Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Transkriptio

1 Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus, eli että väite pätee alkuarvolla, joka tässä tapauksessa o =. Ja että jos väite pätee arvolla = ii se pätee myös arvolla = +. Nämä seikat ku ymmärtää ii osaa periaatteessa tehdä kaikki, aiaki hiema yksikertaisemmat iduktiotodistukset. (a) Osoitetaa esi että väite pätee arvolla =. Tämä tehdää tutkimalla aetu yhtälö molempia puolia eriksee: k = (+) = = Koska molemmat puolet olivat samat ii todistettava väite siis pätee arvolla =. (b) Nyt sitte toie osa. Nyt oletetaa että väite pätee jolleki mielivaltaiselle =. Toisi saoe oletetaa että k = ( + ) Nyt pitäisi osoittaa että se pätee myös arvolle +. Lasketaa: + k = k + ( + ) Nyt voimme käyttää oletustamme ja jatkaa: k + ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + )( + ) Saatii siis: + k = ( + )( + ) = ( + )(( + ) + )

2 Joka oli täsmällee sitä mitä piti osoittaa. Nyt olemme siis a kohdassa osoittaeet että väite pätee arvolle ja b kohdassa että jos se pätee jolleki arvole ii se pätee myös seuraavalle, eli voimme soveltaa b. kohdaa aia uudestaa, esi todetaksemme että se pätee arvolle, sitte arvolle 3 etc.. Osoita iduktiolla että: = ( + )( + ) Ratkaisu: Tekiikaltaa täysi samalaie tehtävä. Voimme aloittaa kirjoittammalla se summamerkillä, pitää siis osoittaa että: = Sovelletaa samaa tyyliä kui äske: k = (a) Perustapaus: Jos = ii: { k = = (+)(+) = = Eli väite pätee arvolla =. ( + )( + ) (b) Nyt oletetaa taas että väite pätee mv. =. Eli oletetaa (ämä kaattaa yleesä kirjoittaa itsellee äkyvii): k = ( + )( + ) Nyt pitäisi taas osoittaa että se pätee arvolle +. Lasketaa (huomaa että viimeie termi o korotettua toisee potessii, huomaa myös missä kohtaa käytetää oletusta): + k = k + ( + ) = ( + )( + ) + ( + ) = ( + )( + ) + ( + ) = ( + )( ( + ) + ( + )) = ( + )(( ) ) = ( + )(( ) ) = ( + )(( ) + 3)( + ) = ( + )(( + ) + )(( + ) + )

3 Taas saatii siis että jos: 3. Laske: (a) (b) Nii silloi: + k = ( + )( + ) k = ( + )(( + ) + )(( + ) + ) Tämä ku yhdistetää a) kohtaa ii iduktiotodistus o siis valmis ja väite pätee kaikille N. Huomaa tehtävie samakaltaisuudet, molemissa lähdettii pyörittelemää + lauseketta site että esi saatii se sellaisee muotoo että voitii käyttää oletusta ja sitte saatii se väittämä vaatimaa muotoo. 00 k k Ratkaisu: Tehtävä idea oli lähiä totuttaa summamerkkii, edellisessä tehtävässä osoitettii kiva kaava eliöide summalle jota tässä voidaa käyttää: (a) (b) 00 k = 00(00 + )((00) + ) = k = k k = 4. Osoita iduktiolla että: 000(000 + )((000) + ) 5(5 + )((5) + ) = k(k + ) = + Ratkaisu: Taas iduktiotodistus. Seurataa tuttua kaavaa: (a) Perustapaus: = jolloi: { + = Eli väite pitää paikkasa arvolla =. = = k(k+) (+) 3

4 (b) Nyt oletetaa taas että väite pätee jolleki =. Ts. oletetaa että: k(k + ) = + Nyt aletaa taas pyöritellä + lauseketta: + k(k + ) = k(k + ) + ( + )( + ) = + + ( + )( + ) = ( + ) + ( + )( + ) = + + ( + )( + ) = ( + ) ( + )( + ) = + + = + ( + ) + Taas oistuttii osoittamaa että jos väite pätee arvolle ii se pätee myös arvolle +. Yhdistettyä a) kohtaa iduktiotodistus o siis valmis ja voidaa vetää johtopäätös että väite pätee kaikille. 5. Osoita iduktiolla että k: ruudu kokoise suklaalevy pilkkomisee osiksi ormaalilla tavalla (viivoja pitki) tarvitaa k katkaisua riippumatta pilkkomistaktiikasta. (Muista että iduktiosta o eri periaatetta) Ratkaisu: Hiema erilaie tehtävä joka tarkoituksea oli osoittaa että iduktiolla voi tehdä muutaki ku todistella summakaavoja. Samalla tutustutaa iduktio toisee periaatteesee. Tässä tehtävässä ei tarvitse murehtia kovikaa paljo matemaattisista merkiöistä. Riittää ku tajuaa idea, jos ei pysy mukaa ii kaattaa piirtää kuva: (a) Perustapaus: jos suklaalevyssä o k = palaa ii sitä ei tarvitse katkaista kertaakaa, eli tarvittavat katkaisut ovat 0 = ja väite pätee. (b) Iduktio oletus, yt tehdää vahvempi iduktioletus, eli oletetaa että kaikille suklaalevyille jossa o tai vähemmä paloja väite pätee. (Ts. oletetaa väittee paikkasapitävyys ku k. Nyt jos tarkastellaa levyä jossa o + palaa ii voimme katkaista se kerra ja tuottaa levyä joissa o joki määrä ruutuja, saotaa vaikka että yhdessä o a ruutua ja toisessa b. Nyt tiedämme siis että a + b = +. Tämä lisäksi a ja b Eli tiedämme oletuksesta että äide levyje pilkkomisee tarvitaa a ja b katkaisua. Eli yhteesä + ruudu kokoise suklaalevy pilkkomisee tarvitaa + (a ) + (b ) katkaisua. Kuiteki pätee: + (a ) + (b ) = a + b = + = 4

5 koska a + b = +. Olemme yt osoittaeet että oletuksella: ruudu kokoise sulkaalevy pilkkomisee tarvitaa katkaisua voimme johtaa tulokse että + ruudu kokoise levy pilkkomiseee tarvitaa + = katkaisua. Iduktiotodistus o täte valmis.. Osoita että kerroksisessa pyramidissa o kiveä. Ratkaisu: Tässä oli hakaluutea lisättävie kivie määrä. Kirjoitetaa esi taulukko jossa vasemmalla o kerros ja oikealla juuri siiä kerroksessa olevie kivie määrä. (Huomaa siis että kyseessä o se kerrokse kivie määrä, ei koko pyramiidi kivie määrä): Kerros Kivie määrä Tästä voisi vetää johtopäätökse että kerroksessa tulee olemaa kiveä. Tämä todistamista ei tehtävässä vaadittu, mutta se huomaamie o olellista tehtävä ratkaisu kaalta: Nyt voimme siis siirtyä taas vahaa tuttuu iduktiotodistuksee, taas kaksi asiaa osoitettavaa: (a) Perustapaus: jos kerroksia o ( = ) ii kiviä o selvästi =. Eli väite pätee. (b) Nyt oletetaa taas että väite pätee arvolle =, eli jos pyramidissa o kerrosta ii kiviä o. Nyt tiedämme aikaisemmasta että jos kerroksisee pyramidii lisätää kerros ii kiviä tulee lisää ( +). Eli + kerroksise pyramidi kivimäärä o sama kui kerroksise plus ( +). Eli oletukse avulla + kerroksisessa pyramidissä o siis kiviä yhteesä: + ( + ) = + + = + + = ( + ) Joka siis osoittaa väittee ja viimeistelee iduktiotodistukse. 7. Osoita esimmäie tehtävä ilma iduktiota. Ratkaisu: Tässä ideaa oli tosiaaki hiema äyttää iduktiotodistukse hyötyjä ja haittoja. Iduktiotodistus o usei hiema helpompi kui joki muu tapa, mutta usei myös vähemmä iformatiivie. Osoitetaa yt esimmäie tehtävä ilma iduktiota, tästä saa toivottavasti paremma kuva siitä miksi kaava pätee. Merkitää S = 5 k

6 Nyt voimme seurata vihjettä ja kirjoittaa: { S = ( ) + ( ) + S = + ( ) + ( ) Voimme laskea ämä kaksi yhtälöä yhtee ja saada: S = (+) +(( )+)+(( )+3)+...+(3+( ))+(+( ))+(+) Nyt ku vielä huomataa että jokaie termi o yhtä kui + ja että termejä o yhteesä kappaletta saadaa siis S = ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) }{{} :kpl ( + ) S = ( + ) S = Joka osoittaa se mitä pitiki. 8. Todista väitteistä e jotka pitävät paikkasa: (a) (k ) = (b) k = (c) (k ) = + Ratkaisu: b) ja c) kohdassa riittää kokeilla arvolla = 0 jolloi huomataa että kaava ei päde (yksi vastaesimerkki tai yleie todistus). a) kohta taas pätee, mutta todistus o oleellisesti sama kui pyramiidi tehtävä esitettyä kaavamaisemmi. 9. Osoita iduktiolla että kaikille luoollisille luvuille pätee:! +! ! = ( + )! Ratkaisu: Sitte aletaa harjoitella kertomamerki käyttöä. Muisti virkistykseksi:! = Todistetaa väite jo tutulla iduktiotekiikalla: (a) Perusaskel: ku = ii: {! = = Eli väite pätee. ( + )! =! = =

7 (b) Nyt oletetaa että väite pätee jolleki = Eli oletetaa että! +! ! = ( + )! Tutkitaa yt + :se lauseketta (huomaa taas oletukse käyttö):! +! ! + ( + ) ( + )! = (! +! !) + ( + ) ( + )! = ( + )! + ( + ) ( + )! = ( + )!( + + ) = ( + )!( + ) = ( + )! Huomaa kertoma maipuloiti. Kaikille pätee että (+)! =!(+). Tämä seuraa melkei suoraa määritelmästä. Nyt iduktiotodistus o siis valmis. 0. Osoita iduktiolla että Kaikilla 4! Ratkaisu: Nyt siis tietyssä mielessä hiema erilaie tehtävä. Epäyhtälöide maipuloiti o hyvä osata moella muulla (tärkeimpää ehkä tähä hätää Aalyysi) kurssilla. Huomaa myös että perusaskeleea o = 4 eikä kute aikaisemmi. Lukuuottamatta tätä tehtävä o aika lailla samalaie kui muutki: (a) Perusaskel: ku = 4 ii Eli väite pätee. 4 = 4 = 3 4 = 4! (b) Nyt oletetaa taas että väite pätee jolleki =. Eli että!. Huomaa että 4. Nyt pätee: + =! <! < ( + )! = ( + )! Tässä kaattaa rauhassa miettiä mitä tarkallee o tehty ja miksi tämä osoittaa se mitä haluttii. Olemme kuiteki lähteeeet oletuksesta! ja + saaeet ( + )!, eli olemme edeeet kaikkie iduktio säätöje mukaa.. Mitä vikaa o iduktio todistuksessa jossa osoitetaa kaikki hevoset sama väriseksi? Ratkaisu: Iduktiota verrataa usei domioo. Iduktiotodistuksessa osoitetaa esiksi että esimmäie domiopala kaatuu ja että jos mv. domiopala kaatuu ii sitä seuraavaki kaatuu. Tässä todistuksessa o kuiteki yksi domiopala jääyt välistä. Iduktiooletukse argumetilla ei imittäi ole mahdollista päästä tapauksesta = tapauksee = koska silloi loppujoukossa ei ole hevosia johoka verrata. Eli se takia todistus (joka ituitiivisesti oli pelkää roskaa) ei päde myöskää matemaattisesti. 7

8 . Osoita että kaikille fiboacci luvuille f() pätee: f() < Ratkaisu: Toie epäyhtälötehtävä, kute tuettua iduktiota sovelletaa useimmite vai luoollisii lukuihi, eli meidä pitää itse asiassa osoittaa että kaikille N f() < jossa f() o :es fibboaciluku. (a) Perustapaus: jos = ii f() = ja =, eli f() < ja väite pätee. (b) Nyt täytyy tehdä vahva iduktio oletus (toise periaattee oletus) oletetaa siis että kaikille k fiboacci luvulle pätee: f(k) < k. Jos yt tutkitaa arvoa f( + ) ii saadaa: f( + ) = f( ) + f( ) < + = ( + ) < ( + ) = = + Taaski kaattaa rauhassa miettiä miksi tämä toimii äi. Kuiteki ollaa taas osoitettu kaikki iduktiotodistuksee tarvittava. Eli väite pätee kaikille 3. Osoita että kaikille fiboacci luvuille f() f(3) o parillie. Ratkaisu: Nyt ehkä hiema haastavampi tehtävä. Pitäisi itse asiassa osoittaa että jos o jaollie kolmella ii :es fiboacciluku o parillie. Ei turhaa kaata pelästyä, tuttu iduktiotodistuste kaava auttaa tässäki: (a) Perustapaus: Jos = ii 3 = 3 ja kolmas fiboacciluku o f(3) = joka o parillie. Väite siis pätee. (b) Taas oletetaa että väite pätee jolleki = eli että f(3 ) o parillie. Huomaa että se että oletamme että luku o parillie tarkoittaa että voimme kirjoittaa f(3 ) = k jolleki k N. Tutkitaa taas arvoa +. Pitäisi osoittaa että f(3( + )) o parillie, tässä käytetää taas fiboacci lukuje määritelmää ahkerasti: f(3( + )) = f(3 + 3) = f(3 + ) + f(3 + ) = f(3 ) + f(3 ) + f(3 ) + f(3 + ) = f(3 ) + f(3 ) + f(3 ) + f(3 ) + f(3 ) = f(3 ) + 3f(3 ) = f(3 ) + 3 k = (f(3 ) + 3k) Pystyimme siis kirjoittamaa luvu f(3( + ) luvu ja joku muu tuloa. Tämä osoittaa että f(3( + ) o parillie, aiva ii kui pitiki. 4. Osoita että kaikille x R x > 0 ja luoollisille luvuille pätee: ( + x) + x Ratkaisu: Tämä voisi osoittaa ilma iduktiotaki vedote esim. biomikaavaa. Mutta harjoitukse vuoksi teemme se iduktiolla. Olkoo siis x R x > 0 mv. 8

9 (a) Perusaskel: Ku = ii ( + x) = + x + x. Eli väite pätee. (b) Oletetaa yt että väite pätee arvolla =. Nyt arvolle + o voimassa: (+x) + = (+x)(+x) + (+x)(+x ) = +x +x+x +x+ x = +( +)x Joka osoittaa väittee. 9