Analyysi III S

Transkriptio

1 Anlyysi III S

2

3 Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot Ulkomitn konstruointi Lebesguen ulkomitt j mitt 16 Luku 2. Integroimisteori Topologisi peruskäsitteitä Mitlliset funktiot Lebesguen integrli yksinkertiselle funktiolle Integrli ei-negtiiviselle mitlliselle funktiolle Keskeiset rj-rvotulokset ei-negtiiviselle mitlliselle funktiolle Mitllisen funktion integrli Riemnnin integrli Integrlilskennn pääluse 38 Luku 3. Hilbertin vruudet Funktiovruudet Hilbert vruuden sovellus Sisätulovruudet Hilbertvruudet Projektioluse j Fréchet n Rieszin luse Hilbertin vruuden operttoreist Lebesgue vruuden L 2 ortonormli knt 67 Liite A. Metriset vruudet Metristen vruuksien perusominisuudet 72 3

4 Alkusnt Tämä luentomoniste ktt suurelt osin ne sit, joit Anlyyis III kurssill käydään läpi lken kevätlukukudest Sitten ensimmäisen pinoksen, vuonn 1999, kurssin sisältöön on joiltin osin tullut suurikin muutoksi. rityisesti Bnch vruuksien teori on suosioll jätetty erikoiskurssien, kuten Funktionli nlyysin, läpikäytäväksi. Sen sijn on linerist teori Hilbert vruudess käsittelevää os ljennettu j konkretisoitu, sisällyttämällä m.m. Fourier dekomposition teori. Tämä luentomoniste on jtkuvn kehittämisen tilss, j kikki plute siitä, miten esitys j sisältö olisi prnneltviss ovt tervetulleit. Oulu, Tmmikuu 2007, Peter Hästö Alkusnt, vuoden 1999 pinos Käsillä olev moniste on syntynyt kurssin Anlyysi III kevätlukukudell 1999 pidettyjen luentojen pohjlt. Viiden viime vuoden ikn kurssi on hkeutunut oheiseen muotoons sisältäen nlyysin perusteet metrisessä vruudess, normivruudess j Hilbertin vruudess sekä Lebesguen mitn j integrlin. Näin se pyrkii trjomn pohjtiedot mtemtiikn, sovelletun mtemtiikn, tilstotieteen j fysiklisten tieteiden syventäville opinnoille, mutt smll ntmn mhdollisimmn ljn ktsuksen nlyysin eri os-lueist ineenopettjiksi ikoville. Ansio siitä, että moniste nt luennoistni näinkin selkeän kuvn kuuluu Mrko Rint-holle j Jukk Timistolle, joille lusun prht kiitokseni. Linnnmll Ves Mustonen 4

5 sitietoj Kerrtn joukko-opin peruskäsitteet. Olkoon X perusjoukko. Tällöin P (X) on joukon X kikkien osjoukkojen joukko. Joukkojen A j B yhdiste on A B = {x X x A ti x B}, ja B = {x X x A j x B} on joukkojen A j B leikkus. Joukon A komplementti A = {x X x/ A}, sekä joukkojen A j B erotus A \ B = {x X x A, x / B} = A B. Olkoon I jokin indeksijoukko j {A i i I} perhe joukkoj, jolloin A i = {x i I s.e. x A i } j A i = {x x A i i I}. i I Hrjoitustehtävänä on todist De Morgnin lit: Olkoon {A i i I} perhe X:n osjoukkoj. Tällöin pätee: i I (1) (2) ( ) A i = A i, i I i I ( ) A i = A i. i I i I Olkoot A j B epätyhjiä joukkoj j f : A B kuvus (funktio). Tällöin f on surjektio,: jos f(a) =B, eli jokiselle b B on olemss sellinen A, että f() =b. injektio,: jos kikille 1, 2 A, 1 2,päteef( 1 ) f( 2 ). bijektio,: jos f on sekä surjektio, että injektio. Jos f : A B on bijektio, niin jokist b B kohti on olemss yksikäsitteinen A, jolle f() =b. Tällöin on olemss käänteiskuvus f 1 : B A,f 1 (b) =. Määritelmä. Joukoill A j B on sm mhtvuus, jos on olemss bijektio ψ : A B. Tätä merkitään A B. Helposti nähdään, että on ekvivlenssireltio kikkien joukkojen joukoss. simerkki. Olkoon A = {1, 2,...} = Z + j B = {1, 4, 9,...}, jolloin B A, mutt kuvus ψ(n) =n 2, n A, onbijektioa B. Siis joukot A j B ovt yhtä mhtvi. Määritelmä. Joukko A snotn äärelliseksi, josa {1, 2,..., m} jollkin m Z + = {1, 2, 3,...}. Joukko, jok ei ole äärellinen, on ääretön. Ääretön joukko on numeroituv, josa N = {0, 1, 2,...}, muutoin ylinumeroituv. Huomutus. Jos A on numeroituv, on olemss bijektio ϕ : N A. Tällöin joukon A lkiot voidn numeroid ts. sett jonoon ϕ(n) = n in, kun n =0, 1, 2,... simerkki. Hrjoitustehtävänä on osoitt, että Q on numeroituv. Osoitetn, että voin väli ]0, 1[ R ei ole numeroituv. Tehdään vstoletus: ]0, 1[ on numeroituv, eli välin luvut voidn sett järjestykseen l 1,l 2,... Olkoot l 1 =0, 1 b 1 c 1...,l 2 =0, 2 b 2 c 2...,... lukujen 5

6 l 1,l 2,... desimliesitykset. Vlitn sellinen reliluku y =0,bc..., että { { 1, jos 1 1, 1, jos b 2 1, = b = jne. 2, jos 1 =1, 2, jos b 2 =1, Tällöin y ]0, 1[, mutt y l i,i =1, 2,..., joten vstoletus on väärä. Siis väli ]0, 1[ ei voi oll numeroituv. Kosk ]0, 1[ on ylinumeroituv, on myös relilukujen joukon R oltv ylinumeroituv. Riemnn integroinnin rjt Aloitetn plutettmll mieleen Riemnn integrli määritelmä. Olkoon siis f : I R funktio, missä I =(x, y) on relikselin väli. Nousevlle jonolle x = z 0 <z 1 <...<z n = y määrittelemme l- j yläsummt φ ( ) (z i ) n i=0 = z i z i 1 inf f(z) j z (x i 1,x i ) Φ ( ) (z i ) n i=0 = z i z i 1 sup f(z). z (x i 1,x i ) Funktio f on Riemnn integroituv, jos sup φ ( (z i ) ) =infφ ( (z i ) ) (z i ) (z i ) y j tällöin f(z) dz on määritelmän mukn tämä yhteinen rvo. x Anlyysi I kurssill on todistettu m.m., että jtkuv funktio on Riemnn integroituv. Toislt, funktio voi oll integroituv, vikkei se ole jtkuv, kuten seurv esimerkki osoitt: Määritellään f :(0, 1) R kvll { 0, jos x [0, 1] \ Q f(x) = 1 jos x = n,n Z,m m m Z+, (n, m) =1. Tämä funktio on Riemnn integroituv, j sen integrli on 0. Tässä herää siis kysymys, mitkä funktiot trklleen otten ovt Riemnn integroituvi? Tähän kysymykseen sdn vstus yleisemmän teorin melkeinpä sivutuotteen. Käytetään vielä edellistä funktiot f funktiojonon (f i ) määrittelemiseksi seurvsti. Kun i 2 setetn f i (x) =min{if(x), 1}. Helposti nähdään, että myös 1 f 0 i(x) dx =0. Määritellään lisäksi f (x) = lim i f i (x). Tästä sdn, että { 0, jos x [0, 1] \ Q f(x) = 1 jos x [0, 1] Q. Tälle funktiolle yläsumm on in 1, jlsummin0. Näin ollen se ei ole Riemnn integroituv. rityisesti näemme, että seurv vrsin uskottv kv ei in päde Riemnn integrlille: lim i b f i (x) dx = b lim f i(x) dx, i eli integroinnin j rj-rvon oton järjestystä ei voi viht. Toinen koht päiväjärjestyksessä on siis sellisen integrlin määrittelemisen, jok käyttäytyy premmin rj-rvon ottmisen suhteen. 6

7 LUKU 1 Mittteori 1. Algebr j σ-lgebr Osoittutuu, että hyvä tp prnt integrlin toimivuutt, on ylä- j lsummn termin x i x i 1 yleistäminen. Tämä termi kertoo nnetun välin pituuden. Yleistämiside on, että tässä sllittisiinkin väliä yleisempi joukko. nsimmäinen ide sttisi oll slli välin sijn mielivltinen joukko. Tämä ei kuitenkn osoittudu toimivksi vihtoehdoksi, vn rjoittutuminen n.s. σ- lgebrn osoittutuu premmksi etenemistvksi. Tämä on siis se polku jot nyt lähdetään kulkemn, tvoitteen, prikymmentä sivu myöhemmin, uusi, prempi integrli. Määritelmä 1.1. Olkoon X joukko j P (X) sen kikkien osjoukkojen joukko. Perhe A P (X) on lgebr eli joukkolgebr, jos seurvt ehdot ovt voimss: (A1) A. (A2) Jos A A, niin A A. (A3) Jos A, B A, niin A B A. Huomutus. Jos A, B A j A on lgebr, niin myös A B A, sillä (A B) = (A B ). Vstvsti myös X A, sillä X = A. Jos tiedetään, että A, niin (A1) seur kohdist (A2) j (A3), sillä = A A A in, kun A A. Jos A 1,A 2,...,A n A, niin kohdn (A3) nojll A 1 A 2 A n A. Määritelmä 1.2. Olkoon X joukko. Perhe Γ P (X) on σ-lgebr, jos seurvt ehdot ovt voimss: (SA1) Γ. (SA2) Jos A Γ, niin A Γ. (SA3) Jos A i Γ in, kun i Z +, niin A i Γ. Huomutus. Olkoon Γ σ-lgebr. Jos A 1,A 2 Γ j A k = in, kun k 3, niin A 1 A 2 = A i Γ. Näin ollen jokinen σ-lgebr on lgebr. Jos A i Γ ovt mielivltisi, niin A i Γ, sillä (( ) ) ( ) A i = A i = A i Γ. simerkki. Olkoon X joukko. Joukko Γ={,X} on suppein mhdollinen, ns. trivili σ-lgebr. Joukko Γ=P (X) on ljin mhdollinen σ-lgebr. Jos X = Z + = {1, 2, 3,...}, niin Γ = {, {1, 3,...}, {2, 4,...}, Z + } on σ- lgebr. Olkoon X euklidinen vruus R n. Tällöin joukko A = {A X A voin} ei ole lgebr, eikä σ-lgebr, sillä yleensä A ei ole voin, jos A on voin. 7

8 8 1. MITTATORIAA Luse 1.3. Olkoot Γ i,i I, joukonxσ-lgebroj. Tällöin myös Γ= i I Γ i on σ-lgebr. Todistus. Selvästi Γ i in, kun i I, joten Γ. Jos A Γ, niin A Γ i jokisell i I. Siis A Γ i jokisell i I. Tällöin A Γ. Jos A 1,A 2,... Γ, niin A 1,A 2,... Γ i jokisell i I. Tällöin j=1a j Γ i in, kun i I, joten j=1 A j Γ. Seurus 1.4. Jos Δ P (X) on mielivltinen, niin joukoss P (X) on olemss suppein σ-lgebr, merkitään Γ Δ, johon Δ sisältyy (Γ Δ on joukon Δ virittämä σ-lgebr). Todistus. Joukko Γ Δ = {Γ Γ on σ-lgebr, jolle Δ Γ} P (X) on hluttu σ-lgebr. Määritelmä 1.5. Olkoon X metrinen vruus. Joukon A = {A X A voin} virittämää σ-lgebr snotn Borelin joukkoluokksi j sen joukkoj Borelin joukoiksi. Tätä merkitään B = B(X) =Γ A. simerkki. Olkoon X euklidinen vruus R n j S = {B R n B suljettu}. Tällöin Γ S =Γ A = B, sillä jos A A, niin A S. Kuitenkn kikki vruuden R n osjoukot eivät ole Borelin joukkoj. Trkstelln vielä erikoistpust X = R. Jokinen yksiö on Borelin joukko, sillä {x} =((,x) (x, )) in, kun x R. KoskQ on yksiöiden numeroituv yhdiste, niin Q j Q ovt Borelin joukkoj. 2. Mitt dellä olemme määritelleet sen joukkoperheen (σ-lgebr), joll hluisimme korvt Riemnn integrliss esiintyvät välit. Seurvksi pitää miettiä, miten korvmme tällisill joukoill termin x i x i 1, jok mittsi välin pituutt. Yleisemmin voimme puhu joukon koon mittmisest, j tämä tehdään luonnollisesti mitn vull. Se mitä on järkevältä mitt funktiolt vdittv, selviää tässä luvuss. Määritelmä 2.1. Olkoon Γ σ-lgebr joukoss X. Kuvustμ : Γ [0, ] snotn mitksi joukoss X, jos (M1) μ (A) 0 in, kun A Γ. (M2) μ ( ) =0. (M3) μ on numeroituvsti dditiivinen, eli ( ) μ A i = μ (A i ) in, kun A i Γ j A i A j = in, kun i j.

9 2. MITTA 9 Huomutus. Summ μ (A i) on in määritelty, mutt se voi oll +. htoon (M3) sisältyy ns. äärellinen dditiivisuus: ( p ) p μ A i = μ (A i ), missä A 1,...,A p Γ j A i A j = in, kun i j. Jos μ :Γ [0, ] toteutt ehdot (M1) j (M3) j jos μ (A) < jollekin A Γ, niin μ (A) =μ (A )=μ (A)+μ( ). Näin ollen μ ( ) =0. simerkki. Olkoon Γ={,X}, X. Asetetn μ ( ) =0j μ (X) =1, jolloin μ on mitt. Olkoon X = R n, x 0 R n nnettu piste j Γ=P (R n ). Osoitetn, että kuvus μ :Γ [0, ] μ (A) = { 1, jos x 0 A, 0, jos x 0 / A, on mitt. Selvästi μ (A) 0 in, kun A Γ. Lisäksiμ ( ) =0, sillä x 0 Olkoot nyt A 1,A 2,... R n erillisiä. Jos x 0 A i, niin ( ) μ A i =1= μ (A i ). Jos x 0 / A i, niin ( ) μ A i =0= μ (A i ). Siis μ on mitt. Huom, että μ ({x 0 })=1. Tätä mitt snotn Dircin δ- mitksi, jok on keskittynyt pisteeseen x 0, j sitä merkitään δ x0 := μ. Määritelmä 2.2. Olkoon X joukko, Γ P (X) σ-lgebr j μ :Γ [0, ] mitt. Jos μ (X) <, niin μ on äärellinen mitt. Jos on olemss selliset i Γ, että X = i j μ ( i ) < in, kun i Z +, niin μ on σ-äärellinen mitt. simerkki. Dircin mitt δ x0 on äärellinen, sillä δ(r n )=1. Mitt, jolle μ (X) = 1, snotn todennäköisyysmitksi. Olkoon X = {x i } j (p i) jono positiivisi lukuj. Asettmll 0, jos A =, μ : P (X) [0, ], μ(a) = p i, jos A, x i A /. sdn mitt. Tämä on ns. pinotettu lukumäärämitt, pinoin luvut p i.jos p i =1in, kun i Z +, niin μ on lukumäärämitt: { #A, jos A on äärellinen, μ (A) =, jos A on ääretön. Lemm 2.3. Olkoon Γ σ-lgebr joukoss X j (A k ) Γ jono joukkoj. Tällöin on olemss sellinen jono (B k ) Γ, että B k A k in, kun k Z +. Lisäksi B k B j = in, kun k j, j B k = A k. Todistus. Hrjoitustehtävä.

10 10 1. MITTATORIAA Luse 2.4. Olkoon μ :Γ [0, ] mitt joukoss X j olkoot A, B Γ. Tällöin seurvt ominisuudet ovt voimss: () Jos A B, niin μ (A) μ (B). (b) Jos A B j μ (A) <, niin μ (B \ A) =μ (B) μ (A). (c) Jos A i Γ kikill i Z +, niin μ ( A i) μ (A i) (ns. numeroituv subdditiivisuus). (d) Jos A 1 A 2... j A i Γ in, kun i Z +, niin μ ( A i) = lim μ (A i ). i (e) Jos A 1 A 2..., A i Γ in, kun i Z +,jμ(a k ) < eräällä k, niin μ ( A i ) = lim μ (A i ). i Todistus. () Jos A B, niin B = A (B A ), missä A Γ j B A Γ ovt erillisiä joukkoj. Tällöin mitn ominisuuksien (M3) j (M1) nojll ) μ (B) =μ (A)+μ (B A μ (A). (b) Jos A B j μ (A) <, niin edelläolevn nojll ) μ (B \ A) =μ (B A = μ (B) μ (A). (c) Olkoon (A i ) Γ. Lemmn 2.3 nojll on olemss jono sellisi erillisiä joukkoj (B i ) Γ, että B i A i in, kun i Z +,j A i = B i. Ominisuuden (M3) j luseen kohdn () nojll ( ) ( ) μ A i = μ B i = μ (B i ) μ (A i ). (d) Olkoon A 0 = j olkoot A 1 A 2..., missä A i Γ in, kun i Z +. Merkitään A = A i, jolloin A = (A i A i 1 ). Merkitään B i = A i A i 1. Tällöin joukot B i ovt erillisiä, joten μ (A) = ( j ) μ (B i ) = lim μ (B i ) j = lim μ (A j ). j (e) Olkoot A 1 A 2... (ks. kuv 1) j A i Γ in, kun i Z +. Olkoon lisäksi A... k+1 A k... A i Kuv 1. Joukot A i

11 3. ULKOMITTA JA MITALLIST JOUKOT 11 μ (A k ) < jollin k. Merkitään B i = A k A i kikill i k. Siis A i = A k Bi, j ( ) ( ) A i = A i = A k Bi = A k Bi i=k i=k ( ). = A k B i i=k Kosk B i B i+1 in, kun i k, on kohdn (d) nojll μ ( i=k B i) = lim μ (B i). delleen kohdn (b) nojll i ( ) ( ) μ A i = μ (A k ) μ B i i=k = μ (A k ) lim μ (B i )=μ(a k ) lim (μ (A k ) μ (A i )) i i = lim μ (A i ). i Huomutus. hto μ (A k ) < jollin k on oleellinen ylläolevss päättelyssä. 3. Ulkomitt j mitlliset joukot dellä olemme määritelleet joukot joit hluisimme integroinniss käyttää, sekä tp joll niiden koko hluisimme mitt. Ongelm on, että meillä ei toistiseksi ole käytössämme yhtään epätrivili mitt, joll voisi mitt esimerkiksi kikki Borel joukkoj. Sellisen konstruoimiseksi noudtmme seurv strtegi: määrittelemme heikommn tyypin mitn, niin snotun ulkomitn, j osoitmme, että siihen liittyy luonnollisell tvll σ-lgebr joll se on itse siss mitt. Määritelmä 3.1. Olkoon X joukko. Kuvust μ : P (X) [0, ] snotn ulkomitksi joukoss X, jos seurvt ehdot ovt voimss: (UM1) μ ( ) =0. (UM2) μ on monotoninen ts. μ (A) μ (B) in, kun A B. (UM3) μ on numeroituvsti subdditiivinen, eli ( ) μ A i μ (A i ). Jokinen mitt on myös ulkomitt, mutt ei kääntäen. Määritelmä 3.2. Olkoon μ ulkomitt joukoss X. Joukko X snotn mitlliseksi ulkomitn μ suhteen, eliμ -mitlliseksi, jos seurv, ns. Crthéodoryn ehto, on voimss: ( ) (3) μ (A) =μ (A )+μ A, in, kun A X. Joukko on siis mitllinen, jos se ei j mitään joukko niin huonoll tvll, että osien mittojen summ ei ole joukon mitt. Huomutus. Kosk μ on subdditiivinen j A =(A ) (A ), niin ( ) μ (A) μ (A )+μ A. i=k

12 12 1. MITTATORIAA Siis (3) on voimss, jos epäyhtälö (4) μ (A) μ (A )+μ ( A ) pätee. Jos A X j X ovt mielivltisi, niin μ (A )+μ ( A ) μ ()+μ (A). Jos lisäksi μ () =0, niin ehto (4) on voimss j on mitllinen. Näin ollen kikki joukot, joiden ulkomitt on noll, ovt mitllisi. simerkki. Joukot j X ovt μ -mitllisi, sillä ( ) ( ) μ (A) =μ (A )+μ A = μ (A X)+μ A X in, kun A X. Olkoon X epätyhjä joukko j μ (A) = { 0, jos A =, 1, jos A. Nyt X j ovt μ -mitllisi, joten olkoon X. Tällöin on μ -mitllinen, jos ehto (3) pätee, eli jos μ (A) =μ (A )+μ ( A ) in, kun A X. Sijoittmll A = X sdn ylläolev yhtälö muotoon 1=1+1, mikä on mhdotont. Siis ei ole μ -mitllinen. Olkoon X kuten edellä j määritellään ulkomitt μ seurvsti: { μ #A, jos A on äärellinen pistejoukko, (A) =, jos A on ääretön. Hrjoitustehtävänä on osoitt, että μ : P (X) [0, ] on ulkomitt j että kikki joukot X ovt μ -mitllisi. Seurvn lemmn voi todist induktioll. Todistus jätetään hrjoitukseksi. Lemm 3.3. Olkoot 1, 2,..., n erillisiä μ -mitllisi joukkoj. Tällöin ( μ A ( n )) ( i = μ A i ). kikille joukoille A X. Lemm 3.4. Olkoon μ ulkomitt joukoss X. Jos joukot 1,..., n X ovt μ -mitllisi, niin myös n i on μ -mitllinen. Todistus. Induktioperitteen nojll riittää osoitt väite, kun n =2. Olkoot siis 1, 2 Xμ -mitllisi j A X mielivltinen. Jos μ (A) =, niin ehto (4) on voimss joukolle 1 2 j väite pätee. Olkoon siis μ (A) <. Kosk A ( 1 2 )=(A 1 ) ((A 2 ) 1 j A ( 1 2 ) = A 1 2,

13 3. ULKOMITTA JA MITALLIST JOUKOT 13 niin ( ) μ (A ( 1 2 )) + μ A ( 1 2 ) ( ) ) μ (A 1 )+μ (A 1) 2 + μ ((A 1) 2 ) =μ (A 1 )+μ (A 1 = μ (A). Luse 3.5. Olkoon μ ulkomitt joukoss X j olkoon Γ={ P (X) on μ -mitllinen }. Tällöin Γ on σ-lgebr j ulkomitn μ rjoittum μ = μ Γ :Γ [0, ] on mitt. Todistus. Osoitetn ensin, että Γ on σ-lgebr. Kosk on in mitllinen, niin ehto (SA1) on voimss. Jos Γ j A X ovt mielivltisi, niin ( ) ( ) μ A + μ A ( ) ( ) = μ (A )+μ A = μ (A). Näin ollen Γ j ehto (SA2) on voimss. Lemmn 2.3 nojll riittää, että ehto (SA3) osoitetn erillisille joukoille. Olkoot 1, 2, Γ j A X. Merkitään n S n = i, in, kun n Z +. Lemmn 3.4 nojll S n Γ in, kun n Z +, j Lemmn 3.3 nojll ( μ (A S n )=μ A ( n )) i = μ (A i ). Kosk S n Γ, niin in, kun n Z +. Siis μ (A) =μ (A S n )+μ ( A (S n ) ) μ (A) = ( n ) ) μ (A i )+μ (A i ( ) ) μ (A i )+μ (A i ( ) ) μ (A i )+μ (A i ( ) ( ( ) ) μ (A i ) + μ A i ( )) ( ) = μ (A i + μ (A i ). Näin ollen ehto (4) on voimss joukolle i,eli i Γ.

14 14 1. MITTATORIAA Osoitetn vielä, että μ = μ Γ : Γ [0, ] on mitt. Riittää osoitt, että ehto (M3) on voimss, eli että μ on numeroituvsti dditiivinen. Olkoot 1, 2,... Γ erillisiä joukkoj. Kosk Lemmn 3.3 nojll ( n )) μ (A i = μ (A i ) in, kun A X, n Z +, niin vlitsemll A = n i sdn ( ) ( n ) μ i μ i = μ ( i ) in, kun n Z +. Siis ( ) μ i μ ( i ). Toislt μ on numeroituvsti subdditiivinen, joten myös epäyhtälö onedellisellä rivillä voimss, jost seur, että oikesti siinä pätee yhtäsuuruus, j näin ollen μ on mitt. 4. Ulkomitn konstruointi Tässä viheess stt jo tuntu itsensä toistmiselt sno, että osisimme mitt joukkoj hyvin mitll, jonk sisimme ulkomitst, jot meillä ei kuitenkn ole. Tässä kppleess näytämme, miten ulkomitn voi konstruoid vieläkin heikommst mittusvälineestä, esimitst. Määritelmä 4.1. Olkoon X joukko j K P (X) perhe joukon X osjoukkoj. Perhettä K snotn joukon X peiteluokksi, jos (P1) K. (P2) Jokiselle A X on olemss sellinen jono ( i ) K, että A i (ts. A voidn peittää perheen K joukoill). Kuvust λ : K [0, ], jolle λ ( ) =0, snotn esimitksi. simerkki. Olkoon X = R j K = { (, b) b}. Nyt =(, ) K j R = ] i, i[. Siis K on peiteluokk. Määritellään λ : K [0, ] settmll λ ((, b)) = b (välin pituus). Tällöin λ on esimitt. Olkoon X = R n, n 2, j määritellään { n K = ( i,b i )=( 1,b 1 ) ( 2,b 2 ) ( n,b n ) i b i }. Nyt K koostuu R n :n voimist väleistä n ( i,b i ). Lisäksi K on joukon R n peiteluokk, sillä R n = I j, missä I j =( j, j) ( j, j) =( j, j) n. j=1 Määritellään esimitt λ : K [0, ] geometrisen mittn: ( n ) n λ ( j,b j ) = (b i i ). j=1

15 4. ULKOMITAN KONSTRUOINTI 15 Kuv 2. Avruuden R 2 voin väli b b 1 Luse 4.2. Olkoon X joukko, K sen peiteluokk j λ : K [0, ] esimitt. Tällöin kuvus μ : P (X) [0, ], jolle { (5) μ } (A) =inf λ ( i ) A i j i K i, on ulkomitt. Todistus. Osoitetn ulkomitn määritelmän kohdt (UM1) (UM3). Nyt μ ( ) =0, sillä K j λ ( ) =0. Siis (UM1) pätee. Olkoot A B X. JosB i, missä i K jokisell i, niin selvästi myös A i. Tällöin μ (A) μ (B) j (UM2) pätee. Olkoot nyt A 1,A 2,... X j ε>0 mielivltinen. Infiniumin määritelmästä seur, että jos A X, niin jokist ε>0 kohti on olemss sellinen { i } K, että μ (A) λ ( i ) <μ (A)+ε. Nyt jokist i Z + kohti on olemss sellinen kokoelm ( (i) k ) A i (i) k j Kosk A i i, (i) k, niin ( ) μ A i = = i, ( λ (i) k ( λ ) <μ (A i )+ ε 2. i (i) k ( λ ) (i) k ) < (μ (A i )+ ε ) 2 i μ 1 (A i )+ε 2 = μ (A i i )+ε. K, että

16 16 1. MITTATORIAA Kosk ε oli mielivltinen, sdn ( ) μ A i Siis (UM3) pätee, joten μ on ulkomitt. μ (A i ). simerkki. Olkoon X = R j K = {, R, {x} x R} peiteluokk. Määritellään esimitt λ : K [0, ] seurvsti: λ ( ) =0,λ(R) = j λ ({x}) =1kikill x R. Hrjoituksen on osoitt, että näin sdn ulkomitt μ : P (X) [0, ], μ (A) =#A in, kun A R. 5. Lebesguen ulkomitt j mitt Nyt tulemme kurssin ensimmäisen osn loppuun, j voimme poimi hedelmät, joit tähänstinen työmme on tuottnut. Konstruoimme Lebesgue:in ulkomitn jok toimii uklidisess vruudess R n, n 1, kikille Borel joukoille j muillekin. Joukko I = {x =(x 1,x 2,...,x n ) R n x k ( k,b k ) k =1,...,n} snotn vruuden R n voimeksi väliksi. OlkoonK kikkien vruuden R n voimien välien muodostm joukko. Tällöin K on vruuden R n peiteluokk. Määritellään kuvus λ = λ n : K [0, ] seurvsti: λ n ( ) =0, λ n (I) =(b 1 1 ) (b n n ) I K. Tällöin λ n on esimitt (geometrinen mitt). Huomutus. Geometrinen mitt on sm myös suljetuille j puolivoimille väleille. Määritelmä 5.1. uklidisen vruuden R n ylläolevst peiteluokst K j geometrisest esimitst λ = λ m lähtien konstruoitu ulkomitt { m (A) =m n (A) =inf } λ (I j ) I j K,A I j j=1 snotn Lebesguen ulkomitksi j m n-mitllisi joukkoj Lebesgue-mitllisiksi. Vstv σ-lgebr merkitään M = M(R n ). Stu mitt m=m M snotn Lebesguen mitksi. Jtkoss puhutn mitst m j ulkomitst m trkoitten nimenomn Lebesguen mitt j ulkomitt. Seurvksi pyritään krkterisoimn σ-lgebr M. Yleisten tulosten perusteell tiedetään, että Mj R n M. Lisäksi, jos R n j m () =0, niin M. simerkki. Olkoon {x} R n, jolloin m ({x}) inf λ (I) =0. {x} I Siis {x} M in, kun x R n. Tällöin {x (i) } = {x (1),x (2),...} M j=1

17 j 5. LBSGUN ULKOMITTA JA MITTA 17 m ( {x (1),x (2),...} ) m ( {x (i) } ) =0. Siis m (Q n )=0,jotenQ n M. Lemm 5.2. Avruuden R n jokisen välin ulkomitt on sm kuin sen geometrinen mitt. Todistus. Olkoon luksi I = {x R n i x i b i } = n [ i,b i ] (suljettu väli). Nyt I voidn peittää voimell välillä, jonk geometrinen mitt ero välin I geometrisest mitst vähemmän kuin ε. Yhtälön (5) nojll m (I) λ (I)+ε, joten m (I) λ (I). Olkoon I k I k peite voimill väleillä. Tällöin λ (I) k λ (I k), joten λ (I) inf k λ (I k)=m (I). Siis välttämättä m (I) =λ (I). Vstv päättely pätee kikille väleille I R n. Huomutus. Tulos m (I) = λ (I) pätee myös surkstuneille väleille I, missä k = b k jollkin k. Tällöin m (I) =0. Luse 5.3. Avruuden R n jokinen väli I on mitllinen j m(i) =m (I) =λ (I). Todistus. Lemmn 5.2 nojll riittää todist, että jokinen väli I on mitllinen. Olkoon I väli j olkoon A R n mielivltinen osjoukko, jolle m (A) <. Mitllisuuden tkmiseksi on osoitettv, että ( ) m (A) m (A I)+m A I. Jott voidn käyttää hyväksi sitä, että I on väli, pproksimoidn testijoukko A väleillä seurvsti: Jos ε>0 on nnettu, peitetään A sellisill voimill väleillä {I k }, että (6) m (A) > k λ (I k ) ε. Joukko I k = I k I on joko tiväli(ks.kuv3).joukkoi k = I k I ei I k 1100 I 1100 k I I k Kuv 3. Joukot I,I k,i k j I k.

18 18 1. MITTATORIAA välttämättä ole väli, mutt se voidn jk äärelliseen määrään välejä I kj.selvästi λ (I k )=λ(i k )+ j λ ( I kj). Lemmn 5.2 nojll λ (I k )=m (I k )+ m (I kj ). j Summmll muuttujn k yli j käyttämällä ulkomitn subdditiivisuutt sdn λ (I k )= m (I k )+ m ( ) I kj k k k,j ( ) ( ) m I k +m I kj. Mutt k I k =( ki k ) I A I j k,j I kj =( ki k ) I A I,joten ( ) λ (I k ) m (A I)+m A I. k Tällöin epäyhtälön (6) nojll ( ) m (A)+ε m (A I)+m A I, k mikä on voimss in, kun ε>0, joten ehto (4) on voimss. Lemm 5.4. Avruuden R n voin joukko A voidn esittää yhdisteenä numeroituvst määrästä erillisiä välejä. Todistus. Hrjoitustehtävä. Seurus 5.5. Avruuden R n kikki voimet j suljetut joukot ovt mitllisi. Lisäksi kikki Borelin joukot ovt mitllisi. Todistus. Avoimille joukoille tulos seur Lemmst 5.4 j Luseest 5.3. Olkoon B R n suljettu. Tällöin B on voin, siis B M, jotenb =(B ) M. Vstvsti Borelin joukkoluokk B M, sillä B on pienin σ-lgebr, jok sisältää voimet joukot. ssee tehtävä 1. nsimmäisessä essee tehtävässä osoitetn, että on olemss joukkoj F M, että F / B, sekäjoukkoja R, jotk eivät ole (Lebesgue- )mitllisi. Näin on stu konstruoitu vruuden R n joukoist mitlliset joukot M P (R n ) j mitt m:m [0, ]. Kolmikko (R n, M, m) snotn mitt-vruudeksi. k,j Luse 5.6. Olkoon T : R n R n siirto, ts. Tx = x + b in, kun x R n,j b R n kiinteä. Tällöin on voimss: () m (T (A)) = m (A) in, kun A R n. (b) Jos M, niin T () M. (c) m(t ()) = m () in, kun M. Todistus. Aloitetn kohdst (). Olkoon I R n väli. Tällöin myös T (I) on väli j λ (T (I)) = λ (I). OlkoonnytA R n j A k I k, missä jokinen I k on voin väli. Tällöin T (A) k T (I k ) j m (T (A)) k λ (T (I k )) = k λ (I k ).

19 5. LBSGUN ULKOMITTA JA MITTA 19 Siis m (T (A)) inf λ (I k )=m (A). A k I k k Toislt myös kuvuksen T käänteiskuvus T 1 : x x b on siirto, joten m (A) =m (T 1 (T (A))) m (T (A)). Siis m (T (A)) = m (A). Todistetn seurvksi koht (b). Olkoon M. KoskT on bijektio, niin jokiselle A R n on m (A) =m ( T (T 1 (A)) ) =m ( T 1 (A) ) =m ( T 1 (A) ) ( ) +m T 1 (A) =m ( T (T 1 (A) ) ) )) +m (T (T 1 (A) ) =m (A T ()) + m (A T ( ). Näin ollen T () M, kosk yhtälö (3) on voimss in, kun A R n.myös = T 1 (T ()) on mitllinen, jos T () on mitllinen. Koht (c) seur kohdist () j (b).

20 LUKU 2 Integroimisteori 1. Topologisi peruskäsitteitä Topologin peruskäsite on voin joukko. Metrisess vruudess X (esim. X = R n ) meillä on käytössä etäisyysmitt d jok kertoo khden pisteen välisen etäisyyden. Tällöin voin pllo on joukko B(x, r) ={y X d(x, y) <r}. Yleinen joukko A X on voin, jos jokiselle x A löytyy r>0 siten, että B(x, r) A. Tässä meitä kiinnostvt kksi topologist vruutt, R j R. dellinen on entuudestn tuttu, j siinä meillä on d(x, y) = x y. Jälkimmäinen joukko on relikselin khden pisteen kompktifiktio, R = R {, }. Tässä tpuksess sovitn, että pllo B(,r) on puoliääretön väli (r 1, ] j pllo B(,r) on puoliääretön väli [, r 1 ). Joukko A on pisteen x ympäristö jos se on voin j sisältää pisteen x. Metrisessä vruudeess voimme määritellä ylä- j lrjrvot seurvsti lim sup f(x) =inf x sup A x A f(x) j lim inf x f(x) =supinf f(x), A x A missä ensimmäinen inf j sup on otettu yli pisteen ympäristöjen. rityisesti vruudess N pätee lim sup x i = lim i sup i k i x k j lim inf i x i = lim i inf k i x k. Jos X j Y ovt metrisiä vruuksi niin snomme kuvust f : X Y jtkuvksi jos lkukuv f 1 (A) ={x X f(x) A} on voin jokisell voimell joukoll A Y. Hrjoitustehtävänä on osoitt, että tämä määritelmä on ekvivlentti Anlyysi I kurssin ɛ-δ määritelmän knss. Jos f : X R on funktio, niin riittää sen jtkuvuuden osoittmiseksi trkist, että joukkojen (, ] j [,) lkukuvt ovt voimi kikill R (hrjoitustehtävä). Jos funktio toteutt inostn ehdon, että f 1( (, ] ) on voin kikill R, niin sitä snotn lhlt puolivoimeksi. Jos f 1( [,) ) on voin kikill R, niin funktiot snotn ylhäältä puolivoimeksi. Joukon X krkteristinen funktio χ : X R s määritelmän mukn rvon 1 joukoss, j0 muuten. Funktio χ on lhlt puolijtkuv jos j vin jos on voin; vstvsti, se on ylhäältä puolijtkuv jos j vin jos on suljettu. Jos X = R n, niin on voin j suljettu inostn jos = R n ti =. Nämä ovt siis myös inot tpukset joiss χ on jtkuv. 2. Mitlliset funktiot Seurvksi määrittelemme jtkuv funktiot yleisemmän funktion, jok kuitenkin osoittutuu erittäin toimivksi integroinnin knnlt. Iden on korvt edellisen kppleen jtkuvuuden määritelmässä vtimuksen, että lkukuv on voin pljon väljemällä vtimuksell, että se on mitllinen (jokinen voin joukkohn on mitllinen). 20

21 2. MITALLIST FUNKTIOT 21 Seurvss R n on in mitllinen joukko. (Väittämien knnlt ei usein ole oleellist, että kyse on nimenomn vruudest R n.) Määritelmä 2.1. Funktiot f : R snotnmitlliseksi,jos on mitllinen joukko j joukko {x f(x) >} on mitllinen in, kun R. dellinen määritelmä näyttää vstvn lhlt puolijtkuvn funktion määritelmää. Voisi siis jtell, että sisimme toisen funktioluokn muuttmll oletust niin, että {x f(x) <} onkin voin. Seurvn lemmn nojll näin ei ole. Lemm 2.2. Olkoon R n mitllinen osjoukko, f : R j R mielivltinen. Tällöin seurvt ehdot ovt yhtäpitävät: (i) Joukko {x f(x) >} M. (ii) Joukko {x f(x) } M. (iii) Joukko {x f(x) <} M. (iv) Joukko {x f(x) } M. Todistus. Selvästi kohdt (i) j (iv), sekä (ii) j (iii) ovt keskenään yhtäpitävät, sillä kyseiset joukot ovt toistens komplementtej in, kun R. delleen (i) (ii), sillä {x f(x) } = {x f(x) > 1 k }, j vstvsti (ii) (i), sillä on {x f(x) >} = {x f(x) + 1 k }. Jos f : R on mitllinen, niin jokisen voimen välin I =(, b) lkukuv f 1 ((, b)) = {x <f(x) <b} = {x f(x) >} {x f(x) <b}. Siis voimen välin lkukuv on khden mitllisen joukon leikkuksen mitllinen. Jos A R on voin joukko, niin A = k I k, missä joukot I k ovt erillisiä voimi välejä. Tällöin f 1 (A) =f 1 ( k I k )= k f 1 (I k ),jotenf 1 (A) on mitllinen. Siis voimen joukon lkukuv on mitllinen. Osoitetn, että jos f : R on jtkuv j M, niin f on mitllinen funktio. Jos R on mielivltinen, niin joukko A =(, ) on voin. Kosk f on jtkuv, niin joukko f 1 (A) ={x f(x) >} on voin joukoss. Tällöin f 1 (A) =U, missä U R n on voin joukko, joten U on mitllinen. Näin ollen f 1 (A) ={x f(x) >} on mitllinen j f on mitllinen funktio. Jos f : R n R on mitllinen funktio j D on mitllinen osjoukko, niin funktion f rjoittum joukkoon D, f D : D R, on mitllinen, sillä {x D f D (x) >} = D {x f(x) >}. simerkki. Määritellään funktio f : R R seurvsti: { 1, jos x R \ Q, f(x) = 0, jos x Q.

22 22 2. INTGROIMISTORIAA Olkoon nyt R, jolloin, jos 1, {x R f(x) >} = R \ Q, jos 1 > 0, R, jos <0. Kosk m (Q) =0, niin Q on mitllinen joukko, smoin R \ Q = Q. Siis joukko {x R f(x) >} on mitllinen, joten funktio f on mitllinen. Jos R, niin, jos 1, {x R χ A (x) >} = A, jos 1 > 0, R, jos <0. Siis χ A on mitllinen jos j vin jos A on mitllinen joukko. Luse 2.3. Olkoot f j g mitllisi funktioit R n R j olkoon c R. Tällöin () f ± g j fg (mikäli määritellyt) ovt mitllisi funktioit. (b) f, f + := mx{f,0} j f := min{f,0} ovt mitllisi funktioit. Tässä edellytetään, ettei esimerkiksi f(x)+g(x) =+ +( ). Todistus. Hrjoituksiss osoitetn funktiot f + g j fg mitllisiksi. Trkstelln tässä yksinkertisemp tpust, nimittäin funktiot f + c. Kosk {x f(x)+c>} = {x f(x) > c}, on f + c mitllinen. Vstvsti funktiolle cf sdn {x f(x) > }, jos c>0, c {x cf(x) >} = {x f(x) < }, jos c<0, c ti, jos c =0. Siis funktio cf on mitllinen. Itseisrvon määritelmän nojll pätee { f(x), jos f(x) 0, f(x) = f(x), jos f(x) < 0. Jos <0, niin j jos 0, niin {x f(x) } = {x f(x) } = {x f(x) } {x f(x) }. Näin ollen f on mitllinen in, kun f on mitllinen. Kikill x on f(x) = f + (x)+f (x) j f(x) =f + (x) f (x) j vstvsti f + (x) = 1( f(x) + f(x)) j f (x) = 1( f(x) f(x)). Siis f + (x) j f (x) 2 2 ovt mitllisi edellisten kohtien nojll, jos f(x) on mitllinen. Luse 2.4. Olkoon (f n ) jono mitllisi funktioit: Rn R. Tällöin funktiot sup f k, inf f k, lim sup f k j lim inf f k ovt mitllisi. k k

23 2. MITALLIST FUNKTIOT 23 funktio f 1 funktio f^+ 1 funktio f^ x x x Kuv 1. Funktiot f =sin(x), f + j f Todistus. Merkitään g(x) :=supf k (x), x. Jos R, niin n {x g(x) >} = {x f k (x) >}. Siis g on mitlllinen, jos f n on mitllinen in, kun n Z +. Vstvsti funktiolle h(x) :=inf f k(x), x, on k {x h(x) <} = {x f k (x) <} in, kun R. Tätenh on mitllinen, jos f k on mitllinen in, kun k Z +. Hrjoituksen on osoitt, että lim sup f k (x) =inf i {sup k i f k (x)} j lim inf f k(x) =sup{inf f k(x)} i k i in, kun x. Tällöin rjfunktiot ovt mitllisi edelläolevn päättelyn nojll. Määritelmä 2.5. Olkoon R n mitllinen joukko. Jos P on jokin ominisuus, jok on voimss kikiss joukon pisteissä lukuunottmtt joukko A, jolle m (A) = 0, niin snotn, että P on voimss melkein kikkill (m.k.) joukoss. simerkki. f = g m.k. joukoss, josf(x) =g(x) m.k. joukoss, ts.jos m ({x f(x) g(x)}) =0. Olkoot g(x) =0in, kun x R, j { 1, jos x Q, f(x) = 0, jos x R \ Q. Tällöin f = g m.k. joukoss R.

24 24 2. INTGROIMISTORIAA f n f m.k. joukoss jos j vin jos m ( \{x f n (x) f(x)}) =0. Luse 2.6. Olkoon f : R mitllinen funktio j olkoon f = g m.k. joukoss. Tällöin myös g on mitllinen funktio. Todistus. Merkitään A = {x f(x) g(x)}. Siis m (A) =0,jotenA on mitllinen. Tällöin joukko {x g(x) <} = {x A f(x) <} {x A g(x) <} on mitllinen in, kun R. Näin ollen g on mitllinen funktio. Huomutus. Yleensä sllitn edellisen luseen tpisiss väitteissä myös tilnne joss g ei ole edes määritelty joukoss A. Luse 2.7 (goroffin Luse). Olkoon R n mitllinen joukko, jolle m() < j olkoon (f k ) jono sellisi mitllisi funktioit R, että f n(x) f(x) m.k. joukoss. Tällöin jokist luku δ>0kohti on olemss sellinen mitllinen joukko 0, että m( 0 ) <δj f n f tsisesti joukoss \ 0 = 0. Todistus. Olkoot δ>0 j k Z + mielivltisi. Merkitään G k m = { x f m (x) f(x) k} 1. Selvästi G k m on mitllinen joukko in, kun m, k Z +. Merkitään p k := G k m = { x i p s.e. f i (x) f(x) k} 1. m=p Jos f n (x) f(x), niin on olemss sellinen p, että x/ p k. Siis p k \{x f n (x) f(x)}. p=1 Kosk f n f m.k. joukoss j p k k p+1...,niin m ( ) p=1 k p =0. Luseen 2.4 (e) nojll ( ) 0=m p k = lim m ( ) p k. p p=1 On siis olemss sellinen p k Z +, että m ( ) p k δ < in, kun p p 2 k k. Merkitään 0 := k p k, jolloin 0 on mitllinen joukko j m( 0 ) m ( ) p k k < δ 2 k = δ. On enää osoitettv, että f n f tsisesti joukoss \ 0.Olkootε>0j x \ 0 mielivltisi. Vlitn luksi sellinen s Z +, että 1 < ε. Siis s x { k p k } = { (k p k ) } (p s s ). Toisin snoen x/ p s s,joten f i (x) f(x) < 1 s <ε in, kun i p s. Siis f i f tsisesti joukoss \ 0.

25 3. YKSINKRTAISN FUNKTION LBSGUN INTGRAALI 25 simerkki. Olkoon =[0, 1] j f : R, f i (x) =x i in, kun i Z +. Tällöin { 0, jos x [0, 1[, lim i xi = 1, jos x =1. Siis f i (x) 0 m.k. välillä [0, 1]. Olkoonδ>0j merkitään 0 =]1 δ, 1]. Nyt \ 0 =[0, 1 δ] j x i 0 tsisesti tällä välillä, sillä x i 0 = x i (1 δ) i 0 in, kun x [0, 1 δ]. 3. Lebesguen integrli yksinkertiselle funktiolle Määritelmä 3.1. Funktiot ϕ : R n R snotn yksinkertiseksi, jos p (7) ϕ(x) = i χ i (x) in, kun x R n, missä 1,..., p R n ovt mitllisi joukkoj j i R, i 0 in, kun i = 1,...,p. Merkitään Y = {ϕ : R n R ϕ yksinkertinen}. sitys (7) ei ole yksikäsitteinen, sillä ei oletet, että joukot i olisivt erillisiä. Jos ϕ Y, niin selvästi ϕ on mitllinen j sen rvojoukko {c 1,c 2,...,c n } on äärellinen. Yksinkertisell funktioll on in ns. normliesitys p ϕ(x) = c i χ Ai (x) in, kun x R n, missä A i = {x R n ϕ(x) =c i }, i = 1,...,p, R n = p A i sekä c i c j j A i A j = in, kun i j. Normliesitys on yksikäsitteinen. simerkki. Määritellään ϕ : R R seurvsti: ϕ(x) =1 χ [0,1] (x)+2 χ [0,2] (x)+3 χ [2,4] (x). Tällöin funktion ϕ rvojoukko on {2, 3, 5, 0} j sen normliesitys on ϕ(x) =0 χ (,0) (4, ) (x)+2 χ (1,2) (x)+3 χ [0,1] ]2,4] (x)+5 χ {2} (x). Määritelmä 3.2. Olkoon f Y j f = p c iχ Ai sen normliesitys. Jos R n on mitllinen joukko, niin funktion f (Lebesguen) integrli yli joukon on: 1 p I(f,) = c i m(a i ). Jos erityisesti = R n, niin merkitään I(f,R n )=:I(f). simerkki. Olkoon A R n mitllinen joukko j f(x) =χ A (x) =0 χ R n \A(x)+1 χ A (x). Tällöin I(f) =0 m(r n \ A)+1 m(a) =m(a).jos on mielivltinen mitllinen joukko, niin I(f,) =0 m(r n \ (A )) + 1 m(a ) =m(a ). Olkoon ϕ(x) kuten edellisessä esimerkissä, tällöin I(f) =2 m ((1, 2)) + 3 m([0, 1] ]2, 4]) + 5 m({2}) = =2+9=11. 1 Sopimus: 0 =0.

26 26 2. INTGROIMISTORIAA Luse 3.3. Jos f Y j f = q j=1 jχ Bj, missä B j B i = in, kun i j, niin q I(f,) = j m(b j ) in, kun M. j=1 Todistus. Hrjoitustehtävä. Luse 3.4. Olkoon f Y j { k } k korkeintn numeroituv perhe erillisiä mitllisi joukkoj. Tällöin ( I f, ) k = I(f, k ). k k Todistus. Olkoon f = ( I f, k p c i χ Ai funktion f normliesitys. Tällöin k ) = = p ( )) c i m (A i k k p ( ) c i m(a i k ) = k = k k p c i m(a i k ) I(f, k ). Luse 3.5. Olkoon f Y j,f R n mitllisi. Tällöin () I(f,) I(f,F), jos F. (b) I(f,) =0,josm() =0. Todistus. Jos F, niin F = (F ). Luseen 3.4 nojll I(f,F) =I(f,)+I(f,F ) I(f,). Jos m() =0, niin m( A) =0in, kun A M. Josf = p c iχ Ai on funktion f normliesitys, niin p I(f,) = c i m( A i )=0. Luse 3.6. Olkoot f, g Y, M j α, β [0, [. Tällöin () αf + βg Y j I(αf + βg,)=αi(f,)+βi(g, ). (b) I(f,) I(g, ), josf g joukoss. Todistus. Kosk selvästi αf + βg 0 on mitllinen j se s äärellisen määrän eri rvoj, niin se on yksinkertinen funktio. Olkoot f = p c iχ Ai, g = q j=1 d jχ Bj funktioiden normliesitykset. Tällöin jokisell x A i B j on αf(x)+βg(x) =αc i + βd j j siis αf + βg = (αc i + βd j )χ Ai B j, i,j

27 4. I-NGATIIVISN MITALLISN FUNKTION INTGRAALI 27 missä perhe {A i B j } i,j koostuu erillisistä joukoist. Luseen 3.3 perusteell I(αf + βg,)= (αc i + βd j )m((a i B j ) ). i,j Kosk nyt p A i = R n = q j=1 B j j R n =( A i ) ( B j )= i,j (A i B j ), niin sdn p q q p I(αf + βg,)=α m((a i B j ) )+β m((a i B j ) ) = α c i j=1 p c i m((a i R n ) )+β j=1 d j q d j m((r n B j ) ) = αi(f,)+βi(g, ). Todistetn seurvksi toinen väite. Jos f g joukoss, niin p p ( ( q )) I(f,) = c i m(a i ) = c i m (A i ) B j = p i,j c i q j=1 j=1 m(a i B j )= i,j d j m(a i B j ) = = I(g, ). j=1 c i m(a i B j ) 4. Integrli ei-negtiiviselle mitlliselle funktiolle Integrlin määrittely perustuu pproksimointi-iden, kun osmme integroid yksinkertist funktiot, niin mielivltisen (mitllisen) funktion integrli sdn ottmll yksinkertinen funktio jok on mhdollisimmn iso, mutt nnettu funktiot pienempi, j integroidn sit. Määritelmä 4.1. Olkoon f : A R n [0, ] μ-mitllinen funktio. Asetetn fdμ:= sup I(ϕ, ), ϕ Y ϕ f missä A on mitllinen joukko j ϕ f joukoss. Huomutus. Määritelmän mukn f [0, ]. (1) Jokist mitllist funktiot f 0 kohti on olemss yksinkertisi funktioit ϕ, joille 0 ϕ f (esimerkiksi ϕ =0ti Luse 5.1). (2) Jos f itse on yksinkertinen funktio, niin määritelmä ntn tuloksen fdμ=supi(ϕ, ) =I(f,). ϕ f simerkki. Olkoon { 1, jos x [0, 1] Q, f(x) = 0, jos x [0, 1] \ Q. Nyt f on mitllinen j yksinkertinen funktio. Lsketn fdμ: [0,1] fdμ=1 m([0, 1] Q)+0 m([0, 1] \ Q) =0. [0,1]

28 28 2. INTGROIMISTORIAA Tämä funktio ei ole Riemnnin mielessä integroituv. Seurvss luseess todistetn integrlin perusominisuudet ei-negtiivisille mitllisille funktioille. Luse 4.2. Olkoot,F R n mitllisi joukkoj, sekä f j g ei-negtiivisi mitllisi funktioit. Tällöin on voimss: () Jos f g joukoss, niin fdμ gdμ. (b) Jos F, niin fdμ fdμ. F (c) Jos f(x) =0in, kun x dμ, niin fdμ=0. (d) Jos m() =0, niin fdμ=0. (e) Jos 0 α<, niin αf dμ = α fdμ. Todistus. () Olkoon f g joukoss. Tällöin fdμ=supi(ϕ, ) sup I(ϕ, ) = ϕ f ϕ Y ϕ g ϕ Y g dμ. (b) Hrjoitustehtävä. (c) Olkoon f(x) =0in, kun x. Tällöin 0 ϕ f =0joukoss, eli ϕ =0. Näin ollen I(ϕ, ) =0,,in,kun0 ϕ f, joten fdμ=0. (d) Olkoon m() = 0 j f : [0, ] mitllinen. Luseen 3.5 (b) nojll I(ϕ, ) =0in, kun ϕ Y. Tällöin fdμ=supi(ϕ, ) =0. ϕ f ϕ Y (e) Olkoon 0 α< j f : [0, ] mitllinen. Jos α =0, niin väite seur kohdst (c). Olkoon siis α>0. Josϕ Y j ϕ f joukoss, niin αϕ Y j αϕ αf joukoss. Luseen 3.6 nojll αi(ϕ, ) =I(αϕ, ) αf dμ, joten α fdμ= α sup ϕ f ϕ Y I(ϕ, ) =supi(αϕ, ) ϕ f ϕ Y = sup I(αϕ, ) = supi(ψ, ) αϕ αf ψ αf αϕ Y ψ Y = αf dμ. Luse 4.3. Olkoon f : [0, ] mitllinen funktio, jolle fdμ<. Tällöin 0 f(x) < m.k. joukoss. Todistus. Merkitään A = {x f(x) =+ }. NytA on mitllinen, sillä A = f 1 ({+ }) = n=1 {x f(x) >n}. Lisäksikχ A on yksinkertinen funktio in, kun k Z +. delleen kχ A f joukoss, j > fdμ I(kχ A,)=km(A) in, kun k Z +. Siis välttämättä m(a) =0.

29 5. KSKIST RAJA-ARVOTULOKST 29 Luse 4.4. Olkoot f j g : [0, ] mitllisi funktioit. Jos f = g m.k. joukoss, niin fdμ= g dμ. Todistus. Olkoon A j m(a) =0. Olkoot lisäksi f,g : [0, ] sellisi mitllisi funktioit, että f(x) =g(x) in, kun x A. Tällöin fdμ= fdμ+ fdμ= gdμ= g dμ. A A A Luse 4.5. Olkoon f : [0, ] mitllinen funktio. Jos fdμ=0, niin f =0 m.k. joukoss. Todistus. Merkitään A := {x f(x) > 0} j oletetn, että m(a) > 0. Jos jokisell k Z + setetn k := { x f(x) > 1 k}, niin k k+1 in, kun k Z +,ja = k. Siis Luseen 2.4 nojll lim m( k)=m(a) > 0, joten 1 0= fdμ fdμ k k k dμ = 1 k m( k) > 0, kun k on riittävän suuri. Tästä seur ristiriit, joten m(a) =0. 5. Keskeiset rj-rvotulokset ei-negtiiviselle mitlliselle funktiolle Tässä kppleess todistmme muutmn keskeisen tulosksen Lebesgue integrlin hyvästä käyttäytymisestä rj-rvon oton suhteen. Luse 5.1. Olkoon A R n mitllinen joukko j f : A [0, ] nnettu funktio. Tällöin f on mitllinen jos j vin jos on olemss sellinen funktiojono (f i ) Y, että f i (x) f i+1 (x) in, kun x A j i Z +, sekä lim f i (x) =f(x) in, i kun x A. Todistus. Jos edellä minittu jono (f i ) on olemss, niin Luseen 2.4 nojll rjfunktio f on mitllinen. Olkoon siis f : A [0, ] mitllinen funktio. Konstruoidn funktiojono (f i ) Y seurvsti: f 1 :Väli[0, 1] jetn väleihin (ks. kuv 2) V 1j =[ j 1 2, j [, 1 j 2, 2 j setetn { j 1 f 1 (x) =, jos x f 1 (V 2 1j ),j =1, 2, 1, jos x f 1 ([1, ]). f i,i 2: Väli[0,i] jetn erillisiin osiin V ij =[ j 1 2 i, j 2 i [, 1 j i2i,

30 30 2. INTGROIMISTORIAA 2 1 f 1 Kuv 2. Funktio f 1. j setetn f i (x) = { j 1 2 i, jos j 1 2 i f(x) < j 2 i,j=1,...,i2 i, i, jos f(x) i. Selvästi f i (x) Y j f i (x) f i+1 (x) f(x) in, kun x A j i Z +.Jos f(x) <, niin vlitsemll i 0 f(x) sdn f(x) 1 f 2 i i (x) f(x) in, kun i i 0.Tätenf i (x) f(x). Jos ts f(x) =+, niin f i (x) =i in, kun i Z +, j f i (x) +, kuni. Siis lim i f i (x) =f(x), in, kun x A, j (f i ) täyttää luseen ehdot. Luse 5.1 nojll olisi ollut mhdollist määritellä ei-negtiivisen mitllisen funktion f : A [0, ] integrlin yli joukon A rj-rvon fdμ= lim I(f i,). i Tällöin olisi kuitenkin pitänyt osoitt, että rj-rvo on hyvin määritelty, eli, että se ei riipu pproksimoivst funktiojonost. Luse 5.2 (Lebesguen MS-luse). Olkoon (f k ) : [0, ] jono sellisi mitllisi funktioit, että f k (x) f k+1 (x) in, kun x j k Z +.Tällöin lim f k dμ = lim f k dμ. Todistus. Todetn luksi, että yhtälön molemmt puolet ovt määritellyt. Kosk f k (x) f k+1 (x) in, kun x, niin Luseen 4.2 () nojll 0 f k dμ f k+1 dμ. Täten ( f k) on ksvv relilukujono, joll on rj-rvo α := lim f k dμ [0, ]. Toislt lukujono (f k (x)) on ksvv j rjfunktio f(x) := lim f k (x) =supf k (x) f k (x) 0 k on myös mitllinen j integrli on siis määritelty. Täten yhtälön molemmt puolet ovt määritellyt. delläolevn nojll f k (x) f(x) in, kun x j k Z +, joten f k dμ fdμ in, kun k Z +,

31 j siis 5. KSKIST RAJA-ARVOTULOKST 31 α = lim Riittää enää osoitt, että α ϕ Y sellinen, että ϕ f joukoss. Merkitään f k dμ =sup f k dμ f dμ. k fdμ.olkoon0 β<1mielivltinen j olkoon k := {x f k (x) βϕ(x)}, in, kun k =1, 2,... Selvästi joukot k ovt mitllisi j , sekä k =. Näin ollen sdn f k dμ f k dμ βϕdμ = β ϕ dμ. k k k Hrjoitustehtävänä on osoitt, että jos ϕ Y j (A k ) on jono sellisi mitllisi joukkoj, että A 1 A 2..., niin ( ) I ϕ, A k = lim I(ϕ, A k ). Siis α =sup f k dμ β lim ϕdμ= β ϕdμ= βi(ϕ, ) k k in, kun ϕ Y j ϕ f, joten α β sup I(ϕ, ) =β f dμ. ϕ Y ϕ f Kun β 1, niin sdn lopult α fdμj luse on todistettu. Lemm 5.3. Olkoot f,g : [0, ] mitllisi funktioit. Tällöin f + gdμ= fdμ+ g dμ. Todistus. Olkoot (ϕ k ) j (ψ k ) Luseen 5.1 jonot funktioille f j g. Tällöin jono (ϕ k + ψ k ) on ksvv j lim (ϕ k(x)+ψ k (x)) = f(x)+g(x). Lebesguen MS-luseen nojll ( f + gdμ= lim ϕ k + ψ k dμ = lim ) ϕ k dμ + ψ k dμ = lim ϕ k dμ + lim ψ k dμ = fdμ+ g dμ. Induktioll tulos yleistyy m:lle funktiolle m m f k dμ = f k dμ. Induktioll sdn kuitenkin in vin äärellisiä joukkoj koskevi tuloksi. Induktiopäättely voidn kuitenkin usein yhdistää sopivll tvllrj-rvopäättelyyn j näin joht vstv numeroituv tulos. Näin menetellään seurvksi e.m. yhtälölle.

32 32 2. INTGROIMISTORIAA Luse 5.4. Olkoon (f k ) : [0, ] jono mitllisi funktioit. Tällöin f k dμ = f k dμ. Todistus. Jos n Z + on mielivltinen, niin funktio g n = n f k on mitllinen, 0 g 1 g 2... j f k (x) = lim g n (x) n on olemss j on mitllinen funktio. Lebesguen MS-luseen j edellisen huomutuksen nojll f k (x) dμ = lim g n = lim g n dμ n = lim f k dμ = f k dμ. n Luse 5.5 (Ftoun Lemm). Olkoon (f k ) : [0, ] jono mitllisi funktioit. Tällöin lim inf f k dμ lim inf f k dμ. Todistus. Asetetn g n (x) :=inf k n f k (x) in, kun x. Tällöin g n (x) g n+1 (x) in, kun x j n Z +,joten lim g n(x) =supg n (x) =supinf f k(x) = lim inf f k(x). n n n k n Lebesguen MS-lusett voidn sovelt jonoon g n, jolloin lim inf f k dμ = lim g n dμ = lim g n dμ. n n Kosk g n g n+1 in, kun n Z +, niin ( g n) n=1 on ksvv lukujono j rj-rvo on olemss. Lisäksi lim n g n dμ = lim inf n sup n inf k n g n dμ =sup n inf k n f k dμ = lim inf g k dμ f k dμ, sillä g k (x) =inf f j(x) f k (x) in, kun k. Näin ollen j k lim inf f k dμ = lim g k lim inf f k dμ. simerkki. Olkoon f k (x) =kχ 1 (0, k) (x) = { 0, jos x 0 ti x 1, k k, jos 0 <x< 1. k Tällöin f k (x) 0 in, kun x [0, 1], mutt f k (x) dx = k m (( )) 0, 1 1 k = k k =1 in, kun k Z +. [0,1]

33 Siis 6. MITALLISN FUNKTION INTGRAALI 33 [0,1] lim f k dx =0< 1 = lim [0,1] f k dx. Luse 5.6. () Olkoon { k } perhe erillisiä joukkoj j f : k k [0, ] mitllinen funktio. Tällöin k k fdμ= k k f dμ. (b) Olkoon { k } M ksvv ti vähenevä jono j f mitllinen joukoss k. Jos k on vähenevä, oletetn lisäksi, että k fdμ< jollin k. Tällöin fdμ= lim f dμ. lim k k Todistus. Hrjoitustehtävä. missä Funktioll f : R on in esitys 6. Mitllisen funktion integrli f(x) =f + (x) f (x) in, kun x, f + (x) =mx{0,f(x)}, f (x) =mx{0, f(x)} = min{0,f(x)}. Lisäksi f(x) = f + (x)+f (x) in, kun x. Funktio f : R on mitllinen, jos j vin jos f + j f ovt mitllisi (miten tämä todistetn?). Näin ollen mitlliselle funktionlle f : R integrlit f + dμ j f dμ ovt määritellyt j ovt välin [0, ] lukuj. Näin sdn funktion f integrlille yli joukon luonnollinen määritelmä fdμ:= f + dμ f dμ. Tässä kuitenkn tpust + (+ ) ei ole määritelty, joten rjoitetn trksteltujen funktioiden joukko seurvsti: Määritelmä 6.1. Jos f : R on mitllinen j f + dμ < TAI f dμ < niin määrittelemme funktion integrlin kvll f := f + dμ f dμ. Funnktiot snotn integroituvksi (ti Lebesgue-integroituvksi)jos f + dμ < JA f dμ <

34 34 2. INTGROIMISTORIAA Luse 6.2. Funktio f : R on integroituv yli joukon jos j vin jos f on mitllinen j f <. Tällöin lisäksi fdμ f dμ. Todistus. Funktio f on integroituv yli joukon jos j vin jos se on mitllinen j f + dμ < j f dμ <. Mutt f = f + + f f + j f 0, joten Luseen 5.3 nojll f dμ <. Josf on mitllinen j f dμ <, niin (f + + f ) dμ < j siten f + dμ + f dμ < j f + dμ < j f dμ <. Näin ollen f on integroituv. Lisäksi fdμ = f + dμ f dμ f + dμ + f dμ = f + dμ + f dμ = f + + f dμ = f dμ. Kosk integroitvt funktiot muodostvt niin yleisesti käytetyn luokn, nnetn sille nimi: Snomme, että f L 1 (,μ) jos f : R on mitllinen funktio jolle f dμ <. Jos on yhteydestä selvä, käytetään lyhyempää merkintää L 1 (μ). Josμ on Lebesgue:in mitt, käytetään merkintää L 1 () to L 1. Integrlin perusominisuudet ovt jälleen helposti todistettviss tässä yleisessä tpuksess. Luse 6.3. Oletetn, että f,g L 1 (,μ). () m({x f(x) =+ ti f(x) = }) =0. (b) Jos f g m.k. joukoss, niin fdμ gdμ. (c) funktio f + g on määritelty m.k. joukoss, f + g L 1 (,μ) on integroituv yli joukon j f + gdμ= fdμ+ g dμ. (d) Jos α R, niin αf L 1 (,μ) j αf dμ = α fdμ. Todistus. Kohdt () (c) jätetään lukijlle. Kohdn (d) voi todist vikk seurvsti: Jos α 0, niin (αf) + = αf + j (αf) = αf, joten väite seur Luseest 4.2 (e). Jos α<0, niin (αf) + =( α)f j (αf) =( α)f +,joten αf dμ = (αf) + dμ (αf) dμ = ( α)f dμ ( α)f + dμ =( α) f dμ ( α) = α f dμ. ( f + dμ = α f + dμ ) f dμ dellisestä luseest seur erityisesti, että jos f : R on mitllinen funktio jolle f(x) g(x) m.k. joukoss jollekin g L 1 (,μ), niin myös f L 1 (,μ) j f dμ g dμ.

35 6. MITALLISN FUNKTION INTGRAALI 35 Kolms keskeinen Lebesgue:in teorin rj-rvoluse ei vdi funktiolt einegtiivisuutt, vn että itseisrvo on sopivsti ylhäältä rjoitettu. Tästä syystä sitä kutsutn dominoidun suppenemisen luseeksi. Luse 6.4 (Lebesguen DS-luse). Olkoon f : R mitllinen funktio j (f k ) jono sellisi mitllisi funktioit R, että f k (x) f(x) m.k. joukoss. Jos on olemss sellinen integroituv funktio g : [0, ], että f k (x) g(x) m.k. joukoss in, kun k Z +, niin funktio f on integroituv yli joukon j lim f k dμ = fdμ= lim f k dμ. Todistus. Merkitään { } 0 = x lim f k (x) =f(x) j f k (x) g(x) k Z +. Selvästi m( \ 0 )=0.Lisäksi f(x) g(x) in, kun x 0, sillä f k (x) g(x) in, kun k Z + j x 0. dellisen luseen nojll kikki funktiot f k j myös funktio f ovt integroituvi yli joukon. Merkitään A := {x 0 f k (x) < k Z + j f(x) < }. Luseen 4.3 nojll myös m( \ A) =0. Nyt funktiot g ± f k : A [0, [ j g ± f : A [0, [ ovt integroituvi joukon A yli j g(x) ± f k (x) g(x) ± f(x) joukoss A. Ftoun Lemmn nojll gdμ+ fdμ= g + fdμ= lim g + f k dμ A A ( ) lim inf g + f k dμ = lim inf gdμ+ f k dμ A A A = gdμ+ lim inf f k dμ, joten Vstvsti gdμ j sdn Tällöin fdμ lim inf f k dμ. fdμ= g fdμ lim inf g f k dμ A A ( ) = lim inf gdμ f k dμ = A A = gdμ lim sup f k dμ fdμ lim sup f k dμ. gdμ+ lim inf lim sup f k dμ fdμ lim inf f k dμ. ( ) f k dμ

36 36 2. INTGROIMISTORIAA Kosk in lim inf k lim sup k, on välttämättä lim inf f k dμ = lim sup f k dμ = f dμ. Jos m() < j f k (x) C m.k. joukoss in, kun k Z +,jf k f m.k., niin g = C on integroituv mjorntti j siis DS-luse pätee j fdμ C m() <. Seurvn luseen todistminen jätetään hrjoitukseksi. Luse 6.5. Olkoon { k } k R n korkeintn numeroituv perhe erillisiä mitllisi joukkoj j f : k k R mitllinen funktio. () Jos f on integroituv joukon k k yli, niin f on integroituv jokisen joukon k yli j (8) fdμ= f dμ. k k k k (b) Jos f on integroituv jokisen joukon k yli j jos f dμ <, k k niin f on integroituv joukon k k yli j kv (8) on voimss. 7. Riemnnin integrli Mikä on Lebesguen j Riemnnin integrlien välinen yhteys? b Tässä luvuss käytämme symbooli f(x) dx Riemnnin integrlille. Tämä symbooli yleensä trkoitt jotin muut; Riemnnin integrlille ei ole eri- tyistä symbooli, kosk, kuten seurvksi osoitmme, siinä, että Riemnnin j Lebesgue:in integrleille käytetään sm symbooli ei oikesti ole seknnuksen vr. Seurv tulos pätee yleisemminkin, mutt todistetn se tässä yksinkertisuuden vuoksi tpuksess n =1j =[, b]. Lemm 7.1. Olkoon f :[, b] [0, ] Riemnnin mielessä integroituv. Tällöin f on mitllinen j b fdx= f(x) dx, ts. integrlit ovt smt. [,b] Todistus. Kosk f on Riemnnin mielessä integroituv, on olemss selliset porrsfunktiot {ϕ n } j {ψ n } (l- j yläsummt), että ϕ n (x) f(x) ψ n (x) in, kun x [, b] j n Z +,sekä 0 ϕ n ϕ n+1 f ψ n+1 ψ n. Integrlin määritelmän nojll b ψ n dx b ϕ n dx 1 n,

37 joten b f(x) dx := lim 7. RIMANNIN INTGRAALI 37 n b ϕ n (x) dx = lim n b ψ n dx. Toislt jokinen tällinen porrsfunktio on myös yksinkertinen funktio j b b ϕ n dx = ϕ n dx j ψ n dx = ψ n dx. [,b] Rjfunktiot ϕ(x) := lim n ϕ n (x) j ψ(x) := lim n ψ n (x) ovt myös mitllisi, joten Lebesguen MS-luseen j Ftoun Lemmn nojll ϕdx= lim ϕ n dx = lim ψ n dx ( lim ψ n ) dx = ψdx. [,b] n [,b] n [,b] [,b] n [,b] Toislt ϕ(x) f(x) ψ(x), joten ϕ ψ. Siis [,b] [,b] ψ ϕdx=0, [,b] missä ψ ϕ 0. Luseen 4.5 nojll ψ(x) =ϕ(x) m.k. välillä [, b], jotenf(x) = ϕ(x) =ψ(x) m.k. välillä [, b]. Siis f on mitllinen. Lopuksi sdn b fdx= ϕdx= lim ϕ n dx = f(x) dx. [,b] [,b] b n Luse 7.2. Olkoon f : R Riemnn-integroituv. Tällöin funktio f on integroituv yli joukon j fdx= f(x) dx. Todistus. Trkstelln tpust n =1. Jos funktio f on Riemnn-integroituv, niin f + j f ovt Riemnn-integroituvi. Lemmn 7.1 nojll f + dx = f + (x) dx j f = f (x) dx. Siis fdx= = [,b] f + dx f dx = f + (x) dx (f + (x) f (x)) dx = f(x) dx. f (x) dx Huomutus. Luseen 6.2 nojll funktio f voi oll mitllinen vikk se ei ole integroituv ( f + dx =+, ti f dx =+ ). Tämä joht eroon epäoleellisiss integrleiss. simerkki. Olkoon f :[π, [ R, f(x) = sin x. Funktio f on jtkuv, joten se on mitllinen. Nyt f dx = [π, [ = 2 π n=1 (n+1)π n=1 nπ sin x x 1 n +1 =+. dx x n=1 1 (n+1)π sin x dx (n +1)π nπ

38 38 2. INTGROIMISTORIAA Siis f ei ole integroituv. Toislt epäoleellinen Riemnn-integrli on olemss, sillä sin x c sin x dx = lim dx =: lim π x c π x J(c), c missä n 1 (k+1)π sin x J(nπ) = kπ x dx. Leibnitzin testin nojll yo. srj suppenee. ssee tehtävä 2. Osoitt, että f :[, b] R on Riemnnin mielessä integroituv jos j vin jos f on jtkuv m.k. välillä [, b]. Lähteenä voi käyttää esimerkiksi kirj [Apostol s ]. 8. Integrlilskennn pääluse Tähän mennessä olemme määritelleet Lebesgue:in integrlin, osoittneet sen perusominisuudet sekä yhteyden Riemnn integrliin. Lisäksi olemme nähneet, että Lebesgue:in integrlill on hyviä suppenemisominisuuksi, joit Riemnnin integrlilt puuttuu. Seurvksi trkstelemme mitä viimeksiminituist seur myös muit perusnlyysistä tuttuj luseit yleisemmässä muodoss. rityisesti trkoituksen on tutki, milloin integrointi j derivointi ovt toistens käänteisopertioit, eli milloin b f d x (x) dx = f(b) f() j f(y) dy = f(x)? dx Integroituvll funktioll on se ominisuus, että sen integrli yli pienen joukon on in pieni: Luse 8.1. Olkoon f : R integroituv yli joukon. Tällöin jokist luku ε>0 kohti on olemss sellinen δ>0, että f dμ < ε A in, kun A on mitllinen j m(a) <δ(ts. integrli on tsisesti jtkuv). Todistus. Määritellään pproksimtio funktiolle f seurvsti (ks. kuv 3): n Kuv 3. Approksimtio ψ k (x) ψ k (x) = { f(x), jos f(x) k, k, jos f(x) >k,

39 8. INTGRAALILASKNNAN PÄÄLAUS 39 in, kun k Z +. Tällöin jokinen ψ k on mitllinen j ei-negtiivinen sekä 0 ψ k (x) ψ k+1 (x) f(x) in, kun x j k Z +. delleen ψ k (x) f(x) in, kun x, joten voidn sovelt Lebesguen MS-lusett: lim ψ k dμ = lim ψ k dμ = Olkoon ε>0 mielivltinen. Kosk nyt f ψ k dμ =0, lim f dμ. niin on olemss sellinen kiinteä s Z +, että f ψ s dμ < ε. Vlitn δ = ε, 2 2s jolloin jokiselle mitlliselle joukolle A, jolle m(a) < δ, on voimss: ψ s dμ sdμ= s m(a) <sδ= ε 2. Siis A A A f dμ = A f ψ s dμ + A ψ s dμ < ε 2 + ε 2 = ε. Loppukppleess trkstelln tpust n =1, eli relikselin osjoukkoj R. Seurv esitys perustuu kirjn Royden, Rel Anlysis, 2-nd ed.. Todetn ilmn todistust Vitlin peitelustett: Lemm 8.2 (esim. Royden, Rel Anlysis, 2-nd ed., s. 95). Olkoon R joukko jonk ulkomitt on äärellinen. Olkoon J sellinen joukon peite, että jokisell x j ɛ>0 on olemss väli I J jok sisältää pisteen x j jonk ulkomitt on korkeintn ɛ. Nyt jokiselle ɛ>0 on olemss äärellinen erillisten välien perhe {I 1,...,I k } jotk melkein peittävät, eli m ( \ k ) I l <ɛ. l=1 Relikselin funktiolle f :(, b) R määritellään suunntut ylä- j lderivtt seurvsti D + f(x) = lim sup h 0 + f(x + h) f(x), h D f(x) = f(x) f(x h) lim sup, h 0 + h D + f(x) = f(x + h) f(x) lim inf j h 0 + h D f(x) = f(x) f(x h) lim inf. h 0 + h Jos D + f(x) =D f(x) =D + f(x) =D f(x) niin merkkmme f (x):llä yhteistä rvo. Jos D + f(x) =D f(x) =D + f(x) =D f(x) ± niin snomme, että f on differentioituv pisteessä x.

40 40 2. INTGROIMISTORIAA Luse 8.3. Olkoon f ksvv funktio välillä [, b]. Silloin f on differentioituv melkein kikill, j b f (x) dx f(b) f(). Todistus. Tutkitn joukko joss D + f > D f, j osoitetn se nollmittiseksi. Muut epäyhtälöt D ± >D ± hoidetn smll tvll. Tästä päätellään, että f on olemss melkein kikill. Kvntittiivien kontrollin smiseksi jmme joukon D + f>d f seurvsti: {D + f>d f} = {D + f>u>v>d f} }{{} u,v Q =: u,v. Nyt m({d + f>d f}) u,v m( u,v), joten riittää osoitt, että m( u,v )=0 kikille u, v Q. Kiinnitetään siis u, v Q j ɛ>0, j setetn s := m( u,v ). Peitettään joukko u,v voimell joukoll A jolle m(a) <s+ ɛ. KoskD f(x) <vjoukoss u,v löytyy mielivltisen pieni h > 0 jolle f(x) f(x h) < vh. Tälliset välit [x h, x] jotk sisältyvät joukoon A peittävät joukon u,v. Vitlin peiteluseen mukn voidn vlit sellinen äärellinen, erillinen ospeite {I 1,...,I k } että m ( u,v \ ) ( ) Im <ɛ, jolloin m Im >s ɛ. Merktn B = Im. Välien I m =[x m h m,x m ] konstruktion nojll sdn k k f(x m ) f(x m h m ) vh m vm ( ) Im vm(a) v(s + ɛ). m=1 m=1 Intuitio tässä on, että jos funktion derivtt on v, niin funktio muuttuu korkeintn h-pituisell välillä korkeintn vh. Käytettään seurvksi ehto D + f(x) >uvstvll tvll. Jokiselle y u,v B löytyy mielivltisen pieni r>0 jolle f(x + r) f(x) >ur. Tälliset välit [x, x + r] jotk sisältyvät joukoon B peittävät joukon u,v B. Vitlin peiteluseen mukn voidn vlit sellinen äärellinen, erillinen ospeite {J 1,...,J l } että m ( ( u,v B)\ J m ) <ɛ, jolloin m ( Jm ) >s 2ɛ. Kuten iemmin sdn l f(y + r ) f(y ) =1 l ur v(s 2ɛ). Kiinnitetään luku m {1,...,k} j tutkitn niitä välejä J jotk sisältyvät joukkoon I m.koskf on ksvv seur, että f(y + r ) f(y ) f(x m ) f(x m m ). : J I m Jokinen J kuuluu täsmälleen yhteen joukkoon I m. Kun siis lsketn yhteen edelliset yhtälöt rvoill m =1,...,k sdn oikelle puolelle jokinen J täsmälleen kerrn. näin ollen sdn l k f(y + r ) f(y ) f(x m ) f(x m h m ). =1 m=1 Kun tämä yhdistetään yhtälöihin (8) j (8) sdn v(s 2ɛ) u(s + ɛ). Kosku, v j s eivät riipu ɛ:ist, sdn edelleen vs us. Koskv>uj s 0 päätellään, että s =0,eli u,v on nollmittinen. =1

41 8. INTGRAALILASKNNAN PÄÄLAUS 41 Näin myös on nollmittinen, j päättelemme, että f on olemss melkein kikkill j f f(x + h) f(x) (x) = lim h 0 h melkein kikkill. Tutkitn e.m. rj-rvo seurvksi kun h =1/m j määritellään g m (x) =m(f(x +1/m) f(x)), missä f(x) =f(b) jos x b. Selvästig m on mitllinen. Lisäksi g m f m.k., joten f on mitllinen. Kosk f on ksvv funktio, on g m 0. Soveltmll Ftoun lemm sdn b b f (x) dx lim inf g m (x) dx m b = lim inf m f(x +1/m) f(x) dx m b+1/m = lim inf m f(x +1/m) dx m b f(b) f(). +1/m f(x) dx Näin ollen f L 1 ([, b]) joten f < m.k., j funktio on siis differentioituv m.k. dellinen luse pätee vin ksvville funktiolle, mutt derivtn linerisuuden nojll päätellään, että funktio f on derivoituv melkein kikill, jos f = f 1 f 2 missä f 1 j f 2 ovt ksvvi funktiot. Annetn tälle funktioluoklle nimi: Määritelmä 8.4. Funktio f :[, b] R on rjoitetusti heilhtelev jos f = f 1 f 2 missä f 1 j f 2 ovt ksvvi funktiot. Huomutus. Yleensä rjoitetusti heilhteleville funktioille käytettään toist määritelmää, jok on kuitenkin ekvivlentti tämän määritelmän knss. Plutetn mieleen integrlifunktion käsite: Määritelmä 8.5. Olkoon f :[, b] R välin [, b] yli integroituv funktio. Funktiot F :[, b] R, jolle F (x) = x fdx kun x [, b], snotn funktion f integrlifunktioksi. Huom, että F (x) (, + ), kosk x fdx= x f + dx x f dx, missä x f + dx Määritelmän mukn b f + dx < j F (x) = x x f + dx f dx x Kosk f + j f ovt ei-negtiivisi, ovt funktiot x x f + dx j x f dx. x b f dx f dx <.

42 42 2. INTGROIMISTORIAA ksvvi, joten integrlifunktio F on in rjoitetusti heilhtelev. Näin Luseest 8.3 seur, että F on differentoituv melkein kikkill. Tvoittenmme on lisäksi osoitt, että F = f m.k. Todistetn tämä muutmn putuloken vull. Lemm 8.6. Olkoon f L 1 ([, b]) j F (x) =0m.k. x [, b]. Tällöin myös f =0m.k. x [, b]. Todistus. Olkoon se joukko joss f > 0, j tehdään vstoletus, että m() > 0. Mitn sisäsäännöllisyyden nojll löytyy suljettu joukko F jok on myös positiivismittinen. Merkitn A =(, b) \ F. Huom, että A on voin. Kosk b 0= fdx= fdx+ fdx, A päätellään, että fdx = fdx < 0. KoskA on voin joukko, voidn A F se esittää numeroituvn yhdisteenä voimi välejä: A = i ( i,b i ). Integrlin dditiivisuudest sdn bi fdx= fdx. A Ainkin yksi summn termi on nollst erov, esim. b m fdx 0. Näin ollen i fdx i bi fdx joten inkin toinen näistä ero nollst, vstoin luseen oletust. Sm ristiriit syntyy jos löytyy positiivismittinen joukko joss f on pienempi kuin noll. Näin f =0m.k. Lemm 8.7. Olkoon f rjoitettu mitllinen funktio välillä [, b]. TällöinF = f melkein kikkill. Todistus. Olkoon K>0sellinen, että f(x) K kikill x [, b]. Määritellään f m (x) =n ( 1 x+ F (x + 1 ) F (x)) m = n f(y) dy. m x Toisest lusekkeest päätellään, että f m K. Kosk F on rjoitetustu heilhtelev, on F differentioituv m.k., j f m F m.k. Näin ollen dominoidun suppenemisen luseest seur, että z F dx = lim m z f m dx F m z = lim m F (x + 1 ) F (x) dx m m = lim m m ( z+ 1 m = F (z) F () = z F (x) dx z fdx. + 1 m ) F (x) dx Näin siis z F fdx=0kikill z (, b), jotenf = f m.k. edellisen lemmn nojll. Luse 8.8. Olkoon f L 1 ([, b]). TällöinF = f melkein kikkill.

43 8. INTGRAALILASKNNAN PÄÄLAUS 43 Todistus. Riittää trkstell erikseen funktioit f + j f. Näin ollen oletmme, että f 0. Olkoon f m (x) =min{f(x),m}. Koskf f m 0, on funktio G m (z) = z f f m dx ksvv muuttujn z suhteen. Näin ollen G m on differentioituv m.k., j G m 0. Kosk f m on rjoitettu, päätellään edellisen luseen nojll, että F m = f m m.k., missä F m on f m :n integrlifunktio. Integrlin j derivtn dditiivisuudest sdn nyt F (z) =(G m (z)+f m (z)) = G m(z)+f m(z) f m (z) m.k. Kosk tämä pätee kikille m 1, sdn tästä F (z) f(z) m.k. Toislt Luseen 8.3 tiedämme, että b F fdx 0. Kosk integroitv funktio on ei-negtiivinen m.k., seur tästä, että F = f m.k. dellä näimme, että integroituvn funktion integrlifunktion derivtt on funktio itse. Vstvsti voisi jtell, että derivtt integroimll sisi tkisin lkuperäisen funktion. Näin ei kuitenkn yleisesti käy. simerkiksi Cntorin rppufunktio on monotoonisesti ksvv, j sillä on siis derivtt melkein kikill. Kuitenkin sen derivtt on noll m.k., joten derivtn integrlikin on noll, eikä lkuperäinen funktio. Jott derivtt integroimll sisi tkisin lkuperäisen funktion vditn siis jokin lisäoletus, jost yleisin on seurvn määritelmän ntm. Määritelmä 8.9. Funktiot h :[, b] R snotn bsoluuttisesti jtkuvksi välillä [, b], josjokistε>0kohti on olemss sellinen δ>0, että jokiselle äärelliselle kokoelmlle erillisiä osvälejä ( k,b k ) [, b], k =1, 2,...,i, ehdost seur, että i (b k k ) <δ i h(b k ) h( k ) <ε. Luseelle 8.1 sdn välittömästi simerkki. Jos f :[, b] R on integroituv yli välin [, b], niin sen integrlifunktio g on bsoluuttisesti jtkuv välillä [, b]: Olkoon ε>0. Luseen 8.1 nojll on olemss sellinen δ>0, että f dx < ε, A

44 44 2. INTGROIMISTORIAA kun m(a) <δ,a [, b]. Olkoon{( k,b k )} n sellinen kokoelm erillisiä välejä, että n (b k k )=m( n ( k,b k )) <δ. Silloin bk k g(b k ) g( k ) = fdx fdx = = = k bk k n [ k,b k ] fdx+ fdx bk k f dx < ε. fdx+ bk k k f dx fdx Absoluuttisesti jtkuv funktio on rjoitetusti heilhtelev, joten se on differentioituv. Toistiseksi ilmn todistust esitetään seurv luse: Luse Jos F on bsoluuttisesti jtkuv, niin F (x) =F () + x F (y) dy kikill x [, b].

45 LUKU 3 Hilbertin vruudet 1. Funktiovruudet Tähän sti olemme tutkineet yhtä funktiot, j erityisesti sen integrli. Olemme myös lyhyesti ktsoneet integroinnin j differentioinnin välistä yhteyttä, j todistneet integrlilskennn perusluseen huomttvsti yleisemmässä tpuksess kuin iemmill kursseill. Mtemttiselle nlyysille oli ominist juuri tällinen yhteen funktioon keskittyvä lähestymistp in 1900 luvun lkupuolelle sti. Näistä joist lähtien olln nlyysin ongelmi tutkittu myös funktiovruuksien kutt. Funktiovruus on joukko funktioit, joille määritellään jonkinlinen geometrinen struktuuri. simerkiksi funktion pproksimoinniss on luonnollist jtell, että khden funktion välillä on jokin etäisyys: mitä pienempi etäisyys oiken funktioon, sitä prempi pproksimtio. Funktiovruus lähestymistvll on lisäksi se etu, että smme käyttöömme linerilgebrn j topologin työklut. Lähdetään siis liikkeelle pluttmll mieleen lineri lgebrn peruskäsitteen määritelmä: Määritelmä 1.1. Olkoon V joukko, K kunt, j +: V V V j : K V V kuvuksi. Snomme, että (V,+, ) on vektori vruus yli kunnn K jos seurvt ehdot täyttyvät: (V,+) on belin ryhmä; 1 v = v kikill v V ; α (β v) =(αβ) v kikill v V j α, β K; α (u + v) =α u + α v j (α + β) v = α v + β v kikill u, v V j α, β K. simerkki. Tutut esimerkit vektori vruuksist ovt Q yli Q, R yli R, C yli C, R yli Q, R n yli R, C yli R, jne. Olemmekin jo kohdnneet esimerkin funktiovruudest, eli funktiojoukost, jok on vektorivruus. Jos nimittäin määrittelemme funktioiden yhteen- j kertolskun pisteittäin, ts. (f + g)(x) =f(x)+g(x) j (α f)(x) =αf(x), niin L 1 (,μ) on vektorivruus yli kunnn R. Tämä vruus on itse siss vin yksi esimerkki ljemmst perheestä, jok määritellään seurvsti: Määritelmä 1.2. Olkoon μ mitt j μ-mitllinen joukko. Avruus L p (,μ) koostuu niistä funkioist f : R joille f(x) p dμ <. Huom, että kun opertioist + j ei snot mitään, kuten edellisessä määritelmässä, tulee ymmärtää, että kyse on luonnollisist opertioist, eli pisteittäisestä yhteen- j kertolskust. 45

46 46 3. HILBRTIN AVARUUDT Kikki muut vektori vruuden ominisuudet ovt selvät, pitsi se, että f,g L p implikoi, että f + g L p. Oletetn siis, että f,g L p. Silloin ( ) f(x)+g(x) p p dμ f(x) + g(x) dμ 2 p 1 f(x) p + g(x) p dμ <. Toisess epäyhtälössä käytimme reliluku epäyhtälöä x + y ( x p + y p ) 1/p. 2 2 Tutkittn miten eksponentti p vikutt vruuden L p kokoon: Luse 1.3. Olkoon μ-mitllinen joukko jolle μ() <. TällöinL p (,μ) L q (,μ) jos j vin jos p q. Todistus. Olkoon p q. Meidän pitää siis todist, että funktio f L p (,μ) kuuluu myös vruuteen L q (,μ). Tämäseurrviost f(x) q dμ mx{1, f(x) p } dμ μ()+ f(x) p dμ <. dellisestä luseest seur erityisesti, että jokinen L p funktio on integroituv jos joukon mitt on äärellinen. Lukij voi hrjoituksen osoitt, että edellisen luseen inkluusio on ito jos p > q, j, että luse ei päde ilmn oletust μ() <. Meitä kiinnost erityisesti vruus L 2. Aluksi voi tuntu siltä, että tämä vruus on hnklmpi kuin vruus L 1. Itse siss päinvstinen on tott. Intuition siitä, miksi näin on sdn ktsomll ukliidist vruutt: tässähän käytämme yleensä etäisyyttä x y = n x i y i 2, emmekä (ns. Mnhttn eli tksi)etäisyyttä x y 1 = x i y i. Jos summ jetn luvull n j nnetn n, niin summ lähestyy integrli, j smme vstvt L 2 j L 1 -etäisyydet: ( 1/2 f g 2 = f(x) g(x) dμ) 2, j f g 1 = f(x) g(x) dμ, kun f,g L 2 ti f,g L 1. Huom, että jos = {1,...,n} j μ on lukumäärämittä, niin L 2 (,μ) on sm vruus kuin (R n, ). Seurv määritelmä kiteyttää etäisyyden ydinominisuudet bstrktiss muodoss. Määritelmä 1.4. Olkoon V vektori vruus, jonk kertojkuntn K on joko R ti C. Vektori vruudess V määriteltyä relifunktiot x x snotn normiksi, jos seurvt ehdot ovt voimss: (N1) x 0 in, kun x V ; (N2) x =0jos j vin jos x = 0; (N3) λx = λ x in, kun λ K,x V ;j

47 1. FUNKTIOAVARUUDT 47 (N4) x + y x + y in, kun x, y V [kolmioepäyhtälö]. Pri (V, ) snotn normivruudeksi. Huomutus. Normivruutt yleisempi rkenne on metrinen vruus. Normivruudest sdn metrinen vruus määrittelemällä metriikk d(x, y) = x y. Metristen vruuksien teori on esitetty Liitteessä A. simerkkejä normivruuksist ovt (R n, ) j (R n, 1 ). Funktiovruus (L 1, 1 ) toteutt kikki normin ehdot, pitsi (N2): f 1 =0jos j vin jos f =0m.k., kuten olemme iemmin todistneet. Avruudess L 1 voidn kuitenkin määritellä ekvivlenssi reltio f g jos f = g m.k. Tämä trkoitt, että smistmme funktiot jotk yhtyvät melkein kikkill. Nyt pri (L 1 /, 1 ) on normivruus. Tvllisesti snomme, että L 1 on normivruus, niin, että ekvivlenssireltio jää implisiittiseksi. Myös L 2 on esimerkki normivruudest (smll ekvivlenssireltio tulkinnll). Muut ehdot kuin kolmioepäyhtälö (N4) on helppo trkist. Kolmioepäyhtälön todistmiseksi esittelemme seurvn tärkeän työklun: Lemm 1.5 (Cuchy Schwrtzin epäyhtälö). Olkoon f,g L 2 (,μ). Tällöoin ( ) 1/2 ( 1/2 f(x)g(x) dμ f(x) 2 dμ g(x) dμ) 2. Todistus. Tutkitn funktiot ( f r g ) 2, missä r R j f,g L 2.Tämä funktio on ei-negtiivinen, joten 0 ( f r g ) 2 dμ = f 2 dμ + r 2 g 2 dμ +2r fg dμ =: A + Cr 2 +2Br. Kuten viimeisestä esityksestä nähdään, on meillä r:n suhteen toisen steen polynomi, jok on ei-negtiivinen, tämä tphtuu täsmälleen silloin, kun diskriminntti B 2 AC on ei-positiivinen. Tästä sdn Cuchy Schwrtzin epäyhtälö. Tästä seur, että L 2 on normivruus: olkoot nimittäin f,g L 2. Tällöin f + g 2 2 = (f + g) 2 dμ = f 2 dμ +2 fgdμ+ g 2 dμ ( 1/2 f 2 dμ +2 f 2 dμ g dμ) 2 + g 2 dμ [( 1/2 ( ) 1/2 ] 2 = f dμ) 2 + g 2 dμ =[ f 2 + g 2 ] 2 kolmioepäyhtälö seur ottmll tästä puolittin neilöjuuren. Myös vruudet L p (,μ) ovt normivruuksi (modulo ekvivlenssi). Kolmioepäyhtälön todistminen vtii nyt lisätyötä, johon ei tässä ryhdytä. Kiinnostuneelle kuitenkin: ssee tehtävä 3. Tässä tehtävässä on trkoituksen osoitt, että L p on normivruus kun p [1, ). Tämä edellyttää kolmioepäyhtälön todistmist, jok hoituu Youngin, Hölderin j Minkowskin epäyhtälöiden vull. Tämän vull smme myös uuden esimerkin normivruudest, jok vst numeroituv-ulotteist ukliidist vruutt:

48 48 3. HILBRTIN AVARUUDT simerkki. Olkoon = N j μ lukumäärämitt. Tällöin funktio f L p (,μ) voidn luonnollisell tvll smist jonoon (x i ), missä x i = f(i). Tätä vruutt merkitään tvllisesti l p. Se siis koostuu niistä jonoist joille (x i ) p <, missä normi määritellään ( ) 1/p (x i ) p = x i p. Nyt siis normi x y mitt khden normivruuden lkion välistä etäisyyttä. Snomme siis, että x i x jos x i x 0. simerkki. Olkoon f L 2 (). Josf i f vruudess L 2, niin f i (x) f(x) m.k. x. Josf i (x) f(x) m.k. x j lisäksi tiedämme, että f i g m.k., missä g L 2, niin päättelemme dominoidun suppenemisen luseen vull, että f i f 2 0, jolloin siis f i f vruudess L 2. [simerkin väittämien trkempi perustelu jätetään hrjoitustehtäväksi.] Smll tvll kuin uklidisess vruudess määrittelemme siis Cuchy jonon j täydellisyyden: (x i ) on Cuchy jono jos jokisell ɛ>0on olemss N siten että x i x j <ɛkun i, j > N. Kuten ukliidisess tpuksess näemme, että suppenev jono on in Cuchy jono. Jos sm pätee myös toiseen suuntn, snomme, että vruus on täydellinen: Määritelmä 1.6. Normivruus V on täydellinen jos jokinen Cuchy jono suppenee kohti jotin V lkiot. Täydellistä normivruutt snotn Bnch vruudeksi. simerkki. Anlyysi I kurssill on osoitettu, että R on täydellinen, mutt Q ei ole täydellinen. Tästä nähdään helposti, että R n on myös täydellinen. Osoitmme ll, että myös L p vruudet ovt täydellisiä. Tämä on itse siss se keskeinen koht, joss trvitsemme kehittämäämme Lebesgue:in integrliteori. Jos esimerkiksi yritämme konstruoid vruutt mukvimmill funktioill, niin siitä ei tule mitään, kuten seurv esimerkki osoitt: simerkki. Jos R n niin määrittelemme joukon C() := { f : R f on jtkuv }. Kuten iemmin, nähdään, että (C(), p ) on nomrivruus. Se ei kuitenkn ole täydellinen. Olkoon esimerkiksi =[ 1, 1] j p =1.Nytf k (x) = x 1/k 1 x (f k (0) = 0) on jtkuv funktio jokisell k. Suorll lskull smme f k f i 1 = 2 k i /[(k +1)(i +1)],joten(f k ) on Cuchy jono. Kuitenkin jono rj-rvo on funktio f = χ (0,1] χ [ 1,0), jok ei kuulu vruuteen C([ 1, 1]). Näin ollen ei ole olemss sellist funktiot g C([ 1, 1]), että f i g 1 0, joten vruus ei ole täydellinen. Osoitetn nyt L p vruuksien täydellisyys. Luse 1.7. Olkoon μ mitt mitllisell joukoll R n. Nyt vruus L p (,μ) on täydellinen. Todistus. Olkoon (f i ), f i L p, Cuchy jono. Vlitn osjono (f ik ) k, i 1 < i 2 <..., siten että f ik+1 f ik p < 2 k

49 2. HILBRT AVARUUDN SOVLLUS 49 jokisell k. Määritellään m g m = f ik+1 f ik j g = f ik+1 f ik. Kolmioepäyhtälön vull smme g m p < 1 jokisell k, j tästä sdn Ftoun lemmn vull, että myös g p 1. Tästä seur, että g< m.k. Mutt jos g(x) <, niin srj f i1 (x)+ f ik+1 (x) f ik (x) on itseisesti suppenev. Merktn f(x):llä srjn rj-rvo, kun se on olemss, j setetn f(x) =0muuten. Kosk m f i1 (x)+ f ik+1 (x) f ik (x) =f im+1, niin näemme, että f = lim m f im+1 m.k. Osoitetn lopuksi, että f i f. Olkoonɛ>0j vlitn Cuchy ominisuuden nojll sellinen N, että f i f j p <ɛkun i, j > N. Kunm>Nsdn Ftoun lemm käyttämällä f f m p dμ lim inf f ik f m p dμ ɛ p. Ottmll p:s juuri sdn siis f f m p ɛ. Tästä seur kolmioepäyhtälon nojll, että f p <,jotenf L p (,μ) (f on mitllinen iemmin todistettujen tulosten nojll). Kosk ɛ oli mielivltinen, sdn siis f m f vruusess L p, joten Cuchy jono suppenee, kuten oli todistettv. 2. Hilbert vruuden sovellus Trkstelln seurv differentiliyhtälöä. Ongelmn on löytää funktion u: [0,] [0,b] R jok toteutt lämpöyhtälmön 2 u x (x, u 2 y)+ 2 (x, y) =0 y2 kikill (x, y) (0,) (0,b) j reunehdot u(x, 0) = 0 j u(x, b) =sin 2 (πx/) kikill x [0,] sekä u u (0,y)=0j (, y) =0 x x kikill y [0,b]. Rtkisu kuv esimerkiksi lämpötiljkum tilss [0,] [0,b] kun pystysivut ovt lämpöeristettyjä, lämpötil lsivull [0,] {0} on 0 j yläsivull [0,] {b} on sin 2 (πx/). Rtkisu voidn konstruoid muuttujien seproinnill seurvsti. Yritämme sd mhdollisimmn moni yllä minituist ehdoist täyttymään rtkisuyritteellä u(x, y) =X(x)Y (y). Tässä tpuksess lämpöyhtälö tulee muotoon X Y + XY =0 j reunehdot ovt X (0) = X () =0, Y (0) = 0 j X(x)Y (b) =sin 2 (πx/).

50 50 3. HILBRTIN AVARUUDT Jkmll differentiliyhtälö tuloll XY (jok ei ole noll lueen sisällä) sdn X (x)/x(x) = Y (y)/y (y). Kosk vsen puoli riippuu pelkästään muuttujst x j oike puoli pelkästään muuttujst y, päättelemme, että kummtkin ovt vkioit. Osoittutuu, että tämä vkio on negtiivinen, joten merkistemme sitä λ 2 :ll. Yhtälön X = λ 2 X yleinen rtkisu on X(x) =A cos(λx)+b sin(λx) jost sdn reunehdot huomioonotten, että λ on muoto λ n = nπ, n N j rtkisut ovt muoto X 0 (x) =A j X n (x) =c n cos(λ n x). Yhtälön Y = λ 2 Y yleinen rtkisu on Y (y) =Ce λy + De λy. Jos λ =0sdn Y (y) =Dy+C. Reunehdost Y (0) = 0 seur, ett edellisessä tpuksess D = C, jälkimmäisessä tpuksess C = 0. Smme siis Y n (y) =C ( e λny e λny) =2C cosh(λ n y) j Y 0 (y) =Dy. Tähäm mennessä olemme todistneet, että funktiot u n (x, y) = X n (x)y n (y) toteuttvt lämpöyhtälön j reunehdot u(x, 0) = 0 kikill x [0,] sekä u u (0,y)=0j (, y) =0 x x kikill y [0,b] jokisell luonnollisell luvull n. Viimeinen, vikein, reunehto, u(x, b) = sin 2 (πx/) kikill x [0,], on vielä täyttämättä. Se ei täytykään yksittäisellä funktioll. Huommme kuitenkin, että myös summt n u n (x, y) n=0 täyttävät lämpöyhtälön j kolme helppo reunehto, kunhn konvergensistä huolehditn. Yläreunehto u(x, b) =sin 2 (πx/) voidn srjn vull kirjoitt muotoon n X n (x)y n (b) = 0 y n cosh(λ n b)cos(λ n x)=sin 2 (πx/) n=0 n=1 Huommll, että voimme kirjoitt sin 2 (πx/) = 1 (1 cos(2πx/) näemme, 2 että summ s oiken muodon yläreunllkin, jos vlitsemme 0 =1/(2b), 1 2 = 2sinh(λ 2 b) j 1 = 3 = 4 =... =0. Kosk vin kksi kerroint poikke nollst, on summn konvergenssi selvä. Jos yläreunehdon funktio ei olisi ollut näin näppärästi vlittu, niin miten olisimme voineet löytää kertoimet n jolle pätee ã n cos(λ n x)=f(x)? n=1 Aiemmin olemme tulkinneet funktiot vektorieksi ti pisteiksi funktiovruuksiss. Yritämme seurvksi selvittää voisiko tästä nlogist oll hyötyä tämän

51 2. HILBRT AVARUUDN SOVLLUS 51 ongelmn rtkisuss. Jos iemmt funktiot cos(λ n x) merkitään v n :llä, tulee kysymys muotoon, mitkä vektorit voidn esittää muodoss n v n n=1 missä n :t ovt sklrej. Tähän liittyen plutmme mieleen seurvt määritelmät: joukon X V virittämä luvruus koostuu kikist äärellisistä lineerikombintioist, eli L(X) = { k n v n n K,v n V,k N }. n=1 Tämä näyttää vähän siltä, mitä yllä trvitsisimme, kun nnmme k jotenkin mennä äärettömään. Äärellinen joukko {v 1,...,v k } V on lineristi riippumton, jos yhtälöstä k n v n =0 n=1 seur, että n =0kikill n. Yleisesti X V on lineristi riippumton, jos jokinen äärellinen X k X on lineristi riippumton iemmn määritelmän mukisesti. simerkki. Olkoon u 1 (x) =x 2 + x j u 2 (x) =x 2 +1.Nytu 1,u 2 L 2 ([0, 1]). Joukko L({u 1,u 2 )} koostuu polynomeist u 1 + bu 2, eli kikist toisen steen polynomeist x 2 + bx + c joille = b + c. simerkki. Jos setmme u k (x) = x k, niin edelleen u k L 2 ([0, 1]). Tässä tpuksess L({u k }) kostuu kikist polynomeist. Määritellään v n (x) = 1 n ( x ) i 2 i=0, jolloin siis v 2 n L({u k }) jokiselle n. Kuitenkin v n (x) 1 tsisesti välillä [0, 1] j 1 L({u 2 x 2 x k}). Tsisest suppenemisest päättelemme heti, että v n 1 vruudess 2 x L2,jotenL({u k }) ei ole suljettu joukko vruudess L 2 ([0, 1]). Meillä on siis syytä olett, että kosiini-funktioiden linerikombintiot voivt oll tärkeitä kun lumme selvittää mitkä funktiot voidn esittää muodoss n cos(λ n x). Hetn ts vihjeitä siitä miten knnttisi edetä ukliidisest tpuksest. Snotn, että tiedämme, että w = L({u, v}). Miten löydetään, b R siten, että w = u + bv? Yksi tp on käyttää sklritulo. Jos e.m. yhtälö kerrotn u:ll ti v:llä sdn yhtälöryhmä w u = u 2 + bv u w v = u v + b v 2, jost j b voidn rtkist. Sklrituloll ei kuitenkn ole vstinett yleisessä vektorivruudess. Sen tki määrittelemme seurvksi normivruuden erikoistpuksen, sisätulovruuden.

52 52 3. HILBRTIN AVARUUDT 3. Sisätulovruudet Olkoon seurvss H linerivruus, jonk kertojkuntn K on joko R ti C. Määritelmä 3.1. Kuvust ( ) :H H K snotn sisätuloksi, jos seurvt ehdot ovt voimss: (S1) (y x) =(x y) in, kun x, y H. (S2) (x x) 0 in, kun x H. (S3) (x x) =0jos j vin jos x = 0. (S4) (x + y z) =(x z)+(y z) in, kun x, y, z H. (S5) (λx y) =λ (x y) in, kun x, y H j λ K. Pri ( H, ( ) ) snotn sisätulovruudeksi, eli pre-hilbert-vruudeksi. Suorn sisätulon määritelmästä sdn seurvt ominisuudet: (x y + z) =(x y)+(x z) x, y, z H, (x λy) =λ (x y) x, y H, λ K, ( ) ( ) 0 x = x 0 =0 x H, ( m ) λ i x i μ j y j = j=1 m λ i μ j (x i y j ). j=1 Osoitetn lisäksi seurv ominisuus: Jos (x z) =(y z) in, kun z H, niin x = y. htojen (S4) j (S5) mukn (x z) =(y z) (x y z) =0 in, kun z H. Jos erityisesti z = x y, niin ehdon (S3) nojll (x y x y) =0 x y = 0 x = y. simerkki. Avruuteen R n voidn määritellä sisätulo kvll (x y) = x k y k, missä x = (x 1,x 2,...,x n ), y = (y 1,y 2,...,y n ) R n. Tämä on ns. euklidinen sisätulo. Vstv sisätulo voidn määritellä vruuteen C n : (x y) = n x ky k. Olkoon C ( [, b] ) = {f :[, b] R f jtkuv}. Tähän relikertoimiseen linerivruuteen voidn määritellä esimerkiksi seurv sisätulo: (f g) = b f(t)g(t)dt in, kun f,g C ( [, b] ). Avruuteen C ( [, b], C ) = {f(t) = f 1 (t) +if 2 (t) f 1,f 2 määritellä vstvnlinen sisätulo kuin edellä: (f g) = b f(t)g(t)dt in, kun f,g C ( [, b], C n). C ( [, b] ) } voidn Avruuteen l 2 = {x =(x k ) C x k 2 < } käy sisätuloksi (x y) = x k y k, missä x =(x k ), y =(y k) l 2.

53 3. SISÄTULOAVARUUDT 53 Luse 3.2 (Cuchyn Schwrtzin epäyhtälö). Jos x j y ovt sisätulovruuden H vektoreit, niin (x y) 2 (x x)(y y). Yhtäsuuruus on voimss jos j vin jos vektorit x j y ovt linerisesti sidotut. Todistus. Olkoon λ K mielivltinen. Tällöin 0 (x + λy x + λy) =(x x)+(λy x)+(x λy)+(λy λy) =(x x)+λ(x y)+λ (x y)+ λ 2 (y y). Jos y = 0, niin 0 (x x), mikä on voimss in, kun x H. Josy 0, niin vlitsemll λ = (x y) (y y) sdn 0 (x x) (x y) 2 (y y) (x y) 2 (y y) (x y) 2 (y y) + } {{ } =0 (x y) 2 (x x) (y y) (x y) 2 (x x)(y y). Yllä olevss päättelyssä yhtäsuuruus on voimss jos j vin jos 0=(x + λy x + λy) x + λy = 0, eli kun x j y ovt linerisesti sidotut. Luse 3.3. Jokinen sisätulovruus H on myös normivruus, kun normi määritellään kvll x = (x x) in, kun x H. Todistus. Osoitetn, että normiksiomit (N1) (N4) ovt voimss: (N1): x = (x x) 0 in, kun x H. (N2): x =0 (x x) =0 x = 0. (N3): λx = (λx λx) = λ 2 (x x) = λ (x x) = λ x. (N4): Kosk x + y 2 =(x + y x + y) =(x x)+(y x)+(x y)+(y y) =(x x)+(x y)+(x y)+(y y) = x 2 +2Re(x y)+ y 2 x 2 +2 (x y) + y 2 x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2, niin x + y x + y in, kun x, y H. Seurvn luseen todistus on hrjoitustehtävä. Luse 3.4. Sisätulovruudess H on voimss:

54 54 3. HILBRTIN AVARUUDT 1. x + y 2 + x y 2 =2 ( x 2 + y 2 ) in, kun x, y H. ( 2. Jos K = C, niin (x y) = 1 4 x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2 ) in, kun x, y H. 3. Jos K = R, niin (x y) = 4( 1 x + y 2 x y 2 ) in, kun x, y H. Yhtälö1onns.suunnikssääntö. Yhtälöt2j3ovtns.polristiokvt. Voidn osoitt, että normivruus on sisätulovruus jos j vin jos suunnikssääntö on voimss. Luse 3.5. Jos x n x j y n y vruudess H, niin (x n y n ) (x y), ts.( ) on jtkuv kuvus H H K. Todistus. Olkoot x n x 0 j y n y 0. Tällöin (x n y n ) (x y) = (x n y n ) (x y n )+(x y n ) (x y) = (x n x y n )+(x y n y) (x n x y n ) + (x y n y) x n x y n + x y n y. Tässä y n on rjoitettu, x on vkio j lim x n x = lim y n y =0. n n Näin ollen (x n y n ) (x y) 0, kunn. Plutetn linerilgebrst mieleen muutmi käsitteitä j tuloksi. Sisätulovruuden H vektorit x j y ovt ortogonliset, eli kohtisuorss toisin vstn, jos (x y) =0. Tätä merkitään x y. Vektorijoukko S on ortogonlinen, jos (x y) =0 in, kun x, y S j x y. Ortogonlinen vektorijoukko S on ortonormli, jos x =1in, kun x S. Jos S on ortogonlinen vektorijoukko, jok ei sisällä nollvektori, niin S on linerisesti vp. Osoitetn tämä. Olkoot x 1,...,x p S, λ 1,...,λ p K j olkoon λ 1 x λ p x p = 0. Tällöin jokisell k =1,...,pon (λ 1 x λ p x p x k )= ( ) 0 x k =0 λ 1 (x 1 x k )+ + λ k (x k x k )+ + λ p (x p x k )=0 = λ k x k 2 =0 = λ k =0. Näin ollen S on linerisesti vp. Jos S on vektorijoukko, niin merkitään { L(S) := λ k x k λk K, x k S, k =1,...,n, n Z + }, jolloin L(S) on joukon S virittämä livruus.

55 3. SISÄTULOAVARUUDT 55 Jos {u 1,...,u n,...} on sisätulovruuden H linerisesti vp vektorijoukko, niin on olemss sellinen vruuden H ortonormli vektorijoukko {e 1,...,e n,...}, että L({u 1,...,u n })=L({e 1,...,e n }) in, kun n Z +.Joukon{e 1,...,e n,...} konstruointiin voidn käyttää Grmin Schmidtin ortonormeerusmenetelmää. Pythgorn luse on voimss sisätulovruuksiss: Jos (x y) =0, niin x + y 2 = x 2 + y 2. Jos {x 1,x 2,...,x n } on ortogonlinen vektorijoukko, niin induktioll voidn osoitt, että 2 x k = x k 2. Luse 3.6 (Besselin epäyhtälö). Olkoon {e 1,...,e n } ortonormli vektorijoukko sisätulovruudess H. Tällöin 2 x (x e k ) e k = x 2 (x e k ) 2 j (x e k ) 2 x 2 in, kun x H. Todistus. Olkoot λ 1,...,λ n K mielivltisi. Tällöin {λ 1 e 1,...,λ n e n } on ortogonlinen, j 2 λ k e k = λ k e k 2 = λ k 2. Olkoon nyt x H mielivltinen, jolloin 2 ( x λ k e k = x 2 ) ( ) x x λ k e k λ k e k + = x 2 = x 2 λ k (x e k ) (x e k ) 2 + λ k (x e k )+ 2 λ k e k λ k 2 (x e k ) λ k 2. Vlitsemll λ k =(x e k ) jokisell k =1, 2,...,n sdn 2 x (x e k ) e k = x 2 (x e k ) 2. Jälkimmäinen epäyhtälö seur tästä, sillä vsen, j siten myös oike, puoli on ei-negtiivinen. Huomutus. Vlint λ k =(x e k ) jokisell k =1, 2,...,n minimoi lusekkeen 2 (9) x λ k e k.

56 56 3. HILBRTIN AVARUUDT Tämän voi tulkit niin, että pienin etäisyys pisteestä x vektorien {e 1,...,e n } virittämälle livruudelle on Lusekkeen 9 mukinen kohtisuor etäisyys. Seurus 3.7. Jos (e k ) on ortonormli jono sisätulovruudess H, niin in, kun x H. (x e k ) 2 x 2 j lim (x e k )=0 Todistus. Luseen 3.6 nojll (x e k ) 2 x 2 in, kun n Z +, mistä ensimmäinen väite seur. Kosk srj (x e k ) 2 on positiiviterminen j rjoitettu, se suppenee in, kun x H. Näin ollen lim (x e k) 2 =0. Olkoon S vektorivruuden V osjoukko. Tällöin S:n virittämä vruus koostuu S:n äärellisistä linerikombintioist. Sitä merkitään L(S), eli { k } L(S) = i s i k N, i K,s i S. Olkoon {e 1,...,e n } ortonormli vektorijoukko. Vektori y = (x e k ) e k on vektorin x kohtisuor projektio livruudelle M := L({e 1,...,e n }). Merkitään h = x y = x (x e k ) e k. Tällöin h M, sillä (h e j )= ( x ) ej (x e k ) e k =(x e j ) (x e k )(e k e j ) =(x e j ) (x e j ) e j 2 =0. }{{} =1 Määritelmä 3.8. Olkoon S H vektorijoukko. Joukko S := {x H (x z) =0in, kun z S} snotn joukon S ortogonliseksi komplementiksi. JoukkoS on totli, joss = {0}. Huomutus. Osoitetn, että joukko S on vruuden H suljettu livruus. Olkoot x 1,x 2 S, jolloin (x 1 z) =(x 2 z) =0in, kun z S.Siten(x 1 + x 2 z) = 0, elix 1 + x 2 S. Vstvsti, jos x S j α K, niin αx S. Näin ollen S on livruus.

57 4. HILBRTAVARUUDT 57 Osoitetn nyt, että S on suljettu. Olkoon x S, jolloin on olemss sellinen jono (x n ) n=1 S, että x n x. Siis (x n z) =0in, kun z S j n Z +. Kosk sisätulo on jtkuv, niin (x z) = ( lim x n z ) = lim (x n z) = lim 0=0. n n n Näin ollen x S j S on suljettu. Jos S H j x S S ovt mielivltisi, niin (x x) =0 = x 2 =0 = x = 0. Näin ollen S S {0}. Kuitenkn ei välttämättä S S = {0}, sillä S ei välttämättä sisällä nollvektori. Seurvn luseen todistus on hrjoitustehtävä. Luse 3.9. Äärellinen ortonormli vektorijoukko S = {e 1,...,e N } on sisätulovruuden H totli joukko jos j vin jos se on vruuden H knt (jolloin dim H = N). 4. Hilbertvruudet Tutkitn nyt, milloin sisätulovruuden H ääretön j ortonormli vektorijoukko {e k } on vruuden H knt, ts. milloin x = (x e k ) e k j x 2 = (x e k ) 2 in, kun x H. Trkstelln ossummi s n := (x e k ) e k, n Z +. Jos n>m, niin Pythgorn luseen mukn s n s m 2 2 = (x e k ) e k = = = k=m+1 k=m+1 k=m+1 (x e k ) 2 e k 2 (x e k ) 2. k=m+1 (x e k ) e k 2 Jono (s n ) n=1 on siten Cuchyn jono täsmälleen silloin, kun srj (10) (x e k ) 2 suppenee. Luseen 3.6 seuruksen nojll (x e k ) 2 x 2 in, kun x H. Näin ollen srj (10) suppenee in, kun x H, j(s n ) n=1 on in Cuchyn jono.

58 58 3. HILBRTIN AVARUUDT Päädymme siis ts tilnteeseen, joss Cuchy jonon suppeneminen on keskeinen kysymys. Kuten olemme nähneet, vruutt joss jokinen Cuchy jono suppenee kutsutn täydelliseksi. Kosk täydelliset sisätulovruudet muodostvt niin tärkeän luokn, otmme tässä yhteydessä käyttöön seurvn määritelmän. Määritelmä 4.1. Sisätulovruus on Hilbertin vruus, jos se on sisätulon ntmn normin suhteen täydellinen, ts. Bnchin vruus. simerkiksi vruudet R n, C n, l 2 j L 2 (,μ) ovt Hilbertin vruuksi. Äskeinen päätelmämme siis osoitt, että jos H on Hilbertin vruus, niin jono (s n ) n=1 suppenee vruudess H. Tällöin on olemss sellinen s H, että s n s. Merkitään s := lim n s n = (x e k ) e k, x H, j tutkitn, milloin s = x, ts. milloin vektorill x on esitys x = (x e k ) e k. Luse 4.2. Olkoon H Hilbertin vruus j {e k } H ortonormli joukko. Tällöin seurvt väitteet ovt yhtäpitäviä: () Joukko {e k } on totli. (b) x = (x e k ) e k in, kun x H. (c) (x y) = (x e k) (y e k ) in, kun x H (Prsevlin yhtälö). (d) x 2 = (x e k ) 2 in, kun x H. Todistus. Olkoot s j s n kuten edellä olevss päättelyssä. Osoitetn ensin () (b). Olkoon {e k } totli j ortonormli. Aikisemmn päättelyn nojll (x e k ) e k = s n s = (x e k ) e k. Toislt (s e j )= ( ) ( ) lim s ej ej n = lim (s n e j ) = lim (x e k ) e k n n n =(x e j ). Täten (s x e j )=0in, kun j Z +.Kosk{e k } eli x = s. Näin ollen ehto (b) on voimss. Osoitetn nyt (b) (c). Oletetn, että on totli, niin s x = 0, x = (x e k ) e k in, kun x H.

59 Tällöin ( (x y) = lim n = lim n = j=1 4. HILBRTAVARUUDT 59 (x e k ) e k lim n (x e k ) (y e k ). ) (y e j ) e j j=1 ( (x ek ) e k (y ej ) e j ) = lim n (x e k ) (y e k ) Täten ehto (c) on voimss. Sijoittmll ehotoon (c) x = y sdn (d), joten tämä impliktio on selvä. Osoitetn lopuksi, että (c) (). Oletetn, että x 2 = (x e k ) 2 in, kun x H. Jos x {e k }, niin (x e k )=0in, kun k Z +.Täten x 2 =0,elix = 0. Näin ollen {e k } on totli. dellisen luseen nojll totlit ortonormlit joukot ovt erityisen tärkeitä. Sen tki määrittelemme: Määritelmä 4.3. Olkoon H sisätulovruus. Numeroituv vektorijoukko {e k } on vruuden H ortonormli knt, jos se on ortonormli j totli. simerkki. (1) Olkoon H = R n j (x y) = x k y k in, kun x =(x 1,...,x n ), y =(y 1,...,y n ) H. Olkoot e 1 =(1, 0, 0,...,0), e 2 =(0, 1, 0,...,0),. e n =(0, 0, 0,...,1). Tällöin {e 1,...,e n } on ortonormli, j x = x 1 e x n e n in, kun x =(x 1,...,x n ) H. Joukko{e 1,...,e n } on vruuden R n luonnollinen ortonormli knt. (2) Olkoon H = C n j (x y) = x k y k in, kun x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) H. Olkoot vektorit e j kuten edellisessä esimerkissä. Tällöinkin x = x 1 e x n e n in, kun x =(x 1,...,x n ) H. Joukko{e 1,...,e n } on vruuden C n luonnollinen ortonormli knt.

60 60 3. HILBRTIN AVARUUDT (3) Olkoon H = l 2 = {x =(x k ) C x k 2 < } j (x y) = x k y k. Tällöin joukko {e k }, missä e 1 =(1, 0, 0,...), e 2 =(0, 1, 0,...),..., on ortonormli. Jos x =(x 1,x 2,...) H, niin (x e k )=x k j x 2 = x k 2 <. Siis x 2 = (x e k ) 2 j x = lim n (x 1,x 2,...,x n, 0, 0,...) = lim n = (x e k ) e k. (x e k ) e k Näin ollen joukko {e k } on vruuden l 2 (luonnollinen) ortonormli knt. (4) Olkoon L 2 ([, b]) = {f :[, b] R (f g) = b f(x)g(x)dx b f(x) 2 dx< } j in, kun f,g L 2 ([, b]), jolloin L 2 ([, b]) on Hilbertin vruus. Sillä on useit ortonormlej kntoj. Jos {e k } on Hilbertin vruuden H ortonormli knt, niin jokisell vektorill x H on esitys Fourier-srjn: x = (x e k ) e k. Lukuj k =(x e k ) snotn vektorin x Fourier-kertoimiksi. Plutettn mieleen, että vruus on seproituv, jos sillä on numeroituv, tiheä osjoukko. Jos H on seproituv ääretönulotteinen Hilbertin vruus, niin se on isomorfinen Hilbertin vruuden l 2 knss, ts. on olemss sellinen linerinen bijektio T : H l 2, että Tämän todistminen on hrjoituksen. (Tx Ty) l2 =(x y) H in, kun x, y H. Luse 4.4. Hilbertin vruus on seproituv jos j vin jos sillä on ortonormli knt.

61 5. PROJKTIOLAUS JA FRÉCHT N RISZIN LAUS 61 Todistus. Olkoon ensin H seproituv Hilbertin vruus j S = {s k } H tiheä osjoukko. Tällöin S on totli. Muodostetn joukon S vull linerisesti vp osjoukko j siitä Grmin Schmidtin menetelmällä sellinen ortonormli joukko = {e k }, että L() =L(S). Hrjoituksen on osoitt, että myös on totli, siis knt. Olkoon = {e k } Hilbertin vruuden H ortonormli knt, eli L() =H. Vlitn S = {Kikki rtionlikertoimiset, äärelliset lineriyhdistelyt kntvektoreist} = { q k e k q k Q,n Z + }, jolloin S on numeroituv j S = H. 5. Projektioluse j Fréchet n Rieszin luse Olkoon H sisätulovruus j olkoon S H. Aikisemmin määriteltiin ortogonlinen komplementti S. Merkitään S := (S ). Hrjoituksiss on osoitettu, että () Jos S 1 S 2, niin S2 S 1. (b) S S. (c) (S ) = S. x h M z Kuv 1. Vektorin x projektio livruudelle M. Luse 5.1 (Projektioluse). Olkoon H Hilbertin vruus j M sen ito suljettu livruus. Jos x H, niin on olemss sellinen yksikäsitteinen vektori z M, että x z = inf x m =d(x, M). m M Lisäksi (x z) M. Todistus. Vert Luseen 3.6 jälkeinen huomututs, joss M on äärellisulotteinen j sillä on ortonormli knt. Määritelmän mukn d(x, M) = inf x m =: d. m M

62 62 3. HILBRTIN AVARUUDT Infimumin määritelmän mukn on olemss minimoiv jono {m k } M, jolle d = lim x m k. Osoitetn, että {m k } on Cuchyn jono. Jos k, l Z +, niin suunnikssäännön nojll m k m l 2 = (m k x)+(x m l ) 2 =2( x m k 2 + x m l 2 ) 2x (m k + m l ) 2 =2( x m k 2 + x m l 2 ) 4 x 1 2 (m k + m l ) 2. Nyt 1 (m 2 k m l ) M, jotend x 1 (m 2 k + m l ). Näin ollen lim l, k m k m l 2 2(d 2 + d 2 ) 4d 2 =0, joten {m k } on Cuchyn jono suljetuss livruudess M. Näin ollen sillä on rj-rvo z M. Osoitetn seurvksi, että edellä stu vektori z on yksikäsitteinen. Oletetn, että x z = x w = d =d(x, M), missä z, w M. Tällöin 1 (z + w) 2 M j d 2 1 x 2 (z + w) 2 = 1 2 (x z)+1 2 (x w) 2 =2 ( 1 2 (x z) (x w) 2 ) 1 2 (z w) 2 =2( 1 4 d d2 ) 1 4 z w 2. Siis z w 2 0, eliz = w. Osoitetn vielä, että (x z) M. Tehdään vstoletus: On olemss sellinen y 0 M, että (x z y 0 )=λ 0. Vlitn jolloin h = z + λ y 0 y 0 2 M, x h 2 = y 0 ( x z λ 2 y 0 2 = x z λ y 0 x y ) 0 z λ y 0 2 y 0 2 = x z 2 λ y 0 2 λ λ y 0 2 λ + λ 2 y 0 4 y 0 2 = x z 2 λ 2 y 0 2 < x z 2. Tämä on vstoin vektorin z minimiominisuutt, joten vstoletus on väärä j väite on todistettu. Huomutus. Luseess 5.1 suljettu livruus M voitisiin korvt suljetull konveksill joukoll. Tällöinkin jokist pistettä x H kohti löytyy sellinen yksikäsitteinen piste z M, että x z = inf x m. m M Tällöin ei kuitenkn välttämättä ole (x z) M.

63 5. PROJKTIOLAUS JA FRÉCHT N RISZIN LAUS 63 Trkstelln seurvksi sisätulovruuden H livruuksi M j N. Merkitään M + N := {m + n m M,n N}. Myös M + N on vruuden H livruus. Jos erityisesti M N, niin merkitään M N. Tällöin kyseessä on ortogonlinen, eli suor summ. Tässä tpuksess jokisen vektorin x M N esitys x = m + n on yksikäsitteinen, sillä jos olisi x = m + n = m + n, missä m, m M j n, n N, niin m m = n n M N = {0}. Siis m = m j n = n. Seurvn lemmn todistus on hrjoituksen. Lemm 5.2. Jos M j N ovt Hilbertin vruuden H suljettuj livruuksi j M N, niin myös M N on suljettu livruus. Luse 5.3. Olkoon H Hilbertin vruus j M sen suljettu livruus. Tällöin H = M M, ts. jokisell x H on yksikäsitteinen esitys x = m + n, missä m M j n M. Todistus. Olkoon x H mielivltinen. Jos x M, niin x = x+0 on hettu esitys, sillä 0 M.Josx/ M, niin Luseen 5.1 nojll on olemss sellinen yksikäsitteinen vektori m M, että x m M.Sitenm +(x m) on hettu esitys. Seurus 5.4. Jos M on Hilbertin vruuden H suljettu livruus, niin M = M. Todistus. Hrjoituksiss on osoitettu, että jokiselle joukolle pätee M M, joten riittää osoitt, että M M. Olkoonx M H mielivltinen. Luseen 5.3 nojll x = m + n, missä m M M j n M. Siis M n = x m M, eli x m M M = {0}. Näin ollen x = m M j M M. Luse 5.5 (Fréchet n Rieszin luse). Olkoon H K-kertoiminen Hilbertin vruus j f H,ts.f on jtkuv linerinen funktionli H K. Tällöin on olemss sellinen yksikäsitteinen vektori y H, että f(x) =(x y) in, kun x H. Todistus. Osoitetn ensin olemssolo. Olkoon f H j merkitään M := Ker f = {x H f(x) =0}. Nyt M on vruuden H linerinen livruus. Kosk f on jtkuv, niin M on suljetun joukon {0} lkukuvn suljettu. Jos f on nollfuntkio, voidn vlit y = 0, sillä f(x) =0= ( x 0 ) in, kun x H. Jos f ei ole nollfunktio, niin M on ito livruus j Luseen 5.3 nojll H = M M, missä M {0}. Vlitn jokin w M \ 0, jolloin f(w) 0. w Lisäksi voidn olett, että f(w) =1, sillä ellei näin ole, vlitn vektori. f(w) Olkoon x H mielivltinen, jolloin f(x f(x)w) =f(x) f(x)f(w) =0.

64 64 3. HILBRTIN AVARUUDT Siis x f(x)w M, joten w w 2 0=(x f(x)w w) =(x w) f(x) w 2 f(x) = (x w) w 2 = ( x w ). w 2 Vlitsemll y = sdn väite. Osoitetn nyt yksikäsitteisyys. Oletetn, että on olemss selliset vektorit y, z H, että f(x) =(x y) =(x z) in, kun x H. Tällöin (x y z) =0in, kun x H. rityisesti (y z y z) =0,eliy z = 0. Näin ollen y = z, eli stu vektori on yksikäsitteinen. Jos f H, niin merkitään luseen 5.5 ntm vektori symbolill y f. Siis f(x) =(x y f ) x H = f(x) = (x y f ) x y f x H. Siten ( f = sup f(x) sup x yf ) = y f. x 1 x 1 Toislt f(y f )=(y f y f )= y f 2,joten ) = yf. f ( y f y f Täten f = y f.olkoonf y (x) =(x y) in, kun x H. Tällöin Fréchet n Rieszin luse nt vstvuudet Voidn siis määritellä kuvus H f y f H j H y f y H. J : H H,Jy = f y. Kuvus J on linerinen isometri, ts. Jy = f y = y. Avruudet H j H ovt siten isometrisesti isomorfiset, H H. 6. Hilbertin vruuden operttoreist Seurvss oletetn, että H on K-kertoiminen Hilbertin vruus. Trkstelln rjoitettuj linerikuvuksi A : H H. Siis A B(H, H) =: B(H). Tällisi kuvuksi A B(H) kutsutn Hilbertin vruuden H operttoreiksi. Aikisemmin määriteltiin linerisen kuvuksen normi kvll (11) A = sup Ax. x 1 Sisätulon ominisuuksi käyttämällä sdn Luse 6.1. Olkoon A B(H). Tällöin (12) (13) A = A 2 = sup (Ax y). x, y 1 sup (Ax Ay). x, y 1

65 Todistus. Merkitään 6. HILBRTIN AVARUUDN OPRAATTORISTA 65 A = sup (Ax y) j A 2 b = sup (Ax Ay). x, y 1 x, y 1 On siis osoitettv, että A = A b = A. Aluksi sdn A sup Ax y = sup Ax = A, x, y 1 x 1 j vstvsti A 2 b sup x, y 1 Ax Ay = A 2. Toislt A 2 b sup (Ax Ax) = sup Ax 2 = A 2. x 1 x 1 Siten A b = A. Kosk A = sup Ax = sup x 1 = sup x 1, Ax 0 = A, x 1, Ax 0 ( Ax Ax Ax 1 (Ax Ax) Ax ) sup (Ax y) x, y 1 niin A A. Näin ollen A = A. Johdetn seurvksi operttorin A B(H) djungtti A B(H). Määritellään jokist vektori y H kohti funktionli Kuvus f y on linerinen, sillä f y : H K, f y (x) =(Ax y). f y (αx 1 + βx 2 )=(A(αx 1 + βx 2 ) y) =(αax 1 + βax 2 y) = α (Ax 1 y)+β (Ax 2 y) = αf y (x 1 )+βf y (x 2 ) in, kun α, β K j x 1,x 2 H. Lisäksif y on rjoitettu, sillä f y (x) Ax y A y x = f y A y <. Fréchet n Rieszin luseen nojll on olemss sellinen yksikäsitteinen vektori z H, että f y (x) =(x z) in, kun x H. Näin ollen y f y z j sdn kuvus jok toteutt yhtälön A : H H, A y = z, f y (x) =(Ax y) =(x A y) in, kun x, y H.

66 66 3. HILBRTIN AVARUUDT Osoitetn nyt, että myös A B(H), ts. että A on linerinen j rjoitettu. Osoitetn ensin linerisuus. Nyt (x A (y 1 + y 2 )) = (Ax y 1 + y 2 )=(Ax y 1 )+(Ax y 2 ) =(x A y 1 )+(x A y 2 ) =(x A y 1 + A y 2 ) in, kun x H.SitenA (y 1 +y 2 )=A y 1 +A y 2 in, kun y 1,y 2 H. Vstvsti (x A (λy)) = (Ax λy) =λ (Ax y) =λ (x A y) =(x λa y) in, kun x H. Siis A (λy) =λa y in, kun y H j λ K. TätenA on linerinen. Osoitetn nyt, että A on rjoitettu. Fréchet n Rieszin luseest stiin, että f y = A y j f y A y. Täten A y A y j (14) A = sup A y A. y 1 Näin ollen A on myös rjoitettu j siten A B(H). Määritelmä 6.2. Operttori A B(H), jolle (Ax y) =(x A y) in, kun x, y H, snotn operttorin A B(H) djungoiduksi operttoriksi. simerkki. Olkoon K = C j 1+ik Ax = 1+k x 2 k e k in, kun x =(x k ) l 2. Tutkitn, onko A B(l 2 ).Nyt 1+ik 1+k x 2 2 k = 1+ik 2 (1 + k 2 ) x k 2 = 1+k2 2 (1 + k 2 ) x k 2 x 2 k 2 in, kun k Z +.SitenAx l 2 in, kun x l 2. delleen A on selvästi linerinen, j A on rjoitettu, sillä Ax 2 x k 2 = x 2 in, kun x l 2. Näin ollen A B(l 2 ), joten voidn määrätä A.Nyt 1+ik (Ax y) = 1+k x 1 ik 2 k y k = x k 1+k y 2 k =(x A y) in, kun x =(x k ), y =(y k) l 2.Siten A 1 ik y = 1+k y ke 2 k in, kun y =(y k ) l 2.

67 7. LBSGU AVARUUDN L 2 ORTONORMAALI KANTA Lebesgue vruuden L 2 ortonormli knt Tässä luvuss osoitmme vihdoin, että {cos(nx), sin(nx)} muodost joukon L 2 ([ π, π]) ortonormlin knnn. Todistus on näppärämpi tehdä kompleksitsoss. Olkoon nyt u j v integroituvi funktioit kuten iemmin. Silloin kompleksirvoist funktiot f = u + iv snotn integroituvksi, j määrittelemme f(x) dμ(x) = u(x) dμ(x) +i v(x) dμ(x). Trkstelemme seurvksi tpust =[ π, π] j μ = m, missä m on yksiulotteinen Lebesgue:in mitt. Tässä tpuksess siis vruuden L 2 (,μ) sisätulo 2π on π (f g) = f(t)g(t) dt. Trigonometrisell polynomill trkoitmme muoto k f(t) = 0 + n cos(nt)+b n sin(nt) n=1 π olev funktiot, missä n,b n C. ulerin yhtälön e it =cos(t)+isin(t) vull näemme, että f on trigonometrinen polynomi täsmälleen silloin, kun se voidn esittää muodoss N f(t) = c n e int. n= N Merkitään u n (t) =e int. Yksinkertisell lskull smme (u m u n )= π π e imt e int dt = δ mn, eli 1 jos m = n j 0 muutoin. Näin ollen (u m ) on ortonormli joukko. Tvoitteen on osoitt se lisäksi knnksi. Osoitmme tämän kolmess skeleess. nsimmäinen väite on, että riittää osoitt, että L ( (u m ) ) on tiheä vruudess L 2 (,μ). Tämä seur kuten Luseess 4.4. Hlumme siis nyt osoitt, että jokiselle ɛ>0 j f L 2 (,μ) on olemss trigonometrinen polynomi P jolle f P 2 <ɛ. Jmme tämän todistuksen khti, eli osoitmme ensin, että löytyy jtkuv funktio g C() jolle g( π) =g(π) j f g 2 <ɛ/2. Sitten konstruoimme trigonometrisen polynomin P jolle g P 2 < ɛ, jost väite sitten seurkin suorn kolmioepäyhtälön vull. Jäljellä on siis khden luseen todistus: Luse 7.1. Olkoon g C() funktio jolle g( π) =g(π). Funktiotg voidn pproksiomoid tsisest trigonometrisill polynomeill, eli jokiselle ɛ>0 on olemss trigonometrinen polynomi P jolle g(x) P (x) <ɛjokiselle x. Féjer osoitti 1904, että trigonometriseksi polynomiksi yllä olevss luseess voimme vlit funktion g Fourier ossummien keskirvot, eli P N =(s s N )/N. Todistus. Oletetn, että meillä on jono trigonometrisi polynomej Q k : R jotk toteuttvt seurvt ehdot:

68 68 3. HILBRTIN AVARUUDT (1) Q k 0; (2) Q k dμ =1;j (3) Jokisell δ>0, Q k 0 tsisesti joukoss [ π, δ] [π, 1] =: δ. (Näiden olemssolo todistetn myöhemmin.) Jtketn funktioit g j Q k periodisin koko relikselille, periodin 2π j määritellään P k (t) = 1 π g(t s)q k (s) ds. 2π π Muuttujvihdoll s = t r smme P k (t) = 1 2π t π t+π g(r)q k (t r) dr = 1 2π π kun toisess skeleess käytettään periodisuutt hyväksi. Kosk Q k on trigonometrinen polynomi, pätee Näin ollen smme Q k (t r) = N k P k (t) = 1 2π n= N k c k,n e in(t r) = N k n= N k c k,n e int π N k π g(r)q k (t r) dr, n= N k c k,n e int e inr. π g(r)e inr dr, kun käytetään integrlin äärellistä dditiivisuutt. Nyt jokinen määrätty integrli nt vin tietyn kompleksiluvun, jok ei riipu t:stä, joten huommme, että P k on myös trigonometrinen polynomi. Itse siss, P k on juuri se polynomi jot etsimme. Kiinnitetään ɛ > 0 j vlitn δ>0niin, että g(s) g(t) <ɛkun s t <δ. Tämä on mhdollist, josk jtkuv funktio g on tsisesti jtkuv kompktill joukoll. Funkioiden Q k ominisuuden (2) nojll smme P k (t) g(t) = 1 π [g(t s) g(t)]q k (s) ds. 2π π Käytämme nyt kolmioepäyhtälöä, j jmme sitten integrlin khteen osn: P k (t) g(t) 1 π g(t s) g(t) Q k (s) ds 2π 1 2π π δ g(t s) g(t) Q k (s) ds + 1 2π g(t s) g(t) Q k (s) ds. \ δ Jälkimmäisessä integrliss on (t s) t < δ,joteng jtkuvuuden nojll smme 1 g(t s) g(t) Q k (s) ds < ɛ Q k (s) ds ɛ 2π \ δ 2π \ δ 2π. dellisessä integrlille rvioimme 1 g(t s) g(t) Q k (s) ds 1 2π δ π sup g(s) Q k (s) ds. s δ

69 7. LBSGU AVARUUDN L 2 ORTONORMAALI KANTA 69 Kosk Q k 0 tsisesti joukoss δ, sdn tämäkin term pienemmäksi kuin ɛ vlitsemll trpeeksi suuri k. Näin ollen P k (t) g(t) Cɛ, j väite on osoitettu, funktioiden Q k konstruktiot ville. Funktioiksi Q k voidn vlit ( 1+cost ) k, Q k (t) =c k 2 missä vkio c k vlitn niin, että ehto (2) täyttyy. hto (1) on selvä, joten inostn (3) on todennettv. Vkion c k määritelmän perusteell pätee 1 π ( 1+cost ) k 1=2c k ds 2π π ( 1+cost ) k 2c k sin tds 2π 2 = c k 1 2 k π 0 / π 0 1 (1 + cos t)k+1 k +1 = 2c k (k +1)π. li, c k π (k +1). Näin smme 2 Q k (t) Q k (δ) π ( 1+cosδ ) k 2 (k +1) 0, 2 kun δ>0j t δ. Siis Q k toteutt kikki vditut ehdot, eli todistus on on vlmis. Vielä on jäljellä toisen osn todistus, eli, että jtkuvt funktiot ovt tiheässä. Luse 7.2. Joukko C() on tiheä vruudess L 2 (,μ). Trkemmin, jokiselle f L 2 (,μ) j ɛ>0 löytyy g C() jolle g( π) =g(π) j f g 2 <ɛ. Todistus. Olkoon f L 2 (,μ) j ɛ>0. KunM>0määritellään f M (t) = mx{ M,min{f(t),M}}, elif M on f ktkistu tsoill ±M. Nytf M f pisteittäin :ssä. Lisäksi, f M f, joten Dominoidun suppenemisen luseen vull smme, että f M f vruudess L 2 (,μ). Voimme siis vlit luvun M niin suureksi, että f f M 2 <ɛ. Kosk f M on mitllinen, on Luseen 7.3 (Lusinin Luse) nojll olemss jtkuv funktio g C() jolle g( π) =g(π), sup g sup f M j μ({f g}) <ɛ 2 /M. Näin smme f M g 2 2 = 1 π f M (s) g(s) 2 ds 2π π 1 f M (s) g(s) 2 ds 2π {f g} 4sup f M 2 1 μ({f g}) 2π 2 π ɛ2. Väite seur tästä kolmio epäyhtälöllä, f g 2 f f M 2 + f M g 2. Huomutus. dellistä kksi lusett pätevät myös vruuksiss L p.todistus tässä tpuksess on sm kuin yllä nnettu.

70 70 3. HILBRTIN AVARUUDT dellisessä todistuksess käytimme Lusinin lusett jok on seurv: Luse 7.3. Olkoon f :[, b] C mitllinen funktio. Jokiselle ɛ>0 on olemss jtkuv funktio g C([, b]) jok yhtyy funktioon f joukoss [, b] jolle μ([, b] \ ) <ɛ. Jos tietää, että jtkuvt funktiot ovt tiheässä vruudess L 1,voiLusinin luseen todist helposti gorovin luseen vull. Kuitenkin yllä olemme käyttäneet Lusinin lusett tiheyden todistmiseen, joten tämä reitti johtisi kiertopäätelmään. ssee tehtävä 4. Tehtävänä on todist Lusinin luse käyttämättä hyväksi tieto, että jtkuvt funktiot ovt tiheitä. Lisähvintoj. Jos f L 1 (,μ), niin voimme määritellä Fourier kertoimet kvn ˆf(n) = f(t)e int dμ vull, kosk e int =1,jotenf(t)e int L 1 (,μ). Kuten iemmin, määrittelemme Fourier ossummt N s N = ˆf(n)e int j Fourierin srjn n= n= N ˆf(n)e int. Kosk {e int } n= on L2 :n knt, sdn Luseest 4.2, kun f L 2, että s N f vruudes L 2, joten erityisesti s N (x) f(x) m.k. x; 1 π f(t)g(t) dt = ˆf(n)ĝ(n) [Prsevlin yhtälö]; j 2π π n= 1 π f(t) 2 dt = 2π ˆf(n) 2. π n= Jos sen sijn pätee inostn f L 1, on teorin kehittäminen vikemp. Lopuksi todistetn Riemnn Lebesgue:in lemm, jok kertoo kuitenkin jotin Fourier kertoimien käyttäytymisestä L 1 funktioille. Luse 7.4. Jos f L 1 (,μ), niin ˆf 0 kun n ±. Todistus. Olkoon f L 1 (,μ) j ɛ>0. Aikisempien todistusten nojll voimme vlit trigonometrisen polynomin P niin, että f P 1 <ɛ.olkoonn polynomin P ste, eli pienin luku jolle P voidn esittää summn N:stä N:n. Silloin (P u k )=0kun k >N, kosk kntfunktiot u m ovt ortonormlej. Näin ollen smme ˆf(k) = 1 π f(t)e ikt dt 2π π = 1 π (f(t) P (t))e ikt dt 2π π 1 π f(t) P (t) dt < ɛ, 2π π

71 7. LBSGU AVARUUDN L 2 ORTONORMAALI KANTA 71 joten ˆf 0, kuten väitettiin. Kvss ˆf(n) = f(t)e int dμ voisimme myös tutki tilnnett, joss n ei ole kokonisluku. Tällöin ei ole enää tärkeätä, että f on 2π perioidinen, mutt toislt integrointi pitää ulott yli koko relikselin. Tällöin päädymme Fourier muunnokseen ˆf(ξ) = 1 f(t)e iξt dμ, 2π jot ei kuitenkn tutkit lähemmin tämän kurssin puitteiss.

72 LIIT A Metriset vruudet 1. Metristen vruuksien perusominisuudet Määritelmä 1.1. Olkoon epätyhjä joukko. Kuvus d: R on metriikk joukoss, jos (M1) d(x, y) 0 in, kun x, y. (M2) d(x, y) =0jos j vin jos x = y. (M3) d(x, y) =d(y, x) in, kun x, y. (M4) d(x, z) d(x, y)+d(y, z) in, kun x, y, z. Pri (,d) snotn metriseksi vruudeksi. Pisteen x etäisyys joukost A on d(x, A) :=infd(x, ). A hto (M4) on ns. kolmioepäyhtälö. Jos metriikst d ei ole epäselvyyttä, puhutn metrisestä vruudest. { 1, jos x y, simerkki. (1) Olkoon j d(x, y) = 0, jos x = y. Tällöin (,d) on ns. diskreetti metrinen vruus. (2) Avruuden R n = {x =(x 1,x 2,...,x n ) x 1,...,x n R} lkioiden x =(x 1,...,x n ) j y =(y 1,...,y n ) välinen etäisyys voidn määritellä esimerkiksi seurvill tvoill: () d 1 (x, y) = (x j y j ) 2, (b) d 2 (x, y) = j=1 x j y j, j=1 (c) d 3 (x, y) = mx 1 j n x j y j. täisyys d 1 on ns. euklidinen etäisyys. Josn =1, niin d 1 (x, y) = x y. Jos n =2, x =(x 1,x 2 ) j y =(y 1,y 2 ), niin d 1 (x, y) = (x 1 y 1 ) 2 +(x 2 y 2 ) 2. 72

73 1. MTRISTN AVARUUKSIN PRUSOMINAISUUDT 73 Osoitetn kolmioepäyhtälö metriikoille d 2 j d 3.Josx, y, z R n, niin d 2 (x, z) = x j z j = x j y j + y j z j j=1 j=1 ( x j y j + y j z j )= x j y j + y j z j j=1 j=1 j=1 =d 2 (x, y)+d 2 (y, z) j d 3 (x, z) =mx x j z j =mx x j y j + y j z j mx( x j y j + y j z j ) mx x j y j +mx y j z j =d 3 (x, y)+d 3 (y, z). (3) Pri (,d), missä = {f :[0, 1] R f rjoitettu} d(f,g) = sup f(x) g(x), x [0,1] j on metrinen vruus. (4) Olkoon d(f,g) = = {f :[0, 1] R f jtkuv} 1 0 f(x) g(x) dx, j ts. d(f,g) on funktion f g Riemnnin integrli välillä [0,1]. Tällöin pri (,d) on metrinen vruus. Osoitetn ehdot (M2) j (M4). (M2): d(f,g) =0 f(x) =g(x) x [0, 1] f = g. (M4): d(f,h) = = f(x) h(x) dx f(x) g(x)+g(x) h(x) dx f(x) g(x) dx g(x) h(x) dx =d(f,g)+d(g, h) f,g,h. Määritelmä 1.2. Olkoon (,d) metrinen vruus, j r > 0. Joukko B(, r) :={x d(, x) <r} snotn -keskiseksi, r-säteiseksi voimeksi plloksi. simerkki. Jos = R j d(x, y) = x y in, kun x, y R, niin B(, r) = ] r, + r[. Olkoon (,d) euklidinen tso R 2, =( 1, 2 ) R 2 j r>0. Tällöin B(, r) = {(x 1,x 2 ) R 2 (x 1 1 ) 2 +(x 2 2 ) 2 <r}.

74 74 A. MTRIST AVARUUDT Trkstelln diskreettiä metristä vruutt (,d). Olkoon, jolloin B(, 1) = {x d(x, ) < 1} = {}. Yleisesti { {}, jos 0 <r 1, B(, r) =, jos r>1. Olkoon = {f :[0, 1] R f jtkuv} j d(f,g) =mx f(t) g(t). t [0,1] Olkoon lisäksi (t) =t in, kun t [0, 1], jolloin. Nyt esimerkiksi B(, 1 )= 2 {f t 1 <f(t) <t+ 1 t [0, 1]}. 2 2 Määritelmä 1.3. Metrisen vruuden (,d) osjoukko A on voin, josjokist A kohti on olemss sellinen r>0, että B(, r) A. JoukkoA on suljettu, jos sen komplementti on voin. simerkki. Avoin pllo on voin joukko. Suljettu pllo B(, r) :={x d(x, ) r} on suljettu joukko. Todistus jätetään hrjoitukseksi. Pllon kuori on joukko S(, r) :={x d(x, ) =r}. Selvästi S(, r) =B(, r) (B(, r)). Pllon kuori on myös suljettu joukko. Luse 1.4. Olkoon metrinen vruus. () Olkoon I mielivltinen indeksijoukko j olkoon {A j j I} perhe vruuden voimi joukkoj. Tällöin joukko j I A j on voin. (b) Olkoot A 1,...,A n vruuden voimi joukkoj. Tällöin joukko n j=1a j on voin. Todistus. () Olkoon j I A j mielivltinen. Tällöin on olemss sellinen j 0 I, että A j0.koska j0 on voin, on olemss sellinen r>0, että B(, r) A j0 A j. j I Näin ollen j I A j on voin. (b) Riittää trkstell tpust n =2j käyttää sitten induktiot. Olkoot siis A 1 j A 2 voimi osjoukkoj vruudess. Olkoon A 1 A 2, jolloin A 1 j A 2.KoskA 1 j A 2 ovt voimi, niin on olemss selliset r 1,r 2 > 0, että B(, r 1 ) A 1 j B(, r 2 ) A 2. Vlitn r =min{r 1,r 2 }, jolloin B(, r) A 1 A 2. Näin ollen A 1 A 2 on voin. Määritelmä 1.5. Metrisen vruuden osjoukko A snotn rjoitetuksi, jos on olemss selliset j R>0, että A B(, R). JosA on rjoitettu, niin luku δ(a) := sup d(x, y) < x,y A snotn joukon A hlkisijksi.

75 1. MTRISTN AVARUUKSIN PRUSOMINAISUUDT 75 Määritelmä 1.6. Metrisen vruuden piste x on joukon A ksutumispiste, jos jokisell r > 0 pllo B(x, r) sisältää pisteestä x eriäviä joukon A pisteitä, ts. jos (B(x, r) \{x}) A jokisell r>0. simerkki. Joukoll Z R ei ole ksutumispisteitä. Joukon Q R ksutumispisteenä on jokinen x R. Näin ollen joukon ksutumispiste voi oll joukon itsensä ti sen komplementin piste. Määritelmä 1.7. Joukko A := A {Joukon A ksutumispisteet} snotn joukon A sulkeumksi. Huomutus. Ain on voimss A A. Kosk A = {x B(x, ε) A ε>0}, niin x A d(x, A) =infd(x, ) =0. A Luse 1.8. Jos A on mielivltinen osjoukko j F sellinen suljettu joukko, että A F, niin A F (ts. A on pienin suljettu joukko, jok sisältää joukon A). Todistus. Hrjoitustehtävä. Huomutus. Joukko A on suljettu täsmälleen silloin, kun A = A. Koko vruus on voin, joten = on suljettu. Toislt =, joten on suljettu j = on voin. Joukot j ovt sekä voimi, että suljettuj. Määritelmä 1.9. Olkoon A. Joukko A := A A snotn joukon A reunksi. simerkki. Olkoon = R, d(x, y) = x y j A =], b[. Tällöin A =[, b],a =],] [b, [ j A =],] [b, [= A. Siten A = A A = {, b}. Joukolle Q R on Q = Q Q = R R = R. Määritelmä Olkoon A. Pistettä x A snotn joukon A sisäpisteeksi, jos on olemss sellinen r>0, että B(x, r) A. Sisäpisteiden joukolle käytetään merkintää int(a). Huomutus. Joukko A on voin täsmälleen silloin, kun A =int(a). Määritelmä Joukko A snotn tiheäksi vruudess, josa =. Metristä vruutt snotn seproituvksi, jos on olemss tiheä j (korkeintn) numeroituv osjoukko A. simerkki. Olkoon = R j d(x, y) = x y. JoukkoQ R on numeroituv j Q = R. Näin ollen Q on tiheä vruudess R j R on seproituv. Trkstelln euklidist vruutt R n j sen osjoukko Q n = {q =(q 1,q 2,...,q n ) q 1,q 2,...,q n Q}. Hrjoitustehtävänä on osoitt, että Q n on numeroituv. Lisäksi Q n = R n,joten R n on seproituv.

76 76 A. MTRIST AVARUUDT Kikki metriset vruudet eivät ole seproituvi. simerkiksi (,d), missä = l = {x =(x k ) (x k) on rjoitettu relilukujono} j d(x, y) = sup x k y k, k Z + ei ole seproituv.

77 Hkemisto σ-lgebr, 7 bsoluuttisesti jtkuv, 43 djungtti, 65, 66 lgebr, 7 voin joukko, 74 pllo, 73 väli, 16 Bnch vruus, 48 Besselin epäyhtälö, 55 bijektio, 5 Borelin joukko, 8 Borelin joukkoluokk, 8 Cuchy jono, 48 Cuchyn Schwrtzin epäyhtälö, 53 De Morgnin lit, 5 esimitt, 14 Fourier-kerroin, 60 Fourier-srj, 60 Fréchet n Rieszin luse, 63 hlkisij, 74 Hilbertin vruus, 58 injektio, 5 integrlifunktio, 41 integroituv, 33 krkteristinen funktio, 20 ksutumispiste, 75 kohtisuor projektio, 56 kolmioepäyhtälö, 72 lebesgue-mitllinen joukko, 16 Lebesguen integrli, 25 Lebesguen mitt, 16 Lebesguen ulkomitt, 16 linerinen isometri, 64 mhtvuus, 5 melkein kikkill (m.k.), 23 metriikk, 72 euklidinen, metrinen vruus, 72 diskreetti, 72 mitllinen funktio, 21 mitllinen joukko ulkomitn suhteen, 11 mitt, 8 σ-äärellinen mitt, 9 äärellinen mitt, 9 Dircin δ-mitt, 9 geometrinen mitt, 16 todennäköisyysmitt, 9 mitt-vruus, 18 normi normikuvus, 46 normivruus, 47 numeroituv, 5 operttori, 64 djungoitu, 65, 66 ortogonlinen komplementti, 56 summ, 63 vektorit, 54 ortonormli knt, 59 luonnollinen, 59 vektorijoukko, 54 peiteluokk, 14 polristiokvt, 54 Projektioluse, 61 Pythgorn luse, 55 rjoitettu joukko, 74 reun, 75 seproituv vruus, 75 sisäpiste, 75 sisätulo euklidinen, 52 kuvus, 52 sisätulovruus, 52 suljettu joukko, 74 pllo, 74

78 78 HAKMISTO sulkeum, 75 suor summ, 63 surjektio, 5 suunnikssääntö, 54 täydellinen, 48 tiheä joukko, 75 totli joukko, 56 ulkomitt, 11 yksinkertinen funktio, 25 yksinkertisen funktion normliesitys, 25