2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

Transkriptio

1 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x 0, x 1,..., x n } sellinen välin [, b] jko, että kun j = 1, 2,..., n. Olkoon lisäksi f(x) = j x ]x j 1, x j [, l(i j ) = x j x j 1 jon P osvälin I j = ]x j 1, x j [ pituus (j = 1, 2,..., n). Tällöin porrsfunktion f integrli yli välin [, b] on f = f(x) dx = j l(i j ). Huomutus. Porrsfunktion integrlin merkinnässä dx trkoitt, että integroitvn porrsfunktion integrli lsketn muuttjn x suhteen. Huomutus 2.1. Porrsfunktion integrli ei riipu vlitust välijost P (hrjoitustehtävä). Huomutus 2.2. Porrsfunktion integrli ei riipu millään tvll funktion rvost välijon jkopisteissä. Esimerkki 2.1. Määritetään porrsfunktion (ks. esimerkki 1.1) f : [ 1, 3] Z, porrsintegrli yli välin [ 1, 3]. f(x) = x = suurin kokonisluku, jok on x, Trkstelln välin [ 1, 3] jko P = { 1, 0, 1, 2, 3}. Tällöin kunkin osvälin pituus on yksi, joten 3 1 f = ( 1) = = 2. 8

2 Esimerkki 2.2. Vkiofunktio f(x) = c (c R) on porrsfunktio millä thns välillä [, b], sillä trvittvksi joksi voidn vlit P = {, b} (eli vin yksi jkoväli). Tällöin f(x) dx = c dx = c (b ). Esimerkki 2.3. Olkoon n Z + j P n välin [0, 1] jko, jonk jkopisteet ovt { } p P n = q Q p = 0, 1,..., n, q = 1, 2,..., n, p q. Määritetään porrsfunktion 1, kun x P n, h n (x) = 1 n, kun x [0, 1] \ P n, porrsintegrli yli välin [0, 1]. Olkoon k jon P n jkovälien lukumäärä, j olkoot l(i 1 ), l(i 2 ),..., l(i k ) jon P n jkovälien pituudet. Tällöin 1 0 h n (x) dx = k 1 n l(i j) = 1 n k l(i j ) = 1 n 1 = 1 n. Esitetään sitten muutmi porrsintegrlien perusominisuuksi. Ominisuudet ovt ilmeisiä porrsfunktioden määrittelyn perusteell. Täsmälliset todistukset jätetään osin hrjoitustehtäväksi. Luse 2.3. Jos g j h ovt porrsfunktioit j g h välillä [, b], niin g h. Todistus. Hrjoitustehtävä. Luse 2.4 (Linerisuus). Jos f j g ovt välin [, b] porrsfunktioit j λ R, niin (λf) = λ f j (f + g) = f + g. Todistus. Hrjoitustehtävä. 9

3 Luse 2.5 (Additiivisuus). Olkoon f välin [, b] porrsfunktio j c ], b[. Tällöin f = c f + c f. Todistus. Kosk f on välin [, b] porrsfunktio j c ], b[, niin f on porrsfunktio 1 myös väleillä [, c] j [c, b] (huomutus 1.10, s. 6). Olkoon nyt P jokin välin [, b] jko, jok sisältää kikki funktion f porrspisteet välillä [, b], j P = {x 0, x 1,..., x n } välin [, b] jko P = P {c}. Oletetn lisäksi, että f(x) = j x ]x j 1, x j [, kun j = 1, 2,..., n. Tällöin c = x k jollkin k {1, 2,..., n 1}. Lisäksi {x 0, x 1,..., x k } on välin [, c] jko, jok sisältää kikki funktion f porrspisteet välillä [, c], j {x k, x k+1,..., x n } on välin [c, b] jko, jok sisältää kikki funktion f porrspisteet välillä [c, b]. Kosk porrsfunktion integrli on riippumton välitust välijost, niin f = = = j (x j x j 1 ) k j (x j x j 1 ) + c f + c f. j=k+1 j (x j x j 1 ) 1 Täsmällisesti otten porrsfunktioit ovt funktion f rjoittumt kyseisille väleille. 10

4 2.2 Al- j yläintegrli Jos funktio f on rjoitettu välillä [, b], niin on olemss selliset vkiot m R j M R, että m f(x) M x [, b]. Jos lisäksi g j h ovt sellisi porrsfunktioit, että g f h välillä [, b], niin g M j h m välillä [, b]. Kosk vkiofunktio on porrsfunktio, niin luseen 2.3 (s. 9) nojll g M = M (b ) j Siis joukko (2.1) A = h m = m (b ). g g on porrsfunktio j g f välillä [, b] on ylhäältä rjoitettu j joukko (2.2) B = h h on porrsfunktio j f h välillä [, b] on lhlt rjoitettu. Lisäksi kumpikn joukoist ei selvästikään ole tyhjä joukko. Täten voidn sett seurv määritelmä. Määritelmä 2.2. Olkoon f välillä [, b] rjoitettu funktio, j olkoot A j B ehdoiss (2.1) j (2.2) määritellyt joukot. Tällöin I L (f, [, b]) = sup A on funktion f lintegrli yli välin [, b] j I U (f, [, b]) = inf B on funktion f yläintegrli yli välin [, b]. 11

5 Esimerkki 2.4. Määritetään Dirichlet n funktion 1, kun x Q, f(x) = 0, kun x R \ Q, l- j yläintegrli yli välin [, b]. Funktio f on selvästi rjoitettu välillä [, b], joten etsittävät l- j yläintegrli ovt olemss. Määritetään ensin lintegrli I L (f, [, b]). 1 : Olkoon g jokin sellinen porrsfunktio, että g f välillä [, b]. Olkoot lisäksi I 1, I 2,..., I n porrsfunktion g jotkin jko vstvt (voimet) jkovälit j 1, 2,..., n funktion g (vkio)rvot jkoväleillä I 1, I 2,..., I n. Tällöin j 0 (j = 1, 2,..., n), sillä jokinen relilukuväli sisältää irrtionlipisteitä. Täten g = j l(i j ) 0 l(i j ) = 0, missä l(i j ) on osvälin I j pituus. Siis I L (f, [, b]) 0. 2 : Trkstelln porrsfunktiot g(x) = 0 kikill x [, b]. Tällöin g f välillä [, b] j g = 0 = 0 (b ) = 0. Siis supremumin perusominisuuksien nojll I L (f, [, b]) 0. Täten kohtien 1 j 2 perusteell I L (f, [, b]) = 0. Määritetään sitten vstvll tvll yläintegrli I U (f, [, b]). 3 : Olkoon h jokin sellinen porrsfunktio, että f h välillä [, b]. Olkoot lisäksi I 1, I 2,..., I n porrsfunktion h jotkin jko vstvt (voimet) jkovälit j 1, 2,..., n funktion h (vkio)rvot jkoväleillä I 1, I 2,..., I n. Tällöin j 1 (j = 1, 2,..., n), sillä jokinen relilukuväli sisältää rtionlipisteitä. Täten h = j l(i j ) 12 1 l(i j ) = b,

6 missä l(i j ) on osvälin I j pituus. Siis I U (f, [, b]) b. 4 : Trkstelln porrsfunktiot h(x) = 1 kikill x [, b]. Tällöin f h välillä [, b] j h = 1 = 1 (b ) = b. Siis infimumin perusominisuuksien nojll I U (f, [, b]) b. Täten kohtien 3 j 4 perusteell I U (f, [, b]) = b. Al- j yläintegrlin määrittelyn sekä porrsfunktioiden j supremumin sekä infimumin perusominisuuksien nojll voidn esittää seurvt huomutukset. Huomutus 2.6. Luseiden 1.5 (s. 2) j 2.3 (s. 9) nojll in I L (f, [, b]) I U (f, [, b]), mutt välttämättä ei päde (ks. esimerkki 2.4) I L (f, [, b]) = I U (f, [, b]). Huomutus 2.7. Jos g j h ovt porrsfunktioit j g f h välillä [, b], niin huomutuksen 2.6 sekä supremumin j infimumin perusominisuuksien nojll g I L (f, [, b]) I U (f, [, b]) h. Huomutus 2.8. Jos f on välin [, b] porrsfunktio, niin huomutuksen 2.7 perusteell I L (f, [, b]) = I U (f, [, b]) = f. 13

7 Luse 2.9 (Additiivisuus). Olkoon f : [, b] R rjoitettu j c ], b[. Tällöin I L (f, [, b]) = I L (f, [, c]) + I L (f, [c, b]) j I U (f, [, b]) = I U (f, [, c]) + I U (f, [c, b]). Todistus. Todistetn lintegrlej koskev tulos. Yläintegrlej koskev tulos todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Alintegrlin määritelmästä sekä luseist 1.4 (s. 2) j 2.5 (s. 10) seur, että 1 I L (f, [, b]) = sup = sup L2.5 = sup L1.4 c c g g on porrsfunktio j g f välillä [, b] g + + sup c g g on porrsfunktio j g f välillä [, b] g g on porrsfunktio j g f välillä [, c] = I L (f, [, c]) + I L (f, [c, b]). c g g on porrsfunktio j g f välillä [c, b] 1 Täsmällisesti otten väleillä [, c] j [c, b] kyseessä ovt funktioiden f j g rjoittumt kyseisille väleille. 14

8 2.3 Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus Määritellään sitten Riemnn-integrli l- j yläintegrlin vull. Määritelmä 2.3 (Riemnn-integrli). Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos I L (f, [, b]) = I U (f, [, b]). Tällöin funktion f Riemnn-integrli yli välin [, b] on f = f(x) dx = I L (f, [, b]) = I U (f, [, b]). Huomutus. Riemnn-integrlin merkinnässä dx trkoitt, että integroitvn funktion integrli lsketn muuttjn x suhteen. Huomutus Huomutuksen 2.8 (s. 13) nojll porrsfunktiot ovt Riemnn-integroituvi j porrsfunktion Riemnn-integrli on sm kuin luvuss 2.1 trksteltu porrsfunktion integrli. Täten porrsfunktion integrlille j Riemnnintegrlille on luontev käyttää sm merkintää. Huomutus Jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin huomutuksen 2.7 (s. 13) nojll g f h in, kun g j h ovt sellisi välin [, b] porrsfunktioit, että g f h. Esimerkki 2.5. Esimerkin 2.4 perusteell Dirichlet n funktio 1, kun x Q, f(x) = 0, kun x R \ Q, ei ole Riemnn-integroituv millään relilukuvälillä [, b]. Funktion Riemnn-integroituvuuden tutkiminen l- j yläintegrlej lskemll on yleisesti otten melko hnkl. Seurv yksinkertinen hvinto helpott jonkin verrn si. 15

9 Luse 2.12 (Riemnnin ehto). Välillä [, b] rjoitettu funktio f on Riemnnintegroituv välillä [, b] täsmälleen silloin, kun jokist luku ε > 0 kohti on olemss selliset välin [, b] porrsfunktiot g j h, että g f h välillä [, b] j h g < ε. Todistus. Väite seur suorn Riemnn-integrlin määritelmästä j luseest 1.6 (s. 3), kun tutkitn l- j yläintegrlin määrittelyssä esiintyneitä joukkoj A = g g on porrsfunktio j g f välillä [, b] j B = h h on porrsfunktio j f h välillä [, b]. Esimerkki 2.6. Kurssill Anlyysi 1 trksteltiin Thomen funktiot 1 0, kun x R \ Q, f(x) = 1, kun x = 0, 1 q, kun x Q j x = p (p 0, q > 0) on supistetuss muodoss, q jok on jtkuv kikill x R \ Q j epäjtkuv kikill x Q. Osoitetn Riemnnin ehto käyttäen, että f on Riemnn-integroituv välillä [0, 1]. Vlitn mielivltinen ε > 0. Olkoon n jokin sellinen kokonisluku, että n > 1 ε. Olkoon lisäksi g sellinen porrsfunktio, että g(x) = 0 kikill x [0, 1], j h esimerkin 2.3 (s. 9) porrsfunktio h n. Tällöin 1 0 g = 0 j 1 0 h = 1 n. Täten on olemss selliset porrsfunktiot g j h, että g f h välillä [0, 1] (hrjoitustehtävä) j 1 0 h 1 0 g = 1 n 0 = 1 n < ε. Siis f on välillä [0, 1] Riemnn-integroituv Riemnnin ehdon nojll. 1 Funktiot kutsutn myös popcorn-, sdepisr- ti viivotinfunktioksi. 16

10 Seurv luse helpott joskus Riemnnin ehdon käyttöä tutkittess funktion Riemnn-integroituvuutt. Luse nt myös tvn määrittää integrlin rvo. Luse Olkoon f : [, b] R. Jos on olemss selliset porrsfunktiot g n j h n (n = 1, 2,... ), että g n f h n välillä [, b] j lim g n = lim n n h n, niin f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j f = lim g n = lim h n. n n Todistus. Väite seur suorn Riemnn-integrlin määritelmästä j seuruksest 1.7 (s. 3), kun tutkitn l- j yläintegrlin määrittelyssä esiintyneitä joukkoj j A = B = g g on porrsfunktio j g f välillä [, b] h h on porrsfunktio j f h välillä [, b]. Esimerkki 2.7. Luseen 2.13 nojll esimerkin 2.6 Thomen funktion f Riemnnintegrliksi yli välin [0, 1] sdn 1 0 f = 1 n lim h n = 1 n lim n = 0. 0 Lusett 2.13 käytettäessä vdittvt porrsfunktiot g n j h n muodostetn usein vlitsemll porrsfunktion g n rvoiksi välin [, b] jotkin jko vstvill (voimill) jkoväleillä I 1, I 2,..., I n rvot m 1, m 2,..., m n, missä m j = inf { f(x) x Ij }, j = 1, 2,..., n. Vstvsti porrsfunktion h n rvoiksi (voimill) jkoväleillä I 1, I 2,..., I n vlitn M 1, M 2,..., M n, missä M j = sup { f(x) x Ij }, j = 1, 2,..., n. 17

11 Trvittvt porrsfunktioiden jonot muodostuvt tällöin jkovälien määrän lisääntyessä. Porrsfunktioiden rvoiksi kunkin jon jkopisteissä voidn vlit esimerkiksi funktion f rvo kyseisissä pisteissä. Jos funktio on jtkuv välillä [, b], voidn infimumin j supremumin sijst käyttää funktion pienintä j suurint rvo kullkin jkovälillä. Tämä tietysti helpott porrsfunktioiden muodostmist oleellisesti. Käytännössä trkstelln usein tsvälistä jko. Jos porrsfunktioit g n j h n vstvss tsvälisessä joss on n osväliä, kunkin jkovälin pituudeksi t sdn Tällöin g n f h n sekä t = b n. g n = t m j = b n m j j Jos nyt h n = t M j = b n M j. lim g n = lim h n = S, n n niin f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j f(x) dx = S. Esimerkki 2.8. Osoitetn, että funktio f(x) = kx (k > 0) on Riemnn-integroituv välillä [, b], j määritetään kx dx. Trkstelln välin [, b] tsvälistä jko {, + t, + 2t,..., + nt} (n Z + ), missä t = b n. Olkoon lisäksi g n (x) = k ( + (j 1)t) j h n (x) = k ( + jt), 18

12 kun x [ + (j 1)t, + jt[ (j = 1, 2,..., n), j g n (b) = h n (b) = f(b) = kb. Tällöin g n j h n ovt porrsfunktioit j g n ksvv). Edelleen f h n välillä [, b] (sillä f on g n = t k ( + (j 1)t) = tk 1 + t 2 k (j 1) = tk n + t 2 k = b n n(n 1) 2 ( ) b 2 k n + n(n 1) k n 2 = (b )k + (b )2 2 k n 1 n }{{} 1 j (b )k + (b )2 2 k, kun n, h n = t k ( + jt) = tk 1 + t 2 k j = tk n + t 2 k = b n n(n + 1) 2 ( ) b 2 k n + n(n + 1) k n 2 = (b )k + (b )2 2 k n + 1 n }{{} 1 (b )k + (b )2 2 k, kun n. 19

13 Täten f on luseen 2.13 nojll Riemnn-integroituv välillä [, b] j kx dx = (b )k + (b )2 2 k = k(b ) ( + b 2 ) b 2 2 = k. 2 Seurv esimerkkiä 2.8 koskev huomio vähentää joskus trvittvi lskutoimituksi. Huomutus. Jos esimerkissä 2.8 riittää vin osoitt Riemnn-integroituvuus, selvitään vähemmillä lskutoimituksill. Tällöin ei trvitse lske rj-rvoj, vn riittää osoitt, että jokist luku ε > 0 kohti on olemss sellinen n Z +, että h n g n = t k ( + jt) t k ( + (j 1)t) = t k ( + nt) }{{} =f(b) = t (kb k) = b n = < ε. k(b )2 n k (b ) Vdittu luku n Z + löytyy nyt vlitsemll t k }{{} =f() n > k(b )2. ε Huomutus. Edellinen huomutus koskee muitkin vstvi tpuksi. 20

14 2.4 Integroituvi funktioit Luse Välillä [, b] monotoninen funktio on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. Todistetn tpus, joss funktio f on ksvv välillä [, b]. Tpus, joss funktio on vähenevä, todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Olkoon siis f ksvv välillä [, b]. Jos f() = f(b), niin f on vkiofunktion porrsfunktio j siten Riemnn-integroituv välillä [, b]. Täten voidn olett, että f() < f(b). Vlitn mielivltinen ε > 0. Olkoon nyt {, + t, + 2t,..., + nt} sellinen välin [, b] tsvälinen jko, että jkovälin pituus Olkoon lisäksi t = b n < ε f(b) f(). g(x) = f( + (j 1)t) j h(x) = f( + jt), kun x [ + (j 1)t, + jt[ (j = 1, 2,..., n), sekä g(b) = h(b) = f(b). Tällöin g j h ovt porrsfunktioit j g f h välillä [, b] (sillä f on ksvv). Täten h g = t f( + jt) t f( + (j 1)t) = t f( + nt) t f() }{{} = f(b) = t (f(b) f()) < ε (f(b) f()) f(b) f() = ε. Siis f on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b]. Esimerkki 2.9. Olkoon > 0 j n Z +. Tällöin f(x) = 1 x n on idosti vähenevänä funktion Riemnn-integroituv välillä [, b]. 21

15 Huomutus Tutkimll luseen 2.14 todistuksen porrsfunktioit hvitn (hrjoitustehtävä), että jos {x 0, x 1,..., x n } on jokin välin [, b] jko j funktio f on ksvv välillä [, b], niin f(x j 1 )(x j x j 1 ) Jos vstvsti f on vähenevä, niin f(x) dx f(x j )(x j x j 1 ). f(x j )(x j x j 1 ) f(x) dx f(x j 1 )(x j x j 1 ). Luse Välillä [, b] jtkuv funktio on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. Vlitn mielivltinen ε > 0. Kosk suljetull välillä [, b] jtkuv funktio on tällä välillä myös tsisesti jtkuv, on olemss sellinen δ > 0, että (2.3) f(x) f(y) < ε b in, kun x, y [, b] j x y < δ. Olkoon nyt {x 0, x 1,..., x n } sellinen välin [, b] tsvälinen jko, että jkovälin pituus t = b < δ. n Tällöin siis x j x j 1 < δ, kun j = 1, 2,..., n. Olkoon edelleen g(x j ) = h(x j ) = f(x j ), kun j = 0, 1,..., n, j g(x) = m j = min { f(x) x [xj 1, x j ] }, kun x ]x j 1, x j [, j h(x) = M j = mx { f(x) x [xj 1, x j ] }, kun x ]x j 1, x j [, kun j = 1, 2,..., n. Tällöin g j h ovt porrsfunktioit j g f h välillä [, b]. Kosk f on suljetull välillä jtkuv funktio, trvittvt minimi- j mksimirvot ovt olemss kullkin osvälillä j lisäksi f svutt kyseiset rvot josskin osvälin pisteessä. Täten kullkin osvälillä [x j 1, x j ] (j = 1, 2,..., n) on olemss selliset pisteet x j, x j [x j 1, x j ], että m j = f(x j ) j M j = f(x j ). Kosk x j x j < δ j M j m j, niin ehdon (2.3) nojll M j m j < ε b 22 j = 1, 2,..., n.

16 Täten h g = M j (x j x j 1 ) m j (x j x j 1 ) = < (M j m j ) (x j x j 1 ) }{{} > 0 ε b (x j x j 1 ) = = = ε. ε b (x j x j 1 ) ε (b ) b Siis f on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b]. Esimerkki Polynomifunktiot ovt jtkuvin funktioin Riemnn-integroituvi millä thns suljetull välillä [, b]. Huomutus Jos f on välillä [, b] Riemnn-integroituv funktio j g on sellinen välillä [, b] määritelty funktio, että f(x) = g(x) välillä [, b] lukuun ottmtt pisteitä x 1, x 2,..., x n [, b], niin myös g on Riemnn-integroituv välillä [, b] j f(x) dx = g(x) dx (hrjoitustehtävä). Siis funktion rvot äärellisessä pistejoukoss eivät ole oleellisi integrlin rvon ti integroituvuuden knnlt. Määritelmä 2.4. Funktio f : [, b] R on ploittin jtkuv välillä [, b], jos funktioll f on välillä [, b] korkeintn äärellinen määrä epäjtkuvuuskohti j kusskin epäjtkuvuuskohdss funktioll on vsemmnpuoleinen j oikenpuoleinen rj-rvo. Luse Välillä [, b] ploittin jtkuv funktio on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. Hrjoitustehtävä. 23

17 2.5 Riemnnin summ Olkoon funktio f rjoitettu välillä [, b] j P = {x 0, x 1,..., x n } jokin välin [, b] jko. Luvuss 1.2 (huomutus 1.8, s. 5) minittiin jo jkoon P liittyvä Riemnnin summ S P (f, ξ) = f(ξ j )(x j x j 1 ), missä ξ j [x j 1, x j ] on mielivltinen välin [x j 1, x j ] piste. Huomutus. Jos g(x) = f(ξ j ) kikill x ]x j 1, x j [ (j kikill j = 1, 2,..., n), niin Riemnnin summ S P (f, ξ) on porrsfunktion g integrli. Porrsfunktion g rvoiksi jkopisteissä voidn vlit esimerkiksi g(x j ) = f(x j ), kun j = 0, 1,..., n. Merkitään P = mx{x j x j 1 1 j n}, eli P on jon P pisimmän osvälin pituus. Tihennetään sitten jko siten, että P 0, j tutkitn rj-rvo Tällöin lim S P (f, ξ). P 0 lim S P (f, ξ) = L, P 0 jos jokist luku ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että jokiselle jolle P < δ pätee S P (f, ξ) L < ε, vlittiinp pisteet ξ j miten thns. Riemnnin summ käyttämällä sdn vihtoehtoinen tp määritellä Riemnn-integrli. Luse Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin jos Riemnnin summill on rj-rvo lim S P (f, ξ), P 0 missä S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. Tällöin f = lim S P (f, ξ). P 0 24

18 Todistus. 1 : Todistetn ensin suunt. Oletetn siis, että f on rjoitettu j Riemnn-integroituv välillä [, b], j osoitetn, että lim S P (f, ξ) = P 0 f, missä S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. Vlitn mielivltinen ε > 0. Kosk f on rjoitettu, on olemss sellinen M > 0, että (2.4) f(x) M kikill x [, b], j kosk f on Riemnn-integroituv, niin Riemnnin ehdon nojll on olemss selliset välin [, b] porrsfunktiot g j h, että g f h j (2.5) h g < ε 2. Olkoon edelleen P 0 = {z 0, z 1,..., z m0 } jokin sellinen välin [, b] jko, että P 0 sisältää kikki sekä porrsfunktion g että porrsfunktion h porrspisteet. Merkitään δ = ε 8m 0 M. Olkoon nyt P = {x 0, x 1,..., x n } jokin sellinen välin [, b] jko, että P < δ. Tällöin jokist Riemnnin summ S P (f, ξ) kohti on olemss sellinen porrsfunktio s, että (2.6) S P (f, ξ) = s. Kosk g f h, niin tällöin (2.7) g s = f(ξ k ) h kikill jon P osväleillä I k = [x k 1, x k ], jotk eivät sisällä jon P 0 pisteitä. Trkstelln sitten jon P osvälejä I k = [x k 1, x k ], jotk sisältävät jon P 0 pisteitä. Välin [, b] päätepisteitä lukuun ottmtt kukin jon P 0 piste sisältyy yhteen ti khteen jon P (suljettuun) osväliin. Täten jon P 0 pisteitä sisältäviä jon P osvälejä on korkeintn 2m 0 kpplett. Olkoon nyt g(x) = { g(x), jos x I k j j {0, 1,..., m 0 } s.e. z j I k, M, jos x I k j j {0, 1,..., m 0 } s.e. z j I k, 25

19 j h(x) = { h(x), jos x I k j j {0, 1,..., m 0 } s.e. z j I k, M, jos x I k j j {0, 1,..., m 0 } s.e. z j I k, missä I k = ]x k 1, x k [ j I k = [x k 1, x k ] (k = 1, 2,..., n). Jon P jkopisteissä setetn g(x k ) = M j h(x k ) = M (k = 0, 1, 2,..., n). Tällöin g j h ovt välillä [, b] porrsfunktioit j ominisuuden g f h sekä epäyhtälöiden (2.4) j (2.7) perusteell g f h j g s h. Täten Riemnn-integrlin määrittelyn j luseen 2.3 (s. 9) nojll g f h j g s h j edelleen (2.8) s f h g. Kosk g h välillä [, b], niin luseen 2.3 (s. 9) nojll x k x k 1 g x k x k 1 h jokisell jon P osvälillä [x k 1, x k ] (k = 1, 2,..., n). Lisäksi jon P 0 pisteitä sisältäviä jon P osvälejä on korkeintn 2m 0 kpplett j porrsfunktion rvoll jkopisteessä ei ole vikutust porrsintegrlin rvoon. Täten (2.9) Siis h g h S P (f, ξ) f g + 2m 0 P 2M (2.5) < ε 2 + 4m 0 P M. (2.6) = s f (2.8) h (2.9) < ε 2 + 4m 0 P M g < ε 2 + 4m 0 26 ε 8m 0 M M

20 = ε 2 + ε 2 = ε. Siis lim S P (f, ξ) = P 0 f. j 2 : Todistetn sitten suunt. Oletetn siis, että f on rjoitettu välillä [, b] lim S P (f, ξ) = L, P 0 missä S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ, j osoitetn, että f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j f = L. Vlitn mielivltinen ε > 0. Rj-rvon määritelmän nojll on olemss sellinen δ > 0, että jos P < δ, niin (2.10) S P (f, ξ) L < ε. Olkoon nyt P = {x 0, x 1,..., x n } sellinen välin [, b] jko, että P < δ. Vlitn selliset pisteet ξ k, ξ k [x k 1, x k ] (k = 1, 2,..., n), että f(ξ k ) inf f + ε [x k 1, x k ] b j Olkoon edelleen j g(x) = f(ξ k ) h(x) = f(ξ k ) + f(ξ k ) sup f [x k 1, x k ] ε b. ε b, kun x [x k 1, x k [ (k = 1, 2,..., n), ε b, kun x [x k 1, x k [ (k = 1, 2,..., n), 27

21 sekä g(b) = h(b) = f(b). Tällöin g j h ovt porrsfunktioit j g f h välillä [, b] sekä h g = = ( f(ξ k ) + ε ) (x k x k 1 ) k=1 b ( f(ξ k ) k=1 ε f(ξ k )(x k x k 1 ) + k=1 k=1 b (x k x k 1 ) }{{} Merk. S P (f,ξ) ε f(ξ k )(x k x k 1 ) + k=1 k=1 b (x k x k 1 ) }{{} Merk. S P (f,ξ) ε ) (x k x k 1 ) b = S P (f, ξ) + k=1 = S P (f, ξ) + ε b = S P (f, ξ) + ε S P (f, ξ) + ε ε b (x k x k 1 ) S P (f, ξ) + (x k x k 1 ) S P (f, ξ) + k=1 } {{ } = b = S P (f, ξ) L + ε + L S P (f, ξ) + ε S P (f, ξ) L + ε + L S P (f, ξ) + ε (2.10) < ε + ε + ε + ε = 4ε. k=1 ε b ε b (x k x k 1 ) (x k x k 1 ) k=1 } {{ } = b Siis f on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b] (luss olisi voitu vlit pumuuttuj ε = ε 4 ). Huomutus Lusett 2.19 käytettäessä riittää trkstell tsvälisiä jkoj (hrjoitustehtävä). Funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuuden osoittmiseksi riittää siis osoitt, että lim P 0 S P (f, ξ) = L, missä P on tsvälinen jko j S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. 28

22 Pisteen ξ pitää kuitenkin oll mielivltinen välin piste. Funktion Riemnn-integroituvuutt osoitettess ξ ei voi oll kiinteästi esimerkiksi osvälin päätepiste (toisin kuin esimerkiksi määritettäessä jo integroituvksi tiedetyn funktion integrlin rvo) ilmn, että smll suoritetn myös mhdollisen virhetermin trkstelu. Huomutus. Funktion f : [, b] R Riemnnin summ voitisiin muodost, vikk f ei ole rjoitettu välillä [, b]. Voidn kuitenkin osoitt, että jos f ei ole rjoitettu välillä [, b], niin lim P 0 S P (f, ξ) ei ole olemss (hrjoitustehtävä). 29

23 2.6 Perusominisuuksi Esitetään luksi kksi määritelmää ti sopimust, joill helpotetn käytännön lskutoimituksi. Määritelmä 2.5. Olkoon f välillä [, b] Riemnn-integroituv funktio. Tällöin b f(x) dx = f(x) dx. Määritelmä 2.6. Olkoon f pisteessä R määritelty funktio. Tällöin f(x) dx = 0. Riemnn-integrlin dditiivisuus on helppo todist hyödyntämällä l- j yläintegrlin dditiivisuutt. Luse 2.21 (Additiivisuus). Olkoon f : [, b] R rjoitettu j c ], b[. Tällöin f on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos j vin jos f on Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b]. Tällöin f = c f + c f. Todistus. 1 : Todistuksen suunt on ilmeinen. Jos f on Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b], niin I L (f, [, c]) = I U (f, [, c]) = c f j I L (f, [c, b]) = I U (f, [c, b]) = c f, joten l- j yläintegrlin dditiivisuuden (luse 2.9, s. 14) nojll I L (f, [, b]) = I U (f, [, b]) ( = f ). Täten f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j luseen 2.9 nojll f = c f + c f. 30

24 2 : Trkstelln sitten suunt. Olkoon f Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin ( ) I L (f, [, b]) = I U (f, [, b]) = f, joten l- j yläintegrlin dditiivisuuden (luse 2.9, s. 14) nojll I L (f, [, c]) + I L (f, [c, b]) = I U (f, [, c]) + I U (f, [c, b]). Kosk huomutuksen 2.6 (s. 13) nojll I L (f, [, c]) I U (f, [, c]) j I L (f, [c, b]) I U (f, [c, b]), niin 1 I L (f, [, c]) = I U (f, [, c]) j I L (f, [c, b]) = I U (f, [c, b]). Siis f on Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b] j luseen 2.9 nojll c f + c f = f. Huomutus Luseen 2.21 kv pätee kikill, b, c R (olivtp luvut missä thns järjestyksessä), jos f on Riemnn-integroituv kyseisillä väleillä (hrjoitustehtävä). Luse 2.23 (Linerisuus). Olkoot f j g Riemnn-integroituvi välillä [, b] j λ R. Tällöin myös λf j f + g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b] j (λf) = λ f j (f + g) = f + g. Todistus. Todistetn väite summfunktiolle f + g hyödyntämällä Riemnnin summi. Vkioll kertomisen todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. Kosk (f + g)(ξ j )(x j x j 1 ) = f(ξ j )(x j x j 1 ) + g(ξ j )(x j x j 1 ), 1 Jos s 1 t 1, s 2 t 2 j s 1 + s 2 = t 1 + t 2, niin s 1 = t 1 j s 2 = t 2 (s 1, s 2, t 1, t 2 R). 31

25 niin luseen 2.19 (s. 24) nojll (f + g) = lim P 0 S P (f + g, ξ) ( = lim SP (f, ξ) + S P (g, ξ) ) P 0 = lim P 0 S P (f, ξ) + lim P 0 S P (g, ξ) = f + g, missä S P (f, ξ) on funktion f välin [, b] jkoon P liittyvä Riemnnin summ. Seurus Jos f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b] j λ 1, λ 2 R, myös λ 1 f + λ 2 g on Riemnn-integroituv välillä [, b] j (λ 1 f + λ 2 g) = λ 1 f + λ 2 g. Huomutus Seurus 2.24 voidn induktioll yleistää muotoon i=1 λ i f i = i=1 λ i f i, missä f 1, f 2,..., f n ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b] j λ 1, λ 2,..., λ n R. 32

26 2.7 Integrlien rviointi Integrlej ei useinkn pystytä lskemn trksti. Siksi on tärkeää pystyä rvioimn integrlej esimerkiksi sopivien epäyhtälöiden vull. Luse Olkoon f Riemnn-integroituv välillä [, b] sekä Tällöin m = inf f(x) j M = sup f(x). x [,b] x [,b] m(b ) f(x) dx M(b ). Todistus. Kosk g(x) = m j h(x) = M ovt porrsfunktioit j m f M välillä [, b], niin m(b ) = m dx f(x) dx M dx = M(b ). Seurus Jos f jtkuv välillä [, b] j m = min f(x) sekä M = mx f(x), x [,b] x [,b] niin m(b ) f(x) dx M(b ). Seurus Olkoon f Riemnn-integroituv j ei-negtiivinen välillä [, b]. Tällöin f(x) dx 0. Seurus Olkoot f j g Riemnn-integroituvi välillä [, b] j f(x) g(x) kikill x [, b]. Tällöin f(x) dx g(x) dx. Esimerkki Olkoon b > 1. Osoitetn, että (b 1) e 1 e x x dx b 1 e b. b 33

27 Trkstelln funktiot f(x) = ex x j väliä [1, b]. Jtkuvn funktion f on Riemnn-integroituv välillä [1, b]. Lisäksi f (x) = ex x e x x 2 = ex (x 1) x 2 0 x [1, b], joten f on ksvv funktio välillä [1, b]. Siis j 1 1 e x x dx e x x dx 1 1 e b b e 1 1 dx = dx = eb b 1 e dx = e (b 1) (b 1) = b 1 b e b. Luse Olkoon f jtkuv j ei-negtiivinen välillä [, b]. Jos niin f(x) = 0 kikill x [, b]. f(x) dx = 0, Todistus. Tehdään vstoletus, että on olemss sellinen c [, b], että f(c) > 0. Oletetn, että c ], b[ (tpukset c = j c = b vstvsti). Kosk f on jtkuv, on olemss sellinen δ > 0, että [c δ, c + δ] [, b] j Täten f(x) f(c) 2 f(x) dx = c δ > 0 x [c δ, c + δ]. f(x) dx + c+δ c δ f(x) dx + c+δ f(x) dx c δ 0 dx + c+δ c δ = 0 + f(c) 2 2δ + 0 = f(c) δ, f(c) 2 dx + c+δ 0 dx missä on ristiriit, sillä f(c) > 0 j δ > 0. 34

28 2.8 Itseisrvo- j tulofunktio Tutkitn seurvksi itseisrvofunktion j khden funktion tulofunktion Riemnnintegroituvuutt. Määritelmä 2.7. Olkoon f : A R. Tällöin f + : A R, f(x), kun f(x) 0, f + (x) = mx{f(x), 0} = 0, kun f(x) < 0, on funktion f positiivios j f : A R, f (x) = mx{ f(x), 0} = f(x), kun f(x) 0, 0, kun f(x) > 0, on funktion f negtiivios. Huomutus. Määrittelystä seur suorn, että funktion f määrittelylueell. f + (x) 0 j f (x) 0 Huomutus. Poistiivi- j negtiiviosn määrittelyn perusteell f(x) = f + (x) f (x) j f(x) = f + (x) + f (x) funktion f määrittelylueell. Luse Funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos j vin jos sekä f + että f ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b]. Tällöin f = f + f. Todistus. Todetn jo luksi ennen Riemnn-integroituvuuden trkstelu, että kosk f = f + f, niin integrlin lskusääntöjen (luse 2.23, s. 31) nojll f = f + f, jos kikki kyseiset funktiot ovt Riemnn-integroituvi. 35

29 : Kosk f = f + f, niin integrlin lskusääntöjen (luse 2.23, s. 31) nojll f on Riemnn-integroituv, jos f + j f ovt Riemnn-integroituvi. : Osoitetn ensin, että f + on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Vlitn mielivltinen ε > 0. Jos f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin Riemnnin ehdon nojll on olemss selliset välin [, b] porrsfunktiot g j h, että g f h j (2.11) h g < ε. Funktioiden positiiviosi muodostettess ino muutos on, että funktioiden negtiiviset rvot korvtn nollill. Ei-negtiiviset rvot pysyvät ennlln. Täten myös g + j h + ovt välin [, b] porrsfunktioit j g + f + h + välillä [, b]. Lisäksi porrsfunktioiden g j h porrspisteet sisältävän jon osväleillä positiiviosiin siirryttäessä erotus h g pysyy ennlln, jos kyseisellä välillä g (j siis myös h) on ei-negtiivinen ti g = h. Jos ts g on negtiivinen j g < h, niin erotus h g vähenee. Siis (2.12) h + g + h g. välillä [, b]. Täten porrsintegrlin perusominisuuksien nojll h + g + = (2.12) = ( h + g +) (h g) h g (2.11) < ε, joten f + on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b]. Kosk f = f + f, niin integrlin lskusääntöjen (luse 2.23, s. 31) nojll myös negtiivios f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. 36

30 Seurus Jos f on Riemnn-integroituv välillä [, b], myös f on Riemnnintegroituv välillä [, b] j f = f + + f. Todistus. Kosk f = f + + f, väite seur suorn luseest 2.31 j integrlin lskusäännöistä (luse 2.23, s. 31). Luse Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin f(x) dx f(x) dx. Todistus. Jos f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin seuruksen 2.32 perusteell myös f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Lisäksi itseisrvon perusominisuuksist seur, että f(x) f(x) f(x) kikill x [, b]. Täten seuruksen 2.29 (s. 33) nojll j edelleen (luse 2.23, s. 31) f(x) dx f(x) dx f(x) dx f(x) dx f(x) dx Siis itseisrvon perusominisuuksien perusteell f(x) dx f(x) dx. f(x) dx. Huomutus. Kosk luseess 2.33 oletetn integroituvuus välillä [, b], niin < b. Luseen tulos pätee tietysti myös, jos = b, mutt jos b <, niin luseen 2.33 epäyhtälö on muutettv muotoon (hrjoitustehtävä) f(x) dx f(x) dx. 37

31 Huomutus () Luseen 2.33 epäyhtälö voi oll myös ito. Esimerkiksi (esimerkin 2.8 (s. 18) nojll) 1 1 x dx = 12 ( 1) 2 2 = 0, mutt toislt luseiden 2.21 (s. 30) j 2.23 (s. 31) sekä esimerkin 2.8 (s. 18) perusteell 1 1 x dx = 0 1 x dx x dx = 0 1 x dx x dx 0 = 1 x dx x dx Siis 1 1 = 0 ( 1)2 2 = 1. x dx < 1 1 x dx (b) Funktion f : [, b] R kuvjn j x-kselin väliin välillä [, b] jäävän lueen pint-l on f = f + + Luse Jos funktiot f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b], myös tulo f g on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Todistus. 1 : Oletetn ensiksi, että f, g 0. Vlitn mielivltinen ε > 0. Riemnn-integroituvin funktioin f j g ovt rjoitettuj välillä [, b], joten on olemss sellinen M > 0, että f, g M. Lisäksi Riemnnin ehdon nojll on olemss selliset välin [, b] porrsfunktiot g f, h f j g g, h g, että g f f h f j g g g h g sekä (2.13) h f g f < ε 2M j 38 f. h g g g < ε 2M.

32 Kosk 0 f, g M, niin todistuksen yleisyyttä rjoittmtt voidn olett (luse 1.11, s. 7), että 0 g f f h f M j 0 g g g h g M. Tällöin g f g g j h f h g ovt porrsfunktiot (huomutus 1.9, s. 6) j g f g g fg h f h g. Lisäksi huomutuksen 1.9 (s. 6) j muiden porrsfunktioiden perusominisuuksien sekä luseen 2.23 (s. 31) j seuruksen 2.29 (s. 33) nojll h f h g g f g g = h f h g g f h g + g f h g g f g g = (h f g f ) h g + (h f g f ) M + g f (h g g g ) M (h g g g ) = M (2.13) (h f g f ) + M ε < M 2M + M ε 2M = ε, (h g g g ) joten f g on Riemnnin ehdon nojll Riemnn-integroituv välillä [, b]. 2 : Olkoot sitten f j g mielivltisi välillä [, b] Riemnn-integroituvi funktioit. Kosk f = f + f j g = g + g, niin fg = ( f + f ) ( g + g ) = f + g + f + g f g + + f g, jok on kohdn 1 nojll välillä [, b] Riemnn-integroituvien funktioiden summn Riemnn-integroituv välillä [, b] (luse 2.23, s. 31). Huomutus Yleensä (fg) f g. 39

33 Huomutus 2.37 (Cuchy-Schwrzin epäyhtälö). Jos funktiot f j g ovt Riemnnintegroituvi välillä [, b], niin 2 fg f 2 g 2. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. vstvn tuloksen todistus summlusekkeille). 40

34 2.9 Integrlilskennn välirvoluse Seurvksi trkstelln integrlilskennn välirvolusett. Luse 2.38 (Integrlilskennn välirvoluse). Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b]. Tällöin on olemss sellinen ξ ], b[, että (2.14) f(x) dx = f(ξ)(b ). Todistus. Kosk f on jtkuv suljetull välillä [, b], on olemss selliset pisteet x 1, x 2 [, b], että m = f(x 1 ) = min {f(x) x [, b]} j M = f(x 2 ) = mx {f(x) x [, b]}. Lisäksi seuruksen 2.27 (s. 33) nojll (2.15) m(b ) f(x) dx M(b ). Kosk f on jtkuv, niin integrlin lskusääntöjen j luseen 2.30 (s. 34) perusteell yhtäsuuruus epäyhtälöissä (2.15) on voimss vin silloin, kun f on vkiofunktio välillä [, b]. Jos f on vkiofunktio, niin mikä thns välin ], b[ piste kelp pisteeksi ξ. Jos ts f ei ole vkio, niin m(b ) < f(x) dx < M(b ). Kosk b > 0 (ts. [, b] on väli), niin tällöin m < 1 f(x) dx < M. b Lisäksi x 1 x 2. Todistuksen yleisyyttä rjoittmtt voidn olett, että x 1 < x 2. Funktio f on nyt jtkuv suljetull välillä [x 1, x 2 ], joten se svutt tällä välillä kikki suurimmn j pienimmän rvons väliset rvot. Kosk f(x 1 ) = m j f(x 2 ) = M, on täten olemss sellinen ξ ]x 1, x 2 [ (jolloin myös ξ ], b[ ), että f(ξ) = 1 f(x) dx b 41

35 eli f(x) dx = f(ξ)(b ). Huomutus. Integrlilskennn välirvoluseest käytetään usein lyhennettä IVAL. Huomutus Integrlilskennn välirvoluseess oletettiin, että < b (eli [, b] on väli). Luseen tulos eli kv (2.14) pätee myös, kun b <, mutt tällöin on tietysti oletettv, että ξ ]b, [. 1 Todistus. Olkoon f jtkuv välillä [b, ], missä b <. Integrlilskennn välirvoluseen nojll on tällöin olemss sellinen ξ ]b, [, että f(x) dx = b f(x) dx IVAL = f(ξ)( b) = f(ξ)(b ). Luse 2.40 (Yleistetty integrlilskennn välirvoluse). Olkoon funktio f jtkuv j funktio g ei-negtiivinen j Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tällöin on olemss sellinen ξ [, b], että (2.16) f(x)g(x) dx = f(ξ) g(x) dx. Todistus. Kosk f on jtkuv suljetull välillä [, b], on olemss selliset pisteet x 1, x 2 [, b], että m = f(x 1 ) = min {f(x) x [, b]} j M = f(x 2 ) = mx {f(x) x [, b]}. Lisäksi g 0, joten mg fg Mg. Siis seuruksen 2.29 (s. 33) nojll (2.17) m I g = missä mg(x) dx I g = f(x)g(x) dx g(x) dx. M g(x) dx = M I g 1 Usein tiedoll, onko ξ ], b[ vi ξ ]b, [, ei ole merkitystä, mutt joskus tietysti on. 42

36 Jos nyt I g = 0, niin epäyhtälöketjun (2.17) nojll myös f(x)g(x) dx = 0. Täten molemmt integrlit kvss (2.16) ovt nolli j mikä thns välin ], b[ piste kelp pisteeksi ξ. Jos ts I g 0, niin I g > 0, sillä g 0. Täten epäyhtälöketjun (2.17) nojll m 1 I g f(x)g(x) dx M. Jtkuvn funktion f svutt suljetull välillä [, b] kikki suurimmn j pienimmän rvons väliset rvot. Täten on olemss sellinen ξ [, b], että f(ξ) = 1 I g f(x)g(x) dx eli f(x)g(x) dx = f(ξ) g(x) dx. Huomutus. Vstvsti kuin huomutuksess 2.39 voidn osoitt, että yleistetyn integrlilskennn välirvoluseen tulos eli kv (2.16) pätee myös, kun b <. Tällöin on tietysti oletettv, että ξ [, b]. 43