2.1 Vaillinaiset yhtälöt

Transkriptio

1 .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön x = b, jost juuren x s selville heti jkmll yhtälön kummnkin puolen kertoimell, kunhn vin muist :n olless kirjimi sisältävä luseke erott erilliseen trksteluun sellisen tpuksen, missä = 0. Kun uset meistä ovt päätyneet ensisteen yhtälöä rtkistessn tilnteeseen, joss yhtälö sievenee muotoon 0x = 0, niin toisen steen yhtälön rtkisun lopputulokseksi voi vin erittäin hrvoin ilmoitt, että yhtälö olisi identtisesti tosi. Tällinen tilnne nimittäin edellyttäisi sitä, että yhtälön (*) kertoimet, b j c olisivt kikki smnikisesti nolli. Ei ole kovin tvllist sekään, että toisen steen termin kerroin olisi noll, jolloin yhtälö ei enää olisi toist stett vn ensimmäistä, sikäli kun b 0. Sitä vstoin ovt vrsin tvllisi selliset toisen steen yhtälöt, joiss joko b ti c, joskus molemmtkin ovt nolli. Tällisi yhtälöitä snotn villinisiksi toisen steen yhtälöiksi. Ryhdyttäessä trkstelemn toisen steen yhtälön rtkisemist on sitten syytä pitää visusti mielessä, että yhtälö on normlimuodoss silloin j vin silloin, kun siinä ensiksi on toisen steen termi, sitten ensisteen j viimeksi vkiotermi. Tietystikin on tosisi se, ettei summn rvo muutu, vikk yhteenlskettvien järjestystä miten vihdeltisiin, mutt myöhemmin johdettvn rtkisukvn käytön knnlt on ivn ensirvoisen tärkeää, että toisen steen termin kerroint merkitään kirjimell, ensisteen termin kerroint kirjimell b j vkiotermiä kirjimell c. Kun olln oikein trkkoj, niin muoto (*) olevn yhtälön snotn olevn toisen steen yhtälön yleinen normlimuoto. Snn yleinen käyttö viitt siihen, että olisi olemss toinenkin muoto. Tätäkin, supistettu normlimuoto stetn kurssiss käsitellä. Kun ryhdytään rtkisemn toisen steen yhtälöä j etenkin villinisi yhtälöitä, lähdetään liikkeelle tulon nollsäännöstä:

2 LAUSE 16: Tulo = 0 täsmälleen silloin, kun inkin toinen sen tekijöistä on noll eli b = 0 ( = 0 ti b = 0) Yleisesti: Tulo = 0 täsmälleen silloin, jos yksikin tekijöistä on noll. Ylle kirjoitetuss yhtälössä, b = 0 ( = 0 ti b = 0), kksipäistä nuolt snotn ekvivlenssinuoleksi. Sen virheetön käyttö on vike si! Nuoli trkoitt sitä, että sen kummllkin puolell olevt yhtälöt ovt yhtä pitävät eli ekvivlentit. Trkemmin snoen; jos oletetn vsemmn puolen olevn tott, voidn todist oike puoli todeksi. Toislt, jos oletetn oike puoli todeksi, voidn todist, että vsen puoli on tosi. Asi on käsiteltävä molemmin päin. Esim. 1 Tämä on oiv näyte ekvivlenssinuolen virheellisestä käytöstä: x = x = 4 Oletetn x =. Selvästi tästä seur, että x = 4. Oletetn x = 4. Tästä seur, että x = ti x =. Olisi snut seurt inostn se, että x =. Tulon nollsäännön vull voidn todist oikeksi LAUSE 17: = b ( = b tikk = b) Khden lusekkeen neliöiden yhtäsuuruus toteutuu täsmälleen silloin, kun joko lusekkeet ovt smt ti ovt toistens vstlusekkeit. Tod.: = b b = 0 ( b)( + b) = 0 = b ti = b.

3 On ehdottomn välttämätöntä ost j hllit nämä kksi ekvivlenssi: b = 0 ( = 0 ti b = 0) = b ( = b tikk = b). Vtimus ei merkitse sitä, että os ne pperist luke, vn niiden käyttö on myös hllittv. Tämä on verrttviss suurin piirtein siihen, että jokinen os erott uton j nkkikioskin toisistn, mutt kikki eivät os silti utoll j j jotidoisskin on eroj. Yhtälön x + bx + c = 0 ensimmäinen erikoistpus: b = 0 j c 0. Esim. Rtkise yhtälö 3x 1 = 0. 3x 1 = 0 3x = 1 x = 4 x = x = ti x = Huom.1! Tvllisesti kukn rutinoitunut lskij ei käytä näin seikkperäistä lskutp, vn jttelee muodost x = 4 suorn, että ne luvut, joitten neliö on 4, ovt kkkonen j sen vstluku. Tämä menettelytp silti pohjutuu luseeseen 17.. Huom.! Yhtälön x = 4 rtkisu käy tvllisesti näin: x = 4 x = ± x = 4 ti x = Ylläolev ei tietenkään trkoit sitä, että nelosen neliöjuuri olisi sekä kkkonen että tämän vstluku. Huom, että on yksi si ott neliöjuuri j toinen si rtkist toisen steen yhtälöä.

4 Esim. 3 Rtkise yhtälö x + 1 = 0 x + 1 = 0 x = 1. Ei ole olemss sellist reliluku, jonk neliö olisi 1. Vstus: Yhtälöllä ei ole rtkisu. Yhtälön x + bx + c = 0 toinen erikoistpus: b = c = 0. Kikki tätä muoto olevt yhtälöt sievenevät luksi muotoon x = 0 j tästä edelleen muotoon x = 0, shn yhtälön jk vkioll, mikäli se vin ero nollst. Ainut reliluku, jonk neliö on noll, on luku noll itse. Yhtälön x = 0 ino rtkisu on siten x = 0, kunhn vin 0. Yhtälön x + bx + c = 0 kolms erikoistpus: c = 0 j b 0 Esim. 4 Rtkise yhtälö 3x +15x = 0 Jetn yhtälön vsen puoli tekijöihin j käytetään tulon nollsääntöä: 3x + 15x = 0 3x(x + 5) = 0 (3x = 0 ti x + 5 = 0) x = 0 ti x = 5. Villinisten yhtälöiden kolme tpust: YHTEENVETO: I) Yhtälössä x + bx + c = 0 ei ensisteen termiä ole. c Yhtälö sievenee muotoon x + c = 0 eli x = c x =. Viimeminittu muoto ei suinkn merkitse sitä, että yhtälön oike puoli olisi negtiivinen, vn oiken puolen merkki riippuu kertoimien j c merkeistä. Nämä ovt lukuj, joiden etumerkki lopullisesti rtkisee, minkä merkkiseksi oike puoli tulee. Jok nyt yleensä osmäärän merkkisäännön tit, näkee heti, että oike puoli on positiivinen silloin, kun j c ovt erimerkkiset j negtiivinen silloin, kun j c ovt smnmerkkiset.

5 c Yhtälön rtkisuksi sdn siis x = ±, jos c < 0. Jos tsen c > 0, yhtälöllä ei ole rtkisu linkn. II) Yhtälössä x + bx + c = 0 on vin toisen steen termi, siis b = c = 0. Yhtälö surkstuu muotoon x = 0, jonk toteutt inostn reliluku noll. III) Yhtälössä x + bx + c = 0 ei ole vkiotermiä, siis c = 0, b 0. Yhtälö sievenee muotoon x + bx = 0, jost tekijöihin jkmll x(x + b) = 0 j tulon nollsääntöä soveltmll sdn juuret: b x = 0 tikk x =. Villinisille yhtälöille näin stuj "kvoj" ei ole trpeen ulko muist, vn kukin villininen yhtälö rtkistn tpuskohtisesti kvojen johtmisess käytettyjä menetelmiä sovelten.