Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Transkriptio

1 Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) T := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) U := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}. osittinen ti jop totli järjestys? Piirrä järjestyksistä Hssen kviot. Rtkisu. Vin kohn ) reltio T on osittinen järjestys (ks. emojen 5 tehtävä ), siis refleksiivinen, ntisymmetrinen j trnsitiivinen. Sekään ei ole totli, kosk se reltion ei ole täysi: ksioom J4 ei ole toteuu, kosk ei ole T eikä T. Reltion T nuolikvio j vstv Hssen kvio:. Olkoon X := {,,,, e, f} j K X X seurvnlinen reltio: K := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, e), (, f), (, ), (, e), (, f), (, ), (, ), (, e), (, f), (e, e), (e, f), (f, f)}. Osoit, että K on osittinen mutt ei totli järjestys. Määritä sen minimliset j mksimliset lkiot. Piirrä Hssen kvio. Rtkisu. Käymällä läpi kikki koht J- nähään osittiseksi järjestykseksi. Totli ei ole, kosk ei ole mukn kumpikn preist (, ) eikä (, ). Minimliset lkiot: vin. Mksimliset: j f. Hssen kvio: f e

2 . Luentoesimerkissä osoitettiin, että pri (N, ) on osittin järjestetty joukko, kun m n m on luvun n tekijä. On ilmeistä, että jokinen järjestetyn joukon epätyhjä osjoukko on myös järjestetty joukko, kun järjestysreltio rjoitetn koskemn vin kyseisen osjoukon lkioit j niien välisiä reltioss oloj. Olkoon X := {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, }. ) Määritä järjestetyn joukon (X, ) minimliset j mksimliset lkiot sekä pienin j suurin lkio. ) Määritä osjoukon A := {, 4, 6} infimum j supremum. ) Piirrä Hssen kvio. Rtkisu. ) Minimlisi on vin. Se on minimlinen siksi, ettei sen knss reltioss ole mikään muu lkioist. Mksimlisi ovt 7, 8, 9, 0, j. Niillä on kullkin se ominisuus, ettei se ole reltioss minkään muun lkion knss. Pienin lkio on, kosk se on reltioss kikkien muien knss. Suurint lkiot ei ole, kosk mikään lkio ei ole sellinen, että jokinen olisi sen knss reltioss. Toistimme luennoll, ettei pienimpiä voi oll muit. Suurint ei ole, kosk mikään lkioist ei oles sellinen, että kikki muut olisivt reltioss sen knss. ) Joukon A = {, 4, 6} lrjoj ovt j, sillä ne ovt reltioss joukon A jokisen lkion knss. Alrjojen joukon suurin lkio, siis joukon A infimum, on. Siis inf A =. Ylärjoj on vin yksi, luku, jok täten on ylärjojen joukon pienin lkio; siis sup A =. ) Hssen kvio ll: Olkoot A := {, } j B := {,, }. ) Määritä kikki funktiot joukost A joukkoon B. ) Mitkä näistä funktioist ovt injektioit, mitkä surjektioit? Rtkisu. ) Molemmt lkiot j on kuvttv täsmälleen yhelle lkiolle, joten funktioit on seurvt yheksän (= ):

3 f f f f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 ) Injektioit ovt f, f, f 4, f 6, f 7 j f 8. Yksikään ei ole surjektio. 5. ) Montko funktiot on olemss joukost A := {,,, 4} itselleen? ) Moniko niistä on ijektio? ) Moniko niistä on ekvivlenssi, moniko osittinen järjestys? Rtkisu. ) Funktioit on 56 erilist. Tämä voin päätellä seurvsti (tuloperite): f() voin vlit 4 tvll, f() voin vlit 4 tvll, f() voin vlit 4 tvll, f(4) voin vlit 4 tvll, yhteensä 4 4 = 56. ) Vstvsti voin päätellä, kun jokinen lkio kuvutuu eri lkiolle: f() voin vlit 4 tvll, f() voin vlit tvll, f() voin vlit tvll, f(4) voin vlit tvll, yhteensä 4 = 4 erilist. Tämä trkoitt joukon A permuttioien määrää. ) Ekvivlenssi j funktio on vin ienttinen reltio {(, ), (, ), (, ), (4, 4)}. Ekvivlenssiss nimittäin pitää oll nämä, jott se olisi refleksiivinen. Mutt tämä on funktio, eikä yhtään voi siihen lisätä. 6. Olkoon f : R R, f(x) := x + x x +. Hhmottele funktion f kuvj j määritä sen vull ) f([, ]), ) f ([, ]), ) f(), ) f (), e) f ({}), mikäli kyseinen mtemttinen olio on olemss. Rtkisu. Huom, että tässä emme pyri täsmällisiin perusteluihin kuten mm. Anlyysin kursseill. Funktion kuvj välillä [, ]

4 x ) Kosk funktio on polynomin jtkuv j selvästikin ksvv välillä [, ], sn kuvjoukoksi väli [f(), f()] = [, 4]. ) Piirretään kuvj pystyvälille [, ], jost voin päätellä lukuvjoukon olevn kolmen välin yhiste y x Nuo päätepisteet löytyvät rtkisemll yhtälöt f(x) = j f(x) =. Ensimäisen rtkisut x ovt, 0 j + j toisen, j. Alkukuvjoukko on siis f ([, ]) = [, ] [, 0] [ +, ]. ) Kuten eellä jo nähtiin, f() = 4. ) j e) Vikk tällä ei-ijektioll f ei olekn käänteisfunktiot, sillä funktion (j siten reltion) on lkion lkukuv eli sen muoostmn yksiön lkukuv olemss j f () = f ({}) = {,, }. 7. Näytä esimerkillä, että yhistetty funktio g o f voi oll ijektio, vikk kumpikn funktioist f j g ei ole ijektio. Rtkisu. Vlitn vikkp A := {, }, B := {,, } j C := {, } j funktiot f : A B j f : B C kuten kuvioss. 4

5 A f B g C Silloin yhistetty funktio g o f on ijektio, vikk kumpikn tekijöistä ei ole ijektio. 5