidn rvioid rj-rvon γ f := lim f. γ 4

42 Myös muut rjoittmttomt välit ], b] j ], [ määritellään smoin. Mittintegrliteoriss Määritelmää 4.4 voidn muokt niin, että se sisältää myös integrlit yli rjoittmttomien välien. Olkoon Ṗ välin [, ] merkitty välijko ljennetuss relilukujoukoss R: Ṗ := {(t 1, [x, x 1 ]),..., (t n, [x n 1, x n ], ), (t n+1, [x n, x n+1 ])} siten, että x = j x n+1 =. Määritellään, että f( ) =. Määrätään δ-hieno merkitty välijko Ṗ niin, että viimeisenä merkkinä on t n+1 =, jolloin Riemnnin summn S(f; Ṗ) viimeinen termi on f( )( x n) =. Olkoon mittfunktio välillä [, ] idosti positiivinen relirvoinen funktio δ, jok on määritelty välillä [, ]. Snotn, että Ṗ on δ-hieno välillä [, ], jos äärelliset osvälit [x i 1, x i ] [t i δ(t i ), t i + δ(t i )] kun i = 1,..., n, (5.5) j kun äärettömät osvälit [x n, ] ti vstvsti, kun [x n, ] [1/δ( ), ], (5.6) 1/δ( ) x n. Kosk viimeinen osväli [x n, ] on ino osväli välijoll Ṗ, jok sisältää lkion nähdään, että δ-hieno merkitty välijko Ṗ pkott jon viimeiseksi merkiksi t n+1 =. Kosk f( ) =, niin millä thns δ-hienoll välijoll Ṗ Riemnnin summ sievenee muotoon S(f; Ṗ) = n f(t i )(x i x i 1 ), j kikki jäljelle jäävät termit ovt äärellisiä relilukuj. Olkoon r >. Määritellään [t r, t + r], kun t R, U[t; r] := [1/r, ], kun t =, [, 1/r], kun t =. Tällä merkinnällä ehdot (5.5) j (5.6) voidn esittää muodoss i=1 [x i 1, x i ] U[t i ; δ(t i )], kun i = 1,..., n + 1. (5.7) 41