Matematiikan perusteet taloustieteilijöille P

Transkriptio

1 Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014

2 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4 12 Mtriisien lskutoimituksi Mtriisien yhteen- j vähennyslsku Sklrill kertominen Mtriisien kertolsku: 6 13 Erikoistyyppisiä mtriisej Digonlimtriisi Identtinen mtriisi (Yksikkömtriisi) Nollmtriisi 8 14 Trnsponoitu mtriisi 8 15 Mtriisin determinntti Determinntin määrääminen: Determinntin ominisuuksi: Käänteismtriisi Menetelmiä käänteismtriisin rtkisemiseksi: Käänteismtriisin ominisuuksi: Linerisen yhtälöryhmän mtriisimuoto j sen rtkiseminen Linerinen riippuvuus j mtriisin ste Linerinen riippuvuus Mtriisin ste Mtriisin steen ominisuudet Mtriisin ominisrvot j ominisvektorit Ominisrvojen määrääminen Ominisrvojen ominisuuksi Ominisvektoreiden määrittäminen Optimointi j mtriisit Normlit äärirvot (ei sidotut) Sidotut äärirvot Pnos-tuotos mlli Derivointi vektorimuodoss Linerisen vektorin derivointi Vektorirvoisen funktion derivointi Kvdrttisenmuodon derivointi Bilinerinen derivointi 37 1

3 113 Mtriisien sovellutus regressionlyysissä Linerinen optimointi Geometrinen rtkisu Kntrtkisu menetelmä SIMPLEX menetelmä 44 2 Integrlilskent Johdnto Integrlifunktio Integrointi osmurtokehitelmän vull Integrointi sijoitusmenetelmää käyttäen Määräämätön integrli tloustieteessä Kustnnusfunktiot Tulofunktiot Knsntulo, kulutus j säästäminen Pääomn muodostus Määrätty integrli Määrätty integrli j pint-l Määrätyn integrlin ominisuuksist Pint-ln määritys integrlin vull Osittisintegrointi, osmurtokehitelmä j sijoitus määrätyssä integrliss Määrätyn integrlin tloustieteellisiä sovelluksi Kuluttjn ylijäämä Tuottjn ylijäämä Kokonisvoitto Määrätyn integrlin numeerinen rviointi Puolisuunnikssääntö Simpsonin sääntö Tylorin kehitelmä 85 3 Kompleksiluvuist j trigonometrisist funktioist Kompleksiluvut Trigonometriset funktiot 89 4 Differentiliyhtälöt Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö Seproituvt differentiliyhtälöt 95 2

4 412 Ensimmäisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö Linerisen differentiliyhtälön erikoistpus Homogeeniset differentiliyhtälöt Eksktit differentiliyhtälöt Toisen kertluvun differentiliyhtälöt Toisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö Differenssiyhtälöt Ensimmäisen kertluvun differenssiyhtälöt Homogeenisen muodon rtkiseminen: Täydellisen muodon rtkiseminen: Toisen kertluvun differenssiyhtälöt Homogeenisen muodon rtkiseminen: Täydellisen muodon rtkiseminen: 110 3

5 1 Mtriisilgebr j optimointi Mtriisien vull voidn - käsitellä yhtälöitä tehokksti - rtkist yhtälöryhmiä - rtkist optimointitehtäviä - regressionlyysi - lti erilisi mllej esim pnos-tuotos mlli 11 Määritelmä Mtriisi on tulukko n n A = m1 m2 mn m n = A m n = ( ij ) = ( ij ) m n, missä luvut ij ovt relilukuj Lukuj ij snotn mtriisin A lkioiksi Alkio ij on mtriisin A i:nnellä vkrivillä j j:nnellä pystyrivillä olev lkio Mtriisi, joss on m vkriviä j n pystyriviä, on m n mtriisi; merkitään A m n Jos m = n, niin A on neliömtriisi Kksi mtriisi 11 1n A = m1 mn ovt smt eli A = B, jos j vin jos (i) m = r j n = s (ii) ij = b ij i, j m n b 11 b 1s j B = b r1 b rs r s Jos mtriisiss n = ( 1 eli se on m 1-mtriisi, niin kysymyksessä on m ulotteinen u1 ), missä u i on vektorin ū i komponentti pystyvektori ū = u m Vstvsti v = (v 1,, v n ) on n-ulotteinen vkvektori (1 n mtriisi) j v i on vektorin v i komponentti 4

6 12 Mtriisien lskutoimituksi 121 Mtriisien yhteen- j vähennyslsku Mtriisit A j B voidn lske yhteen (vähentää toisistn) jos j vin jos ne ovt molemmt m n mtriisej Olkoot A j B m n mtriisej, ts 11 1n A = m1 mn m n b 11 b 1n B = b m1 b mn m n Tällöin Vstvsti Mtriisien yhteenlsku on 11 + b 11 1n + b 1n A + B = m1 + b m1 mn + b mn 11 b 11 1n b 1n A B = m1 b m1 mn b mn 1 vihdnninen: A + B = B + A 2 liitännäinen: A + (B + C) = (A + B) + C Esimerkki 11 ( ) ( ) ( ) = m n m n 122 Sklrill kertominen Mtriisilskennss reliluku kutsutn sklriksi Olkoon nyt A = ( ij ) m n j k R Tällöin 11 1n k 11 k 1n ka = k = m1 mn k m1 k mn m n m n = (k ij ) m n = Ak 5

7 Esimerkki 12 3 ( ) = Huomutus A B = A + ( B) = A + ( 1) B 123 Mtriisien kertolsku: Mtriisien A = ( ij ) m n j B = (b ij ) r s tulo AB on mhdollinen jos j vin jos n = r Siis mtriisin A pystyrivien lukumäärä = mtriisin B vkrivien lukumäärä Mtriisi A on tulon AB edellinen tekijä j B jälkimmäinen tekijä Olkoon A = ( ij ) m n j B = (b ij ) n s Tällöin A m n B n s = (AB) m s = (c ij ) m s, missä c ij = n ik b kj eli lkio c ij sdn mtriisin A i:nnen vkrivin j mtriisin B j:nnen pystyrivin pistetulon Siis k=1 11 1n b 11 b 1s AB = m1 mn b m n n1 b ns n n 1k b k1 1k b ks k=1 k=1 = n n mk b k1 mk b ks k=1 k=1 Esimerkki 13 ( ) A =, B = Lske AB, BA j AC Mtriisien kertolsku on liitännäinen: A(BC) = (AB)C 2 ei vihdnninen: siis yleensä AB BA m s j C = n s ( )

8 Esimerkki 14 0 (2, 1, 0) 1 = 2 ( ) ( ) 0 1 = (2, 1, 0) = 2 ( ) ( ) 1 1 = 0 1 Flk-kvio: (ks Esim 13) ( ) A = B = AB = 13 Erikoistyyppisiä mtriisej 131 Digonlimtriisi Olkoon A = ( ij ) n n neliömtriisi Mtriisin A päälävistäjän muodostvt lkiot 11, 22,, nn Mtriisi A on digonlimtriisi, jos mtriisin A muut lkiot pitsi mhdollisesti päälävistäjän lkiot ovt nolli Eli 11 1n A = n1 nn on digonlimtriisi, jos ij = 0, kun i j n n 7

9 132 Identtinen mtriisi (Yksikkömtriisi) Identtinen mtriisi on digonlimtriisi, jonk kikki päälävistäjän lkiot ovt ykkösiä Siis A = ( ij ) n n on identtinen mtriisi, jos { ij = 0, i j ii = 1, i = 1, 2,, n Identtistä mtriisi merkitään symbolill I n (= I n n ) Siis I 1 =, I 2 =, I 3 = jne Olkoon A m n mtriisi Tällöin A m n I n = A m n j I m A m n = A m n 133 Nollmtriisi Mtriisi A = ( ij ) m n on nollmtriisi, jos ij = 0 i, j Nollmtriisi merkitään Ōm n Siis esimerkiksi Ō 2 3 = Selvästi A m n + Ōm n = Ōm n + A m n = A m n B k m Ō m n = Ōk n sekä Ō m n B n s = Ōm s j 14 Trnsponoitu mtriisi Olkoon A m n mtriisi Mtriisin A trnsponoitu mtriisi A T on n m mtriisi, jonk i vkrivi on mtriisin A i pystyrivi (j j pystyrivi on mtriisin A j vkrivi) Jos n n A = m1 m2 mn m n m1, niin A T m2 = 1n 2n mn n m 8

10 Huomutus (u 1,, u n ) T = u 1 j v 1 T = (v 1,, v n ) u n v n Digonlimtriisin D trnsponoitu mtriisi D T on in lkuperäinen digonlimtriisi, eli D T = D Esimerkki A = A T = Neliömtriisi A = ( ij ) n n on symmetrinen, jos ij = ji i, j Tällöin A = A T Symmetrinen mtriisi A on idempotentti, jos lisäksi A A = A Esimerkki 16 Onko mtriisi idempotentti mtriisi? A = ( ) Huomutus Olkoot A = ( ij ) m n, B = (b ij ) m n j C = (c ij ) n r Tällöin (A + B) T = A T + B T j (BC) T = C T B T 15 Mtriisin determinntti Determinntti on reliluku j määritellään vin neliömtriiseille Mtriisin A determinntti merkitään det A j A 151 Determinntin määrääminen: 2 2 mtriisin determinntti ( ) 11 Kun A = , niin det A = A =

11 1 1 mtriisin determinntti Kun A = ( 11 )1 1, niin det A = A = 11 Esimerkki = Determinntin määrittäminen yleisesti: Jos n > 2, niin mtriisin A n n determinntti plutuu 2 2 mtriisin tpukseen seurvsti: M ij on sellinen (n 1) (n 1) mtriisi, jok sdn mtriisist A poistmll siitä i vkrivi j j pystyrivi M ij on mtriisin A (lkioon ij liittyvä) limtriisi = M ij on mtriisin A (lkioon ij liittyvä) lidetermi- Determinntti det M ij nntti Sklri A ij = ( 1) i+j M ij on mtriisin A (lkioon ij liittyvä) kofktori Tällöin mtriisin A determinntti n det A = A = ij ( 1) (i+j) M ij j=1 i {1,, n} Tällöin det A on kehitetty i vkrivin mukn Smoin n det A = A = ij ( 1) (i+j) M ij i=1 jolloin det A on kehitetty j pystyrivin mukn j {1,, n}, Siis n n mtriisin determinntti määrätään sen tiettyjen (n 1) (n 1) limtriisien determinnttien vull Toistmll yo menettelyä jokisen n n mtriisin A determinntti voidn plutt sen tiettyjen 2 2 limtriisien determinnteiksi 10

12 Esimerkki 18 Olkoon Määrää A A = Srruksen menetelmä: - Käy vin 3 3-mtriiseille Esimerkki 19 Olkoon Määrää A Srruksen menetelmällä A = Determinntin ominisuuksi: Olkoon A n n-mtriisi 1) Jos mtriisin A kksi smnsuuntist riviä vihdetn keskenään, determinntin merkki vihtuu Esimerkki = 2) Jos mtriisin A jokin vkrivi (ti pystyrivi) kerrotn vkioll c R, determinntti muuttuu c kertiseksi Esimerkki = 3) Jos mtriisin A johonkin riviin lisätään jokin muu smnsuuntinen rivi vkioll kerrottun, determinntin rvo ei muutu Tvoite: Pljon 0:i riville, jonk suhteen determinntti kehitetään 11

13 Esimerkki = 4) Jos A = ( ij ) on yläkolmiomtriisi (tällöin kikki lkiot päälävistäjän lpuolell nolli) ti lkolmiomtriisi (kikki lkiot päälävistäjän yläpuolell nolli), niin det A = A = nn Ominisuuksien 1) 3) vull sdn jokisen neliömtriisin determinntti muutettu ylä- ti lkolmiomtriisin determinntiksi, jok on helppo määrittää 5) A = A T 6) Jos mtriisin A jokin vkrivi (ti pystyrivi) koostuu pelkästään nollist, niin A = 0 (Kehitetään determinntti ko rivin suhteen) 7) Jos mtriisin A kksi smnsuuntist riviä ovt smt, niin A = 0 8) Olkoot A j B n n mtriisej Tällöin AB = BA = A B 9) Jos A = ( ij ) on digonlimtriisi, niin A = nn Esimerkki 113 Olkoon A = Määritetään A käyttämällä ominisuutt 3) 16 Käänteismtriisi Olkoon A n n neliömtriisi Sellist n n mtriisi B, jok toteutt ehdon AB = BA = I n snotn mtriisin A käänteismtriisiksi j merkitään B = A 1 Kikill neliömtriiseill ei ole käänteismtriisi Mtriisi, joll on käänteismtriisi, on säännöllinen Luse 11 Mtriisill A on käänteismtriisi olemss jos j vin jos det A 0 Huomutus Käänteismtriisi on yksikäsitteinen 12

14 Todistus Jos B 1 j B 2 ovt sellisi mtriisej, että AB 1 = B 1 A = I n j AB 2 = B 2 A = I n, niin Siis B 1 = B 1 I n = B 1 (AB 2 ) = (B 1 A)B 2 = I n B 2 = B 2 B 1 = B 2 Huomutus Jos AB = I n, niin myös BA = I n 161 Menetelmiä käänteismtriisin rtkisemiseksi: 1) Rtkistn mtriisin A käänteismtriisi A 1 = B yhtälöstä AB = I n (Siis B tuntemton mtriisi) AB = I n n b 11 b 12 b 1n n b 21 b 22 2n = n1 n2 nn b n1 b n2 b nn Kysymyksessä on n 2 :n tuntemttomn b ij j n 2 :n yhtälön ryhmä, jok on vike rtkist pitsi tpuksess n = 2 Esimerkki 114 Olkoon A = Määritä A 1 mikäli se on olemss ( ) ) Käänteismtriisi kofktorien j determinntin vull Olkoon A n n mtriisi, jolle det A 0 Olkoon K seurv mtriisin A kofktorien A ij muodostm mtriisi: A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n K = A n1 A n2 A nn 13

15 missä A ij = ( 1) i+j M ij (lkion ij kofktori) Tällöin A 1 = 1 det A KT Esimerkki 115 Määritä mtriisin A = käänteismtriisi 3) Gussin eliminoimismenetelmä Olkoon 11 1n A = n1 nn n n Muodostetn mtriisi n ( ) n A In = n1 n2 nn n 2n Tässä mtriisiss voidn i) vkrivi kerto millä thns vkioll, ii) jokin vkrivi lisätä vkioll kerrottun toiseen vkriviin, iii) viht vkrivit keskenään Näillä opertioill pyritään muuttmn mtriisi ( A ( ) I B, jolloin mtriisi B = A 1 I ) muotoon Esimerkki 116 Määritä mtriisin A = käänteismtriisi 162 Käänteismtriisin ominisuuksi: Olkoon A n n mtriisi, jolle det A 0 eli A 1 Tällöin 14

16 1) (A 1 ) 1 = A 2) (A 1 ) T = (A T ) 1 EI: (A T ) 1 = A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1, jos B 1 4) det (A 1 ) = 1 det A 17 Linerisen yhtälöryhmän mtriisimuoto j sen rtkiseminen 1) Trkstelln yhtälöryhmää, joss muuttujien lukumäärä on sm kuin yhtälöiden lukumäärä 11 x x n x n = c 1 21 x x n x n = c 2 (1) n1 x 1 + n2 x nn x n = c n, missä kertoimet ij j vkiot c i ovt tunnettuj Tämä on n:n muuttujn x 1,, x n vkiokertoiminen linerinen n:n yhtälön ryhmä (Siis muuttujien lkm = yhtälöiden lkm) Yhtälöryhmä (1) voidn esittää mtriisimuodoss: eli muodoss n n n1 n2 nn n n x 1 x 2 x n n 1 c 1 c 2 = c n n 1 (2) A X = C (3) Jos kerroinmtriisill A on käänteismtriisi, kerrotn yhtälö (3) puolittin vsemmlt käänteismtriisill A 1 j sdn: A 1 (A X) = A 1 C (A 1 A) X = A 1 C I X = A 1 C X = A 1 C (4) 15

17 Luse 12 Jos mtriisi A on säännöllinen eli A 1 on olemss (det A 0), niin yhtälöryhmän (1) yksikäsitteinen rtkisu on X = A 1 C (Yhtälöryhmällä yksikäsitteinen rtkisu A säännöllinen) Esimerkki 117 Rtkise yhtälöryhmä 2y 3z = 1 x + 3y + 3z = 2 x 2y 2z = 1 Luse 13 (Crmerin sääntö) Oletetn, että yhtälöryhmässä (1) on n tuntemtont j n yhtälöä sekä det A 0 eli yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen rtkisu X = A 1 C Crmerin sääntö yhtälöryhmän rtkisemiseksi ilmn käänteismtriisin A 1 lskemist on seurv: c n 11 c n x 1 = 1 c n A, x 2 = 1 21 c n A, c n n2 2n n1 c n n3 2n 11 1(n 1) c 1, x n = (n 1) c 2 A n1 n(n 1) c n Esimerkki 118 Rtkise yhtälöryhmä 3x + y z = 2 x 2y + z = 9 4x + 3y + 2z = 1 2) Trkstelln yhtälöryhmää 11 x x n x n = c 1 21 x x n x n = c 2 m1 x 1 + m2 x mn x n = c m, (5) 16

18 eli n:n muuttujn x 1,, x n j m:n yhtälön ryhmä, jok voidn esittää mtriisimuodoss n x 1 c n x 2 c 2 = (6) m1 m2 mn Mtriisiesitys on tällöin muoto: m n x n n 1 c m m 1 A X = C, missä A = ( ij ) m n (7) Tpuksess m n A 1 ei ole olemss j det A ei ole olemss, joten menetelmät X = A 1 C j Crmer eivät toimi Smoin, jos m = n, mutt A = 0, niin menetelmät X = A 1 C j Crmer eivät toimi Luse 14 (Gussin eliminoimismenetelmä) Gussin eliminoimismenetelmää voidn sovelt myös tpuksiss, joiss kerroinmtriisill A ei ole käänteismtriisi, det A = 0, j silloinkin, kun yhtälöryhmän yhtälöiden j tuntemttomien muuttujien lukumäärä ei ole sm Menetelmä perustuu siihen, että yhtälöryhmään (5) voidn sovelt seurvi lkeismuunnoksi sen rtkisun muuttumtt () yhtälöiden järjestyksen vihto (b) yhden ti usemmn yhtälön kertominen vkioll ( 0) (c) yhden ti usemmn yhtälön kerrnnisen lisääminen muihin yhtälöihin Yhtälöryhmän semst trkstelemme täydennettyä kerroinmtriisi n c 1 (A C) n c 2 = (8) m1 m2 mn c m m (n+1) Nyt yhtälöryhmän (5) lkeismuunnoksi (), (b) j (c) vst täydennettyyn kerroinmtriisiin (8) kohdistuvt muunnokset: () vkrivien järjestyksen vihto (b) yhden ti usemmn vkrivin kertominen nollst erovll vkioll (c) vkrivin kertominen vkioll j sen lisääminen toiseen vkriviin 17

19 Huomutus Vin vkrivimuunnoksi Näillä muunnoksill mtriisi (8) pyritään smn muotoon X = ( ) ( ) I A 1 C = I X, (9) jost sdn rtkisu X (Tpus m = n j yksikäsitteinen rtkisu) Ti muotoon B, (10) jok vtn tkisin yhtälöryhmäksi (Tpukset m n ti ei yksikäsitteistä rtkisu) Esimerkki 119 Esimerkki 120 Esimerkki 121 x + 3y z = 1 x 2y + z = 2 2x y + z = 3 x + 2y z = 10 2x + 4y 2z = 20 x + y + z = 6 x + 2y z = 10 2x + 4y 2z = 5 x + y + z = 6 18

20 18 Linerinen riippuvuus j mtriisin ste 181 Linerinen riippuvuus Olkoot v 1, v 2,, v m n komponenttisi vektoreit (vk- ti pystyvektoreit) Vektorit v 1, v 2,, v m ovt linerisesti riippuvi, jos on olemss selliset reliluvut r 1, r 2,, r m, jotk eivät kikki ole nolli, että r 1 v 1 + r 2 v r m v m = 0 Tällöin jotkut vektorit voidn esittää toisten linerisen yhdisteenä Jos ehdost r 1 v 1 + r 2 v r m v m = 0 seur, että r 1 = r 2 = = r m = 0, niin vektorit v 1, v 2,, v m ovt linerisesti riippumttomi Tällöin mitään vektori ei void esittää toisten linerisen yhdisteenä Esimerkki 122 Tutki, ovtko seurvt vektorit linerisesti riippumttomt ) (1, 2, 1), (0, 1, 2) j (1, 3, 3) b) (1, 2) j (2, 0) 182 Mtriisin ste Mtriisi A = ( ij ) m n on muodostunut m:stä vkvektorist j n:stä pystyvektorist Jokisell mtriisill linerisesti riippumttomien vkrivien lukumäärä on linerisesti riippumttomien pystyrivien lukumäärä Tätä lukumäärää snotn mtriisin A steeksi j merkitään r(a) Tietysti 1 r(a) min(m, n) Esimerkki 123 Määritä mtriisin A ste, kun 1 4 ) A = b) A =

21 Mtriisin A = ( ij ) m n limtriisi on mtriisi, jok sdn poistmll mtriisist A noll ti usempi pysty- j/ti vkrivejä Luse 15 Olkoon A mtriisi j m suurin sellinen kokonisluku, että mtriisill A on olemss m m limtriisi, jonk determinntti 0 Tällöin r(a) = m Esimerkki 124 (Toisell tvll) Määritä mtriisin A ste, kun 1 4 ) A = b) A = c) A = Mtriisin steen ominisuudet Olkoot A j B n n mtriisej 1) Digonlimtriisin ste = mtriisin nollst eriävien lkioiden lukumäärä (Miksi?) Erityisesti r(i n ) = n 2) r(a) = r(a T ) 3) r(ab) min{r(a), r(b)} Luse 16 r(a n n ) = n jos j vin jos A on säännöllinen eli det A 0 eli A 1 Siis A on säännöllinen jos j vin jos sen kikki pystyrivit (vst vkrivit) ovt linerisesti riippumttomt Mtriisiss voidn sen stett muuttmtt: ) Viht smnsuuntisten rivien järjestystä b) Kerto mikä thns vk- ti pystyrivi nollst erovll vkioll c) Lisätä mihin thns riviin jokin toinen smnsuuntinen rivi vkioll kerrottun 20

22 Tvoite: Yläkolmio/lkolmiomtriisin ste on helppo lske Luseen 15 menettelyllä Esimerkki 125 Määrää mtriisin A = ste 19 Mtriisin ominisrvot j ominisvektorit Mtriisien sovelluksiss joudutn joskus tilnteeseen, joss on rtkistv n n mtriisi A koskev yhtälö A m n Xn 1 = λ X, (11) missä X = (x 1,, x n ) T j λ R ovt tuntemttomi 2x + 3y + 5z = λx Esimerkiksi x + 2y + 2z = λy, x, y, z j λ tuntemttomi x + 3y + 3z = λz Yhtälö (11) pätee in, kun X = 0 Jos on olemss nollvektorist erov vektori X R n j reliluku λ, joille A X = λ X, niin luku λ on mtriisin A ominisrvo j X on ominisrvo λ vstv ominisvektori X 0 Huomutus Olkoon X mtriisin A ominisvektori j λ vstv ominisrvo Jos 0, niin myös X on mtriisin A ominisrvo λ vstv ominisvektori Todistus A( X) = (A) X = (A) X = (A X) = λ X = λ( X) 21

23 191 Ominisrvojen määrääminen Trkstelln yhtälöä (11) A X = λ X A X λ X = 0 A X λi X = 0 (A λi) X = 0 Tällä yhtälöllä on yksikäsitteinen rtkisu, kun (A λi) on säännöllinen, eli A λi 0 eli (A λi) 1 on olemss Tämä rtkisu on X = (A λi) 1 0 = 0 Siten rtkisu X = 0 on yksikäsitteinen (eli ino) rtkisu, kun (A λi) on säännöllinen, eli A λi 0 Täten yhtälöllä (A λi) X = 0 on (ei-trivili) rtkisu X 0 täsmälleen silloin, kun A λi ei ole säännöllinen eli täsmälleen silloin, kun det (A λi) = A λi = 0 Siten mtriisin A ominisrvot sdn yhtälön A λi n = 0 relijuurin Luseke A λi on λ:n suhteen stett n olev polynomi Sitä snotn mtriisin A krkteristiseksi polynomiksi j yhtälöä A λi = 0 mtriisin A krkteristiseksi yhtälöksi Huomutus Krkteristisen polynomin nollkohdt eivät välttämättä ole relisi (siis eivät ominisrvoj) j jokin nollkoht voi oll moninkertinen Esimerkki 126 Määritä mtriisin ( ) 10 3 A = 3 2 ominisrvot 22

24 192 Ominisrvojen ominisuuksi Olkoon mtriisin A krkteristisen yhtälön A λi = 0 juuret λ 1,, λ n (kikki eivät ehkä eri lukuj eivätkä relisi) Tällöin n λ 1 λ 2 λ 3 λ n = λ i = A = det A i=1 λ 1 + λ 2 + λ λ n = n n λ i = nn = ii i=1 i=1 Summ nn on mtriisin A jälki, merkitään tr(a) Huomutus Al- j yläkolmiomtriisin ominisrvot ovt päälävistäjän lkiot 193 Ominisvektoreiden määrittäminen Olkoon λ mtriisin A = ( ij ) n n ominisrvo Ominisrvoon λ liittyvät ominisvektorit sdn yhtälön (A λi n ) X = 0 rtkisun X, missä X 0 Esimerkki 127 Määritä mtriisin ominisrvot j ominisvektorit A = ( 1 ) Pystyvektorien X = x 1 j Ȳ = y 1 pistetulo on X Ȳ = x 1y 1 + x 2 y x n y n Vstvsti vkvektorien x n y n X = (x 1,, x n ) j Ȳ = (y 1,, y n ) pistetulo on X Ȳ = x 1y 1 + x 2 y x n y n Pystyvektorit X = x 1 j Ȳ = y 1 x n y n 23

25 ovt kohtisuorss toisin vstn eli ortogonliset, jos X T Ȳ = 0 eli X Ȳ = x 1 y 1 + x 2 y x n y n = 0 Vstvsti vkvektorit X = (x 1,, x n ) j Ȳ = (y 1,, y n ) ovt ortogonliset, jos X Ȳ = 0 eli XȲ T = 0 Huomutus Symmetrisen mtriisin A eri ominisrvoihin liittyvät ominisvektorit ovt ortogonliset Siis jos X i on symmetrisen mtriisin A ominisrvoon λ i liittyvä ominisvektori j λ 1 λ 2, niin X 1 X 2 = Optimointi j mtriisit Olkoon y = f( X) = f(x 1,, x n ), eli f on n:n muuttujn funktio Funktion f grdientti f( X) pisteessä X on f( X) = (f 1 ( X), f 2 ( X),, f n ( X)), missä f i on funktion f osittisderivtt muuttujn x i suhteen Hessin mtriisi muodostetn seurvsti: f 11 f 12 f 1n f 21 f 22 f 2n H = f xx = f n1 f n2 f nn n n, missä f ij = ( ) f x j x i g 1 ( X) Olkoon ḡ( X) g 2 ( X) =, missä X = (x 1,, x n ) (vektorirvoinen n:n muuttujn g m ( X) funktio) Jcobin mtriisi g 1 g 1 x 1 x 2 J = ḡ g X = 2 g 2 x 1 x 2 g m g m x 1 x 2 g 1 x n g 2 x n g m x n m n 24

26 Esimerkki 128 Olkoon f( X) = f(x, y, z) = 3xy + yz + 5z, määrää f( X) j H Esimerkki 129 f( X) = f(x, y, z) = (2x + y 2, 2x 2 + z 2 + y, 8z 3 ) Määrää f X Olkoon 11 1n A = n1 nn Mtriisi A on positiividefiniitti, jos sen lideterminntit A1 = 11, A2 = , A3 = , 33 An = A ovt kikki positiivi n n Vstvsti mtriisi A on negtiividefiniitti, jos A1 < 0, A2 > 0, A3 < 0, eli ( 1) i A i > Normlit äärirvot (ei sidotut) Minimoi/mksimoi f(x 1,, x n ), missä f on derivoituv funktio, n 2 1 o Äärirvon mhdollinen olemssolo: (KRP) Luse 17 Jos funktio f( X) = f(x 1,, x n ) on derivoituv pisteessä X 0, niin piste X 0 on funktion f( X) mhdollinen pikllinen äärirvokoht jos j vin jos X 0 on kriittinen piste eli eli eli grdientti f( X 0 ) = 0 f x i ( X 0 ) = 0 i (osittisderivtt = 0) f x1 = 0 f x2 = 0 f xn = 0 25

27 2 o Äärirvon olemssolo j ltu: Luse 18 Olkoon löydetty kriittinen piste X 0 j H( X 0 ) funktion f( X) Hessin mtriisi kriittisessä pisteessä X 0 Tällöin 1) Kriittinen piste X 0 on funktion f( X) pikllinen mksimikoht, jos funktion Hessin mtriisin lideterminntit ( 1) i H i ( X 0 ) > 0, kikill i = 1,, n (H negtiividefiniitti) 2) Kriittinen piste X 0 on funktion f( X) pikllinen minimikoht, jos funktion Hessin mtriisin lideterminntit H i ( X 0 ) > 0, kikill i = 1,, n (H positiividefiniitti) 3) Kriittinen piste X 0 ei ole pikllinen äärirvokoht, jos mutt 1) ti 2) ei toteudu H i ( X 0 ) 0, kikill i = 1,, n 4) Jos H i ( X 0 ) = 0, jollkin i = 1,, n Testi ei kerro mitään, joten tutki trkemmin Esimerkki 130 Etsi piklliset äärirvot funktiolle f(x, y) = x 2 y + y 3 y 1102 Sidotut äärirvot Khden muuttujn j yhden yhtälörjoitteen tpus Äärirvot funktiolle f(x, y) ehdoll g(x, y) = 0 Muodostetn Lgrnge funktio L(x, y, λ) = f(x, y) λg(x, y) 1 o Äärirvon mhdollinen olemssolo: (KRP) L x = f x λg x = 0 L y = f y λg y = 0 eli L λ = g(x, y) = 0 L x = 0 L y = 0 L λ = 0 26

28 2 o Äärirvon olemssolo j ltu: Lsketn ljennetun Hessin mtriisin H determinntti j sen rvo kriittisessä pisteessä H 0 g x g y = g x L xx L xy g y L yx L yy KRP on sidottu pikllinen mksimikoht, jos H > 0 KRP on sidottu pikllinen minimikoht, jos H < 0 Jos H = 0, tutki trkemmin Esimerkki 131 Etsi äärirvot funktiolle f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdoll x + 2y = 24 n:n muuttujn j m:n yhtälörjoitteen tpus, missä m < n Mksimoi (vst minimoi) funktio f(x 1,, x n ) ehdoill g i (x 1,, x n ) = 0, missä i = 1,, m Lgrnge funktio: L(x 1,, x n, λ 1,, λ m ) = f(x 1,, x n ) missä λ j :t ovt Lgrnge-kertoimi 1 o Äärirvon mhdollinen olemssolo: (KRP) m λ j g j (x 1,, x n ), j=1 { L x i = 0 L λ j = 0 eli { Lxi = 0, kikill i = 1,, n g j = 0, kikill j = 1,, m Näin sdn mhdollinen pikllinen äärirvokoht X 0 2 o Äärirvon olemssolo j ltu: Määritellään ljennettu Hessin mtriisi H ) ( 0 H = m m J m n Jn m T H n n (n+m) (n+m) 27

29 eli H = g 1 g m x 1 x 1 g 1 x n g m x n g 1 g 1 x n x 1 g m x 1 g m x n L x1 x 1 L x1 x n L xnx1 L xnxn (m+n) (m+n) Ljennetun Hessin mtriisin trvittvt lideterminntit H i ovt H i ( X 0 ) = missä i = m + 1,, n g 1 g m x 1 x 1 g 1 x i g m x i g 1 g 1 x i x 1 g m x 1 g m x i L x1 x 1 L x1 x i L xi x 1 L xi x i, Eli H i on vsemmst yläkulmst i:nteen muuttujn sti otettu lideterminntti Siis nollmtriisin lisäksi otetn mukn i kpplett pysty- j vkrivejä Nyt äärirvon ltu mhdollisess pikllisess äärirvokohdss X 0 määräytyy seurvsti: 1) Jos ( 1) i H i > 0, kikill i = m + 1,, n, niin KRP on pikllinen sidottu mksimikoht 2) Jos ( 1) m H i > 0, kikill i = m + 1,, n, niin KRP on pikllinen sidottu minimikoht 3) Jos kumpikn ei toteudu, testi ei kerro mitään, joten tutki trkemmin Esimerkki 132 Määritä funktion f(x, y, z) = x 2 7y 10z 3 piklliset äärirvot ehdoill x + y + z = 0 j x + 2y + 3z = 0 28

30 Lgrngen kertoimen tulkint Tehtävä lunperin muoto: Mximoi/minimoi funktio f( X) ehdoill g j ( X) = b j, missä X = (x 1,, x n ) j j = 1,, m Voidn osoitt, että optimikohdss X λ j = f( X) b j Eli kerroin λ j osoitt kuink pljon optimirvo muuttuu, jos lkuperäisen tehtävän rjoitett g j muutetn Eli jos rjoitteess olev vkio b j muuttuu yhden yksikön, niin optimirvo muuttuu λ j yksikköä Usein b j kuv jonkin resurssin määrää (työt, luonnonvrt), jolloin λ j ilmoitt resurssin vrjohinnn Eli pljonko knntt mks, jos s yhden yksikön lisää resurssi? Esimerkki 133 Ann rvio funktion f(x, y) = 5x 2 +6y 2 xy äärirvoille ehdoll x + 2y = 25 Esimerkki 134 Ann rvio funktion f(x, y) = 5x 2 +6y 2 xy äärirvoille ehdoll x + 2y = 23 Huomutus Ehtojen kertoimien on oltv positiivisi j L = f λ j g j n:n muuttujn j yhden epäyhtälörjoitteen tpus Äärirvot funktiolle f(x 1,, x n ) ehdoll g(x 1,, x n ) 0 Menetelmä on seurv: 1) Äärirvotetn funktio f(x 1,, x n ) ilmn epäyhtälöehto g(x 1,, x n ) 0 Mhdollinen pikllinen äärirvokoht X 0 löytyy siis funktion f( X) osittisderivttojen nollkohtn Suoritetn normli ltutrkstelu kriittiselle pisteelle X 0 Hessin mtriisin vull Jos kriittinen piste toteutt ehdon g(x 1,, x n ) 0, niin se on myös epäyhtälöehdon mukinen sidottu pikllinen äärirvokoht (Äärirvokoht löytyy siis ehtolueen sisältä, g(x 1,, x n ) 0) 29

31 2) Trkstelln epäyhtälörjoitteen g(x 1,, x n ) 0 sijn yhtälörjoitett g(x 1,, x n ) = 0 Rtkistn kuten normli sidottu äärirvotehtävä, missä Lgrnge-funktio on nyt muoto L(x 1,, x n, λ) = f(x 1,, x n ) λg(x 1,, x n ) Olkoon rtkisun stu kriittinen piste X 0 Suoritetn Lgrngen mukinen ltutrkstelu kriittiselle pisteelle X 0 ljennetun Hessin mtriisin vull (Äärirvokoht löytyy siis ehtolueen reunlt, g(x 1,, x n ) = 0) 3) Kohtiin 1) j 2) perustuv päättely Esimerkki 135 Mksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdoll x + 2y 24 Esimerkki 136 Mksimoi/minimoi f(x, y) = 5x 2 + 6y 2 xy ehdoll x + 2y 24 n:n muuttujn j yhden epäyhtälörjoitteen tpus (Lmbd päättely) Äärirvot funktiolle f(x 1,, x n ) ehdoll g(x 1,, x n ) 0 Menetelmä on seurv: 1) Oletetn epäyhtälörjoitteen sijn yhtälörjoite g(x 1,, x n ) = 0 Rtkistn kuten normli sidottu äärirvotehtävä, missä Lgrnge-funktio on nyt muoto L(x 1,, x n, λ) = f(x 1,, x n ) λg(x 1,, x n ) Olkoon rtkisun stu kriittinen piste X 0 j λ = λ 0 (Trkist, että löydetty KRP toteutt lkuperäisen ehdon) 2) Jos stu λ 0 > 0, niin X 0 on funktion f(x 1,, x n ) mhdollinen sidottu äärirvokoht ehdoll g(x 1,, x n ) 0 Ltu määräytyy ljennetun Hessin mtriisin vull Jos stu λ 0 0, niin funktion f(x 1,, x n ) sidottu äärirvokoht ehdoll g(x 1,, x n ) 0 sdn funktion normlist äärirvokohdst eli funktion osittisderivttojen nollkohdst Smoin äärirvon ltu Hessin mtriisin vull Esimerkki 137 Mksimoi/minimoi f(x, y, z) = xy + xz + yz ehdoll xyz

32 n:n muuttujn j yhden epäyhtälörjoitteen tpus (Kuhn-Tuckerin menetelmä) Olkoon f(x 1, x 2,, x n ) n:n muuttujn funktio epäyhtälörjoitteell g(x 1, x 2,, x n ) 0 Piste x = (x 1, x 2,, x n) on funktion f pikllinen mksimikoht vin, jos on olemss ei-negtiivinen luku λ siten, että λ j piste (x 1, x 2,, x n) toteuttvt Kuhn-Tuckerin ehdot: h i = f λ g = 0 x i x i λg(x 1, x 2,, x n ) = 0 g(x 1, x 2,, x n ) 0 i = 1, 2,, n Nämä ehdot ovt riittävät, jos funktio f(x 1, x 2,, x n ) on ylöspäin kuper j g(x 1, x 2,, x n ) on lspäin kuper Kosk funktion f(x 1, x 2,, x n ) mksimikoht on funktion f(x 1, x 2,, x n ) minimikoht, niin tulos on käytettävissä myös silloin, kun lspäin kuper funktio minimoidn lspäin kupern ehtojoukon yli Huomutus Funktio f(x 1, x 2,, x n ) on lspäin kuper lueess, jos mitkä thns kksi pistettä ( x 1, x 2,, x n ) j ( x 1, x 2,, x n ) toteuttvt epäyhtälöehdon f[(1 t) x 1 + t x 1,,(1 t) x n + t x n ] (1 t)f( x 1, x 2,, x n ) + tf( x 1, x 2,, x n ) Funktio on idosti lspäin kuper, jos voidn korvt merkillä < ; funktio on ylöspäin kuper, jos voidn korvt merkillä, j idosti ylöspäin kuper, jos voidn korvt merkillä > 111 Pnos-tuotos mlli Tunnetn eräs pnos-tuotos tulu: x i1 x i2 x i3 x in y i x 1 x 11 x 12 x 13 x 1n y 1 x 2 x 21 x 22 x 23 x 2n y 2 x 3 x 31 x 32 x 33 x 3n y 2 x n x n1 x n2 x n3 x nn y n 31

33 Vkrivillä toimiln i kokonistuotnnon x i käyttö välituottein x ij toimiloill j j lopputuotteen y i Muodostetn mlli, jok kertoo yleisesti lopputuotteiden kysynnän perusteell toimilojen kokonistuotnnon Mllin muodostminen tphtuu vkrivien perusteell: n x i = x ij + y i, missä n on toimilojen lukumäärä (12) j=1 Mllin kiinteät kertoimet lsketn eräästä tunnetust pnos-tuotos tulust seurvsti: ij = x ij x j x ij = ij x j, missä 0 ij 1 (13) Pnoskerroin ij ilmisee kuink pljon toimilll j trvitn toimiln i tuotnto yhden tuoteyksikön tuottmiseen Sijoittmll yhtälö (13) yhtälöön (12) sdn: n x i = ij x j + y i, missä i = 1,, n j=1 Eli x 1 = 11 x x n x n + y 1, x 2 = 21 x x n x n + y 2, x n = n1 x 1 + n2 x nn x n + y n Yleinen muoto: X = A X + Ȳ, missä Ȳ = loppukysyntä X = kokonistuotnto A = nk teknillinen mtriisi Eli x 1 x 2 x n n n n = n1 n2 nn n n x 1 x 2 y 1 y 2 + x n y n 1 n n 1 32

34 Tästä sdn rtkistu toimilojen tuotnnot x i, kun tunnetn kertoimet ij j lopputuotteiden kysynnät y i, eli tiedetään hlutut lopputuotemäärät j suhde kuink pljon toimil trvitsee toisten toimilojen tuotnto välituottein Siis X = A X + Ȳ X A X = Ȳ I X A X = Ȳ (I A) X = Ȳ (I A) 1 X = (I A) 1 Ȳ Näin johdettu yhtälö X = (I A) 1 Ȳ on pnos-tuotos mlli, jok ilmisee toimilojen kokonistuotnnon riippuvuuden lopputuotteiden kysynnästä Käänteismtriisi (I A) 1 on Leontief:n käänteismtriisi Merkitään sen lkioit b ij : x 1 x 2 x n n 1 Siis x i = b i1 y 1 + b i2 y b in y n b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n = b n1 b n2 b nn n n y 1 y 2 Leontief:n käänteismtriisi ilmisee toimilojen kokonistuotnnon j lopputuotteiden kysynnän välisen riippuvuuden Eli lkio b ij ilmisee, kuink pljon tuotnto trvitn toimilll i, jott toimilll j voitisiin tuott yksi lopputuoteyksikkö Esimerkki 138 Khden teollisuudenln tuotnto kuv seurv tulukko Muodost sen vull pnos-tuotos mlli (luvut milj euro) y n n 1 kokonis- välikäyttö lopputuotnto A B kysyntä tuottj A B Derivointi vektorimuodoss Äärirvotehtävissä joudutn joskus derivoimn lusekkeit, jotk sisältävät mtriisej j vektoreit 33

35 1121 Linerisen vektorin derivointi Funktio f : R n R on linerinen, jos se on muoto f( X) = f(x 1, x 2,, x n ) = 1 x x n x n, missä i R vkioit Asettmll x 1 x 2 1 X = j ā = 2 funktio f sdn muotoon x n f( X) = ā T X = (1,, n ) = X T ā = (x 1,, x n ) x 1 n 1 x n n Osittisderivoimll funktiot f sdn f = āt X = 1, x 1 x 1 f = āt X = 2,, x 2 x 2 f = āt X = n x n x n Osittisderivtoist voidn muokt vektori ā T X f X = āt X X = x 1 ā T X = x n 1 n = ā Smoin X T ā X = X T ā x 1 X T ā x n 1 = n = ā 34

36 Esimerkki 139 Jos 2 1 ā = 3 j X = 5 niin f( X) = ā T X = 2x1 x 2 + 3x 3 + 5x 4 j ā T X x 1 = 2, ā T X x 2 = 1, ā T X x 3 = 3, ā T X x 4 x 1 x 2 x 3 x 4, = 5, eli 2 ā T X X = 1 3 = ā Vektorirvoisen funktion derivointi Funktio F : R m R n on m:n muuttujn vektorirvoinen funktio Funktion rvot ovt n-komponenttisi pystyvektoreit, joiden jokinen komponentti on m:n muuttujn relirvoinen funktio F = f 1 (x 1,, x m ) f n (x 1,, x m ) Kukin f i voidn derivoid jokisen muuttujn x j suhteen f 1 f 2 f n F X = x 1 x 1 x 1 = J T f 1 f 2 f n x m x m x m m n Esimerkki 140 Olkoon ( ) F ( X) = F x 2 (x 1, x 2, x 3 ) = 1 + x 2 2 2x 2 x 3 4x 1 x 2 3 x x 2 x 2 3 Tällöin F 2x 1 4x 2 3 X = 2x 2 2x 3 2x 2 + 5x 2 3 2x 2 8x 1 x x 2 x

37 1123 Kvdrttisenmuodon derivointi Olkoon A symmetrinen n n mtriisi j X = (x 1, x 2,, x n ) T Luseke 11 1n x 1 X T A X = (x 1,, x n ) = f( X) n1 nn on kvdrttinen muoto Ottmll osittisderivtt muuttujien x 1, x 2, x n suhteen, sdn X ( X T A X) x 1 ( X T A X) = = 2A X x n ( X T A X) Ti X ( X T A X) = ( x 1 ( X T A X), x n ) ( x X T A X),, ( 2 x X T A X) = 2 X T A n Esimerkki 141 Olkoon x X = x 2 j A = x Tällöin x 1 X T A X = (x 1, x 2, x 3 ) x x 3 = (3x 1 + x 2 2x 3, x 1 + 3x 3, 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 ) x 2 x 3 = 3x x 2 x 1 2x 3 x 1 + x 1 x 2 + 3x 3 x 2 2x 1 x 3 + 3x 2 x 3 + 2x 2 3 = 3x x 1 x 2 4x 1 x 3 + 6x 2 x 3 + 2x 2 3 = f( X) x 1 Siten x 1 XT A X = 6x 1 + 2x 2 4x 3, x 2 XT A X = 2x 1 + 6x 3 36

38 Siis j x 3 XT A X = 4x 1 + 6x 2 + 4x 3 6x 1 + 2x 2 4x 3 3x 1 + x 2 2x 3 X X T A X = 2x 1 + 6x 3 = 2 x 1 + 3x 3 4x 1 + 6x 2 + 4x 3 2x 1 + 3x 2 + 2x x 1 = x 2 = 2A X x Bilinerinen derivointi Olkoon X = x 1, Z = z 1 j B m n mtriisi x m z n Luseke b 11 b 1n z 1 X T B Z = (x 1,, x m ) = f( X, Z) b m1 b mn z n on bilinerimuoto Tällöin X ( X T B Z) x 1 ( X T B Z) = = B Z x m ( X T B Z) j Z ( X T B Z) z 1 ( X T B Z) = = B T X z n ( X T B Z) 37

39 Esimerkki 142 Olkoon x X = x 2 B = 3 3 x ( ) z1 Z = z 2 Tällöin 2 2 ( ) X T B Z = (x 1, x 2, x 3 ) 3 3 z1 z = (2x 1 + 3x 2 + 2x 3, 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 ) ( z1 = 2x 1 z 1 + 3x 2 z 1 + 2x 3 z 1 + 2x 1 z 2 + 3x 2 z 2 + 4x 3 z 2 = f( X, Z) z 2 ) Nyt Eli x 1 ( X T B Z) = 2z 1 + 2z 2, j x 2 ( X T B Z) = 3z 1 + 3z 2 x 3 ( X T B Z) = 2z 1 + 4z 2 2z 1 + 2z ( ) X ( X T B Z) = 3z 1 + 3z 2 = 3 3 z1 = B z Z 2 2z 1 + 4z Edelleen z 1 ( X T B Z) = 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 j z 2 ( X T B Z) = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 Siis Z ( X T B Z) = ( ) 2x1 + 3x 2 + 2x 3 = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 ( ) x x 2 = 3 3 x T x 1 x 2 x 3 = B T X 38

40 113 Mtriisien sovellutus regressionlyysissä Usen muuttujn Pienimmän neliösummn regressionlyysissä jtelln, että (selitettävä) muuttuj y riippuu (selittävistä) muuttujist x 1, x 2,, x k j häiriötekijästä u yhtälön mukisesti y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β k x k + u Vkioit β 0, β 1,, β k ei tunnet j käytettävissä on n:n kppleen otos muuttujn y j muuttujien x 1, x 2,, x k rvoj Siis n kpl y:n rvoj j niitä vstvt x i :n rvot ovt tiedoss: y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + β k x ki + u i, i = 1, 2,, n (14) Tehtävänä on löytää estimtit (rviot) vkioille β 0, β 1,, β k eli löytää (prs) linerinen funktio, jonk kutt y riippuu muuttujist x i Merkitään: y 1 1 x 11 x 21 x k1 β 0 u 1 y 2 Ȳ =, X = 1 x 12 x 22 x k2, β β 1 = j ū = u 2 1 x 1n x 2n x kn β k u n y n n k+1 Yhtälöryhmä (14) sdn nyt mtriisimuotoon Ȳ = X β + ū (15) Vkioiden β 0, β 1,, β k estimttien löytämiseksi käytetään ns pienimmän neliösummn menetelmää Merkitään vektorin β estimtti ˆβ 0 ˆβ 1 ˆβ = ˆβ k Tällöin Ȳ = X ˆβ + ē, 39

41 missä ē = Ȳ X ˆβ = (e 1, e 2,, e n ) T on n:n ns jäännöstermin muodostm pystyvektori Siis e i = y i ( ˆβ 0 + ˆβ 1 x 1i + + ˆβ k x ki ) Pienimmän neliösummn menetelmässä summ n e 2 i = ē T ē i=1 minimoidn (Virheen minimointi) Siis etsitään ˆβ, joll virhe minimoituu Nyt n e 2 i = ē T ē = (Ȳ X ˆβ) T (Ȳ X ˆβ) i=1 = (Ȳ T (X ˆβ) T ) (Ȳ X ˆβ) = (Ȳ T ˆβ T X T ) (Ȳ X ˆβ) = Ȳ T Ȳ Ȳ T X ˆβ ˆβ T X T Ȳ + ˆβ T X T X ˆβ Vektorin ˆβ määrittämiseksi etsitään lusekkeen ē T ē pienin rvo kuten normliss äärirvotehtävässä Etsitään ensin KRP derivoimll luseke tuntemttomn ˆβ suhteen j settmll se nollksi: mikäli X T X säännöllinen ˆβ (ēt ē) = X T (Ȳ T ) T X T Ȳ + 2X T X ˆβ = 2X T Ȳ + 2X T X ˆβ = 0 X T X ˆβ = X T Ȳ ˆβ = (X T X) 1 X T Ȳ, Jott voidn osoitt, että ˆβ = (X T X) 1 X T Ȳ on minimirtkisu, on tutkittv toist derivtt 2 ē T ē ˆβ 2 = ˆβ ( 2XT Ȳ + 2X T X ˆβ) = 2X T X 40

42 Jos mtriisi X T X on positiividefiniitti, niin kyseessä on minimirtkisu Käytännön tilnteiss X T X on in positiividefiniitti Esimerkki 143 Estimoi yhtälön y = β 0 +β 1 x 1 kertoimi β pienimmän neliösummn menetelmällä, kun hvintoineisto on seurv: y 1 = 5 x 11 = 1 y 2 = 3 x 12 = 0 y 3 = 2 x 13 = 1 y 4 = 8 x 14 = Linerinen optimointi Mksimoitess voitto ti minimoitess kustnnuksi tulee usein eteen resurssien rjllisuus Tehtävä Mksimoi/minimoi kohdefunktio z = f(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n + c 0 (Linerinen!!!) rjoitteill 11 x x n x n b 1 21 x x n x n b 2 (Lineriset!!!) m1 x 1 + m2 x mn x n b m x j 0 j = 1,, n 1141 Geometrinen rtkisu Khden päämuuttujn tpus: Mx/min f(x 1, x 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 0 rjoitteill 11 x x 2 b 1 21 x x 2 b 2 m1 x 1 + m2 x 2 b m x 1, x 2 0, ei pkollinen 41

43 Muodostetn rtkisumonikulmio eli etsitään ehtolue, joss rjoitteet toteutuvt Luse 19 Jos rtkisumonikulmio on suljettu, niin optimointitehtävän yksikäsitteinen rtkisu löytyy rtkisumonikulmion kärjistä Jos rtkisuj on useit, niin inkin kksi niistä löytyy rtkisumonikulmion kärkipisteistä Jos rtkisumonikulmio on voin lue, tutki trkemmin Esimerkki 144 Mx/min f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 rjoitteill 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Huomutus Rtkisumonikulmio ei välttämättä ole suljettu rjoitteill Esimerkiksi: { 2x1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 40 { 2x1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 40 Esimerkki 145 Min/mx f(x, y) = 2x + 10y rjoitteill 2x + y 6 5x + 4y 20 x, y 0 42

44 Esimerkki 146 Min/mx f(x, y) = 2x + 10y rjoitteill 2x + y 6 5x + 4y 20 x, y Kntrtkisu menetelmä Tehtävä Mksimoi/minimoi kohdefunktio z = f(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n + c 0 rjoitteill 11 x x n x n b 1 21 x x n x n b 2 m1 x 1 + m2 x mn x n b m x j 0 j = 1,, n Rjoite-epäyhtälöt muutetn lisämuuttujien (x n+1,, x n+m ) vull yhtälöiksi: 11 x x n x n + x n+1 = b 1 21 x x n x n x n+2 = b 2 m1 x 1 + m2 x mn x n + x n+m = b m x j 0 j = 1,, n + m Kntrtkisu on eo yhtälöryhmän sellinen rtkisu, joss tuntemttomist x 1,, x n+m on n kpplett nolli j lisäksi positiivisuusehto ei huomioid Kntmuuttujt ovt ne m muuttuj, joit ei setet nolliksi Hyväksyttävä kntrtkisu on kntrtkisu, jok toteutt myös positiivisuusehdon Optimlinen kntrtkisu on hyväksyttävä kntrtkisu, jok nt kohdefunktion optimirvon 43

45 Luse 110 Jos kohdefunktioll on äärellinen optimi, niin inkin yksi optimlinen rtkisu löytyy hyväksyttävänä kntrtkisun Optimointi: 1) hetn kntrtkisut 2) vlitn hyväksyttävät kntrtkisut 3) lsketn funktion rvot kohdn 2) pisteissä 4) vlitn näistä hettu optimirvo Esimerkki 147 Min/mx f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 rjoitteill 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Huomutus Kntrtkisu menetelmä ei toimi voimess lueess Pienellä vrovisuudell kylläkin 1143 SIMPLEX menetelmä Tehtävä Mksimoi/minimoi kohdefunktio z = f( X) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n rjoitteill 11 x x n x n b 1 21 x x n x n b 2 m1 x 1 + m2 x mn x n b m x j 0 j = 1,, n Rjoite-epäyhtälöt muutetn lisämuuttujien vull yhtälöiksi: Esimerkiksi rjt {11x1 + 12x nxn b1 21 x x n x n b 2 { 11 x x n x n + x n+1 = b 1 21 x x n x n x n+2 + x n+3 = b 2 44

46 Lisämuuttujt: x n+1 ei kohdefunktioon, kylläkin rvotulukkoon x n+3 kohdefuntioon j rvotulukkoon { minimointi Mxn+3 M suuri positiivinen luku mksimointi Mx n+3, x n+2 ei kohdefunktioon eikä rvotulukkoon lisämuuttujn Esimerkki 148 Minimoi z = f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 rjoitteill 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Rjoite-epäyhtälöt muutetn lisämuuttujien vull yhtälöiksi: 2x 1 + x 2 + x 3 = 6 5x 1 + 4x 2 x 4 + x 5 = 20 x 1, x 2, x 3, x 4 0 minimoi z = f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 + Mx 5 edellä olleill rjoitteill Muodostetn rvotulukko seurvsti: c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x M x z j 20M 5M 4M 0 M M c j z j 2 5M 10 4M 0 M 0 (Kun x 3 = 6 j x 5 = 20, niin x 1 = x 2 = 0 z = 20M) z j :n rvot sdn lskemll lisämuuttujien rvoiksi srkkeen luvut j kertoimiksi c 3 j c 5 c j z j edust lisäystä funktion rvoon, jok svutetn muuttujn j yhden yksikön lisäyksellä (ko rvoist) 45

47 Optimlisuuden trkistus: Mksimointitehtävä: Jos rivin c j z j kikki rvot ovt negtiivisi ( 0), niin tulost ei void prnt j on löydetty mksimikoht Minimointitehtävä: Jos rivin c j z j kikki rvot ovt positiivisi ( 0), niin tulost ei void prnt j on siten löydetty minimikoht Nyt 2 5M < 0 j 10 4M < 0 ei minimikoht Korvvn j väistyvän muuttujn vlint: Suurin prnnus eli tässä tpuksess pienennys funktion rvoon sdn muuttujn x 1 lisäyksestä (2 5M < 10 4M, M suuri positiivinen luku) x 1 korvv muuttuj j x 1 :n srke optimisrke Jetn lisämuuttujien rvot vstvill optimisrkkeen rvoill: x 3 : 6 2 = 3 x 5 : 20 5 = 4 Se, joll on pienempi positiivinen rvo, vlitn väistyväksi muuttujksi x 3 väistyvä muuttuj Muodostetn uusi rvotulu: Korvvn muuttujn x 1 rivi sdn väistyvän muuttujn x 3 rivin lkioist jkmll ne optimisrkkeen x 1 muuttujn x 3 rvoll c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x M x

48 Muut rivit: uuden vnhn vnhn rivin vstv rivin = rivin lkio optimi-srkkeessvll lkio korv- lkio lkio rivillä c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x M x z j 6 + 5M M 1 5M M M 2 2 c j z j 0 9 3M 1 + 5M M Ei minimirtkisu, sillä M < 0 Nyt x 2 on korvv muuttuj j x 2 :n srke on optimisrke Lisäksi x 1 : = 6 j x 5 : = 10 3 x 5 väistyvä muuttuj Muodostetn uusi rvotulu: c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x x c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 2 x = x z j = = 14 = 6 = c j z j M 6 47

49 Tämä on minimirtkisu, sillä 14 > 0, 6 > 0 j M 6 > 0 Siis minimirtkisu on x 1 = 4 j x 3 1 = 10, jolloin minimirvo on 36 3 Esimerkki 149 Mksimoi z = f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 rjoitteill 2x 1 + x 2 6 5x 1 + 4x 2 20 x 1, x 2 0 Muutetn epäyhtälörjoitteet yhtälöiksi: 2x 1 + x 2 + x 3 = 6 5x 1 + 4x 2 x 4 + x 5 = 20 x 1, x 2, x 3, x 4 0 mksimoi z = f(x 1, x 2 ) = 2x x 2 Mx 5 edellä olleill rjoitteill Muodostetn rvotulukko seurvsti: c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x M x z j 20M 5M 4M 0 M M c j z j 2 + 5M M 0 M 0 (Kun x 3 = 6 j x 5 = 20, niin x 1 = x 2 = 0 z = 20M) Optimlisuuden trkistus: Nyt 2 + 5M > 0 j M > 0 ei mksimikoht Korvvn j väistyvän muuttujn vlint: Suurin prnnus funktion rvoon sdn muuttujn x 1 lisäyksestä (2 + 5M > M, M suuri positiivinen luku) x 1 korvv muuttuj j x 1 :n srke optimisrke Jetn lisämuuttujien rvot vstvill optimisrkkeen rvoill: x 3 : 6 2 = 3 x 5 : 20 5 = 4 48

50 Se, joll on pienempi positiivinen rvo, vlitn väistyväksi muuttujksi x 3 väistyvä muuttuj Muodostetn uusi rvotulu: Korvvn muuttujn x 1 rivi sdn väistyvän muuttujn x 3 rivin lkioist jkmll ne optimisrkkeen x 1 muuttujn x 3 rvoll c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x M x c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x M x z j 6 5M 2 1 3M 1 + 5M M M 2 2 c j z j M 1 5M M Ei mksimirtkisu, sillä M > 0 Nyt x 2 on korvv muuttuj j x 2 :n srke optimisrke Lisäksi x 1 : = 6 j x 5 : = 10 3 x 5 väistyvä muuttuj Muodostetn uusi rvotulu: c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x x

51 c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x x z j c j z j M 6 Tämä ei ole mksimirtkisu, sillä 14 > 0 j 6 > 0 Kosk 14 > 6, niin x 3 on korvj muuttuj j x 3 :n srke on optimisrke Lisäksi x 1 : = 1 j x 2 : x 1 väistyvä muuttuj = 2 Muodostetn uusi rvotulu: c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x x x c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x x z j c j z j M 10 4 Ei mksimirtkisu, sillä 10 4 optimisrke Lisäksi > 0 Nyt x 4 on korvv muuttuj j x 4 :n srke x 3 : = 4 j x 2 : x 3 väistyvä muuttuj = 20 50

52 Muodostetn uusi rvotulu: c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x x c j M c j lisämuuttujt rvot x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x x z j c j z j M Selvästi kyseessä on mksimirtkisu Nyt { x2 = 6 x 4 = 4 5x x 5 = 20 x 1 = x 5 = 0 Optimikoht on siis x 1 = 0, x 2 = 6 z = M 0 = 60 51

53 2 Integrlilskent 21 Johdnto Integrointi on derivoimisen käänteistoimitus Siis f(x) dx = F (x) D F (x) = f(x) On siis määritettävä funktio F (x), kun sen derivttfunktio f(x) tiedetään Tloustieteessä voidn käyttää seurviss tpuksiss: rjhyötyfunktio hyötyfunktio rjkustnnusfunktio kustnnusfunktio rjtulofunktio tulofunktio Määrätty integrli: integrointi yli jonkin välin b f(x) dx Menetelmä, joll voidn lske käyrän rjoittmn pinnn l Kokonistulo on rjtulofunktion rjoittmn pinnn l Kuluttjn ylijäämä on kysyntäkäyrän lpuolell jäävä pint-l Vstvsti tuottjn ylijäämä on trjontkäyrän lpuolell jäävä pint-l 22 Integrlifunktio Pyritään määräämään funktio F (x), kun sen derivttfunktio f(x) on nnettu Funktio F on funktion f integrlifunktio, jos F (x) = f(x) x D f Merkitään f(x) dx = F (x) 52

54 Kosk funktio F (x) on derivoituv on se myös jtkuv Olkoon F (x) funktion f(x) eräs integrlifunktio Siis F (x) = f(x) Toislt kun c on vkio, niin D(F (x) + c) = DF (x) + Dc = F (x) + 0 = F (x) = f(x) Siis jokinen funktio F (x) + c, missä c on vkio, on myös funktion f(x) integrlifunktio Luse 21 (Integrlilskennn perusluse) Olkoon funktio f(x) jtkuv j derivoituv välillä ], b[ Jos lisäksi f (x) = 0 x ], b[, niin f(x) on vkiofunktio tällä välillä Todistus Vert f(x):n ksvunopeus Olkoon D f =], b[ j olkoot F (x) j G(x) molemmt funktion f(x) integrlifunktioit, eli F (x) = f(x) j G (x) = f(x) Tällöin D(G(x) F (x)) = DG(x) DF (x) = G (x) F (x) = f(x) f(x) = 0 Integrlilskennn perusluseen nojll G(x) F (x) on vkiofunktio, eli on olemss c R siten, että G(x) F (x) = c x ], b[ G(x) = F (x) + c 53

55 Luse 22 Olkoon f(x) funktio, jolle D f =], b[ j F (x) on eräs funktion f(x) integrlifunktio Tällöin {F (x) + c c R} on funktion f(x) kikkien integrlifunktioiden joukko Kun nnetn yksi piste (x 0, y 0 ), jonk kutt integrlifunktio kulkee, niin integrlifunktio sdn täysin määrättyä: F (x 0 ) + c = y 0 c = y 0 F (x 0 ) Luse 23 Olkoot f(x) j g(x) funktioit, joill D f = D g =], b[ Oletetn, että F (x) on eräs funktion f(x) j G(x) eräs funktion g(x) integrlifunktio Tällöin (i) F (x) + G(x) on funktion f(x) + g(x) integrlifunktio (ii) F (x) on funktion f(x) integrlifunktio ( R vkio) Todistus (i) D(F (x) + G(x)) = F (x) + G (x) = f(x) + g(x) (ii) D(F (x)) = D(F (x)) = F (x) = f(x) Funktion f(x) integrlifunktiot merkitään: f(x) dx = F (x) + c, missä F (x) on funktion f(x) eräs integrlifunkto j c on integroimisvkio Luse 23 sdn nyt muotoon (i) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx (ii) f(x) dx = f(x) dx Derivoimiskvoist sdn seurvt integroimiskvt: (1) dx = x + c, missä R on vkio (2) x dx = x+1 x+1 + c, 1, R, sillä D = ( + 1)x + 1 = x Jos Z, niin oltv x 0 (juuren ll posit) 54

56 (3) (4) (5) 1 dx = ln x + c, x 0, x D ln x = 1 sillä D ln x = x, kun x > 0 D ln ( x) = 1 x ( 1) = 1, kun x < 0 x e x dx = e x + c, sillä De x = e x x dx = x x + c, sillä D ln ln = x ln ln = x Olkoot funktiot g(x), f(x) j f (x) jtkuvi j G(x) eräs funktion g(x) integrlifunktio Tällöin D G(f(x)) = G (f(x)) f (x) = g(f(x)) f (x) Siis (6) g(f(x)) f (x) dx = G(f(x)) + c Tämän vull sdn seurvt integroimiskvt: (7) (f(x)) f (x) dx = (f(x))+1 + c, 1, + 1 sillä D (f(x)) = ( + 1)(f(x)) + 1 f (x) = f(x) f (x) Olkoon nyt 1 j f(x) 0 Tällöin (8) (9) f (x) dx = ln f(x) + c, f(x) 0, sillä f(x) D ln f(x) = 1 f(x) f (x) = f (x), kun f(x) > 0 f(x) D ln f(x) = D ln ( f(x)) = 1 f(x) f (x) = f (x), kun f(x) < 0 f(x) e f(x) f (x) dx = e f(x) + c, sillä De f(x) = e f(x) f (x) 55

57 (10) sillä f(x) f (x) dx = f(x) ln + c, D f(x) ln = ln f(x) f (x) ln = f(x) f (x) Funktiot f(x) snotn integroituvksi, jos sillä on olemss integrlifunktio Jokinen jtkuv funktio on integroituv Sdn suhde f derivoituv f jtkuv f integroituv Olkoot funktiot f j g derivttoineen jtkuvi Tällöin D(f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (f (x) g(x) + f(x) g (x)) dx = f(x) g(x) + c f (x) g(x) dx + f(x) g (x) dx = f(x) g(x) + c Tästä sdn ns osittisintegroinnin kv: (11) Vlitn: f (x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx + c f : voidn (ostn) integroid g : yksinkertistuu enemmän derivoimll Esimerkki 21 (x 4 + 1x 3 ) dx Esimerkki 22 Määritä funktion f(x) = 8x 3 2x ) Kikki integrlifunktiot b) Se integrlifunktio F (x), jolle F (1) = 9 Esimerkki 23 x + 3 x + 1 dx x 56

58 Esimerkki x + 2 2x 2 x dx Esimerkki 25 3x x2 + 1 dx Esimerkki 26 e x2 x dx Esimerkki 27 Esimerkki 28 x 2 x dx x ln x dx 23 Integrointi osmurtokehitelmän vull On määrättävä P (x), missä P (x) j Q(x) ovt polynomej Q(x) Jos polynomi P (x) on jollinen polynomill Q(x), niin tehtävä plutuu polynomin integrointiin Jos polynomi P (x) = Q (x), niin tehtävä plutuu integroimiskvn (7) Oletetn nyt, että P (x) ei ole jollinen polynomill Q(x) eikä se ole sen derivttfunktio Olkoon lisäksi polynomi P (x) lemp stett kuin Q(x), muutoin suoritetn ensin jkminen (ktso esim 29 jälkeinen teksti) Tällöin rtionlifunktio P (x) Q(x) jotk kyetään integroimn Menetelmä on seurv: voidn esittää osmurtolusekkeiden summn, 1) Jetn nimittäjä Q(x) jottomiin tekijöihin rtkisemll sen nollkohdt Tekijät ovt muoto x + b (vst polynomin Q(x) relist nollkoht) ti x 2 + bx + c (tpus, joss nollkoht ei ole reliluku eli 2 steen tekijä ei jknnu) 2) Kutkin polynomin Q(x) tekijää vst osmurtoluseke seurvsti: 57

59 ) yksinkertinen linerinen tekijä x + b A x + b b) n kertinen linerinen tekijä (x + b) n A 1 x + b + A 2 (x + b) + + A n 2 (x + b) n c) yksinkertinen toisen steen joton tekijä x 2 + bx + c Ax + B x 2 + bx + c d) n kertinen toisen steen joton tekijä (x 2 + bx + c) n A 1x + B 1 x 2 + bx + c + A 2x + B 2 (x 2 + bx + c) + + A nx + B n 2 (x 2 + bx + c) n missä A, B, A 1,, A n, B 1,, B n ovt vkioit, jotk pitää määrätä 3) Vkiot määrätään seurvsti: Luseke P (x) esitetään osmurtolusekkeiden summn Kerrotn puolittin nimittäjällä Q(x), jolloin vsemmlle puolelle jää P (x) j oikel- Q(x) le puolelle osmurtolusekkeiden vkioit sisältävä polynomi Vertmll kyseisen polynomin j polynomin P (x) termien kertoimi, sdn vkiot määrättyä 4) Integrli P (x) Q(x) Esimerkki 29 sdn osmurtolusekkeiden integrlien summn x + 3 x 2 + 3x + 2 dx Jos P (x) on korkemp ti yhtä suurt stett kuin Q(x), niin jetn: P (x) Q(x) = R(x) + P 1(x) Q(x) missä jkojäännös P 1 (x) on lemp stett kuin Q(x) Siten P (x) Q(x) dx = R(x) dx + P1 (x) Q(x) dx 58

60 Esimerkki 210 x 3 2x 6 x 2 2x + 1 dx Esimerkki 211 x x 4 + 6x dx 24 Integrointi sijoitusmenetelmää käyttäen Integrli f(x) dx voidn muutt yksinkertisempn muotoon sopivll sijoituksell x = g(t), missä t on pumuuttuj j funktio g(t) on derivoituv (muuttujn t suhteen) Derivoimll luseke x = g(t) puolittin muuttujn t suhteen sdn dx dt = g (t) eli dx = g (t)dt Täten sdn sijoitusmenetelmän sääntö: f(x) dx = f(g(t)) g (t) dt = F (t) + C Siis sijoituksess x = g(t) integrliss korvtn x lusekkeell g(t) j dx lusekkeell g (t)dt Integroinnin jälkeen pltn lkuperäiseen muuttujn x sijoituksell t = g 1 (x) Huomutus Sijoitusmenetelmästä on hyötyä vin, jos se joht yksinkertisempn integrliin! Yleensä korvtn jokin muuttuj x sisältävä termi pumuuttujll t Käyttökelpoisi sijoituksi: 1) Jos integroitvn funktion osn esiintyy termi x + b ti x+b, voidn cx+d sijoitt t = x + b ti t = x+b cx+d Esimerkki 212 x 2x + 1 dx 2) Jos integroitvn funktion osn esiintyy termi n x + b, (x + b) n, n x + b cx + d ti ( ) n x + b, cx + d 59

61 voidn sijoitt t = n x + b, t = (x + b) n, t = n x + b cx + d ti t = ( ) n x + b cx + d Esimerkki 213 x x dx 3) Jos integroitv funktio f on rtionlinen muuttujn x murtolukupotenssien suhteen, sdn integroitvst rtionlinen muuttujn t suhteen sijoituksell x = t d, missä d on muuttujn x murtopotenssien nimittäjien pienin yhteinen jettv Esimerkki 214 x x 3 4 4) Jos integroitv on rtionlinen termin (x + b) murtolukupotenssien suhteen, käytetään sijoitust x + b = t d, missä d on termin (x + b) murtolukupotenssien nimittäjien pienin yhteinen jettv Esimerkki 215 x (1 + 2x) 3 2 Huomutus Pienin yhteinen jettv trkoitt sellist pienintä luku, jonk jotkut tietyt luvut jkvt tsn Esimerkiksi lukujen 2 j 3 pienin yhteinen jettv on luku 6 5) Jos integroitvss funktioss f esiintyy voidn sijoitt dx e x ti x t = e x x = ln t ti t = x x = log t dx 6) Tietyissä erikoistpuksiss sijoitus x = 1 t on tehoks Esimerkki 216 (x x 3 ) 1 3 x 4 dx 60

62 25 Määräämätön integrli tloustieteessä Tloustieteessä kuvtn jonkin muuttujn y vihtelu toisen muuttujn x suhteen käyttäen keskimääräisen muutoksen j rjmuutoksen käsitteitä Rjmuutosfunktio sdn lkuperäisestä funktiost derivoimll, joten lkuperäinen funktio sdn rjfunktiost (vkiot ville) integroimll 251 Kustnnusfunktiot Olkoon C = C(x) kokoniskustnnusfunktio, missä x on tuotnnon määrä Tällöin AC(x) = C(x) on keskimääräisten kustnnusten funktio j MC(x) = C (x) x on rjkustnnusfunktio Kokoniskustnnusfunktio C(x) sdn siten integroimll rjkustnnusfunktio M C(x) eli C(x) = MC(x) dx Integroimisvkio c sdn määrättyä jonkin lkuehdon vull Usein nnetn kiinteät kustnnukset, eli kustnnukset tuotnnon määrän x olless noll Esimerkki 217 Olkoon rjkustnnusfunktio MC(x) = x 5x 2 Määrää kokoniskustnnusfunktio C(x) j keskimääräiskustnnusfunktio AC(x), kun kiinteät kustnnukset ovt 65 C(x) = MC(x) dx = x 5x 2 dx = 2x + 30x x3 + c C(0) = c = 65 c = 65 C(x) = 2x + 30x x AC(x) = C(x) x = 2x + 30x2 5 3 x x = x 5 3 x x 252 Tulofunktiot Kun y = f(x) on kysyntäfunktio, missä y on tvrn yksikköhint j x kysynnän suuruus (määrä), niin kokonistulofunktio R(x) = xy = x f(x) j rjtulofunktio MR(x) = dr(x) dx = f(x) + x f (x) 61

63 Siten kokonistulofunktio on rjtulon integrlifunktio, eli R(x) = MR(x) dx Integroimisvkio c määräytyy usein ehdost, että kokonistulo on noll, kun kysyntä x on noll eli R(0) = 0 Keskimääräisten tulojen funktio AR(x) = R(x) x = xf(x) x = f(x) = kysyntäfunktio Esimerkki 218 Olkoon rjtulofunktio MR(x) = 8 6x 2x 2 Määrää kokonistulofunktio R(x) j kysyntäfunktio f(x), kun kysynnän määrällä noll kokonistulo on noll R(x) = MR(x) dx = 8 6x 2x 2 dx = 8x 3x x3 + c R(0) = c = 0 c = 0 R(x) = 8x 3x x3 f(x) = R(x) x = 8x 3x2 2 3 x3 x = 8 3x 2 3 x2 253 Knsntulo, kulutus j säästäminen Olkoon C = C(x) kulutusfunktio, missä C on knsllinen kokoniskulutus j x kokonisknsntulo Rjkulutuslttius sdn seurvsti: dc dx = C (x) Olettmll, että x = C(x) + S(x), missä S(x) on säästöfunktio, sdn rjsäästämislttius seurvsti: S(x) = x C(x) ds(x) dx = 1 dc(x) dx 62

64 Kosk knsllinen kokoniskulutus on rjkulutuslttiuden integrlifunktio, niin C(x) on muoto C(x) = C (x) dx Esimerkki 219 Olkoon rjkulutuslttius dc = dx x (milj euro) Kun knsntulo on noll, on kulutus 640 milj euro Määrää kokoniskulutusfunktio C (x) dx = x dx = 56x + 32 x + c C(0) = c = 640 c = 640 C(x) = 56x + 32 x Pääomn muodostus Olkoon K(t) pääomn kokonismäärä jn hetkellä t j K(t) on derivoituv muuttujn t suhteen Pääomn muodostuksen ste (nopeus) on tällöin dk dt = K (t) Nyt pääomn muodostuksen ste K (t) on yhtä suuri nettoinvestointivirrn I(t) knss Sdn yhtälöt K (t) = I(t) K (t) dt = I(t) dt K(t) = I(t) dt Siten pääomn kokonismäärä on pääomn muodostuksen steen ti nettoinvestointivirrn integrlifunktio K(t) sdn, kun em integrleiss määrätään integroitumisvkio 63

65 Esimerkki 220 Nettoinvestointivirt I(t) = 5t 3 7 Määritä pääomn kokonismäärä jnhetkellä t, kun pääomn kokonismäärä jnhetkellä t = 0 on 30 K(t) = I(t) dt = K(0) = K(t) = 7 2 t t 3 7 dt = 5t c = + c = 30 c = 30 7t c 26 Määrätty integrli Olkoon y = f(x) välillä [, b] jtkuv funktio j F (x) sen jokin integrlifunktio Luku F (b) F () on funktion f(x) määrätty integrli yli välin [,b] Merkitään: b f(x) dx = b/ F (x) = F (b) F () Esimerkki (2x 3 + 5x) dx Määrätty integrli j pint-l Oletetn, että y = f(x) on jtkuv funktio j f(x) 0 x D f Tehtävänä on määrittää seurv pint-l A 64

66 Olkoon A(x 0 ) käyrän y = f(x), x kselin, y kselin j suorn x = x 0 rjoittmn lueen pint-l Alueen B 3 B 2 B 5 B 6 pint-l on A = A(x 0 + x) A(x 0 ) Suorkulmion B 1 B 2 B 5 B 6 pint-l on x f(x 0 + x) Suorkulmion B 3 B 4 B 5 B 6 pint-l on x f(x 0 ) Selvästi x f(x 0 ) A x f(x 0 + x) f(x 0 ) A(x 0 + x) A(x 0 ) x : x f(x 0 + x) (16) 65

67 Kun x 0, sdn lim f(x 0) = f(x 0 ) j lim f(x 0 + x) = f(x 0 ) x 0 x 0 Siten ottmll puolittin yhtälöstä (16) lim x 0 sdn: A(x 0 + x) A(x 0 ) f(x 0 ) lim x 0 x f(x 0 ) A (x 0 ) = f(x 0 ) Kosk x 0 on mielivltinen, sdn A (x) = f(x) Siten A(x) on funktion f(x) eräs integrlifunktio Nyt A = A(b) A() Olkoon F (x) mielivltinen funktion f(x) integrlifunktio Tällöin F (x) = A(x) + c, c vkio Siis F (b) F () = (A(b) + c) (A() + c) = A(b) A() = A Luse 24 Jos funktio f(x) on välillä [, b] jtkuv j f(x) 0 x [, b], niin määrätty integrli b f(x) dx on käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b rjoittmn lueen pint-l 66

68 27 Määrätyn integrlin ominisuuksist Luse 25 Olkoot funktiot f(x) j g(x) jtkuvi välillä [, b] j olkoon c R vkio Tällöin (i) (ii) b b cf(x) dx = c b f(x) dx (f(x) + g(x)) dx = b f(x) dx + b g(x) dx Todistus Olkoot F (x) j G(x) funktioiden f(x) j g(x) eräät integrlifunktiot (i) (ii) b b cf(x) dx = b/ cf (x) = cf (b) cf () = c(f (b) F ()) = c (f(x) + g(x)) dx = b/ b F (x) = c f(x) dx b/ (F (x) + G(x)) = (F (b) + G(b)) (F () + G()) b/ b/ = F (b) F () + G(b) G() = F (x) + (G(x) = b f(x) dx + b g(x) dx Esimerkki (x 3 + 3x 2 + 2) dx 1 67

69 Luse 26 Jos funktio f(x) on jtkuv välillä [, b] j < c < b, niin b c b f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx c Todistus Olkoon F (x) eräs funktion f(x) integrlifunktio b f(x) dx = F (b) F () = (F (b) F (c)) + (F (c) F ()) = b/ F (x) + c/ F (x) = b c f(x) dx + f(x) dx c c { x 2 1, x 0 2 Esimerkki 223 Olkoon f(x) = x 3 x 1, x > 0 Määrää f(x) dx 2 Luse 27 Myös tilnteess b b f(x) dx = b/ F (x) = F (b) F () Nyt j b f(x) dx = / F (x) = F () F () = 0 f(x) dx = F (b) F () = (F () F (b)) = f(x) dx b Luse 28 Olkoot f(x) j g(x) jtkuvi funktioit välillä [, b] (i) Jos f(x) 0 välillä [, b], niin b (ii) Jos f(x) g(x) välillä [, b], niin f(x) dx 0 b f(x) dx b g(x) dx 68

70 b (iii) Jos f(x) 0 välillä [, b], niin f(x) dx 0 Todistus Olkoon F (x) funktion f(x) integrlifunktio j G(x) funktion g(x) integrlifunktio (i) F (x) = f(x) 0 välillä [, b] F (x) on ksvv välillä [, b] F (b) F () Näin ollen b f(x) dx = F (b) F () 0 (ii) Kosk f(x) g(x) välillä [, b], niin g(x) f(x) 0 välillä [, b] j kohdn (i) nojll b (g(x) f(x)) dx 0 b g(x) dx b f(x) dx 0 b b f(x) dx g(x) dx (iii) F (x) = f(x) 0 välillä [, b] F (x) on vähenevä välillä [, b] F (b) F () Näin ollen b f(x) dx = F (b) F () 0 Luse 29 (Integrlilskennn välirvoluse) Olkoon f(x) suljetull välillä [, b] jtkuv funktio Tällöin on olemss inkin yksi x 0 ], b[, jolle b f(x) dx = f(x 0 )(b ) Todistus Olkoon f(x) suljetull välillä [, b] jtkuv funktio Siten f(x) svutt tällä välillä suurimmn rvon (= M) j pienimmän rvon (= m) Siis välillä [, b] on voimss m f(x) M 69

71 Luseen 28 kohdn (ii) nojll b m dx b/ mx b b m(b ) f(x) dx f(x) dx b b b/ Mx m 1 b f(x) dx M b M dx f(x) dx M(b ) : (b ) (b > ) Jtkuv funktio s rvokseen jokisen rvon minimin j mksimin väliltä, joten on olemss sellinen x 0 ], b[, että f(x 0 ) = 1 b b f(x) dx Geometrisesti: Välillä ], b[ on sellinen koht x 0, että kuvion suorkulmion pint-l on yhtä suuri kuin käyrän y = f(x) rjoittmn lueen pint-l 70

72 28 Pint-ln määritys integrlin vull 1 o f(x) 0 välillä [, b] j jtkuv tällä välillä Nyt käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b rjoittmn lueen pint-l b A = f(x) dx Esimerkki 224 Määritä sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrä y = 1 x 2, x kseli sekä suort x = 1 j x = 3 71

73 2 o f(x) 0 välillä [, b] j jtkuv tällä välillä Määritetään käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b väliin jäävän lueen pint-l A Käyrät y = f(x) j y = f(x) ovt symmetriset x kselin suhteen Nyt f(x) 0 j siten käyrän f(x), x kselin sekä suorien x = 0 j x = bväliin jäävä pint-l A 1 = b f(x) dx Symmetrin perusteell tämä on myös x kselin j käyrän f(x) väliin jäävän lueen pint-l lpuolisen lueen pint-l Siten kun f(x) 0 välillä [, b], niin käyrän y = f(x), x kselin sekä suorien x = j x = b väliin jäävän lueen pint-l A = b f(x) dx 72

74 Esimerkki 225 ) Määrää välillä [0, 1] käyrän f(x) = x 3 x j x kselin väliin jäävän lueen pint-l b) Määrää käyrän f(x) = x 3 x j x kselin rjoittmn lueen pint-l 3 o Khden käyrän väliin jäävä pint-l Oletetn, että f(x) g(x) välillä [, b] Määritettävä sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrät y = f(x) j y = g(x) sekä suort x = j x = b Nyt funktiot f(x) j g(x) voivt sd myös negtiivisi rvoj välillä [, b] Olkoon c niin suuri vkio, että g(x)+c 0 välillä [, b] (tällöin myös f(x)+c 0) On selvä, että käyrien y = g(x) + c j y = f(x) + c väliin jäävä lue on yhtä suuri kuin käyrien f(x) j g(x) väliin jäävä lue Käyrien y = f(x) + c j y = g(x) + c väliin jäävän lueen pint-l A = b (f(x) + c) dx b (g(x) + c) dx = b (f(x) g(x)) dx 73

75 Esimerkki 226 Määritä sen lueen pint-l, jot rjoittvt suort x = 0 j x = 2 sekä käyrät f(x) = e x j g(x) = 2x x 2 Esimerkki 227 Määritä sen lueen pint-l, jot rjoittvt käyrä y 2 = 4x, y kseli j suor y = 2 Esimerkki 228 Lske käyrien y = 1 x j y = x 2 sekä suorien y = 1 j y = 2 väliin jäävän lueen pint-l 29 Osittisintegrointi, osmurtokehitelmä j sijoitus määrätyssä integrliss Luse 210 Olkoot f (x) j g (x) jtkuvi funktioit välillä [, b] Tällöin b f (x) g(x) dx = b/ f(x) g(x) b f(x) g (x) dx Todistus Merkitään h(x) = f(x)g(x) h (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) f (x)g(x) = h (x) f(x)g (x) Tällöin b f (x)g(x) dx = = b b h (x) dx f(x)g (x) dx = b/ f(x)g(x) b f(x)g (x) dx b/ h(x) b f(x)g (x), dx Esimerkki 229 e ln x dx 1 74

76 Luse 211 Osmurtokehitelmä pätee myös määrätylle integrlille Esimerkki 230 (vrt esim 29) 2 1 x + 3 x 2 + 3x + 2 dx Luse 212 Olkoon f(x) jtkuv välillä [, b] j g(t) sellinen välillä [α, β] määritelty funktio, että (i) g (t) jtkuv välillä [α, β] (ii) g(t) [, b] in, kun t [α, β] (iii) g(α) = j g(β) = b Tällöin b f(x) dx = β f(g(t)) g (t) dt α Todistus Olkoon F (x) jokin funktion f(x) integrlifunktio (f jtkuv) Tällöin b f(x) dx = F (b) F () j D(F (g(t))) = F (g(t)) g (t) = f(g(t)) g (t) eli f(g(t)) g (t) dt = F (g(t)) Siis b β f(x) dx = F (b) F () = F (g(β)) F (g(α)) = f(g(t)) g (t) dt α Menettely: Kun hlutn lske b f(x) dx käyttämällä sijoitust x = g(t), missä g täyttää vditut ehdot, niin korvtn funktio f(x) lusekkeell f(g(t)) j dx lusekkeell g (t) dt Uudet integroimisrjt α j β on myös määritettävä eli x = α = g 1 () j x = b β = g 1 (b) 75

77 Menetelmä ei vdi tkisin sijoitust niin kuin määräämättömässä integrliss Esimerkki x dx 210 Määrätyn integrlin tloustieteellisiä sovelluksi 2101 Kuluttjn ylijäämä Kysyntäfunktio y = f(x) kuv hyödykkeen hinnn y riippuvuutt kupksi käyvään määrään x (Kysyntäfunktiost sdn selville tuotteen kysynnän määrä eri hinnoill) Jos mrkkinhint on y 0 j vstv kysyntämäärä x 0, niin ne kuluttjt, jotk ovt vlmiit mksmn hyödykkeestä enemmän kuin mrkkinhinnn, hyötyvät siitä, että hint on vin y 0 kuluttjn ylijäämä Kuluttjn ylijäämä on kysyntäkäyrän y = f(x) j suorn y = y 0 väliin jäävä pint-l: Kuluttjn ylijäämä = x 0 f(x) dx x 0 y 0 = m 0 g(y) dy, 0 y 0 missä jälkimmäisessä kvss kysyntäfunktio on muodoss x = g(y) = f 1 (y) j m 0 hint, joll ei kysyntää ole eli m 0 = f(0) 76

78 Huomutus Kuluttjn ylijäämän yksikkö on rhyksikkö Esimerkki 232 Olkoon kysyntäfunktio y = 32 4x x 2 Määrää kuluttjn ylijäämä kun ) x 0 = 2 b) y 0 = 27 Esimerkki 233 Monopolin hltij pyrkii määrittämään tuotteen hinnn j myytävän määrän siten, että voitto mksimoituu Määritä vstv kuluttjn ylijäämä, kun kysyntäfunktio on y = 16 x 2 j rjkustnnusfunktio MC(x) = 6 + x 2102 Tuottjn ylijäämä Trjontfunktio y = f(x) kuv hyödykkeen hinnn y riippuvuutt trjottuun määrään x (Trjontfunktiost sdn selville tuotteen trjonnn määrä eri hinnoill) Jos tuotteen hint on y 0 j vstv trjonnn määrä x 0, niin ne tuottjt, jotk myisivät tuotteens lle hinnn y 0 hyötyvät siitä, että hint on y 0 Tuottjn ylijäämää on pint-l, jok jää trjontkäyrän y = f(x) j suorn y = y 0 väliin: x 0 y 0 Tuottjn ylijäämä = x 0 y 0 f(x) dx = g(y) dy, 0 M 0 77

79 missä jälkimmäisessä kvss trjontfunktio on muodoss x = g(y) = f 1 (y) j M 0 on hint, joll trjont ei ole eli M 0 = f(0) Huomutus Tuottjn ylijäämän yksikkö on rhyksikkö Huomutus Yleisesti mrkkinhint määräytyy kysynnän j trjonnn tspinost (kysyntä=trjont) Esimerkki 234 Määrää mrkkinhint, kun kysyntäfunktio on y = 16 x 2 j trjousfunktio y = 4 + x Rtkisu: Lsketn millä hinnn y j määrän x rvoll toteutuu kysyntä=trjont Siis 16 x 2 = 4 + x x 2 + x 12 = 0 x = 1 ± ( 12) 2 1 = 1 ± 49 2 = 1 ± 7 2 = { 3 4 ei käy x = 3 y = = 7 3 3/ ) Tuottjn ylijäämä = 3 7 (3 + x) dx = 21 (3x x = 21 [ ] 0 = = / ) Kuluttjn ylijäämä = (16 x 2 ) dx 3 7 = (16x x = = = Kokonisvoitto Integrointi voidn useiss tpuksiss käyttää kokonisvoiton ti kokonisnettonsioiden määräämiseen, kun ei tiedetä voittofunktiot (Tiedetään esimerkiksi rjtulofunktio j rjkustnnusfunktio) 78

80 Yleisesti voitto mksimoituu (vpn kilpilun olosuhteiss), kun rjtulo=rjkustnnus (ks esim 235) Kokonisvoitto sdn rjtulofunktion M R(x) j rjkustnnusfunktion M C(x), missä x tuotnnon määrä, erotuksen integrlin yli välin [0, ], missä on tuotntomäärä, joll voitto mksimoituu Esimerkki 235 Etsi tuotnnon määrä, joll voitto mksimoituu j kokonisvoitto, kun rjtulo- j rjkustnnusfunktio ovt MR(x) = 25 5x 2x 2 j MC(x) = 15 2x x 2 Rtkisu: Nyt Π(x) = R(x) C(x) Voiton mksimointi: dπ = MR(x) MC(x) = 0 dx MR(x) = MC(x) 25 5x 2x x + x 2 = x x 2 = 0 ( 1) x 2 + 3x 10 = 0 x = 3 ± ( 10) 2 = 3 ± 7 2 = {

81 Nyt lusekkeen (M R(x) M C(x)) derivtt on voittofunktion Π(x) 2 derivtt, eli sen merkki ilmisee sdnko kohdss x = 2 voiton mksimi vi minimi Nyt d 2 Π dx 2 d 2 Π (2) = 7 < 0 dx 2 Siis voitto mksimoituu, kun x = 2 Kokonisvoitto = = d (MR(x) MC(x)) = 3 2x dx = mksimi [(25 5x 2x 2 ) (15 2x x 2 )] dx (10 3x x 2 ) dx = = = = / (10x 3 2 x2 1 3 x3 ) 0 = 34 3 Esimerkki 236 Yhtiössä hrkitn myyntihenkilöstön lisäämistä Yhden uuden myyjän plkkuksest iheutuvt lisäkustnnukset (rjkustnnus) ovt 5y 2 = 48x, missä rjkustnnusten y yksikkö on 1000 euro j x on työhön jo otettujen uusien myyjien lukumäärä Yhden uuden myyjän iknsm lisätulo r (rjtulo) sdn yhtälöstä (r 2) 2 = 4(x + 10), missä rjtulon r yksikkö on 1000 euro j x jo plkttujen uusien myyjien lukumäärä Yhtiö ott uusi myyjiä, kunnes plkkmisest iheutuvt kustnnukset ksvvt yhtä suuriksi kuin hnkittu lisätulo, eli r = y (rjtulo=rjkustnnukset; voiton mksimointi) 211 Määrätyn integrlin numeerinen rviointi Usein joudutn tilnteisiin, joiss integrli ei void esittää lkeisfunktioiden vull ti integroitv on määritelty empiirisen ineiston (käyrä, tulukko ym) vull Seurvss kolme rviointimenetelmää määrätyille integrleille Puolisuunnikssääntö Simpsonin sääntö Tylorin srj Arviointimenetelmät, jotk esitellään, vtivt käytännössä tietokoneen käyttöä 80

82 2111 Puolisuunnikssääntö Puolisuunnikssäännössä integroitv funktio korvtn suorill, joten menetelmä on tässä mielessä linerinen Olkoon määrättävänä b f(x) dx Jetn integroimisväli [, b] n:ään yhtä suureen osn, kukin pituudeltn x Olkoot jkopisteet = x 0, x 1, x 2,, x n = b j vstvt funktion rvot y 0 = f(x 0 ), y 1 = f(x 1 ),, y n = f(x n ) Muodostetn puolisuunnikkt seurvsti: Tällöin 1 puolisuunnikkn pint-l = 1 2 (y 0 + y 1 ) x 2 puolisuunnikkn pint-l = 1 2 (y 1 + y 2 ) x 3 puolisuunnikkn pint-l = 1 2 (y 2 + y 3 ) x (n 1) puolisuunnikkn pint-l = 1 2 (y n 2 + y n 1 ) x n puolisuunnikkn pint-l = 1 2 (y n 1 + y n ) x 81

83 Kikkien n kppleen puolisuunnikkn yhteislksi sdn [ ] 1 x 2 y n y i y n Siten puolisuunnikssääntö määrätylle integrlille on b i=1 [ ] 1 f(x) dx x 2 (y n y n ) + y i Luvun n ksvess menetelmä nt premmn pproksimtion Esimerkki 237 Lske x(16 x 2 ) 1 2 dx puolisuunnikssäännön vull, kun vlitn trkkuus n = i= Simpsonin sääntö Simpsonin sääntö käyttää toisen steen käyriä pproksimoimn nnettu funktiot f(x) Kolmen pisteen kutt voidn in sett kulkemn prbeli Prbelin yhtälö voidn määrätä näiden pisteiden vull Simpsonin säännössä tätä yhtälöä ei trvitse kuitenkn löytää, kosk sen rjoittmn lueen pint-l voidn määrätä muutenkin Jos prbeli kulkee pisteiden (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) j (x 2, y 2 ) kutt j x 2 x 1 = x 1 x 0 = x, on prbelin, x kselin j suorien x = x 0 j x = x 2 rjoittmn lueen pint-l A = x 3 (y 0 + 4y 1 + y 2 ) 82

84 b Tehtävänä rvioid integrli f(x) dx Jetn integroimisväli [, b] n:ään yhtä suureen osn (n prillinen), joiden pituus x Olkoot jkopisteet = x 0, x 1,, x n = b j vstvt funktion rvot y 0 = f(x 0 ), y 1 = f(x 1 ),, y n = f(x n ) Litetn prbelit kulkemn in kolmen pisteen kutt 83

85 Pint-loiksi sdn tällöin Pint-lojen summ on A 1 = x 3 (y 0 + 4y 1 + y 2 ) A 2 = x 3 (y 2 + 4y 3 + y 4 ) A n 2 = x 3 (y n 2 + 4y n 1 + y n ) x 3 (y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y y n 2 + 4y n 1 + y n ) Siten Simpsonin sääntö integrlille b b f(x) dx on f(x) dx x 3 (y 0 + 4y 1 + 2y y n 2 + 4y n 1 + y n ) Luvun n ksvess pproksimtio prnee Esimerkki 238 Lske Rtkisu: Nyt x = = 1 2 j 4 2 x(16 x 2 ) 1 2 dx Simpsonin säännöllä, kun trkkuus n = 4 i x i 2, 0 2, 5 3, 0 3, 5 4, 0 y i = f(x i ) 6, 928 7, 806 7, 937 6, x(16 x 2 ) 1 2 dx x 3 [y 0 + 4(y 1 + y 3 ) + 2y 2 + y 4 ] = 0, 5 3 [6, (7, , 778) + 2 7, ] = 13,

86 Toislt 4 2 x(16 x 2 ) dx = (16 x 2 ) 1 2 ( 2x) dx = 1 4/ 2 (16 x 2 ) 3 2 = 1 4/ 3 (16 x 2 ) = 1 3 ( ) = 13, Tylorin kehitelmä n! = n (n positiivinen kokonisluku, 0! = 1) Olkoon f (k) () funktion f(x) k derivtt kohdss x = Luse 213 (Tylorin luse) Oletetn, että funktioll f(x) on kikkien kertlukujen derivtt määrittelyjoukossn j D f Tällöin f(x) = k=0 f (k) () (x ) k k! = f() + f ()(x ) + f () 2! = f() + f ()(x ) + f () 2! + R n (x), missä R n (x) 0, kun n (x ) 2 + f (3) () (x ) 3 + 3! (x ) f (n 1) () (x )n 1 (n 1)! Tällöin yo srj on funktion f(x) Tylorin srjkehitelmä kohdss x = Kun funktion f(x) Tylorin srjkehitelmä ktkistn sopivn termin kohdlt, sdn polynomi, jok pproksimoi funktiot f(x) Huomutus R n (x) = k=n f (k) () (x ) k k! Srj voidn integroid termeittäin kunnes trpeellinen trkkuus on svutettu Yleensä knntt vlit [c, d], missä [c, d] on integroimisväli 85

87 Siis d c f(x) dx = d c [ f() + f ()(x ) + f () (x ) 2 + 2! ] dx Esimerkki 239 Lske k = 4 Rtkisu: f(x) = f (x) = x2 x x 2 dx Tylorin srjkehitelmän vull trkkuudell x+1 vlitn = 1 4 2x(x + 1) x2 (x + 1) 2 = x2 + 2x (x + 1) 2 f f (x) = (2x + 2)(x + 1)2 (x 2 + 2x)2(x + 1) (x + 1) 4 f (x) = f (4) (x) = = 2x + 2 2(x + 1) = (x + 1) 4 (x + 1) = 2 f 4 (x + 1) 3 2 3(x + 1)2 (x + 1) 6 = 6 (x + 1) 4 f 6 4 (x + 1)3 (x + 1) 8 = 24 (x + 1) 5 f (4) f (n) (x) = ( 1)n n! (x + 1) n+1 f (n) ( ) 1 f = 4 ( ) 1 = = ( 5 4 )2 = 9 25 ( ) 1 = ( 5 = ) ( ) 1 = 6 4 ( 5 = 1536 ) ( ) 1 = ( 5 = ) ( ) 1 = ( 1)n n! 4 ( 5 4 )n+1 86

88 Siten x 2 x + 1 dx = [ ! ( ! 1 [ 2/ 1 20 x ( x 1 ) ( ! x 1 ) 2 4 ( x 1 ) ) ( ! x 1 ) ] 4 dx 4 ( x 1 ) ( x 1 4 ) ( x 1 ) 3 4 ( x 1 ) ] 5 4 [ 1 = ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( , 0304 ( ) ] ) ( 1 ) ] 5 4 Vert: x 2 x + 1 dx = = x x + 1 dx = 1 2 ( x ) dx = x ( (x 1)(x + 1) x / ( x 2 = ln 3 ln 1 0, ) dx x + 1 ) x + ln x

89 3 Kompleksiluvuist j trigonometrisist funktioist 31 Kompleksiluvut Kompleksiluku z on muoto z = + bi, missä j b R relios Re z =, imginrios Im z = b i on imginriyksikkö, joll i 2 = 1 eli i = 1 C = ( + bi, b R), kompleksilukujen joukko R = ( + bi R j b = 0) R C itseisrvo z = 2 + b 2 liittoluku z = bi Olkoon z 1 = + bi j z 2 = c + di Tällöin z 1 = z 2 = c j b = d z 1 + z 2 = ( + c) + (b + d)i z 1 z 2 = ( + bi) (c + di) = c + di + bci + bdi 2 = (c bd) + (d + bc)i z 1 z 2 = ( + bi) (c + di) = ( + bi)(c di) (c + di)(c di) Huomutus Olkoon z = + bi Tällöin z = z z z = z 2 = 2 + b 2 Toisen steen yhtälön rtkiseminen: Tpus, joss b 2 4c < 0 : = ( + bi)(c di) c 2 + d 2 = z 1 z 2 z 2 2 x 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4c 2 ei relist rtkisu rtkisu kompleksilukujen joukoss C Esimerkki 31 9x 2 12x + 5 = 0 88

90 Luse 31 Jokisell n:nnen steen yhtälöllä n x n + n 1 x n x + 0 = 0 on joukoss C täsmälleen n juurt eli rtkisu eli nollkoht Olkoon P n (x) = n x n + n 1 x n x + 0 j z 1, z 2,, z n yhtälön P n (x) = 0 juuret eli nollkohdt, missä z i C Tällöin P n (x) = n (x z 1 )(x z 2 ) (x z n ) 32 Trigonometriset funktiot Huomutus Asteiden sijst käytetään yleensä rdinej: 360 o = 2π (rd) 180 o = π (rd) 1 o = 2π 360o (rd) 1 (rd) = 360 2π α o = α 360 o 2π (rd), eli π = 180o, π 2 = 90o, 2π = 360 o jne Yksikköympyrä: 89

91 Kulmn α = AOB suuruus rdineiss on kulm vstvn yksikköympyrän kren AB pituus Kulm lsketn positiiviseksi x-kselist vstpäivään eli positiiviseen kiertosuuntn j negtiiviseksi myötäpäivään eli negtiiviseen kiertosuuntn Yksikköympyrässä ei trvitse rjoitt kulmn α suuruutt, vn se voi oll mikä thns reliluku, myös negtiivinen Olkoon piste (x, y) kulm α vstv yksikköympyrän kehäpiste Tällöin trigonometriset funktiot määritellään seurvsti: Trigonometriset funktiot sin α = y, cos α = x j siten 1 sin α 1, 1 cos α 1 tn α = y x = sin α cos α, α π 2 + nπ cot α = x y = cos α sin α = 1 tn α, α nπ Siten cos 0 =, cos π 2 =, cos π =, cos 3π 2 =, cos 2π = sin 0 =, sin π 2 =, sin π =, sin 3π 2 =, sin 2π = Huomutus Trigonometristen funktioiden potenssimerkkinnät: (sin x) n = sin n x, (cos x) n = cos n x, (tn x) n = tn n x 90

92 Kvoj: sin 2 x + cos 2 x = 1 (Pythgorn luseest) { { sin (π x) = sin x sin ( π x) = cos x 2 cos (π x) = cos x cos ( π x) = sin x 2 { cos x = cos (x + n 2π) { cos ( x) = cos x Suorkulminen kolmio: sin x = sin (x + n 2π) sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos (x ± y) = cos x cos y sin x sin y sin 2x = 2 sin x cos x sin ( x) = sin x cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 1 2 sin 2 x = 2 cos 2 x 1 sin x lim x 0 x = 1 sin α = b c, cos α = c, tn α = b, α = sin 1 b c = cos 1 c 2 + b 2 = c 2 (Pythgorn luse) 91

93 Kulmn α rtkiseminen (käänteisfunktio): y = sin x x = rcsin y = sin 1 y 1 y 1 y = cos x x = rccos y = cos 1 y 1 y 1 y = tn x x = rctn y = tn 1 y y R y = cot x x = rccot y = cot 1 y y R Esimerkki 32 Määritä rctn 1 j rcsin 3 2 Kosk tn π = 1, niin rctn 1 = π 4 4 Kosk sin π = 3, niin rcsin 3 = π Esimerkki 33 Rtkise yhtälö sin 2x = cos x Muistikolmiot: Derivoimiskvt: D sin x = cos x D sin f(x) = cos f(x) f (x) D cos x = sin x D cos f(x) = sin f(x) f (x) 92

94 D tn x = 1 cos 2 x = 1 + tn2 x D tn f(x) = 1 cos 2 f(x) f (x) = [1 + tn 2 f(x)] f (x) D cot x = 1 sin 2 x = (1 + cot2 x) 1 D cot f(x) = sin 2 f(x) f (x) = [1 + cot 2 f(x)] f (x) D rcsin x = D rcsin f(x) = 1 1 x 2, x ±1 1 1 f(x) 2 f (x), f(x) ±1 1 D rccos x =, x ±1 1 x 2 1 D rccos f(x) = f (x), f(x) ±1 1 f(x) 2 D rctn x = x 2, x R D rctn f(x) = Drccot x = Drccot f(x) = f(x) 2 f (x) x 2, x R f(x) 2 f (x) Esimerkki 34 Määrää seurvt derivtt ) D sin (2x 2 ) b) D rctn (2x 2 ) c) D rcsin (2x 2 ) d) D tn (x 2 ) e) D tn 2 x 93

95 Integroimiskvt: sin x dx = cos x + C sin f(x) f (x) dx = cos f(x) + C cos x dx = sin x + C cos f(x) f (x) dx = sin f(x) + C 1 dx = rcsin x + C 1 x f(x) 2 f (x) dx = rcsin f(x) + C 1 dx = rctn x + C 1 + x f(x) f (x) dx = rctn f(x) + C 2 Esimerkki 35 Määrää seurvt integrlit ) cos (5x) dx 1 b) dx 2 x 2 1 c) 2 + x dx 2 94

96 4 Differentiliyhtälöt Differentiliyhtälö: yhtälö, joss esiintyy tuntemton funktio derivttoineen Differentiliyhtälön kertluku: yhtälössä esiintyvän tuntemttomn funktion derivttojen korkein kertluku Differentiliyhtälö: F (x, y, y,, y (n) ) = 0, y = y(x) j y =? 41 Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö Normlimuoto: y = f(x, y) F (x, y, y ) = 0, y = y(x) j y =? Huomutus Kikki 1 kertluvun differentiliyhtälöt eivät ole stettviss normlimuotoon Differentiliyhtälön y = f(x, y) rtkisu välillä I = [, b] on funktio y = y(x), jolle y (x) = f(x, y(x)) x I Yhtälön y = f(x, y) yleinen rtkisu on funktio y = y(x, c), jok jokisell vkion c rvoll on ko yhtälön rtkisu, ns yksityisrtkisu Jos vditn lisäksi jokin lkuehto y(x 0 ) = y 0, niin c tulee täysin määrättyä j sdn tietty yksityisrtkisu Seurvksi trkstelln erilisi normlimuotoisi differentiliyhtälöitä Normlimuotoiset differentiliyhtälöt Yhtälöllä on in lkuehdon toteuttv rtkisu y = f(x, y) (17) 411 Seproituvt differentiliyhtälöt Seproituvss differentiliyhtälössä muuttujt voidn erott, ts yhtälö on muoto dy dx = f(x) g(y) = F (x, y) 95

97 Rtkisumenettely: Erotetn muuttujt: dy g(y) = f(x) dx (g(y) 0) Integroidn: jost y = y(x) voidn rtkist 1 g(y) dy = f(x) dx + c, Huomioi erikseen tilnne g(y) = 0 Esimerkki 41 (y ) 2 + y = 0 Esimerkki 42 y = y 2 Etsi yleinen rtkisu sekä sellinen yksityisrtkisu, jok toteutt ehdon y(0) = 1 Huomutus Myös y(x) = 0 on yhtälön y = y 2 eräs rtkisu Tätä ns erikoisrtkisu ei sd yleensä yleisestä rtkisust millään vkion c rvoll vn se on huomioitv erikseen Esimerkki 43 (1 + x 2 ) dy + x(1 + y) = 0 dx 412 Ensimmäisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö dy + p(x)y = q(x), missä p(x) j q(x) jtkuvi (18) dx 96

98 Homogeeninen tpus 1 kertluvun linerinen differentiliyhtälö on homogeeninen, jos q(x) = 0 Siis Tämä on seproituv j rtkistn kuten edellä: dy dx = p(x) y 1 y dy = p(x) dx dy + p(x)y = 0 (19) dx dy = p(x)dx (y 0) y ln y = p(x) dx + c e ln y = e p(x) dx+c y = e p(x) dx e c y(x) = Ce p(x) dx yleinen rtkisu Esimerkki 44 y 2y = 0 Täydellinen 1 kertluvun linerinen differentiliyhtälö dy + p(x)y = q(x) (17) dx Luse 41 Jos y 1 = y 1 (x) on differentiliyhtälön (18) jokin rtkisu (stu kokeilemll) j y 0 = y 0 (x) on yhtälöä (18) vstvn homogeenisen tpuksen (q(x) = 0) yleinen rtkisu, niin yhtälön (18) yleinen rtkisu on y(x) = y 0 (x) + y 1 (x) Rtkisu y 1 (x) löydetään kokeilemll, kun q(x) on polynomi, e mx, sin kx, cos kx ti näiden tulo ti linerinen yhdiste Kokeilun/yritteen y 1 (x) muodostminen 1) q(x) on x:n polynomi Yrite: y 1 (x) = x:n polynomi (sm stett kuin q(x), kertoimet tuntemttomt) 97

99 2) q(x) = e kx f(x), missä f on x:n polynomi Yrite: y 1 (x) = e kx Q(x), missä Q(x) on x:n polynomi (sm stett kuin f(x), kertoimet tuntemttomt) 3) q(x) = T sin kx + V cos kx Yrite: y 1 (x) = A sin kx + B cos kx Huomutus Jos q(x) = sin kx, niin y 1 (x) = A sin kx + B cos kx Jos q(x) = cos kx, niin y 1 (x) = A sin kx + B cos kx 4) q(x) on edellisten yhdiste ti tulo 2 tp linerisen differentiliyhtälön (18) rtkisemiseksi: y (x) + p(x)y(x) = q(x) Kerrotn puolittin lusekkeell e p(x) dx : e p(x) dx y (x) + p(x) e p(x) dx y(x) = q(x) e p(x) dx Sdn: d ( e ) p(x) dx y(x) = q(x) e p(x) dx dx Integroidn molemmt puolet x:n suhteen: e p(x) dx y(x) = q(x) e p(x) dx dx Tästä sdn y(x) rtkistu Esimerkki 45 Esimerkki 46 Esimerkki 47 y 2y = x 2 2x 3 dy dx 2 x y = x2 e x y + y = e 2x 98

100 413 Linerisen differentiliyhtälön erikoistpus Differentiliyhtälö muoto d f(y) + p(x)f(y) = q(x), y(x) =? (20) dx missä f(y), p(x) j q(x) ovt jtkuvi funktioit Eli muoto f (y) dy + p(x)f(y) = q(x) dx Rtkistn ensin f(y) kertomll puolittin termillä e p(x) dx Sdn e p(x) dx f (x) dy dx + p(x) e p(x) dx f(y) = q(x) e p(x) dx d ( e ) p(x) dx f(y) = q(x) e p(x) dx dx (21) Tästä f(y) rtkistn integroimll yhtälö (21) x:n suhteen j sdust funktiost f(y) rtkistn puolestn funktio y(x) Esimerkki 48 dy + xy ln y = xye x2, lkuehto y(0) = 1 dx 414 Homogeeniset differentiliyhtälöt Differentiliyhtälö on homogeeninen, jos sen normlimuoto säilyy muuttumttomn, kun x j y korvtn λx:llä j λy:llä (λ 0 vkio) Siis dy dx on homogeeninen, jos f(λx, λy) = f(x, y) Homogeeninen differentiliyhtälö (22) on nyt muoto dy ( y ) ( dx = g = f 1, y ) x x = f(x, y) (22) (23) Toislt differentiliyhtälö M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 ( dy dx ) M(x, y) = N(x, y) 99

101 on homogeeninen, jos M j N ovt smnsteisi homogeenifunktioit Jokin funktio h(x, y) on k stett olev homogeeninen funktio, jos h(λx, λy) = λ k h(x, y) Homogeenist differentiliyhtälöä rtkistess sijoitetn (tuntemttomn funktion vihto) ( y x = u u = y(x) ) = u(x) on x : n funktio x dy j dx = u + x du ( y = xu dy dx dx = 1 u + x du ) dx yhtälöön (23) jolloin sdn u + x du dx dy ( y ) dx = g, (22) x du = g(u) dx = g(u) u x = h(x, u) Tämä on seproituv differentiliyhtälö uuden tuntemttomn funktion u(x) suhteen Tästä voidn rtkist normlisti u(x) j sen vull sdn y(x) = x u(x) Esimerkki 49 Esimerkki 410 y = y2 + 2xy x 2, x 0 x dy dx = x + y, x > Eksktit differentiliyhtälöt Differentiliyhtälö M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (24) on ekskti, jos on olemss sellinen funktio g(x, y), että g(x, y) x = M(x, y) j g(x, y) y = N(x, y) 100

102 Tästä sdn, että differentiliyhtälö (24) on ekskti, jos j vin jos M(x, y) y = N(x, y) x!!!!!!!!!! Eksktin differentiliyhtälön rtkiseminen: Etsitään funktio g(x, y), joll g x Siis g(x) = g(y) = = M j g y = N M dx j (muuttuj x sisältävä g(x, y) : n os) N dy (muuttuj y sisältävä g(x, y) : n os) Nämä yhdistämällä sdn funktio g(x, y) määrättyä vkiotermiä ville Eksktin differentiliyhtälön rtkisut sdn rtkisemll y yhtälöstä g(x, y) = 0 Esimerkki 411 (x 2 + y 2 )dx + 2xy dy = 0 lkuehto y(1) = 1 42 Toisen kertluvun differentiliyhtälöt F (x, y, y, y ) = 0 y(x) =? Nyt y = y(x, c 1, c 2 ) on yleinen rtkisu, joss c 1 j c 2 ovt mielivltisi vkioit Jos setetn lisäksi ehdot y(x 0 ) = y 0 j y (x 0 ) = y 1 (ti y(x 1 ) = y 1 ), niin vkiot c 1 j c 2 tulevt täysin määrättyä j sdn hluttu yksityisrtkisu 421 Toisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö Homogeeninen tpus y + p(x)y + q(x)y = 0 (25) Luse 42 Yhtälöllä (25) on täsmälleen yksi nnetut lkuehdot y(x 0 ) = y 0 j y (x 0 ) = y 1 toteuttv rtkisu 101

103 Vkiokertoiminen 2 kertluvun homogeeninen linerinen differentiliyhtälö y + y + by = 0 (26) Yrite: y = e rx y = re rx j y = r 2 e rx sijoitetn yrite yhtälöön (26) r 2 e rx + re rx + bye rx = 0 (27) (r 2 + r + b)e rx = 0 r 2 + r + b = 0 (28) Tämä on ns krkteristinen yhtälö, jost r rtkistn Eri tpuksi: 1 Krkteristisen yhtälön (28) juuret ovt reliset j erisuuret r 2 + r + b = 0 r = { r1 r 2 Tällöin yhtälön (26) rtkisuj ovt { y1 (x) = e r 1x y 2 (x) = e r 2x, r 1 r 2 Differentiliyhtälön (26) yleinen rtkisu: y(x) = C 1 e r 1x + C 2 e r 2x, C 1, C 2 R Esimerkki 412 y + 5y + 6y = 0 102

104 Rtkisu: Yrite: y(x) = e rx y (x) = re rx j y (x) = r 2 e rx r 2 e rx + 5re rx + 6e rx = 0 (r 2 + 5r + 6)e rx = 0 r 2 + 5r + 6 = 0 r = 5 ± 1 2 = { 2 Differentiliyhtälön y + 5y + 6y = 0 rtkisuj ovt y 1 (x) = e 2x j y 2 (x) = e 3x Differentiliyhtälön yleinen rtkisu on y(x) = C 1 e 2x +C 2 e 3x, C 1, C 2 R 2 Krkteristisen yhtälön (28) juuret reliset j yhtä suuret Nyt 3 r 2 + r + b = 0 r = r 1 = r 2 y 1 (x) = e rx on yhtälön (26) eräs rtkisu Toiseksi rtkisuksi käy funktio y 2 (x) = xe rx Tällöin yhtälön (26) yleinen rtkisu on y(x) = C 1 e rx + C 2 xe rx Esimerkki 413 Rtkisu: Yrite: y 4y + 4y = 0 y(x) = e rx y (x) = re rx j y = r 2 e rx r 2 e rx 4re rx + 4e rx = 0 (r 2 4r + 4)e rx = 0 r 2 4r + 4 = 0 r = 4 ± 0 2 = 2 (kksinkertinen) 103

105 Differentiliyhtälön y 4y + 4y = 0 eräs rtkisu on y 1 (x) = e 2x j toiseksi rtkisuksi käy y 2 (x) = xe 2x Differentiliyhtälön yleinen rtkisu on y(x) = C 1 e 2x + C 2 xe 2x, C 1, C 2 R 3 Krkteristisen yhtälön (28) juuret eivät ole relisi eli Tällöin yhtälön (26) rtkisuj ovt r 2 + r + b = 0 r = α ± iβ y 1 (x) = e αx cos βx j y 2 (x) = e αx sin βx Differentiliyhtälön (26) yleinen rtkisu tässä tpuksess on y(x) = C 1 e αx cos βx + C 2 e αx sin βx = e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx) Esimerkki 414 Rtkisu: y 4y + 13y = 0 Yrite: y(x) = e rx y (x) = re rx j y (x) = r 2 e rx r 2 e rx 4re rx + 13e rx = 0 (r 2 4r + 13)e rx = 0 r 2 4r + 13 = 0 r = 4 ± 36 = 4 ± 6i = 2 ± 3i 2 2 α = 2 j β = 3 Differentiliyhtälön y 4y + 13y = 0 rtkisuj ovt y 1 (x) = e 2x cos 3x j y 2 (x) = e 2x sin 3x Differentiliyhtälön yleinen rtkisu on y(x) = C 1 e 2x cos (3x)+C 2 e 2x sin (3x) = e 2x (C 1 cos (3x) + C 2 sin (3x)), C 1, C 2 R 104

106 Täydellinen 2 kertluvun linerinen differentiliyhtälö y + p(x)y + q(x)y = r(x) (29) Luse 43 Yhtälön (29) yleinen rtkisu y = y 0 + y 1, missä y 0 on yhtälöä (29) vstvn homogeenisen yhtälön (ts r(x) = 0) yleinen rtkisu j y 1 on yhtälön (29) jokin yksityisrtkisu (löytyy kokeilemll) Vkiokertoiminen 2 kertluvun täydellinen linerinen differentiliyhtälö y + y + by = r(x) (30) Kun j b ovt vkioit, niin y 0 löydetään helposti (kuten edellä) Ongelmn on y 1 :n löytäminen Kokeilun/yritteen y 1 (x) muodostminen: 1 r(x) on muuttujn x polynomi Yrite: y 1 (x) = x:n polynomi (sm stett kuin r(x), kertoimet tuntemttomt) 2 r(x) = e kx f(x), missä f on muuttujn x polynomi Yrite: y 1 (x) = e kx Q(x), missä Q(x) on x:n polynomi (sm stett kuin f(x), kertoimet tuntemttomt) 3 r(x) = T sin kx + V cos kx Yrite: y 1 (x) = A sin kx + B cos kx Huomutus Jos r(x) = sin kx, niin y 1 (x) = A sin kx + B cos kx Jos r(x) = cos kx, niin y 1 (x) = A sin kx + B cos kx 4 r(x) on edellisten yhdiste ti tulo Esimerkki 415 Rtkisu: 1 o Homogeeninen tpus: y + y = x (31) y + y = 0 (32) 105

107 krkteristinen yhtälö: r = 0 r 2 = 1 = i 2 r = ±i = 0 ± i α = 0 j β = 1 Differentiliyhtälön (32) yleinen rtkisu on y 0 (x) = C 1 e 0x cos (1x) + C 2 e 0x sin (1x) = C 1 cos x + C 2 sin x, C 1, C 2 R 2 o Yrite: y 1 (x) = Ax + B y (x) = A j y = 0 Sijoitetn yllä olevt yhtälöön (31), jolloin sdn 0 + Ax + B = x { A = 1 B = 0 y 1 (x) = x Siis differentiliyhtälön (31) eräs rtkisu on y 1 (x) = x 3 o Differentiliyhtälön (31) yleinen rtkisu on y(x) = y 0 (x) + y 1 (x) = C 1 cos x + C 2 sin x + x, C 1, C 2 R Esimerkki 416 y + 2y + y = e 2x (9x + 1) (33) Rtkisu: 1 o Homogeeninen tpus: y + 2y + y = 0 (34) krkteristinen yhtälö: r 2 + 2r + 1 = 0 r = 2 ± 0 2 = 1 (kksinkertinen) Differentiliyhtälön (34) yleinen rtkisu on y 0 (x) = C 1 e x + C 2 xe x, C 1, C 2 R 106

108 2 o Yrite: y 1 (x) = e 2x (Ax + B) y 1(x) = 2e 2x (Ax + B) + e 2x A = e 2x (2Ax + 2B + A) y 1(x) = 2e 2x (2Ax + 2B + A) + e 2x 2A = e 2x (4Ax + 4B + 2A + 2A) = e 2x (4Ax + 4A + 4B) Sijoitetn yllä olevt yhtälöön (33), jolloin sdn e 2x (4Ax + 4A + 4B) + 2e 2x (2Ax + 2B + A) + e 2x (Ax + B) = e 2x (9x + 1) e 2x (9Ax + 6A + 9B) = e 2x (9x + 1) { 9A = 9 A = 1 6A + 9B = 1 9B = 1 6A = 5 B = 5 9 Nyt differentiliyhtälön (33) eräs rtkisu on y 1 (x) = e 2x (x 5 9 ) 3 o Sifferentiliyhtälön (33) yleinen rtkisu on y(x) = y 0 (x) + y 1 (x) = C 1 e x + C 2 xe x + e 2x (x 5 9 ), C 1, C 2 R Esimerkki 417 Esimerkki 418 y + 4y = 6 sin x + 9 cos x y 4y = x 2 + e x 107

109 5 Differenssiyhtälöt Funktion y t = f(t) rvoj trkstelln jnhetkenä t (y 0, y 1, ) Funktion f(t) ei trvitse oll jtkuv funktio Aik trkstelln diskreettinä, mieluummin periodin kuin pisteenä Differenssioperttori kuv funktion y muutost jn suhteen: y t = y t+1 y t (1 differenssi) 2 y t = ( y t ) = (y t+1 y t ) = (y t+2 y t+1 ) (y t+1 y t ) n y t = ( n 1 y t ) Esimerkki 51 y t = 2, y t = 0, 1y t 51 Ensimmäisen kertluvun differenssiyhtälöt Trkoituksen löytää jokin y t = f(t) siten, että differenssiyhtälö toteutuu Yhtälö sisältää vin ensimmäisiä differenssejä Täydellinen muoto: 1 y t+1 0 y t = c, i j c vkioit Homogeeninen muoto: 1 y t+1 0 y t = 0, i vkioit 511 Homogeenisen muodon rtkiseminen: 1 y t+1 0 y t = 0 Yritetään rtkisu y t = A(b t ) sijoittmll se differenssiyhtälöön Sdn 1 Ab t+1 0 Ab t = 0 : (Ab t ) krkteristinen yhtälö: 1 b 0 = 0 Tästä sdn yleinen rtkisu y t = Ab t, kun b on rtkistu Yksityisrtkisu sdn lkuehdoll y 0 =, jolloin A rtke 108

110 Esimerkki 52 Rtkise y t+1 5y t = 0 lkuehdoll y 0 = Täydellisen muodon rtkiseminen: 1 y t+1 0 y t = c Yleinen rtkisu y t = y h + y p, missä y h on vstvn homogeenisen muodon yleinen rtkisu j y p kokeilemll stu jokin rtkisu täydelliselle muodolle Kokeilu: Yritetään ensin y p = k (vkio), jos tämä ei toimi yritetään y p = kt, sitten y p = kt 2 jne (kokeilust pyritään rtkisemn vkio k) Esimerkki 53 Rtkise y t+1 5y t = 1 lkuehdoll y 0 = Toisen kertluvun differenssiyhtälöt Yhtälöt, joiss esiintyy toist differenssiä 2 Yksityisrtkisuun trvitn kksi lkuehto y 0 = j y 1 = Täydellinen muoto: 2 y t y t y t = c, i j c vkioit Homogeeninen muoto: 2 y t y t y t = 0, i vkioit 521 Homogeenisen muodon rtkiseminen: 2 y t y t y t = 0 Yritetään rtkisu y t = A(b t ) sijoittmll se differenssiyhtälöön Sdn 2 Ab t Ab t Ab t = 0 : Ab t Krkteristinen yhtälö: jost rtkistn b 2 b b + 0 = 0, 109

111 Eri tpuksi: 1 Krkteristisen yhtälön juuret ovt reliset j erisuuret 2 b b + 0 = 0 b = Tällöin homogeenisen muodon yleinen rtkisu on y t = A 1 b t 1 + A 2 b t 2 { b1 Esimerkki 54 Rtkise y t+2 +y t+1 2y t = 0 lkuehdoill y 0 = 4 j y 1 = 5 2 Krkteristisell yhtälöllä kksinkertinen relijuuri 2 b b + 0 = 0 b = b 1 = b 2 Tällöin homogeenisen muodon yleinen rtkisu on y t = A 1 b t + A 2 b t t 3 Krkteristisen yhtälön juuret eivät ole relisi 2 b b + 0 = 0 b = α ± iβ Tällöin homogeenisen muodon yleinen rtkisu on y t = A 1 (α + iβ) t + A 2 (α iβ) t Yksityisrtkisut sdn, kun lkuehtojen perusteell rtkistn vkiot A 1 j A 2 b Täydellisen muodon rtkiseminen: 2 y t y t y t = c Yleinen rtkisu y t = y h + y p, missä y h on vstvn homogeenisen muodon yleinen rtkisu j y p kokeilemll stu jokin rtkisu täydelliselle muodolle Kokeilu: Yritetään ensin y p = k (vkio), jos tämä ei toimi yritetään y p = kt, sitten y p = kt 2 jne (kokeilust pyritään rtkisemn vkio k) Yksityisrtkisu sdn, kun lkuehtojen perusteell rtkistn vkiot A 1 j A 2 Esimerkki 55 Rtkise y t+2 + y t+1 2y t = 12 lkuehdoill y 0 = 4 j y 1 = 5 110