Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Transkriptio

1 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss. Tämä tphtuu liittämällä stunnisilmiön tulosvihtoehtoihin relirvoinen funktio, jot kutsutn stunnismuuttujksi. Stunnismuuttujn rvoihin liitetään todennäköisyydet määrittelemällä stunnismuuttujn todennäköisyysjkum. Stunnismuuttujn todennäköisyysjkumn määrää täysin sen kertymäfunktio. Jos stunnismuuttujn kertymäfunktio tunnetn, tunnetn stunnismuuttujn jkum j smll hllitn kikkien ko. stunnisilmiöön liittyvien tphtumien todennäköisyydet. : Mitä opimme? 2/2 Todennäköisyyslskennss j mtemttisess tilstotieteessä todennäköisyysjkumi trkstelln teoreettisesti tvllisesti kertymäfunktioiden kutt. Tämä johtuu siitä, että sm määritelmä kertymäfunktiolle sopii kikille stunnismuuttujille olivtp ne diskreettejä, jtkuvi ti jotkin muut tyyppiä j teoreettist trkstelu ei trvitse jk osiin stunnismuuttujien tyypin mukn. Tässä esityksessä trkstelemme kertymäfunktioit kuitenkin myös seurviss erikoistpuksiss: (i) Diskreetit stunnismuuttujt j niiden kertymäfunktiot. (ii) Jtkuvt stunnismuuttujt j niiden jkumt. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 3 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 4 : Esitiedot Esitiedot: ks. seurv luku: Stunnismuuttujt j todennäköisyysjkumt : Lisätiedot Tilstotieteessä pljon käytettyjen jkumien (normli-, χ 2 -, F-j t- jkumien) tilstolliset tulukot liittyvät ko. jkumien kertymäfunktioiden rvoihin; ks. seurvi lukuj: Jtkuvi jkumi Normlijkumst johdettuj jkumi TKK (c) Ilkk Mellin (24) 5 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 6

2 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 7 >> Avinsnt Stunnismuuttuj Todennäköisyysjkum Todennäköisyysmss TKK (c) Ilkk Mellin (24) 8 n määritelmä Olkoon ξ stunnismuuttuj. Stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio F on relirvoinen funktio n määritelmä: Kommenttej 1/2 Stunnismuuttujn ξ kertymäfunktion F määritelmässä on ξ = stunnismuuttuj x = reliluku, kertymäfunktion F rgumentti n F rvo pisteessä x on todennäköisyys sille, että stunnismuuttuj ξ s rvoj, jotk ovt x. Piste x erott vsemmlle puolelleen stunnismuuttujn ξ todennäköisyysmssn, jonk koko on Pr(ξ x) = F(x) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 9 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 n määritelmä: Kommenttej 2/2 Stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio kuv stunnismuuttujn ξ todennäköisyysmssn kertymistä, kun kertymäfunktion rgumentti xksv. Stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio määrää kikkien ko. stunnisilmiöön liittyvien tphtumien todennäköisyydet. n määritelmä sopii kikille stunnismuuttujille olivtp ne diskreettejä, jtkuvi ti jotkin muut tyyppiä. on keskeinen työväline mtemttisess tilstotieteessä. j tphtumien todennäköisyydet Jos stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio F tunnetn, kikkien ko. stunnisilmiöön liittyvien tphtumien todennäköisyydet hllitn. Tämä johtuu seurvist seikoist: (i) Jokist tphtum vst jokin relilukujen joukon R osjoukko, jok voidn muodost muoto (, x] olevist relikselin väleistä tvnomisten joukko-opin opertioiden vull. (ii) Jokisen tphtumn todennäköisyys sdn tyyppiä (, x] olevien relikselin välien todennäköisyyksistä todennäköisyyslskennn lskusääntöjen vull. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 11 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 12

3 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 13 n ominisuudet 1/2 Funktio F : R,1 on kertymäfunktio, jos j vin jos se toteutt seurvt ehdot: (1) lim x F( x) = (2) lim x + F( x) = 1 (3) F on ei - vähenevä: F( x ) F( x ), jos x x (4) F on jtkuv oikelt: lim F( x+ h) = F( x) h + [ ] n ominisuudet 2/2 [ ] Jos funktio F : R,1 on kertymäfunktio, niin: (5) Pr( ξ > x) = 1 F( x) (6) Pr( < ξ ) = F( ) F( ) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 14 n ominisuuksien perustelu Käytämme kertymäfunktioiden ominisuuksien perusteluss mm. seurvi todennäköisyyslskennn luseit (ks. trkemmin luku Todennäköisyyden ksioomt): Luse 1: Olkoon ( S, F,Pr) todennäköisyyskenttä j A1, A2, A3, F. (i) Jos A A A, niin Pr ( A ) lim Pr( ) i 1 i = A = n (ii) Jos A A A, niin Pr ( A ) lim Pr( ) i 1 i = A = n Luse 2: Olkoon ( S, F,Pr) todennäköisyyskenttä j A. 1, A2, A3, F Jos A1 A2 A3, niin lim Pr ( An ) = n ominisuus (1): (1) lim x F( x) = Olkoon x 1 > x 2 > x 3 > lenev lukujono j lisäksi lim n + x n = { ξ x1} { ξ x2} { ξ x3} Luseen 2 mukn lim F( xn) = lim Pr ( ξ xn) = TKK (c) Ilkk Mellin (24) 15 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 16 n ominisuus (2): 1/2 (2) lim x + F( x) = 1 Olkoon x 1 < x 2 < x 3 < ksvv lukujono j lisäksi lim n + x n =+ { ξ x1} { ξ x2} { ξ x3} j { ξ > x} { ξ > x } { ξ > x } n ominisuus (2): 2/2 Luseen 2 mukn lim Pr ( ξ xn ) = joten lim F( xn) = lim Pr ( ξ xn) = 1 lim Pr( ξ > xn ) = 1 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 17 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 18

4 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 19 n ominisuus (3): (3) F( x1) F( x2), jos x1 x2 Olkoon x 1 x 2 { ξ x1} { ξ x2} F( x ) = Pr( ξ x ) Pr( ξ x ) = F( x ) n ominisuus (4): (4) lim h + F( x+ h) = F( x) Olkoon h 1 > h 2 > h 3 > lenev lukujono j lisäksi lim n + h n = x { ξ h1} { ξ h2} { ξ h3} { ξ x} Luseen 1 kohdn (ii) mukn lim F( hn) = lim Pr ( ξ hn) = Pr( ξ x) = F( x) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 n ominisuus (5): (5) Pr( ξ > x) = 1 F( x) Komplementtitphtumn todennäköisyyden kvn nojll Pr( ξ > x) = 1 Pr( ξ x) = 1 F( x) n ominisuus (6): (6) Pr( < ξ ) = F( ) F( ) Kosk { ξ } = { ξ } { < ξ } j { ξ } { < ξ } = niin toisens poissulkevien tphtumien yhteenlskusäännön nojll F( ) = Pr( ξ } = Pr( ξ ) + Pr( < ξ ) = F( ) + Pr( < ξ ) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 21 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 22 n tulkint Tilstolliset tulukot j kertymäfunktio 1/2 n määritelmän j kertymäfunktion ominisuuden (3) F( x ) F( x ), jos x x perusteell kertymäfunktiolle voidn nt seurv tulkint: F kuv miten stunnismuuttujn ξ todennäköisyysmss kumuloituu eli kertyy lisää, kun kertymäfunktion rgumentti x ksv. Tvnomisimpien jkumien (normli-, χ 2 -, F-j t- jkumien) tilstolliset tulukot liittyvät jkumien kertymäfunktion rvoihin. Normlijkumn tulukoiss on yleensä tulukoitu todennäköisyyksiä (kertymäfunktion rvoj) Pr( ξ x) = F( x) useille rgumentin x rvoille (ks. luku Jtkuvi jkumi). TKK (c) Ilkk Mellin (24) 23 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 24

5 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 25 Tilstolliset tulukot j kertymäfunktio 2/2 Diskrettien j jtkuvien jkumien kertymäfunktiot Tvnomisimpien jkumien (normli-, χ 2 -, F-j t- jkumien) tilstolliset tulukot liittyvät jkumien kertymäfunktion rvoihin. Normlijkumn tulukoiss on yleensä tulukoitu todennäköisyyksiä (kertymäfunktion rvoj) Pr( ξ x) = F( x) useille rgumentin x rvoille (ks. luku Jtkuvi jkumi). χ 2 -, F-j t-jkumien tulukoiss on yleensä tulukoitu rgumentin x rvoj muutmille todennäköisyyksille Pr( ξ x) = 1 F( x) (ks. luku Normlijkumst johdettuj jkumi). Trkstelemme seurvss kertymäfunktioit khdess erikoistpuksess: (i) (ii) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 26 >> Avinsnt Diskreetti stunnismuuttuj Pistetodennäköisyysfunktio Porrsfunktio Stunnismuuttuj Todennäköisyysjkum TKK (c) Ilkk Mellin (24) 27 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 28 Diskreetin jkumn kertymäfunktion määritelmä Olkoon ξ diskreetti stunnismuuttuj j {x 1, x 2, x 3, } sen tulosvihtoehtojen eli rvojen joukko. Olkoon stunnismuuttujn ξ pistetodennäköisyysfunktio f( x ) = Pr( ξ = x ) = p, i= 1,2,3, i i i Määritellään funktio F : R,1 kvll = f( xi ) ixi x [ ] F on diskreetin Diskreetin stunnismuuttujn kertymäfunktio F on epäjtkuv ei-vähenevä funktio. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 29 Diskreetin jkumn kertymäfunktion määritelmä: Kommenttej Diskreetin jkumn kertymäfunktion F määritelmän = f( xi ) ixi x mukn kertymäfunktion F rvo pisteessä x eli todennäköisyys tphtumlle ξ x sdn lskemll yhteen kikki pistetodennäköisyydet f(x i ) = Pr(ξ = x i ) = p i joit vstvt stunnismuuttujn ξ rvot x i x. Kikkien stunnismuuttujn ξ liittyvien tphtumien todennäköisyydet voidn määrätä sen kertymäfunktion vull. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 3

6 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 31 Diskreetin jkumn kertymäfunktion j pistetodennäköisyysfunktion yhteys Olkoon ξ diskreetti stunnismuuttuj j {x 1, x 2, x 3, } sen tulosvihtoehtojen eli rvojen joukko. Olkoon stunnismuuttujn ξ pistetodennäköisyysfunktio Olkoon stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio = pi f( x ) = Pr( ξ = x ) = p, i= 1,2,3, i i i ixi x f( x ) = Pr( ξ = x ) = p = F( x ) F( x ) i i i i i 1 Onnenpyörä 1/7 Luvun Stunnismuuttujt j todennäköisyysjkumt kppleen Diskreetit stunnismuuttujt j niiden todennäköisyysjkumt johdttelevss esimerkissä käsitellään viereen kuvtun onnenpyörän käyttäytymistä stunnisilmiönä. E 1 % D 15 % C 2 % B 25 % A 3 % TKK (c) Ilkk Mellin (24) 32 Onnenpyörä 2/7 Onnenpyörä 3/7 Onnenpyörän pint on jettu viiteen sektoriin A, B, C, D, E Sektoreiden pint-lojen osuudet onnenpyörän kokonispint-lst on esitetty ll: Sektori % A 3 B 25 C 2 D 15 E 1 Summ 1 E 1 % D 15 % C 2 % B 25 % A 3 % Esimerkissä määriteltiin diskreetti stunnismuuttuj ξ, jok liittää tulosvihtoehtoihin A, B, C, D, E reliluvut seurvll tvll: A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 E 1 % D 15 % C 2 % B 25 % A 3 % TKK (c) Ilkk Mellin (24) 33 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 34 Onnenpyörä 4/7 Onnenpyörä 5/7 Diskreetin stunnismuuttujn ξ pistetodennäköisyysfunktio f voidn yleisesti määritellä kvll f( xi) = Pr( ξ = xi) = pi, i= 1,2,3, joss {x 1, x 2, x 3, } on stunnismuuttujn ξ smien rvojen joukko Pistetotodennäköisyysfunktio (1, p 1 ) (2, p 2 ) (3, p 3 ) (4, p 4 ) (5, p 5 ) Esimerkin tpuksess stunnismuuttujn ξ pistetodennäköisyysfunktio f voidn määritellä seurvsti: f(1) = Pr(ξ = 1) =.3 = Pr(A) f(2) = Pr(ξ = 2) = 5 = Pr(B) f(3) = Pr(ξ = 3) = = Pr(C) f(4) = Pr(ξ = 4) =.15 = Pr(D) f(5) = Pr(ξ = 5) =.1 = Pr(E) Pistetotodennäköisyysfunktio.4 (1, p 1 ).3 (2, p 2 ) (3, p 3 ) (4, p 4 ) (5, p 5 ) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 35 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 36

7 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 37 Onnenpyörä 6/7 Stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio on F(x) = Pr(ξ x) Diskreetin stunnismuuttujn pistetodennäköisyys- j kertymäfunktioiden välillä on seurv yhteys: Pr( ξ = x ) = p = F( x ) F( x ) i i i i p 5.8 p 4.6 p 3.4 p 2 p Onnenpyörä 7/7 Esimerkin tpuksess stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio F voidn määritellä ll olevn tulukon vull. Kuv oikell esittää esimerkin kertymäfunktion kuvj. F(x) = Pr(ξ x) x < 1 1 x < 2 p 1 =.3 2 x < 3 p 1 + p 2 =.55 3 x < 4 p 1 + p 2 + p 3 =.75 4 x < 5 p 1 + p 2 + p 3 + p 4 =.9 5 x p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = p 1 p 2 p 3 p 4 p TKK (c) Ilkk Mellin (24) 38 Diskreetin jkumn kertymäfunktio on porrsfunktio Diskreetin stunnismuuttujn kertymäfunktio F on epäjtkuv ei-vähenevä funktio, joll on epäjtkuvuuskoht eli hyppäys jokisess pisteessä x i, johon liittyy positiivinen todennäköisyys Pr(ξ = x i ) = p i Hyppäyksen suuruus pisteessä x i on p i. s vkiorvon peräkkäisten pisteiden x i 1 j x i välissä. Diskreetin stunnismuuttujn kertymäfunktio on siten porrsfunktio, joss todennäköisyydet p i määräävät skelmien korkeudet j erotukset x i x i 1 määräävät skelmien syvyydet. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 39 Välien todennäköisyydet 1/2 Diskreetin jkumn tpuksess välin todennäköisyys on Pr( < ξ ) = F( ) F( ) = Pr( ξ = x ) = i ix (, ] p i ixi (, ] TKK (c) Ilkk Mellin (24) 4 i (, ] R Välien todennäköisyydet 2/2 Kvn Pr( < ξ ) = F( ) F( ) = pi ix (, ] mukn välin (, ] R todennäköisyys voidn määrätä khdell eri tvll: (i) Jos jkumn pistetodennäköisyysfunktio tunnetn, sdn välin (, ] todennäköisyys lskemll yhteen pistetodennäköisyydet p i, joit vstvt x i (, ]. (ii) Jos jkumn kertymäfunktio F tunnetn, sdn välin (, ] todennäköisyys lskemll kertymäfunktion F rvojen F() j F() erotus. i >> TKK (c) Ilkk Mellin (24) 41 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 42

8 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 43 Jtkuvn jkumn kertymäfunktion määritelmä Avinsnt Jtkuv stunnismuuttuj Stunnismuuttuj Tiheysfunktio Todennäköisyysjkum Olkoon ξ jtkuv stunnismuuttuj. Olkoon stunnismuuttujn ξ tiheysfunktio f(x). Määritellään funktio F : R,1 kvll = f( t) dt x [ ] F on jtkuvn Jtkuvn stunnismuuttujn kertymäfunktio F on jtkuv ei-vähenevä funktio. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 44 Jtkuvn jkumn kertymäfunktion määritelmä: Kommenttej Jtkuvn jkumn kertymäfunktion F määritelmän x = f( t) dt mukn kertymäfunktion F rvo pisteessä x eli todennäköisyys tphtumlle ξ x määrätään integroimll tiheysfunktio f välillä (, x]. Kikkien stunnismuuttujn ξ liittyvien tphtumien todennäköisyydet voidn määrätä sen kertymäfunktion vull. Jtkuvn jkumn kertymäfunktion j tiheysfunktion yhteys Olkoon ξ jtkuv stunnismuuttuj. Olkoon stunnismuuttujn ξ tiheysfunktio f(x). Olkoon stunnismuuttujn ξ kertymäfunktio x = f( t) dt d f( x) = F( x) = F ( x) dx TKK (c) Ilkk Mellin (24) 45 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 46 Välien todennäköisyydet 1/2 Välien todennäköisyydet 2/2 Jtkuvn jkumn tpuksess välin todennäköisyys on Pr( ξ ) = F( ) F( ) = f( x) dx (, ] R Kvn Pr( ξ ) = F( ) F( ) = f( x) dx mukn välin (, ] R todennäköisyys voidn määrätä khdell eri tvll: (i) Jos jkumn tiheysfunktio f tunnetn, sdn välin [, ] todennäköisyys integroimll tiheysfunktio välillä [, ]. (ii) Jos jkumn kertymäfunktio F tunnetn, sdn välin [, ] todennäköisyys lskemll kertymäfunktion rvojen F() j F() erotus. TKK (c) Ilkk Mellin (24) 47 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 48

9 TKK (c) Ilkk Mellin (24) 49 Jtkuvn jkumn tiheysfunktio j välien todennäköisyydet: Hvinnollistus Jtkuvn jkumn kertymäfunktio j välien todennäköisyydet: Hvinnollistus Olkoon f(x) jtkuvn stunnismuuttujn ξ tiheysfunktio. : Pr( ξ ) = f( x) dx = Alueen A pint-l Kuv oikell esittää normlijkumn tiheysfunktiot (ks. luku Jtkuvi jkumi). Tiheysfunktio f(x) A Olkoon F(x) jtkuvn stunnismuuttujn ξ 1.2 kertymäfunktio j f(x) sen 1 tiheysfunktio..8 : F().6 Pr( ξ ).4 = F( ) F( ) = f ( xdx ) F() Kuv oikell esittää normlijkumn kertymäfunktiot (ks. luku Jtkuvi jkumi). F(x) TKK (c) Ilkk Mellin (24) 5