Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13

Transkriptio

1 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss. Kotitehtävät 4-44 trkstetn loppuviikon hrjoituksiss. Kotitehtävät tulee plutt pperill luennoitsijn työhuoneen Y eessä olevn lokeroon (merkitse ryhmä!) ti pf-muooss kurssin MyCourses-sivuille mnntihin klo 0.00 mennessä. Sm kellonik on myös viikoittisten verkkotehtävien l, joskin verkkotehtävät knntt tehä ennen plutettvi kotitehtäviä. Alkuviikko: permuttiot j väritykset, verkkoteori Tuntitehtävä 4: Määritä ryhmä G, jok muoostuu kikist ll olevn verkon solmujen sellisist permuttioist f, että jos solmujen j välillä on kri (eli j ovt npureit), niin myös solmujen f() j f() välillä on kri, (eli nekin ovt npureit). Määritä myös ryhmän sykli-ineksi ζ G,X = G f G ζ f,x, missä ζ f,x (t,..., t n ) = t j t j... t jn n kun j k on permuttion f k-pituisten rtojen lukumäärä. Vihje: Jos f on tällinen permuttio, niin f():ll on yhtä mont npuri kuin :ll. Rtkisu: Kosk solmull 8 on npuri j se on ino solmu, joll on näin mont npuri, niin f(8) = 8 jokisell f G. Tästä seur, että kikki 8:n npurit kuvutuvt 8:n npureiksi. Erityisesti täytyy oll f() =, kosk niistä vin :ll on 4 npuri. Näin ollen solmun 4 kuv on f(4) = 4, kosk se on jäljelle jääneistä ino, joll on 4 npuri. Kosk 5 on ino sekä 4:n j :n npuri niin pätee myös f(5) = 5.

2 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Voimme siis toet, että jokisell f G pätee f(j) = j kun j {4, 5,, 8}. Sensijn kikki solmujen {,, } j/ti {7, 9} permuttiot kuuluvt ryhmään G. Syklinottioll (missä turht -pituiset syklit on jätetty pois) permuttiot ovt G = {(), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), (7 9), ( )(7 9), ( )(7 9), ( )(7 9), ( )(7 9), ( )(7 9)}. Kun lskemme rtojen lukumääriä, niin tulokset ovt: () : 9 rt, joiss on lkio. ( ), ( ), ( ), (7 9) : rt, joss on lkiot, 7 rt, joiss on lkio. ( )(7 9), ( )(7 9), ( )(7 9) : rt, joiss on lkiot, 5 rt, joiss on lkio. ( ), ( ) : rt, joss on lkiot, rt, joiss on lkio. ( )(7 9), ( )(7 9) : rt, joss on lkiot, rt, joss on lkiot j 4 rt, joiss on lkio. Sykli-ineksiksi tulee näin ollen ζ G,X (t, t, t ) = ( t 9 + 4t 7 t + t 5 t + t t + t 4 t t ). Tuntitehtävä 4: Määritä Pólyn luseen vull montko erilist helminuh voin vlmist käyttämällä 4 vlkoist j must helmeä. Kht helminuh pietään smoin, jos toinen sn toisest rottioll j/ti peiluksell. Symmetriryhmä on siis ieriryhmä. Vihje: Dieriryhmän D n, jok muoostuu säännöllisen n-kulmisen monikulmion X n rottioist j peiluksist, sykli-ineksi on ζ Dn,X n (t, t,..., t n ) = n ( ) ϕ()t n t n 4 + t t n, jos n on prillinen, + n t t n, jos n on priton, missä ϕ() on Eulerin funktio eli ϕ() = {j Z : j, syt(j, ) = }. Rtkisu: Jos käytetään 4 vlkoist j must helmeä, niin yhteensä on 7 helmeä. Helminuhoj, jotk kuuluvt smn rtn ieriryhmän D 7 toiminnss nuhll, pietään smoin. Kosk 7 on lkuluku, niin inot positiiviset luvut, jotk jkvt luvun 7, ovt j 7. Nyt ϕ() = {j Z : j, syt(j, ) = } = {} = j ϕ(7) = {j Z : j 7, syt(j, 7) = } = {,,, 4, 5, } =.

3 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Näin ollen ieriryhmän toiminnn sylki-ineksi on 4 (t7 + t 7 ) + t t. Kun korvtn t j :n lusekkeell v j +m j (muuttuj v vlkoiselle j m mustlle värille) sn ( (v + m) 7 + (v 7 + m 7 ) ) + 4 (v + m)(v + m ). Nyt meiän pitää (kosk käytämme Pólyn värityslusett) määrittää termin v 4 m kerroin. Se on ( ) 7 + ( ) = Kotitehtävä 4: Olkoon X lut, joss on neliötä, joien sivut ovt koorinttikselien suuntisi j lun keskipiste on origoss. 4 5 Symmetrikuvukset ovt rottiot origon ympäri kulmien 0 ti π verrn j peilukset x- j y-kselien suhteen. Jos neliöt numeroin,,, 4, 5, positiiviseen kiertosuuntn, niin nämä kuvukset ovt permuttiot (), ( 4)( 5)( ), ( )( 5)( 4) j ( )(4 ). Permuttiot muoostvt ryhmän G (tätä ei trvitse trkist). Määritä sykli-ineksi ζ G,X j päättele sen vull, monellko tvll lun neliöt voin värittää, kun käytettävissä on eri väriä. Rtkisu: Ryhmässä on 4 lkiot, j täytyy lske eripituisten rtojen lukumäärä jokisen ryhmän lkion oslt. Kosk jokinen lkio on nnettu syklimerkinnöin, sn seurvt tulokset: () : rt, joiss on lkio. ( 4)( 5)( ) : rt, joiss on lkiot. ( )( 5)( 4) : rt, joiss on lkiot. ( )(4 ) : rt, joiss on lkiot j rt, joiss on lkio. Sykli-ineksiksi tulee näin ollen ζ G,X (t, t, t, t 4, t 5, t ) = 4 (t + t + t + t t ).

4 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Jos käytettävissä on väriä, niin Pólyn väritysluseen nojll sn eri väritystä. ζ G,X (,,,,, ) = 4 ( ) = Kotitehtävä 44: Verkot (V, E) j (V, E ) ovt isomorfiset (eli kyse on smst verkost), jos on olemss ijektio ψ : V V siten että verkoss (V, E) on kri solmujen j välillä jos j vin jos verkoss (V, E ) on kri solmujen ψ() j ψ() välillä. Mitkä seurvist verkoist ovt isomorfisi j mitkä eivät ole? Perustele j määritä ijektio, jos sellinen löytyy () () () Rtkisu: Verkko () ei ole isomorfinen verkon () eikä verkon () knss, kosk sekä verkoss () että verkoss () on syklejä, joiss on kolme solmu, mutt sellisi ei löyy verkost (). Verkot () j () ovt sen sijn isomorfiset, j isomorfismiksi voin vlit esim. funktio, jonk määrittelyjoukko on ():n verkon solmut j jok on sellinen, että ψ() =, ψ() =, ψ() = ψ(4) =, ψ(5) = 5, ψ() = 4. Loppuviikko: Verkkoteori Tuntitehtävä 45: 5 solmu. ) Piirrä kikki suuntmttomt ei-isomorfiset puut, joiss on 4

5 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson ) Khell (suuntmttomll) verkoll on npurimtriisit j Piirrä vstvt verkot. Ovtko nämä verkot isomorfiset? Perustele! Rtkisu: ) Puu on (verkkoteoriss) määritelmän mukn verkko, jok on yksinkertinen j sellinen, että jokisest solmust on täsmälleen yksi yksinkertinen polku jokiseen toiseen solmuun. Jos verkoss on solmu, joll on 4 npuri, niin se on seurvnlinen: Jos verkon solmun npureien mksimilukumäärä on niin verkko on seurv: Jos ts millään solmull ei ole enempää kuin npuri, niin verkko on seurv: ) Jos A on verkon npurimtriisi niin A(i, j) = jos j vin jos solmujen i j j välillä on kri. Verkot näyttävät esimerkiksi tällisilt: () () 5

6 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Kpps, nämähän ovt smt verkot kuin kotitehtävässä 44! Ne ovt siis isomorfiset, kuten tuoss tehtävässä osoitettiin. Tuntitehtävä 4: Joukko opiskelijoit ikoo osllistu kurssien K,..., K 7 kokeisiin seurvsti: Opisk. A K K Opisk. B K K 4 Opisk. C K K Opisk. D K K Opisk. E K K 4 Opisk. F K K 5 Opisk. G K 5 K Opisk. H K 4 K 7 Opisk. I K 5 K 7 Piirrä verkko, jonk solmut ovt K j, j =,,... 7 siten, että solmujen K j j K k välillä on kri jos j vin jos inkin yksi opiskelij ikoo osllistu sekä kurssin K j että kurssin K k tenttiin. Määritä verkon kromttinen luku, eli pienin lukumäärä värejä, joill verkon solmut voin värittää niin että solmut, joien välillä on kri, tulevt väritetyiksi eri väreillä. Mitä tämä luku kertoo tässä tpuksess? Vihje Verkoss on yksinkertinen sykli, jonk pituus on priton luku. Mikä se on j mitä tekemistä tällä seikll on kromttisen luvun knss? Rtkisu: Verkko näyttää esim. seurvnliselt: K K K 4 K K 5 K K 7 Ahneen värityslgoritmin vull smme seurvn värityksen, joss käytämme väriä: ω(k ) =, ω(k ) =, ω(k ) =, ω(k 4 ) =, ω(k 5 ) =, ω(k ) =, ω(k 7 ) =. Tämä on myös kromttinen luku, kosk [K, K, K, K 5, K, K ] on sykli, jonk pituus on priton, eikä näin ollen verkon solmuj pystytä värittämään khell värillä. Nimittäin, jos ω(k ) = niin ω(k ) =, ω(k ) =, ω(k 5 ) = j ω(k ) =, mikä ei käy, kosk K j K ovt npureit.

7 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Kosk kromttinen luku on, niin on vrttv inkin tenttiik, jott kikki voisivt osllistu tentteihin. Kotitehtävä 47: ) Määritä ll olevien verkkojen jokisen solmun steluku j kirjoit molempien verkkojen kohll nämä luvut jonon ei-ksvvss suuruusjärjestyksessä. Ovtko jonot ienttiset? ) Ovtko ll olevt verkot isomorfiset? Perustele! g h e f k i j Rtkisu: ) Solmun steluku trkoitt niien solmujen lukumäärää, joihin siitä on kri. Asteluvut vsemmnpuolisess verkoss ovt 5, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5 j 5 eli järjestyksessä [5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4]. Oikenpuolisess verkoss npureien lukumäärät ovt 5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4 j 4 eli järjestyksessä [5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4]. Nämä jonot ovt ienttiset. ) Jos verkot olisivt isomorfiset, niin olisi olemss solmujen välinen ijektio siten, että npurit pysyvät npurein, jolloin siis myös steluku pysyy muuttumttomn kun siirrytään ijektion mukn verkost toiseen. Tästä seurisi, että ()-kohn jonot olisivt ienttiset. Mutt se seikk, että nämä jonot tässä tpuksess ovt ienttiset ei tk, että verkot ovt isomorfiset. Verkot eivät nimittäin ole isomorfiset, kosk vsemmnpuolisess verkoss on solmu, jonk kikill 5:llä npurill on 4 npuri, kun ts oikenpuolisess verkoss kikill solmuill, joill on 5 npuri, on myös inkin npuri, joill itsellään on 5 npuri. 7

8 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Kotitehtävä 48: Verkko K 4 on neljän solmun täyellinen yksinkertinen verkko, eli siinä on 4 solmu, j jos j ovt kksi solmu j, niin niien välillä on kri (mutt mistään solmust ei ole krt tkisin smn solmuun). Kuink mont erilist polku, joien pituus on n, on khen eri solmun välillä kun n = j n = 4? Polkujen ei trvitse oll yksinkertisi. Tpuksess n = trkist vstuksesi piirtämällä kikki nämä polut jonkin solmuprin välille. Rtkisu: Verkko K 4 näyttää siis tältä: Näin ollen K 4 :n npurimtriisi on 0 A = Tästä seur, että A =, A = , A4 = Jos käytämme esim. mtl/otve: voimme kirjoitt A= ones(4,4)-eye(4) j sitten lske Aˆ j Aˆ4. Mtriisin A n lkio (i, j) kertoo solmust i solmuun j olevien n:n kren pituisten polkujen lukumäärän. Näin ollen tässä verkoss khen eri solmun välillä on 7 polku, joien pituus on, j 0 polku, joien pituus on 4. Kolmen skeleen polut solmujen j välillä ovt seurvt: Verkkotehtävät : Muistthn myös verkkotehtävät! Kuues j viimeinen tehtäväsrj sulkeutuu mnntin.4. klo