Sarjojen tasainen suppeneminen

Transkriptio

1 Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013

2 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist Lukujoukoist Lukujonot Srjt Srjojen suppeneminen Funktioist Trigonometrisist funktioist Rj-rvo j jtkuvuus Derivoituvuus Integroituvuus Integrlifunktio Funktiojonot Pisteittäinen suppeneminen Tsinen suppeneminen Tsiseen suppenemiseen liittyviä tuloksi Rjfunktion jtkuvuus Funktiojonojen integroiminen Funktiojonojen derivoiminen Funktiosrjt Srjojen tsinen suppeneminen Weierstrssin kriteeri Srjojen integroiminen Srjojen derivoiminen Kikkill jtkuvt ei missään derivoituvt funktiot Histori Weierstrssin funktio

3 1 Johdnto Tutkielmn trkoituksen on käsitellä funktiosrjojen tsist suppenemist j siihen liittyvää funktiosrjojen termeittäin derivoimist j integroimist. Tvoitteen oli luod selkeä johdnto tähän iheeseen esittelemällä pohjtiedot kttvsti j hvinnollistmll teori selkein esimerkein. Näin ollen syvällisempi teoreettinen trkstelu j sovellutukset rjutuivt työn ulkopuolelle. Vikk pohjtietoj esitetään melko runssti, edellytetään lukijlt perustuntemust funktioist j relilukusrjoist. Luvuss 2 esitellään trvittvt tiedot lukujoukoist, määritellään lyhyesti lukujonot j srjt sekä käsitellään srjojen suppenemiseen liittyviä perusluseit. Eritoten supremum j geometrisen srjn summ ovt tärkeitä työkluj. Luvuss 3 käydään läpi tämän työn knnlt olennisi funktioiden ominisuuksi. Srjoiss esiintyy usein trigonometrisi funktioit, joten niiden perusominisuudet kerrtn. Esitellään lyhyesti rj-rvo, jtkuvuus, derivoituvuus j integroituvuus. Näihin liittyvistä luseist esitetään tämän työn knnlt oleelliset, joskin todistukset sivuutetn työn fokuksen säilyttämiseksi. Integroituvuus määritellään Drboux n summien vull j Esimerkeissä j hvinnollistetn määritelmään pohjv integrlin määräämistä. Tässä kohdss yksityiskohtisuus on trpeen, jott jtkoss voidn perustell epäjtkuvn funktion määrätyn integrlin olemss olo. Luvuss 4 käsitellään funktiojonojen pisteittäistä j tsist suppenemist, joist jälkimmäisen osoitetn olevn riittävä ehto jtkuvuuden säilymiselle. Lisäksi osoitetn funktiojonon tsisen suppenemisen olevn edellytys sille, että funktiojonon rj-rvon otnnn j integroinnin järjestys voidn viht. Funktiojonon derivoimisen tpuksess huomtn, että tsisen suppenemisen lisäksi trvitn ehto funktiojonon derivttojen tsisest suppenemisest, jott derivoinnin j rj-rvon otnnn järjestys voidn viht. Funktiojonoist siirrytään Luvun 5 funktiosrjoihin. Määritellään tsinen suppeneminen funktiosrjojen tpuksess j esitellään kksi lusett, joiden nojll voidn tsinen suppeneminen todet. Tärkeä tulos on Luse 5.1.7, jonk mukn srjn tsisest suppenemisest seur srjn summfunktion jtkuvuus. Srjojen termeittäin integroimiseen j derivoimiseen liittyvät luseet käsitellään esimerkkeineen. Luvuss 6 tutustn vielä funktiosrjojen tsiseen suppenemiseen liittyvään erikoisuuteen, niin kutsuttuihin ptologisiin funktioihin. Nämä ovt funktiosrjoj F(x) = f k(x), joiden tsisest suppenemisest seur funk- 1

4 tion F jtkuvuus, mutt äärellistä derivtt ei ole olemss millään funktioiden f k määrittelyvälillä. Mielenkiinnon vuoksi esitellään hiemn tämän ilmiön löytämisen histori, jonk jälkeen tutustutn Weierstrssin funktioon j todistetn tämän funktion olevn kikkill jtkuv, mutt ei missään derivoituv. 2 Lukujonoist j srjoist 2.1 Lukujoukoist Esitellään luksi joukkojen rjoittuvuuteen liittyviä määritelmiä sekä kolmioepäyhtälö. Joukko S trkoitt tässä yhteydessä jotin relilukujoukon R epätyhjää osjoukko. Määritelmä Reliluku M kutstutn joukon S mksimiksi, jos x M kikill x S j M S. Reliluku m on joukon S minimi, jos x m kikill x S j m S. Määritelmä Joukko S on ylhäältä rjoitettu, jos on olemss reliluku B siten, että x B kikill x S. Luku B snotn joukon ylärjksi. Vstvsti joukko on lhlt rjoitettu, jos on olemss reliluku b siten, että x b kikill x S. Tällöin b on joukon lrj. Jos joukoll on minimi ti mksimi, niin se on vstvsti joukon yläti lrj. Toisin kuin minimi j mksimi, joukon ylä- j lrj eivät ole yksikäsitteisiä. Trvitn pienimmän ylärjn j suurimmn lrjn määritelmät. Määritelmä (Supremum). Olkoon joukko S ylhäältä rjoitettu. Tällöin G on joukon S pienin ylärj, supremum, jos se on joukon ylärj j pienin kikist ylärjoist. Siis x G kikill x S j G B kikille joukon S ylärjoille B. Lukujoukon supremumi merkitään G = sups. Määritelmä (Infimum). Olkoon joukko S lhlt rjoitettu. Tällöin g on joukon S suurin lrj, infimum, jos se on joukon lrj j suurin kikist lrjoist. Siis x g kikill x S j g b kikille joukon S lrjoille b. Lukujoukon ifimumi merkitään g = infs. Jos joukoll on mksimi (ti minimi) niin mxs = sups (mins = infs). Lemm (Kolmioepäyhtälö). Jos j b ovt relilukuj, niin +b + b. 2

5 Todistus. Ks. [16, s. 3]. Seurus Jos j b ovt relilukuj, niin +b b. Todistus. Ks. [16, s. 3]. 2.2 Lukujonot Ääretön lukujono on järjestetty joukko lukuj ( k ) = { 1, 2, 3,...}. Määritelmä Ääretön lukujono on funktio, jonk määrittelyjoukko on luonnollisten lukujen joukko j mlijoukko mikä thns lukujoukko: f : N K, missä usein K = N,Q,R. Lukujono merkitään ( k ), lyhyemmin ( k ), missä k = f(k). Huomutus Määritelmä on tämän työn muotoiluun sopivll tvll ilmistu. Useiss lähteissä käytetään määrittelyjoukkon ei-negtiivisten kokonislukujen joukko {N 0}. Minittkoon lisäksi, että indeksointi ei ole yleisesti sidottu joukkoon {1,2,3,...}, vn se voi oll mikä thns einegtiivisten kokonislukujen osjoukko. Tässä työssä keskitytään relilukujonoihin ( k ) : N R, joisskin tpuksiss esityksen yksinkertistmiseksi on käytetty indeksointi nollst lken. Määritelmä Lukujono ( k ) suppenee kohti rvo A, jos jokist ε > 0 kohti on olemss kokonisluku N siten, että kikill k on voimss k > N k A < ε. Jos tällist lukuaei ole, lukujono( k ) hjntuu. Jos lukujono( k ) suppenee kohti rvo A, merkitään lim k k = A, ti yksinkertisemmin k A. Tällöin A on lukujonon rj-rvo. Määritelmä on hyvin smnkltinen kuin määritelmä funktion rjrvolle äärettömyydessä. 3

6 2.3 Srjt Srjll trkoitetn äärettömän lukujonon termien summ k = Kosk srjss on ääretön määrä summttvi, ei kikki termejä void lske yhteen. Näin ollen srjoj trkstelln muodostmll ossummi. Srjn n:n ensimmäisen termin ossumm on S n = n, jok äärellisenä summn voidn lske. Määritelmä Olkoon ( k ) ääretön lukujono. Tällöin summ on ääretön srj. Luku n on srjn n:s termi. Lukujono (S k ), määriteltynä seurvsti k S 1 = 1 S 2 = S n = n =. n k on srjn ossummien jono, joss S n on srjn n:s ossumm. Jos ossummien jono suppenee kohti rj-rvo S, myös srj suppenee j sen summ on S. Näin ollen k = lim n S n = lim n n k = S. Jos ossummien jono ei suppene, se hjntuu. 4

7 2.4 Srjojen suppeneminen Tässä kppleess esitetään srjojen suppenemiseen liittyviä tunnettuin pidettäviä puluseit. Positiivitermisellä srjll trkoitetn srj k, jolle k > 0 kikill k N. Määritelmä Srj q k 1 = +q +q 2 +q 3 +, 0, kutsutn geometriseksi srjksi. Lemm Geometrisen srjn qk 1 n:s ossumm on Jos q < 1, srj suppenee j Jos q 1, srj hjntuu. S n = (1 qn ). 1 q q k 1 =, q < 1. 1 q Todistus. Muodostetn luseke S n qs n eksplisiittisessä muodoss j rtkistn S n. Kun q < 1, lim n q n = 0 j väite seur. Lemm Jos srj k suppenee, niin lim k k = 0. Todistus. Ks. [5, s. 37]. Lemm (Mjorntti- j minornttiperite). Olkoon k j b k positiivitermisiä srjoj. Olkoon lisäksi olemss N siten, että k b k, kun k > N. 1. Jos mjorntti b k suppenee, k suppenee. 2. Jos minorntti k hjntuu, b k hjntuu. Todistus. Ks. [6, s. 381]. 5

8 Lemm Srj 1 k p suppenee, kun p > 1 j hjntuu, kun p 1. Todistus. Srjn suppeneminen, kun p > 1, osoitetn kuten lähteessä [6]. Srjn hjntuminen, kun p = 1, osoitetn kuten lähteissä [2] j [8]. Kun p < 1, kikill k pätee k k p 1 k 1 k p j srjn hjntuminen seur minornttiperitteen nojll. Lemm (Suhdetestin rj-rvomuoto). Positiiviterminen srj k suppenee, jos k+1 lim = ρ < 1. k k Todistus. Ks. [11, s. 28]. Lemm (Leibnizin luse). Olkoon luvut k, k N, positiivisi. Jos k > k+1 kikillk N j lim k k = 0, niin vuorottelev srj ( 1)k 1 k suppenee. Lisäksi jäännöstermi R n on smnmerkkinen kuin srjn n+1:s termi j R n < n+1. Todistus. Ks. [11, s. 40]. 3 Funktioist Tässä kppleess esitellään relimuuttujn relirvoisiin funktioihin, f : R R, liittyviä määritelmiä j luseit. Näistä lisätieto löytyy nlyysin peruskirjllisuudest pljon, minittkoon tässä Myrberg, [10], j Ross, [12]. 3.1 Trigonometrisist funktioist Plutetn mieleen trigonometristen funktioiden sinin j kosinin tunnettuin pidettäviä ominisuuksi, jotk ovt olennisi jäljempänä työssä. Minittkoon, että funktiot sinx j cosx ovt määriteltyjä j jtkuvi koko relilukujoukoss. 6

9 Lemm Funktioille sin x j cos x pätee 1. sinx 1 j cosx 1 kikill x R. 2. cosx 0, kun x [ π 2 +2nπ, π 2 +2nπ], n Z. 3. sin(nπ) = 0 j cos((2n+1)π) = 1, n Z. 4. e ix = cosx+isinx, missä i on imginääriyksikkö. 5. cos(x+y) = cosxcosy sinxsiny. 6. sinx x kikill x R. 3.2 Rj-rvo j jtkuvuus Funktioille on voimss vstvt rjoittuvuuden, supremumin j infimumin määritelmät kuin lukujoukoille (Määritelmät 2.1.1, 2.1.2, j 2.1.4). Rj-rvon määritelmä funktioille on seurv: Määritelmä (Rj-rvo). Funktioll f on pisteessä x 0 R rjrvon reliluku L, jos jokist luku ε > 0 vst sellinen luku δ > 0, että f(x) L < ε, kun 0 < x x 0 < δ. Tällöin merkitään Toispuoleiset rj-rvot lim f(x) = L. x x 0 lim f(x) j x x + 0 lim x x 0 f(x) määritellään vstvsti. Funktion jtkuvuus trkoitt geometrisessä mielessä sitä, että funktion kuvj on yhtenäinen, ktkemton käyrä. Täsmällisesti funktion jtkuvuus määritellään rj-rvon vull. Määritelmä (Jtkuvuus). Avoimell välillä I määritelty funktio f on jtkuv pisteessä x 0 I, jos lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Jos f ei ole jtkuv pisteessä x 0, se on x 0 :ss epäjtkuv. Tällöin funktioll joko ei ole rj-rvo pisteessä x 0 ti lim x x0 f(x) f(x 0 ). 7

10 Rj-rvon määritelmä huomioon otten jtkuvuuden määritelmä sisältää seurvn [10]: Seurus Funktio f on jtkuv pisteessä x 0, jos j vin jos jokist luku ε > 0 vst luku δ > 0 siten, että f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ. Määritelmä Funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[, jos se on jtkuv jokisess pisteessä x 0 ],b[. Jtkuvuus suljetull ti puolivoimell välillä määritellään vstvsti toispuoleisten rj-rvojen vull. Määritelmä Funktio on suljetull välillä [,b] jtkuv, jos se on jtkuv voimell välillä ], b[, oikelt jtkuv pisteessä j vsemmlt jtkuv pisteessä b. Luse Jos funktiot f j g ovt jtkuvi pistessä x 0, niin f + g on jtkuv pisteessä x 0. Todistus. Ks. [12, s. 92]. 3.3 Derivoituvuus Funktion jtkuvuus on välttämätön muttei riittävä, kuten jäljempänä nähdään ehto funktion derivoituvuudelle. Geometrisesti tulkittun funktion derivtt trkoitt funktion tngentin kulmkerroint. Täsmällinen määritelmä esitetään rj-rvon vull. Määritelmä (Derivtt). Olkoon f määritelty jollkin voimell välillä ],b[. Funktion snotn olevn derivoituv pisteessä x 0 ],b[, jos erotusosmäärän rj-rvo f(x 0 +h) f(x 0 ) lim h 0 h = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = f (x 0 ) on äärellisenä olemss. Tällöin f (x 0 ) on funktion f derivtt pisteessä x 0. Funktio on derivoituv voimell välillä, jos se on derivoituv jokisess välin pisteessä. Funktion f(x) derivtt voidn merkitä Df(x). Lemm (Rollen luse). Olkoon välillä [, b] määritelty funktio f derivoituv kikillx ],b[ j jtkuv myös välin päätepisteissä. Josf() = f(b), on olemss vähintään yksi piste c ],b[, jolle f (c) = 0. 8

11 Todistus. Ks. [1, s. 110]. Luse (Välirvoluse). Olkoon välillä [, b] määritelty funktio f derivoituv kikill x ], b[ j jtkuv myös välin päätepisteissä. Tällöin on olemss c ],b[, jolle f (c) = f(b) f(). b Todistus. Olkoon h(x) = f(x)(b ) x(f(b) f()). Nyt h on derivoituv välillä ],b[ j h() = bf() f(b) = h(b). Luseen nojll on siis olemss c ],b[, jolle h (x) = 0: h (c) = f (c)(b ) (f(b) f()) = 0 f (c) = f(b) f(). b 3.4 Integroituvuus Esitellään lyhyesti Riemnn-integrli Drboux n summien vull. Määritelmä Olkoon f rjoitettu funktio suljetull välillä I = [, b]. Osjoukolle I I otetn käyttöön merkinnät: M(f,I ) = sup{f(x) : x I } j m(f,i ) = inf{f(x) : x I }, joit hvinnollist Kuv 1.Välin [, b] jko on jokin järjestetty osjoukko P, muoto P = { = x 0 < x 1 < < x n = b}. Drboux n yläsumm U(f,P) jon P suhteen on summ U(f,P) = j Drboux n lsumm on L(f,P) = n M(f,[x k 1,x k ]) (x k x k 1 ) n m(f,[x k 1,x k ]) (x k x k 1 ). Funktion f Drboux n yläintegrli U(f) yli välin [, b] määritellään yläsummien infimumin U(f) = inf{u(f,p) : P on välin [,b] jko} 9

12 j lintegrli L(f) määritellään lsummien supremumin L(f) = sup{l(f,p) : P on välin [,b] jko}. Funktion f snotn olevn integroituv välillä [,b], jos L(f) = U(f). Kuv 1: Drboux n summ Riemnnin summn vull esitetty määritelmä ero hiemn Drboux n määritelmästä. Riemnnin integrli määriteltiin lunperin Riemnnin summn rj-rvon, mutt tämä joht smn määritelmään: Luse (Riemnn-integrli). Välillä[, b] rjoitettu funktio on Riemnnintegroituv, jos j vin jos se on Drboux-integroituv. Tällöin integrlin rvot ovt yhtä suuret j merkitään b f(x)dx = L(f) = U(f). Todistus. Ks. [12, s. 185, ]. Olennist on tietää myös funktion jtkuvuuden j integroituvuuden välinen yhteys: Lemm Suljetull välillä jtkuv funktio on integroituv. Todistus. Ks. [10, s. 206] ti [12, s. 205]. Seurvksi esitetään kksi esimerkkiä epäjtkuvn funktion integrleist. Näitä trvitn kppleess

13 Esimerkki Olkoon f välillä [0,1] määritelty funktio { 0, kun 0 x < 1 f(x) = 1, kun x = 1. Lsketn 1 f(x)dx Määritelmän mukn. Muodostetn Drboux n 0 summt. Olkoon P ε = {0,1 ε,1} välin I = [0,1] jko, 0 < ε < 1. Nyt lsumm on jokiselle välin [0,1] jolle P n L(f,P) = m(f,[x k 1,x k ]) (x k x k 1 ) n 1 = m(f,[x k 1,x k ]) (x k x k 1 )+m(f,[x n 1,x n ]) (x n x n 1 ) n 1 = 0 (x k x k 1 )+0 (1 (1 ε)) = 0, joten lintegrliksi sdn L(f) = sup{l(f,p) : P on välin [,b] jko} = 0. Tästä seur, että U(f) 0 ([12, s. 187]) kikille välin joille P. Yläsumm on n U(f,P ε ) = M(f,[x k 1,x k ]) (x k x k 1 ) n 1 = M(f,[x k 1,x k ]) (x k x k 1 )+M(f,[x n 1,x n ]) (x n x n 1 ) n 1 = 0 (x k x k 1 )+1 (1 (1 ε)) = ε. Tihennetään välin jko P ε, jolloin j yläintegrliksi sdn n ε 0 U(f) = inf{u(f,p) : P on välin [,b] jko} = inf{ε : ε > 0} = 0. Kosk U(f) = L(f) = 0, on f Luseen nojll integroituv välillä [0, 1] j 1 0 f(x)dx = U(f) = 0. 11

14 Lemm Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Jos < c < b j f on integroituv väleillä [,c] j [c,b], niin f on integroituv välillä [,b] j b f(x)dx = c f(x)dx+ b c f(x)dx. Todistus. Ks. [12, s. 195]. Lemm Olkoon f j g integroituvi funktioit välillä [, b], b. Tällöin 1. b (f(x)±g(x))dx = b f(x)dx± 2. b b f(x)dx f(x) dx. 3. b b f(x)dx sup f(x) (b ). x [,b] g(x)dx. Todistus. Ks. [13, s. 218], [4, s. 63], [10, s. 224]. Esimerkki Olkoon f välillä [0, 1] määritelty funktio, jolle jollkin C N { C, kun 0 < x < 1 C f(x) = 0, muutoin. Määritetään 1 f(x)dx. Välillä [0, 1 ] funktion f integroituvuus perustelln 0 C kuten Esimerkin tpuksess. Integrliksi sdn 1 C 0 f(x)dx = 1. Selvästi funktio f on integroituv välillä [ 1,1] j 1 1 f(x)dx = 0. Näin ollen C C Lemmn nojll sdn 1 0 f(x)dx = 1 C 0 f(x)dx+ 1 1 C f(x)dx = 1. 12

15 3.5 Integrlifunktio Jtkoss trvitn integrlifunktion käsitettä ominisuuksineen. Määritelmä Olkoon f välillä I määritelty funktio. Jos on olemss derivoituv funktio F siten, että kikill x I F (x) = f(x), snotn funktiot F funktion f integrlifunktioksi eli primitiiviksi. Mhdollisiss välin I päätepisteissä derivoituvuus ymmärretään toispuoleisen. Luse Jos funktio f on integroituv välillä [,b] j jtkuv pisteessä x 0 [,b], niin funktio F F(x) = f(t)dt on derivoituv pisteessä x 0 j F (x 0 ) = f(x 0 ). Päätepisteissä jtkuvuus j derivoituvuus ymmärretään toispuoleisen. Todistus. Ks. [10, s ]. Luseest seur: Seurus Välillä [, b] jtkuvll funktioll on f on integrlifunktio F, joll on luseke F(x) = f(t)dt. Kikki funktion f integrlifunktiot sdn prvest F +C, missä C R. Luse (Anlyysin perusluse 1). Olkoon funktio f suljetull välillä [,b] jtkuv j F jokin funktion f integrlifunktio välillä [,b]. Silloin b f(x)dx = b/ F(x) = F(b) F(). Todistus. Ks. [12, s. 199]. 13

16 4 Funktiojonot Jott voidn trkstell srjojen tsist suppenemist, trvitn funktiojonojen suppenemiseen liittyviä määritelmiä j luseit. Jtkoss merkinnällä (f k ) trkoitetn päättymätöntä jono jollkin välillä I määriteltyjä relimuuttujn relirvoisi funktioit (f k ) = (f k ) = {f 1,f 2,f 3,...}, f k : I R. 4.1 Pisteittäinen suppeneminen Määritellään ensin funktiojonon pisteittäinen suppeneminen yksinkertisesti rj-rvon vull. Määritelmä Funktiojono (f k ) suppenee pisteittäin kohti funktiot f välillä I, jos lim k f k(x) = f(x) kikill x I. Jott voidn vivttommmin vertill pisteittäistä suppenemist tsiseen suppenemiseen esitetään Määritelmä seurvnlisess muodoss. Määritelmä Funktiojono (f k ) suppenee pisteittäin kohti funktiot f välillä I, jos jokisell x I lukujono (f k (x)) suppenee kohti luku f(x); toisin snoen, jokisell x I j ε > 0, on olemss N siten, että k > N f k (x) f(x) < ε. Esimerkki Funktiojono f k (x) = x suppenee kohti funktiot f(x) = 0 k koko relilukujoukoss, sillä lim k = 0, kikill x R. Esimerkki Funktiojono f k (x) = x k (Kuv 2) suppenee välillä [0,1] kohti funktiot f, jolle f(x) = { 0, kun 0 x < 1 1, kun x = 1,, sillä lim k x k = 0, kun 0 x < 1 j lim k f k (1) = lim k 1 k = 1. Esimerkki näyttää, että jtkuvien funktioiden muodostmn jonon rj-rvo ei itse välttämättä ole jtkuv. Vikk funktiojono f k suppenee pisteittäin kohti funktiot f, niin mitä lähempänä piste x on rvo 1, sitä kuemmin kestää jonon f k (x) supet kohti rvo f(x). Itsesiss, Määritelmässä luvun N tulisi lähestyä ääretöntä, jott rvo f k (x) stisiin mielivltisen lähelle rvo f(x). 14

17 Kuv 2: Funktioit f k (x) = x k. Esimerkki Trkstelln välillä ]0,1[ funktiojono f k, jolle f k (x) = 0 muutoin, pitsif k (x) = k, kun0 < x < 1 (Kuv 3). Kikillε > 0 jx ]0,1[ k voidn vlit N > 1. Tällöin x jost seur k > N k > 1 x x > 1 k, f k (x) f(x) = 0 0 < ε, joten Määritelmän mukn jono f k (x) suppenee pisteittäin kohti funktiot f Tsinen suppeneminen Funktiojonon tsinen suppeneminen voidn määritellä supremumin vull seurvsti: Määritelmä Funktiojono (f k ) suppenee tsisesti kohti funktiot f välillä I, jos σ k = sup f k (x) f(x) 0, kun k. x I 15

18 Kuv 3: Funktioit f k = k, kun 0 < x < 1 k, 0 muutoin Vertilun vuoksi esitetään Määritelmä eri muodoss: Määritelmä Funktiojono (f k ) suppenee tsisesti kohti funktiot f välillä I, jos jokiselle ε > 0 on olemss kokonisluku N siten, että k > N f k (x) f(x) < ε kikill x I. Aino ero Määritelmillä j on se, että jälkimmäisessä luku N minitn ennen muuttuj x, joten smn luvun N on toimittv kikill x. Määritelmässä luvun N on sllittu riippu muuttujst x. Määritelmän geometrinen tulkint on, että jokisen funktion f k kuvjn on sijittv kuvjien f + ε j f ε välissä (Kuv 4). Selvästi, jos jono (f k ) suppenee tsisesti kohti funktiot f, niin (f k ) myös suppenee pisteittäin kohti funktiot f. Tämä ehto ei ole käännettävissä. [5] Esimerkki Esimerkin funktiojono ei suppene tsisesti kohti rjfunktiotn, sillä kun k. σ k = sup f k (x) f(x) = k 0, x ]0,1[ 16

19 Esimerkki [11] Trkstelln jononf k (x) = xk suppenemist. Välillä k x [ 1,1] jono suppenee tsisesti kohti rjfunktiot f 0, sillä σ k = sup x k k = 1 k 0, x 1 kun k. Kun x > 1, jono f k hjntuu. Kuv 4: Funktiojonon kuvji ε - putkess. 4.3 Tsiseen suppenemiseen liittyviä tuloksi Tässä kppleess esitetään funktiojonojen tsiseen suppenemiseen liittyvät kolme tärkeää tulost. Ensin trkstelln jtkuvuuden säilymistä, jonk jälkeen esitellään funktiojonojen integroimist j derivoimist koskevt luseet Rjfunktion jtkuvuus Jtkuvien funktioiden muodostmn jonon rjfunktio ei välttämättä ole jtkuv (Esimerkki 4.1.4). Toislt rjfunktio voi oll jtkuv ilmn funktiojonon tsist suppenemist (Esimerkit j 4.2.3). Luseen mukn tsinen suppeneminen on riittävä, muttei välttämätön ehto rjfunktion jtkuvuudelle. 17

20 Luse Olkoon funktiot f k välillä I määriteltyjä jtkuvi funktioit. Jos jono (f k ) suppenee tsisesti kohti funktiot f välillä I, niin rjfunktio f on jtkuv välillä I. Todistus esimerkiksi Morgnin, [9], tpn. Todistus. Olkoon ε > 0. Oletetn, että jono (f k ) suppenee tsisesti kohti funktiot f välillä I. Määritelmän mukisesti on olemss N siten, että kikill x I pätee k > N f k (x) f(x) < ε 3, erityisesti f N+1 (x) f(x) < ε 3. Kosk f N+1 on jtkuv, voidn Seuruksen nojll pisteelle x 0 I vlit δ > 0 siten, että Tällöin x x 0 < δ f N+1 (x) f N+1 (x 0 ) < ε 3. f(x) f(x 0 ) = f(x) f N+1 (x)+f N+1 (x) f N+1 (x 0 )+f N+1 (x 0 ) f(x 0 ) L f(x) f N+1 (x) + f N+1 (x) f N+1 (x 0 ) + f N+1 (x 0 ) f(x 0 ) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, kun x x 0 < δ, joten f on jtkuv pisteessä x 0. Kosk piste x 0 I on mielivltinen, tulos pätee koko välillä I. Huomutus Luseen vull voidn joissin tpuksiss osoitt, ettei suppeneminen ole tsist. Esimerkin tilnteess suppeneminen ei voi oll tsist, sillä jos näin olisi, niin Luseen mukn myös rjfunktio olisi jtkuv Funktiojonojen integroiminen Käsitellään seurvksi funktiojonojen integroimist. Selvitetään, milloin funktiojonon integrlin rj-rvo on sm kuin rjfunktion integrli. Seurvss esimerkissä rjnkäynnin j integroinnin järjestyksellä ei ole merkitystä tuloksen knnlt, vikk kyseessä on epäjtkuv funktio [1, s. 227]. Esimerkki Trkstelln Esimerkin funktiojono f k (x) = x k. Termeittäin integroimll sdn 1 lim k 0 f k (x)dx = lim k 1 0 x k dx = lim k / x k+1 k +1 = lim 1 k k +1 = 0.

21 Rjfunktion integrlille sdn Esimerkin mukisesti 1 0 (lim k f k (x))dx = 1 0 f(x)dx = 0. Esimerkki Trkstelln jälleen Esimerkin funktiojono. Kosk f k (x) = k, kun 0 < x < 1, sdn Esimerkin mukisesti k lim k 1 0 f k (x)dx = lim k 1 = 1. Jono (f k ) suppenee pisteittäin kohti funktiot f 0, joten 1 0 (lim k f k (x))dx = 1 0 0dx = 0. Pisteittäinen suppeneminen ei siis ole riittävä edellytys rj-rvon muodostmisen j integroimisen järjestyksen vihtmiselle, mutt tsinen suppeneminen on: Luse Olkoon funktiot f k jtkuvi suljetull välillä [,b] j oletetn, että jono (f k ) suppenee tsisesti kohti rjfunktiot f välillä [,b]. Tällöin b lim k f k (x)dx = b f(x)dx. Todistus [4], [11], [9], [12] mukillen. Todistus. Luseen nojll f on jtkuv, joten funktiot f k f ovt jtkuvi j siten integroituvi välillä [,b] (Lemm 3.4.3). Olkoon nyt ε > 0. Jono (f k ) suppenee tsisesti kohti funktiot f, joten Määritelmän mukn on olemss kokonisluku N siten, että Tällöin k > N f k (x) f(x) < b f k (x)dx b f(x)dx ε b (L.3.4.6) = (L.3.4.6) 19 (4.1) < = b b b b/ kikill x [,b]. (4.1) (f k (x) f(x))dx f k (x) f(x) dx ε b dx ε x = ε, (4.2) b

22 in kun x [,b] j k > N. Näin ollen rj-rvon määritelmän mukisesti on siis mikä oli todistettv. lim k b f k (x)dx = b f(x)dx, Huomutus Oletetn, että Luseen oletukset ovt voimss j x 0,x [,b]. Tällöin Luseen nojll lim k f k (t)dt = f(t)dt. x 0 x 0 Lisäksi x 0 f k (t)dt suppenee tsisesti välillä [,b], sillä yhtälön (4.2) todistus tk sen, että sup f k (t)dt f(t)dt < ε. x [,b] x 0 x 0 Seurv esimerkki osoitt Luseen olevn hyödyllinen silloin, kun funktiojonon yleisen termin integrointi olisi työlästä. Esimerkki Lsketn lim k Osoitetn ensin, että jono (f k ) 7 2 k +cosx 2k +sin 2 x dx. f k (x) = k +cosx 2k +sin 2 x suppenee tsisesti koko relilukujoukoss. Rjfunktio on vkiofunktiof 1, 2 sillä Nyt σ k = sup x R lim f k +cosx k(x) = lim k k 2k +sin 2 x = lim k f k (x) f(x) = sup x R sup x R 1+ cosx k 2+ sin2 x k = 1 2. k +cosx 2k +sin 2 x 1 2 = sup 2cosx sin 2 x x R 4k +2sin 2 x 3 4k +2sin 2 x sup 3 x R 4k = 3 4k, joten σ k 0, kun k, j suppeneminen on tsist. Nyt voidn hyödyntää Lusett Funktiot f k ovt jtkuvi välillä [2,7], j jono (f k ) suppenee tsisesti kohti rjfunktiot f 1, joten 2 7 lim k 2 f k (x)dx = 7 2 f(x)dx = 20 7/ 2 x 2 = = 5 2.

23 4.3.3 Funktiojonojen derivoiminen Trkstelln seurvksi funktiojonon derivoimist. Toisin kuin funktiojonojen integroimisess, tsinen suppeneminen ei in ole riittävä ehto opertioiden järjestyksen vihtmiselle. Esimerkki Trkstelln jono (f k ) f k (x) = xe kx2 välillä [ 1,1]. Jos x 0, on lim k kx 2 =, jolloin f(x) = lim k f k (x) = 0. Sm on voimss myös, kun x = 0, kosk f k (0) = 0 kikill k N. Etsitään seurvksi joukon {f k (x) : x [ 1,1]} supremum. Tunnetusti suljetull välillä jtkuv funktio svutt äärirvons joko välin päätepisteissä ti derivtn nollkohdiss ([10, s. 135]). Nyt f k(x) = (1 2kx 2 )e kx2 j edelleen f k(x) = 0 (1 2kx 2 ) x = 1 2k. Funktion f k rvoksi sdn välin päätepisteissä j derivtn nollkohdss Nyt f k ( 1) = e k j f k (1) = e k, ( ) 1 f k = 1 e k 2k σ k = sup f k = mx{ 1 e 1 2,e k } 0, x [ 1,1] 2k kun k, joten suppeneminen on tsist. Kosk f(x) 0, on f (x) = 0. Toislt on f k(x) = e kx2 (1 2kx 2 ) j erityisesti f k (0) = 1 kikill k N. Siis on f (0) = 0 j f k (0) 1, kun k. Näin ollen yhtälö Dlimf k (x) = limdf k (x) (4.3) ei ole voimss, vikk jono (f k ) suppeneekin tsisesti kohti funktiot f. 21

24 Yleensä derivoituvuus ei säily tsisess suppenemisess. Kuitenkin, jos myös funktiojonon derivtt f k suppenevt tsisesti, on rjfunktio derivoituv. Riittävä ehto yhtälön (4.3) voimssololle sdn seurvst luseest. Luse Olkoon funktiot f k jtkuvi välillä [,b] j oletetn, että jono (f k ) suppenee tsisesti välillä [,b]. Oletetn lisäksi, että jono (f k) suppenee jollkin x 0 [,b]. Tällöin (f k ) suppenee välilllä [,b] tsisesti kohti derivoituv rjfunktiot f j f (x) = lim k f k(x), x ],b[. Todistus. Anlyysin perusluseen (Luse 3.5.4) nojll on kikill x [,b] f k (x) = x 0 f k(t)dt+f k (x 0 ). (4.4) Oletuksen mukn jono (f k ) on tsisesti suppenev j jono f k(x 0 ) on suppenev, joten merkitään lim k f k(t) = g(t) j lim f k (x 0 ) =. (4.5) k Kosk funktiot f k ovt jtkuvi j (f k ) suppenee tsisesti kohti funktiot g välillä [,b], on Luseen mukn g jtkuv välillä [,b]. Näin ollen Lemmn nojll voidn Lusett sovelt yhtälöön (4.4). Ottmll molemminpuoleiset rj-rvot sdn lim f k(x) = lim f k (x 0 )+ lim f k k k k(t)dt = + x 0 x 0 g(t)dt, mikä trkoitt sitä, että jono (f k ) suppenee pisteittäin kohti funktiot f(x) = + x 0 g(t)dt. (4.6) Osoitetn vielä, että suppeneminen on tsist. Vähentämällä yhtälöt (4.4) j (4.6) puolittin j ottmll itseisrvot sdn f(x) f k (x) = f k (x 0 )+ x 0 g(t)dt x 0 f k(t)dt (4.7) 22

25 Soveltmll Lemmoj j sdn yhtälöstä (4.7) f(x) f k (x) = f k(x 0 )+ (g(t) f k(t))dt x 0 x f k (x 0 ) + (g(t) f k(t))dt x 0 joten f k (x 0 ) + (g(t) f k(t) dt x 0 f k (x 0 ) + sup (g(t) f k(t)) x x 0, t [x 0,x] σ k = sup f(x) f k (x) f k (x 0 ) + sup (g(t) f k(t)) b. x [,b] t [x 0,x] Nyt σ k 0, kun k (yhtälöiden (4.5) nojll), joten suppeneminen on tsist. Kosk g on jtkuv, Seuruksen nojll yhtälöstä (4.6) sdn f(x) = +G(x)+C, (4.8) missä C R j G on jokin funktion g integrlifunktio (Määritelmä 3.5.1). Kosk yhtälön (4.8) oikell jäsenellä on derivttfunktio g(x), on f (x) olemss j f (x) = g(x). Siis mikä oli todistettv.[11][16] f (x) = lim k f k(x), 5 Funktiosrjt Luvuss 2 käsiteltiin relilukujonoj j niiden äärettömiä summi, eli srjoj. Nyt määritellään vstvn tpn luvuss 4 käsiteltyihin funktiojonoihin liittyvät srjt. Funktiosrjll f k(x) trkoitetn siis ossummien n f k(x) muodostmn jonon rj-rvo. Srj f k(x) suppenee (pisteittäin ti tsisesti), jos ossummien jono suppenee (pisteittäin ti tsisesti). 23

26 5.1 Srjojen tsinen suppeneminen Määritelmä Olkoon (f k ) jono välillä I määriteltyjä funktioit. Srj f k (x) suppenee tsisesti välillä I, jos sen ossummien n S n (x) = f k (x) muodostm jono suppenee tsisesti välillä I. Jos (S n ) suppenee kohti funktiot S, merkitään f k (x) = S(x). Määritelmä Srjn f k(x) jäännöstermi R n trkoitt erotust n R n = S S n = f k (x) f k (x) = f k (x). k=n+1 Huomutus Suorn jäännöstermin määritelmästä seur, että suppenevlle srjlle lim n R n = 0. Määritelmästä seur välittömästi (vert Määritelmä 4.2.1): Luse Srj f k(x) suppenee tsisesti välillä I, jos j vin jos se suppenee välin jokisess pisteessä j kun n. sup R n (x) 0, x I Esimerkki Geometrinen srj xk 1 suppenee tsisesti jokisell välillä [ d, d] ] 1, 1[, sillä sup R n (x) = sup S S n = sup x d x d x d 1 1 x 1 xn 1 x = sup x d kun n. Srj ei suppene tsisesti välillä ] 1, 1[, sillä sup x n 1 x =, kikill n. x <1 24 x n 1 x = dn 1 d 0,

27 Esimerkki Tutkitn srjn (1 x 2 )x k suppenemist. Kun x = 1, srj suppenee j sen summ on noll. Kun x > 1, srj hjntuu, sillä lim k (1 x 2 )x k = ±. Kun x < 1, srj on geometrinen j siten suppenev. Srj siis suppenee välillä [ 1,1], mutt ei tsisesti, sillä Lemmn nojll kikill n. sup R n (x) = sup x 1 x 1 1 x 2 1 x (1 x2 )(1 x n ) 1 x = sup (1 x 2 )(1 (1 x n )) 1 x x 1 = sup (1+x)x n = 2, x 1 Kppleess 4.3 esitetystä funktiojonon rjfunktion jtkuvuutt koskevst tuloksest seur summn jtkuvuutt koskev tulos. Luse (Summn jtkuvuus). Olkoon funktiot f k jtkuvi välillä I. Jos srj f k(x) suppenee tsisesti välillä I, niin srjn summ S(x) on jtkuv funktio välillä I. Todistus. Funktiot f k ovt jtkuvi välillä I, joten ossummt S n = f 1 + f 2 + +f n ovt jtkuvi välillä I (Luseen yleistys). Oletetn, että f k(x) suppenee tsisesti kohti funktiot S(x). Määritelmän mukn tällöin ossummien jono (S n ) suppenee tsisesti kohti funktiot S(x). Nyt (S n ) täyttää Luseen ehdot, joten S(x) on jtkuv. 5.2 Weierstrssin kriteeri Tutkittess srjn tsist suppenemist voidn usein sovelt Weierstrssin kriteeriä, jost käytetään myös nimitystä Weierstrssin M-testi, luseen muotoilust riippuen. Luse (Weierstrssin kriteeri). Olkoon funktiot f k määritelty välillä I. Olkoon ( k ) ei-negtiivisten lukujen jono siten, että f k (x) k kikill k N j x I. Tällöin f k(x) suppenee tsisesti välillä I, jos k suppenee. 25

28 Todistus. Oletuksen mukn srj k suppenee, joten mjornttiperitteen nojll srj f k(x) j siis myös srj f k(x) suppenee jokisess välin I pisteessä. Edelleen oletuksest seur kolmioepäyhtälön nojll n+p n+p n+p f k (x) f k (x) k, k=n+1 k=n+1 k=n+1 kikill n,p N. Nyt srjn f k(x) jäännöstermille R n (x) sdn (kun p ) rvio R n (x) k, jost seur sup R n (x) x I k=n+1 k=n+1 Kosk epäyhtälön oike puoli on suppenevn srjn k n:s jäännöstermi, on sillä rj-rvo 0, kunn. Tästä seur srjn f k(x) tsinen suppeneminen. [11] k. Esimerkki Osoitetn, että srj x f k (x) = k(1+k 2 x 2 ) suppenee tsisesti koko relilukujoukoss. Srjn k:nnen termin derivtt on f k(x) = 1 k2 x 2 k(1+k 2 x 2 ) 2, j Nyt f k(x) = 0 1 k 2 x 2 = 0 x = ± 1 k. jotk ovt funktion äärirvot, sillä f ( ± 1 ) = ± 1 k 2k 2, lim f x k(x) = lim x ± x ± k +k 3 x = lim 2 x ± kikill k. Näin ollen on kikill x R f k (x) 1 2k x k +k = 0 x 3 2

29 Kosk 1 2k 2 suppenee Lemmn nojll, seur väitös Luseen perusteell. Esimerkki Osoitetn, että srj x k 1 (k 1)! suppenee tsisesti kikill väleillä x [ d, d], d > 0. Sovitn tässä siitä, että 0! = 1. Kikill x [ d,d] j k N pätee x k 1 (k 1)! dk 1 (k 1)!. Srj d k 1 suppenee Lemmn nojll, sillä (k 1)! sup x R lim k d k k! d k 1 (k 1)! d = lim k k = 0 < 1. Weierstrssin kriteerin nojll suppeneminen on tsist jokisell välillä [ d,d]. Suppeneminen ei ole tsist koko relilukujoukoss, sillä ( ) x k 1 x n R n (x) sup R n (x) = sup sup x 0 x 0 (k 1)! x 0 n! =. 5.3 Srjojen integroiminen k=n+1 Kppleess käsiteltiin funktiojonon integroimisen j rj-rvon otnnn järjestyksen vihtmist. Luseest sdn johdettu srjn termeittäin integroimist koskev luse. Luse Olkoon funktiot f k integroituvi rjoitetull välillä I. Oletetn, että srj f k(x) suppenee tsisesti välillä I, j sen summ S(x) on integroituv. Tällöin x 0 S(t)dt = x 0 f k (t)dt kikill x 0,x I. Edelleen oikenpuoleinen srj suppenee tsisesti välillä I. 27

30 Todistus. Srjn f k(x) ossummt S n (x) ovt integroituvi j (S n ) suppenee tsisesti kohti summ S välillä I, joten Luseen nojll Kosk x 0 S(t)dt = lim S n (t)dt = lim S n (t)dt. (5.1) x n n 0 x 0 S n (t) = n f k (t) j Lemmn kohdn 1. yleinen tpus on n n f(t)dt = f(t)dt, x 0 x 0 sdn yhtälöstä (5.1) S(t)dt = lim S n (t)dt = lim x n 0 x n 0 x 0 = f k (t)dt, x 0 n f k (t)dt = lim n n x 0 f k (t)dt mikä oli todistettv. Viimeinen väite pätee Huomutuksen nojll. Esimerkki Todistetn, että ln(1+x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + = ( 1) k 1xk kun 1 < x 1. Srj ( x)k 1 suppenee tsisesti jokisell välillä [ r,r] ] 1,1[ (vrt. Esimerkki 5.1.5) j sen summ Lemmn mukn on 1. Integroimll 1+x summ sdn ( t) k 1 1 dt = dt = ln(1+x), (5.2) 1+t 0 0 missä x [ r, r] Srjn termit ovt jtkuvi funktioit, j srj suppenee tsisesti, joten Luseen mukn summ on myös jtkuv j täten integroituv välillä [ r,r]. Luseen nojll ( t) k 1 dt = ( t) k 1 dt = ( 1) k 1 t k 1 dt 0 = 0 x/ ( 1) k 1 1 k tk = ( 1) k 1xk k k, = S(x). (5.3)

31 Näin ollen yhtälöistä (5.2) j (5.3) seur, että ln(1+x) = ( 1) k 1xk k x2 = x 2 + x3 3 x4 +, (5.4) 4 kunx [ r,r]. Koskr ]0,1[ on mielivltinen, tulos pätee kikillx ] 1, 1[. Osoitetn, että yhtälö (5.4) pätee myös tpuksess x = 1. Välillä x ]0,1], srj ( 1) k 1xk k toteutt Leibnizin luseen (Lemm 2.4.7) ehdot, joten xn+1 sup R n < sup ( 1)n x ]0,1] x ]0,1] n+1 = 1 n+1 0, kun n. Siis srj ( 1) k 1xk k suppenee tsisesti välillä ]0, 1]. Näin ollen summ S(x) on jtkuv välillä ]0,1], jolloin ( 1) k 11 k = S(1) = lim x 1 S(x) = lim ln(1+x) = ln2. x 1 Esimerkki Lsketn 2 1 ke kx dx. Kun x [t, ], t > 1, kikill k N pätee k k e k. e kx Srj ke k suppenee Lemmn nojll, sillä (k +1)e (k+1) lim k ke k = lim k k +1 ke = 1 e < 1. Luseen nojll srj ke kx suppenee tsisesti välillä [1,2]. Voi- 29

32 dn sovelt Lusett 5.3.1: 2 1 ke kx dx = = = = 2 1 ke kx dx = ( ) 2/ e kx = 1 ( 2 1 (e k e 2k ) ) k ( ) k 1 ( 1 e e 2 ( ) k 1 1 ( 1 e e 2 = e ) k e 2 = e e 1 e2 e 2 1 = e(e+1) e 2 1 e2 e 2 1 = e e Srjojen derivoiminen ) ke kx dx Kppleess käsiteltiin funktiojonon derivoinnin j rj-rvon otnnn järjestyksen vihtmist. Luseen vull sdn srjn termeittäin derivoimist koskev luse. Luse Olkoon funktiot f k jtkuvsti derivoituvi välillä I. Oletetn, että srj f k (x) suppenee tsisesti välillä I, j että srj f k(x) suppenee yhdessä pisteessä x 0 I. Tällöin srj f k(x) suppenee tsisesti välillä I, j sen summ on derivoituv välillä I. Lisäksi derivtt voidn muodost derivoimll srj termeittäin: D f k (x) = f k(x). Todistus. Srjn f k(x) ossummien jono (S n ) toteutt Luseen oletukset, joten jono (S n ) suppenee tsisesti välillä I kohti rjfunktiot S. Tästä seur S (x) = lim n S n(x) = lim n 30 n f k(x) = f k(x).

33 Kosk S (x) = D f k(x), on väite todistettu. [11] Esimerkki Todistetn, että e x = 1+x+ x2 2! + x3 3! + = kikill x R. Srj x k suppenee kikill x R j tsisesti kikill väleillä [ d, d], k! d > 0 (Esimerkki 5.2.3). Srjn yleisen termin derivtt on ( ) x k D = xk 1 k! (k 1)!. Derivoimll srj termeittäin sdn ( x k D k! x k k! ) = 0+1+x+ x2 xn ! (n 1)! + = x k 1 (k 1)! = Stu srj on sm kuin lkuperäinen srj, joten se suppenee tsisesti jokisell välillä [ d,d]. Merkitään Luseen mukn ( S (x) = D S(x) = ) x k = k! x k k!. ( ) x k D = k! x k k! = S(x) jokisell välillä[ d,d] j siis koko relilukujoukoss. Osoitetn, ettäs(x) = e x kikill x R. Kosk D ( S(x)e x) = e x (S (x) S(x)) = 0, x R, }{{} =0 niin on oltv vkio C R siten, että S(x)e x = C eli S(x) = Ce x kikill x R. Sijoittmll x = 0 sdn S(0) = Ce 0 1 = C, x k k!. joten S(x) = e x j kikill x R. e x = 1+x+ x2 2! + x3 3! + 31

34 Esimerkki Olkoon Millä muuttujn x rvoill on S(x) = S (x) = k x. k x lnk? Funktiot f k (x) = k x ovt jtkuvsti derivoituvi kikill x R j f k (x) = k x lnk. Srj k x suppenee inkin rvoll x = 2 (Lemm 2.4.5). Luseen mukn riittää osoitt srjn k x lnk tsinen suppeneminen ko. välillä. Funktiolle f k (x) = k x lnk pätee kikill k > 1 k x lnk = lnk k lnk x k, (5.5) p kun 0 < p x. Olkoon p > 1, q > 0. Sovelletn l Hospitlin sääntöä lukujonoille ([15, s. 164]), jolloin epäyhtälön (5.5) oiken puolen rj-rvoksi sdn lnk lim k = lim k q k joten on olemss N N siten, että 1 k = lim qkq 1 k 1 qk q = 0, k > N lnk k q < 1, eli lnk < k q, kun k > N. Vlitn q siten, että p q > 1, jolloin lnk k p < kq k p = 1 k p q. Srj 1 suppenee, joten Weierstrssin kriteerin mukn srj k p q suppenee tsisesti välillä [d, [, d > 1. Olkoon p 1. Tällöin lnk 1 k p k p, kun k 3. Srj srj lnk 1 hjntuu, joten minornttiperitteen nojll k p hjntuu. Näin ollen srjt k p k x j k x lnk toteuttvt Luseen ehdot välillä x [d, [, d > 1, jolloin k x suppenee tsisesti tällä välillä j srj voidn derivoid termeittäin. Siis kun x [d, [, d > 1. S (x) = 32 k x lnk, k x lnk

35 Esimerkki Jos Luseen ehto srjn suppenemisest tietyssä välin pisteessä ei pystytä osoittmn todeksi, voidn päätyä virheellisiin tuloksiin. Esimerkiksi derivoimll termeittäin srj sdn cos x k 1 k sin x k, jok Weierstrssin kriteerin nojll suppenee tsisesti jokisell välillä[ d, d], sillä 1 k sin x L k x k d 2 k 2, kun x d, j srj kuitenkn päätellä, että myös srj cos x k d suppenee Lemmn mukn. Tästä ei void k 2 suppenee tsisesti millään välillä [ d,d]. Itsesiss se hjntuu kikill x R, sillä lim k cos x = 1 k j Lemmn nojll se ei voi supet. 6 Kikkill jtkuvt ei missään derivoituvt funktiot 6.1 Histori Srjojen tsiseen suppenemiseen liittyy myös eräs erikoinen ilmiö, kikkill jtkuvt ei-missään derivoituvt funktiot. Bressoud, [3, s ], esittelee tämän hvinnon histori. Vielä pitkään 1800 luvull mtemtikkojen kesken vllitsi käsitys, että kikki funktiot ovt derivoituvi lukuunottmtt mhdollisi äärellisen moni pisteitä Ampère yritti todist derivtn yleisen olemssolon j 1839 J. L. Rbe esitti teoreemn jtkuvien funktioiden derivoituvuudest. Bolzno, Weierstrss j Riemnn kuitenkin tiesivät nämä käsitykset vääriksi. Ensimmäisen esimerkin tällisest funktiost kehitti Bolzno vuoden 1830 pikkeill, mutt työ julkistiin vst st vuott myöhemmin ([9, s. 158]). Vuoden 1860 ikoihin Chrles Cellérier oli löytänyt funktion 1 k sin(k x), > 1000, 33

36 jok ei ole missään derivoituv, mutt tämä työ tuli julkisuuteen vst 1890 luvull. Vuonn 1861 Riemnn esitteli funktion sin(k 2 x) k 2, jonk väitti olevn jtkuvn kikill x R, mutt ei-derivoituv äärettömän monell x. Srjn tsinen suppeneminen on yksinkertist todist Weierstrssin kriteerin perusteell (Luse 5.2.1, k = 1/k 2 ), joten funktio on jtkuv kikill x. Ei-derivoituvuus on vikempi todist. G. H. Hrdy osoitti 1916, että millä thns (mielivltisen lyhyelläkin) äärellisellä välillä on olemss äärettömän mont muuttujn x rvo, joill derivtt ei ole olemss. Vuonn 1970 osoitettiin, että on myös olemss äärettömän mont rvo, joill derivtt on olemss. Näin ollen Riemnnin merkittävä löytö ei vielä sisältänyt funktiot, jok ei ole missään derivoituv. Riemnnin löydös jkoi tutkijoiden mielipiteet, esimerkiksi Hermnn Hnkel j Jules Hoüel olivt toiveikkit löytämään kikkill jtkuvn ei missään derivoituvn funktion, kun ts Phillippe Gilbert epäuskoisen osoitti edellisten töiden virheitä. Todellinen mullistus oli Weierstrssin vuonn 1872 esittämä funktio W(x) = k cos(b k πx), missä 0 < < 1, b > 1 on priton kokonisluku j b > 1 + 3π/2. Tämän jälkeen uset tutkijt kehittelivät näitä ptologisiksi kutsuttuj funktioit, joist löytyy tieto esimerkiksi John Thimin tutkielmst [14]. 6.2 Weierstrssin funktio Edellä on käsitelty funktiojonojen j -srjojen integroituvuutt, j todettu myös, että suljetull välillä jtkuv funktio on integroituv kyseisellä välillä. Derivoituvuuden knss tilnne on eri, jtkuvuus on välttämätön, muttei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Funktiojonojen j -srjojen derivoimisen suhteen on esitelty erikoisehdot, jolloin jono ti srj on derivoituv. Käsitellään seurvksi Weierstrssin funktiot W(x) Hewittin j Strombergin ([7, s ]) tpn. Esitetään vielä Luseen todistust vrten seurv esimerkki. Esimerkki Olkoon b N priton, siis on olemss m N siten, että b = 2m+1. Khden prittomn luvun tulo on myös priton: (2m 1 +1)(2m 2 +1) = 4m 1 m 2 +2m 1 +2m 2 +1 = 2m +1, 34

37 jollekin m N. Tällöin induktioll on helppo päätellä, että myös b n on priton kikill n N. Näin ollen kikille z Z sdn cos(b n πz) L = e ibnπz sin(b n πz) = (e iπ ) bn z }{{} =0 (6.1) Kosk e iπ = cosπ + isinπ = 1 j ( 1) bn = 1 (b n on priton), sdn yhtälöstä (6.1) cos(b n πz) = ( 1) z. Luse Olkoon b positiivinen priton kokonisluku j reliluku siten, että 0 < < 1. Oletetn lisäksi, että b > 1 + 3π. Olkoon W joukoss R 2 määritelty funktio W(x) = k cos(b k πx). Tällöin W on jtkuv j ei derivoituv kikill x R. Todistus. Kikillk pätee k cos(b k πx) k kikillx R. Kosk0 < < 1, srj k on geometrinen j siten suppenee. Luseen nojllw suppenee tsisesti. Funktiot f k (x) = k cos(b k πx) ovt jtkuvi, joten Luseen nojll W on jtkuv. Osoitetn, että W ei ole derivoituv missään pisteessä. Olkoon x R. Kikill n N j h > 0 sdn W(x+h) W(x) h n 1 = kcos(bk π(x+h)) cos(b k πx) h + kcos(bk π(x+h)) cos(b k πx) h k=n = S n +R n. Välillä ]x,x + h[ funktio g(x) = cos(b k πx) on derivoituv j jtkuv myös välin päätepisteissä, joten välirvoluseen (Luse 3.3.3) nojll sdn cos(b k π(x+h)) cos(b k πx) h missä 0 < h < h. Edelleen = b k πsin(b k π(x+h )) b k πsin(b k π(x+h )) b k π, 35

38 joten n 1 S n k b k π = Merkitään n missä α n Z j 1 2 β n < 1 2 π(b) k 1 L = π(k b k 1) b 1 b n x = α n +β n, j olkoon < π(k b k ) b 1. (6.2) Kosk 1 2 β n < 1 2, h n = 1 β n b n. j siis β n > 1 2 2b n Arvioidn nyt termiä R n. Jollekin k n on 3 2b n 1 β n b n > 1 2b n, 3 1 h n < 2b n. (6.3) b k π(x+h n ) = b k n b n π(x+h n ) = b k n π(b n x+1 β n ) = b k n π(1+α n ). Kosk b on priton, sdn cos(b k π(x+h n )) = cos(b k n π(1+α n )) Esim = ( 1) 1+αn. (6.4) Luseke cos(b k πx) sdn muotoon cos(b k πx) = cos(πb k n b n x) = cos(πb k n (α n +β n )) L = cos(πb k n α n )cos(πb k n β n )+sin(πb k n α n )sin(πb k n β n ) }{{} =0 Esim = ( 1) αn cos(πb k n β n ) = ( 1) 1+αn cos(πb k n β n ). (6.5) Asetetn h = h n, jolloin yhtälöjä (6.4) j (6.5) käyttäen termille R n sdn +( 1) 1+αn cos(πb k n β R n = k( 1)1+αn n ) h n k=n = ( 1) 1+αn k (1+cos(πb k n β n )). (6.6) h n k=n 36

39 Kosk cos(πb k n β n ) 1, ovt srjn k=n k (1 + cos(πb k n β n )) termit in ei-negtiivisi j sen summ on vähintään yhtä suuri kuin ensimmäinen summttv. Näin ollen yhtälöstä (6.6) sdn edelleen R n ( 1) 1+αn h n n (1+cos(πb 0 β n )) n 2n b n. (6.7) }{{} h n 3 0 Yhdistämällä rviot (6.2) j (6.7) sdn erotusosmäärälle W(x+h n ) W(x) h n = R n +S n S R n S n ( > 2n b n πn b n 2 3 b 1 = (b)n 3 π ). b 1 Kosk b > 1+ 3π, on ( 2 π 2 3 b 1) positiivinen vkio. Näin ollen ) lim n W(x+h n ) W(x) h n > lim n (b)n ( 2 3 π b 1 =. Kosk lim n h n = 0, on selvää, että derivtt W (x) ei ole äärellisenä olemss. Kosk x on mielivltinen, ei funktio W(x) ole derivoituv millään rvoll x R. Hvinnollistetn Weierstrssin funktion käyttäytymistä vielä grfisesti. Olkoon nyt = 0,9 j b = 7, jolloin funktio W(x) = 0,9k cos(7 k πx) toteutt Luseen ehdot. Kuviss 5, 6, 7 j 8 esiintyy neljän ensimmäisen ossummn kuvj välillä [ 1, 1]. Nähdään, että kuvjien äärirvokohdt tihenevät indeksin k ksvess, trkemmin snottun yhden äärirvokohdn tillle muodostuu in seitsemän uutt. Intuitiivisesti on selvää, että funktion äärirvokohdt jtkvt monistumistn muodosten teräviä piikkejä äärettömän tiheään. Geometrisesti tulkittun kuvj muodostuu pisteistä, joille tngentin kulmkerroint ei void määrittää. 37

40 Kuv 5: S 1 = cos(πx) Kuv 6: S 2 = cos(πx)+0,9cos(7πx) 38

41 Kuv 7: S 3 = cos(πx)+0,9cos(7πx)+0,9 2 cos(7 2 πx) Kuv 8: S 4 = cos(πx)+0,9cos(7πx)+0,9 2 cos(7 2 πx)+0,9 3 cos(7 3 πx) 39

42 Kuv 9: Suurennos Kuvst 8 Viitteet [1] Apostol, Tom M. Mthemticl Anlysis, Addison-Wesley, Reding [2] Boyer, Crl B. A History of Mthemtics, John Wiley & Sons, Inc., New York [3] Bressoud, Dvid. Rdicl Approch to Rel Anlysis, The Mthemticl Assocition of Americ, Wshington D.C [4] Bröcker, Theodor. Anlysis 1, Wissenschftsverlg, Mnnheim [5] Dvidson, Kenneth R. & Donsig, Alln P. Rel Anlysis nd Applictions: Theory in Prctice, Springer, New York [6] Fulks, Wtson. Advnced Clculus, John Wiley & Sons, Inc., New York [7] Hewitt, Edwin & Stromberg, Krl. Rel nd Abstrct Anlysis, Springer, New York [8] Kline, Morris. Mthemticl Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, New York

43 [9] Morgn, Frnk. Rel Anlysis, Americn Mthemticl Society, Providence [10] Myrberg, Luri. Differentili- j integrlilskent korkekouluj vrten, os 1, Kirjyhtymä, Helsinki [11] Myrberg, Luri. Differentili- j integrlilskent korkekouluj vrten, os 2, Kirjyhtymä, Helsinki [12] Ross, Kenneth A. Elementry Anlysis: The Theory of Clculus, Springer-Verlg, New York [13] Rudin, Wlter. Principles of Mthemticl Anlysis, McGrw-Hill, Tokio [14] Thim, John. Continuous Nowhere Differentible Functions, Mster s Thesis, Luleå University of Technology [15] Thoms, George B. Jr., Finney, Ross L., Weir, Jn D. & Giordno, Frnk R. Thoms Clculus, Person, Boston [16] Trench, Willim F. Introduction to Rel Anlysis, Person Eduction, New Jersey