Riemannin integraalista

Transkriptio

1 Lebesguen integrliin sl Ari Lehtonen Riemnnin integrlist

2 Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess: yhden muuttujn rjoitetuille funktioille f : [, b] R. Prempi integrli Kurssill Anlyysi 2 [17] osoitetn, että jos f : [, b] R on jtkuv, niin f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Vikk muunkinlisi (hnklmpi) Riemnnintegroituvi funktioit on olemss, ei Riemnnin integrlin vull void käsitellä kovin epäjtkuvi funktioit. Lebesguen mitn vull voidn osoitt, että f on Riemnn-integroituv, jos j vin jos funktion f epäjtkuvuuspisteiden muodostm joukko on nollmittinen. Kikki funktiot eivät Lebesguen mielessä ole integroituvi, mutt rjoitteet ovt huomttvsti väljempiä kuin Riemnn-integroituvuuteen liittyen. Esimerkkinä funktiost, jok ei ole Riemnn-integroituv, käytetään vrsin usein Dirichlet n funktion nimellä tunnettu funktiot f D : [0, 1] R, jolle { 1, kun x Q [0, 1], j f D (x) = 0, muuten. Dirichlet n funktio on epäjtkuv jokisess pisteessä x, joten se ei ole Riemnnintegroituv, mutt Lebesgue-integroituv f D on. Kuten Riemnnin integrli myös Lebesguen integrli määrittelee funktion kuvjn j x-kselin väliselle lueelle pint-ln. Pint-ln/integrlin määrittelytp kuitenkin ero näiden khden integrlin kohdll. Trkstelln esimerkkinä porrsfunktiot f : [0, 3] R, { 1, kun x [0, 1), j f(x) = 2, kun x [1, 3]. Kun välin [0, 3] jkopisteiksi vlitn x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 3, j pisteiksi ξ 1 = 1/2 j ξ 2 = 2, sdn Riemnnin summien vull 2 3 S = f(ξ k ) (x k x k 1 ) = = 5 = f(x) dx. k=1 Lebesguen integrli määrättäess jko suoritetn funktion rvojoukoss eli y- kselill, ei x-kselill. Tässä tpuksess funktion rvojoukko f([0, 3]) = {1, 2} =: {y 1, y 2 }. Määrätään näiden rvojen lkuvjoukot: f 1 ({y 1 }) = [0, 1) =: E 1 j f 1 ({y 2 }) = [2, 3] =: E 2. 1 Viimeksi muutettu i 0

3 FUNKTIOJONOT ii Lebesguen integrlille käytetään Lebesguen summi Σ = 2 y k m(e k ) = = 5. k=1 Tässä m(e k ) trkoitt joukon E k pituusmitt, mikä välin [, b] tpuksess on välin pituus b. Kun tätä sm ide sovelletn Dirichlet n funktioon f D, sdn f D ([0, 1]) = {0, 1} =: {y 1, y 2 } j f 1 ({y 1 }) = [0, 1] \ (Q [0, 1]) =: E 1 j f 1 ({y 2 }) = Q [0, 1] =: E 2. Vstv Lebesguen summ on Σ = 2 y k m(e k ) = 0 m(e 1 ) + 1 m(e 2 ). k=1 Joukon E 1 mitst ei trvitse välittää. Joukon E 2 mitksi osoittutuu noll, joten Lebesguen integrliksi sdn f D (x) dm(x) = 0. [0,1] Lebesgue on hvinnollistnut ero Riemnnin integrliin seurvsti: Oletetn, että pitää lske ison kolikkosäkillisen rvo. Riemnnin integrliss kolikot poimitn yksitellen j lsketn (tässä f(kolikko) = kolikon rvo): viisi senttiä + kksist senttiä + kksikymmentä senttiä + viisi senttiä Lebesguen integrliss kolikot ryhmitellään ensin rvons mukisiin pinoihin (lkuvjoukot). Tämän jälkeen kunkin pinon rvo on helppo määrätä, kuten koko säkillisen. Nerokst! Näin meneteltäisiin tietysti käytännossäkin (jos isoj kolikkosäkkejä olisi lskettvn). Funktiojonot Olkoon (f k ) k=1 : [, b] R, nnettu funktiojono. Kurssill Anlyysi 3 [18] on osoitettu, että jos ) jokinen f k on Riemnn-integroituv, j b) jono (f k ) k suppenee tsisesti kohti funktiot f, niin rjfunktio f on Riemnn-integroituv j ( ) b lim f k (x) dx = k b f(x) dx. On kuitenkin helppo nt esimerkki funktiojonost (f k ) k ) jokinen f k on Riemnn-integroituv, j b) jono (f k ) k suppenee pisteittäin kohti funktiot f, mutt rjfunktio f ei ole Riemnn-integroituv. Funktiojono (f k ) k voidn vieläpä vlit siten, että c) jono (f k ) k on tsisesti rjoitettu,

4 YHTEYS DERIVAATTAAN iii t.s. on olemss vkio M siten, että f k (x) M kikille x [, b] j k Z +. Jos rjfunktio f on Riemnn-integroituv, niin tällöin integroinnin j rjnkäynnin järjestys voidn viht, eli ( ) pätee. Tämän osoittminen pelkästään Riemnnin integrlin vull on kuitenkin melko hnkl. Todistus löytyy kirjst [2, Arzelàn luse 13 17]. Huom, että viite on kirjn ensimmäiseen litokseen. Tulost ei löydy kirjn toisest litoksest [3]. Syy tähän on yksinkertinen: kirjn ensimmäisess litoksess ei käsitellä linkn Lebesguen integrli (Lebesguen in mittkin vrsin suppesti), kun ts toisest litoksest löytyy vrsin elegntti Lebesguen integrlin käsittely (Arzelàn luseen tilll on Lebesguen integrlin rjnkäyntiluseit). Lebesguen integrlille tälliset rjnkäyntiluseet ovt huomttvsti yksinkertisempi kuin Riemnnin integrlille. Ennenkikke on voimss: jos ) jokinen f k on Lebesgue-integroituv, b) jono (f k ) k suppenee pisteittäin kohti funktiot f, j c) jono (f k ) k on tsisesti rjoitettu, niin tällöin rjfunktio f on utomttisesti Lebesgue-integroituv. Lisäksi integroinnin j rjnkäynnin järjestys voidn viht, eli ( ) pätee. Yhteys derivttn Vikk muinisill kreikklisill noin 2500 vuott sitten ei ollut lgebrllisi merkintätpoj, voidn heidän erilisten käyrien pituuksien, tsolueiden pint-lojen, vruuden kppleiden tilvuuksien j vippojen pint-lojen määräämismenetelmänsä ktso olevn integrlilskent. Menetelmät olivt pitkälti smnkltisi kuin nykyisin Riemnnin ti Drboux n summien käyttö. Nykyikisen integrlilskennn huomttvsti suurempi tehokkuus perustuu suurelt osin tärkeään oivllukseen: integrlin j derivtn väliseen yhteyteen eli nlyysin perusluseeseen. Anlyysin perusluseit on oikestn useit. Kurssill Anlyysi 2 on todistettu inkin os seurvist tuloksist: Luse 1 (Anlyysin perusluse I). Olkoon f : [, b] R jtkuv. Asetetn F (x) := x f(x) dx, kun x [, b]. Tällöin F on funktion f primitiivi eli F on derivoituv välin [, b] jokisess pisteessä j F (x) = f(x) kikille x [, b]. Luse 2 (Anlyysin perusluse II). Olkoon G: [, b] R funktion f : [, b] R primitiivi. Jos f on Riemnn-integroituv, niin x f(t) dt = x = G(x) G(). G(t) Luse 3 (Anlyysin perusluse III). Olkoon F : [, b] R välillä [, b] derivoituv funktio. Jos F (x) = 0 kikille x [, b], niin F on vkio.

5 KURSSIN SISÄLLÖSTÄ iv Perusluseen III merkitys on selvä: se tk, että funktion primitiivi on dditiivist vkiot ville yksikäsitteisesti määrätty. Perusluseet I j II ovt epäsymmetriset: funktion f jtkuvuus tk Riemnnintegroituvuuden j Riemnnin integrli x x f(x) dx nt primitiivin. Jtkuvuus on kuitenkin vhv oletus. Perusluseen II oletus derivtn G = f Riemnn- integroituvuudest on luonnollisempi, mutt riittääkö se siihen, että x x f(x) dx olisi funktion f primitiivi? Entä kääntäen: jos G on derivoituv välillä [, b], niin onko derivtt G välttämättä Riemnn-integroituv? Vito Volterr ntoi vuonn 1881 esimerkin derivoituvst funktiost, jonk derivtt on rjoitettu, mutt ei ole Riemnn-integroituv. Tämä Volterrn esimerkki oli yksi tärkeimpiä Lebesguen työn knnustimi. Hän hlusi prnt integrlikäsitettä niin, että funktio voidn in rekonstruoid derivtstn. Derivoituvn funktion F derivtt F tulee in olemn Lebesgue-mitllinen, j jos F on rjoitettu, niin F on Lebesgue-integroituv. Perusluseit I j II vstvt tulokset Lebesguen integrlille ovt symmetrisempiä. Kurssin sisällöstä Lebesguen mitn j integrlin esitystp on vuosikymmenten stoss muuttunut melkoisesti j mitt/integrli esitetään yleensä n-ulotteisen euklidisen vruuden välin tilvuusmitn/moniulotteisen Riemnnin integrlin yleistyksenä. Mitn käsitettä on myös yleistetty eri tvoin. Esimerkiksi todennäköisyyslskennn käsite tphtumn A todennäköisyys voidn jtell joukon A mitksi todennäköisyysmitn P suhteen. Tässä tekstissä pltn kuitenkin juurille; trksteltvt funktiot on määritelty relikselill (usein kompktill välillä [, b]) j yleensä ne ovt rjoitettuj. Tekstiä ldittess pun on käytetty kirjoj [3, Ch. 10], [31, Ch. II], [36, Ch. 6], j [39], joiden esitys perustuu Frigyes Rieszin [30] vuonn 1919 luonnostelemn, tuttuj porrsfunktiot käyttävään menetelmään, joss ensin määritellään integrli j vst myöhemmässä viheess joukon mitt. Legesgue in lkuperäinen määrittely etenee juuri päinvstoin: ensin trkstelln joukkojen mitt j vst sitten integrli määritellään luss hhmotellull, lkukuvjoukkoj käyttävällä tvll. Myös j 1950-lukujen vihteess kirjoitettu Ntnsonin kirj [27] on ollut hyvänä pun. Se on hyödyllistä luettv esimerkiksi hluttess selvittää mitä Lebesguen väitöskirjss [22] (vuodelt 1902) j luennoiss [23] (vuodelt 1904) snotn; se ei ole liin moderni j se on vrsin huollisesti kirjoitettu. Jott esityksestä ei tulisi kovin rskst, os ilmeisiltä näytävistä tuloksist hyväksytään sellisenn. Puuttuvi todistuksi ti inkin todistusideoit käydään kuitenkin läpi kohdiss, jotk on otsikoitu Täydentäviä tuloksi. Selvyyden vuoksi tällisten kohtien numerointi on merkitty tähdellä kuten Luse *2.9. Tekstiin on lisäksi pyritty liittämään Riemnnin j Lebesguen integrlien kehityskulkuun liittyviä historillisi huomutuksi. Nämä kohdt on tekstissä erotettu erilisell kirjsinljill.

6 HARJOITUSTEHTÄVIÄ v Hrjoitustehtäviä 1. Olkoon k r k, Z + Q [0, 1] bijektio. Määritellään g k : [0, 1] R, g k (r k ) = 1 j g(x) = 0 muuten. Olkoon f n (x) = n k=1 g k(x). Osoit, että (i) jokinen f n on Riemnn-integroituv; (ii) jono (f k ) k=1 on tsisesti rjoitettu; j (iii) f k f D pisteittäin. Tässä f D on Dirichlet n funktio. 2. Olkoon F : [0, 2] R, F (x) = 1, kun x [0, 1] j F (x) = 2, kun x (1, 2]. Osoit, että F on derivoituv välillä [0, 2] lukuunottmtt pistettä x = 1. Asetetn f(x) = F (x), kun x [0, 2] \ {1}, j f(1) = 0. Mitkä nlyysin perusluseiden I III väitteistä ovt voimss?