MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

Transkriptio

1 MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, Luento 1 / 23 7: In

2 Suorkulmion pint-l Integrlilsku voidn tulkit eräiden pint-lojen lskemiseksi. Aluksi trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmien lueiden pint-loj j pyritään ntmn pint-llle integrlien knnlt käyttökelpoinen määritelmä. Askel 1: Suorkulmion pint-l on knt korkeus: A = b. b Tässä ei ole vrsinisesti jteltu mitään mtemttisesti, vn on hyväksytty käyttökelpoisen määritelmänä. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, Luento 2 / 23 7: In

3 Suunnikkn pint-l Askel 2: Suunnikkn pint-l on knt korkeus: A = h. h Ajteltu, että pint-ln täytyy oll summutuv. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, Luento 3 / 23 7: In

4 Kolmion pint-l Askel 3: Kolmion pint-l on A = 1 2 h. h Ajteltu, että yhdenmuotoisten kppleiden pint-lojen tulee oll smoj. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, Luento 4 / 23 7: In

5 Monikulmio Monikulmio on tsolue, jot rj umpininen j itseään leikkmton murtoviiv. Murtoviiv koostuu peräkkäisistä jnoist, joille edellisen päätepiste = seurvn lkupiste. Se on umpininen, jos viimeisen päätepiste = ensimmäisen lkupiste. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, Luento 5 / 23 7: In

6 Umpinisen monikulmion pint-l Askel 4: Monikulmion pint-l määritellään jkmll monikulmio kolmioihin (= monikulmion kolmiointi) j lskemll kolmioiden pint-lojen summ. Luse: Kolmioiden pint-lojen summ ei riipu kolmioinnin vlinnst. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, Luento 6 / 23 7: In

7 Yleisen tsojoukon pint-l likimäärin Askel 5: Muodostetn rjoitetulle tsolueelle D sisämonikulmioit M s j ulkomonikulmioit M u : M s D M u. Monikulmioille pätee A(M s ) A(M u ) seuruksen siitä, että sm on tott sisäkkäisille kolmioille. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, Luento 7 / 23 7: In

8 Pint-ln määritelmä Määritelmä Rjoitetull tsojoukoll D on pint-l, jos jokist ε > 0 vst sisämonikulmio M s j ulkomonikulmio M u, joiden pint-lojen erotus on pienempi kuin ε: A(M u ) A(M s ) < ε. Tällöin kikkien lukujen A(M s ) j A(M u ) välissä on yksikäsitteinen reliluku A(D), jot kutsutn joukon D pint-lksi. Yllätys: Vikk joukon D reun olisi jop jtkuv umpininen tsokäyrä, ei sillä in ole pint-l! Reunkäyrä voi oll niin kiemurtelev, että sen pint-l > 0. Ensimmäinen esimerkki [W.F. Osgood, 1903]. Sitten on rjoitettuj joukkoj D, joiden reun ei edes ole jtkuv tsokäyrä. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, Luento 8 / 23 7: In

9 Määrätty integrli I Olkoon f : [, b] R sellinen, että f (x) 0 kikill x [, b]. Kuink suuren pint-ln A käyrä y = f (x) rj yhdessä x-kselin knss välillä [, b], joss jtelln < b? y y = f (x) A = b f(x) dx b x Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, Luento 9 / 23 7: In

10 Määrätty integrli II Kutsumme tätä pint-l A (jos se on ylipäätään olemss) määrätyksi integrliksi A = f (x) dx Määrätty integrli on siis reliluku (ei funktio). Myöhemmin hvitn, että ehto f (x) 0 ei trvit linkn. x-kselin lpuolelle jäävä pint-l voidn ymmärtää negtiivisen. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 10 / 23 7: In

11 Määrätty integrli III Tällä kurssill integrli määritellään kikille ploittin jtkuville funktioille. Ploittinen jtkuvuus trksti hetken päästä. Yleisemmin integrli voidn tutki myös rjoitettujen funktioiden tpuksess, jolloin puhutn Riemnn-integrlist. Ploittin jtkuvt funktiot ovt Riemnn-integroituvi kuten hetken päästä määritellään. Ikävä kyllä, kikki rjoitetut funktiot eivät ole Riemnn-integroituvi. Tämä hnkloitt yleisen tpuksen käsittelyä. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 11 / 23 7: In

12 Jtkuvn funktion integrli I Olkoon f : [, b] R jtkuv, joss < b. Välin [, b] jkoon eli ositukseen = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b liittyy sitä vstv funktion f yläsumm S = j lsumm s = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f (x) x k 1 x x k } k=1 n m k (x k x k 1 ), m k = min{f (x) x k 1 x x k }. k=1 Nämä ovt positiivisen funktion tpuksess erään ulko- j sisämonikulmion (= pylväsdigrmmit) pint-loj. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 12 / 23 7: In

13 Jtkuvn funktion integrli II y y y = f ( x) y = f (x) b x b x Punisten pylväiden pint-lojen summ on (tsvälistä jko vstv) yläsumm S vsemmnpuoleisess kuvss j lsumm s oikenpuoleisess kuvss. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 13 / 23 7: In

14 Ominisuuksi Ain pätee: (i) Kun jkopisteitä lisätään (snotn: jko tihennetään), niin s ksv j S pienenee; (ii) s S, vikk ne lskettisiin eri jkopisteillä. Perustelu: (i) Kuviost (ti muull tvoin) nähdään, miten l- j yläsumm muuttuvt, kun lisätään yksi jkopiste. Piirrä! (ii) Jos ylä- j lsummn lskemiseen käytetään smoj jkopisteitä, niin väite on selvä, kosk m k M k kikill k. Jos jkopisteet eivät ole smt, niin trkstelln tihennettyä jko ottmll mukn molempien jkojen kikki pisteet. Tämän jälkeen väite seur kohdst (i). Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 14 / 23 7: In

15 Integrlin määritelmä Määritelmä Positiivinen funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos jokist ε > 0 vst sellinen jko, joss S s < ε. Funktion f integrli I R on tällöin se yksikäsitteinen luku, jolle s I S kikiss joiss; merkitään f (x) dx = I. Positiivisen funktion tpuksess tämä vst täsmälleen sitä vtimust, että jkoihin liittyvien pylväsdigrmmien vull lsketut ulkoj sisämonikulmioiden pint-lt sdn mielivltisen lähelle toisin, kun jko tihennetään riittävästi. Mikä tulee ongelmksi, jos funktio ei olekn positiivinen? Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 15 / 23 7: In

16 Sopimuksi I Olkoon f : [, b] R funktio, joss < b j f (x) 0. Ljennetn integrlimerkin käyttöä tekemällä seurvt sopimukset: b f (x) dx = 0, f (x) dx = ( f (x)) dx = f (x) dx, f (x) dx. Viimeinen sopimus mhdollist negtiivisten funktioiden integroimisen. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 16 / 23 7: In

17 Sopimuksi II Näiden sopimusten nojll pätee f (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx c kikill, b, c järjestyksestä riippumtt Piirrä kuvio!. Lisäksi voimme integroid sekä positiivisi että negtiivisi rvoj svuttvi funktiot määrittelemällä f (x) dx = f + (x) dx + f (x) dx joss f + (x) = mx(f (x), 0) j f (x) = min(f (x), 0). Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 17 / 23 7: In

18 Riemnn-integroituvuus Luse Integrli on määritelty kikille jtkuville funktioille j se voidn lske rj-rvon n f (x) dx = lim f (x k ) x n k=1 käyttämällä tsvälisiä jkopisteitä x k = + k x, joss x = (b )/n on skelpituus j 0 k n. Yleisemmin: Edellisessä summss rvon f (x k ) tilll voi oll mikä thns rvo f (z k ), kun x k 1 z k x k, eikä jon trvitse oll tsvälinen. Aino vtimus: Jkovälien mx-pituus 0, kun n. Tässä tpuksess puhutn integrlin lskemisest Riemnnin summien vull. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 18 / 23 7: In

19 Ploittin jtkuv funktio Määritelmä Funktio f : [, b] R on ploittin jtkuv, jos sillä on vin äärellinen määrä epäjtkuvuuskohti c 1 < c 2 < < c m b, joiss kikiss toispuoliset rj-rvot ovt olemss j äärellisiä (ts. ± ei sllit). Määritelmästä seur, että jokisell yksittäisellä välillä [c k 1, c k ] funktio f voidn muokt jtkuvksi muuttmll päätepistervoiksi ko. toispuoliset rj-rvot. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 19 / 23 7: In

20 Integrlin yleistys Määritelmä Jos f : [, b] R on ploittin jtkuv, niin f (x) dx = m+1 k=1 ck c k 1 f (x) dx, kun käytetään edellisen sivun merkintöjä, c 0 =, c m+1 = b j f tulkitn jtkuvksi jokisell välillä [c k 1, c k ] erikseen. Käytännössä integrlin lskeminen täytyy tehdä usemmss osss yllä olevn kvn tpn myös silloin, kun funktio f on määritelty ploittin joko epäyhtenäisellä integroimislueell ti eri kvoin eri os-lueiss (jtkuvuudest riippumtt). Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 20 / 23 7: In

21 Integrlin ominisuuksi Ploittin jtkuvien funktioiden integrlille pätee Linerisuus: Jos c 1, c 2 R, niin ( c1 f (x) + c 2 g(x) ) dx = c 1 f (x) dx + c 2 g(x) dx. Positiivisuus: Jos h(x) 0 kikill x, niin Seurus: f (x) g(x) f (x) dx Erityisesti: Kosk ±f (x) f (x), niin ± f (x) dx f (x) dx h(x) dx 0. g(x) dx f (x) dx f (x) dx. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 21 / 23 7: In

22 Integrlilskennn välirvoluse Luse Jos f : [, b] R on jtkuv, niin f (x) dx = f (c)(b ) jollkin c [, b], ts. f (c) = 1 f (x) dx = f = funktion f keskirvo välillä [, b]. b Perustelu: Tehdään tulull. Mihin trvitn jtkuvuutt? Riittäisikö ploittinen jtkuvuus? Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 22 / 23 7: In

23 Anlyysin perusluse Luse Anlyysin perusluse: Jos f : [, b] R on jtkuv, niin kikill x ], b[. d dx x f (t) dt = f (x) Perustelu: Tehdään tulull lähtien erotusosmäärästä. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, Luento 23 / 23 7: In