Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Transkriptio

1 Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla, ja niin edelleen. Viimeisessä vaiheessa k valinta voidaan tehdä n k tavalla. Tällöin tuloperiaatteen mukaan valinta voidaan tehdä tasan erilaisella tavalla. n 1 n... n k Esimerkki: Perheessä neljä lasta (ei kaksosia). Millä todennäköisyydellä a) kaikki lapset ovat syntyneet eri viikonpäivinä b) ainakin kaksi syntyneet samana viikonpäivänä. Ratkaisu: a) Viikonpäivät, joina lapset ovat syntyneet (esim. syntymisjärjestyksessä) muodostavat neljän alkion jonon, esim. (ma, ti, pe, ma). Koska viikonpäiviä on 7, tuloperiaatteen mukaan saadaan, että kaiken kaikkia jonoja on = 7 4. Seuraavaksi lasketaan suotuisia tapauksia eli kuinka monta on sellaista jonoa, jossa mikään päivä ei toistu. Vanhemman lapsen syntymäpäivä voi olla mikä vaan seitsemästä eli n 1 = 7. Toinen lapsi ei voi enää olla syntynyt samana viikonpäivänä joten sille on jäljellä n = 6 vaihtoehtoja jne. Tuloperiaatteella suotuisten tapauksien lukumäärä on Todennäköisyys on P = , b) Tämä on a):n vastatapahtuma, joten todennäköisyys on Jonojen lukumäärä P(A ) = ,65. Tapoja laittaa n esinettä jonoon eli järjestykseen on n! = n (n 1) Tämä on esimerkki tuloperiaatteesta - ensimmäinen alkio jonossa voidaan valita n tavalla. Sen jälkeen kun se on valittu paikalle, jäljellä on (n 1) vaihtoehtoa, jne. 1

2 Yllä n! on niin sanottu luonnollisen luvun n kertoma (kaikkien luonnollisten lukujen 1,,...,n tulo). Esimerkiksi kaikki tavat laittaa jonoon esineet A, B, C - (A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A). Tapoja on 6 = 3! = 3 1, kuten pitääkin olla teorian mukaan. Permutaatiot Permutaatio on edellisen kohdan yleistys. Ajatellaan, että perusjoukosta, jossa on n alkiota täytyy valita tietyssä järjestyksessä k alkiota (eli ei välttämättä kaikki), toistot eivät ole sallittuja. Esimerkiksi kuinka monta erilaista kolmen alkion jonoja (x, y, z) voidaan muodostaa viidestä esineestä A, B, C, D, E? No, ensimmäinen alkio ( x ) voidaan valita 5 tavalla, toinen sen jälkeen 4:llä tavalla, kolmannelle sen jälkeen on jäljellä 3 vaihtoehtoa eli tapoja on tuloperiaatteen mukaan = 60. Yleisesti jos n alkioista pitää valita k alkiota tietyssä järjestyksessä, niin tuloperiaatteen mukaan tapoja on n (n 1)... (n k +1), sillä ensimmäinen alkio voidaan valita n tavalla, toinen (n 1)-tavalla ja niin edelleen. Laventamalla luvulla (n k)! = (n k)(n k 1)... 1 tämä voidaan kirjoittaa myös muotoon np k = n! (n k)!. Tällaista lukua sanotaan permutaatioksi. Nykylaskimesta yleensä löytyy toiminto, jolla n P k voidaan laskea suoraan. Kombinaatiot Edellisessä, eli permutaatioissa, on kyse järjestetun jono valinnasta. Kun järjestyksellä ei ole väliä eli pitää n alkioista valita k alkiota ilman järjestystä, kyse on kombinaatiosta. Esimerkiksi kuvitellaan, että neljästä ihmisestä A, B, C, D pitää valita kaksi tyyppiä jotka menevät koko porukan puolesta kauppaan. Nyt järjestyksellä ei ole enää merkitystä - jos ensin valitaan A ja sitten C saadaan samat kaksi ihmistä kun jos ensin valitaan C ja sitten A. Näin ollen erilaisten mahdollisten kahden ihmisen osajoukkojen lukumäärä ei voida enää mallita jonoilla eikä laskea permutaationa.

3 Yleisesti, jos n:stä esineestä pitää valita k esineen osajoukon, niin erilaisia tapoja on tasan nc k = n! k!(n k)!. Tätä sanotaan myös binomikertoimeksi ja merkitään myös usein symbolilla ( n k) (lausutaan n yli k ). Myös n C k löytyy nykylaskimista yleensä valmiina. Aina kun valinnassa esiintyy järjestystä, käytetään permutaatioita, muuten kombinaatioita. Seuraava esimerkki valaisee tätä eroa. Esimerkki: a) Kuinka monella tavalla 8 hengen joukosta voidaan valita toimikuntaan puheenjohtaja, sihteeri ja rahastohoitaja? b) Kuinka monella tavalla 8 hengen joukosta voidaan valita kolmehenkinen toimikunta? Ratkaisu: a) Merkitään henkilöt numeroilla 1,..., 8. Jono(puheenjohtaja, sihteeri, rahastonhoitaja) on järjestetty, esim. valinnat (1,, 3) ja (3,, 1) ovat eri jonoja - ensimmäisessä henkilö 1 saa puheenjohtajan paikan, toisessa henkilö 3. Vaikka molemmissa valinnassa toimikunnassa on samat ihmiset, niillä on eri tehtävä. Näin ollen järjestyksellä on väliä, joten kyse on permutaatiosta. Erilaisia tapoja on 8P 3 = 8! (8 3)! = 336. b) Koska nyt tehtäviä ei spesifioitu, kyse on vain kolmen alkion valitsemista 8 alkion joukosta eli kombinaatiosta 8C 3 = 56. Erilaisia tapoja on 56. Nykylaskimissa onolemassavalmiiksitoimintojapermutaatioiden n P k jakombinaatioiden nc k laskemiseksi, kannattaa siis ottaa selvää mistä niitä saa omalla laskimella. Todennäköisyydet kombinatoriikan avulla Monia todennäköisyys-tehtäviä voidaan ratkaista käyttämällä joko permutaatioita tai kombinaatioita. Kyse on erilaisesta mallintamisesta. Riippuen tehtävästä toinen tapa voi olla yksinkertaisempi kuin toinen. Esimerkki: Kunnanvaltuustossa on 15 naista ja 10 miestä. Valitaan arvalla 5-jäseninen toimikunta. Millä todennäköisyydellä toimikuntaan tulee a) pelkästään naisia 3

4 b) 3 naista ja miestä? Ratkaisu: a) Tapa 1: Ajatellaan, että valinta tehdään järjestyksessä, eli valitaan ensin ensimmäinen, sitten toinen jäsen jne. Tällöin kyse on permutaatioista. Kaikkia tapauksia on 5P 5 ja suotuisia 15 P 5. Todennäkköisyys on Koska 5P 5 = 15P 5 = P = 15 P 5 5P 5. 5! (5 5)! = 5! = ja 0! 15! (15 5)! = 15! 10! = , saadaan P = ,057. Tapa : käytetään kombinaatioita. Kaikki tapaukset - valitaan 5:stä 5 ilman järjestystä jolloin tapoja ( ) 5 5C 5 = = 5! 5 5!0! = Suotuisia tapauksia - valitaan 15:stä naisesta 5 ilman järjestystä jolloin tapoja ( ) 15 15C 5 = = 15! 5 5!10! = Todennäkköisyys on P = 15 C 5 5C 5 0,057. Saadaan (tietysti) sama tulos kuin edellä permutaatiolla. b) Tässä permutaatioiden käyttö ei enää ole kovin kätevää. Tämä johtuu siitä, että jos valinta ajatellaan tapahtuvan järjestyksessä, niin miehet ja naiset voivat tulla jonoon sekaisin ja suotuisten jonojen lukumäärän laskeminen on vaikeata. Unohdetaan siis järjestyksestä ja käytetään kombinaatioita seuraavalla tavalla. Suotuisat tapaukset saadaan kun valitaan 15:stä naisesta 3, jolloin tapoja on ( ) 15 15C 3 = 3 ja samalla valitaan erikseen 10:stä miehestä, jolloin tapoja on ( ) 10 10C =. 4

5 Koska naisten ja miesten valinnat voidaan tehdä toisistaan riippumatta, tuloperiaatteen mukaan erilaisia valintoja on kaiken kaikkia ( ) ( ) Voidaan vaikka ajatella, että ensin valitaan kolme naista (valinnan ensim. vaihe) ja sitten valitaan kaksi miestä (valinnan toinen vaihe). Kaikkia valintatapoja on ( 5 5) - valitaan 5:stä ihmisestä 5. Todennäköisyys on ( ) P = 3) ( ) 0,38. ( 5 5 HUOM. On tärkeätä, että sekä suotuisat että kaikki tapaukset lasketaan samalla tavalla - joko molemmat permutaatioilla tai molemmat kombinaatioilla. Jos käyttää molempia sekaisin, tuloksena on todennäköisesti väärä vastaus. Lisäesimerkkejä: 1. Teossarjassa on osat 1-6. Kirjat asetetaan umpimähkään vierekkäin hyllylle. Millä todennäkköisyydellä kirjat tulevat oikeaan järjestykseen? Ratkaisu: Erilaisia tapoja laittaa 6 esinettä jonoon on 6! = = 70. Niistä vain yksi on oikea järjestys. Todennäkköisyys on siis P = 1 6! = 1/70 0, Korissa on 15 pulloa kevytjuomaa ja 9 pulloa tavallista juomaa. Kori on ollut järvessä ja etiketit ovat irronneet. Korista otetaan umpimähkään 6 pulloa. Laske todenäkköisyys sille, että a) kaikki 6 pulloa ovat kevytjuomaa b) saadaan 4 kevytjuomaa ja tavallista. Ratkaisu: a) Jos käytetään permutaatioita, niin kaikkia vaihtoehtoja on 4P 6 = 4! 18!. 5

6 Suotuisia ovat sellaiset jonot, joissa kaikki ovat kevytjuomia, tällaisia on Todennäkköisyys on 15P 6 = 15! 9!. P = 15 P 6 4P 6 0,037. Jos käytetään kombinaatioita, niin kaikkia vaihtoehtoja on ja suotuisia Saadaan sama todennäköisyys 4C 6 = 4! 6!18!, 15C 6 = 15! 6!9!. P = 15 C 6 4C 6 0,037. b) Nyt jonojen eli permutaatioiden käyttö ei ole enää kätevää. Käytetään kombinaatioita. Kaikki vaihtoehdot - valitaan 6 alkioita 4:stä, ilman järjestystä. Se voidaan tehdä 4 C 6 tavalla. Tapoja valita 15 pullosta 4 on 15 C 4, tapoja valita 9 pullosta on 9 C. Nämä ovat toisistaan riippumattomia, joten tuloperiaatteen mukaan suotuisia tapoja on Todennäköisyys on 15C 4 9C. P = 15 C 4 9C 4C 6 0, Pakasta vedetään kaksi korttia. Laske todennäkköisyys sille, että saadaan pokerin mielessä pari (eli molemmat kortit samanarvoisia). Ratkaisu: Jos käytetään kombinaatioita, ajattelemme siis kaikkia mahdollisia kahden kortin muodostamia joukkoja. Niitä on ( ) 5 5C =. Kuinka monet niistä ovat pareja? Jos kiinnitetään ensin arvo, esimerkiksi lasketaan erikseen ensin kuinka monta kahden kortin joukkoa kuutosista voi saada, niin siinä valitaan neljästä kortista (näin paljon pakassa on kuutosia) kahden osajoukkoja. Niitä 6

7 on 4 C = ( 4 ).Näinvoidaantehdäjokaisellakorttiarvollaerikseen.Koskaerilaisiaarvoja on pakassa 13 kappaletta, suotuisia tapauksia on ( ) Todennäköisyys on ) 13 (4 ( 5 0,059. ) Paljon helpommalla päästään, jos ajatellaan asiaa permutaatioiden (tai tuloperiaatteen) kautta. Jos valitaan kaksi korttia, niin ensimmäinen voidaan valita 5 tavalla ja toinen 51 tavalla, kaikkia tapauksia siis Suotuisissa taas ensimmäinen kortti voi edelleenkin olla mikä tahansa, eli valintoja on 5 mutta toisen kortin sen jälkeen täytyy olla samanarvoinen ensimmäisen kanssa. Koska ensim. kortin jälkeen pakassa on jäljellä tasan kolme samanarvoista, suotuisia valintoja on (tuloperiaatteen mukaan) 5 3. Todennäköisyys on = ,059. Tämä on esimerkki laskusta jossa permutaatio -tyyppinen ajattelutapa johtaa yksinkertaisempaan ja luonnollisempaan ratkaisuun. Edellisessä tehtävässä b)-kohdassa kävi päinvastoin - siinä lasku hoituu luonnollisemmin kombinaatioilla. 7