2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt

Transkriptio

1 .. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,... Viimemiituss kuvus g o se sisäfuktio j potessii korotus ulkofuktio. Määritysjoukko o koko R. Jos o prillie, ii fuktio f (x) x käy oll kutt läpi kikki positiiviset reliluvut khtee kert. Fuktio o idosti väheevä, ku x j idosti ksvv, ku x >. Kuvss ll y x. Jos o prito, ii fuktio käy oll kutt läpi kikki reliluvut j o idosti ksvv (bijektio). Kuvss ll y x Kuv. y x ()

2 .. Juurifuktio j -yhtälöt Kuv. y x Nämä potessifuktio omiisuudet liittyvät erityisesti itegrlilskess hyödyllisii käsitteisii prillisuus j prittomuus. Fuktio sot olev prillie, jos vstlukuihi liittyvät fuktio rvot ovt smt j prito, jos vstlukuihi liittyvät fuktio rvot ovt toistes vstlukuj. Void t täsmällieki ******************************************************** MÄÄRITELMÄ 5. Olkoot f fuktio, jok määritysjoukko o lkio x implikoi se, että D f. Jos jokie määritys-jouko f(x) f( x), ii f o prillie f(x) f( x), ii f o prito. Ku siis mielivltisee x Df liittyvät fuktio kuvj pisteet ovt (x, f(x)) j ( x, f ( x)), j o voimss f(x) f( x), ii void todet, että äitä pisteitä yhdistävä j keskipistee koorditit ovt (, f(x)), mikä void ilmist iiki, että y-kseli o miitu j keskiormli. Yleisi tp ()

3 .. Juurifuktio j -yhtälöt ilmist si o ii, että PARILLISEN FUNKTION KUVAAJA ON SYMMETRINEN Y-AKSELIN SUHTEEN. Jätetää hrjoitustehtäväksi osoitt, että PARITTOMAN FUNKTION KUVAAJA ON SYMMETRINEN ORIGON SUHTEEN. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ 6. JUUREN MÄÄRITELMÄ Olkoot prillie. Ei-egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o, ts. b b, mikäli b Huom, että edellä olev sisältää eliöjuureki määritelmä. Olkoot prito. Luvu :s juuri trkoitt sellist luku b, jok :s potessi o. Mitää lisärjoituksi ei trvit. Negtiivisell luvull ei siis ollek ole prillist juurt, mutt kikill reliluvuill o prito juuri, jok, potessi merkkisääöistä johtue, o i smmerkkie kui juurrettvki. Juurie rvot ovt sge hrvoi kokois-lukuj ti edes rtiolilukuj. Prillise juure tpuksess o kiiitettävä erityistä huomiot juure ei-egtiivisuutee. Joskus joudut ottm prillist juurt luvu sellisest potessist, joll o sm ekspoetti kui juure s. ideksi ( ), j tällöi voi itse oll egtiivieki. Se prillie potessi, jost juuri otet, o kuiteki positiivie j juuri o olemss. Esim.. ), sillä > j b) ei ole mikää luku. c) 5 5, mutt ( 5) ei ole 5, v se o 5. Miksi? d) Edellisessä kohdss ollut s o helppo välttää luvuill, mutt kuik moi väittää, että, vikk olisi egtiivieki. ()

4 .. Juurifuktio j -yhtälöt Tässä ei luvu (lusekkee) egtiivisuus ti positiivisuus mitekää äy. Yhteeveto voidki todet, että, ku o prito olemss i j, ku o prillie Esim.. ( ). o Korkemmille juurille o olemss eliöjuuri vstvt sieveyskvt. Ne o helppo todist oikeiksi juure määritelmä vull. Luse 7. b b, lisärjoitus:, b, jos prillie b, lisärjoitus:, b >, jos prillie b Esim ) b b. b) c) d) 6x y z 6 x y 6 z 6 e) , Esim.. Piirrä sm koorditistoo fuktioide y x j y kuvjt, ku x >. x Ku lsket joiti pisteitä fuktio y x kuvj piirtämiseksi, ii tätä tulukko void hyödytää myös juurifuktio kuvj kss. Siiä yhteydessä huomt, että o kyseessä toistes kääteisfuktiot. Jos potessifuktio kuv x: y:ksi, ii juurifuktio kuv y: x:ksi. ()

5 .. Juurifuktio j -yhtälöt x ½ ½ x x x Jos siis piste 6, 6, o juurifuktio kuvj piste. o potessifuktio kuvj piste, ii 6 5 -,5,5 Tähä meessä potessi o määritelty iki ekspoeti olless kokoisluku. Mikä merkitys o sitte lusekkeell eli oko potessi rvo lskettviss silloiki, ku ekspoetti o rtioliluku. Kute ei voitu jtell sellist lskutoimitust, että luku olisi kerrottu itsellää kert, missä olisi egtiivie, ei void jtell sitäkää, että kerrottisii itsellää 5½ kert. m 5()

6 .. Juurifuktio j -yhtälöt ******************************************************** MÄÄRITELMÄ 7. MURTOPOTENSSI Olkoot mielivltie, positiivie reliluku, mielivltie positiivie kokoisluku j m mielivltie kokoisluku. Tällöi m m Huom, että edellä olev sisältää myös juure esitystv rtiolise ekspoeti vull. Void todist, että äi määritellylle rtiolise ekspoeti sisältävälle potessille ovt voimss kikki kokoislukuekspoeti yhteydessä esitellyt potessisääöt. Tähä teori koht liittyvissä hrjoitustehtävissä o pljo potessisäätöje soveltmist rtiolisille ekspoeteille. Sieveystehtävie lähtökoht o usei juurimuoto, jok useimmite o syytä heti muutt potessimuotoo, suoritt lskut potessisäätöje ojll j plt sitte ilmoittm vstus juurimuodoss ti potessimuodoss, hiem tpuksest riippue. Esimerkeissä o luoollisesti ekspoettie ti ktlukuje suhtee oudtettu hiem keiotekoise tutuisi vlitoj; käytäö sovellutuksiss ehkä yhtä yksikertisi luvui ei selvitä. Esim.. ) b) ½. ( ) ( ). 7 5 c) 6 ei sievee merkittävästi. Potessisäätöje käyttö edellyttää, että joko ktluku o sm ti ekspoetti o sm. Tosi ekspoettej lvetmll stee kummlleki sm imittäjä, mutt käytäö tilteess sieveyksestä stv hyöty stt kdot tehdy työmäärä tkse. 6()

7 .. Juurifuktio j -yhtälöt 5 d) ½ ½ 5 ½ ( ) ½ ½ e), Eräissä tpuksiss joutuu lskem murtopotessie likirvoj lskimell. Tällisiss tpuksiss s lskime potessii korotustoimito käyttää ilm tuotuski, koe kyllä tottelee rtiolisi, jop irrtiolisi ekspoettej, eikä siis trvitse missää juurimuodoiss käydä välillä ollek. Lskime tm likirvo ei tietekää riitä silloi, ku trvit lusekkee trkk rvo. Edellä olevst stt oll pääteltävissä se, että ekspoetti voi oll myös irrtioliluku. Mitä siis trkoitt esimerkiksi, jot ei voi lske määritelmä.7 mukisesti, sillä luku ei void esittää rtioliluku, kosk sillä ei ole päättyvää ti päättymätötä, jksollist desimlikehitelmää. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ. Irrtiolie ekspoetti Irrtiolisell potessill trkoitet sitä rj-rvo, jot potessi rvo lähee, ku ekspoetti korvt yhtä trkemmill j trkemmill rtiolisill likirvoill. Esim. 5. o sellie luku, jok suhtee ovt voimss epäyhtälöt: Kerätää tulukkoo : l- j ylälikirvoj ekspoeti sdess yhä trkempi j trkempi rtiolisi likirvoj. 7()

8 .. Juurifuktio j -yhtälöt Huomt, että toisess j eljäessä srkkeess o yhä eemmä j eemmä yhteisiä desimlej, ku ekspoeti likirvo trkeet. Huomt lisäksi, että llikirvo ksv j ylälikirvo väheee koko j, j ämä kksi likirvo lähestyvät toisi. Ekspoeti llikirv Ekspoeti ylälikirv llikirvo ylälikirvo ()