OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

Transkriptio

1 OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij Klle on nyt 19 vuott vnh. Hän on nyt kksi kert niin vnh kuin hänen koirns Hemmi oli silloin, kun Klle oli yhtä vnh kuin Hemmi on nyt. Kuink vnh Hemmi koir on nyt?

2 A. POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA 3 Polynomin 7x x x 5muuttujn on x. Tämän polynomin termit ovt 7x 3, x, x j 5. Termien kertoimet ovt 7,, 1 j 5. Vkiotermi ei sisällä muuttuj, joten tässä vkioterminä on luku 5. Polynomin steluku on suurin eksponentti, jok muuttujll esiintyy, eli tämän polynomin steluku on 3. Polynomien yhteen j vähennyslskuiss on tärkeää tunnist termien kirjinost, jotk tällä polynomill ovt x 3, x j x. Termejä, joill on sm kirjinos, snotn smnmuotoisiksi termeiksi. Polynomien yhteen j vähennyslskuiss voidn yhdistää vin smnmuotoisi termejä. Tehtäviä Seurviss tehtävissä kerrtn polynomien yhteen, vähennys j kertolskuj. Mikäli potenssin lskusäännöt ovt unohtuneet, kert niitä omst oppikirjstsi. 1. Sievennä ) 3x 7 4x 3 b) x( 4x x 3) Lske polynomien P ( x) x 3x x 4 j Q ( x) 3x x 4 summ j erotus. Muist, että erotus voidn muutt yhteenlskuksi lisäämällä polynomiin P(x) polynomin Q(x) vstpolynomi (stiin muuttmll jokisen termin etumerkki). 3. Sievennä 4 y 3y( y ) 6 y( y y). 4. Olkoon P( x) 3x Lske ) P ( 1) j Q ( ) 4 3 j Q ( x) x x 1. b) ( P( x)) 4Q( x) P( x) Q( x).

3 B. BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ Tietyillä polynomeill on om erityisnimensä. Monomi on polynomi, joss on yksi termi, binomi vstvsti polynomi, joss on kksi termiä j trinomi puolestn polynomi, joss on kolme termiä. Seurvksi johdetn binomille kolme tärkeää ns. muistikv. Plutetn ensin mieleen, miten binomi kerrotn toisell binomill: (+b)(c+d) = (c+d)+b(c+d) = c+d+bc+bd. Esimerkki 1: ( x )(x 3) x x x ( 3) x ( 3) x 3x 4x 6 x x 6. Tyypillisimpiä virheitä esiintyy lskettess binomin neliö ( x y). Ajtelln, että tuloksen on x y. Näinhän ei ole, j tämä voidn helposti myös todet luvuill: ( 3) 5 5. Lskettess lukujen j 3 neliöiden summn sdn tulokseksi 13, joten tällä yksinkertisell esimerkillä stiin siis osoitettu, että ( x y) x y. Tutkitn nyt khdell erilisell lähestymistvll, minkälinen muistikv sdn binomin neliölle. Piirretään luksi neliö, jonk sivun pituus on x + y. Rjtn tähän kuvioon neliö, jonk sivu on x j neliö, jonk sivu on y: y xy y x x xy

4 Tehtäviä 5. Lske seurvt binomin neliöt käyttäen hyväksi johdettu kv. ) ( y 5) b) ( x 3) 6. Lske ) ( x y) b) ( x y)( x y). Hyödynnä edellä olevi tuloksi seurviss tehtävissä. Huom, ettei sinun trvitse välttämättä suoritt kertomisi termeittäin! Esimerkki: (x 4)(x 4) (x) 4 4x Lske ) ( 3x 5)(3x 5) b) ( x 1)( x 1) c) (3x )(3x ). 8. Lske ) ( 6 7) 1 b) ( ) c) ( x x). Olet edellä tutustunut kolmeen tärkeään muistikvn, joit trvitn esimerkiksi silloin, kun jetn tietynlisi trinomej tekijöihin eli kirjoitetn trinomi tulomuotoon. Tähän tutustut 9. luokn diplomiss. Älä unohd näitä tuloksi!!

5 C. YHTÄLÖNRATKAISUA Yhtälön rtkisuss etsitään kikki luvut, jotk toteuttvt nnetun yhtälön. Tällä trkoitetn sitä, että kun luvut sijoitetn muuttujn piklle, sdn tosi yhtälö. Mtemtiikn kursseill olet hrjoitellut ensimmäisen steen yhtälön j villinisen toisen steen yhtälön rtkisemist. Sovelletn nyt opittu tieto hstvmpiin tehtäviin ljenten myös hiemn sisisältöä. Ensimmäisen steen yhtälön x b 0 rtkisemisess käytetään hyväksi seurvi lukujen ominisuuksi: Yhtälön totuusrvo säilyy smn, mikäli (1) yhtälön molemmille puolille lisätään ti molemmilt puolilt vähennetään sm luku () yhtälö kerrotn ti jetn smll nollst erovll luvull. Näitä tietoj hyödyntäen löydetään muuttujlle yhtälön rtkisu/rtkisut eli juuri/juuret. Esimerkki 1: Rtkise yhtälö 6( x ) 18x. Rtkisuss poistetn ensin sulkeet: 6x 1 18x. Rtkisuss pyritään smn muuttujt toiselle puolen j vkiotermit toiselle puolen yhtälöä. Tämän vuoksi vähennetään yhtälön molemmilt puolin termi 18x j vstvsti lisätään yhtälön molemmille puolille vkiotermi 1: 6x 18x x 18x 1. Täten sdn: 1x 10. Jott muuttuj x sdn 10 5 rtkistu, jetn yhtälön molemmt puolet luvull 1. Nyt siis x. 1 6 x 3 x 1 Esimerkki : Rtkise yhtälö Tämän yhtälön rtkisemisess voi lvent termit ensin smnnimisiksi. Tässä hyvänä pun toimii nimittäjien pym (vrt. 7. luokn diplomi) eli pienin luku, jok jk luvut 4 j 6. Tällinen luku on 1. Sdn: 3(x 3) ( x 1) 1 6x 9 x 1 0, jost edelleen 0. Nyt yhtälön molemmt puolet voidn kerto luvull 1 j yhdistää smnmuotoisi termejä, jolloin sdn: 4x 1 0 x 1. 4 Olemme nyt löytäneet yhtälön rtkisun, jonk oikeellisuuden voit trkist sijoittmll lkuperäisen yhtälön muuttujn piklle sdun tuloksen. Kosk lkuperäisessä yhtälössä yhtälön oikell puolell on luku 0, niin myös vsemmlle puolelle pitää tull tulokseksi 0. Tällöin st identtisesti toden yhtälön 0 0 j stu yhtälön rtkisu on oikein. Esimerkin yhtälön olisi voinut rtkist myös siten, että heti lkuun poistisi nimittäjät kertomll yhtälön molemmt puolet luvull 1: 1(x 3) 1( x 1) Supistmisen jälkeen päädytään yhtälöön 3(x 3) 4( x 1) 1 0, jost helposti löydetään sm rtkisu. Käytä sitä tp, jok on itsellesi mukvmpi!

6 Tehtäviä Rtkise nnetut yhtälöt: (1 5x ) 40x x 5( 3x) (7 10x) x 4 x x 6 x 6 x Yhtälönrtkisutehtävistä sdn hstvmpi, kun niitä sovelletn ongelmnrtkisutehtäviin. Trtu hsteeseen j rtkise seurvt tehtävät! Tehtäviä Lukiolisen Oskrin kuukusirhst menee urheiluun, elokuviin, vtteisiin j herkkuihin. Kuink suuri hänen kuukusirhns on, kun 5 15 hänellä jää muihin menoihin 5? 14. Aku, Tupu, Lupu j Hupu jkvt työplkkns Akun määräysten mukn: Aku s suurimmn osuuden, Tupu toiseksi suurimmn osuuden, Lupu kolmnneksi suurimmn osuuden j Hupu pienimmän osuuden. Toiseksi suurin osuus on puolet suurimmst, kolmnneksi suurin osuus on kolmsos toiseksi suurimmst j pienin osuus on neljäsos kolmnneksi suurimmst. Suurimmn j pienimmän osuuden summ on 00. ) Kuink pljon kukin s? b) Kuink mont prosentti Hupun osuus on Akun osuudest? c) Kuink mont prosentti Tupun osuus on suurempi kuin Lupun osuus? d) Kuink mont prosentti Lupun osuus on pienempi kuin Tupun osuus?

7 15. Kesälomlle päässeet Ktj j Hnn lähtevät moporetkelle läheiselle uimrnnlle. He jvt luksi nopeudell 30 km/h puolet mtkst, jonk jälkeen he isthtvt syömään j nuttimn kesäpäivästä tunnin jksi. Toisen puoliskon mtkst he hurjstelevt nopeudell 40 km/h. Kuink pitkä mtk on, kun mtkn meni kokonisuudessn,5 h? Tehtävissä, joiss muuttujn lisäksi esiintyy tuntemton vkio (ns. prmetri), täytyy oll erityisen trkkn: Esimerkki: Rtkise yhtälö x 3. Normliin tpn tunnistetn, että kyseessä on ensimmäisen steen yhtälö, joten sdn x 5 (huom, että on vkio!). Jott muuttuj x sdn rtkistu, yhtälön molemmt puolet pitää jk luvull. Nyt pitää oll trkkn, sillä tässä jkolskuss täytyy huomioid tilnne, että olisikin luku 0. Siispä oletetn ensin, että 0. Tällöin x 3. Jos ts = 0, niin lkuperäiseen yhtälöön sijoitettun tämä tieto sdn 0 x 3 0 3, jok on identtisesti epätosi yhtälö. Täten tämän tehtävän vstus on: 3 x, 0 j yhtälöllä ei ole rtkisu, mikäli = 0. Tehtäviä 16. Rtkise yhtälöt ) x x 1 b) x (4 1).

8 Toisen steen yhtälön perusmuoto on x bx c 0, 0. Yhtälö on villininen, mikäli b = 0 ti c = 0. Tässä diplomiss hrjoitelln villinisi toisen steen yhtälöitä, mutt 9. luokn diplomiss opitn täydellisen toisen steen yhtälön rtkisu. Aloitetn tilnteest, joss b = 0. c Tällöin yhtälö on muoto x c 0. Rtkistn tästä ensin x. Sdn x. Huom, että 0 j näinhän onkin, jott yhtälö säilyisi toisen steen yhtälönä. Kosk x 0, niin myös c c 0, jott yhtälöllä on rtkisu. Jos näin on, niin yhtälön rtkisun on x. Esimerkki 1: Rtkise yhtälö x Edetään yllä olevn ohjeen mukn: x 16, jost edelleen x Esimerkki : Rtkise yhtälö x Kosk x 18, niin yhtälöllä ei ole rtkisu. 4 Esimerkki 3: Rtkise yhtälö x ( x 1) x. 7 Poistetn sulut, jolloin sdn x x x x x. Tulos on stu, mutt voimme vielä sieventää sitä, sillä. Siis x Trkstelln nyt yhtälöä, joss c = 0. Tällöin yhtälö tulee muotoon x bx 0. Tämän yhtälön rtkisuss käytetään tulon nollsääntöä, jonk mukn khden luvun tulo on noll vin, mikäli inkin toinen luvuist on noll. Aluksi meidän täytyy stt toisen steen yhtälö tulomuotoon ottmll yhteinen tekijä: x bx x( x b). Tämä luseke on noll, mikäli x = 0 ti x + b = 0. b Sdn siis rtkisuiksi x = 0 ti x, 0. Esimerkki 1: Rtkise yhtälö 3x 7x 0. Ottmll x yhteiseksi tekijäksi sdn x ( 3x 7) 0. Tästä edelleen tulon nollsääntöä 7 hyödyntäen x = 0 ti x. 3 Tehtäviä 17. Rtkise yhtälöt ) x b) x.

9 18. Rtkise yhtälöt ) 3x 6x b) x 5x 0.