Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

Transkriptio

1 DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen lskemist kts. luse.5. s. Lske seurvien funktioiden kikki loklit äärirvot. + 5 b c d ep e + + Luse L Hospitl Trench.4. Oletetn, etä funktiot f j g ovt derivoituvi j g on erisuuri kuin noll josskin b:n ympäristössä. Olkoon lim b lim b f g = ti b f = ± j lim b g = ±. f Oletetn, että lim b g = L, tällöin lim b f g = L. Vstvt tulokset ovt voimss myös toispuoleisille rj-rvoille. Huom. tässä b j L voivt oll ±.. Määritä seurvt rj-rvot lim sin d lim sin ep b lim c lim ep + e lim sin sin f lim sin sin Tällä kurssill käsitellään Riemnnin integrli jok on koulust tuttu integrli. Muit integrlej on mm. Riemnn-Stieltjes-integrli s. 5 j Lebesgueintegrli käsitellään kurssill Mitt- j integrliteori. Käydään luksi läpi sivut 4-6. Määritelmä Integrli kts. määr... j.., kuv..5 s. j luse..6. Olkoon f rjoitettu funktio välillä [,b] j joukko P = {,,...,n n } välin [,b] jko, ts. =, i < i j n = b. Olkoon M j = sup f j m j = inf f. j j j j Tällöin jko vstv yläsumm on SP = n j= M j j j j lsumm on sp = n j= m j j j. Nyt rjoitettu funktio f on Riemnn-integroituv, kun Z supsp = inf SP b = fd P P Luse Riemnn integroituvuus Luse.5.6. Rjoitettu funktio f on Riemnn-integroituv äärellisellä välillä [, b] jos j vin jos f on melkein kikkill jtkuv.

2 Esimerkiksi funktio f on jtkuv melkein kikkill jos sillä on epäjtkuvuus kohti vin numeroituv määrä. Luse Integrlin ominisuuksi: linerisuus luseet.. j.. j luse..9. Olkoon funktiot f j g integroituvi välillä [, b], olkoon c R m.v. vkio j vkio d,b. Nyt f+gd = c fd = c fd = Z d fd+ fd j gd, fd+ fd. d Funktion f : [, b] R integrlifunktio ntiderivtt on funktio F, jonk derivtt on f. Luse 4 Differentili- j integrlilskennn perusluse, luse..4. Jos funktio f : [,b] R on jtkuv, niin f on integroituv j jos F on jokin f :n integrlifunktio, niin fd = Fb F. Käydään läpi vielä joitkin integrlin ominisuuksi: Luse..5 osittisintegrointi, Luse..7 j.4. muuttujn vihto. Epäoleelliset integrlit käydään läpi määritelmä.4... Lske seurvt integrlit R d b R π sind c R d e R R d f ep d g R d d R π π cos d h R d 4. Oletetn, että vkio q R\{, }. Todist, että kikill n N pätee yhtälö Ktsotn määritelmä 4... n q k = qn+ k= q. Luse 5 Lukujonon rj-rvon lskeminen, luse Olkoon lim f = L, missä L R {, } j oletetn, että n = fn kun n N on suuri. Tällöin lim n = L. n q 5. Lske rj-rvo lim n+ n q, kun q R\{,}. Ktsotn luse Olkoon n R, missä n N, lukujono j olkoon S n = n k= n. Oletetn, että lim n S n = S, missä S R siis äärellinen. Osoit, että lim n =. n

3 Ktsotn luse 4.., luse 4..4, esimerkki 4.. j seurus Käydään läpi kpplett Tutki suppeneeko seurvt srjt k= k b k= rk k! 8. Lske summ ti osoit, että srj hjntuu k= k+ k +k +k 9. Lske seurvt integrlit b k= R epcosepd 5 k k+4 c k= kqk, tässä q <. b R e lnd. Tiedetään, että ep = n n n= n!, j tämä srj suppenee tsisesti jokisess äärellisessä välissä. Etsi srj jok suppenee kohti funktiot F = Z ep t dt.

4 Rtkisu tehtävään : f = + 5 tällöin f = + j f =. Aino mhdollinen äärirvokoht on kun f = = 5. Kosk f 5 = > niin 5 on lokli minimikoht j funktio s tässä rvon f 5 =. b f = tällöin f =, f = 6 j f = 6. Aino mhdollinen äärirvokoht on kun f = =. Kosk f = j f = 6, joten kosk kolms derivtt nollss on ensimmäinen nollst poikkev derivtt j kosk kolme on priton luku niin ko. funktioll ei ole yhtään äärirvo koht. c f = tällöin f = j f = 6. Ainot mhdolliset äärirvokohdt ovt kun f = = ±. Kosk f = 6 > niin on lokli minimikoht j kosk f = 6 < niin mksimikoht. Funktio s näissä kohdiss rvot f. d f = ep tällöin f = ep+ ep = + ep on lokli = j f = f = + 4 ep+ + ep = ep. Ainot mhdolliset äärirvokohdt ovt kun f = + = = ti + = = ti = ±. Kosk f = < niin on lokli mksimikoht, kosk f,6 > niin on lokli minimikoht j kosk f + 5,7 > niin + on lokli minimikoht. Funktio s näissä kohdiss rvot f =, f,8 j f +,. j e f = + + tällöin f = = = + j f = = = Ainot mhdolliset äärirvokohdt ovt kun f = = = ±. Kosk f = < niin on lokli mksimikoht j kosk f = > niin on lokli minimikoht. Funktio s näissä kohdiss rvot f = j f =.

5 Rtkisu tehtävään : f g : Kosk lim f =, lim g =, lim f cos = j lim g = joten lim sin lim f g =. Nyt L Hospitlin mukn lim sin =. f g : Kosk lim f n = n N, lim g =, lim g =, lim g =, lim g = 6. Nyt L Hospitlin mukn b lim ep ep ep 6 6 ep ep =. ep f c lim + g : Kosk lim f = j lim g = niin ep lim + =. d lim sin sin sin f g : Kosk lim f =, lim g =, lim f cos =, lim f = lim sin =, lim g sin + cos = j lim g cos + cos sin =. Nyt L Hospitlin mukn sin cos sin cos sin+cos sin =. e lim sin sin sin sin sin : Kosk -kohdn mukn lim lim sin = ktso esim. PCH niin lim sin sin = =. = j

6 Rtkisu tehtävään : R / d = = = = 4 6 b R π sind = / π cos = cosπ+cos = c R R / b d b b d b b b + = d π π cos d = π coscosd = π / π = sin π cosπ sin π cos π + = cos d = π Toinen tp. Kosk π π sin cos sin sind π π cos d = π cos d π sin d cos = cos+ = coscos sinsin = cos cos cos = + cos cos d = π + cosd = π + e R R / d = d = = = 6 f Z ep Z ep / ep ep ep Z d = ep d+ lim b b/ + lim + ep ep b + lim b π / π Z d+ ep d + lim ep b b 4 sin = π ep ep d b + ep = + =

7 g Z d = Z Z d+ Z / = + = d d+ lim b + / Z + lim b + b + lim b + joten kyseinen funktio ei ole integroituv välillä [,]. Huom! R d / = =. b d + b h R d = R π π sin tcostdt = R π π cos d d = π.

8 Rtkisu tehtävään 4: Olkoon n N m.v.. Merkitään Sn = n k= qk. Nyt q Sn Sn = Sn = qn+ q n+ k= q k n k= = qn+ q. q k = q n+ q = q n+ Rtkisu tehtävään 5: q n+ lim n q n q q q qn = q q q lim rj-rvo ei ole olemss kun q = q, kun q < n qn, kun q > Rtkisu tehtävään 6: lim n S n S n S n lim S n n n n n n S n lim m S m = S S =.

9 Rtkisu tehtävään f: lim sin sin : Tehtävä on hiemn huonosti seteltu kosk nimittäjä sin s rvon noll kun = nπ, missä n N. Mutt jtelln, että näissä kohdiss ko. funktio s vsemmnpuoleisen rj-rvon. Olkoon f = sin j > π, nyt f >, sillä sin > sin >. Joten osoittj on lueess > π positiivinen j jtkuv. Olkoon n N\{} mielivltinen, jtkuvuudest seur, että nπ:llä on olev ympäristö siten, että f > fnπ. Tässä ympäristössä sin s itseisrvoltn mielivltisen pieniä sekä positiivisi, että negtiivisi rvoj, joten funktio sin sin s mielivltisen suuri j pieniä tässä ympäristössä. Kosk n N\{} oli mielivltinen niin kyseinen rj-rvo ei voi oll olemss. Kuvss on hvinnollistettu tilnnett. sin//sin pi pi pi pi 4 pi 5 pi Kuv : Funktion sin sin kuvj välillä [π,5π]