Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Transkriptio

1 Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7

2 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist, hrjoitustehtävien rtkisemist j tentteihin vlmistutumist. Moniste sisältää melko kttvsti kurssill käsiteltävät sit, mutt pikoitellen lisäselitykset j mhdollinen lisämterili helpottnevt tekstin seurmist j esitettyjen sioiden ymmärtämistä. Moniste ei vrsinisesti ole trkoitettu kttvksi itseopiskelupketiksi. Monisteen rkenne j sisältö pohjutuvt Riemnn-integrlin määrittelyä lukuun ottmtt suurelt osin jo edesmenneen Seppo Vepsäläisen ikoinn Tmpereen yliopistoss pitämiin luentoihin. Sisältöä on jonkin verrn muokttu kevyempään suuntn j myös rkenteess on tehty muutoksi. Kurssin menestyksellinen seurminen edellyttää Tmpereen yliopiston opintojksoll Anlyysi A (j sen esitietoin olevill opintojksoill) esitettyjen sioiden hyvää hllint. Jos kurssill trvittvt esitiedot ovt päässeet unohtumn ti niiden hllinnss on muust syystä puutteit, myös esitietojen kertmiseen pitää vrt riittävästi ik (kurssin Anlyysi B seurmisen ohess). Kosk moniste on suor jtko kurssin Anlyysi A vstvlle monisteelle, mtemtiikn opiskelun luonnett koskevien huomutusten oslt näissä lkusnoiss tyydytään viittmn kurssin Anlyysi A monisteen lkusnoihin. Lopuksi esitän kiitokset kikille, jotk ovt kommenteilln, ehdotuksilln j neuvoilln uttneet minu tämän monisteen teoss. Pertti Koivisto

3 Sisältö Esitietoj. Supremum j infimum Rj-rvo j jtkuvuus Funktion derivtt 7. Määritelmiä j perusominisuuksi Yhdistetyn funktion derivtt Käänteisfunktion derivtt Rollen luse j välirvoluse Integrlilskennn perusluse Derivoituvn funktion ominisuuksi 4 3. l Hospitlin sääntö Funktion monotonisuus Funktion äärirvot Pint-lt j porrsfunktiot Al- j yläsumm Porrsfunktio Porrsfunktion integrli Riemnn-integrli Al- j yläintegrli Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus Integroituvi funktioit Perusominisuuksi Integrlien rviointi Integrlilskennn välirvoluse * Riemnnin summ Integrli j derivtt 4 6. Integrli ylärjns funktion Integrlifunktio * Integrointimenetelmiä 6 7. Määräämätön integrli

4 7. Osittisintegrointi Sijoitusmenetelmä eli muuttujnvihto Rtionlifunktiot Trigonometriset funktiot * Algebrlliset funktiot

5 Esitietoj. Supremum j infimum Joukon pienintä ylärj (supremum) j suurint lrj (infimum) on käsitelty jo kurssill Anlyysi A. Kerrtn vielä luksi supremumin j infimumin määritelmät j perusominisuuksi sekä esitetään muutmi myöhemmissä todistuksiss trvittvi putuloksi. Määritelmä.. Olkoon A R, A. Jos joukon A ylärjojen joukoss on pienin, niin se on joukon A pienin ylärj eli supremum (merkitään sup A). Määritelmä.. Olkoon A R, A. Jos joukon A lrjojen joukoss on suurin, niin se on joukon A suurin lrj eli infimum (merkitään inf A). Täydellisyysksioomn nojll jokisell epätyhjällä ylhäältä rjoitetull joukon R osjoukoll on pienin ylärj. Vstvsti jokisell epätyhjällä lhlt rjoitetull joukon R osjoukoll on suurin lrj. Seurv luse kuv infimumin j supremumin suhdett yksinkertisess erikoistpuksess. Luse.. Olkoot A j B epätyhjiä joukon R osjoukkoj. Jos A B, niin inf B inf A sup A sup B. Todistus. Hrjoitustehtävä. Yleisesti joukon A supremumin ti infimumin ei trvitse kuulu joukkoon A. Jos ne kuitenkin kuuluvt joukkoon A, niin joukon A ylä- j lrjoin ne ovt vstvsti joukon A suurin lkio mx A j pienin lkio min A. Tulos on voimss myös kääntäen, mikä nähdään seurvst luseest.

6 Luse.. Olkoon A epätyhjä joukon R osjoukko. () Jos joukoss A on suurin luku M, niin sup A M. (b) Jos joukoss A on pienin luku m, niin inf A m. Todistus. Ks. Anlyysi A. Huomutus. Weierstrssin min-mx-luseen nojll suljetull välillä [, b] jtkuvn funktion f kuvjoukoss f([, b]) on suurin j pienin lkio. Seurv luse nt vihtoehtoisen tvn tutki joukon supremumin j infimumin olemssolo. Luse on hyödyllinen puväline todistettess täsmällisesti supremumin j infimumin ominisuuksi. Luse.3. Olkoon A epätyhjä joukon R osjoukko. Tällöin () sup A G (i) x A: x G, (ii) ε > : x A: x > G ε, (b) inf A g (i) x A: x g, (ii) ε > : x A: x < g + ε. Todistus. Ks. Anlyysi A. Riemnn-integrlin määrittelyssä erityistä merkitystä on tilnteell, joss yhden joukon kikki lkiot ovt pienempiä ti yhtäsuuri kuin jonkin toisen joukon lkiot. Tällöin trkstelln sellisi epätyhjiä joukkoj A R j B R, että b A j b B. Seurvksi esitetään luseiden muodoss muutm tällisi joukkoj koskev tulos. Tuloksi hyödynnetään myöhemmissä todistuksiss. Intuitiivisesti tulokset tuntuvt luonnollisilt, j ne voidn suhteellisen helposti todist täsmällisesti esimerkiksi luseen.3 vull. Itse täsmälliset todistukset jätetään hrjoitustehtäväksi.

7 Luse.4. Olkoot A R j B R sellisi epätyhjiä joukkoj, että b kikill A j kikill b B. Tällöin sup A inf B. Todistus. Hrjoitustehtävä. Luse.5. Olkoot A R j B R sellisi epätyhjiä joukkoj, että b kikill A j kikill b B. Tällöin sup A inf B täsmälleen silloin, kun jokist positiiviluku ε > kohti on olemss selliset lkiot A j b B, että b < ε. Todistus. Hrjoitustehtävä. Hyödyntämällä lukujonon rj-rvon perusominisuuksi sdn luseen.5 seuruksen välittömästi seurv tulos. Seurus.6. Olkoot A R j B R sellisi epätyhjiä joukkoj, että b kikill A j kikill b B. Tällöin sup A inf B täsmälleen silloin, kun on olemss selliset lukujonot ( n ) j (b n ), että n A, b n B j lim n lim b n. n n Lisäksi tällöin sup A inf B lim n ( lim b n ). n n Todistus. Hrjoitustehtävä. 3

8 . Rj-rvo j jtkuvuus Kurssill Anlyysi A esitetyt lukujonon rj-rvo sekä funktion rj-rvo j jtkuvuutt koskevt tulokset oletetn jtkoss tunnetuksi. Tvnomisten lskusääntöjen ohell trvitn esimerkiksi suljetull välillä jtkuvien funktioiden ominisuuksi (mm. Bolznon luse j Weierstrssin min-mx luse). Lisäksi hyödynnetään polynomi- j juurifunktioiden, eksponentti- j logritmifunktioiden sekä trigonometristen funktioiden j niiden käänteisfunktioiden jtkuvuustuloksi sekä joitkin kurssill Anlyysi A johdettuj rj-rvotuloksi. Tällisi ovt esimerkiksi rj-rvot (.) lim x x sin x j lim x sin x x. Eksponentti- j logritmifunktioiden oslt on syytä plutt mieleen myös logritmin normlit lskusäännöt sekä kv (.) log x log x log (x >, >, ), joll -kntinen logritmi sdn plutetuksi (luonnolliseksi) logritmiksi, j yleinen muunnoskv f(x) g(x) e log f(x)g(x) e g(x) log f(x) (f(x) > ). Muunnoskvn erikoistpuksin tulevt käyttöön myös yleisen eksponenttifunktion määritelmä (.3) x e x log (x R, > ) j yleisen potenssifunktion määritelmä (.4) x e log x (x >, R). Lisäksi trvitn rj-rvo (.5) lim x e x x. 4

9 Seurvksi esitetään vielä kertuksen muutm tulos, joihin tulln viittmn myöhemmin. Tulokset on todistettu kurssill Anlyysi A. Aluksi pri funktion rj-rvo koskev lusett. Luse.7. Olkoon lim f(x) A. Jos tällöin on olemss sellinen δ M >, x että f(x) M x U δ M (), niin A M, j jos on olemss sellinen δ m >, että f(x) m x U δ m (), niin A m. Luse.8. Olkoon lim f(x) A. Jos A >, niin on olemss sellinen δ >, x että f(x) > x U δ(), j jos A <, niin on olemss sellinen δ >, että f(x) < x U δ(). Käänteisfunktioit tutkittess joudutn nytkin rjoittumn tietyn tyyppisiin funktioihin. Täsmällisesti otten hyödynnetään tieto, että jos funktio on jollkin välillä idosti monotoninen j jtkuv, niin funktioll on käänteisfunktio, jok myös on idosti monotoninen j jtkuv. Luse.9. Olkoon f : [, b] R sellinen idosti ksvv j jtkuv funktio, että f() A j f(b) B. Tällöin funktioll f : [, b] [A, B] on käänteisfunktio f : [A, B] [, b], jok on välillä [A, B] idosti ksvv j jtkuv. Luse.. Olkoon f : [, b] R sellinen idosti vähenevä j jtkuv funktio, että f() A j f(b) B. Tällöin funktioll f : [, b] [B, A] on käänteisfunktio f : [B, A] [, b], jok on välillä [B, A] idosti vähenevä j jtkuv. 5

10 Huomutus.. Luseet.9 j. voidn yleistää koskemn minkä thns tyyppistä väliä I. Lopuksi kerrtn vielä tsisen jtkuvuuden määritelmä j suljetull välillä jtkuvien funktioiden tsist jtkuvuutt koskev perustulos. Tulost hyödynnetään jtkuvien funktioiden Riemnn-integroituvuuden todistmisess. Määritelmä.3. Funktio f on tsisesti jtkuv välillä I, jos jokist positiiviluku ε > kohti on olemss sellinen δ >, että f(x ) f(x ) < ε in, kun x, x I j x x < δ. Luse.. Suljetull välillä [, b] jtkuv funktio on tällä välillä tsisesti jtkuv. 6

11 Funktion derivtt. Määritelmiä j perusominisuuksi.. Määrittelyjä Määritellään luksi, mitä funktion derivtll j derivoituvuudell trkoitetn. Määritelmä.. Funktio f on derivoituv pisteessä x, jos rj-rvo lim h f(x + h) f(x) h on äärellisenä olemss. Kyseistä rj-rvo snotn tällöin funktion f derivtksi pisteessä x j merkitään f (x). Huomutus. Derivtn määritelmä tässä muodoss esitettynä sisältää oletuksen, että funktio f on määritelty pisteen x josskin ympäristössä (piste x mukn luettun). Huomutus. Muit mhdollisi derivtn merkitsemistpoj ovt esimerkiksi d dx f(x), Df(x), D xf(x). Huomutus. Osmäärää f(x + h) f(x) h snotn funktion f erotusosmääräksi pisteessä x. Huomutus.. Derivtn määritelmässä esiintyvä rj-rvo voidn esittää myös muodoss f(y) f(x) lim. y x y x 7

12 Esimerkki.. Olkoon f(x) x (x ). Määritetään f () j f ( ). Olkoon < h <. Tällöin f( + h) f() h +h h h +h h + h, kun h, j f( + h) f( ) h ( ) +h h h +h h + h, kun h. Siis f () f ( ). Esimerkki.. Osoitetn, että funktio f(x) x ei ole derivoituv pisteessä x. Olkoon h. Tällöin f( + h) f() h + h h h h, jos h >,, jos h <. Siis rj-rvo lim h f( + h) f() h ei ole olemss j f ei ole derivoituv pisteessä x. Esimerkki.3. Osoitetn, että vkiofunktion derivtt on in noll eli D(c) kikill c R. Olkoon f(x) c (c R). Jos nyt h, niin erotusosmäärä f(x + h) f(x) h c c h kikill x R. Tällöin myös erotusosmäärän rj-rvo on, kun h, eli f (x) kikill x R. 8

13 Esimerkki.4. Olkoon f(x) x n (n Z + ). Osoitetn, että kikill x R j kikill n Z +. Kosk f (x) n x n y n x n (y x)(y n + y n x + + yx n + x n ) kikill x, y R j kikill n Z + (hrjoitustehtävä), niin huomutuksen. j polynomifunktion jtkuvuuden nojll f (x) lim y x f(y) f(x) y x y n x n y x lim y x lim y x (y n + y n x + + yx n + x n ) x n + x n x + + xx n + x n n x n kikill x R j kikill n Z +. Esimerkki.5. Osoitetn, että kikill x R. D(sin x) cos x Plutetn luksi trigonometrist mieleen kv (.) sin x sin y cos x + y sin x y x, y R. Käyttämällä kv (.) sekä hyödyntämällä kosinin jtkuvuutt j rj-rvo sin x lim x x (ks. (.), s. 4) sdn (kikill x R) lim h sin(x + h) sin x h cos x+h lim h h sin h sin h lim h h cos(x + h ) }{{}}{{} x cos x cos x. 9

14 Käyttämällä kvn (.) sijst kv cos x cos y sin x + y sin x y voidn vstvll tvll osoitt (hrjoitustehtävä), että kikill x R. D(cos x) sin x Esimerkki.6. Osoitetn, että lim x cos x x. Olkoon f(z) cos z. Tällöin lim x cos x x lim x cos( + x) cos x f () sin. Esimerkki.7. Osoitetn, että kikill x R. D(e x ) e x Hyödyntämällä potenssin lskusääntöjä j rj-rvo (ks. (.5), s. 4) sdn lim h kikill x R. e x+h e x h lim x lim h e x e h e x h e x x ( e lim e x h ) h }{{ h } e x e x.. Toispuoleiset derivtt Erotusosmäärän rj-rvon sijst voidn trkstell vin erotusosmäärän oikenpuoleist ti vsemmnpuoleist rj-rvo. Tällöin sdn vstvsti vin oikenpuoleinen ti vsemmnpuoleinen derivtt.

15 Määritelmä.. Mikäli rj-rvo f (x+) lim h + f(x + h) f(x) h on äärellisenä olemss, snotn sitä funktion f oikenpuoleiseksi derivtksi pisteessä x. Vstvsti mikäli rj-rvo f (x ) lim h f(x + h) f(x) h on äärellisenä olemss, snotn sitä funktion f vsemmnpuoleiseksi derivtksi pisteessä x. Esimerkki.8. Funktiolle f(x) x (ks. esimerkki., s. 8) f (+) j f ( ). Esimerkki.9. Olkoon >. Määritetään funktion f(x) x (x ) oikenpuoleinen derivtt pisteessä x. Jos h +, niin f( + h) f() h ( + h) h h h h, kun >,, kun,, kun < <. Täten f, kun >, (+), kun. Kun < <, niin f (+) ei ole olemss. Huomutus.. Kosk erotusosmäärän rj-rvo plutuu erotusosmäärän toispuoleisiin rj-rvoihin, funktio f on derivoituv pisteessä x täsmälleen silloin, kun f (x ) j f (x+) ovt äärellisenä olemss j yhtä suuret.

16 Määritelmä.3. Funktio f on derivoituv voimell välillä ], b[, jos f on derivoituv välin jokisess pisteessä. Määritelmä.4. Funktio f on derivoituv suljetull välillä [, b], jos f on derivoituv välin jokisess sisäpisteessä j lisäksi f (+) j f (b ) ovt äärellisenä olemss. Määritelmä.5. Funktio f on derivoituv välillä [, b[, jos f on derivoituv välillä ], b[ j f (+) on äärellisenä olemss, j f on derivoituv välillä ], b], jos f on derivoituv välillä ], b[ j f (b ) on äärellisenä olemss. Huomutus. Jos f on derivoituv välillä I, snotn kuvust f : I R (jonk smt rvot välillä I ovt derivtt f (x)) funktion f derivttfunktioksi (ti lyhyesti derivtksi) välillä I. Huomutus. Derivtt f (x) j derivttfunktion (eli derivtn) rj-rvo lim f (y) y x ovt kksi eri käsitettä (ks. esimerkki.). Esimerkki.. Olkoon 3, jos x, f(x), jos x <. Funktio f ei ole derivoituv pisteessä x, sillä f ( ) lim h f( + h) f() h lim h 3 h lim h h ei ole äärellisenä olemss. Toislt f (x) kikill x, joten lim f (x) x lim f (x) x + lim f (x). x

17 Huomutus. Jos derivttfunktio f on jtkuv välillä I, snotn, että funktio f on jtkuvsti derivoituv välillä I...3 Perusominisuuksi Luse.3. Jos funktio f on derivoituv pisteessä x, niin f on jtkuv pisteessä x. Todistus. Jos f on derivoituv pisteessä x, niin Olkoon h. Tällöin lim h f(x + h) f(x) h f (x). f(x + h) (f(x + h) f(x)) + f(x) h f(x + h) f(x) h + f(x) f (x) + f(x) f(x), kun h. Siis f on jtkuv pisteessä x. Huomutus. Jos funktio f ei ole jtkuv pisteessä x, niin f ei ole myöskään derivoituv pisteessä x. Huomutus. Jos funktio on derivoituv jollkin välillä I, on se tällä välillä myös jtkuv (hrjoitustehtävä). 3

18 Huomutus. Luse.3 ei ole kääntäen voimss. Esimerkiksi funktio f(x) x on jtkuv pisteessä x, mutt ei ole derivoituv pisteessä x (ks. esimerkki., s. 8). Luse.4. Olkoot funktiot f j g derivoituvi pisteessä x. Tällöin myös funktiot f + g, f g, fg, kf (k R) j f g ovt derivoituvi pisteessä x j (kun g(x) ) (i) (ii) (iii) (iv) (v) (f + g) (x) f (x) + g (x), (f g) (x) f (x) g (x), (kf) (x) k f (x), (fg) (x) f (x)g(x) + g (x)f(x), ( f g ) (x) f (x)g(x) g (x)f(x) g(x). Todistus. (i) Lskemll sdn (f + g) (x) lim h (f + g)(x + h) (f + g)(x) h lim h [f(x + h) + g(x + h)] [f(x) + g(x)] h lim h [f(x + h) f(x)] + [g(x + h) g(x)] h f (x) + g (x). (ii) Tulos seur kohdist (i) j (iii), kun funktioksi g vlitn g. (iii) Kosk vkiofunktion derivtt on noll, tulos sdn kohdst (iv) vlitsemll funktioksi g vkiofunktio k. 4

19 (iv) Lskemll sdn (fg) (x) lim h f(x + h)g(x + h) f(x)g(x) h lim h f(x + h)g(x + h) f(x + h)g(x) + f(x + h)g(x) f(x)g(x) h lim h f(x + h) [g(x + h) g(x)] + g(x) [f(x + h) f(x)] h [ lim f(x + h) h }{{} f(x) f(x)g (x) + g(x)f (x). g(x + h) g(x) h + g(x) (v) Oletetn, että g(x). Osoitetn, että ( ) (x) g (x) g g(x). Tällöin väite seur kohdst (iv), sillä ( ) f (x) ( f ) (x) g g Lskemll sdn nyt ( g ] f(x + h) f(x) h ( ) f (x) g(x) + g (x) f(x) g(x) f (x)g(x) g (x)f(x) g(x). ) (x) ( lim h h g(x + h) ) g(x) lim h g(x) g(x + h) h g(x + h) g(x) g(x + h) g(x) lim h h g(x + h) g(x) }{{} g(x) g (x) g(x). 5

20 Esimerkki.. Luseen.4 sekä esimerkkien.3 (s. 8) j.4 (s. 9) perusteell polynomifunktio on derivoituv j p(x) n x n + n x n + + x + x + p (x) n n x n + (n ) n x n + + x + kikill x R. Esimerkki.. Käyttämällä tulon derivointisääntöä sekä polynomin (esimerkki.) j sinin (esimerkki.5, s. 9) derivointikvoj sdn kikill x R. D(x 5 sin x) 5x 4 sin x + x 5 cos x Esimerkki.3. Käyttämällä tulon derivointisääntöä j eksponenttifunktion (esimerkki.7, s. ) sekä sinin j kosinin (esimerkki.5, s. 9) derivointikvoj sdn D(e x sin x cos x) D(e x ) sin x cos x + e x D(sin x cos x) e x sin x cos x + e x( D(sin x) cos x + sin x D(cos x) ) kikill x R. e x sin x cos x + e x (cos x cos x + sin x ( sin x)) e x (cos x + sin x cos x sin x) Esimerkki.4. Jos x, niin käyttämällä polynomin derivointikv j osmäärän derivointisääntöä sdn ( D x) x x x j ( ) x D x x x(x ) x + x (x ) x 4 x x 3. 6

21 Esimerkki.5. Osoitetn, että D(tn x) cos x + tn x kikill x π + nπ (n Z) j D(cot x) sin x cot x kikill x nπ (n Z). Kosk sin x + cos x kikill x R, niin sinin j kosinin derivointikvojen (esimerkki.5, s. 9) sekä osmäärän derivoimissäännön vull sdn ( ) sin x D(tn x) D cos x cos x cos x ( sin x) sin x cos x cos x + sin x cos x kikill x π + nπ (n Z) j ( ) cos x D(cot x) D sin x cos x + tn x ( sin x) sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x sin x cot x kikill x nπ (n Z). 7

22 ..4 Korkempien kertlukujen derivtt Määritelmä.6. Jos funktion f derivttfunktio f on derivoituv pisteessä x, snotn funktion f derivtt tässä pisteessä funktion f toisen kertluvun derivtksi pisteessä x j merkitään f (x). Yleisesti funktion f n:nnen kertluvun derivtt pisteessä x on mikäli derivtt ovt olemss. f (n) (x) D ( f (n ) (x) ) (n, 3,...), Huomutus. Funktion f(x) n:nnen kertluvun derivtlle käytetään myös merkintöjä D n d n f(x) j dx f(x). n Huomutus. Lisäksi voidn määritellä, että f () f, jolloin määritelmä.6 on merkinnän luonteisen voimss myös, kun n. Esimerkki.6. Olkoon f(x) x n (n Z + ). Tällöin polynomin derivointikvn (esimerkki.) perusteell f (x) nx n, f (x) n (n )x n,. f (n ) (x) n (n ) x, f (n) (x) n!, f (n+) (x) kikill x R. Esimerkki.7. Kosk D(e x ) e x, niin D n (e x ) e x kikill n Z + j kikill x R. 8

23 Esimerkki.8. Olkoon f(x) sin x. Tällöin sinin j kosinin derivointikvojen (esimerkki.5, s. 9) sekä luseen.4 (s. 4) perusteell kikill x R. f (x) cos x, f (x) sin x, f (x) cos x, f (4) (x) sin x,. 9

24 . Yhdistetyn funktion derivtt Trkstelln seurvksi yhdistetyn funktion derivointikv eli ketjusääntöä. Luseess.5 oletetn tietenkin, että funktion f kuvjoukko sisältyy funktion g määrittelyjoukkoon, jolloin voidn puhu yhdistetystä funktiost g f. Luse.5. Jos funktio f on derivoituv pisteessä x j funktio g on derivoituv pisteessä f(x), niin funktio g f on derivoituv pisteessä x j (g f) (x) g (f(x))f (x). Todistus. Olkoon f derivoituv pisteessä x j g derivoituv pisteessä f(x). Tvoitteen on nyt osoitt, että lim h (g f)(x + h) (g f)(x) h Olkoon h. Merkitään lim h g(f(x + h)) g(f(x)) h g (f(x))f (x). y f(x) j k f(x + h) f(x). Kosk f on derivoituvn funktion jtkuv pisteessä x, niin k, jos h. Lisäksi f(x + h) f(x) + k y + k j edelleen (.) g(f(x + h)) g(f(x)) h g(y + k) g(y). h Olkoon g(y + t) g(y) g (y), kun t, u(t) t, kun t. Kosk g on derivoituv pisteessä y, niin u(t) on jtkuv pisteessä t. Lisäksi g(y + t) g(y) t (u(t) + g (y)) t R, joten myös g(y + k) g(y) h k (u(k) + g (y)) h (u(k) + g (y)) k h k R.

25 Jos nyt h, niin u(k) (sillä myös k j u on jtkuv pisteessä k ) j Täten lim h k h g(y + k) g(y) h f(x + h) f(x) h mistä väite seurn yhtälön (.) perusteell. f (x). g (y)f (x) g (f(x))f (x), Huomutus. Luseen.5 tulos voidn esittää myös muodoss (g f) (x) dg df df dx. Vstvsti jos f f... f n on yhdistetty funktio j ll esiintyvät derivtt ovt olemss, niin voidn yleistää d dx (f f f n ) df df df df 3 df n dx. Esimerkki.9. Käyttämällä polynomin j sinin derivointikvoj sekä yhdistetyn funktion derivoimissääntöä sdn kikill x R. D(sin (x)) sin x D(sin x) sin x cos x D(x) sin x cos x sin x cos x sin 4x Esimerkki.. Vstvsti kuin esimerkissä.9 sdn D ( sin(sin(x )) ) cos(sin(x )) D(sin(x )) cos(sin(x )) cos(x ) D(x ) cos(sin(x )) cos(x ) x x cos(x ) cos(sin(x )) kikill x R. Yhtälöketjun viimeinen yhtäsuuruus seur trigonometrin kvst sin x sin x cos x.

26 Esimerkki.. Käyttämällä polynomin derivointikv j yhdistetyn funktion derivoimissääntöä sdn kikill x R. D ( (x 3 + x) 5) 5(x 3 + x) 4 (3x + ) (5x + )(x 3 + x) 4 Esimerkki.. Esimerkin.4 (s. 9) perusteell D(x n ) nx n n Z + j x R. Osoitetn, että jos x, niin potenssin derivointikv pätee kikille n Z. Olkoon siis x. Todetn luksi, että tällöin D(x ) D() x. Olkoon sitten n Z +. Käyttämällä kv x n ( x) n j soveltmll yhdistetyn funktion derivointisääntöä sekä potenssin derivointikv j esimerkin.4 (s. 6) tulost ( D x) x sdn (( n ) D(x n ) D x) ( ) n ( n D x x) ( n n ( x) ) x ( ) n ( n x x) ( n+ n x) nx (n+) nx n. Siis potenssin derivointikv pätee kikille n Z (kun x ) eli D(x n ) nx n n Z, x.

27 Esimerkki.3. Olkoon x sin, kun x, f(x) x, kun x. Osoitetn, että f (x) on olemss kikill x R j derivttfunktio f (x) ei ole jtkuv pisteessä x. : Olkoon x. Tällöin f (x) x sin x + x cos ( x ) x x sin x cos x tvnomisten derivointisääntöjen nojll. : Funktio f(x) on derivoituv pisteessä x j f (), sillä hyödyntämällä rj-rvo (.) (s. 4) sdn lim h f( + h) f() h lim h h sin(/h) h lim h h sin h. Siis kohtien j nojll funktio f(x) on derivoituv kikill x R. 3 : Osoitetn derivttfunktion f (x) epäjtkuvuus pisteessä x osoittmll, että rj-rvo lim f (x) ei ole olemss. Rj-rvost (.) (s. 4) seur, x että lim x sin x x. Toislt rj-rvo lim x cos x ei ole olemss (hrjoitustehtävä), joten funktion rj-rvon lskusääntöjen nojll myöskään rj-rvo ( lim x sin x x cos ) x lim x f (x) ei voi oll olemss. Siis f (x) ei ole jtkuv pisteessä x. Huomutus. Kosk esimerkin.3 derivttfunktio f (x) ei ole jtkuv pisteessä x, niin f (x) ei ole myöskään derivoituv pisteessä x (eli f () ei ole olemss). 3

28 Esimerkki.4. Olkoon >. Osoitetn, että D( x ) x log kikill x R. Käyttämällä muunnoskv x e x log (ks. (.3), s. 4) sekä eksponenttifunktion derivointikv j yhdistetyn funktion derivoimissääntöä sdn kikill x R. D( x ) D(e x log ) e x log D(x log ) e x log log x log 4

29 .3 Käänteisfunktion derivtt Kosk derivoituvll funktioll ei välttämättä ole käänteisfunktiot, on käänteisfunktion derivoituvuutt tutkittess rjoituttv esimerkiksi idosti monotonisiin funktioihin (jolloin käänteisfunktio on olemss). Lisäksi funktion derivtn rvolle on setettv rjoituksi. Luse.6. Oletetn, että funktio f on jtkuv j idosti monotoninen josskin pisteen x ympäristössä j että f on derivoituv pisteessä x j f (x). Tällöin käänteisfunktio f on derivoituv pisteessä y f(x) j (f ) (y) f (x) f (f (y)). Todistus. Oletetn, että luseen oletukset ovt voimss pisteessä x. Olkoon lisäksi y f(x) j erityisesti y f(x ). Kosk f on jtkuv j idosti monotoninen josskin pisteen x ympäristössä, on funktioll f rjoitettun tähän väliin käänteisfunktio f (jok on jtkuv j idosti monotoninen josskin pisteen y ympäristössä, ks. luseet.9 j. sekä huomutus., s. 5 6). Lisäksi tällöin x x täsmälleen silloin, kun f(x) f(x ) eli y y, j f(x) f(x ), kun x x. Siis lim h f (y + h) f (y ) h lim y y f (y) f (y ) y y lim x x f (f(x)) f (f(x )) f(x) f(x ) lim x x x x f(x) f(x ) lim x x f(x) f(x ) x x f (x ), sillä f on derivoituv pisteessä x j f (x ). Täten f on derivoituv pisteessä y j (f ) (y ) f (x ) f (f (y )). 5

30 Huomutus. Oletus f (x) luseess.6 on oleellinen (ks. esimerkki.5). Esimerkki.5. Esimerkiksi funktio f(x) x 3 on jtkuv, idosti ksvv j derivoituv kikill x R. Lisäksi sillä on käänteiskuvus, jok on jtkuv j idosti ksvv kikill x R. Käänteiskuvus ei kuitenkn ole derivoituv pisteessä x (hrjoitustehtävä). Esimerkki.6. Osoitetn, että D(rc sin x) x x ], [. Funktio f(x) sin x on jtkuv j idosti ksvv välillä [ π, π ]. Lisäksi f on derivoituv tällä välillä j f (x) cos x > x ] π, π[ (esimerkki.5, s. 9). Täten sinin käänteisfunktio rc sin x on luseen.6 nojll derivoituv kikill x ], [. Määritetään sitten rkussinin derivtt välillä ], [. Olkoon y rc sin x. Kosk sin y + cos y, niin (.3) cos(rc sin x) ± sin (rc sin x) x x ], [. Kvss (.3) on vlittv merkki +, sillä rc sin x ] π, π [ j kosini on tällä välillä positiivinen. Täten käänteisfunktion derivoimiskvn perusteell D(rc sin x) kikill x ], [. D(sin y) cos y cos(rc sin x) x Täsmällinen todistus, ks. esimerkki 3.4, s

31 Esimerkki.7. Vstvvll tvll kuin esimerkissä.6 voidn osoitt (hrjoitustehtävä), että kosinin käänteisfunktio rc cos x on derivoituv kikill x ], [, tngentin käänteisfunktio rc tn x on derivoituv kikill x R j kotngentin käänteisfunktio rc cot x on derivoituv kikill x R. Lisäksi käänteisfunktion derivoimiskvn perusteell (kun y rc cos x, y rc tn x ti y rc cot x) D(rc cos x) D(cos y) sin y sin(rc cos x) x kikill x ], [, D(rc tn x) D(tn y) + tn y + tn (rc tn x) + x kikill x R j D(rc cot x) D(cot y) cot y + cot (rc cot x) + x kikill x R (hrjoitustehtävä). Siis D(rc cos x) x x ], [, D(rc tn x) + x x R, D(rc cot x) + x x R. Esimerkki.8. Osoitetn, että D(log x) x x > Eksponenttifunktio e x on jtkuv j idosti ksvv kikill x R. Lisäksi D(e x ) e x (esimerkki.7, s. ) j e x > kikill x R. Täten eksponenttifunktion käänteisfunktio log x on luseen.6 nojll derivoituv kikill x > j (y log x) D(log x) D(e y ) e y e log x x. 7

32 Esimerkki.9. Olkoon >, j x >. Kosk (ks. (.), s. 4) niin esimerkin.8 nojll log x log x log, ( ) log x D(log x) D log log x x log. Esimerkki.3. Osoitetn, että lim x log( + x) x. Olkoon f(z) log z (z > ). Tällöin lim x log( + x) x lim x log( + x) log x f (). Huomutus. Jos f(x) >, niin käyttämällä muunnoskv (ks. s. 4) f(x) g(x) e log f(x)g(x) g(x) log f(x) e funktion f(x) g(x) ominisuudet voidn plutt funktion g(x) log f(x) ominisuuksiin. Jos esimerkiksi f j g ovt derivoituvi, niin funktion f(x) g(x) derivtt voidn lske käyttämällä eksponenttifunktion derivointikv j yhdistetyn funktion derivointisääntöä, jolloin D(f(x) g(x) ) e g(x) log f(x) D ( g(x) log f(x) ) f(x) g(x) D ( g(x) log f(x) ). Esimerkki.3. Olkoon f(x) x x e log xx e x log x (x > ). Tällöin f (x) e x log x D(x log x) e x log x ( log x + x ) (log x + ) x x. 8

33 Esimerkki.3. Osoitetn, että D(x ) x R, x > (eli jos x >, niin potenssin derivointikv pätee kikille R). Olkoon siis x > j R. Hyödyntämällä yleisen potenssifunktion määrittelyä x e log x (ks. (.4), s. 4) sekä yhdistetyn funktion derivoimissääntöä j eksponentti- j logritmifunktioiden derivointikvoj sdn D(x ) D(e log x ) e log x D( log x) e log x x x x x. Huomutus.7. Esimerkkien.9 (s. ) j.3 nojll funktio x on derivoituv välillä [, [, jos. 9

34 .4 Rollen luse j välirvoluse Tutkitn luksi ennen Rollen lusett j välirvolusett funktion käyttäytymistä yhdessä yksittäisessä pisteessä. Luse.8. Oletetn, että funktio f on derivoituv pisteessä. (i) Jos f () >, niin on olemss sellinen δ >, että f(x) < f() x ] δ, [ j f(x) > f() x ], + δ[. (ii) Jos f () <, niin on olemss sellinen δ >, että f(x) > f() x ] δ, [ j f(x) < f() x ], + δ[. Todistus. Todistetn koht (i). Koht (ii) todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Kosk f(x) f() lim f () >, x x niin luseen.8 (s. 5) nojll on olemss sellinen δ >, että f(x) f() x > x U δ(). Jos nyt x ] δ, [, niin x <, joten myös f(x) f() < eli f(x) < f(). Jos ts x ], + δ[, niin x >, joten myös f(x) f() > eli f(x) > f(). Huomutus. Ehdost f () > ei voi päätellä, että funktio f olisi ksvv millään välillä ] δ, + δ[, j ehdost f () < ei voi päätellä, että funktio f olisi vähenevä millään välillä ] δ, + δ[. Seurus.9. Jos funktio f svutt suurimmn ti pienimmän rvons pisteessä j f on derivoituv pisteessä, niin f (). Huomutus. Seurus.9 ei ole voimss kääntäen. 3

35 .4. Rollen luse Seuruksen.9 vull voidn todist Rollen luse. Luse. (Rollen luse). Jos (i) f on jtkuv suljetull välillä [, b], (ii) f on derivoituv voimell välillä ], b[, (iii) f() f(b), niin on olemss sellinen ξ ], b[, että f (ξ). Todistus. : Jos f on vkiofunktio, niin f (x) x ], b[. Täten mikä thns välin ], b[ piste kelp vdituksi pisteeksi. : Jos f ei ole vkiofunktio, niin on olemss sellinen c ], b[, että Oletetn nyt, että f(c) > f() ti f(c) < f(). f(c) > f() f(b) (tpus f(c) < f() todistetn täysin vstvsti). Kosk f on suljetull välillä [, b] jtkuv, niin f svutt Weierstrssin min-mx-luseen nojll suurimmn rvons josskin välin [, b] pisteessä ξ. Tällöin f(ξ) f(c) > f() f(b), joten ξ ], b[. Siis f on derivoituv pisteessä ξ. Lisäksi seuruksen.9 nojll f (ξ). Siis ξ on vdittu piste. Seurus.. Jos f on derivoituv välillä I j on olemss selliset x, x I, että x < x j f(x ) f(x ), niin on olemss sellinen ξ ]x, x [, että f (ξ). 3

36 Huomutus.. Seuruksen. nojll välillä I derivoituvll funktioll on tällä välillä in khden nollkohtns välissä vähintään yksi derivtn nollkoht. Esimerkki.33. Olkoon Tällöin f(x) x 3 + 3x. f (x) 3x + 3 3(x + ) > x R, joten derivttfunktioll f ei ole yhtään relist nollkoht. Siis huomutuksen. nojll funktioll f voi oll korkeintn yksi relinen nollkoht. Toislt selvästi f(), joten funktioll f on täsmälleen yksi relinen nollkoht (pisteessä x ). Huomutus.3. Käyttämällä huomutust. j Bolznon lusett sdn joskus määritettyä funktion nollkohtien täsmällinen määrä. Esimerkki.34. Funktioll f(x) x 4 + 4x 7x 5 on täsmälleen kksi relist nollkoht (hrjoitustehtävä)..4. Välirvoluse Todistetn luksi Rollen lusett käyttäen kht funktiot koskev välirvoluseen yleistys. Luse.4 (Yleistetty välirvoluse). Jos funktiot f j g ovt jtkuvi suljetull välillä [, b] j derivoituvi voimell välillä ], b[, niin on olemss sellinen piste ξ ], b[, että (.4) g (ξ) [f(b) f()] f (ξ) [g(b) g()]. 3

37 Todistus. Olkoon h(x) f(x) [g(b) g()] g(x) [f(b) f()]. Tällöin h on jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä ], b[, sillä f j g ovt jtkuvi välillä [, b] j derivoituvi välillä ], b[. Lisäksi j joten h() f()g(b) f()g() g()f(b) + g()f() f()g(b) f(b)g() h(b) f(b)g(b) f(b)g() g(b)f(b) + g(b)f() f()g(b) f(b)g(), h() h(b). Siis h toteutt Rollen luseen edellytykset, joten on olemss sellinen ξ ], b[, että h (ξ) eli f (ξ) [g(b) g()] g (ξ) [f(b) f()]. Huomutus.5. Jos luseess.4 tehdään funktiolle g lisäoletus, että g (x) kikill x ], b[, sdn (.5) f (ξ) g (ξ) f(b) f() g(b) g() (Cuchyn välirvokv). Todistus. Jos olisi g() g(b), niin Rollen lusett voitisiin sovelt funktioon g välillä [, b], jolloin olisi olemss sellinen ξ ], b[, että g (ξ ), mikä on vstoin huomutuksen oletuksi. Siis on oltv g() g(b), jolloin kvss (.4) voidn jk puolittin lusekkeill g(b) g() j g (ξ). Jos luseess.4 vlitn g(x) x (kikill x [, b]), sdn vrsininen differentililskennn välirvoluse. 33

38 f(b) f(b) f() f() ξ ξ b b Kuv.: Funktion f kuvjn pisteisiin (ξ, f(ξ )) j (ξ, f(ξ )) piirretyt tngentit ovt pisteiden (, f()) j (b, f(b)) kutt kulkevn suorn suuntisi, joten tngenteill j kyseisellä suorll on sm kulmkerroin. Luse.6 (Differentililskennn välirvoluse). Jos funktio f on jtkuv suljetull välillä [, b] j derivoituv voimell välillä ], b[, niin on olemss sellinen ξ ], b[, että f(b) f() f (ξ)(b ). Huomutus. Luseest.6 käytetään usein lyhyesti pelkästään nimitystä välirvoluse. Siitä käytetään myös lyhennettä VAL. Huomutus. Välirvoluseen tulos voidn esittää myös muodoss (vrt. kuv.) f f(b) f() (ξ). b Huomutus. Piste ξ riippuu pitsi funktiost f myös välistä [, b] (vrt. kuv. j esimerkki.35). 34

39 Esimerkki.35. Olkoon f(x) x 3. Trkstelln väliä [, b], missä b >, j määritetään välirvoluseess esiintyvä piste ξ. Funktio f on polynomin jtkuv j derivoituv välillä [, b], joten välirvoluseen nojll on olemss sellinen ξ ], b[, että b 3 3ξ (b ). Siis ξ b 3 ], b[. Siis ξ todellkin riippuu koko jn välin päätepisteistä. Esimerkki.36. Osoitetn välirvoluseen vull, että cos x x x R. Trkstelln funktiot f(t) cos t. Esimerkin.5 (s. 9) nojll f on jtkuv j derivoituv kikill t R j f (t) sin t t R. : Olkoon x >. Sovelletn välirvolusett funktioon f välillä [, x] (f on jtkuv j derivoituv välillä [, x]). On siis olemss sellinen ξ ], x[, että cos x cos sin ξ (x ). Kosk cos j sin ξ kikill ξ R, niin cos x sin ξ x sin ξ x x. : Olkoon x <. Sovelletn välirvolusett funktioon f välillä [x, ] (f on jtkuv j derivoituv välillä [x, ]). On siis olemss sellinen ξ ]x, [, että eli cos cos x sin ξ ( x) cos x cos sin ξ (x ). Väite seur nyt vstvsti kuin kohdss. Kosk väite on tosi, kun x, niin kohdist j seur, että väite pätee kikill x R. 35

40 Esimerkki.37. Osoitetn välirvoluseen vull, että j Trkstelln funktiot x < x + x > x + x <, kun < x <. f(t) t (t ) j sovelletn välirvolusett funktioon f väleillä [, x] sekä [x, ]. Yksityskohdt jätetään hrjoitustehtäväksi. Huomutus. Jos esimerkiksi x > j funktio f toteutt välirvoluseen oletukset välillä [, x], niin funktion f rvolle pisteessä x sdn rvio missä ξ ], x[. f(x) f() + f (ξ)(x ), 36

41 .5 Integrlilskennn perusluse Osoitetn vielä funktion derivtt käsittelevän luvun lopuksi, että inostn vkiofunktion derivtt voi oll identtisesti noll jollkin välillä. Lusett kutsutn joskus integrlilskennn perusluseeksi, kosk luseen tulos mhdollist osltn Riemnn-integrlin rvon määrittämisen derivtt hyödyntäen. Luse.7 (Integrlilskennn perusluse). Jos f välillä I, niin f on vkio välillä I. Todistus. Oletetn, että x, y I j x < y. Kosk f on derivoituv välillä I, on f myös jtkuv välillä I (j siis myös välillä [x, y]). Siis välirvolusett voidn sovelt funktioon f välillä [x, y]. On siis olemss sellinen ξ ]x, y[, että f(y) f(x) {}}{ f (ξ)(y x). Siis Täten f on vkio kikill x I. f(y) f(x). Seurus.8. Jos f (x) g (x) x I, niin on olemss sellinen vkio C R, että f(x) g(x) + C x I. Seurus.9. Jos f (x) g (x) x I j on olemss sellinen x I, että f(x) g(x), niin f(x) g(x) x I. Merkintä f välillä I trkoitt, että f (x) kikill x I. 37

42 Esimerkki.38. Määritetään funktio f, kun tiedetään, että f() j Kosk f (x) x + x R. ( x ) D + x x +, niin seuruksen.8 perusteell on olemss sellinen C R, että Kosk niin C. Siis f(x) x + x + C. f() + + C, f(x) x + x + x R. Esimerkki.39. Osoitetn, että Välin päätepisteissä väite pätee, sillä rc sin x + rc cos x π x [, ]. rc sin( ) + rc cos( ) π + π π j rc sin + rc cos π + π. Trkstelln siis väliä ], [. Kosk D(rc sin x + rc cos x) x x x ], [, niin integrlilskennn perusluseen nojll on olemss sellinen vkio C R, että rc sin x + rc cos x C x ], [. Kosk niin Siis rc sin + rc cos + π π, C π. rc sin x + rc cos x π x ], [. 38

43 Esimerkki.4. Osoitetn, että rc tn x + rc tn x, kun x >, π π, kun x <. Olkoon f(x) rc tn x + rc tn x (x ). Tällöin f on derivoituv väleillä ], [ j ], [. Lisäksi f (x) + x + + ( ( x ) x ) + x x + x. Täten integrlilskennn perusluseen nojll on olemss selliset C, C R, että C, kun x >, f(x) C, kun x <. Kosk f() rc tn + rc tn π + π 4 4 π j f( ) rc tn( ) + rc tn( ) ( π) + ( π) π, 4 4 niin C π j C π, mistä esimerkin tulos seur. 39

44 3 Derivoituvn funktion ominisuuksi Trkstelln sitten muutmi derivtn sovelluksi. Aluksi tutkitn, miten derivtt voidn hyödyntää funktion rj-rvon määrittämisessä. 3. l Hospitlin sääntö Cuchyn välirvokv käyttämällä voidn todist l Hospitlin sääntö, jonk vull sdn kätevästi lskettu tiettyjä rj-rvoj. Säännnöstä käytetään myös nimeä l Hôpitlin sääntö. Luse 3. (l Hospitlin sääntö). Oletetn, että (i) lim x f(x) j lim x g(x), f (x) (ii) lim x g (x) on olemss. Tällöin myös funktioll f/g on rj-rvo pisteessä x j lim x f(x) g(x) lim x f (x) g (x). Todistus. Kosk rj-rvo lim x f (x) g (x) on olemss, niin on olemss sellinen δ >, että f (x) j g (x) ovt olemss puhkistuss ympäristössä U δ() sekä lisäksi g (x) tässä ympäristössä. Määritellään nyt f() g(), jolloin f j g tulevt jtkuviksi pisteessä. Vlitn nyt x U δ(). Tällöin f j g ovt jtkuvi välillä [, x] (ti [x, ]) j derivoituvi välillä ], x[ (ti ]x, [ ). Siis Cuchyn välirvokvn (s. 33) nojll on Myös l Hôpitlin sääntö. Luseen oletusten perusteell ei tiedetä, ovtko funktiot f j g määriteltyjä pisteessä. Jos niitä ei ole määritelty, niin määritellään ne nyt. Jos ne on määritelty, mutt f() ti g(), niin muutetn kyseisten funktioiden määrittelyä. Tämä voidn tehdä, sillä funktioiden rvoll pisteessä ei ole vikutust etsittyyn rj-rvoon. 4

45 olemss sellinen ξ ], x[ (ti ξ ]x, [ ), että f (ξ) g (ξ) Jos nyt x, myös ξ. Siis lim x f(x) f() g(x) g() f(x) g(x). f(x) g(x) lim ξ f (ξ) g (ξ) lim x f (x) g (x). L Hospitlin sääntöä voidn sovelt myös toispuoleisiin rj-rvoihin sekä tpuksiin, joiss trkstelln rj-rvo äärettömyydessä ti joiss rj-rvo on ääretön (huomutukset , todistukset jätetään hrjoitustehtäväksi). Huomutus 3.. Luseen 3. lskusääntöä voidn sovelt myös -muotoisille rj-rvoille (ts. x lim f(x) x lim g(x) (ti )). Edelleen lskusääntöä voidn sovelt myös toispuoleisiin rj-rvoihin. Huomutus 3.3. Luseess 3. voi oll myös ±. f (x) Huomutus 3.4. Luseess 3. voi rj-rvo x lim g (x) oll myös ±. Esimerkki 3.. Määritetään x lim x tn x. Kosk funktiot x j tn x ovt derivoituvi pisteen josskin ympäristössä sekä niin l Hospitlin säännön nojll lim x j lim tn x, x x lim x x tn x H lim x + tn x. Yhtälöketju on tässä luettv ikään kuin lopust lkuun. Kosk lim x + tn x (eli rj-rvo on olemss j ), niin l Hospitlin sääntöä voidn sovelt j sdn yllä olev tulos. 4

46 Esimerkki 3.. Jos si on ilmeistä, l Hospitlin sääntöä käytettäessä ei in erikseen korostet, että trksteltvt funktiot toteuttvt vdittvt ehdot. Esimerkiksi voidn kirjoitt yksinkertisesti lim x x 5 + x x 3x + H lim x 5x 4 + x Vdittvien ehtojen toteutuminen on kuitenkin in trkistettv. Erityisesti on syytä huomt, että sääntöä ei voi käyttää, jos kyseessä ei ole mikään yllä olev epämääräinen muoto (ks. kuitenkin huomutus 3.5, s. 45). Esimerkiksi lim x 5x 4 + x 3 lim x 4 5x 3 lim x 9 x x4. Esimerkki 3.3. Olkoon > j s R. Osoitetn, että lim x x j lim xs x x s x. : Olkoon s. Tällöin lim x x x s lim x x. : Olkoon s <. Tällöin lim x x x s lim x x s x. 3 : Olkoon s >. Käyttämällä l Hospitlin sääntöä sdn (tpus s ) lim x x x H lim x x log. Kosk myös s lim x >, niin x x s lim x (( ) s ) x s x s lim x (( ) x ) s s x s lim x ( ) x s s x. Siis kohtien 3 perusteell j edelleen lim x lim x x x s x s x. 4

47 Esimerkki 3.4. Esimerkin 3.3 perusteell kikill s R, joten lim x (log x) s x (log x) s lim x e log x lim x (log x) s x s R. Esimerkki 3.5. Olkoon s >. Käyttämällä l Hospitlin sääntöä sdn lim x log x x s H lim x x lim sxs x sx s. Siis lim x log x x s s >. Esimerkki 3.6. Osoitetn, että lim x log x. x + Logritmin lskusääntöjen j esimerkin 3.5 perusteell ) lim x log x lim x( log x + x + x lim x + log x x lim z log z z. Esimerkki 3.7. Esimerkin 3.6 seuruksen hvitn, että funktio, kun x, g(x) x log x, kun x >, on jtkuv, kun x. 43

48 Esimerkki 3.8. Määritetään rj-rvo ( lim x x ). e x Muunnetn luseke ensin sopivn muotoon, j sovelletn sitten l Hospitlin sääntöä kksi kert peräkkäin. Siis ( lim x x ) e x lim x e x x x(e x ) H lim x e x e x + xe x H lim x e x e x + e x + xe x lim x + x. Esimerkki 3.9. Määritetään rj-rvo lim x + e x x. Käyttämällä suorn l Hospitlin sääntöä sdn lim x + e x x H lim x + ( x ) e x lim x + e x x? olevst lusekkeest muo- eli luseke vin monimutkistuu. Siirtymällä muoto toon sdn lim x + e x x lim x + x e x H lim x + x x e x lim x + e x. Yksinkertisemmill lskuill selvitään tekemällä muuttujnvihdos (z ), jolloin x lim x + e x x lim e z z z lim z z e z H lim z e z. 44

49 Huomutus 3.5. Jos trksteltv luseke ei ole suorn l Hospitlin säännön vtimss muodoss, luseke voidn joskus muunt sopivn muotoon. Esimerkissä 3.8 trksteltiin jo tpust. Muoto olevt lusekkeet sdn myös helposti muotoon ti. Muoto, j olevt lusekkeet ts voidn muunt (+) e log(+) e log(+) e ( ), e log e log e j e log e log e, jotk plutuvt muoto ti olevn rj-rvon määrittämiseen. Esimerkki 3.. Muuunnetn muoto ( ) olev luseke ensin muotoon j käytetään sitten (kksi kert) l Hospitlin sääntöä. Siis ( lim x log log ) x x lim x log( log x) x log( log x) lim x ( x) H lim x lim x lim x ( log x ) ( ) x ( ) ( x) 3 ( ) x log x ( x) 3 x lim ( x) 3 x log x H 3 lim ( x) ( ) x x lim x 3 x ( x). 45

50 Esimerkki 3.. Määritetään rj-rvo lim x + (ex ) x. Rj-rvo on muoto, mutt muunnoksell lim x + (ex ) x ) lim x x + elog(ex lim x + ex log(ex ) se voidn plutt muoto ( ) (j edelleen ) olevn rj-rvon määrittämiseen. Hyödyntämällä rj-rvo (.5) (s. 4) sdn lim x log(e x ) x + log(ex ) lim x + x H lim x + e x ex x lim x x x + ex e x. Siis lim x + (ex ) x lim x + ex log(ex ) e. Esimerkki 3.. Osoitetn, että ( lim + ) x e x x ( R). Rj-rvo on muoto, mutt muunnoksell ( + ) x e log(+ x) x e x log(+ x) x tehtävä plutuu muoto j edelleen muoto olevn rj-rvon määrittämiseen. Kosk ( ) lim (+ x log ) log + ( ) x H + lim x x x lim x x x lim x +, x x niin x ( lim + x lim e x x) x log(+ x) e. x 46

51 3. Funktion monotonisuus Kosk funktion derivtt ilmisee funktion muutosnopeuden, on luonnollist, että derivtn vull voidn tutki funktion monotonisuutt. Luse 3.6. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä. Tällöin f on ksvv välillä I täsmälleen silloin, kun välin I sisäpisteissä. f (x) Todistus. : Oletetn ensin, että f on ksvv välillä I. Olkoon x jokin välin I sisäpiste. Kosk f on ksvv välillä I, niin Siis f(x + h) f(x), kun h < j x + h I, f(x + h) f(x), kun h > j x + h I. f(x + h) f(x) h, kun h j x + h I. Täten luseen.7 (s. 5) perusteell (rj-rvo on olemss, kosk f on derivoituv pisteessä x) f f(x + h) f(x) (x) lim. h h : Oletetn toiseksi, että f (x) in, kun x on välin I sisäpiste. Olkoot x j x sellisi välin I pisteitä, että x < x. Kosk f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä, niin f on jtkuv välillä [x, x ] j derivoituv välillä ]x, x [. Täten välirvolusett voidn sovelt funktioon f välillä [x, x ]. On siis olemss sellinen ξ ]x, x [, että f(x ) f(x ) > {}}{{}}{ f (ξ) (x x ). Siis joten f on ksvv välillä I. f(x ) f(x ), 47

52 Luse 3.7. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä. Tällöin f on idosti ksvv välillä I täsmälleen silloin, kun f (x) välin I sisäpisteissä j epäyhtälössä yhtäsuuruus ei ole voimss millään välin I osvälillä (vn korkeintn yksittäisissä pisteissä). Todistus. : Oletetn ensin, että funktio f on idosti ksvv välillä I. Tällöin luseen 3.6 nojll f (x) x I. Jos nyt olisi olemss sellinen I I, että f (x) x I, niin f olisi integrlilskennn perusluseen (luse.7, s. 37) nojll vkio kikill x I. Siis f ei olisi idosti ksvv, mikä on vstoin oletust. : Oletetn toiseksi, että f (x) in, kun x on välin I sisäpiste, j että yhtäsuuruus ei ole voimss millään välin I osvälillä. Tällöin f on luseen 3.6 nojll ksvv välillä I. Tehdään vstoletus, että f ei ole idosti ksvv. Tällöin on olemss selliset pisteet x, x I, että x < x j f(x ) f(x ). Ksvvn funktion f on tällöin vkio välillä [x, x ], joten mikä on vstoin oletust. f (x) x ]x, x [, Luse 3.8. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä. Tällöin f on vähenevä välillä I täsmälleen silloin, kun välin I sisäpisteissä. f (x) Todistus. Hrjoitustehtävä. 48

53 Luse 3.9. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä. Tällöin f on idosti vähenevä välillä I täsmälleen silloin, kun f (x) välin I sisäpisteissä j epäyhtälössä yhtäsuuruus ei ole voimss millään välin I osvälillä (vn korkeintn yksittäisissä pisteissä). Todistus. Hrjoitustehtävä. Esimerkki 3.3. Funktio f(x) tn x on jtkuv j derivoituv välillä ] π, π [. Kosk (esimerkki.5, s. 7) f (x) cos x > x ] π, π[, niin f on luseen 3.7 nojll idosti ksvv välillä ] π, π[. Esimerkki 3.4. Funktio f(x) sin x on jtkuv j derivoituv kikill x R j f (x) cos x x [ π, π ]. Lisäksi yhtäsuuruus on välillä [ π, π ] voimss vin, kun x π j x π. Täten f(x) on luseen 3.7 nojll idosti ksvv välillä [ π, π ]. Esimerkki 3.5. Osoitetn, että funktio on idosti ksvv, kun x e. Kosk f(x) x +log x (x > ) f(x) x +log x e log x+log x e (+log x) log x e log x+log x, niin f on selvästi jtkuv, kun x >. Lisäksi f (x) e log x+log x D ( log x + log x ) e log x+log x ( x + log x ) x ( + log x) x 49 x +log x.

54 Nyt log x, kun x e eli x e. Täten f (x) x e. Lisäksi yhtäsuuruus on voimss vin pisteessä x. Siis f(x) on luseen 3.7 e nojll idosti ksvv, kun x. e Esimerkki 3.6. Olkoon f(x) x + cos x. Selvästi f on jtkuv j derivoituv kikill x R j f (x) sin x. Edelleen f (x) vin, jos x π + n π (n Z). Siis f(x) on idosti ksvv koko joukoss R. Esimerkki 3.7. Olkoon f(x) x n (n Z + ). Tutkimll funktion f derivtt sdn seurvt tulokset (hrjoitustehtävä). Jos n on priton, niin f on idosti ksvv koko relilukujen joukoss. Jos n on prillinen, niin f on idosti vähenevä välillä ], ] j idosti ksvv välillä [, [. Esimerkki 3.8. Olkoon f(x) x n (x, n Z ). Tutkimll funktion f derivtt sdn seurvt tulokset (hrjoitustehtävä). Jos n on priton, niin f on idosti vähenevä väleillä ], [ j ], [. Jos n on prillinen, niin f on idosti ksvv välillä ], [ j idosti vähenevä välillä ], [. Esimerkki 3.9. Olkoon I ], [ j f(x) x ( R). Tutkimll funktion f derivtt sdn seurvt tulokset (hrjoitustehtävä). Jos <, niin f on idosti vähenevä välillä I. Jos, niin f on sekä ksvv että vähenevä välillä I. Jos >, niin f on idosti ksvv välillä I (j myös välillä [, [ ). 5

55 3.3 Funktion äärirvot Tutkitn vielä lopuksi funktion pikllisi äärirvokohti j äärirvojen luonnett hyödyntämällä funktion derivtt. Aluksi määritellään, mitä pikllisill äärirvoill trkoitetn. Määritelmä 3.. Funktioll f on pisteessä pikllinen mksimi, jos on olemss sellinen δ >, että f(x) f() x U δ (). Jos yhtäsuuruus on voimss vin, kun x, kyseessä on ito pikllinen mksimi. Määritelmä 3.. Funktioll f on pisteessä pikllinen minimi, jos on olemss sellinen δ >, että f(x) f() x U δ (). Jos yhtäsuuruus on voimss vin, kun x, kyseessä on ito pikllinen minimi. Esimerkki 3.. Olkoon, kun x, f(x), kun x. Tällöin funktioll f on pisteessä x ito pikllinen mksimi. Myös jokinen muu relilukukselin piste on pikllinen äärirvokoht (mutt ei ito). Esimerkki 3.. Kosk funktio f(x) x + cos x. on idosti ksvv koko relilukujoukoss (ks. esimerkki 3.6, s. 5), niin funktioll f ei ole pikllisi äärirvoj. 5

56 Luse 3.. Funktioll f on pisteessä ito pikllinen mksimi, jos on olemss sellinen δ >, että f on jtkuv ympäristössä U δ () j f (x) > x ] δ, [ j f (x) < x ], + δ[. Todistus. Oletuksen nojll f on jtkuv välillä ] δ, + δ[. Kosk f (x) > kikill x ] δ, [, niin f on luseen 3.7 (s. 48) nojll idosti ksvv välillä ] δ, ]. Siis f(x) < f() x ] δ, [. Toislt f (x) < kikill x ], + δ[, joten f on luseen 3.9 (s. 49) nojll idosti vähenevä välillä [, + δ[. Siis f(x) < f() x ], + δ[. Täten f(x) < f() x U δ(), joten funktioll f on pisteessä ito pikllinen mksimi. Luse 3.. Funktioll f on pisteessä ito pikllinen minimi, jos on olemss sellinen δ >, että f on jtkuv ympäristössä U δ () j f (x) < x ] δ, [ j f (x) > x ], + δ[. Todistus. Hrjoitustehtävä. Huomutus. Luseet 3. j 3. eivät ole kääntäen voimss. Huomutus. Luseiss 3. j 3. ei vdit, että derivtt f () olisi olemss. Sen sijn jtkuvuus pisteessä on oleellinen vtimus. Huomutus. Aiemmin on osoitettu (seurus.9, s. 3), että jos on pikllinen äärirvokoht j f () on olemss, niin f (). Siis pikllinen äärirvo svutetn joko derivtn nollkohdss ti pisteessä, joss funktio ei ole derivoituv. 5

57 Huomutus 3.. Jos funktio f on jtkuv pisteessä j f on smnmerkkinen pisteen kummllkin puolell, niin ei ole funktion f pikllinen äärirvokoht (hrjoitustehtävä). Esimerkki 3.. Etsitään funktion f(x) x x piklliset äärirvokohdt, j määritetään mhdollisten äärirvojen ltu. Kosk f on jtkuv j derivoituv kikill x R, niin mhdolliset piklliset äärirvokohdt ovt derivtn nollkohti. Nyt j f (x) x x f (x) >, kun x <, f (x) <, kun x >. Siis funktioll f on pisteessä x ito pikllinen mksimi (j vstv mksimirvo on f( ) ). 4 4 Esimerkki 3.3. Osoitetn, että funktioll f(x) x 3 ei ole pikllisi äärirvokohti. Kosk f on jtkuv j derivoituv kikill x R, niin funktion f mhdolliset piklliset äärirvokohdt ovt derivtn nollkohti. Nyt f (x) 3x x. Kuitenkin f (x) > kikill x, joten f ei vihd merkkiään pisteessä x. Siis piste x ei ole funktion f äärirvokoht, mistä tulos seur. Esimerkki 3.4. Etsitään funktion x, kun x, f(x) x, kun x, piklliset äärirvokohdt, j määritetään mhdollisten äärirvojen ltu. 53

58 Kuv 3.: Esimerkin 3.4 funktion kuvj välillä [ 6, 6]. : Olkoon x >. Tällöin f(x) x, x joten f on jtkuv sekä derivoituv j Siis f (x) x x(x ) x 4 x x + x x 4 f (x) >, kun < x <, f (x), kun x, f (x) <, kun x >, x x x 4 x x 3. joten funktioll f on ito pikllinen mksimi pisteessä x (mksimirvo f() 4 ). : Olkoon x. Kosk f() j f(x) > kikill x, niin piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht. 3 : Olkoon x < j x. Tällöin f(x) x x, joten f on jtkuv sekä derivoituv j f (x) x x( x) x x + x x 4 x 4 x x x 4 x x 3. Kosk f (x) kikill x < (x ), niin funktioll f ei ole pikllisi äärirvokohti, kun x < j x. 54

59 4 : Olkoon x. Kosk lim f(x) lim x x niin on olemss sellinen δ >, että x x, f(x) > f() x U δ(). Siis piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht. Kohdist 4 seur, että funktioll f on ito pikllinen minimi pisteissä x j x sekä ito pikllinen mksimi pisteessä x. Luse 3.3. Oletetn, että funktio f on khdesti derivoituv pisteessä j f (). Tällöin (i) jos f () <, niin on funktion f ito pikllinen mksimikoht, (ii) jos f () >, niin on funktion f ito pikllinen minimikoht. Todistus. Todistetn koht (i), j jätetään kohdn (ii) todistus hrjoitustehtäväksi. Jos f () <, niin luseen.8 (s. 3) nojll on olemss sellinen δ >, että j f (x) > f () x ] δ, [ f (x) < f () x ], + δ[. Derivoituv funktion f on jtkuv ympäristössä U δ (), joten luseen 3. nojll funktioll f on ito pikllinen mksimi pisteessä. Esimerkki 3.5. Osoitetn, että piste x on funktion ito pikllinen minimikoht. Nyt Kosk f(x) e x + sin x x f (x) e x + cos x j f (x) e x sin x. f () + j f () >, niin piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht. 55

60 4 b b b Kuv 3.: Funktion bx + cos x kuvj, kun b 4, b j b. Esimerkki 3.6. Tutkitn, onko funktioll f(x) bx + cos x (b R) pikllist äärirvo pisteessä x, j määritetään mhdollisen pikllisen äärirvon ltu. Nyt f (x) bx sin x j f (x) b cos x. Siis f () kikill b R. Kosk f () b, niin f () >, kun b >, j f () <, kun b <. Täten piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht, kun b >, j ito pikllinen mksimikoht, kun b <. Olkoon sitten b. Tällöin f (), joten lusett 3.3 ei void hyödyntää. Kosk f (x) cos x cos x > x U π (), niin f on idosti ksvv pisteen x ympäristössä. Siis f (x) <, kun π < x <, f (x), kun x, f (x) >, kun < x < π, joten piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht (kun b ). 56

61 Huomutus 3.4. Jos funktioll f on välillä I suurin (pienin) rvo, niin se svutetn joko (i) välin sisäpisteessä pikllisess äärirvokohdss, ti (ii) väliin mhdollisesti kuuluvss päätepisteessä. Huomutus 3.5. Jos funktio f on jtkuv j I on suljettu väli, niin suurin (pienin) rvo svutetn in. Muulloin svuttminen on epävrm. Esimerkki 3.7. Olkoon >. Osoitetn, että x + ( x) x [, ]. Olkoon f(x) x + ( x). Tällöin f on jtkuv sekä derivoituv välillä [, ] j f (x) x + ( x) ( ) ( x ( x) ). 3/4 / 3 /4 / Kuv 3.3: Funktion x + ( x) kuvj välillä [, ], kun (ktkoviiv) j 3 (yhtenäinen viiv). 57

62 Kosk yleinen potenssifunktio ( > ) on välillä [, ] idosti ksvv, niin Nyt f (x) x ( x) x ( x) x x x. f() f() j f( ) ( ( ) ) +. Lisäksi <, kun >. Siis välillä [, ] funktion f suurin rvo on j pienin rvo on, mistä väite seur. Esimerkki 3.8. Osoitetn, että e x + x kikill x R j e x + x täsmälleen silloin, kun x. jolloin Trkstelln pufunktiot g(x) e x x, g (x) e x kikill x R. Kosk e, niin g (). Lisäksi e x on idosti ksvv kikill x R, joten g (x) < x < j g (x) > x > eli g on idosti vähenevä, kun x (luse 3.9, s. 49), j idosti ksvv, kun x (luse 3.7, s. 48). Siis funktion g pienin rvo g() svutetn pisteessä x, mistä väite seur. Esimerkki 3.9. Osoitetn, että log x x kikill x > j log x x täsmälleen silloin, kun x. Tulos on esimerkin 3.8 suor seurus, sillä x e log x + log x x > j x e log x + log x täsmälleen silloin, kun log x eli x. 58

63 4 Pint-lt j porrsfunktiot 4. Al- j yläsumm Trkstelln luksi seurv yksinkertist tp rvioid jonkin ylhäältä rjoitetun ei-negtiivisen funktion f kuvjn j x-kselin välistä pint-l A jollkin välillä [, b].. Jetn väli [, b] osväleihin (n kpl).. Muodostetn kullekin osvälille kksi suorkulmiot siten, että toisen pintl pienempi j toisen suurempi kuin funktion f kuvjn j x-kselin välinen pint-l kyseisellä osvälillä. 3. Lsketn yhteen pint-lt toislt niistä suorkulmioist, joiden pintl on pienempi kuin funktion f kuvjn j x-kselin välinen pint-l, j toislt niistä suorkulmioist, joiden pint-l on suurempi kuin funktion f kuvjn j x-kselin välinen pint-l. Tällöin hluttu pint-l on yhteenlskujen tuloksen stujen rvojen välissä. Mhdollinen virhe riippuu siitä, pljonko suorkulmioiden pint-lt erovt etsitystä pint-lst kullkin osvälillä. Yksinkertinen tp muodost hlutut suorkulmiot on hyödyntää kullkin osvälillä funktion pienintä j suurint rvo (ti infimumi j supremumi, jos pienintä ti suurint rvo ei ole olemss). Trkstelln seurvksi si vähän täsmällisemmin. Määritellään luksi, mitä suljetun välin joll trkoitetn. Määritelmä 4.. Välin [, b] (äärellinen) jko on joukko P {x, x,..., x n }, missä x < x <... < x n b. Jko voidn merkitä myös P n ti P n [, b]. Huomutus. Kosk jtkoss ei trkstell äärettömiä jkoj, niin puhuttess välin jost trkoitetn in välin äärellistä jko. Huomutus. Jon jkopisteet ovt in suuruusjärjestyksessä. Lisäksi kullkin jkovälillä on noll suurempi pituus. 59

64 Määritelmä 4.. Olkoon funktio f rjoitettu välillä [, b], j olkoon lisäksi P {x, x,..., x n } jokin välin [, b] jko. Merkitään edelleen m j inf { f(x) x [xj, x j ] } inf { f(x) xj x x j } j M j sup { f(x) x [x j, x j ] } sup { } f(x) x j x x j, kun j,,..., n. Tällöin summ L P (f) n m j (x j x j ) j snotn jko P vstvksi lsummksi j summ U P (f) n M j (x j x j ) j snotn jko P vstvksi yläsummksi. Huomutus. Aluss trkstellulle pint-llle A pätee L P (f) A U P (f). Tuntuu luonnolliselt jtell, että kun jko tihennetään, niin inkin riittävän siististi käyttäytyvillä funktioill L P (f) j U P (f) lähestyvät toisin j smll myös pint-l A. Tämä hvinto toimii usein integrlin määrittelyn lähtökohtn. Pelkkä intuitioon pohjutuv hvinto ei kuitenkn riitä integrlin määritelmäksi. Integrlin määrittely voidn suoritt täsmällisesti esimerkiksi tutkimll lsummn supremumi j yläsummn infimumi. Menettely onkin vrsin yleisesti käytetty. Jtkoss kyseistä tekniikk ei kuitenkn käytetä, vn integrli määritellään täsmällisesti porrsfunktioiden (ks. luku 4.) vull. Huomutus 4.. Jos määritelmässä 4. vlitn infimumin ti supremumin sijst mikä thns välin [x j, x j ] piste ξ j, summ n S P (f, ξ) f(ξ j )(x j x j ) j snotn jko P vstvksi Riemnn-summksi ti Riemnnin summksi. Riemnnin summn pltn myöhemmin luvuss 5.7. Myös Riemnnin summ voidn ott integrlin täsmällisen määrittelyn perustksi. 6

65 4. Porrsfunktio Edellisen luvun lopuss todettiin, että integrlin täsmällisessä määrittelyssä hyödynnetään nyt porrsfunktioit. Määritellään seurvksi, mitä porrsfunktioll trkoitetn. Määritelmä 4.3. Funktio f : [, b] R on porrsfunktio välillä [, b] (ti välin [, b] porrsfunktio), jos on olemss sellinen välin [, b] jko {x, x,..., x n } j selliset luvut j R (j,,..., n), että f(x) j x ]x j, x j [. Huomutus. Porrsfunktion välijon voi tehdä monell tp. Huomutus. Porrsfunktion rvoille välijon jkopisteissä ei setet mitään ehto (toki funktio on määritelty koko välillä, joten sillä on jkopisteissäkin joku rvo). Välin [, b] porrsfunktio muodostuu välin [, b] voimill osväleillä määritellyistä vkiofunktioist. Lisäksi porrsfunktioll on joku rvo välin jkopisteissä. Porrsfunktion porrspisteitä ovt funktion epäjtkuvuuskohdt välillä [, b] sekä välin [, b] päätepisteet. Porrsfunktion vkiorvo voi vihtu vin porrspisteessä. Määritelmässä 4.3 esiintyvän jon P pitää sisältää kikki funktion porrspisteet. Lisäksi jko P voi sisältää muitkin pisteitä (eli porrsfunktio voi sd smn rvon usell jkovälillä j vielä jkopisteissäkin). Esimerkki 4.. Lttifunktio f : R Z, f(x) x suurin kokonisluku, jok on x, on porrsfunktio millä thns suljetull relilukuvälillä [, b]. Funktion porrspisteet ovt välin [, b] päätepisteet sekä välillä ], b[ sijitsevt kokonislukupisteet. Huomutus 4.. Jos f j g ovt välin [, b] porrsfunktioit j λ R, myös λf, f + g j fg ovt välin [, b] porrsfunktioit (hrjoitustehtävä). 6

66 Huomutus 4.3. Olkoon c ], b[ jokin välin [, b] sisäpiste. Tällöin f on porrsfunktio välillä [, b] täsmälleen silloin, kun funktion f rjoittumt väleille [, c] j [c, b] ovt porrsfunktioit kyseisillä väleillä (hrjoitustehtävä). Esitetään luvun 4. lopuksi vielä putulos, jot trvitn myöhemmin. Aputulos trkoitt, että jos rjoitettu funktiot f rvioidn porrsfunktioiden vull, merkitystä on vin porrsfunktioill, joiden rvot ovt riittävän lähellä funktion f rvoj. Luse 4.4. Olkoon M > j f sellinen funktio, että f M välillä [, b]. Jos g j h ovt porrsfunktioit j g f h välillä [, b], niin on olemss selliset välin [, b] porrsfunktiot g j h, että g f h M j h g h g. Todistus. Hrjoitustehtävä. Huomutus. Funktioit vertiltess (j muisskin yhteyksissä) jätetään usein funktion rgumentti kirjoittmtt. Näin on menetelty myös luseess 4.4, missä esimerkiksi g(x) f(x) h(x) x [, b] on ilmistu lyhyemmin totemll, että g f h välillä [, b]. Jos ei ole seknnuksen vr, näin voidn menetellä. Trvittess rgumentti on tietysti kirjoitettv näkyviin. 6

67 4.3 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 4.4 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P {x, x,..., x n } sellinen välin [, b] jko, että kun j,,..., n. Olkoon lisäksi f(x) j x ]x j, x j [, l(i j ) x j x j jon P osvälin I j ]x j, x j [ pituus (j,,..., n). Tällöin porrsfunktion f integrli yli välin [, b] on b f b f(x) dx n j l(i j ). j Huomutus. Porrsfunktion integrlin merkinnässä dx trkoitt, että integroitvn porrsfunktion integrli lsketn muuttjn x suhteen. Huomutus 4.5. Porrsfunktion integrli ei riipu vlitust välijost P (hrjoitustehtävä). Huomutus 4.6. Porrsfunktion integrli ei riipu millään tvll funktion rvost välijon jkopisteissä. Huomutus. Porrsfunktion integrli on reliluku. Esimerkki 4.. Vkiofunktio f(x) c (c R) on porrsfunktio millä thns välillä [, b], sillä trvittvksi joksi voidn vlit P {, b} (eli vin yksi jkoväli). Tällöin b f(x) dx b c dx c (b ). 63

68 Esimerkki 4.3. Määritetään porrsfunktion (ks. esimerkki 4.) f : [, 3] Z, porrsintegrli yli välin [, 3]. f(x) x suurin kokonisluku, jok on x, Trkstelln välin [, 3] jko P {,,,, 3}. Tällöin kunkin osvälin pituus on yksi, joten 3 f ( ) Esimerkki 4.4. Olkoon n Z + j P n välin [, ] jko, jonk jkopisteet ovt { } p P n q Q p,,..., n, q,,..., n, p q. Määritetään porrsfunktion, kun x P n, h n (x) n, kun x [, ] \ P n, porrsintegrli yli välin [, ]. Olkoon k jon P n jkovälien lukumäärä, j olkoot l(i ), l(i ),..., l(i k ) jon P n jkovälien pituudet. Tällöin h n (x) dx k j n l(i j) n k l(i j ) n n. j Esitetään lopuksi vielä muutmi porrsintegrlien perusominisuuksi. Ominisuudet ovt ilmeisiä porrsfunktioden määrittelyn perusteell. Täsmälliset todistukset jätetään osin hrjoitustehtäväksi. Luse 4.7. Jos g j h ovt porrsfunktioit j g h välillä [, b], niin b g b h. Todistus. Hrjoitustehtävä. 64

69 Luse 4.8 (Linerisuus). Jos f j g ovt välin [, b] porrsfunktioit j λ R, niin b b (λf) λ f j b (f + g) b b f + g. Todistus. Hrjoitustehtävä. Luse 4.9 (Additiivisuus). Olkoon f välin [, b] porrsfunktio j c ], b[. Tällöin b f c f + b c f. Todistus. Kosk f on välin [, b] porrsfunktio j c ], b[, niin f on porrsfunktio myös väleillä [, c] j [c, b] (huomutus 4.3, s. 6). Olkoon nyt P jokin välin [, b] jko, jok sisältää kikki funktion f porrspisteet välillä [, b], j P {x, x,..., x n } välin [, b] jko P P {c}. Oletetn lisäksi, että f(x) j x ]x j, x j [, kun j,,..., n. Tällöin c x k jollkin k {,,..., n }. Lisäksi {x, x,..., x k } on välin [, c] jko, jok sisältää kikki funktion f porrspisteet välillä [, c], j {x k, x k+,..., x n } on välin [c, b] jko, jok sisältää kikki funktion f porrspisteet välillä [c, b]. Kosk porrsfunktion integrli on riippumton välitust välijost, niin b f n j (x j x j ) j k j (x j x j ) + j c f + b c n j (x j x j ) jk+ f. Täsmällisesti otten porrsfunktioit ovt funktion f rjoittumt kyseisille väleille. 65

70 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Jos funktio f on rjoitettu välillä [, b], niin on olemss selliset vkiot m R j M R, että m f(x) M x [, b]. Jos lisäksi g j h ovt sellisi porrsfunktioit, että g f h välillä [, b], niin g M j h m välillä [, b]. Kosk vkiofunktio on porrsfunktio, niin luseen 4.7 (s. 64) nojll j Siis joukko (5.) L b b g h b b M M (b ) m m (b ). b g g on porrsfunktio j g f välillä [, b] on ylhäältä rjoitettu j joukko b (5.) U h h on porrsfunktio j f h välillä [, b] on lhlt rjoitettu. Lisäksi kumpikn joukoist ei selvästikään ole tyhjä joukko. Täten voidn sett seurv määritelmä. Määritelmä 5.. Olkoon f välillä [, b] rjoitettu funktio, j olkoot L j U ehdoiss (5.) j (5.) määritellyt joukot. Tällöin I L (f, [, b]) sup L on funktion f lintegrli yli välin [, b] j I U (f, [, b]) inf U on funktion f yläintegrli yli välin [, b]. 66

71 Esimerkki 5.. Määritetään Dirichlet n funktion l- j yläintegrli yli välin [, b]., kun x Q, f(x), kun x R \ Q, Funktio f on selvästi rjoitettu välillä [, b], joten etsittävät l- j yläintegrli ovt olemss. Määritetään ensin lintegrli I L (f, [, b]). : Olkoon g jokin sellinen porrsfunktio, että g f välillä [, b]. Olkoot lisäksi I, I,..., I n porrsfunktion g jotkin jko vstvt (voimet) jkovälit j,,..., n funktion g (vkio)rvot jkoväleillä I, I,..., I n. Tällöin j (j,,..., n), sillä jokinen relilukuväli sisältää irrtionlipisteitä. Täten b g n j l(i j ) j n l(i j ), j missä l(i j ) on osvälin I j pituus. Siis I L (f, [, b]). : Trkstelln porrsfunktiot g(x) kikill x [, b]. Tällöin g f välillä [, b] j b g Siis supremumin perusominisuuksien nojll b Täten kohtien j perusteell (b ). I L (f, [, b]). I L (f, [, b]). Määritetään sitten vstvll tvll yläintegrli I U (f, [, b]). 3 : Olkoon h jokin sellinen porrsfunktio, että f h välillä [, b]. Olkoot lisäksi I, I,..., I n porrsfunktion h jotkin jko vstvt (voimet) jkovälit j,,..., n funktion h (vkio)rvot jkoväleillä I, I,..., I n. Tällöin j (j,,..., n), sillä jokinen relilukuväli sisältää rtionlipisteitä. Täten b h n j l(i j ) j n l(i j ) b, j 67

72 missä l(i j ) on osvälin I j pituus. Siis I U (f, [, b]) b. 4 : Trkstelln porrsfunktiot h(x) kikill x [, b]. Tällöin f h välillä [, b] j b h b (b ) b. Siis infimumin perusominisuuksien nojll I U (f, [, b]) b. Täten kohtien 3 j 4 perusteell I U (f, [, b]) b. Al- j yläintegrlin määrittelyn sekä porrsfunktioiden j supremumin sekä infimumin perusominisuuksien nojll voidn esittää seurvt huomutukset. Huomutus 5.. Luseiden.4 (s. 3) j 4.7 (s. 64) nojll in I L (f, [, b]) I U (f, [, b]), mutt välttämättä ei päde (ks. esimerkki 5.) I L (f, [, b]) I U (f, [, b]). Huomutus 5.. Jos g j h ovt porrsfunktioit j g f h välillä [, b], niin huomutuksen 5. sekä supremumin j infimumin perusominisuuksien nojll b g I L (f, [, b]) I U (f, [, b]) b h. 68

73 Huomutus 5.3. Jos f on välin [, b] porrsfunktio, niin huomutuksen 5. perusteell I L (f, [, b]) I U (f, [, b]) b f. 69

74 5. Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus Määritellään sitten Riemnn-integrli l- j yläintegrlin vull. Määritelmä 5. (Riemnn-integrli). Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos I L (f, [, b]) I U (f, [, b]). Tällöin funktion f Riemnn-integrli yli välin [, b] on b f b f(x) dx I L (f, [, b]) I U (f, [, b]). Huomutus. Riemnn-integrlin merkinnässä dx trkoitt, että integroitvn funktion integrli lsketn muuttjn x suhteen. Huomutus. Kun jtkoss puhutn funktion integroituvuudest, trkoitetn in (ellei toisin minit) funktion Riemnn-integroituvuutt. Huomutus. Riemnn-integrli on reliluku. Huomutus 5.4. Huomutuksen 5.3 (s. 69) nojll porrsfunktiot ovt Riemnn-integroituvi j porrsfunktion Riemnn-integrli on sm kuin luvuss 4.3 trksteltu porrsfunktion integrli. Huomutus. Huomutuksen 5.4 perusteell porrsfunktion integrlille j Riemnn-integrlille on luontev käyttää sm merkintää. 7

75 Huomutus 5.5. Jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin huomutuksen 5. (s. 68) nojll b g b f b h in, kun g j h ovt sellisi välin [, b] porrsfunktioit, että g f h. Esimerkki 5.. Esimerkin 5. perusteell Dirichlet n funktio, kun x Q, f(x), kun x R \ Q, ei ole Riemnn-integroituv millään relilukuvälillä [, b]. Funktion Riemnn-integroituvuuden tutkiminen l- j yläintegrlej lskemll on yleisesti otten melko hnkl. Seurv yksinkertinen hvinto helpott jonkin verrn si. Luse 5.6 (Riemnnin ehto). Välillä [, b] rjoitettu funktio f on Riemnnintegroituv välillä [, b] täsmälleen silloin, kun jokist luku ε > kohti on olemss selliset välin [, b] porrsfunktiot g j h, että g f h välillä [, b] j b h b g < ε. Todistus. Väite seur suorn Riemnn-integrlin määritelmästä j luseest.5 (s. 3), kun tutkitn l- j yläintegrlin määrittelyssä esiintyneitä joukkoj j L U b g g on porrsfunktio j g f välillä [, b] b h h on porrsfunktio j f h välillä [, b]. 7

76 Esimerkki 5.3. Kurssill Anlyysi A trksteltiin Thomen funktiot, kun x R \ Q, f(x), kun x, q, kun x Q j x p q (p, q > ) on supistetuss muodoss, jok on jtkuv kikill x R \ Q j epäjtkuv kikill x Q. Osoitetn Riemnnin ehto käyttäen, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ]. Vlitn mielivltinen ε >. Olkoon n jokin sellinen kokonisluku, että n > ε. Olkoon lisäksi g sellinen porrsfunktio, että g(x) kikill x [, ], j h esimerkin 4.4 (s. 64) porrsfunktio h n. Tällöin g j h n. Täten on olemss selliset porrsfunktiot g j h, että g f h välillä [, ] (hrjoitustehtävä) j h g n n < ε. Siis f on välillä [, ] Riemnn-integroituv Riemnnin ehdon nojll. / /3 /5 /8 / /4 / 3/4 Kuv 5.: Thomen funktion rvot q (q,,..., ) välillä ], [. Funktiot kutsutn myös popcorn-, sdepisr- ti viivotinfunktioksi. 7

77 Seurv luse helpott joskus Riemnnin ehdon käyttöä tutkittess funktion Riemnn-integroituvuutt. Luse nt myös tvn määrittää integrlin rvo. Luse 5.7. Välillä [, b] rjoitettu funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b] täsmälleen silloin, kun on olemss selliset porrsfunktiot g n j h n (n,,... ), että g n f h n välillä [, b] j b b lim g n lim h n. n n Lisäksi tällöin b f b b lim g n lim h n. n n Todistus. Väite seur suorn Riemnn-integrlin määritelmästä j seuruksest.6 (s. 3), kun tutkitn l- j yläintegrlin määrittelyssä esiintyneitä joukkoj b L g g on porrsfunktio j g f välillä [, b] j U b h h on porrsfunktio j f h välillä [, b]. Esimerkki 5.4. Luseen 5.7 nojll esimerkin 5.3 Thomen funktion f Riemnnintegrliksi yli välin [, ] sdn f n lim h n n lim n. Lusett 5.7 käytettäessä vdittvt porrsfunktiot g n j h n muodostetn usein vlitsemll porrsfunktion g n rvoiksi välin [, b] jotkin jko vstvill (voimill) jkoväleillä I, I,..., I n rvot m, m,..., m n, missä m j inf { f(x) x Ij }, j,,..., n. Vstvsti porrsfunktion h n rvoiksi (voimill) jkoväleillä I, I,..., I n vlitn M, M,..., M n, missä M j sup { f(x) x Ij }, j,,..., n. 73

78 Trvittvt porrsfunktioiden jonot muodostuvt tällöin jkovälien määrän lisääntyessä. Porrsfunktioiden rvoiksi kunkin jon jkopisteissä voidn vlit esimerkiksi funktion f rvo kyseisissä pisteissä. Jos funktio on jtkuv välillä [, b], voidn infimumin j supremumin sijst käyttää funktion pienintä j suurint rvo kullkin (suljetull) jkovälillä. Tämä tietysti helpott porrsfunktioiden muodostmist oleellisesti. Käytännössä trkstelln usein tsvälistä jko. Jos porrsfunktioit g n j h n vstvss tsvälisessä joss on n osväliä, kunkin jkovälin pituudeksi t sdn Tällöin g n f h n sekä t b n. j Jos nyt b b g n h n n t m j j n t M j j b n b n n m j j n M j. j b b lim g n lim h n S, n n niin f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j b f(x) dx S. Esimerkki 5.5. Osoitetn, että funktio f(x) kx (k > ) on Riemnn-integroituv välillä [, b], j määritetään b kx dx. Trkstelln välin [, b] tsvälistä jko {, + t, + t,..., + nt} (n Z + ), missä t b n. Olkoon lisäksi g n (x) k ( + (j )t) j h n (x) k ( + jt), 74

79 kun x [ + (j )t, + jt[ (j,,..., n), j g n (b) h n (b) f(b) kb. Tällöin g n j h n ovt porrsfunktioit j g n ksvv). Edelleen f h n välillä [, b] (sillä f on b g n n t k ( + (j )t) j n n tk + t k (j ) j j tk n + t k b n n(n ) ( ) b k n + n(n ) k n (b )k + (b ) k n n }{{} j (b )k + (b ) k, kun n, b h n n t k ( + jt) j n n tk + t k j j j tk n + t k b n n(n + ) ( ) b k n + n(n + ) k n (b )k + (b ) k n + n }{{} (b )k + (b ) k, kun n. 75

80 Täten f on luseen 5.7 nojll Riemnn-integroituv välillä [, b] j b kx dx (b )k + (b ) k k(b ) ( + b ) b k. Seurv esimerkkiä 5.5 koskev huomio vähentää joskus trvittvi lskutoimituksi. Huomutus 5.8. Jos esimerkissä 5.5 riittää vin osoitt Riemnn-integroituvuus, selvitään vähemmillä lskutoimituksill. Tällöin ei trvitse lske rj-rvoj, vn riittää osoitt, että jokist luku ε > kohti on olemss sellinen n Z +, että b h n b g n n t k ( + jt) j n t k ( + (j )t) j t k ( + nt) }{{} f(b) t (kb k) b n < ε. k(b ) n k (b ) Vdittu luku n Z + löytyy nyt vlitsemll t k }{{} f() n > k(b ). ε Huomutus. Huomutus 5.8 koskee muitkin vstvi tpuksi. 76

81 5.3 Integroituvi funktioit Osoitetn seurvksi, että sekä suljetull välillä monotoniset että suljetull välillä jtkuvt funktiot ovt Riemnn-integroituvi kyseisellä välillä. Aluksi trkstelln monotonisi funktioit. Luse 5.9. Välillä [, b] monotoninen funktio on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. Todistetn tpus, joss funktio f on ksvv välillä [, b]. Tpus, joss funktio on vähenevä, todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Olkoon siis f ksvv välillä [, b]. Jos f() f(b), niin f on vkiofunktion porrsfunktio j siten Riemnn-integroituv välillä [, b]. Täten voidn olett, että f() < f(b). Vlitn mielivltinen ε >. Olkoon nyt {, + t, + t,..., + nt} sellinen välin [, b] tsvälinen jko, että jkovälin pituus t b n < ε f(b) f(). Olkoon lisäksi g(x) f( + (j )t) j h(x) f( + jt), kun x [ + (j )t, + jt[ (j,,..., n), sekä g(b) h(b) f(b). Tällöin g j h ovt porrsfunktioit j g f h välillä [, b] (sillä f on ksvv). Täten b h b g n t f( + jt) j n t f( + (j )t) j t f( + nt) t f() }{{} f(b) t (f(b) f()) < ε (f(b) f()) f(b) f() ε. Siis f on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b]. 77

82 Esimerkki 5.6. Funktio f(x) kun x ], ],, x, kun x, on ksvvn funktion Riemnn-integroituv välillä [, ]. Huomutus 5.. Tutkimll luseen 5.9 todistuksen porrsfunktioit hvitn (hrjoitustehtävä), että jos {x, x,..., x n } on jokin välin [, b] jko j funktio f on ksvv välillä [, b], niin n f(x j )(x j x j ) j Jos vstvsti f on vähenevä, niin b f(x) dx n f(x j )(x j x j ). j n f(x j )(x j x j ) j b f(x) dx n f(x j )(x j x j ). j Seurvksi osoitetn, että suljetull välillä jtkuvt funktiot ovt Riemnnintegroituvi kyseisellä välillä. Todistuksess hyödynnetään tieto, että suljetull välillä [, b] jtkuv funktio f on tsisesti jtkuv välillä [, b]. Tällöin jokist positiiviluku ε > kohti on olemss sellinen δ >, että (5.3) f(x) f(y) < ε in, kun x, y [, b] j x y < δ, ks. määritelmä.3 (s. 6) j luse. (s. 6). Luse 5.. Välillä [, b] jtkuv funktio on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. Vlitn mielivltinen ε >. Kosk f on jtkuv suljetull välillä [, b], niin ehdon (5.3) nojll on olemss sellinen δ >, että (5.4) f(x) f(y) < ε b in, kun x, y [, b] j x y < δ. Olkoon nyt {x, x,..., x n } sellinen välin [, b] tsvälinen jko, että jkovälin pituus t b < δ. n Tällöin siis x j x j < δ, kun j,,..., n. 78

83 Olkoon edelleen g(x j ) h(x j ) f(x j ), kun j,,..., n, j g(x) m j min { f(z) z [x j, x j ] }, kun x ]x j, x j [, j h(x) M j mx { f(z) z [xj, x j ] }, kun x ]x j, x j [, kun j,,..., n. Tällöin g j h ovt porrsfunktioit j g f h välillä [, b]. Kosk f on suljetull välillä jtkuv funktio, trvittvt minimi- j mksimirvot ovt olemss kullkin osvälillä j lisäksi f svutt kyseiset rvot josskin osvälin pisteessä. Täten kullkin osvälillä [x j, x j ] (j,,..., n) on olemss selliset pisteet x j, x j [x j, x j ], että m j f(x j) j M j f(x j ). Kosk x j x < δ j M j m j, niin ehdon (5.4) nojll Täten j M j m j < ε b j,,..., n. b h b g n M j (x j x j ) j n m j (x j x j ) j < n j n j (M j m j ) (x j x j ) }{{} > ε b (x j x j ) ε. ε b n (x j x j ) j ε (b ) b Siis f on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b]. Esimerkki 5.7. Polynomifunktiot ovt jtkuvin funktioin Riemnn-integroituvi millä thns suljetull välillä [, b]. 79

84 Huomutus 5.. Jos f on välillä [, b] Riemnn-integroituv funktio j g on sellinen välillä [, b] määritelty funktio, että f(x) g(x) välillä [, b] lukuun ottmtt pisteitä x, x,..., x n [, b], niin myös g on Riemnn-integroituv välillä [, b] (hrjoitustehtävä) j b f(x) dx b g(x) dx. Huomutuksen 5. perusteell funktion rvot äärellisessä pistejoukoss eivät siis ole oleellisi integrlin rvon ti integroituvuuden knnlt. Seurvksi yleistetään vielä jtkuvien funktioiden Riemnn-integroituvuutt koskev tulos tpukseen, joss funktioll on vin äärellinen määrä epäjtkuvuuskohti. Määritelmä 5.3. Funktio f : [, b] R on ploittin jtkuv välillä [, b], jos funktioll f on välillä [, b] korkeintn äärellinen määrä epäjtkuvuuskohti j kusskin epäjtkuvuuskohdss funktioll on vsemmnpuoleinen j oikenpuoleinen rj-rvo. Luse 5.3. Välillä [, b] ploittin jtkuv funktio on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. Hrjoitustehtävä. Jos epäjtkuvuuskoht on välin [, b] päätepisteessä, riittää tietysti joko vsemmnpuoleinen (piste b) ti oikenpuoleinen (piste ) rj-rvo. 8

85 5.4 Perusominisuuksi Esitetään luksi kksi määritelmää ti sopimust, joill helpotetn käytännön lskutoimituksi. Määritelmä 5.4. Olkoon f välillä [, b] Riemnn-integroituv funktio. Tällöin b b f(x) dx f(x) dx. Määritelmä 5.5. Olkoon f pisteessä R määritelty funktio. Tällöin f(x) dx Linerisuus Todistetn sitten Riemnn-integrlin linerisuus hyödyntämällä Riemnnin ehdon rj-rvomuoto j porrsintegrlin linerisuutt. Luse 5.4 (Linerisuus). Olkoot f j g Riemnn-integroituvi välillä [, b] j λ R. Tällöin myös λf j f + g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b] j b b (λf) λ f j b (f + g) b b f + g. Todistus. Todistetn vkioll kertominen, j jätetään summfunktion f + g integroituvuuden j integrlin todistus hrjoitustehtäväksi. Olkoon siis f Riemnn-integroituv välillä [, b] j λ R. Tällöin luseen 5.7 (s. 73) nojll on olemss selliset porrsfunktiot g n j h n (n,,... ), että g n f h n välillä [, b] j b f b b lim g n lim h n. n n 8

86 Kosk myös λg n j λh n (n,,... ) ovt porrsfunktioit välillä [, b], niin porrsintegrlin linerisuuden (luse 4.8, s. 65) sekä lukujonon rj-rvon lskusääntöjen nojll b b lim λg n lim λ g n n n b λ lim g n n b λ f b b b λ n lim h n n lim λ h n n lim λh n. Jos lisäksi λ, niin λg n λf λh n välillä [, b], j jos λ <, niin vstvsti λh n λf λg n välillä [, b]. Täten luseen 5.7 (s. 73) nojll λf on Riemnnintegroituv välillä [, b] j b (λf) b lim λg n n b λ f. Seurus 5.5. Jos f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b] j λ, λ R, myös λ f + λ g on Riemnn-integroituv välillä [, b] j b (λ f + λ g) λ b f + λ b g. Huomutus 5.6. Seurus 5.5 voidn induktioll yleistää muotoon b ( n ) λ i f i i ( n b λ i f i ), i missä λ, λ,..., λ n R j f, f,..., f n ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b]. 8

87 5.4. Itseisrvo- j tulofunktio Tutkitn seurvksi itseisrvofunktion j khden funktion tulofunktion Riemnnintegroituvuutt. Aluksi trkstelln itseisrvotunktiot. Luse 5.7. Jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], myös funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. Oletetn, että f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Vlitn mielivltinen ε >. Kosk f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin Riemnnin ehdon nojll on olemss selliset porrsfunktiot g j h, että g f h välillä [, b] j (5.5) b h b g < ε. Muodostetn nyt uudet välin [, b] porrsfunktiot g j h siten, että g(x), jos g(x) j h(x), g (x) h(x), jos g(x) < j h(x) <,, jos g(x) < j h(x), j h (x) h(x), jos g(x) j h(x), g(x), jos g(x) < j h(x) <, mx{h(x), g(x)}, jos g(x) < j h(x). Tällöin itseisrvon perusominisuuksien nojll g f h välillä [, b]. Lisäksi porrsfunktioiden g j h porrspisteet sisältävän jon osväleillä h g h g, jos kyseisellä välillä g (j siis myös h) on ei-negtiivinen, j h g ( g) ( h) h g, jos kyseisellä välillä h (j siis myös g) on negtiivinen. Jos ts g < j h, niin h < h + ( g) h g j g h + ( g) h g, joten h g mx{h, g} mx{h, g} h g. 83

88 Siis kikiss tpuksiss (5.6) h g h g välillä [, b]. Täten porrsintegrlin perusominisuuksien nojll b h b g (5.6) b b b (h g ) (h g) h b g (5.5) < ε, joten f on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tutkitn sitten khden funktion tulofunktion Riemnn-integroituvuutt. Aluksi todistetn vrsinisess todistuksess hyödyllinen erikoistpus. Luse 5.8. Jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], myös funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. Oletetn, että f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Kosk f f, riittää osoitt, että f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Täten voidn todistuksen yleisyyttä rjoittmtt olett, että f välillä [, b]. Vlitn mielivltinen ε >. Riemnn-integroituvn funktion f on rjoitettu välillä [, b], joten on olemss sellinen M >, että f M välillä [, b]. Lisäksi Riemnnin ehdon nojll on olemss selliset porrsfunktiot g j h, että g f h välillä [, b] j (5.7) b h b g < ε M. Kosk f M, niin todistuksen yleisyyttä rjoittmtt voidn olett (luse 4.4, s. 6), että g f h M 84

89 välillä [, b]. Tällöin g j h ovt porrsfunktiot (huomutus 4., s. 6) j g f h välillä [, b]. Lisäksi huomutuksen 4. (s. 6) j muiden porrsfunktioiden perusominisuuksien sekä luseiden 4.7 (s. 64) j 4.8 (s. 65) nojll b h b g b b b (h g ) (h + g)(h g) M (h g) b M (h g) ε < M M (5.7) ε, joten f on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b]. Vrsininen tvoite sdn nyt todistettu helposti iempien tulosten vull. Luse 5.9. Jos funktiot f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b], myös tulofunktio f g on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. Jos f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b], niin luseiden 5.4 j 5.8 nojll myös funktio fg 4 ( (f + g) (f g) ) on Riemnn-integroituv välillä [, b]. 85

90 Huomutus 5.. Yleensä b (fg) b f b g Additiivisuus Riemnn-integrlin dditiivisuus on helppo todist hyödyntämällä Riemnnin ehto j porrsintegrlin dditiivisuutt. Luse 5. (Additiivisuus). Olkoon f : [, b] R rjoitettu j c ], b[. Tällöin f on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos j vin jos f on Riemnnintegroituv väleillä [, c] j [c, b]. Tällöin b f c f + b c f. Todistus. : Todistetn ensin suunt. Jos f on Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b], niin luseen 5.7 (s. 73) nojll on olemss selliset porrsfunktiot g n j h n (n,,... ), että g n f h n välillä [, c] j c f c c n lim g n n lim h n, sekä selliset porrsfunktiot g n j h n (n,,... ), että g n f h n välillä [c, b] j b c f b b n lim g n n lim h n. c c Tällöin funktiot j g n(x), g n (x) g n(x), h n(x), h n (x) h n(x), jos x [, c[, jos x [c, b], jos x [, c[, jos x [c, b], 86

91 ovt porrsfunktioit j g n f h n välillä [, b] (n,,... ). Lisäksi porrsintegrlin dditiivisuuden (luse 4.9, s. 65) sekä lukujonon rj-rvon lskusääntöjen nojll b ( c lim g n lim n n ( c lim n g n + g n + b ) g n c b c g n ) c lim g n n b + lim g n n c c f + b c f c n lim h n b + n lim h n c ( c lim n ( c lim n h n + h n + b ) h n c b ) h n c b n lim h n. Täten luseen 5.7 (s. 73) nojll f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j b f b n lim g n c f + b c f. : Trkstelln sitten suunt. Olkoon f Riemnn-integroituv välillä [, b]. Suunt voidn todist kohdn tpn, mutt toislt kohdn nojll on selvää, että jos f on Riemnn-integroituv myös väleillä [, c] j [c, b], niin b f c 87 f + b c f.

92 Täten nyt riittää osoitt, että f on Riemnn-integroituv myös väleillä [, c] j [c, b]. Todistetn väite siksi suorn Riemnnin ehdon vull. Vlitn mielivltinen ε >. Riemnnin ehdon nojll on nyt olemss selliset porrsfunktiot g j h, että g f h välillä [, b] j (5.8) b h b g < ε. Tällöin g j h ovt porrsfunktioit myös väleillä [, c] j [c, b] j g f h väleillä [, c] j [c, b]. Lisäksi luseen 4.7 (s. 64) perusteell (5.9) c h c g j b c h b c g, joten porrsintegrlin dditiivisuuden (luse 4.9, s. 65) nojll c c (5.9) c c b b h g h g + h g c b c b h + h g + g b (5.8) < ε, h b c g c c c j b h b g (5.9) b b h g + c c h g c c c c c b h + h c b g + g c c b (5.8) < ε. h b Siis f on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b]. Täsmällisesti otten porrsfunktioit ovt funktioiden g j h rjoittumt kyseisille väleille. g 88

93 Huomutus 5.. Luseen 5. kv pätee kikill, b, c R (olivtp luvut missä thns järjestyksessä), jos f on Riemnn-integroituv kyseisillä väleillä (hrjoitustehtävä). 89

94 5.5 Integrlien rviointi Integrlej ei useinkn pystytä lskemn trksti. Siksi on tärkeää pystyä rvioimn integrlej esimerkiksi sopivien epäyhtälöiden vull. Luse 5.3. Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välillä [, b] sekä m inf f(x) j M sup f(x). x [,b] x [,b] Tällöin m(b ) b f(x) dx M(b ). Todistus. Kosk g(x) m j h(x) M ovt porrsfunktioit j m f M välillä [, b], niin m(b ) b m dx b f(x) dx b M dx M(b ). Seurus 5.4. Jos funktio f on jtkuv välillä [, b] sekä m min f(x) j M mx f(x), x [,b] x [,b] niin m(b ) b f(x) dx M(b ). Seurus 5.5. Olkoon funktio f Riemnn-integroituv j ei-negtiivinen välillä [, b]. Tällöin b f(x) dx. 9

95 Seurus 5.6. Olkoot f j g sellisi välillä [, b] Riemnn-integroituvi funktioit, että f(x) g(x) kikill x [, b]. Tällöin b f(x) dx b g(x) dx. Esimerkki 5.8. Arvioidn integrli sin x dx. Jtkuvn funktion sin x on Riemnn-integroituv välillä [, ]. Kosk sin x on ksvv funktio välillä [, ], niin sin x sin x [, ]. Täten j Siis sin x dx sin x dx dx ( ) sin dx sin ( ) sin. sin x dx sin (, 84). Huomutus 5.7. Jos seuruksess 5.6 lisäksi f(x), niin (hrjoitustehtävä) b b f(x) dx g(x) dx kikill, b R (olivtp luvut missä thns järjestyksessä). 9

96 Luse 5.8. Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin b b f(x) dx f(x) dx. Todistus. Jos f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin luseen 5.7 (s. 83) perusteell myös f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Lisäksi itseisrvon perusominisuuksist seur, että f(x) f(x) f(x) kikill x [, b]. Täten seuruksen 5.6 (s. 9) nojll b j edelleen (luse 5.4, s. 8) b f(x) dx f(x) dx b b f(x) dx f(x) dx b b f(x) dx f(x) dx. Siis itseisrvon perusominisuuksien perusteell b b f(x) dx f(x) dx. Huomutus 5.9. Kosk luseess 5.8 oletetn integroituvuus välillä [, b], niin < b. Luseen tulos pätee tietysti myös, jos b, mutt jos b <, niin luseen 5.8 epäyhtälö on muutettv muotoon (hrjoitustehtävä) b f(x) dx b f(x) dx. 9

97 Huomutus 5.3. Luseen 5.8 epäyhtälö voi oll myös ito. Esimerkiksi (esimerkin 5.5 (s. 74) nojll) x dx ( ), mutt toislt luseiden 5. (s. 86) j 5.4 (s. 8) sekä esimerkin 5.5 (s. 74) perusteell x dx x dx + x dx + x dx x dx x dx + x dx ( ) + Siis. x dx < x dx. Huomutus 5.3 (Cuchy-Schwrzin epäyhtälö). Jos funktiot f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b], niin b fg b f b g. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. vstvn tuloksen todistus summlusekkeille). 93

98 Luse 5.3. Olkoon f jtkuv j ei-negtiivinen välillä [, b]. Jos niin f(x) kikill x [, b]. b f(x) dx, Todistus. Tehdään vstoletus, että on olemss sellinen c [, b], että f(c) >. Oletetn, että c ], b[ (tpukset c j c b vstvsti). Kosk f on jtkuv, on olemss sellinen δ >, että [c δ, c + δ] [, b] j Täten f(x) f(c) > x [c δ, c + δ]. b f(x) dx c δ f(x) dx + c+δ c δ f(x) dx + b c+δ f(x) dx c δ dx + c+δ c δ + f(c) δ + f(c) δ, f(c) dx + b c+δ dx missä on ristiriit, sillä f(c) > j δ >. 94

99 5.6 Integrlilskennn välirvoluse Seurvksi trkstelln integrlilskennn välirvolusett. Luse 5.33 (Integrlilskennn välirvoluse). Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b]. Tällöin on olemss sellinen ξ ], b[, että (5.) b f(x) dx f(ξ)(b ). Todistus. Kosk f on jtkuv suljetull välillä [, b], on olemss selliset pisteet x, x [, b], että m f(x ) min {f(x) x [, b]} j M f(x ) mx {f(x) x [, b]}. Lisäksi seuruksen 5.4 (s. 9) nojll (5.) m(b ) b f(x) dx M(b ). Kosk f on jtkuv, niin integrlin lskusääntöjen j luseen 5.3 (s. 94) perusteell yhtäsuuruus epäyhtälöissä (5.) on voimss vin silloin, kun f on vkiofunktio välillä [, b]. Jos f on vkiofunktio, niin mikä thns välin ], b[ piste kelp pisteeksi ξ. Jos ts f ei ole vkio, niin m(b ) < Kosk b > (ts. [, b] on väli), niin tällöin b f(x) dx < M(b ). m < b f(x) dx < M. b Lisäksi x x. Todistuksen yleisyyttä rjoittmtt voidn olett, että x < x. Funktio f on nyt jtkuv suljetull välillä [x, x ], joten se svutt tällä välillä kikki suurimmn j pienimmän rvons väliset rvot. Kosk f(x ) m j f(x ) M, on täten olemss sellinen ξ ]x, x [ (jolloin myös ξ ], b[ ), että f(ξ) b f(x) dx b 95

100 eli b f(x) dx f(ξ)(b ). Huomutus. Integrlilskennn välirvoluseest käytetään usein lyhennettä IVAL. Huomutus Integrlilskennn välirvoluseess oletettiin, että < b (eli [, b] on väli). Luseen tulos eli kv (5.) pätee myös, kun b <, mutt tällöin on tietysti oletettv, että ξ ]b, [. Todistus. Olkoon f jtkuv välillä [b, ], missä b <. Integrlilskennn välirvoluseen nojll on tällöin olemss sellinen ξ ]b, [, että b f(x) dx b f(x) dx IVAL f(ξ)( b) f(ξ)(b ). Luse 5.35 (Yleistetty integrlilskennn välirvoluse). Olkoon nyt funktio f jtkuv j funktio g ei-negtiivinen j Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin on olemss sellinen ξ [, b], että (5.) b b f(x)g(x) dx f(ξ) g(x) dx. Todistus. Kosk f on jtkuv suljetull välillä [, b], on olemss selliset pisteet x, x [, b], että m f(x ) min {f(x) x [, b]} j M f(x ) mx {f(x) x [, b]}. Lisäksi g, joten mg fg Mg. Siis seuruksen 5.6 (s. 9) nojll (5.3) m I g b mg(x) dx b f(x)g(x) dx b M g(x) dx M I g, Usein tiedoll, onko ξ ], b[ vi ξ ]b, [, ei ole merkitystä, mutt joskus tietysti on. 96

101 missä I g b g(x) dx. Jos nyt I g, niin epäyhtälöketjun (5.3) nojll myös b f(x)g(x) dx. Täten molemmt integrlit kvss (5.) ovt nolli j mikä thns välin ], b[ piste kelp pisteeksi ξ. Jos ts I g, niin I g >, sillä g. Täten epäyhtälöketjun (5.3) nojll m I g b f(x)g(x) dx M. Jtkuvn funktion f svutt suljetull välillä [, b] kikki suurimmn j pienimmän rvons väliset rvot. Täten on olemss sellinen ξ [, b], että f(ξ) I g b f(x)g(x) dx eli b b f(x)g(x) dx f(ξ) g(x) dx. Huomutus. Vstvsti kuin huomutuksess 5.34 voidn osoitt, että yleistetyn integrlilskennn välirvoluseen tulos eli kv (5.) pätee myös, kun b <. Tällöin on tietysti oletettv, että ξ [, b]. 97

102 5.7 * Riemnnin summ Olkoon funktio f rjoitettu välillä [, b] j P {x, x,..., x n } jokin välin [, b] jko. Luvuss 4. (huomutus 4., s. 6) minittiin jo jkoon P liittyvä Riemnnin summ n S P (f, ξ) f(ξ j )(x j x j ), missä ξ j [x j, x j ] on mielivltinen välin [x j, x j ] piste. j Huomutus. Jos g(x) f(ξ j ) kikill x ]x j, x j [ (j kikill j,,..., n), niin Riemnnin summ S P (f, ξ) on porrsfunktion g integrli. Porrsfunktion g rvoiksi jkopisteissä voidn vlit esimerkiksi g(x j ) f(x j ), kun j,,..., n. Merkitään P mx{x j x j j n}, eli P on jon P pisimmän osvälin pituus. Tihennetään sitten jko siten, että P, j tutkitn rj-rvo lim S P (f, ξ). P Tällöin lim S P (f, ξ) L, P jos jokist luku ε > kohti on olemss sellinen δ >, että jokiselle jolle P < δ pätee S P (f, ξ) L < ε, vlittiinp pisteet ξ j miten thns. Riemnnin summ käyttämällä sdn vihtoehtoinen tp määritellä Riemnn-integrli. Luse Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin jos Riemnnin summill on rj-rvo lim S P (f, ξ), P missä S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. Tällöin b f lim S P (f, ξ). P 98

103 Todistus. : Todistetn ensin suunt. Oletetn siis, että f on rjoitettu j Riemnn-integroituv välillä [, b], j osoitetn, että lim S P (f, ξ) P b f, missä S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. Vlitn mielivltinen ε >. Kosk f on rjoitettu, on olemss sellinen M >, että (5.4) f(x) M kikill x [, b], j kosk f on Riemnn-integroituv, niin Riemnnin ehdon nojll on olemss selliset välin [, b] porrsfunktiot g j h, että g f h j (5.5) b h b g < ε. Olkoon edelleen P {z, z,..., z m } jokin sellinen välin [, b] jko, että P sisältää kikki sekä porrsfunktion g että porrsfunktion h porrspisteet. Merkitään δ ε 8m M. Olkoon nyt P {x, x,..., x n } jokin sellinen välin [, b] jko, että P < δ. Tällöin jokist Riemnnin summ S P (f, ξ) kohti on olemss sellinen porrsfunktio s, että (5.6) S P (f, ξ) Kosk g f h, niin tällöin b s. (5.7) g s f(ξ k ) h kikill jon P osväleillä I k [x k, x k ], jotk eivät sisällä jon P pisteitä. Trkstelln sitten jon P osvälejä I k [x k, x k ], jotk sisältävät jon P pisteitä. Välin [, b] päätepisteitä lukuun ottmtt kukin jon P piste sisältyy yhteen ti khteen jon P (suljettuun) osväliin. Täten jon P pisteitä sisältäviä jon P osvälejä on korkeintn m kpplett. Olkoon nyt g(x) { g(x), jos x I k j j {,,..., m} s.e. z j I k, M, jos x I k j j {,,..., m} s.e. z j I k, 99

104 j h(x) { h(x), jos x I k j j {,,..., m} s.e. z j I k, M, jos x I k j j {,,..., m} s.e. z j I k, missä I k ]x k, x k [ j I k [x k, x k ] (k,,..., n). Jon P jkopisteissä setetn g(x k ) M j h(x k ) M (k,,,..., n). Tällöin g j h ovt välillä [, b] porrsfunktioit j ominisuuden g f h sekä epäyhtälöiden (5.4) j (5.7) perusteell g f h j g s h. Täten Riemnn-integrlin määrittelyn j luseen 4.7 (s. 64) nojll b g b f b h j b g b s b h j edelleen (5.8) b b s f b h b g. Kosk g h välillä [, b], niin luseen 4.7 (s. 64) nojll x k x k g x k x k h jokisell jon P osvälillä [x k, x k ] (k,,..., n). Lisäksi jon P pisteitä sisältäviä jon P osvälejä on korkeintn m kpplett j porrsfunktion rvoll jkopisteessä ei ole vikutust porrsintegrlin rvoon. Täten (5.9) b h b g b h b g + m P M (5.5) < ε + 4m P M. Siis b S P (f, ξ) f (5.6) b b s f (5.8) b h b (5.9) < ε + 4m P M g

105 < ε + 4m ε 8m M M Siis j ε + ε ε. lim S P (f, ξ) P : Todistetn sitten suunt. Oletetn siis, että f on rjoitettu välillä [, b] b f. lim S P (f, ξ) L, P missä S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ, j osoitetn, että f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j b f L. Vlitn mielivltinen ε >. Rj-rvon määritelmän nojll on olemss sellinen δ >, että jos P < δ, niin (5.) S P (f, ξ) L < ε/4, vlittiinp pisteet ξ j miten thns. Olkoon nyt P {x, x,..., x n } sellinen välin [, b] (esimerkiksi tsvälinen) jko, että P < δ. Vlitn selliset pisteet ξ k, ξ k [x k, x k ] (k,,..., n), että f(ξ k ) inf f + [x k, x k ] ε 4(b ) j Olkoon edelleen g(x) f(ξ k ) f(ξ k ) sup f [x k, x k ] ε 4(b ). ε 4(b ), kun x [x k, x k [ (k,,..., n), j h(x) f(ξ k ) + ε 4(b ), kun x [x k, x k [ (k,,..., n),

106 sekä g(b) h(b) f(b). Tällöin g j h ovt porrsfunktioit j g f h välillä [, b] sekä b h b g n k ( ) ε f(ξ k ) + (x k x k ) 4(b ) n k ( ) ε f(ξ k ) (x k x k ) 4(b ) n n ε f(ξ k )(x k x k ) + k k 4(b ) (x k x k ) }{{} Merk. S P (f,ξ) n n ε f(ξ k )(x k x k ) + k k 4(b ) (x k x k ) }{{} Merk. S P (f,ξ) S P (f, ξ) S P (f, ξ) + S P (f, ξ) S P (f, ξ) + ε ε n (x k x k ) (b ) k }{{} b S P (f, ξ) L + L S P (f, ξ) + ε SP (f, ξ) L + L SP (f, ξ) + ε < ε 4 + ε 4 + ε ε, missä viimeinen epäyhtälö seur kvst (5.). Siis f on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b]. Huomutus Lusett 5.36 käytettäessä riittää trkstell tsvälisiä jkoj (hrjoitustehtävä).

107 Funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuuden osoittmiseksi riittää siis osoitt, että lim P S P (f, ξ) L, missä P on tsvälinen jko j S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. Pisteen ξ pitää kuitenkin oll mielivltinen välin piste. Funktion Riemnn-integroituvuutt osoitettess ξ ei voi oll kiinteästi esimerkiksi osvälin päätepiste (toisin kuin esimerkiksi määritettäessä jo integroituvksi tiedetyn funktion integrlin rvo) ilmn, että smll suoritetn myös mhdollisen virhetermin trkstelu. Huomutus. Funktion f : [, b] R Riemnnin summ voitisiin muodost, vikk f ei ole rjoitettu välillä [, b]. Voidn kuitenkin osoitt, että jos f ei ole rjoitettu välillä [, b], niin lim P S P (f, ξ) ei ole olemss (hrjoitustehtävä). 3

108 6 Integrli j derivtt 6. Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j c välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli x määrittelee funktion G(x): I R, c f(t) dt, x I, (6.) G(x) x c f(t) dt. Siis jokist muuttujn x rvo vst jokin tietty reliluku, jok on kyseessä olevn integrlin rvo. Esimerkki 6.. Trkstelln funktiot f(x) 3, kun x [, 5]. Vkiofunktion f on Riemnn-integroituv välillä [, 5] (j smll jokisell välin [, 5] suljetull osvälillä). Jos c, niin ehdon (6.) funktioksi sdn G: [, 5] R, Jos ts c, niin j jos c 5, niin Yleisesti jos c [, 5]. G(x) G(x) G(x) G(x) x x 5 x c x 3 dt 3 (x ) 3x. 3 dt 3 (x ) 3x 6, 3 dt 3 (x 5) 3x 5. 3 dt 3 (x c) 3x 3c, 4

109 Luse 6.. Ehdon (6.) funktio G on jtkuv välillä I. Todistus. Olkoon x I. Vlitn mielivltinen ε >. Olkoon edelleen [, b] jokin sellinen välin I suljettu osväli, että x on välin [, b] sisäpiste (jos x on välin I päätepiste, vlitn x ti b x). Riemnn-integroituvn funktion f on rjoitettu välillä [, b]. Siis on olemss sellinen M >, että f(t) M t [, b]. Jos nyt x + h [, b], niin G(x + h) G(x) x+h x f(t) dt f(t) dt c c x x+h x f(t) dt + f(t) dt f(t) dt c x c x+h f(t) dt x x+h f(t) dt x x+h M dt x M (x + h) x M h < ε in, kun h < δ ε M. Siis jtkuvuuden määritelmän nojll funktio G on jtkuv pisteessä x j siis myös välillä I. Jos x, trkstelln oikelt jtkuvuutt, j jos x b, trkstelln vsemmlt jtkuvuutt. 5

110 Esimerkki 6.. Olkoon, kun x <, f(x), kun x, j c [, ]. Porrsfunktion f on Riemnn-integroituv välillä [, ] (j jokisell sen suljetull osvälillä). Jos nyt x <, niin j jos x, niin x c f(t) dt x c c f(t) dt dt + x x c dt, dt + (x ) x. Siis ehdon (6.) funktioksi sdn G: [, ] R, x, kun x <, G(x) f(t) dt x, kun x. c Luse 6.. Jos funktio f on jtkuv välillä I, niin ehdon (6.) funktio G on pitsi jtkuv myös derivoituv välillä I j G (x) f(x) x I. Todistus. Olkoon x I. Olkoon edelleen [, b] jokin sellinen välin I suljettu osväli, että x on välin [, b] sisäpiste (jos x on välin I päätepiste, vlitn x ti b x). Olkoon x + h [, b] (h ). Kosk f on jtkuv välillä [, b], niin integrlilskennn välirvoluseen nojll on olemss sellinen ξ h ]x, x + h[ (jos h > ) ti ξ h ]x + h, x[ (jos h < ), että G(x + h) G(x) h h h ( x+h f(t) dt c x+h x f(t) dt x c f(t) dt IVAL h f(ξ h) ( (x + h) x ) f(ξ h ). 6 )

111 Lisäksi ξ h x, kun h. Kosk f on jtkuv välillä [, b], niin tällöin lim h G(x + h) G(x) h lim h f(ξ h ) lim f(ξ ξh h) f(x). x Täten derivtn määritelmän nojll funktio G on derivoituv pisteessä x j siis myös välillä I j G (x) f(x) x I. Huomutus 6.3. Luseess 6. (kuten yleisestikin) derivoituvuus suljetun välin I päätepisteissä (ti puolivoimen välin toisess päätepisteessä) trkoitt oikenpuolisen (välin lkupiste) ti vsemmnpuolisen (välin loppupiste) derivtn olemssolo. Huomutus 6.4. Luseen 6. tulos voidn esittää myös seurvss muodoss. Jos funktio f on jtkuv välillä I j c I, niin x d f(t) dt f(x) x I. dx c Esimerkki 6.3. Kosk f(t) t + sin t on jtkuv kikill t R, niin luseen 6. nojll x d ( t + sin t) dt x + sin x x R. dx Huomutus 6.5. Jos funktio f on jtkuv välillä I j c I, niin d c f(t) dt dx x d ( x ) f(t) dt dx c f(x) x I. Jos x, trkstelln oikenpuoleist derivtt, j jos x b, trkstelln vsemmnpuoleist derivtt. 7

112 Huomutus 6.6. Vikk funktio G(x) x c f(t) dt riippuu pisteen c vlinnst, niin derivtt G (x) ei riipu pisteen c vlinnst. Todistus. Kosk x niin c f(t) dt c x x f(t) dt + f(t) dt vkio + f(t) dt c, c I, c c c x x d f(t) dt d f(t) dt c, c I. dx dx c c Huomutus 6.7. Olkoon h(x) yhd.funktio {}}{ G(r(x)) r(x) c f(t) dt, missä r(x) on funktion f jtkuvuuslueeseen Tällöin kuuluv derivoituv funktio. h (x) d dx r(x) c f(t) dt r (x) G (r(x)) r (x) f(r(x)). Edelleen vstvin oletuksin d dx r (x) r (x) f(t) dt d dx ( c r (x) f(t) dt + r (x) c ) f(t) dt r (x) f(r (x)) + r (x) f(r (x)) r (x) f(r (x)) r (x) f(r (x)). Jos r on derivoituv pisteessä x j G on derivoituv pisteessä r(x), niin yhdistetty funktio G r on derivoituv pisteessä x. 8

113 Esimerkki 6.4. Kosk + t on jtkuv kikill t R, niin huomutuksen 6.7 nojll x d + t dt x + x dx 4 x R. Esimerkki 6.5. Vstvsti kuin esimerkissä 6.4 sdn huomutuksen 6.7 nojll d dx 3x x sin t dt 3 sin 3x sin x. Sm tulos stisiin tietysti myös hjoittmll integrli ensin osiin 3x x sin t dt x sin t dt + 3x sin t dt 3x sin t dt x sin t dt j derivoimll sitten näin sdut integrlit. Esimerkki 6.6. Määritetään Nyt lim x x cos(t ) dt. x x lim cos(t ) dt, x joten käytetään l Hospitlin sääntöä. Kosk x d cos(t ) dt cos(x ), dx niin lim x x cos(t ) dt H x lim x cos(x ). 9

114 6. Integrlifunktio Määritelmä 6.. Olkoon funktio f määritelty välillä I. Jos on olemss sellinen funktio F, että F (x) f(x) x I, niin F on funktion f integrlifunktio (primitiivi, ntiderivtt) välillä I. Esimerkki 6.7. Funktio F (x) rc tn x on funktion f(x) + x integrlifunktio koko relilukujoukoss, sillä (ks. esimerkki.7, s. 7) D(rc tn x) + x x R. Huomutus 6.8. Jos on olemss sellinen F, että F (x) f(x) kikill x I, niin F on jtkuv välillä I. Huomutus 6.9. Luseen 6. (s. 6) nojll välillä I jtkuvll funktioll f on inkin yksi integrlifunktio välillä I, nimittäin funktio F (x) x c f(t) dt, c I. Huomutus 6.. Jos funktio ei ole jtkuv välillä I, niin funktioll ei välttämättä ole integrlifunktiot kyseisellä välillä, vikk funktio olisi Riemnn-integroituv välillä I (ks. esimerkki 6., s. 6). Vihtoehtoisesti voitisiin kutsu sivun 4 ehdon (6.) funktiot G funktion f integrlifunktioksi. Tällöin integrlifunktio j primitiivi (ntiderivtt) merkitsisivät eri si j kikill Riemnn-integroituvill funktioill olisi integrlifunktio. Jtkuvill funktioill tällisi eroj ei synny, joten käsitteitä ei tällä kurssill erotell.

115 Luse 6.. Jos F on funktion f integrlifunktio välillä I, niin funktion f kikkien integrlifunktioiden joukko välillä I on funktiojoukko {F +C C R}. Todistus. : Jokinen muoto F + C olev funktio on funktion f integrlifunktio välillä I, sillä {}}{ D(F + C) D(F ) + D(C) D(F ) f. : Olkoon G jokin funktion f integrlifunktio välillä I eli Tällöin G (x) f(x) x I. D(G(x) F (x)) f(x) f(x) x I, joten integrlilskennn perusluseen nojll G F on vkio. Siis on olemss sellinen C R, että G(x) F (x) C x I. Täten G F + C. Esimerkki 6.8. Esimerkin 6.7 perusteell F (x) rc tn x on funktion f(x) + x integrlifunktio koko relilukujoukoss. Täten myös esimerkiksi G(x) rc tn x 3 j H(x) π + rc tn x ovt funktion f integrlifunktioit koko relilukujoukoss. Yleisesti kikki funktion f integrlifunktiot ovt muoto missä C R. rc tn x + C,

116 Luse 6. (Integrlilskennn pääluse). Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b] j F jokin sen integrlifunktio tällä välillä. Tällöin b f(x) dx F (b) F (). Todistus. Kosk f on jtkuv välillä [, b], niin huomutuksen 6.9 nojll funktio G(x) x f(t) dt on funktion f integrlifunktio välillä [, b]. Luseen 6. nojll G voidn esittää muodoss x f(t) dt F (x) + C, missä C R. Lisäksi joten x C f(t) dt F () F (), f(t) dt F (x) F () Sijoittmll tähän lusekkeeseen x b sdn x [, b]. b f(t) dt F (b) F (). Huomutus 6.3. Luseen 6. tulos pätee myös, kun b. Jos b, niin yhtälön kumpikin puoli on noll, j jos b <, niin b f(x) dx b f(x) dx (F () F (b)) F (b) F (). Luse tunnetn myös nimellä nlyysin perusluse ti trkemmin snotttun nlyysin perusluse, os II. Tällöin nlyysin perusluseen os I on luse 6. (s. 6).

117 Huomutus 6.4. Usein merkitään F (b) F () / b F (x). Tällöin luseen 6. tulos voidn esittää muodoss b f(x) dx / b F (x). Huomutus 6.5. Funktion f jtkuvuuden sijst luseess 6. riittää olett (hrjoitustehtävä), että f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j F on sellinen välillä [, b] jtkuv j välillä ], b[ derivoituv funktio, että F (x) f(x) x ], b[. Huomutus. Huomutuksess 6.5 oletus funktion f Riemnn-integroituvuudest välillä [, b] on trpeellinen. Funktio f ei nimittäin välttämättä ole Riemnn-integroituv välillä [, b], vikk on olemss sellinen välillä [, b] jtkuv j välillä ], b[ derivoituv funktio F, että F (x) f(x) x ], b[. Huomutus. Jos välillä [, b] Riemnn-integroituvll funktioll f on välillä [, b] integrlifunktio, niin myös funktio G(x) x c f(t) dt (c [, b]) on funktion f integrlifunktio välillä [, b] (hrjoitustehtävä). 3

118 Esimerkki 6.9. Kosk D(x 3 ) 3x x R, niin x 3 on funktion 3x (jokin) integrlifunktio (millä thns välillä I R). Kosk 3x on jtkuv millä thns välillä I R, niin luseen 6. j huomutuksen 6.3 nojll b 3x dx / b x 3 b 3 3 b 3 b R. Esimerkki 6.. Vstvsti joten D(rc tn x) + x x R, b + x dx Esimerkiksi / b rc tn x rc tn b rc tn rc tn b b R. + x dx rc tn π 4. Esimerkki 6.. Kosk D( x) x x >, niin x dx / x ( > ). Esimerkki 6.. Kosk niin ( D π ) πx cos sin πx dx ( π / π sin πx ) π cos πx sin πx ( ) π x R, π. 4

119 Huomutus. Funktion f integrlifunktion F määrittämistä trkstelln luvuss 7. Huomutus. Yhteydet kurssien Anlyysi A j B joidenkin perusluseiden välillä: A A B B B 3 B4 B 5 B 6 B 7, missä A R:n täydellisyysksioom, A Suljetull välillä jtkuvn funktion ominisuudet, B B B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 Rollen luse, Differentililskennn välirvoluse, Integrlilskennn perusluse, Jtkuvn funktion integroituvuus, Integrlilskennn välirvoluse, Jtkuvn funktion integrlifunktion derivoituvuus, Integrlilskennn pääluse. Suljetull välillä jtkuv funktio on kyseisellä välillä rjoitettu j svutt suurimmn sekä pienimmän rvons j jokisen niiden välissä olevn rvon. Edelleen suljetull välillä jtkuv funktio on tällä välillä tsisesti jtkuv. 5

120 7 * Integrointimenetelmiä 7. Määräämätön integrli Integrlilskennn pääluse (luse 6., s. ) nt helpon tvn lske nnetun funktion Riemnn-integrlej, jos tunnetn jokin kyseisen funktion integrlifunktio. Seurvksi tutkitn lyhyesti muutmi menetelmiä, joill tällinen integrlifunktio voidn löytää. Aloitetn määrittelemällä, mitä määräämättömällä integrlill trkoitetn. Määritelmä 7.. Olkoon funktio f jtkuv välillä I. Tällöin funktion f integrlifunktioiden (välillä I) joukko snotn funktion f määräämättömäksi integrliksi j sitä merkitään f(x) dx (ti f). Funktion f Riemnn-integrli välillä I voidn vstvsti kutsu funktion f määrätyksi integrliksi. Määräämätön integrli on funktiojoukko, määrätty integrli ts on reliluku. Kumpkin voidn kutsu lyhyesti funktion integrliksi, jos siyhteydestä käy selville, trkoitetnko määräämätöntä vi määrättyä integrli. Funktion integrlin määrittämistä kutsutn funktion integroinniksi. Huomutus. Jos siis f(x) on jtkuv j F (x) f(x) välillä I, niin f(x) dx F (x) + C, C R. Huomutus. Derivtn lskusäännöistä seur suorn, että jos kyseiset määräämättömät integrlit ovt olemss, niin λ (f(x) + g(x)) dx λ f(x) dx + λ g(x) dx, λ R. 6

121 Huomutus 7.. Alkeisfunktioiden derivoimiskvojen perusteell sdn seurvt integrointikvt (C R). Kvoj voidn tietenkin sovelt vin sellisill väleillä I, joill integroitvt funktiot ovt jtkuvi. (7.) (7.) dx C, dx x + C, (7.3) (7.4) (7.5) x dx + x+ + C ( ), dx log x + C ( / I) x log x + C, kun x >, log( x) + C, kun x <, e x dx e x + C, (7.6) x dx x + C ( >, ), log (7.7) (7.8) sin x dx cos x + C, cos x dx sin x + C, (7.9) (7.) (7.) (7.) dx tn x + C, cos x sin dx cot x + C, x dx rc tn x + C, + x dx rc sin x + C. x Huomutus. Jos funktion määräämätön integrli tunnetn, funktion määrätty integrli eli Riemnn-integrli voidn lske käyttämällä integrlilskennn päälusett (luse 6., s. ). 7

122 Esimerkki 7.. Osoitetn, että jos n Z, niin (n+)π nπ sin x dx. Trkstelln erikseen luvun n prillisi j prittomi rvoj. Kun n on prillinen, niin sinin integrointikv käyttämällä sdn (n+)π nπ sin x dx (n+)π nπ (n+)π / nπ sin x dx cos x (cos((n + )π) cos(nπ)) ( ). Kun n on priton, sdn vstvsti (n+)π nπ sin x dx (n+)π nπ sin x dx (n+)π / nπ cos x cos((n + )π) cos(nπ) ( ), joten trksteltvn Riemnn-integrlin rvo on kksi kikill n Z. Huomutus 7.. Kikkien jtkuvien funktioiden määräämätöntä integrli ei void lusu lkeisfunktioiden vull äärellisessä suljetuss muodoss. Tällisi ovt esimerkiksi sin(x ) dx, sin x x dx, e x dx, rc tn x x Tällöin vstvt määrätyt integrlit, esimerkiksi e x dx, dx, dx log x, dx x3 +,... pitää lske jotenkin muuten kuin integrlilskennn päälusett käyttäen. 8

123 Huomutus 7.3. Käyttämällä yhdistetyn funktion derivointikv sdn integrointisääntö (7.3) f (x) g (f(x)) dx g(f(x)) + C. Sääntöä voidn tietysti sovelt vin, jos kikki vdittvt oletukset ovt voimss. Yhdistetyn funktion derivointikvn käyttö integrointimenetelmänä voidn usein korvt sijoitussäännön käytöllä (ks. huomutus 7., s. 3). Esimerkki 7.. Kun, niin käyttämällä yhdistetyn funktion integrointisääntöä (7.3) j kosinin derivointikv sdn sin(x) dx ( sin(x)) dx cos(x) + C. Jos, niin tuloksen on tietysti pelkästään vkiofunktio C. Esimerkki 7.3. Käyttämällä yhdistetyn funktion integrointisääntöä sekä potenssin j sinin derivointikvoj sdn cos x sin 3 x dx 4 cos x sin 3 x dx 4 4 sin4 x + C. Tulos sdn helposti myös sijoitussäännön vull (ks. esimerkki 7.8 (s. 33) j sitä koskevt huomutukset 7.4 j 7.5). Vstvsti yleisesti (integrlin olemssoloehtojen olless voimss) f (x)f(x) dx + f(x)+ + C ( ). Esimerkki 7.4. Kun, niin käyttämällä yhdistetyn funktion integrointisääntöä j logritmin derivointikv sdn x + b dx x + b dx log x + b + C kikill niillä väleillä, jotk eivät sisällä pistettä x b. Vstvsti yleisesti, jos f(x) (j integrlin olemssoloehdot ovt voimss), niin f (x)f (x) dx f (x) f(x) dx log f(x) + C. Jos (j b ), niin kyseessä on yksinkertisesti vkiofunktion integrointi. 9

124 Esimerkki 7.5. Kotngentin j tngentin määrittelylueill sdn vstvsti kuin esimerkissä 7.4 cos x cot x dx sin x dx cos x dx log sin x + C sin x j tn x dx sin x cos x dx ( sin x) dx log cos x + C. cos x Joskus integroitv lusekett knntt muokt ennen integrointi. Esimerkiksi trigonometriset funktiot voidn joskus muunt sopivi kvoj käyttämällä integroinnin knnlt oleellisesti yksinkertisempn muotoon (ks. luku 7.5). Sopiv muokkust voidn hyödyntää myös muiden funktioiden kohdll. Esimerkki 7.6. Olkoon x < ( ). Määritetään x dx. Kosk integroitv funktio muistutt rkussinin derivtt, muoktn luseke vstmn kyseistä derivtt. Käyttämällä muokkmll stuun lusekkeeseen yhdistetyn funktion derivointikv sdn x dx ( ( x ) ) dx ( x ) dx dx ( x ) rc sin x + C. Tässä on erityisesti syytä huomt, että. Yllä olevn knss voitisiin edetä vihtoehtoisesti dx ( x) dx ( x) rc sin x + C. Tulokset ovt smt, sillä rc sin ( x) rc sin x.

125 Huomutus 7.4. Määräämätöntä integrli määritettäessä stu tulos voidn in trkist derivoimll. Esimerkiksi d dx log ( x + x + ) x + ( + x + x + x + x +, x + + x x + x + x) joten x + dx log ( x + x + ) + C. Kyseinen integrli voidn määrittää esimerkiksi sopiv sijoitust käyttäen (vrt. esimerkki 7.6, s. 3). Funktio r sinh x log ( x + x + ) on hyperbolisen sinin sinh x ex e x käänteisfunktio.

126 7. Osittisintegrointi Osittisintegrointi perustuu tulon derivointikvn, joten oletetn, että funktiot f j g ovt derivoituvi jollkin välillä. Tällöin kyseisellä välillä (fg) f g + fg. Siis myös (fg) (f g + fg ) f g + fg sekä edelleen (fg) fg f g j fg fg f g, jos viimeisen yhtälön integrlit ovt olemss. Integrlien olemssolon tk esimerkiksi derivttojen f j g jtkuvuus. Näin on todistettu seurv luse. Luse 7.5. Olkoot f j g sellisi välillä I derivoituvi funktioit, että derivtt f j g ovt jtkuvi tällä välillä. Tällöin välillä I. fg fg f g Määrätylle integrlille osittisintegrointikv s seurvn muodon. Luse 7.6. Olkoot f j g sellisi välillä [, b] derivoituvi funktioit, että derivtt f j g ovt jtkuvi tällä välillä. Tällöin b fg / b fg b f g. Todistus. Kosk f, g, f j g ovt jtkuvi välillä [, b], niin myös (fg) f g + fg

127 on jtkuv välillä [, b]. Täten integrlilskennn pääluseen nojll b f g + b fg b (f g + fg ) b (fg) / b fg. Siis b fg / b fg b f g. Huomutus 7.7. Huomutuksen 6.5 (s. 3) perusteell luseess 7.6 riittää olett derivttojen f j g jtkuvuuden sijst, että f j g ovt Riemnnintegroituvi välillä [, b] (hrjoitustehtävä). Vstvsti luseess 7.5 riittää, että määräämättömät integrlit ovt olemss. Huomutus. Osittisintegrointi on käyttökelpoinen integrointimenetelmä, kun f g on helpompi integroid kuin fg. Osittisintegroinnill pyritään tietysti in helpompn integroitvn. Esimerkki 7.7. Osittisintegroimll sdn x sin x dx x D( cos x) dx x ( cos x) ( cos x) dx x cos x + sin x + C. Esimerkki 7.8. Osittisintegroimll sdn (kun huomtn, että D(x) ) log x dx log x dx D(x) log x dx x log x x x dx x log x dx x log x x + C. 3

128 Esimerkki 7.9. Käyttämällä esimerkin 7.8 menettelyä j yhdistetyn funktion derivointikv sdn rc tn x dx / rc tn x dx D(x) rc tn x dx x rc tn x x + x dx ( π 4 ) x + x dx π 4 / log ( + x ) π 4 (log log ) π 4 log. Esimerkki 7.. Osittisintegroimll kksi kert peräkkäin sdn x e x dx x e x x e x dx x e x (xe x e x dx) (x x + ) e x + C. Huomutus. Joskus osittisintegrointi joht plutuskvmenettelyyn. Esimerkki 7.. Määritetään sin x cos x dx. Merkitään I sin x cos x dx. 4

129 Tällöin osittisintegroinnill sdn I sin x cos x dx sin x D(sin x) dx sin x cos x sin x dx sin x I. Siis jost voidn rtkist Siis I sin x I, I sin x + C. sin x cos x dx sin x + C. Esimerkki 7.. Määritetään plutuskvmenettelyä käyttäen I n ( + x ) dx (n Z +). n Käyttämällä osittisintegrointi sdn I n ( + x ) dx n x D(x) ( + x ) n dx ( + x ) n x ( + x ) + n n x ( n) x dx ( + x ) n+ x dx ( + x ) n+ x ( + x ( + x ) + n ) n ( + x ) x ( + x ) + n n n+ dx ( + x ) dx n n x ( + x ) n + n I n n I n+. dx ( + x ) n+ 5

130 Siis Lisäksi Siis jne. I n+ n x (n ) + I ( + x ) n n, kun n. n I I dx rc tn x + C. + x x + x + rc tn x + C, 6

131 7.3 Sijoitusmenetelmä eli muuttujnvihto Osoittisintegrointi perustui tulon derivointikvn. Sijoitusmenetelmä eli muuttujnvihto puolestn perustuu yhdistetyn funktion derivointikvn eli niin snottuun ketjusääntöön. Sijoitusmenetelmällä pyritään siihen, että uusi funktio olisi helpompi integroid kuin lkuperäinen. Luse 7.8. Olkoon funktio f : [, b] R jtkuv j ϕ: [α, β] [, b] funktio, jok toteutt ehdot (i) ϕ(α) j ϕ(β) b, (ii) ϕ j ϕ ovt jtkuvi välillä [α, β]. Tällöin b f(x) dx β α f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Todistus. Olkoon nyt F jokin funktion f integrlifunktio välillä [, b]. Tällöin funktio F (ϕ(t)) on derivoituv välillä [α, β] j d dt F (ϕ(t)) f(ϕ(t)) ϕ (t). Lisäksi f(ϕ(t)) ϕ (t) on jtkuv välillä [α, β], joten integrlilskennn pääluseen nojll β α f(ϕ(t)) ϕ (t) dt β / α F (ϕ(t)) F (ϕ(β)) F (ϕ(α)) F (b) F () b f(x) dx. Huomutus 7.9. Jos lusett 7.8 käytettäessä sijoitetn x ϕ(t), niin f(x) f(ϕ(t)), dx ϕ (t) dt,, b α, β, missä α j β määräytyvät ehdoist ϕ(α) j ϕ(β) b. 7

132 Esimerkki 7.3. Osoitetn, että π sin n x dx π cos n x dx (n Z + ). Sijoitetn x ϕ(t) π t, jolloin dx ( ) dt j ϕ(t) t π, ϕ(t) π t. Kosk sin ( π t) cos t kikill t [, π ], niin π sin n x dx π sin n ( π t) ( ) dt π π π π sin n ( π t) dt sin n ( π t) dt cos n t dt cos n x dx. Esimerkki 7.4. Määritetään Sijoitetn x ϕ(t) t, jolloin 4 x + x dx. j dx ϕ (t) dt t dt ϕ(t) t t (lrj), ϕ(t) t 4 t (ylärj). Rjoiksi olisi voitu vlit myös j, mutt tällöin lskut olisivt olleet hnklmpi kuin tässä. 8

133 Siis 4 x + x dx t + t dt t t t + t dt t + dt / log (t + ) (log 3 log ) log 3. Lskettess määräämätöntä integrli sijoitusmenetelmällä pitää integrointirjojen vihtmisen sijst siirtyä integroinnin jälkeen tkisin lkuperäiseen muuttujn. Tämän mhdollistmiseksi on oletettv sijoitettvn funktion ϕ(t) käänteisfunktion olemssolo. Käänteisfunktio on olemss, jos sijoitettv funktio on esimerkiksi surjektio j idosti monotoninen. Luse 7.. Olkoon funktio f : I R jtkuv j ϕ: I I funktio, jok toteutt ehdot Tällöin (i) ϕ j ϕ ovt jtkuvi välillä I, (ii) ϕ(i ) I, (iii) ϕ on idosti monotoninen välillä I. f(x) dx [ ] f(ϕ(t)) ϕ (t) dt, t ϕ (x) missä merkintä [... ] t ϕ (x) trkoitt pluut lkuperäiseen muuttujn. Todistus. Olkoon F funktion f integrlifunktio välillä I. Tällöin F (x) f(x) j (7.4) f(x) dx F (x) + C. 9

134 Kosk f(ϕ(t)) ϕ (t) on jtkuv välillä I, niin sillä on integrlifunktio tällä välillä. Yksi integrlifunktio on F (ϕ(t)), sillä yhdistetyn funktion derivointisäännön nojll Siis välillä I (7.5) d dt F (ϕ(t)) F (ϕ(t)) ϕ (t) f(ϕ(t)) ϕ (t). f(ϕ(t)) ϕ (t) dt F (ϕ(t)) + C. Ehdon (iii) nojll funktio ϕ: I I on injektio j ehdon (ii) nojll se on surjektio. Siis ϕ on bijektio, joten sillä on käänteisfunktio ϕ : I I, t ϕ (x). Sijoittmll tämä käänteisfunktio kvn (7.5) sdn [ ] (7.6) f(ϕ(t)) ϕ (t) dt F (ϕ(ϕ (x))) + C F (x) + C. t ϕ (x) Väite seur nyt ehdoist (7.4) j (7.6). Huomutus 7.. Jos lusett 7. käytettäessä sijoitetn x ϕ(t), niin f(x) f(ϕ(t)), dx ϕ (t) dt. Pluu lkuperäiseen muuttujn tphtuu sijoittmll t ϕ (x). Esimerkki 7.5. Määritetään e kx dx (k ). Sijoitetn x t (k ), jolloin k Siis [ e kx dx e t ] k dt tkx dx ϕ (t) dt k dt, t ϕ (x) kx. [ k ] [ e t dt tkx k et + C] tkx k ekx + C. Tvoitteen on tietysti ollut sijoitus kx t. Tästä sitten on rtkistu vrsininen sijoitus. Menettely on vrsin yleinen (ks. huomutus 7.6, s. 34). 3

135 Integroitv funktio pyritään sijoituksen vull usein sttmn muotoon, jost integrointi voidn jtk muill menetelmillä, esimerkiksi osittisintegroinnill ti tekemällä toinen sijoitus. Hyvä tvoite on myös muunt tehtävä rtionlifunktion integroinniksi, sillä rtionlifunktioiden integrointi koskevss luvuss tulln näkemään, että rtionlifunktioiden integrointiin on olemss selkeä menettely. Esimerkki 7.6. Olkoon x >. Määritetään (vrt. huomutus 7.4, s. ) Sijoitetn x x dx. ( t + ), jolloin dx ( ) dt j t t x ( t + ) t x t + t t xt + t x ± 4x 4 t x ± x, jost vlitn käänteisfunktioksi lskennllisesti yksinkertisempi t x + x. Tällöin x t x t ( ), t joten [ x dx (t ) ( ) ] dt t t [ ] t t t dt t t x+ x [ t dt ] t x+ x t x+ x [ log t + C ] t x+ x log x + x + C. Funktio r cosh x log ( x + x ) on hyperbolisen kosinin cosh x ex +e x käänteisfunktio, kun x. 3

136 Esimerkki 7.7. Määritetään Sijoitetn x log(t ). Tällöin e x 4 + (e x + ) dx. t e x + j dx t dt. Muokkmll syntynyttä lusekett j käyttämällä yhdistetyn funktion j rkustngentin derivointikvoj sdn e x [ t 4 + (e x + ) dx 4 + t t ]t dt e x + [ 4 + t ]t dt e x + [ + ( t ) dt [ rc tn t + C ] ] t e x + t e x + rc tn ex + + C. Huomutus 7.. Jos integroitv funktio on muoto f(g(x)) g (x), knntt usein tehdä sijoitus t g(x) eli x g (t). Tällöin käänteisfunktion derivointisäännöstä seur, että (g ) (t) g (x), joten termiksi g (x) dx sdn Siis g (x) dx g (x) (g ) (t) dt g (x) f(g(x)) g (x) dx [ dt dt. g (x) ] f(t) dt. t g(x) Jos funktio f on helppo integroid, integrointitehtävä on käytännössä rtkistu. Muuss tpuksess joudutn vielä miettimään jtko. 3

137 Huomutus 7.3. Jos huomutust 7. käytettäessä sijoitetn t g(x), niin f(g(x)) f(t), g (x) dx dt. Pluu lkuperäiseen muuttujn tphtuu sijoittmll t g(x). Esimerkki 7.8. Määritetään cos x sin 3 x dx. Sijoitetn t sin x (eli x rc sin t), jolloin dt cos x dx. Siis cos x sin 3 x dx (sin x) 3 cos x dx [ ] t 3 dt t sin x [ ] t C t sin x 4 sin4 x + C. Trksti otten tulos on voimss vin relilukuväleillä, joill sijoitettv funktio on bijektio j sen derivtt on jtkuv. Derivoimll tulokseksi stu luseke kuitenkin hvitn, että tulos pätee millä thns relilukuvälillä. Huomutus 7.4. Esimerkissä 7.8 sijoitussääntöä voitiin käyttää vin ploittin, mutt toislt derivoimll voitiin osoitt, että stu tulos on voimss millä thns relilukuvälillä. Menettelyä voidn käyttää yleisestikin, mutt on in syytä oll trkkn, että sijoitettv funktio täyttää käytettävältä sijoitusluseelt vdittvt oletukset. Huomutus 7.5. Esimerkin 7.8 tulos stiin jo iemmin esimerkissä 7.3 (s. 9) käyttämällä yhdistetyn funktion integrointisääntöä sekä potenssin j sinin derivointikvoj. Sijoitussäännöllä integroitv funktio stiin nyt niin yksinkertiseen muotoon, että sen integrointi onnistui ilmn kyseisiä sääntöjäkin. 33

138 Huomutus 7.6. Sijoitus t g(x) (eli x g (t)) knntt usein myös, kun integroitv funktio on muodon f(g(x)) g (x) sijst esimerkiksi muoto f(g(x)). Tällöin integroitv funktio stt yksinkertistu j sopiv jtkomenetelmä on ehkä helpompi löytää. Sijoituksen toimivuus riippuu pljolti termistä sillä nyt dx (g ) (t) dt, f(g(x)) f(t), dx (g ) (t) dt. Esimerkki 7.9. Määritetään cos 6x dx. Sijoitetn t 6x. Tällöin x t 6 j dx dt. Siis 6 cos 6x dx [ [ 6 cos t 6 dt ]t 6x ] cos t dt t 6x [ 6 sin t + C ] t 6x sin 6x + C. 6 Sijoitussääntöä voidn esimerkin 7.9 tpn käyttää yleisestikin yhdistetyn funktion derivointisäännön sijst. Esimerkiksi sijoittmll t x + b ( ) sdn [ ] f(x + b) dx f(t) dt, t x+b jolloin lusekett f(t) integroitess ei trvitse huomioid sisäfunktion x + b derivtt (vrt. esimerkki 7.4, s. 9). Yksinkertisiss tpuksiss yhdistetyn funktion derivointisäännön käyttö lienee kätevämpää, mutt mutkikkiss tpuksiss esimerkiksi sisäfunktion derivtn hhmottminen stt oll vike. Tällöin sopiv sijoitus voi yksinkertist tilnnett rtkisevsti. 34

139 Huomutus 7.7. Huomutuksiss 7. j 7.6 esiintyville funktioille käytetään usein sijoitust t g(x) myös lskettess määrättyä integrli sijoitussäännön vull. Jos tällöin sijoitetn t g(x), niin f(g(x)) f(t), g (x) dx dt, g() α, g(b) β. Usein muodostetn sekä t g(x) että x g (t), jolloin sijoitust suoritettess voidn vlit lskennllisesti yksinkertisimmt lusekkeet (esimerkiksi dx (g ) (t) dt säännön g (x) dx dt sijst). Tällöin on tietysti edellytettävä käänteisfunktion g olemssolo. Esimerkki 7.. Määritetään π + sin x dx. Sijoitetn t x, jolloin lrjksi sdn j ylärjksi Kosk x t +, niin dx t dt. Siis (π + ) π. π + sin x dx π π sin t t dt t sin t dt. Osoittisintegroinnill sdn nyt helposti (ks. esimerkki 7.7, s. 3) π t sin t dt / π ( t cos t + sin t) (( π cos π + sin π) ( cos + sin )) ((π + ) ( + )) π. 35

140 7.4 Rtionlifunktiot Polynomit voidn integroid helposti potenssifunktion integrointikvojen vull (ks. huomutus 7., s. 7). Myös rtionlifunktioiden R(x) P (x) Q(x), missä P (x) j Q(x) ovt polynomej, määräämätön integrli voidn in esittää lkeisfunktioit käyttäen. Tietysti on oletettv, että Q(x) integrointivälillä. Rtionlifunktioiden integrointi on käsitelty jonkin verrn jo iemmiss luvuiss. Huomutuksess 7. (s. 7) esitettiin rtionlifunktioiden x j + x integrointikvt. Esimerkissä 7.4 (s. 9) yleistettiin näistä ensimmäinen tpukseen x + b j esimerkissä 7.7 (s. 3) trksteltiin jälkimmäisen yleistystä osn ljemp integrointiketju. Lisäksi esimerkissä 7.9 (s. 4) määritettiin putuloksen x + x dx j esimerkissä 7. (s. 5) johdettiin osittisintegrointi käyttäen plutuskv funktion ( + x ) dx (n Z +) n integrlille. Rtionlifunktioiden integrointi plutuu suurelt osin yllä esitettyjen funktioiden integrointiin Yksinkertisi tpuksi Trkstelln luksi muutm yksinkertist esimerkkiä. Esimerkki 7.. Määritetään x + dx. Jos, niin käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä j rkustngentin derivointikv sdn x + dx + ( x dx ) rc tn x + C. 36

141 Jos ts, niin Tällöin x + dx x + x (x ). x dx ( ) x dx x + C x + C kikill niillä väleillä, jotk eivät sisällä pistettä x. Esimerkki 7.. Määritetään x dx. Jos, niin kyseessä on sm funktio kuin esimerkissä 7.. Jos ts, niin x (x )(x + ) ( x ) x + ( x ). Käyttämällä logritmin integrointikv (j yhdistetyn funktion derivointisääntöä) sdn tällöin x dx ( x ) dx x + (log x log x + ) + C x log x + + C kikill niillä väleillä, jotk eivät sisällä pistettä x ti x. Esimerkki 7.3. Määritetään (x + )(x + b) dx. Jos b, niin vstvsti kuin esimerkissä 7. sdn ( (x + )(x + b) dx b x + ) dx x + b (log x + log x + b ) + C b x + log b x + b + C kikill niillä väleillä, jotk eivät sisällä pistettä x ti x b. 37

142 Jos ts b, niin Tällöin (x + )(x + b) (x + ) (x ). (x + )(x + b) dx (x + ) dx ( ) (x + ) dx x + + C kikill niillä väleillä, jotk eivät sisällä pistettä x Neliöinti Trkstelln rtionlifunktiot R(x) Q(x), missä Q(x) x + px + q on jokin toisen steen polynomi. Jos polynomill Q on relijuuri, niin rtionlifunktion R integrointi plutuu esimerkkiin 7.3. Olkoon siis p 4q <. Tällöin rtionlifunktio R sdn integroitu neliöimällä polynomi Q. Neliöinti trkoitt nyt, että polynomi Q muunnetn muotoon Q(x) vkio ((P (x)) + ), missä P on ensimmäisen steen polynomi. Tällöin R voidn integroid käyttämällä rkustngentin derivointikv j yhdistetyn funktion derivointisääntöä. Merkintöjen yksinkertistmiseksi käytetään lyhennysmerkintää Kosk p 4q <, niin D >. D q p 4. 38

143 Siis x + px + q dx (x + px + p p ) + (q ) dx 4 4 (x + p ) + (q p ) dx 4 (x + p ) + D dx D ( x+ p ) dx D + D D + ( x+ p ) dx D D rc tn x + p D + C rc tn x + p + C. 4q p 4q p Esimerkki 7.4. Määritetään x x + dx. Käytetään neliöintiä (sekä rkustngentin derivointikv j yhdistetyn funktion derivointisääntöä). Siis x x + dx (x x + ) + 3 dx 4 4 (x ) + 3 dx ( x 3 4 ) dx ( ) dx x rc tn x 3 + C. 39

144 7.4.3 Osmurtokehitelmä Trkstelln sitten rtionlifunktioiden integrointi yleisesti (oletten ts, että Q(x) integrointivälillä). Rtionlifunktio R(x) P (x) Q(x) (P, Q polynomej) voidn in esittää muodoss R(x) P (x) + P (x) Q(x) (P, P, Q polynomej), missä polynomin P ste on pienempi kuin polynomin Q ste. Polynomi P voidn integroid helposti käyttäen polynomin derivointikvoj. Termi P /Q puolestn voidn integroid käyttäen osmurtoj A (x ), Bx + C (k Z k (x + px + q) k +, A, B, C R), missä polynomit x j x + px + q ovt polynomin Q lkutekijöitä. Alkutekijä trkoitt, että polynomill x + px + q ei ole relijuuri eli kikill x R (j p 4q < ). x + px + q > Trvittvt osmurrot riippuvt polynomist Q seurvsti. Olkoon polynomin Q jko lkutekijöihin relijuuret muut juuret {}}{{}}{ Q(x) (x ) k... (x n ) kn (x + p x + q ) l... (x + p m x + q m ) lm, missä R, k i Z + j i R kikill i,,..., n sekä l j Z + j p j, q j R (j p j 4q j < ) kikill j,,..., m. Tällöin jokinen k-kertinen tekijä (x ) k tuott termit A x + A (x ) + + A k (x ) k j jokinen l-kertinen tekijä (x + px + q) l tuott termit B x + C x + px + q + B x + C (x + px + q) + + B lx + C l (x + px + q) l. Yllä kertoimet A, A,..., A k, B, B,..., B l j C, C,..., C l ovt relilukuj. 4

145 Luvuss osoitetn, että osmurrot voidn in integroid j sdut integrlit ovt lkeisfunktioit. Näin ollen myös rtionlifunktioiden integrlit voidn in esittää lkeisfunktioiden vull. Yllä olev menettely yhdessä osmurtojen integroinnin knss nt myös menetelmän, joll rtionlifunktiot sdn integroitu. Edellytyksenä on vin, että polynomi Q pystytään jkmn lkutekijöihin. Menettelyn huono puoli on, että siinä on vrsin pljon lskutoimituksi. Algoritmin tpn esitettynä menettely on seurv.. Esitetään rtionlifunktio muodoss, joss nimittäjän steluku on suurempi kuin osoittjn.. Jetn nimittäjä (relikertoimisiin) lkutekijöihin. 3. Muodostetn osmurtokehitelmä. 4. Integroidn osmurrot j kohdss stu polynomi. Osmurtojen integrointi trkstelln luvuss Esimerkki 7.5. Jetn rtionlifunktio R(x) osmurtoihin. Jos x j x, niin Siis x(x ) (x, ) x(x ) A x + A x + A 3 (x ) kikill x j x. A (x ) + A x(x ) + A 3 x A x A x + A + A x A x + A 3 x (A + A )x + ( A A + A 3 )x + A A + A, A A + A 3, A A, A j A 3. x(x ) x x + (x ) 4

146 Huomutus. Osmurtokehitelmän muodostmisess on mont lskutoimitust, joten stu tulos knntt in trkist. Kosk x x + (x ) x(x ) + x (x ) x(x ) niin esimerkin 7.5 tulos on oikein. x x + x + x + x x(x ) x(x ), Osmurtojen integrointi Osmurtojen integrointi sujuu seurvsti. Tyyppi. Käyttämällä logritmin integrointikv sdn A dx A log x + C x kikill väleillä, jotk eivät sisällä pistettä x. Tyyppi. Kun k, 3,..., niin käyttämällä potenssin integrointikv (j yhdistetyn funktion derivointisääntöä) sdn A (x ) dx A k k + C (x ) k kikill väleillä, jotk eivät sisällä pistettä x. Tyyppi 3. Trkstelln kolmnneksi osmurto Aluksi hvitn, että (7.7) Bx + C x + px + q. Bx + C x + px + q B ( x + p x + px + q + C Bp ) x + px + q. Yhtälön (7.7) oiken puolen ensimmäinen termi sdn integroitu käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä j logritmin derivointikv. Kosk nyt x + px + q x + px + q, Merkitään integrointivkiot nyt symbolill C. 4

147 niin B x + p x + px + q dx B log (x + px + q) + C. Yhtälön (7.7) oiken puolen jälkimmäinen termi sdn integoitu käyttämällä luvuss 7.4. esitettyä neliöintiä. Siis ( C Bp ) ( x + px + q dx C Bp ) rc tn x 4q p Tyyppi 4. Trkstelln lopuksi osmurto Bx + C (x + px + q) k, missä k. Vstvsti kuin edellä hvitn, että (7.8) Bx + C (x + px + q) B ( k x + p (x + px + q) + C Bp k ) + p 4q p + C. (x + px + q) k. Yhtälön (7.8) oiken puolen ensimmäinen termi sdn integroitu käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä j potenssin derivointikv. Siis B x + p (x + px + q) k dx B k (x + px + q) k + C. Yhtälön (7.8) oiken puolen jälkimmäinen termi (x + px + q) k sdn integroitu neliöimällä ensin nimittäjässä olev polynomi j käyttämällä sitten esimerkissä 7. (s. 5) johdettu plutuskv. Neliöinnin (ks. luku 7.4.) tuloksen (( x + p ) ) x + px + q D +, D missä D q p 4. Ennen esimerkin 7. plutuskvn käyttöä on siis vielä sijoitettv t x + p. D 43

148 Huomutus. Rtionlifunktion integrli voidn in lusu käyttäen rtionlifunktioit, logritmi j rkustngentti. Huomutus. Kosk yllä esitetyt integrointitulokset ovt monimutkisi, ei niitä knnt opetell ulko. Sen sijn knntt opetell menetelmät, joill tulokset johdettiin. Esimerkki 7.6. Esimerkin 7.5 j perusintegrointisääntöjen nojll x(x ) dx x dx x dx + (x ) dx log x log x + ( ) log x log x x + C kikill väleillä, jotk eivät sisällä noll ti ykköstä. Esimerkki 7.7. Olkoon x. Määritetään : Ensimmäiseksi hvitn, että x 3 + x 3 + dx. x 3 + x 3 + (x3 + ) + x 3 + missä polynomiosn integrliksi sdn helposti dx x + C. + x 3 +, x + C : Rtionlifunktion x 3 + integroiminen loitetn etsimällä polynomin x 3 + lkutekijät, joiksi sdn missä x x + > kikill x R. x 3 + (x + )(x x + ), 44

149 3 : Tämän jälkeen muodostetn rtionlifunktion x 3 + (x + )(x x + ) osmurtokehitelmä. Kosk (x + )(x x + ) A x + + A x + A 3 x x + A (x x + ) + A x (x + ) + A 3 (x + ) A x A x + A + A x + A x + A 3 x + A 3 (A + A )x + ( A + A + A 3 )x + (A + A 3 ) A + A, A + A + A 3, A + A 3 niin osmurtokehitelmäksi sdn A 3, A 3 j A 3 3, x x + + x x x + 3 x + 3 x x x +. 4 : Sdun lusekkeen ensimmäinen termi on helppo integroid, sillä 3 Jäljelle jäävän integrlin x + dx 3 määrittämiseksi hvitn, että (7.9) 3 x x x + (x ) 3 x x + x + dx log x + + C. 3 x x x + dx x x x + 3 x x +. Tässä viimeisen lusekkeen ensimmäinen termi voidn integroid käyttämällä logritmin derivointikv j yhdistetyn funktion derivointisääntöä. Siis x x x + dx log x x + + C 45

150 j edelleen x x x + dx log (x x + ) + C, sillä x x + >. Yhtälön (7.9) viimeisen lusekkeen jälkimmäinen termi voidn integroid hyödyntämällä esimerkkiä 7.4 (s. 39), jolloin 3 x x + dx 3 rc tn x + C rc tn x 3 + C. Yhdistämällä tulokset sdn ( x 3 x x + dx 3 log (x x + ) 3 rc tn x ) + C 3 j edelleen x 3 + x 3 + dx 6 log (x x + ) + rc tn x + C 3 3 dx + 3 x + dx 3 x x x + dx x + 3 log x + 6 log (x x + ) + rc tn x + C 3 3 x + 6 (x + ) log x x + + rc tn x + C 3 3 kikillä väleillä, jotk eivät sisällä pistettä x. 46

151 7.5 Trigonometriset funktiot Trigonometrin perusfunktioiden (sini, kosini, tngentti j kotngentti) integrointikvt esitettiin luvuss 7. (huomutus 7., s. 7, j esimerkki 7.5, s. ). Lisäksi yhdistetyn funktion derivointikv, osittisintegrointi j sijoitussääntöä käyttämällä iemmiss luvuiss johdettiin joitkin yksinkertisi tuloksi trigonometristen funktioiden integrleille, ks. esimerkit 7. j 7.3 (s. 9), 7.7 (s. 3), 7. (s. 4), 7.3 (s. 8) j (s ). Tutkitn nyt yksityiskohtisemmin trigonometristen funktioiden integrointi Sijoitusmenetelmä Trkstelln luksi sijoitust x rc tn t, jolloin (7.) t tn x Käyttämällä trigonometrin peruskvoj j dx + t dt. hvitn, että tn x sin x cos x j sin x + cos x (7.) + t + tn x cos x cos x + sin x cos x cos x cos x + sin x cos x j (7.) t + t t Käyttämällä nyt kvoj + t tn x cos x sin x cos x sin x. cos x sin x sin x cos x j cos x cos x sin x sdn yhtälöiden (7.) j (7.) nojll sin x sin x cos x sin x cos x j yhtälöiden (7.) j (7.) nojll cos x t + t t + t cos x cos x sin x + t t + t t + t. Voidn siis esittää seurv huomutus. 47

152 Huomutus 7.8. Muoto R(sin x, cos x) olevn funktion, missä R on rtionlifunktio, integrointi voidn plutt rtionlifunktion integroinniksi tekemällä sijoitus x rc tn t, jolloin t tn x t t, sin x, cos x j dx + t + t + t dt. Huomutus 7.9. Jos ϕ(t) rc tn t, niin ϕ(r) ] π, π[. Huomutuksen 7.8 sijoitus on siis ilmn lisäperusteluj voimss vin välin ] π, π[ osväleillä (ks. luse 7., s. 9). Tietysti edellytyksenä on myös, että R(sin x, cos x) on jtkuv kyseisellä välillä. Esimerkki 7.8. Määritetään sin x dx. Tekemällä huomutuksen 7.8 sijoitus x rc tn t sdn sin x dx [ ] t + t dt +t [ ] dt t t tn x t tn x [ log t + C ] t tn x log tn x + C. Sijoitussäännön nojll tulos on voimss niillä välin ] π, π[ osväleillä, jotk eivät sisällä pistettä x. Stu tulos derivoimll hvitn, että tulos pätee kikill niillä väleillä, jotk eivät sisällä pistettä x kπ (k Z). 48

153 Esimerkki 7.9. Määritetään π + cos x dx käyttämällä huomutuksen 7.8 sijoitust x rc tn t. Tällöin + cos x + t + t + t + t + t Kosk t tn x, niin rjoiksi sdn Siis x t tn (lrj), x π t tn π 4 (ylärj). + t. π dx + cos x + t dt +t dt / t. Huomutus. On syytä oll trkkn, että sijoitettv funktio täyttää vdittvt oletukset. Esimerkki 7.3. Määritetään π 5 3 cos x dx. Sijoitetn x rc tn t määräämättömään integrliin, jolloin (ks. huomutus 7.8) dx + t dt j 5 3 cos x 5 3 t + t 5 + 5t 3 + 3t + t + 8t + t. 49

154 Siis 5 3 cos x dx [ [ +8t +t ] + 4t dt + t dt t tn x ] + (t) dt [ rc tn t + C ] t tn x t tn x t tn x joten π 5 3 cos x dx Tämä ei kuitenkn ole mhdollist, sillä kosk kikill x [, π], niin π rc tn ( tn x ) + C, π / rc tn ( tn x ). 5 3 cos x cos x dx π 8 dx π 4. Virhe johtuu nyt siitä, että sijoitettu funktio ϕ(t) rc tn t ei täytä luseen 7. (s. 9) oletuksi välillä [, π] (ks. huomutus 7.9). Huomutus. Huomutuksen 7.8 sijoituksell joudutn usein melko mutkikkisiin lskuihin. Siksi on joisskin yksinkertisiss tpuksiss helpompi käyttää muit menetelmiä. Huomutus. Usein tulokseen joht myös jokin huomutuksen 7.8 sijoitust yksinkertisempi sijoitus. Esimerkiksi tyyppiä R(tn x) olevn funktioon voidn sijoitt t tn x. Tällöin x rc tn t j dx + t dt, joten tulokseksi sdn rtionlifunktio R(t) + t. 5

155 7.5. Integroitvn muokkus Yksinkertisiss tpuksiss selvitään trigonometrin peruskvoill. Tällöin on huomttv, että tuloksen esitysmuoto voi riippu käytetystä menettelystä. Myös integrointivkion rvo voi riippu käytetystä integrointimenetelmästä. Esimerkki 7.3. Määritetään sin x cos x dx. Kosk sin x sin x cos x, niin käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä j kosinin derivointikv sdn sin x cos x dx sin x cos x dx sin x dx 4 ( sin x) dx cos x + C. 4 Toislt esimerkissä 7. (s. 4) stiin plutuskvmenettelyllä sin x cos x dx sin x + C. Tulokset näyttävät erilisilt, mutt kosk (7.3) cos x sin x, niin 4 cos x + C 4 ( sin x) + C sin x + C 4. Siis tulokset erovt vin integrointivkion oslt. 5

156 Esimerkki 7.3. Kvn (7.3) nojll sin x ( cos x). Kun, niin käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä j perusderivointikvoj sdn sin (x) dx ( cos(x) ) dx 4 cos(x) dx x sin(x) + C. 4 Esimerkki Kun n Z +, niin esimerkin 7.3 perusteell π π sin (nx) dx / π π ( x 4n sin(nx) ) {}}{{}}{ ( ) ( π sin(nπ) π ) 4n sin( nπ) 4n π + π π. Vähänkin hnkmmiss tpuksiss trigonometrin kvojen soveltminen vtii yleensä ik pljon työtä. Yksi tvoite on muokt integroitv funktio muotoon f(cos x) sin x ti f(sin x) cos x. Jos funktio f on helppo integroid, voidn tällöin sovelt suorn yhdistetyn funktion derivointikv. Mutkikkmmiss tpuksiss voidn sijoitt t cos x ti t sin x j jtk integrointi näin sdull funktioll. 5

157 Esimerkki Määritetään sin x cos 3 x dx. Muunnetn integroitv funktio ensin muotoon f(sin x) cos x käyttämällä kv sin x + cos x, tehdään sitten sijoitus t sin x (jolloin dt cos x dx), integroidn näin stu rtionliluseke j pltn lopuksi lkuperäiseen muuttujn. Siis sin x cos 3 x dx cos x {}}{ sin x ( sin x) cos x dx [ [ [ t 3 ] t ( t ) dt t sin x ] (t t 4 ) dt t sin x 3 t5 5 + C ] t sin x sin3 x 3 sin5 x 5 + C. Derivoimll hvitn, että tulos on voimss kikill relilukuväleillä Plutuskv Yksi mhdollisuus on osittisintegrointi j sen vull johdetut plutuskvt. Tästä oli jo esimerkki osittisintegrointi käsittelevässä luvuss (esimerkki 7., s. 4). All vielä lisäesimerkki. Esimerkki Määritetään plutuskvmenettelyä käyttäen I n π cos n x dx (n N). Kun n, niin käyttämällä osittisintegrointi j kv sin x + cos x 53

158 sdn Siis Edelleen j Siis I n π π cos n x dx cos n x cos x dx {, kun n }} { π / cos n x sin x + (n ) (n ) π π π (n ) cos n x ( sin x) sin x dx cos n x sin x dx cos n x ( cos x) dx (n ) I n (n ) I n. I π I n n n cos x dx I π / I n, kun n. π dx π I π, I π,..., I n sin x sin π sin. I 3 3 3, I ,..., I n (n ) 4... n π, 4... n (n + ). Voidn myös helposti osoitt (ks. esimerkki 7.3, s. 8), että π sin n x dx π cos n x dx I n. 54

159 7.6 * Algebrlliset funktiot Luvuss 7.4 todettiin, että rtionlifunktion määräämätön integrli voidn in esittää lkeisfunktioiden vull. Algebrllisten funktioiden oslt tämä ei vlitettvsti pidä pikkns. Ei myöskään ole olemss yhtenäistä menetelmää, jonk vull lgebrllisi funktioit voitisiin yleisesti integroid. Algebrllisten funktioiden integrointi on käsitelty jonkin verrn iemmiss luvuiss. Huomutuksess 7. (s. 7) esitettiin funktion x integrointikv j esimerkissä 7.6 (s. ) kyseinen kv yleistettiin. Funktioiden x + j x integrointi käsiteltiin huomutuksess 7.4 (s. ) j esimerkissä 7.6 (s. 3). Lisäksi esimerkissä 7.4 (s. 8) lgebrllisen funktion integrointi plutettiin sopivll sijoituksell rtionlifunktion integroinniksi. Vstv menettelyä käytettiin itse siss myös esimerkissä 7.6. Trkstelln seurvksi muutmi yksinkertisi tpuksi, jolloin irrtionlifunktioiden integrointi voidn sopivll sijoituksell plutt rtionlifunktioiden ti trigonometristen funktioiden integrointiin. Menettelyt ovt tietysti sovellettviss vin, jos funktiot täyttävät kikki sijoitusmenettelyltä vdittvt ehdot. Merkintä R( ) huomutuksiss trkoitt rtionlifunktiot R. Huomutus 7.. Jos niin muoto g(x) n x + b cx + d, R(x, g(x)) dx olev integrli voidn plutt rtionlifunktion integroinniksi sijoituksell sillä tällöin t g(x) n x + b cx + d, x b dtn ct n j dx (d bc) ntn (ct n ) dt. 55

160 Huomutus 7.. Jos huomutuksess 7. on c j d, niin t g(x) n x + b, jolloin x tn b j dx n tn dt. Esimerkki Määritetään (x ) dx (x >, x ) x + käyttämällä huomutuksen 7. sijoitust. joten Nyt (x ) x + dx t x +, x t j dx t dt, [ ] t dt (t ) t t x+ [ ] dt t t x+ [ ( t ) ] t + dt t x+ [ ( log t log t + ) + C ] t x+ ( log x + log x + + ) + C x + log + C x + + kikill väleillä I ], [, jotk eivät sisällä pistettä x. 56

161 Esimerkki Olkoon x < ti x >. Muunnetn x x dx rtionlifunktion integroinniksi käyttämällä huomutuksen 7. sijoitust Tällöin j t t x x. x x t (x ) x x(t ) t x t t dx t(t ) t t (t ) Siis [ x ] x dx t t (t ) dt x t x t (t ) dt. [ t ] (t ) dt. x t x Tästä integrointi voidn jtk tekemällä osmurtokehitelmä ti ehkä kätevämmin käyttämällä ensin osittisintegrointi. Huomutus 7.. Muoto R ( x, x + bx + c ) olevss funktioss toisen steen polynomi voidn ensin täydentää neliöksi j sitten sijoitt neliöosksi muuttuj t. Tällöin päädytään johonkin muodoist R(t, t + α ), R(t, t α ) ti R(t, α t ). Näitä lusekkeit on yleensä helpompi integroid sopivll (esimerkiksi trigonometrisell) sijoituksell. Esimerkki Määritetään funktion 5 + 8x 4x kuvjn j x-kselin rjoittmn lueen pint-l välillä [, 5 ] eli A x 4x dx. Neliöimällä sdn 5 + 8x 4x 9 (4x 8x + 4) 9 (x ). 57

162 Tehdään nyt sijoitus t x, jolloin Rjoiksi sdn x t + j dx dt. Siis t (lrj) j t 5 3 (ylärj) x 4x dx 3 9 t dt 3 9 t dt. Tehdään stuun integrliin vielä sijoitus t 3 sin u, jolloin dt 3 cos u du. Rjoiksi sdn Käyttämällä kv sdn 3 sin u sin u u (lrj), 3 sin u 3 sin u u π (ylärj). 3 9 t dt Esimerkin 7.35 (s. 53) perusteell sin u + cos u π sin u 3 cos u du π π π cos u 9 ( sin u) du cos u cos u du cos u du. joten π cos u du π 4, A 9 π 4 9π 8. 58