Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou tehtävä rataisua o joi lasu. Pelä vasaus ilma perusteluja o yleesä vai puolet tehtävästä, toi poieusiai löytyy. 1. Lase ilma lasita: (a ( 3 3! 2 2!(3 2! 3 (b ( 5 3 (c 5! 3!(5 3! 5 4 3 2 1 3 2 1 2 1 1 ( 2 2! 12 12!8! 2 19 18 17 16 15 14 13 8 7 6 5 4 3 2 1 19 17 15 2 13 12597 (d ( 7 7! 3 3!4! 7 6 5 4 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1 35 2. Selitystehtävä : Kesi ertomus jossa esiityy seuraavat lasut. (a ( 732 23 (b 2 19 18 17 (c 2! Rataisu: Kyseessä siis hiema ehä erilaie tehtävä. Ideaa oli lähiä seleyttää ombiatoriiassa esiityviä lasuja. Tariat liittyivät lähiä valitsemisee, uha oli ymmärtäyt mitä lasuilla voi lasea ii meleimpä miälaie taria tahasa elpasi. Esimerisi: Mies mei auppaa ostamaa 23 tiaria. Kosa aupassa oli 723 erilaista tiaria miehellä oli ( 732 23 tapaa valita arisa. Kotimatalla mies söi olme tiaria. Päästyää otii hä järjesti loput siististi rivii eittiö pöydälle. Järjestämistapoja häellä oli 2!. Pia miehe oviello soi ja häe eljä aapuriaa marssivat sisää. Nähdessää arit pöydällä he halusivat maistiaises. Mies joutui atamaa joaiselle yhde, tapoja tehdä jao häellä oli 2 19 18 17. 3. Kerhossa o 25 jäsetä. Kuia moella eri lailla voidaa valita: (a Neliheie johtouta (b Puheejohtaja, sihteeri, varapuheejohtaja ja rahastohoitaja. 1
Rataisu: Lisää valitoja. Tehtävässä oleellisita oli ymmärtää että jos valitaa johtoutaa specifioimatta rooleja ii valitajärjestysellä ei ole väliä. Johtouta jossa o heilöt A, B, C, D o sama ui se jossa o B, C, D, A. Eli a ohdassa vaihtoehtoja o: ( 25 4 1265 b ohdassa taas valitajärjestysellä o väliä. Nyt o eri asia valitaao heilö A puheejohtajasi tai sihteerisi. Vaihtoehtoja valioille o 2 19 18 17 11628. Kute voi odottaaii eri vaihtoehtoja o eemmä ui a ohdassa. 4. Kuia mota eri saaa voidaa muodostaa saoista: (a Idutio (b Disreetti (c Matematiia (d Abraadabra Rataisu: Toie lassie (aiai tällä urssilla esimeri ombiatoriiasta äytäössä. Jos aii irjaimet olisivat erit ii tehtävä voisi ajatella site että pitää suorittaa (a ohdassa 8 eri valitaa sille miä irjai meee millei paialle. Tämä lisäsi jos olemme erra valieet irjaimelle paia, emme voi valita sitä uudellee. Tämä taroittaa että esimmäisesi irjaimesi voidaa valita 8 jouosta, toisesi 7 etc. Yhteesä 8! eri valitoja. Kuitei yt u o samoja irjaimia meidä täytyy vielä ottaa e huomioo. Saassa idutio o 2 I:tä. Eli joaista permutaatiota missä I:t ovat tietyssä järjestysessä ohti muaa o myös toie joa o muute sama paitsi että I:t ovat toisi päi. Jos jaamme siis aie 2:lla ii saamme eri permutaatioide määrä. (Huom! aoe o hiema hämäävä, itse asiassa me jaamme 2! osa jos samoja irjaimia o ii e voi järjestää! tavalla. Käydää yt läpi tehtävie lasut: (a 8! 2! (b 1! 2!2!2! (c 12! 3!2!2!2!2! (d 11! 5!2!2! 5. Kuia mota saaa voidaa muodostaa saasta MIMMI jos irjaimia saa jättää äyttämättä. Rataisu: Perusidealtaa samalaie ui edellie tehtävä, uitei tässä saa olla taraa, eri pituiset saat aattaa äsitellä eri tapausia: 5 irjaita : Vaihtoehtoja 5 irjaimiselle saalle o: 4 irjaita : 5! 3!2! 1 2
Neljä irjaimisia saoja voidaa muodostaa ahdella eri lailla. Joo jätetää ysi i tai ysi m pois. Nämä tapauset ovat toistesa poissulevia osa samaa aiaa ei voida jättää pois seä i :tä ja m :ää. Yhteesä saadaa siis 4! 3! 4! 2!2! 4 6 1 3 irjaita : Nyt vaihtoehtoja alaa olla jo hiema eemmä. Nyt voidaa joo jättää pois 2 m :ää, 2 i :tä tai 1 m :ä ja 1 i. Yhteesä tapausia saadaa siis: 3! 3! 3! 2! 3! 2! 7. 2 irjaita : Vielä eemmä vaihtoehtoja. Joo poistetaa 3 ertaa m. 2 ertaa m ja 1 i :ä, erra m ja asi ertaa i. Yhteesä: 2! 2! 2! 2! 2! 4 1 irjai : Eää asi vaihtoehtoa. Joo poistetaa 3 m:ää ja 1 i tai 2 i:tä ja 2 m:ää. Yhteesä 1 1 2 tapausta. Nyt saadaa siis tehtävä ysymä saoje määrä eri tapausie summaa. Eli 1 1 7 4 2 33 tapausta. 6. Kolmea oppaa heitetää, uia mota lopputulosta o mahdollista saada u: (a Nopat ovat sama värisiä. (b Nopat ovat eri värisiä. Rataisu: Aia samatapaie tehtävä ui johtouta tehtävä. Tässä tapausie eroa o että u opat ovat sama värisiä emme voi erottaa lopputuloisa jossa o muaa samat silmäluvut eri järjestysessä. Meidä täytyy siis jaaa aiista mahdollisuusista pois eri tavat järjestää 3 oppaa (3!. Yhteesä saadaa siis: (a 63 3! 12 tapaa (b 6 3 216 tapaa 7. Kuia mota eri permutaatiota voidaa muodostaa jouosta {A, C, F, M, P, R, T, X} u: (a Permutaatiolle ei aseteta rajoitusia? (b A: ja C: alioide välissä täytyy olla 2 tai 3 toista aliota. (c A: ja C: välissä ei saa olla 2:ta tai 3:a eri aliota. (d Esimmäiset eljä aliota valitaa jouosta {F, M, C, R, X} (e Alioide A, C, F, M täytyy olla viereäi. Rataisu: Taasi esimeri tehtävästä jossa hiema moimutaisemmat osat aattaa jaaa tapausii. (a Tässä vaiheessa tämä pitäisi sujua rutiiilla, osa meillä ei ole samoja irjaimia eri mahdollisuusia o 8! 432 3
(b Tässä tapoja sijoittaa A ja C site että iide välissä o 2 aliota o 5. Tämä lisäsi utai tapaa ohti A ja C voivat olla ummi päi tahasa. Yhteesä siis 1 eri sijoitustapaa. A: ja C: sijoittamie ii että iide välissä o 3 aliota o 8 eri. Joaista sijoitustapaa ohtaa loput aliot voidaa järjestää 6! eri tavalla. Eri tapoja yhteesä o siis 18 6! 1296 (c Tässä voisi jaaa tapausii jossa välissä o 1, 4, 5, 6 aliota. Kuitei pääsemme helpommalla u huomaamme että tapoje joilla välissä ei ole 2:ta tai 3:a aliota luumäärä saadaa u väheetää aiista tavoista sellaiset joissa A: ja C: välissä o asi tai olme aliota. Eli 8! 1296 2736 tapaa. (d Tässä siis aivattu valita voidaa tehdä ( 5 4 5 tavalla. Joaista valitaa ohti valitut aliot voidaa järjestää 4! eri tavalla ja joaista tälläistä järjestystä ohti loput aliot voidaa järjestää 4! eri tavalla. Yhteesä siis: 5 4! 4! 288 tapaa. (e Nyt voidaa ajatella aliot A, C, F, M yhdesi aliosi. Eli meillä o 5 eri aliota jota pitää järjestää, yhteesä 5! eri tapaa. Kuitei joaista tapaa ohtaa voidaa aliot järjestää 4! eri tavalla. Yhteesä siis 5! 4! 288 tapaa. 8. Kuia mota eri poeriättä voidaa saada paasta jossa ei ole joereita. Rataisu: Taasi valitatehtävä. Meillä( o siis 52 orttia joista meidä pitää valita 52 5 ilma että järjestysellä o väliä. Eli 259896 tapaa. 5 9. Todista että aiille N > ja ( 1 pätee ( ( ( 1 1 1 Rataisu: Tässä yseessä oli itse asiassa Pascali olmio mahdollistava idetiteetti: ( ( ( 1 1 1 Tämä siis ei ole idutiotodistus vaia ehä äyttääi siltä. Tässä saadaa suoraa 4
meaaisesti pyöriteltyä määritelmä avulla: ( (! 1 ( 1!( ( 1!!!(!! ( 1!( 1!!!(!!( ( 1!( 1!(!( 1!( 1(!!( ( 1!(!!( 1 ( 1!(!!(!( 1!(( ( 1 ( 1!(! ( 1!(!!( 1 ( 1!(! ( 1! ( 1!(! ( ( 1! ( 1!( 1 1! ( 1! 1 ( 1!(( 1 ( 1! 1 Joa siis osoittaa se joa pitii. 1. Osoita että aiille N ja pätee: ( ( Rataisu: Tämäi seuraa meleimpä suoraa määritelmistä: ( (!!(!! ( (!(! 11. Päättele edellie tehtävä vielä ombiatorisesti. Rataisu: Tässä haettii saallista selitystä edellise tehtävä havaiolle. Ideaa juri se että meaaisesti määritelmää soveltamalla ei juuri saa ymmärrystä siitä misi homma toimii. Tässä voidaa siis ajatella että meillä o alioie jouo. Nyt tiedetää että voimme valita siitä aliota ( eri tavalla. Mutta toisaalta aia u valitsemme aliota meille jää jäljelle aliota. Eli joaista alioista osajouoa vastaa ysiäsitteie : alio jouo. Eli luumäärä täytyy olla samat. 12. Jalapalloturausee osallistuu 1 jouuetta. Kuia moella tavalla mitalit voidaa jaaa u poislasetaa tasapelie mahdollisuus. Rataisu: Taasi perustehtävä. Tässä tehdää valita, u huomaamme että järjestysellä o väliä, sillä o väliä saao jouue ultaa hopeaa tai prossia. Kullalle meillä o 1 vaihtoehtoa, hopealle 9 ja prossille 8. Yhteesä siis 1 9 8 72 eri tapaa. 5
13. Perustele että (! u ajatellaa että (!(! ertoo uia moella eri lailla voidaa :stä aliosta valita. Rataisu: Meillä o siis alioie jouo ja haluamme valita siitä aliota. Esimmäie alio voidaa valita :stä, toie 1:stä j..e es viimeie voidaa valita ( 1:stä. Yhteesä ( 1 ( 2... ( 1! (! eri vaihtoehtoa. Näissä o uitei muaalasettu sellaiset valiat jossa samat aliot ovat muaa valittua eri järjestysessä. Tälläisiä opioita o yhteesä! appaletta. Eli yhteesä! (!!!!(! 14. Luoalta jossa o 17 tyttöä ja 12 poiaa valitaa jouue joho tulee 2 tyttöä ja 2 poiaa. Kuia moella eri lailla tälläie valita voidaa tehdä. Rataisu: Aia perustaso tehtävä taas. Huomaa että järjestysellä ei tässä ole väliä. Eli pojat voidaa valita ( ( 12 2 tavalla ja joaista valitaa ohti voidaa tytöt valita 17 2 tavalla. Yhteesä: ( ( 17 12 8976 2 2 eri tapaa. 15. Oloot, l, m N ja l m osoita että o voimassa: ( ( ( ( 1 1 1, l, m ( 1, l, m, (l 1, m, l, (m 1 Rataisu: Lisää pyörittely tehtäviä, uha muistaa määritelmä ii tehtävä o ysiertaie: ( ( ( 1 1 1 ( 1, l, m, (l 1, m, l, (m 1 ( 1! ( 1! ( 1! ( 1! ( 1!l ( 1!m ( 1!l!m!!(l 1!m!!l!(m 1!!l!m!!l!m!!l!m! ( 1! ( 1!l ( 1!m ( 1!( l m!l!m!!l!m! ( 1!(! (!l!m!!l!m!, l, m 16. Todista biomilause. Eli että aiille N ja x, y R pätee: ( (x y x y 6
Rataisu: Astetta haastavampi idutiotodistus. Nyt siis taroitusea pitää x ja y mielivaltaisia mutta vaioia ja idusoida :ää. Perusmuoto todistusessa o täysi sama u muissai idutiotodistusissa, mutta aattaa miettiä summameri äyttöä tarasti: Oloot siis x, y R mielivaltaisia. (a Perustapaus:. tällöi: { (x y 1 ( x y ( x y 1 (b Oletetaa yt että väite pätee jollei. Eli ( (x y x y Lähdetää yt maipuloimaa lauseetta arvolle 1. Huomaa idutiooletuse äyttö. ( (x y 1 (x y(x y (x y x y ( ( x x y y x y ( ( x 1 y x y ( 1 1 ( ( x y ( 1 1 1 ( ( x y 1 1 1 ( x y ( 1 1 (( ( 1 1 ( 1 1 1 ( 1 x y 1 x y 1 x y ( 1 1 1 x y 1 ( x y ( 1 1 ( x 1 y ( 1 1 ( ( x 1 y ( 1 ( 1 x 1 y ( 1 ( 1 1 7 x y ( 1 x y ( 1 x y ( 1
Tämä aattaa luea läpi tarasti. Tässä o siis esi hajotettu summa. Tämä jälee muoattu termejä jotta päästäisii äyttämää idetiteettiä (( ( ( 1 1 u 1. Tämä ei ole täysi sama ui aiasemmi todistettu, mutta evivaletti se assa (jätetää luijalle verifioitavasi. Tämä jälee saadaa vielä puuttuvat termit iistä jota aiasemmi poistettii summasta, tämä osa ( 1 ( 1. Lopulta ollaa siis saatu idutiotodistuse vaatima: oletusesta seuraa 1 joa yhdistettyä perustapausee taroittaa että väite pätee aiille N. 17. Osoita että aiille N ( ja ( ( 1 1 ( 1 Rataisu: Tämä tehtävä olisi ehä ollut hyödyllisempi ee edellistä idutio todistusta. Tässäi voi suoraa pyöritellä määritelmistä tai perustella sillä että riippumatta alioide määrästä jouosta voidaa valita aii aliot tai aliota täsmällee yhdellä tavalla. 18. Osoita että aiille N ( 2 Rataisu: Tähäi olisi mahdollista tehdä melo haalaho idutiotodistus. Kuitei helpommalla pääsee u soveltaa biomiaavaa: aetaa imittäi x ja y olla 1. Tällöi biomiaava ataa: ( ( 1 1 (1 1 2 Tämä osoittaa siis se että alioisesta jouosta voidaa valita eri ooisia alijouoja yhteesä 2 eri tavalla. Eli P(A 2 19. Lase aui: (x 3 7 8
Rataisu: Tämäi meee suoraa biomiaavalla: 7 ( 7 (x 3 7 x 3 7 ( ( ( ( 7 7 7 7 x 3 7 x 1 3 6 x 2 3 5 x 3 3 4 1 2 3 ( ( ( ( 7 7 7 7 x 4 3 3 x 5 3 2 x 6 3 1 x 7 3 4 5 6 7 3 7 7x3 6 21x 2 3 5 35x 3 3 4 35x 4 3 3 21x 5 3 2 7x 6 3 1 x 7 3 2187 513x 513x 2 2835x 3 945x 4 189x 5 21x 6 x 7 2. Miä o termi x 1 y 7 erroi (x 2 3y 12 ehitysessä. Rataisu: Taas biomiaava sovellusta: 12 ( 12 (x 2 3y 12 (x 2 (3y 12 Nyt x 1 y 7 vastaa edellisessä summassa sitä u 5. Eli: ( 12 (x 2 5 (3y 12 5 173214x 1 y 7 5 21. Todista vielä että aiille p R pätee: ( p (1 p 1 Rataisu: Biomiaava o vahva työalu. Se elpaa imittäi tähäi. Aetaa biomiaavassa x p, y (1 p. Nyt: ( x y ( p (1 p (p (1 p 1 1 9