3 Lukujonot matemaattisena mallina
|
|
|
- Matti Hovinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie lukujoo, joka yleie jäse o 4 d) Ei kumpikaa.
2 65. a) Aritmeettise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a 6 differessi d 3 ( 6) 3. Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a 6 ( ) Lasketaa lukujoo 0. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. a
3 b) Geometrise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a 6 suhdeluku 3 q 6 Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a 6 Lasketaa joo 5. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. a
4 66. a) Aritmeettise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a 3 differessi d 3 5. Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a 3 ( ) ( 5) Lasketaa lukujoo 0. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. a
5 b) Aritmeettise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a 3 differessi 3) ) 3 d Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a ( ) 3 6 ) Lasketaa lukujoo 0. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. 0 a
6 67. a) Geometrise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a 5 0 suhdeluku q. 5 Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a 5 Lasketaa joo 4. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. 4 3 a
7 b) Geometrise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a suhdeluku q Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a 3 4 Lasketaa joo 4. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee a
8 68. a) Joo kolmaelle jäseelle voidaa muodostaa lauseke esimmäise jäsee ja differessi avulla. a3 4 (3) d 4 d Kolmae jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa differessi d. a3 6 4d 6 d 0 : d 5 Muodostetaa joo yleie jäse. a 4 ( ) b) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja tutkitaa, voiko luku 6 olla joo jäse. a :5 7 Koska ratkaisuksi saatu : arvo o positiivie kokoaisluku, luku 6 o lukujoo jäse.
9 c) Muodostetaa epäyhtälö a 40 ja ratkaistaa siitä : Suuri kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö ratkaisu o 9, jote joo 9 esimmäistä jäsetää ovat pieempiä kui 40.
10 69. a) Joo viideelle jäseelle voidaa muodostaa lauseke esimmäise jäsee ja differessi avulla. a3 (5) d 4d Viidee jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa differessi d. a5 6 4d 6 4d 8 :4 d b) Muodostetaa joo yleie jäse. a ( ) ( ) ( ) 4 Lasketaa joo 500. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. a
11 c) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja tutkitaa, voiko luku 38 olla joo jäse. a :( ) Koska ratkaisuksi saatu : arvo o positiivie kokoaisluku, luku 38 o lukujoo jäse.
12 70. a) Joo viideelle jäseelle voidaa muodostaa lauseke toise jäsee ja differessi avulla. a5 3 (5) d 3 3d Viidee jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa differessi d. a5 5 33d 5 3d :3 d 4 Joo toiselle jäseelle voidaa muodostaa lauseke esimmäise jäsee ja differessi avulla. a a ( ) 4 a 4 Toise jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa joo esimmäie jäse. a 3 a 43 a
13 b) Muodostetaa joo yleie jäse. a ( ) Lasketaa, kuika mota joo jäseistä o pieempää kui luku 50. Muodostetaa epäyhtälö ja ratkaistaa. a : esimmäistä jäsetä o pieempää kui 50, jote 4. jäse o esimmäie jäse, joka o suurempi kui 50.
14 7. a) Lukujoo kahde peräkkäise jäsee erotus o 3 eli differessi d 3. Joo kolmaelle jäseelle voidaa muodostaa lauseke esimmäise jäsee ja differessi avulla. a a (3 ) 3 a 6 3 Kolmae jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa joo esimmäie jäse. a3 9 a 69 a 3 Muodostetaa joo yleie jäse. a 3 ( )
15 b) Lukujoo kahde peräkkäise jäsee suhde o 3 eli suhdeluku q 3. Joo kolmaelle jäseelle voidaa muodostaa lauseke esimmäise jäsee ja differessi avulla. a a 3 a 3 a Kolmae jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa joo esimmäie jäse. a3 9 a 99 :9 a Muodostetaa joo yleie jäse. a 3 3
16 7. a) Geometrise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a suhdeluku q 4 4 Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a b) Lasketaa joo 9. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. a , c) Muodostetaa epäyhtälö a 0,00 ja ratkaistaa , , esimmäistä joo jäsetä o pieempi kui 0,00.
17 73. a) Yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa joo esimmäie jäse a ja suhdeluku q. Kahde tiedo selvittämiseksi tarvitaa kaksi yhtälöä. Kirjoitetaa joo kolmas ja seitsemäs jäse esimmäise jäsee ja suhdeluvu avulla. a a q a q a a q a q Koska a3 jaa7 6, saadaa kaksi yhtälöä, jotka molemmat pitävät paikkasa samalla lukujoolle. Yhtälöistä voidaa muodostaa yhtälöpari. a a a q 6 a q 6 a ja q tai a ja q 4 4 O siis olemassa kaksi lukujooa, jotka toteuttavat aetut ehdot. Lukujoo yleie jäse o: a tai a ( ) 4 4
18 b) Piirretää lukujoot samaa koordiaatistoo. a 8 6 a = a = ( ) 4 Kuvaajie perusteella lukujoo a 4 arvot ovat aia positiivisia. c) Ku joo jäseet ovat suurempia kui , ämä toteuttavat ehdo a , Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo, o luku. Lukujoo. jäseestä alkae jäseet ovat siis suurempia kui
19 74. a) Yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa joo esimmäie jäse a ja suhdeluku q. Kirjoitetaa joo kolmas jäse esimmäise jäsee ja suhdeluvu avulla. a a q a q 3 3 Kolmae jäsee arvo tuetaa, jote muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa joo esimmäie jäse. a3 4 3 a 4 6 a 9 Muodostetaa joo yleie jäse. a b) a
20 c) a a = ( ) d) Ku joo jäseet ovat suurempia kui 000, ämä toteuttavat ehdo a ,37... Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo 8,37... o luku 9. Lukujoo 9. jäseestä alkae jäseet ovat siis suurempia kui 000.
21 75. a) Yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa joo esimmäie jäse a ja differessi d. Kahde tiedo selvittämiseksi tarvitaa kaksi yhtälöä. Kirjoitetaa viides ja 3. jäse esimmäise jäsee ja differessi avulla. a5 a(5 ) d a4d a a (3 ) d a 3d 3 Koska a5 45 ja a3 06, saadaa kaksi yhtälöä, jotka molemmat pitää paikkasa samalla lukujoolle. Yhtälöstä voidaa muodostaa yhtälöpari. a a a a d 45 3d 06 a 3 ja d 8 Lukujoo yleie jäse o: a 3 ( ) b) a
22 c) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja tutkitaa, voiko luku 6933 olla joo jäse. a Koska vastaukseksi tuli positiivie kokoaisluku, luku o joo jäse. d) Ku joo jäseet ovat pieempiä kui , ämä toteuttavat ehdo a ,375 Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo 9 374,375 o luku Lukujoo 9374 esimmäistä jäsetä ovat pieempiä kui
23 76. a) Yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa joo esimmäie jäse a ja differessi d. Kahde tiedo selvittämiseksi tarvitaa kaksi yhtälöä. Kirjoitetaa toie ja viides jäse esimmäise jäsee ja differessi avulla. a5 a(5 ) d a4d a a ( ) d a d Koska a5 6 ja a, saadaa kaksi yhtälöä, jotka molemmat pitää paikkasa samalla lukujoolle. Yhtälöstä voidaa muodostaa yhtälöpari. a a a a 5 6 4d 6 d 8 4 a ja d 3 3 Lukujoo yleie jäse o a ( )
24 b) Yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa joo esimmäie jäse b ja suhdeluku q. Kahde tiedo selvittämiseksi tarvitaa kaksi yhtälöä. Kirjoitetaa joo toie ja viides jäse esimmäise jäsee ja suhdeluvu avulla. b b q b q b b q b q Koska b jab5 6, saadaa kaksi yhtälöä, jotka molemmat pitävät paikkasa samalla lukujoolle. Yhtälöistä voidaa muodostaa yhtälöpari. b b5 6 b q 4 b q 6 b ja q Lukujoo yleie jäse o: b
25 c) a b = 4 a =
26 77. a) Joo o aritmeettie joo, koska seuraavaa kerroksee tulee aia 4 juomalasia eemmä kui edellisee kerroksee. Joo differessi o siis d 4 ja esimmäie jäse o a. Muodostetaa joo yleie jäse. a ( ) (kpl) b) Sijoitetaa = 3 joo yleisee jäseee. a Pyramidi 3. kerroksessa o 89 juomalasia. c) Tutkitaa oko luku 50 joo jäse. a ,5 Koska ratkaisuksi ei tullut positiivie kokoaisluku, luku 50 ei ole joo jäse. Rakeelma kerroksessa ei voi olla 50 lasia.
27 78. a) Joo esimmäie jäse o kirjastoje määrä vuoa 00 eli a 989. Koska kirjastoje määrä väheee vuosittai 6, joo differessi d 6. Muodostetaa joo yleie jäse. a 989 ( ) ( 6) b) Koska vuode 00 kirjastoje määrä o lukujoo esimmäie jäse, jäsee järjestysluku saadaa, ku vuosiluvusta väheetää Tällöi vuode 05 kirjastoje määrä o joo 5. jäse. a
28 c) Ratkaistaa esi, kuika moes lukujoo jäse o arvoltaa yli 850. a ,6875 Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo, o 9. Joo 9 jäse o vuode kirjastoje määrä. Ratkaistaa vielä, moesko lukujoo jäse o pieempi kui 950. a ,4375 Esimmäie jäse, joka toteuttaa ehdo o 4. Joo 4 jäse o vuode kirjastoje määrä. Kirjastoje määrä o kpl vuosia
29 d) Lukujoo kuvaajasta tulee äkyä joo 5 esimmäistä jäsetä. a a =
30 79. a) Koska aritmeettie joo kuvataa esimmäise bussi lähdöstä, joo esimmäie jäse a 0. Koska bussit kulkevat 3 miuuti välei, joo differessi d 3 (mi). Muodostetaa joo yleie jäse. a 0 ( ) (mi) b) Sijoitetaa joo yleisee jäseee =0. a mi Jäsee järjestysluku saadaa, ku kello 6.00 lisätää saatu miuuttimäärä ( 47 mi) 0.07 Kello 0.07 lähtee päivä 0. bussi. c) Lasketaa mota miuuttia kello.0 o kello 6.00:sta h 96 mi Lasketaa, kuika moes joo jäse o 96 o Päivä aikaa tapahtuu 75 lähtöä.
31 80. a) Joo esimmäie jäse a Koska Artturi lyhetää laiaa 80 : maksuerissä, joo differessi o d 80 ( ). Muodostetaa joo yleie jäse. a 40 ( ) ( 80) ( ) b) Laia määrä 3 maksuerä jälkee saadaa sijoittamalla = 3 joo yleisee jäseee. a ( ) 3 maksuerä jälkee laiaa o jäljellä 460. c) Laia maksuerie määrä saadaa laskemalla, millä : arvolla a ,75 9 maksuerällä Artturi takaisi maksaa laia. d) Lasketaa, kuika paljo laiaa o jäljellä 8. maksuerä jälkee sijoittamalla = 8 joo yleisee jäseee. a ( ) Viimeie maksuerä o 60.
32 8. a) Koska vapaa-aja matkoje määrä lisäätyy vuosittai aia yhtä mota prosettia, voidaa matkoje määriä kuvata geometrise joo avulla. Lukujoo esimmäie jäse o matkoje määrä vuoa 05 eli a Matkoje määrä lisäätyy joka vuosi,6 %, jote prosettikerroi eli joo suhdeluku o 00 %,6 % 0,6%,06. Muodostetaa lukujoo yleie jäse. a ,06 b) Lasketaa esi kuika moes joo jäse o vuode 00 ulkomaamatkoje määrä Lasketaa joo 6. jäse. 6 a , ,
33 c) Ratkaistaa epäyhtälö a , , Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka täyttää ehdo o 0. Lasketaa miä vuoa suomalaiste ulkomaamatkoje määrä o joo 0. jäse
34 8. a) Koska pääoma kasvaa joka vuosi,5 %, jote prosettikerroi eli joo suhdeluku o 00 %,5 % 0,5%, 05 Lukujoo esimmäie jäse o vuode kuluttua oleva pääoma, joka o a 8000, Muodostetaa lukujoo yleie jäse. a 800,05 800,05, ,05 ( ) b) Sijoitetaa joo yleisee jäseee = 0. a , , c) Ratkaistaa epäyhtälö a , ,40... Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka täyttää ehdo o 7. Sijoitustilillä o yli vuode kuluttua.
35 83. a) Aritmeettise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a differessi d 6 4 Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a ( ) Lasketaa lukujoo 4. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. a b) Geometrise joo yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa: joo esimmäie jäse a 6 suhdeluku q 3 Muodostetaa joo yleise jäsee lauseke. a 3 Lasketaa joo 4. jäse sijoittamalla järjestysluku yleise jäsee lausekkeesee. 4 3 a
36 84. a) Kahde tiedo selvittämiseksi tarvitaa kaksi yhtälöä. Kirjoitetaa kolmas ja kuudes jäse esimmäise jäsee ja differessi avulla. a6 a(6 ) d a5d a a (3 ) d a d 3 Koska a6 5jaa3, saadaa kaksi yhtälöä, jotka molemmat pitää paikkasa samalla lukujoolle. Yhtälöstä voidaa muodostaa yhtälöpari. a6 5 a3 a 5d 5 a d a 5jad b) Lukujoo yleie jäse o a 5 ( ) 5 7. c) a
37 d) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja tutkitaa, voiko luku 03 olla joo jäse. a : 55 Koska vastaukseksi tuli positiivie kokoaisluku, luku 03 o joo jäse. e) Ku joo jäseet ovat pieempiä kui 80, ämä toteuttavat ehdo a : Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo o luku 43. Lukujoo 43 esimmäistä jäsetä ovat pieempiä kui 80.
38 85. a) Yleise jäsee muodostamiseksi tarvitaa joo esimmäie jäse a ja suhdeluku q. Kahde tiedo selvittämiseksi tarvitaa kaksi yhtälöä. Kirjoitetaa joo kolmas ja kuudes jäse esimmäise jäsee ja suhdeluvu avulla. a a q a q a a q a q Koska a3 ja a6, saadaa kaksi yhtälöä, jotka molemmat pitävät paikkasa samalla lukujoolle. Yhtälöistä voidaa muodostaa yhtälöpari. a a a q 5 a q q ja a 5 48 Lukujoo yleie jäse o: a
39 b) a 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 5 4 a = ( ) , c) a , , d) Ku joo jäseet ovat pieempiä kui 0,000, ämä toteuttavat ehdo a 0, , ,35... Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo o luku 40. Lukujoo 40. jäseestä alkae jäseet ovat siis pieempiä kui 0,000.
40 86. a) Koska asutokata o kasvaut joka vuosi sama verra, lukujoo o aritmeettie, joka differessi o d Lukujoo esimmäie jäse o asutokata 990. Vuode 03 asutokata o joo jäse. Kirjoitetaa joo 4. jäse esimmäise jäsee ja differessi avulla. a a (4 ) a Koska tiedetää vuode 03 asutokata, muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa a. a a a 6 000
41 b) Muodostetaa lukujoo yleie jäse. a ( ) a a = Tarkasteltava aikaväli o , jossa o 4 jäsetä. c) Ratkaistaa epäyhtälö a ,8 Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo o luku 34. Lasketaa, mikä vuosi tuolloi o
42 87. a) Koska työttömie määrää pyritää vähetämää vuosittai aia yhtä mota prosettia, voidaa työttömie määriä kuvata geometrise joo avulla. Työttömie määrä väheee joka vuosi 6,5 %, jote prosettikerroi eli joo suhdeluku o 00 % 6,5 % 93,5% 0,935 Lukujoo esimmäie jäse a Muodostetaa lukujoo yleie jäse. a ,935 b) Lasketaa, kuika moes joo jäse 05 vuode työttömie määrä o Lasketaa joo. jäse. a , , Vuoa 05 työttömie määrä o 9 000
43 c) Puolet vuode 05 työttömie määrästä o Ratkaistaa epäyhtälö a , , Esimmäie positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo o luku. Lasketaa, mikä vuosi tuolloi o
44 3. Aritmeettie summa 88. a) Joo esimmäie jäse o a. Joo differessi o d 6 4. Muodostetaa joo yleie jäse. a ( ) 4444 b) a c) Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
45 89. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a viimeie yhteelaskettava a 00 yhteelaskettavie määrä 00. Muodostetaa esi lukujoo yleie jäse. a 3 ( ) Viimeie yhteelaskettava voidaa selvittää yleise jäsee avulla. a Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
46 b) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a viimeie yhteelaskettava a 797 yhteelaskettavie määrä. Yhteelaskettavie määrä saadaa selville, ku ratkaistaa viimeise yhteelaskettava järjestysumero. Muodostetaa esi lukujoo yleie jäse. a ( ) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö a 797 ja ratkaistaa siitä : 4 00 Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
47 90. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 0 viimeie yhteelaskettava a 300 yhteelaskettavie määrä. Yhteelaskettavie määrä saadaa selville, ku ratkaistaa viimeise yhteelaskettava järjestysumero. Muodostetaa esi lukujoo yleie jäse. a 0 ( ) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö a 300 ja ratkaistaa siitä : 0 0 Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
48 b) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a viimeie yhteelaskettava a 36 yhteelaskettavie määrä. Yhteelaskettavie määrä saadaa selville, ku ratkaistaa viimeise yhteelaskettava järjestysumero. Muodostetaa esi lukujoo yleie jäse. a ( ) ( 6) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö a 36 ja ratkaistaa siitä : ( 6) 40 Lasketaa summa arvo summakaavalla. S 40 ( 36) ( 9) 4760
49 9. a) Muodostetaa yhtälö summakaava avulla ja lasketaa siitä. S : 5 0 b) Muodostetaa joo 0. jäse joo esimmäise jäsee ja differessi d avulla. a a (0 ) d a 9d 0 Ku tiedetää joo 0. jäsee arvo, muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa siitä d. a0 44 a 9d 44 69d 44 9d 38 :9 d Muodostetaa joo yleie jäse. a 6 ( ) 6 4
50 9. a) Joo esimmäie yhteelaskettava o a b) Joo viimeie yhteelaskettava o a c) Summassa o 0 yhteelaskettavaa. d) Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
51 93. a) Summassa lasketaa yhtee 0 esimmäistä lukujoo jäsetä. Selvitetää yleise jäsee a 8 avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a 8 6. Viimeie yhteelaskettava o a Lasketaa summa arvo summakaavalla. S b) Lasketaa yleise jäsee a 4 avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a Viimeie yhteelaskettava o a Summassa o 30 yhteelaskettavaa. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
52 94. a) Lasketaa yleise jäsee a avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a 3. Viimeie yhteelaskettava o a Summassa o 3 yhteelaskettavaa. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S b) Lasketaa yleise jäsee a avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a Viimeie yhteelaskettava o a Summassa o 5 yhteelaskettavaa. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S 5 6 ( 54) 5 5 ( 30) 750
53 95. a) Muodostetaa joo yleie jäse. a 45 ( ) b) Summassa lasketaa joo 500 esimmäise luvu summa. Esimmäie jäse o aettu a 45, ratkaistaa viimeie yhteelaskettava joo yleise jäsee avulla. a Lasketaa summa arvo summakaavalla. S c) Lasketaa yleise jäsee a 47 avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a Viimeie yhteelaskettava o a Summassa o 47 yhteelaskettavaa. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
54 d) Lasketaa yleise jäsee a 47 avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a Viimeie yhteelaskettava o a Summassa o 9 yhteelaskettavaa. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
55 96. Muodostetaa joo kolmas ja yhdeksäs jäse joo esimmäise jäsee ja differessi avulla. a3 a(3 ) d ad a a (9 ) d a 8d 9 Ku tiedetää a3 5 ja a9 69, muodostetaa yhtälöpari ja ratkaistaa siitä joo esimmäie jäse ja differessi. a a a a a d 5 8d 69 3 ja d 9 Muodostetaa joo yleie jäse. a 3 ( ) 99 Lasketaa joo yleise jäsee avulla viimeise yhteelaskettava arvo. a Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
56 97. a) Muodostetaa esi joo yleie jäse. Joo esimmäie jäse o a 5. Differessi o d 5 7. Yleie jäse a 5 ( ) 7 7. Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. a a 5 (7) (73) S Ratkaistaa epäyhtälö avulla, milloi summa ylittää arvo S (7 3) ,6... tai 38,83... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 39.
57 b) Summista muodostuva lukujoo yleie jäse o S (7 3). Piirretää kuvaaja tämä lukujoo kymmeestä esimmäisestä jäseestä. S (7 + 3) S =
58 98. a) Muodostetaa esi joo yleie jäse. Joo esimmäie jäse a 3 Differessi d 4 ( 3) 8 Yleie jäse a 3 ( ) Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. a a 3 (850) (88) S (94) 9 4 Ratkaistaa epäyhtälö avulla, milloi summa arvo o alle S ,3... tai 84,86... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Suuri positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 84.
59 b) Summista muodostuva lukujoo yleie jäse o S 9 4. Piirretää kuvaaja tämä lukujoo kuudesta esimmäisestä jäseestä. S S =
60 99. a) Muodostetaa joo viides jäse joo esimmäise jäsee ja differessi avulla. 3 3 a5 (5 ) d 4d 4 4 Ku tiedetää joo 5. jäsee arvo, muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa d. 4 a d 4 d 3 Muodostetaa joo yleie jäse. 3 a ( ) Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. 3 S a a
61 Ratkaistaa epäyhtälö avulla, milloi summa arvo o alle S ,45... tai 45,0... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Suuri positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 45. b) Viimeie yhteelaskettava o 36 a
62 00. Muodostetaa yhtälö kolme esimmäise luvu summa summakaavalla ja ratkaistaa siitä joo kolmas jäse a 3. S a a 40 a a Muodostetaa joo kolmas jäse joo esimmäise jäsee ja differessi avulla. a5 40 (3 ) d 40 d Ku tiedetää joo 3. jäsee arvo, muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa d. a d 364 d 6 Muodostetaa joo yleie jäse. a 40 ( ) Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. a a 40 (6 78) S 3 09
63 Ratkaistaa epäyhtälö avulla, milloi summa ylittää arvo S ,64... tai 8,88... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 9.
64 0. a) Kuka taimie määrät eri riveillä muodostavat aritmeettise joo. Joo esimmäie jäse a Joo differessi d Joo yleie jäse a ( ) Ku lasketaa yhtee riveillä olevat taimet, summa voi korkeitaa olla 430. Muodostetaa yhtälö S 430 ja ratkaistaa siitä. ( ) 430 0,73... tai 0,73... Rivie määrä o positiivie kokoaisluku. (0) Jos = 0, S () Jos =, S Kukataimet riittävät 0 rivii. b) 0 rivissä o 400 kukataita, jote taita jää käyttämättä.
65 0. Amada säästöö laitetut rahamäärät eri kuukausia muodostavat aritmeettise joo. Joo esimmäie jäse a 0 Joo differessi d Joo yleie jäse a 0 ( ) Ku lasketaa yhtee säästöö laitetut rahamäärät, summa o vähitää 640. Muodostetaa epäyhtälö S 640 ja ratkaistaa siitä. 0 (5 5) 640 7,57... tai 4,57... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 5. 0 (55 5) b) 5 kuukaudessa Amada säästää S ( ), jote säästöistä jää käyttämättä
66 03. a) Lääkeaokse määrät eri päiviä muodostavat aritmeettise joo. Joo esimmäie jäse a 45 Joo differessi d 5 Joo yleie jäse a 45 ( ) ( 5) 5 50 Lääkekuuri viimeie aos o 5 mg, eli joo jäsee arvo o 5. Muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa. a Lääkekuuri kestää 9 päivää. b) Lasketaa summakaavalla, kuika paljo Eemeli syö kuuri aikaa lääkettä. S mg
67 04. a) Topiakse pyöräilymatkat eri viikoilla muodostavat aritmeettise joo. Joo esimmäie jäse a 65 Joo differessi d 5,0 Joo yleie jäse a 65 ( ) Ku lasketaa yhtee viikkoje pyöräilymatkat, summa pitää olla vähitää 57. Muodostetaa epäyhtälö S 57 ja ratkaistaa siitä. 65 (5 60) 57 37,38... tai,80... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 3. Topias pyöräili 3 viikkoa. b) Lasketaa summa. esimmäisestä joo jäseestä. S 65 (5 60) 0 Viimeisellä viikolla Topias pyöräilee 57 km 0 km 47 km.
68 05. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a viimeie yhteelaskettava a 6 yhteelaskettavie määrä. Yhteelaskettavie määrä saadaa selville, ku ratkaistaa viimeise yhteelaskettava järjestysumero. Muodostetaa esi lukujoo yleie jäse. a ( ) Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö a 6 ja ratkaistaa siitä. 6 Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
69 b) Lasketaa yleise jäsee a 3 avulla esimmäie ja viimeie yhteelaskettava. Esimmäie yhteelaskettava o a Viimeie yhteelaskettava o a Summassa o 0 yhteelaskettavaa. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
70 06. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 4 viimeie yhteelaskettava a 00 yhteelaskettavie määrä 00. Muodostetaa esi lukujoo yleie jäse. a 4 ( ) ( 4) Viimeie yhteelaskettava voidaa selvittää yleise jäsee avulla. a Lasketaa summa arvo summakaavalla. S 00 4 ( 354)
71 b) Lasketaa kuika moe jäsee arvo o eemmä kui 0. Muodostetaa epäyhtälö ja ratkaistaa siitä. a :( 4) 46 4 Esimmäie kokoaisluku, joka toteuttaa ehdo o. Lasketaa esimmäise jäsee summa summakaavalla. S 4 ( 446) 44 4
72 07. a) Joo esimmäie jäse a Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. a a 5 (0 5) S 0 5 Ratkaistaa epäyhtälö avulla, milloi summa ylittä arvo S , tai 00,50... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 0. b) Viimeie yhteelaskettava o a c) Lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä a a 5 (0 5) S 0 5
73 d) Summista muodostuva lukujoo yleie jäse o S 0 5. Piirretää kuvaaja tämä lukujoo kahdeksasta esimmäisestä jäseestä. S S =
74 08. a) Kaarlo luetut sivut eri päiviä muodostavat aritmeettise joo. Joo esimmäie jäse a 5 Joo differessi d 4 Joo yleie jäse a 5 ( ) 4 4 Ku lasketaa yhtee Kaarlo lukemat sivut, summa o vähitää 45. Muodostetaa epäyhtälö S 45 ja ratkaistaa siitä. 5 (4 ) 45 8,63... tai,3... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 3. Kaarlo o lukeut kirja 3 päivä kuluttua. b) päivässä Kaarlo o lukeut S 5 (4 ) 444 Jote viimeiseä päivää Kaarlo luki sivua.
75 09. Tikapuide askelmie leveydet muodostavat aritmeettise joo. Muodostetaa joo viides ja yhdeksäs jäse joo esimmäise jäsee ja differessi avulla. a5 a(5 ) d a4d a a (9 ) d a 8d 9 Ku tiedetää joo viidee ja yhdeksäe jäsee arvot, muodostetaa yhtälöpari ja ratkaistaa siitä a ja d. a5 a4d a9 a8d a 4d 53 a 8d 4 a 65 ja d 3 Joo yleie jäse o a 65 ( ) ( 3) 3 68 Ku lasketaa yhtee askelmie leveydet, summa o 6. Muodostetaa yhtälö S 6 ja ratkaistaa siitä. 65 ( 3 68) 6 3, tai 3 Koska vastaukseksi kelpaa vai positiivie kokoaisluku, jote tikapuissa o 3 askelmaa.
76 3.3 Geometrie summa 0. a) 0 a b) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 3 3 suhdeluku q yhteelaskettavie määrä 0 Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
77 . a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a suhdeluku 8 q 4 yhteelaskettavie määrä Lasketaa summa arvo summakaavalla. S ( 4) ,70 ( 4) 6 b) Lasketaa summa summakaavalla. Summa laskemisee tarvitaa 6 esimmäie yhteelaskettava a suhdeluku q 3 yhteelaskettavie määrä Lasketaa summa arvo. S ,00 3 7
78 . a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 3 4 suhdeluku q 3 3 yhteelaskettavie määrä 0. Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
79 b) Muodostetaa joo yleie jäse. a 3 Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava 5 3 a suhdeluku q 3 3 yhteelaskettavie määrä Lasketaa summa arvo summakaavalla. S
80 3. Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 5 suhdeluku q yhteelaskettavie määrä 3. Ratkaistaa joo 3. jäsee avulla suhdeluku. Muodostetaa esi geometrise joo yleie jäse. a 5 q Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja ratkaistaa q. a q q tai q Kahdelle erilaiselle geometriselle joolle a Lasketaa kummassaki tapauksessa summa arvo. q S q S 3 3 ( ) ( )
81 4. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a suhdeluku 3 3 q yhteelaskettavie määrä Muodostetaa geometrise joo yleie jäse. a 3 Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja ratkaistaa. a b) S
82 5. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 8 suhdeluku 4 q 8 yhteelaskettavie määrä Muodostetaa geometrise joo yleie jäse. a 8 Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja ratkaistaa. a Lasketaa summa summakaava avulla. S
83 b) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 7 suhdeluku q 3 7 yhteelaskettavie määrä Muodostetaa geometrise joo yleie jäse. a 73 Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja ratkaistaa. a Lasketaa summa summakaava avulla. 7 3 S
84 6. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a suhdeluku q yhteelaskettavie määrä 0. Ratkaistaa joo esimmäie jäse summakaava avulla. S 0 0 a a b) Joo yleie jäse o a 5. Viimeie yhteelaskettava o 0 a
85 7. a) Muodostetaa joo yleie jäse. a 6 Lasketaa, kuika mota jäsetä joossa o. a Parittomie summassa yhteelaskettavia o,3,5, 7,9,,3,5. 8 kpl Parillise summassa yhteelaskettavia o, 4, 6,8,0,,4. 7 kpl Parittomie summassa yhteelaskettavia o eemmä.
86 b) Parittomie jäseet saadaa yhtälöstä x, ku,,..., 8. Lasketaa parittomie jäsete summa. Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 6 suhdeluku q yhteelaskettavie määrä 8 S 8 x Parilliset jäseet saadaa yhtälöstä y, ku,,..., 7. Lasketaa parilliste jäsete summa. Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 3 suhdeluku q yhteelaskettavie määrä 7 S 7 y Parittomie jäseie summa arvo o suurempi.
87 8. a) Summa laskemisee tarvitaa joo esimmäie jäse a suhdeluku 0 q yhteelaskettavie määrä. 5 Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. S q 5 5 a q 5 Ratkaistaa epäyhtälö S , Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 8. Tarvitaa siis vähitää 8 jäsetä.
88 b) Summista muodostuva lukujoo yleie jäse o S 5. Piirretää kuvaaja tämä lukujoo kuudesta esimmäisestä jäseestä. S S =
89 9. a) Summa laskemisee tarvitaa joo esimmäie jäse a 80 suhdeluku 64 4 q 80 5 yhteelaskettavie määrä. Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. S 4 q 5 4 a q Ratkaistaa epäyhtälö S ,38... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Suuri positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 9. Summassa voi korkeitaa olla 9 jäsetä.
90 b) Summista muodostuva lukujoo yleie jäse o 4 S Piirretää kuvaaja tämä lukujoo kuudesta esimmäisestä jäseestä. S S 4 = 400 ( ( 5 ) )
91 0. a) Muodostetaa kuude esimmäise jäsee summa ja ratkaistaa siitä joo esimmäie jäse S a a 0
92 b) Summa laskemisee tarvitaa joo esimmäie jäse a 0 suhdeluku 3 q 5 yhteelaskettavie määrä. Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. S 3 q 5 3 a 0 5 q Ratkaistaa epäyhtälö S ,50... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Suuri positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 3. Summassa voi korkeitaa olla 3 jäsetä.
93 c) S S 3 = 5 ( ( 5 ) ) Summa arvot lähestyvät lukua 5.
94 . a) Eri päivie kutomisajat muodostavat geometrise joo. Joo esimmäie jäse a 0 Joo suhdeluku q, Kahdessa viikossa o 4 päivää. Kahde viiko kutomisaja saadaa, ku lasketaa geometrise joo eljätoista esimmäise jäsee summa. S 4 4, 0 559, ,5 mi 9 h 9 mi, b) Joo eljätoista esimmäise jäsee summa tulisi olla 8 h 080 (mi). Esimmäise päivä kutomisaika o a. Muodostetaa summa avulla yhtälö ja ratkaistaa siitä a. S , a 080, a 38, a 39 mi
95 . a) Talletuskerta Tilillä rahaa talletukse tekemise jälkee ( ) , ,09 850, b) Lasketaa joo kymmee esimmäise jäsee summa summakaava avulla. S 0 0, , ,8,09 c) Ratkaistaa epäyhtälö S , , 09 3, Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 4.
96 3. a) Eri viikkoje opiskeluajat muodostavat geometrise joo. Joo esimmäie jäse a, 5 h 90 (mi) Joo suhdeluku q, 05 Kahdetoista viiko opiskeluaika saadaa, ku lasketaa geometrise joo kahdetoista esimmäise jäsee summa. S, ,54... mi 3 h 53 mi,05 b) Eri päivie opiskeluajat muodostavat geometrise joo. Joo esimmäie jäse a 5 Joo suhdeluku q, 03 Kahdessatoista viikossa o 84 päivää. Kahdetoista viiko opiskeluaika saadaa, ku lasketaa geometrise joo 84. esimmäise jäsee summa. S 84 84, ,08mi 9 h 8 mi,03 Aa o opiskellut eemmä.
97 4. a) Suome kasvihuoepäästöje määrä eri vuosia (vuodesta 006) muodostavat geometrise joo. Joo esimmäie jäse a 80 (milj. toia) Suhdeluku q 0,975 Muodostetaa joo yleie jäse. a 80 0,975 Ratkaistaa epäyhtälö a , ,73... Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 6. Lasketaa mikä vuosi tuolloi o
98 b) Lasketaa, kuika paljo Suome kasvihuoepäästöje määrät olivat yhteesä summakaava avulla. S 6 6 0, , (milj. toia) 0,975 Jos Suomi ei olisi vähetäyt kasvihuoepäästöje määrää, e olisivat olleet milj. toia. Suomi siis o vähetäyt kasvihuoepäästöje määrää kuudessa vuodessa , , miljooaa toia hiilidioksidiekvivalettia.
99 5. a) Summa laskemisee tarvitaa esimmäie yhteelaskettava a 3 suhdeluku 3 q 6 yhteelaskettavie määrä Muodostetaa geometrise joo yleie jäse. a 3 Muodostetaa yleise jäsee avulla yhtälö ja ratkaistaa. a Lasketaa summa summakaava avulla. S 3 64
100 6. Muodostetaa geometrise joo 9. jäse joo esimmäise jäsee ja suhdeluvu avulla. 3 3 a9 q q Ku tiedetää joo 9. jäsee arvo, muodostetaa yhtälö ja ratkaistaa suhdeluku q. 3 a q q tai q Kahdelle erilaiselle geometriselle joolle o a Lasketaa kummassaki tapauksessa summa arvo. q q S9 0, ,80 S 9 0, ,
101 7. a) Summa laskemisee tarvitaa joo esimmäie jäse a 3 9 suhdeluku 3 q 3 yhteelaskettavie määrä. Muodostetaa lauseke summalle, ku lasketaa yhtee kappaletta joo jäseiä. S 3 q 3 a 3 6 q 3 Ratkaistaa epäyhtälö 5 S , Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 8.
102 b) Summista muodostuva lukujoo yleie jäse o S 3 6. Piirretää kuvaaja tämä lukujoo kuudesta esimmäisestä jäseestä. S S = 6 ( ( ) )
103 8. a) Elise eri päivie peliaja määrät muodostavat geometrise joo. Joo esimmäie jäse a 00,975 7 Joo suhdeluku q 0,975 Esimmäise viiko peliaja määrä saadaa, ku lasketaa geometrise joo seitsemä esimmäise jäsee summa. S 7 7 0, , mi 0,975 b) Jos Elise ei olisi vähetäyt pelaamista, hä olisi pelaut viiko aikaa mi Häellä jäi aikaa muuhu mi c) Ratkaistaa epäyhtälö S , ,975 40, Järjestysumero o positiivie kokoaisluku. Piei positiivie kokoaisluku, joka toteuttaa epäyhtälö, o 4. 4 päivä kuluttua Elise o pelaut 50 tutia.
2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia
3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3
Harjoitustehtävien ratkaisuja
3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,
3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p
MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka
Geometrinen lukujono. Ratkaisu. a2 = 50 4 = 200 a3 = = 800 a4 = = 3 200
Geometrie lukujoo 7. Geometrise lukujoo esimmäie jäse o = 0 j peräkkäiste jäsete suhde =. Määritä lukujoo kolme seurv jäsetä. = 0 = 00 = 0 = 800 = 0 = 00 8. Geometrie lukujoo lk seurvsti: ), 0, 0, b) 000,
Harjoitustehtävien ratkaisuja
3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,
Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha
Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha
3.6. Geometrisen summan sovelluksia
Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa
R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99.
9. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Erotusluku a = a + ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs termi o 99. 0. Lukujoo rekursiivie
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Jonon neljä ensimmäistä jäsentä saadaan sijoittamalla n= 1, n= 2, n= 3 ja n = 4 lausekkeeseen
TEHTÄVIEN RATKAIUT Luku 5. 0. ) Joo eljä esimmäistä jäsetä sd sijoittmll,, j lusekkeesee +. + + 5 + + 7 + 6+ 9 + 8 + b) ijoitet,, j lusekkeesee + ( ). + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + Vstus: ) 5, 7, 9, b),,,
Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:
Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie
Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan
3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa
117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.
a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o 99. 0. Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse?
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie 1999 Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a 1,a,...,a ja b 1,b,...,b pätee Cauchy epäyhtälö (a 1 b 1 + a
RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)
Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos
Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3
83 Tekijä Pitkä matematiikka 7..07 a) Osoitetaa sijoittamalla, että yhtälö toteutuu, ku x =. + 6= 0 6 6= 0 0= 0 tosi Luku x = toteuttaa yhtälö x + x 6= 0. b) Osoitetaa ratkaisemalla yhtälö. x + x 6= 0
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
Kertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,
Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu
83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi
1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2
Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku
Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.
POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat
ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S
3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki
Insinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Aritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 =
Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto
Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7
10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.
10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).
****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.
3 Lainat ja talletukset
3 Laiat ja talletukset Korkolasku 17. 0,8 3 = 64,96 ( Lähdevero määrä pyöristetää alaspäi täysii kymmeii setteihi. Lähdeveroa peritää 64,90. 173. 0,05 1 6 = 40,5 ( a 0,8 40,5 = 11,7 ( Lähdeveroa peritää
Tehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut
MAB5: Tuusluvut 3.2 Sijaitiluvut Sijaitiluvut ovat imesä mukaiset: e etsivät muuttuja tyypillise arvo, jos sellaie o olemassa, tai aiaki luvu, joka lähellä muuttuja arvoja o eite. Sijaitiluvut jaetaa kahtee
LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia
Todeäköisyyslasketa I, kesä 207 Helsigi yliopisto/avoi yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia. Aikaisemma viiko teemaa. Edessäsi o kaksi laatikkoa A ja B. Laatikossa A o 8 palloa, joista puolet valkoisia.
xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).
Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka
2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt
Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,
Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231
Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.
POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.
5 Kertaus: Matemaattisia malleja
5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5. Kurssin keskeiset asiat. a) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = ja pisteen (0, 3) avulla. y ( 3) ( x 0) y 3 x y x 3 b) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin
YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA
YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9
TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI
TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI Sisällysluettelo 1 Prosettilasketa ja verotus 3 Prosettilasketa 3 Verotus 18 2 Hiat ja raha arvo 23 Ideksit 23 Euro ja muut valuutat 39 3 Laiat ja talletukset 52
3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.
MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu
81112A Tietoraketeet ja algoritmit, 217-218, Harjoitus 4, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä 4.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje
määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.
Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.
dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät 2014 1. Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux +
= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.
.. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi
5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat
2 5. Lieaarise optimoii perusprobleemat Optimoitiprobleema o lieaarise optimoii tehtävä, jos kohdefuktio o lieaarie fuktio ja rajoitusehdot ovat lieaarisia yhtälöitä tai lieaarisia epäyhtälöitä. Yleisessä
Ruletti ja Martingaalistrategia
POHDIN projekti Ruletti ja Martigaalistrategia Ruletti o uhkapeli, jossa pelaaja pyrkii veikkaamaa kuula pysähtymiskohda pyörivältä kehältä. Euroopassa käytettävässä ruletissa o käytössä 37 umeroa (0-36)
3.7. Rekursiivisista lukujonoista
.7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti
T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi
SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa
Aritmeettinen summa Laske. a) b) 23 + ( 24) + ( 25) + ( 26) + ( 27) + ( 28) Ratkaisu.
Aritmeettinen summa 403. Laske. a) 101 + 103 + 105 + 107 + 109 + 111 b) 3 + ( 4) + ( 5) + ( 6) + ( 7) + ( 8) a) 636 b) 153 404. ijoita ensimmäinen yhteenlaskettava a1, viimeinen yhteenlaskettava an sekä
1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia
9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT
9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT ALOITA PERUSTEISTA 370A. Kunnallisveroprosentti oli 19,5, joten 31 200 tuloista oli maksettava kunnallisveroa 0,195 31 200 = 6084. Vastaus: 6084 euroa 371A. a) Hajuveden
MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.
MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan
Generoivista funktioista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Maria Kyröläie Geeroivista fuktioista Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tamperee yliopisto Iformaatiotieteide yksikkö KYRÖLÄINEN, MARIA: Geeroivista
3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse
= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA
Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
TILASTOT: johdantoa ja käsitteitä
TILASTOT: johdatoa ja käsitteitä TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Tilastotietee tehtävää o esittää ja tulkita tutkimuskohteesee liittyvää havaitoaieistoa eli tilastoaieistoa. Tutkitaa valittua joukkoa ja se
Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
![Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)](/thumbs/39/18474355.jpg "Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)")
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
Tarkastellaan ympyräsylinterin käyttäytymistä eri muotoisilla tukipinnoilla. Oletetaan sylinterin vierintävastus merkityksettömäksi.
NURJAHDUS ERUSKÄSITTEITÄ Katava raketee mitoitusperusteet ovat ujuus jäitykset eivät ylitä iille sallittuja arvoja Jäykkyys siirtymät ja muodomuutokset pysyvät ealta määrätyissä rajoissa Stabiilius raketee
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.
MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen
Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)
10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista