Suorat, käyrät ja kaarevuus

Transkriptio

1 Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002. Tossvinen oli löytänyt moni erilisi yrityksiä selittää suorn syvintä olemust. Ehkäpä eräs syy suorn määrittelemisen vikeuteen on ollut jtus, että on vin yksi oike tp määritellä suor. Historillisesti tämä on ymmärrettävää: pitkäänhän pidettiin selvänä, että Eukleideen geometri kuv trksti fysiklist vruutt, joten tuntui kenties luonnolliselt, että pitäisi oll olemss yksikäsitteinen fysiklisesti oike määritelmä. Kun sitten 1800-luvull keksittiin/löydettiin vihtoehtoisi geometrioit, 1 niin luonnollisesti suorn käsite näissä eri geometrioiss oli erilinen, eivätkä suorien ominisuudet in vstnneet tvllisen intuition odotuksi. Tämä on nykyisin tuttu mtemtikoille, jotk ovt tottuneet määrittelemään sioit ksiomien vull. On kuitenkin vhinko, jos kouluiss ti tietosnkirjoiss ei void ymmärrettävästi selittää mikä on suor. Lähestyn seurvss si differentililskennn vull. Kirjoituksen loppuun olen kerännyt muutmi lisäselityksiä tietyistä sioist. Nämä kuitenkin vin täydentävät tekstiä, eivätkä ole välttämättömiä kirjoituksen yleisiden ymmärtämisen knnlt. Kirjoituksen toisess osss sitten ktsotn mihin päädytään, kun trkstelln suori kreviss (epäeuklidisiss) vruuksiss. Hilbert j Eukleides Selvitetään luksi muutm si, jotk voivt iheutt seknnust. Eukleideen kirjn [3] luss on määritelmiä (definitions), oletuksi (postultes) j ksiomi (xioms). Tämä jko on jossin mielessä mielivltinen eikä in vst nykyistä kielenkäyttöä. Esimerkiksi määritelmässä 12 todetn, että jos kulm on pienempi kuin suor kulm, niin sitä snotn teräväksi kulmksi. Kyseessä on siis vin erään termin käyttöönotto. Suor kuvilln 4. määritelmässä [3, s. 3]: 2 1 Tosin Desrgues ennkoi projektiivisen geometrin tulo jo 1600-luvull: history/mthemticins/desrgues.html 2 Verkost löytyy erilisi versioit Eukleideen kirjst:

2 (m) A stright line is tht which lies evenly between its extreme points. 3 Mutt tämä määritelmä on itse siss turh: tähän ei koskn vedot myöhemmin kirjss. Toisin snoen sen voisi poist trpeettomn. 4 Todellinen suorn määritelmä on esitetty oletuksiss [3, s. 5]: (e1) Let it be grnted, 1. Tht stright line my be drwn from ny one point to ny other point. Kriittinen lukij huom, että tässä oikestn puhutn jnst. Eukleideen ikn ei käsitelty äärettömän pitkiä suori, vn jokisell suorll/jnll oli lkuj loppupiste (tämä käy ilmi jo määritelmästä (m)). Suori/jnoj pystyttiin kuitenkin jtkmn mielivltisen pitkiksi. Tästä piti huolen toinen oletus: (e2) [Let it be grnted,] 2. Tht terminted stright line my be produced to ny length in stright line. Näihin sitten vedotn kun myöhemmin todistetn luseit. Hilbertin kuvus Eukleideen geometrist lähtee siitä, että tso on eräs joukko, pisteet ovt tämän joukon lkioit j suort tämän joukon eräitä osjoukkoj. Tämän jälkeen Hilbert nt listn ksiomi, jotk pisteet, suort j tso toteuttvt. Hyvä ( = luettv) esitys tästä lähestymistvst löytyy Hrtshornen kirjst [1]. Eräs Hilbertin ksiomist on [1, s. 66]: (h) For ny two distinct points A, B, there exists unique line l contining A, B. Voitisiin siis sno, että (e1) (ti (e1) j (e2) yhdessä) vst määritelmää (h). Kosk (m) on trpeeton, ei Hilbertin trvitse yrittääkään sel(v)ittää mitä se trkoitt. Luonnollisesti Hilbert ei pyrkinytkään suurelle yleisölle trkoitettuun esitykseen, vn tvoitteen oli esittää Eukleideen geometri siten, että otetn vin ne ksiomt jotk ovt todell välttämättömiä, j lisäksi pyritään osoittmn, että ksiomt eivät johd ristiriitn. Toislt, jos otetn vin os Hilbertin ksiomist, niin sdn Eukleideen geometrist poikkevi geometrioit, esimerkiksi äärellisiä geometrioit, joiss tsoss on vin äärellinen määrä pisteitä. Myös tätä on selvitetty edellä minituss Hrtshornen kirjss. Vikk Hilbertin ksiomttinen lähestymistp geometrin oli omll tvlln tärkeä, niin si voisi lähestyä toisinkin. Lähtökohtn on, ettei trvitse yrittää löytää määritelmää, jonk Eukleides peritteess olisi voinut keksiä, vn voidn vpsti käyttää mitä thns sopivi työkluj. Toisin snoen yritetään mllitt intuitiivisi käsitteitä piste, suor j tso jollin tvll, eikä murehdit (inkn liik!) sitä vstko tämä Eukleideen geometri vi ei. Tämä lienee järkevää myös mtemtiikn opetuksen knnlt. Lukij voi esimerkiksi todet, että Eukleideen toisen kirjn 7. luse todist, että ( + b) 2 + b 2 = 2 + 2( + b)b Myös monet 5. luvun luseet ovt helppoj kun ne ensin lgebrllist, mutt jo geometrisen muotoilun ymmärtäminen (sti sitten pitkän todistuksen läpikhlminen) on vivlloist. Ktsotn seurvss mihin päädytään, kun otetn differentililskent käyttöön. Piste, käyrä j tso Käyrä on (sileä) kuvus c : R R 2 Joukko-opist ei pääse mihinkään: tso on jokin joukko, j pisteet kyseisen joukon lkioit. Ensin siis pitää päättää, mikä on se joukko missä pisteet sustvt, eli missä joukoss kikki toimint tphtuu. Vlitn perusvruudeksi krteesinen tso R 2. Jokinen piste voidn siis esittää khden koordintin vull: merkitään p = (p x, p y ). Määritellään seurvksi yleinen käyrän käsite, j tämän jälkeen pyritään määrittelemään suor käyränä, joll on tiettyjä erikoisominisuuksi. Asetetn: Siis hetkellä t olln pisteessä c(t) = ( c 1 (t), c 2 (t) ), j sileys trkoitt, että koordinttifunktiot c 1 j c 2 ovt riittävän mont kert jtkuvsti derivoituvi. 5 Tämähän on oleellisesti Tossvisen siteerm Neovius- Nevnlinnn määritelmä: djoyce/jv/elements/elements.html 3 Vnhoiss englnninkielisissä geometrin kirjoiss line trkoitti käyrää (nykyisin curve ). Suor/jn oli sitten stright line. 4 Muistelen, että on kiistelty siitä, onko tämä määritelmä todell Eukleideelt, vi onko se lisätty siihen myöhemmin. 5 Luonnollisesti usein riittää vikkp yksi jtkuv derivtt, mutt tämän kirjoituksen knnlt ei ole oleellist ruvet lskemn kuink mont jtkuv derivtt trvitn.

3 Liikkeessä olevn pisteen muodostm ur snotn viivksi. 6 Luonnollisesti usein käyrää jtelln kyseisen kuvuksen kuvjoukkon eli kuvuksen muodostmn urn, mutt nykyisin on tpn määritellä käyrä nimenomn kuvuksen. Kuvuksen määrittelyjoukko voi myös oll jokin sopiv relikselin osjoukko, esimerkiksi väli [0, 1]. Huomttkoon, että Eukleideen geometrin ti Hilbertin systeemin yhteydessä ei void puhu yleisen käyrän käsitteestä. Nyt voidnkin jo nt ensimmäinen suorn määritelmä (i) Olkoon nnettu kksi tson pistettä p j q. Näitten kutt kulkev suor on c(t) = (1 t)p + t q Siis khden mielivltisen pisteen kutt voidn piirtää suor. (ii) Olkoon nnettu tson piste p j vektori v. Pisteen p kutt kulkev vektorin v suuntinen suor on c(t) = p + t v Siis nnetust pisteestä voidn piirtää suor mielivltiseen suuntn. y lkurvotehtävä: on nnettu lkupiste j lkusuunt. Eukleideen muotoilu (e1) ei ole selkeästi kumpikn näistä. Nyt voitisiin jn määritellä suorn, jonk määrittelyjoukko olisi jokin suljettu väli [, b]. Jtkoss en kuitenkn jää pohtimn, olisiko jossin koht jn prempi termi kuin suor, vn käytän vin sn suor. Määritelmissä (i) j (ii) identifioidn tvlliseen tpn trpeen mukn pisteet j vektorit. 7 Selvästi siis määritelmä ei ole Eukleideen geometrin hengen mukinen, vn tässä vedotn vektorien yhteenlskuun j sklrill kertomiseen, siis vektorivruuden rkenteeseen. Huomttkoon, että Neovius-Nevnlinnn määritelmä suorksi snotn semmoist viiv, jok ei muut semns pyöriessään siten, että sen kksi pistettä pysyy piklln veto myös vektorilskentn: tässähän suor on vruuden kierron (siis linerikuvuksen) pyörähdyskseli (kuvuksen invrintti livruus)! Trkempi muotoilu löytyy Lemmst 1. Määritelmät (i) j (ii) yleistyvät sellisenn usempiulotteisiin vruuksiin: R 2 vin korvtn vruudell R n. Suort voidn kuitenkin krkterisoid toisellkin tvll. Tätä krkterisointi voidn käyttää pljon muisskin tpuksiss kuin vruudess R n. x Suorin tie Kuv 1. Suor voidn määritellä joko khden pisteen ti pisteen j suunnn vull. Selvästi molemmt versiot määrittelevät smn kuvusjoukon. Eron on vin, mikä dt kiinnittää yhden kuvuksen tässä joukoss. Määritelmä (i) on luonteeltn reun-rvotehtävä: on nnettu kksi pistettä, j hlutn suor näiden välille. Määritelmä (ii) on ts Jos kksi käyrää/polku lähtee pisteestä p, niin miten voidn sno kumpi niistä on suorempi? Jott tähän voisi vstt, pitäisi void mitt käyrän kreutumist jollin tvll. Tähän on (inkin) kksi erilist lähestymistp. Ensinnäkin ympyrä kreutuu sitä jyrkemmin mitä pienempi sen säde on. Voitisiin siis nnetun käyrän tietyn pisteen ympäristössä etsiä sellinen ympyrä, jok mhdollisimmn trksti yhtyisi kyseiseen käyrään. Näin stu ympyrää kutsutn oskuloivksi ympyräksi, jok Spivkin [2, s. 7] mukn trkoitt suutelev ympyrää, ktso Lemm 3. Suutelevn ympyrän säde puolestn nt sitten tieto käyrän kreutumisest. 6 Ennen käytettiin sn viiv eikä käyrä. 7 Jätän lukijn pohdittvksi, olisiko tämän kksoistulkinnn eliminoiminen opetuksen knnlt toivottv, järkevää ti mhdollist.

4 siten, että ne toteuttvt ylläolevn ehdon, ktso Lemm 2. Merkitään edelleen t(s) = c (s): tämä on siis käyrän (yksikkö)tngentti. Käyrän (yksikkö)normliksi vlitn n(s) = ( c 2(s), c 1(s) ) Nyt on sekä tngentti että normli normlisoitu: t(s) = n(s) = 1 kikill s. Tngentti j normli muodostvt ortonormlin koordintiston, jok liikkuu käyrän mukn: tällist liikkuv koordintisto snotn joskus kehykseksi (engl. frme ti moving frme) y 0.6 n t Kuv 2. Eräs käyrä j sen kksi suutelev ympyrää. Ktkoviivll on merkitty suutelevien ympyröitten keskipisteitten muodostm käyrää eli evoluutt. n t x Toinen tp on trkstell tngenttivektorin suunnn muuttumist. Molemmt johtvt smn lopputulokseen; seurtn tässä jälkimmäistä strtegi. Trvitn siis tngentin käsitettä. Jos käyrää jtelln Neovius Nevnlinnn mukisesti liikkeessä olevn pisteenä, niin tngentti(vektori) on silloin pisteen nopeus(vektori). Tämä nt iheen usko, että käyrän tngentti voidn määritellä derivtn vull. Tässä trvitn kuitenkin sileyden lisäksi seurv oletus: Käyrä on säännöllinen, jos c (t) 0 kikill t. Tällöin c (t) on käyrän tngentti(vektori) 8 pisteessä c(t). Plutetn tässä välissä mieliin muutmi merkintöjä. Khden vektorin u = (u 1, u 2 ) j v = (v 1, v 2 ) pistetulo on u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 Muistetn edelleen, että vektorit ovt kohtisuorss (ortogonlisi), jos niitten välinen pistetulo on noll. Vektorin v = (v 1, v 2 ) pituus on v = v v = v v2 2. Seurv tekninen oletus on usein hyödyllinen: Käyrä on prmetrisoitu krenpituudell, jos c (s) = 1 kikill s. Voidn osoitt, ettei tämä rjoit yleisyyttä: kikki säännölliset käyrät voidn prmetrisoid uudelleen Kuv 3. Käyrän mukn liikkuv koordintisto eli kehys. Tvoitteen on siis trkstell tngentin suunnn muutoksi, j sitä kutt mitt käyrän kreutumist. Kosk derivtt kuv muutost, niin derivoidn yhtälö t(s) 2 = t(s) t(s) = 1 puolittin: d ds t(s) t(s) = t (s) t(s)+t(s) t (s) = 2 t (s) t(s) = 0 Kosk t (s) j t(s) ovt kohtisuorss, niin vektorin t (s) täytyy oll normlin suuntinen. On siis olemss jokin funktio κ siten, että t (s) = κ(s)n(s) Yllä määriteltyä funktiot κ snotn käyrän c krevuudeksi. Hrjoitustehtäväksi lukijlle jätän sen osoittmisen, että n (s) = κ(s)t(s). Huom, että krevuus voi oll sekä positiivinen että negtiivinen. Merkki kuv sitä kääntyykö käyrä vsemmlle vi oikelle. Lskemll pituudet sdn c (s) = t (s) = κ(s)n(s) = κ(s) n(s) = κ(s) 8 Luonnollisesti tngentist puhuttiin jo kun ennen differentililskennn keksimistä, joten tässä voisi pohti, onko vektorin c (t) kutsuminen tngentiksi määritelmä vi luse.

5 Käyrän krevuus määriteltiin käyttämällä tson koordinttej. Lopputulos on kuitenkin riippumton koordinteist siinä mielessä, että tson siirrot j kierrot 9 eivät muut krevuutt. Toiseenkin suuntn voidn mennä: jos on nnettu jokin funktio κ, lkupiste p (siirto), lkusuunt v (kierto), niin tätä vst yksikäsitteinen (krenpituudell prmetrisoitu) käyrä, jonk krevuus on κ. p q Jok tpuksess nyt voidn määritellä: (iii) suor on käyrä, jonk krevuus on noll Kuv 4. Polkuj pisteestä p pisteeseen q. Antko tämä smn suorjoukon kuin määritelmät (i) j (ii)? Yhtälön () mukn κ(s) = c 1 (s)2 + c 2 (s)2 = 0 c 1(s) = c 2(s) = 0 Stiin siis kksi linerist toisen kertluvun differentiliyhtälöä. Näitten rtkisut sdn integroimll yhtälöitä c i (s) = 0 kksi kert: c 1 (s) = 1 + b 1 s j c 2 (s) = 2 + b 2 s Tässä i j b i ovt mielivltisi vkioit. Merkitsemällä = ( 1, 2 ) j b = (b 1, b 2 ) voidn rtkisu esittää vektorimuodoss c(s) = + bs. Rtkisu on siis sm muoto kuin määritelmässä (ii), joten on luonnollist kiinnittää jokin tietty rtkisu vlitsemll lkupiste j lkusuunt b. Aivn smoin voidn tutki käyriä myös vruudess R n : tässäkin tpuksess krevuuden häviämisestä seur, että käyrä onkin suor. Suort voidn kuitenkin määritellä vielä eräällä tvll. Lyhin tie Olkoon nnettu kksi tson pistettä p j q. Selvästi on äärettömän mont polku pisteestä p pisteeseen q, toisin snoen käyrää, jonk lkupiste on p j loppupiste on q. Rjoitutn seurvss yksinkertisuuden vuoksi käyriin, jotk voidn esittää yhtälönä y = f(x), siis käyriin jotk ovt muoto c(t) = ( t, f(t) ). Olkoon edelleen p = (, y 0 ) j q = (b, y 1 ), missä < b. Merkitään edelleen V pq :llä kikkien välillä [, b] määriteltyjen sileitten funktioitten joukko, joille pätee f() = y 0 j f(b) = y 1. Hlutn löytää lyhin polku p:n j q:n välillä. Olkoon f V pq ; tällöin siis j c() = (, f()) = (, y 0 ) = p c(b) = (b, f(b)) = (b, y 1 ) = q Käyrän pituus sdn kvll J(f) = (x) 2 dx, J : V pq R Huom, että J on kuvus funktiojoukolt V pq reliluvuille; tässä mielessä f on joukon V pq piste. Hlutn löytää f joll J s minimirvon. Differentililskennst tiedämme, että kun tutkitn mksimij minimitehtäviä, niin knntt etsiä derivtn nollkohdt. Kirjoituksen lopuss on trkemmin johdettu tämä, mutt lopputuloksen on, että dj df = 0 f (x) = 0 Merkintä dj df ei ole stndrdi, vn on trkoitettu ilmisemn sitä, että tässä todellkin on kyse tvllisen derivoinnin yleistyksestä. 10 Jok tpuksess lopputulos on toisen kertluvun differentiliyhtälö. Yllä jo nähtiin, että yhtälön f (x) = 0 rtkisut ovt muoto f(x) = d 1 + d 2 x, missä d 1 9 siis tson isometrit. 10 Kriittinen lukij muist, että derivtn nollkoht voi nt myös mksimej j stulpisteitä. Äärirvon ltu sdn selville vst kun trkstelln toist derivtt.

6 j d 2 ovt vkioit. Vkiot kiinnittyvät reunehtojen f() = y 0 j f(b) = y 1 vull. Pienen lskun jälkeen smme siis vstukseksi, että lyhin polku pisteitten p j q välillä voidn esittää yhtälönä y = y 1 y 0 b x + by 0 y 1 b Siis jälleen päädyttiin suoriin, joten smme uuden määritelmän: (iv) suor on lyhin polku khden pisteen välillä Tossvinen linsi tietosnkirj-rtikkeli vuodelt 1910, jonk kirjoittj, Uno Sxén, väitti, että Epätyydyttävä on esim. määritelmä: suor on khden pisteen lyhin väli, kosk suorn mittminen edellyttää, että käsite suor on edeltäpäin selvitetty. Tässä Sxén kuitenkin on hkoteillä: oleellist on, että käyrän j käyrän pituuden käsite on selvitetty. Tämän jälkeen sitten määritellään suor lyhimpänä käyränä/polkun. Alustv tilinpäätös Olemme nähneet, että inkin tsoss, j myös vruudess R n, suorimmt polut j lyhimmät polut ovt smoj, eli lyhyesti suori. Kikki määritelmät (i) (iv) johtvt siis oleellisesti smn lopputulokseen. Tilnne ei kuitenkn ole enää niin yksinkertinen, kun (tsinen) Eukleideen geometri yleistetään (krevksi) Riemnnin geometriksi. Tällöin määritelmät (i) j (ii) eivät enää ole mielekkäitä, mutt määritelmät (iii) j (iv) ovt edelleen käyttökelpoisi. Kirjoituksen toisess osss perehdytään hiukn Riemnnin geometrin, j pohditn ovtko (iii) j (iv) edelleen ekvivlenttej. Muutmi lisähuomioit Käyriä j mtriisej Avruuden R 3 kierrot voidn esittää ortogonlisten mtriisien vull. Kikille ortogonlisille mtriiseille pätee: det(a) = 1. Lemm 1. Olkoon A ortogonlinen 3 3 mtriisi j olkoon det(a) = 1. Tällöin sillä on ominisrvo λ = 1. Ominisrvo λ = 1 vstv ominisvruutt voidn kutsu A:n pyörähdyskseliksi. Tämä ominisvruus on siis Neovius-Nevnlinnn määritelmän mukinen suor. Todistus. Tämän jätän hrjoitustehtäväksi. Trvittvt sit löytyvät mistä thns mtriisilskun oppikirjst. Lemm 2. Jokinen säänöllinen käyrä voidn prmetrisoid krenpituudell. Todistus. Olkoon c : [, b] R 2 säännöllinen. Olkoon edelleen g(t) = t c (u) du j merkitään g(b) = L. Siis g on kuvus [, b] [0, L]. Edelleen g on bijektio kosk g (t) = c (t) > 0. Siis on olemss käänteiskuvus g 1. Asetetn c = c g 1. Nyt on helppo trkist, että c (t) = 1 kikill t. Kuvust g 1 ei useinkn tunnet eksplisiittisesti, mutt osoittutuu, ettei sitä trvitkn: riittää tieto, että se on olemss. Lemm 3. Olkoon c krenpituudell prmetrisoitu käyrä j p = c(s 0 ). Käyrän suutelev ympyrä tässä pisteessä p on y(t) = + r ( cos(t/r), sin(t/r) ) missä y(t 0 ) = p, r = 1/ κ(s 0 ) j = p + 1 κ(s 0) n(s 0) Käyrän suutelevien ympyröitten keskipisteistä muodostuu uusi käyrä, lkuperäisen käyrän evoluutt. Todistus. Trkstelln yhtälöitä c(s 0 ) = p = y(t 0 ) c (s 0 ) = y (t 0 ) c (s 0 ) = y (t 0 ) Viimeinen yhtälö nt: y ( (t 0 ) = 1 r cos(t0 /r), sin(t 0 /r) ) ( = 1 r 2 y(t0 ) ) ( ) = 1 r p = c (s 2 0 ) Kosk r = p, niin tästä jo sdn, että r = 1/ c (s 0 ) = 1/ κ(s 0 ). Pitää vielä lske. Toist yhtälöä ei ole vielä käytetty: ( c 1 (s 0 ), c 2(s 0 ) ) = ( sin(t 0 /r), cos(t 0 /r) ) Tämän vull siis = p r ( cos(t 0 /r), sin(t 0 /r) ) = p + r ( c 2(s 0 ), c 1(s 0 ) ) = p + 1 κ(s 0) n(s 0)

7 Hiukn vritiolsku Olkoon V kikkien välillä [, b] määriteltyjen sileitten funktioitten joukko j setetn V pq = { f V f() = y 0 j f(b) = y 1 } j V 0 = { f V f() = f(b) = 0 } Etsitään sellist funktiot f V pq, joll seurv kuvus J : V pq R svutt minimirvon: J(f) = (x) 2 dx Lsketn J:n suunnttu derivtt. Olkoon g(s) = f(t) + s h(t), missä f V pq j h V 0. g on siis kuvus g : R V pq, j pikinen vilkisu suorn määritelmään (ii) osoitt, että g on suor vruudess V pq (j myös vruudess V, kosk V pq on vruuden V osjoukko). Kiinnitetään piste f j suunt h, j olkoon J f (s) = (J g)(s) = J(f + sh) Tällöin siis J f : R R. Jos f minimoi J:n, niin J f :llä on minimi, kun s = 0. Tällöin pitää päteä J f (0) = 0. Lsketn tämä derivtt. d dsj(f + sh) = d ds = (x) 2 + 2sf (x)h (x) + s 2 h (x) 2 dx f (x)h (x) + sh (x) 2 (x) 2 + 2sf (x)h (x) + s 2 h (x) 2 dx mistä edelleen osittisintegroimll J f (0) = = / b f (x)h (x) (x) 2 dx f (x)h(x) (x) 2 f (x)h(x) = dx ( (x) 2 ) 3/2 b f (x)h(x) dx ( (x) 2 ) 3/2 Nyt pitää oll voimss, että J f (0) = 0 kikill h V 0, mikä on mhdollist vin, jos f (x) = 0. Tätä toisen kertluvun differentiliyhtälöä kutsutn tehtävän Eulerin (ti Eulerin j Lgrngen) yhtälöksi. Tässä tpuksess rtkisut ovt siis suori, kuten iemmin on jo nähty. Viitteet [1] R. Hrtshorne, Geometry: Euclid nd beyond, Undergrdute Texts in Mthemtics, Springer, [2] M. Spivk, A comprehensive introduction to differentil geometry, vol 2, 2nd ed., Publish or Perish, [3] I. Todhunter (ed.), The elements of Euclid, J. M. Dent & Sons Ltd, London, 1862, uusi pinos: Everymn s Librry, Dutton, New York, 1933.