HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: Kauppamatematiikka Versio 1.2 / 16.8.2009

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: Kauppamatematiikka Versio 1.2 / 16.8.2009 Vesa Korhonen vesa.korhonen@jamk.fi 0400 451 752 Sisältö 0. Johdanto... 2 1. Prosenttilaskun soveltamista... 3 1.1 Prosentin käsitteestä... 3 1.2 Arvonlisäverotus... 4 1.4 Tehtäviä... 6 2. Katelaskelmia... 8 2.1. Katetuottolaskelma... 8 2.2. Katetuottolaskelman käyttö... 9 2.3. Kustannus-, tuotto- ja tulosfunktiot... 10 2.4. Tehtäviä... 11 3. Indeksit... 12 3.1 Yksinkertainen indeksisarja... 12 3.2 Ryhmäindeksi... 13 3.2. Inflaatio- ja deflaationprosentit... 13 3.3. Indeksisidonnaisuus ja reaalinen muutos... 14 3.4. Tehtäviä... 16 4. Yksinkertainen korkolasku... 17 4.1 Peruskäsitteet... 17 4.2 Korkopäivien laskutapoja... 18 4.4. Erilaisia tehtävänasetteluja... 19 4.3. Keskikorkokanta ja keskisaldo... 20 4.4. Tehtäviä... 22 5. Koronkorko... 23 5.1 Erilaisia korkojaksoja... 23 5.2 Kasvanut ja diskontattu pääoma... 23 5.3. Relatiiviset ja konformiset korkokannat... 25 5.4. Tehtäviä... 27 6. Jaksolliset suoritukset... 28 6.1 Jaksollisten suoritusten loppuarvo... 28 6.2 Jaksollisten suoritusten alkuarvo... 29 6.3. Annuiteetti... 30 6.4. Jaksollisten suoritusten lukumäärä... 31 6.5. Tehtäviä... 33 7. Kokoava esimerkki... 34 8. Tehtäviä... 35 8.1. Tavallisia prosenttilaskuja... 35 8.2. ALV-laskuja... 39 8.3. Indeksit ja valuutat... 41 8.4. Korkolaskuja... 43 Liite: Kootut linkit... 45

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 2(45) 0. Johdanto Opintojaksoon HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat kuuluu kauppamatematiikan osuus. Sitä tässä ollaan nyt ihmettelemässä. Tämän opintojakson osan periaate on koettaa laskea kohtuullisen paljon ja sitä kautta hankkia laskurutiinia. Kun myöhemmillä opintojaksoilla tarvitaan kauppamatematiikan taitoja, tulisi laskujen onnistua ilman suurempia miettimisiä. Laskujen sijaan voisi ehkä puhua yleisemmin numerojen pyörittelystä. Sitä joutuu tekemään jatkuvasti. Pieni esimerkinluonteinen harjoitustehtävä: Minä päivänä (päivä-vuosi-kuukausi) syntynyt on tänään oikeutettu ostamaan tuotteita, joilla on 18 vuoden ikäraja? Jos osasit vastata alle viidessä sekunnissa, hyvä. Jos olet sitä mieltä, että voi sitä puoli minuuttiakin rauhassa miettiä, niin kuvittele itsesi perjantai-iltana marketin kassalle, jossa 100 m pitkä kärsimätön jono odottaa, että saat asian selvitettyä Tähän materiaaliin on sisällytetty muutamia WWW-linkkejä, jotka on myös koottu materiaalin loppuun. Kauppamatematiikan opiskelun apuna voi käyttää myös opintojakson HBL10110 Yleismatematiikka -materiaalia, joka löytynee osoitteesta http://homes.jamk.fi/~korve/hbl10110.pdf. Yleismatematiikasta eivät opintosuorituksia kuitenkaan saa muut kuin ne opiskelijat, jotka eivät ole opiskelleet matematiikkaa lukiossa.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 3(45) 1. Prosenttilaskun soveltamista Sovelletaan seuraavassa prosenttilaskun perusteita arvonlisäverotukseen. Samassa siis tulevat kerrattua ko. perusteet. Tämän ensimmäisen luvun oppimistavoitteet siis ovat prosenttilaskun perusteiden mieliin palauttaminen ja arvonlisäverotuksen perusperiaatteiden oppiminen. 1.1 Prosentin käsitteestä Prosentti, %, on sadasosa jostakin. Nimitys tulee latinan kielen sanoista per cent, sataa kohden. Sama ilmaus on esimerkiksi englannin kielessä käytössä sellaisenaan. Prosentin hyödyllisyys on juuri siinä, että ei aina tarvitse tietää, että mistä. Ajatellaanpa vaikka sellaista arkista ilmiötä, kuin verokortti. Yksinkertaisimmillaan siinä saattaa olla näkyvissä seuraava tieto: Ennakonpidätys 1.2.2008 alkaen: Sivutulosta on toimitettava ennakonpidätys 41,5 % Eli suoritettavan ennakonpidätyksen suuruus on kerrottu prosentteina koko palkasta. Silloin verottajan ei tarvitse kertoa kuin yksi luku, jonka perusteella työnantaja osaa tehdä pidätyksen. (Tässä on siis kyseessä sivutuloverokortti, jolloin asia on yksinkertaisimmillaan. Päätoimen palkkatulossa on usein mainittu vielä tuloraja, jonka kohdalla prosentti kiristyy...) Huomattavasti hankalammin käytettävä verokortti olisi seuraava: Ennakonpidätys 1.2.2008 alkaen Palkka 1 ennakonpidätys 0,42 Palkka 2 ennakonpidätys 0,83 Palkka 3 ennakonpidätys 1,24 Palkka 4 ennakonpidätys 1,66... Palkka 3900 ennakonpidätys 1618,50... Jälkimmäisellä tyylillä verokortti olisi paljon pitempi ja sekavampi. Prosenttien käytöstä on siis selkeää etua. Prosentin sukulainen on promille, tuhannesosa, 0 / 00. Siihen törmää usein pieniä pitoisuuksia mitattaessa. Yksi prosentti on selvästi kymmenen promillea. Esimerkiksi jalometallien pitoisuudet saatetaan ilmoittaa promilleina. Vaikkapa hopealusikan varren takapuolella oleva merkintä 813 kertoo, että lusikassa on 813 promillea (eli 81,3 %) puhdasta hopeaa. Lähdetään jatkossa prosenttilaskujen kanssa soveltaen liikkeelle. Samalla tulemme näkemään muutamia perusasioita arvonlisäveronsta.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 4(45) 1.2 Arvonlisäverotus Arvonlisävero, ALV, on kulutusvero. ALV:n suuruus on pääsääntöisesti 22 %, mutta poikkeuksia on (Taulukko 1). Taulukko 1 Arvonlisäveron verokannat Suomessa Yleinen vero (ellei muuta ole alla sanottu) 22 % Elintarvikkeet ja rehut 17 % Elokuvaliput, lääkkeet, kirjat, liikuntapalvelut, henkilökuljetukset, 8 % TV-maksu, majoituspalvelut, kulttuuri- ja viihdetilaisuudet Lehtien tilausmaksut, lakisääteinen koulutus, sairaanhoitopalvelut, 0 % marjanpoiminta, ym. Mutta, nyt syksyllä 2009, näiden kanssa tulee olla tarkkana! Miksi? Arvonlisäveron perusteena (perusarvona!) on veroton hinta, joka on 100 %. Verollinen hinta saadaan lisäämällä tähän vero, esimerkiksi 22 %: verollinen hinta = veroton hinta + 0,22 veroton hinta = 1,22 veroton hinta Jos taas verollinen hinta tunnetaan, voidaan 1. asteen yhtälön keinoin selvittää veroton hinta: verollinen hinta = 1,22 veroton hinta : 1,22 veroton hinta = verollinen hinta / 1,22 Esimerkki 1.1. Taidekirjan ( Jääkiekon kauneutta Honkavaarasta Niinimaahan ) veroton hinta on 50. Mikä on sen verollinen hinta? Yllä näkyvästä taulukosta huomataan, että verokanta on 8 %. Lisätään siis annettuun verottomaan hintaan 8 %, joten verollinen hinta = 1,08 50 = 54. Esimerkki 1.2. Geelijousitetut lenkkarit maksoivat 69,95. Mikä on veroton hinta? Verokanta on nyt 22 %. Merkitään tuntematonta verotonta hinta x:llä ja muodostetaan sekä ratkaistaan yhtälö: 69,95 = 1,22 x : 1,22 69,95 / 1,22 = x (vaihdetaan yhtälön puolet) x = 57,34.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 5(45) Esimerkki 1.3 (Klassikko!) Kannettavan PC:n veroton hinta on 573. Kuinka monta prosenttia arvonlisävero on verollisesta myyntihinnasta? Lasketaan ensin verollinen hinta: 1,22 573 = 699,06. Veron osuus tästä (euroina) on 699,06-573,00 = 126,06. Veron suhde verolliseen hintaan: 126,06 / 699,06 = 0,18032786... Vero on siis 18,03 % verollisesta hinnasta. (Se EI ole 22 %. Miksi ei?)

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 6(45) 1.4 Tehtäviä Tehtävä 1.1. SpiderMan-vesipyssyn hinta marketin hyllyssä on 9,95. Millä seuraavista saadaan sen veroton hinta a) 0,92 9,95 b) 9,95 / 0,22 c) 9,95 / 1,22 d) 0,22 9,95 Tehtävä 1.2. Hilavitkuttimen (engl. widget) veroton hinta on 12,80. Millä seuraavista voidaan saadaan sen verollinen hinta? (Nyt ei siis ole täyttä varmuutta, että mikä verokanta on.) a) 1,08 12,80 b) 1 / 1,22 12,80 c) 12,80 / 0,22 d) 0,22 12,80 Tehtävä 1.3. Lääkkeiden arvonlisävero laski 12 %:sta 8 %:iin kun arvonlisäverotusta uudistettiin. Kuinka monta prosenttia verolliset hinnat muuttuivat, jos veron määrän väheneminen siirtyi suoraan verolliseen hintaan? Tehtävä 1.4. Täydennä taulukko. Tuote Veroton hinta Verokanta % ALV Verollinen hinta Tallentamaton digiboxi 40,00 Linja-autolippu (JKL- 5,80 Metsolahti th) Koristekapselit 14 (Mondeoon) 14,90 Paali heiniä (hevoselle) 5,00 Sekundakarkit 1 kg (vaimolle) 2,33 Tehtävä 1.5. Kommentoi ALV:n kannalta seuraavaa otetta eräästä ostoskuitista: Putiikki Oy KUKKAKIMPPU 12,90 SEKUNDASEKOITUS 1 KG 5,20 ----------------------------------- Välisumma 18,10 Pankkikortti 18,10 %-ALV Veroton Alv Veroll. 22.00% 10,57 2,33 12,90 17.00% 4,44 0,76 5,20

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 7(45) Tehtävä 1.6. Varmista, että seuraava tilinauha (vuodelta miekka ja kivi...) on oikein laskettu: AIKA PERUSTE SELITYS EURO 1.10.xx-31.10.xx Peruspalkka 3469,50 Ay-jäsenmaksu JKO ry 1,07 % -37,12 Prosenttivero 22,50 % -780,64 T-TEL/kuel 4,30 % -149,19 T-työttmaksu 0,58% -20,12 Netto 2482,43

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 8(45) 2. Katelaskelmia Tässä luvussa pyritään pääsemään kärryille katettuottolaskelman peruskäsitteistä ja niiden käytöstä. Laskurutiini katetuottolaskelman muodostamisessa on toinen tärkeä tavoite. (Lue: Näitä kysytään kokeessa.) 2.1. Katetuottolaskelma Katetuottolaskelma on kätevä työkalu kannattavuuden arviointiin. Kuva 1 esittää erästä katetuottolaskelmaa. Kuva 1 Eräs katetuottolaskelma Tarina tämän taulukon takana olkoon vaikkapa seuraava: Arskan yögrillillä myydään pöytiin tarjoiltuna grillimakkaroita. Vilkkaaseen aikaan makkaroita voi mennä 1200 kpl viikonlopussa. Yhden makkaran hinta on 2,00. Jokaisesta myydystä makkarasta aiheutuu myyjälle 0,50 muuttuva kustannus, ts. mitä enemmän makkaroita myydään, sitä enemmän niistä yhteensä kertyy kustannuksia. Tästä siis tulee nimi muuttuva. Usein tosin puhutaan lyhyesti vain mukuista. Kyse on siis tässä tapauksessa lähinnä tuotteen ostohinnasta. Muita muuttuvien kulujen ryhmiä ovat raakaainekulut, koneiden energiankulutus tai vaikkapa ylityöpalkkiot. Laskemalla myytyjen tuotteiden kappalemäärä kertaa myyntihinta saadaan myyntituotto eli liikevaihto. Tässä täytyy kuitenkin ottaa arvonlisävero huomioon, eli käytetään myyntihintana verotonta hintaa. Grillimakkaralle Arska on veroa lisätessään laskenut x 1,22 = 2,00, joten veroton hinta on x = 2,00 / 1,22 = 1,64. Liikevaihto on siis 1200 kpl 1,64 /kpl = 1968. Mukuja taas syntyy 1200 kpl 0,50 / kpl = 600. Vähentämällä nämä luvut toisistaan saadaan katetuotto eli myyntikate. Kulujahan on tietysti muitakin kuin muuttuvia. Grillin vuokra, sähkölasku, yms. asiat on myös otettava huomioon. Nämä ovat kiinteitä kuluja ( kikut ), jotka pysyvät periaatteessa samansuuruisina riippumatta siitä myykö Arska 12 vai 12000 makkaraa. Jollakin laskentaperusteella (usein aika hankala operaatio...) on saatu Arskan grillin kiinteiksi kustannuksiksi 1300. Vähentämällä nämä kikut katetuotosta Arska voi todeta, että viikonlopun tulos on 68. Kannatti huhkia 3 vrk... Paitsi euroina, esitetään laskelma usein myös prosentteina. Tällöin perusarvona on aina myyntituotto eli liikevaihto, johon kaikki muut luvut suhteutetaan. Prosenttisarakkeen arvot nimetään kuten vastaavat luvut, mutta niihin liitetään (soveltaen) pääte -prosentti. Esimerkiksi katetuottoprosentti.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 9(45) 2.2. Katetuottolaskelman käyttö Jatketaan edellistä esimerkkiä. Masentuneena Arska kertoo laskelmastaan kaverilleen Vekelle. Jälkimmäinen sankari on paria tenttiä vaille merkonomi, joten hänellä löytyy enemmän tietämystä asiasta. Erityisesti Veke tietää, että katetuottolaskelmaa voi käyttää myös takaperin : Jos halutaan saada kaupanteosta joku tietty euromääräinen tulos, voidaan esimerkiksi määrittää tarvittava veroton myyntihinta. Veke syöttää Arskan tietoja Exceliin niin, että on helppo vaihtaa lähtötietojen suuruutta ja sitä kautta kokeilla erilaisia vaihtoehtoja. Samalla hän muuttaa kaikki rahasummat ja prosenttiluvut hieman paremman näköisiksi. Pienellä kokeilulla Veke saa aikaan Kuvassa 2 näkyviä tuloksia. Jos Arska nostaisi makkaran hinnan 2,50 euroon, syntyisi entisellä myynnillä tulosta 560 (Kuva 2, vasemmalla). Arskan silmät pullistuvat päästä, mutta Veke toteaa, että hinnan nosto todennäköisesti laskisi myös myyntiä. Hetken mietittyään he päätyvät tekemään laskelman 1000 kpl myynnillä (Kuva 2, oikealla). Tulos olisi nyt 250. Edelleen kuitenkin selkeästi parempi. Niinpä Arska lupaa harkita asiaa ensi vuodelle... Kuva 2 Kaksi vaihtoehtoista katetuottolaskelmaa Jos joko myyntihinta tai myynti (tai molemmat) laskisivat, saavutettaisiin jossakin kohdassa tilanne, jossa tulos saa arvon 0. Tämä on ns. kriittinen piste, joka on toiminnan kannattavuuden raja. Se voidaan ilmaista joko euromääränä tai myynnin kappalemääränä. Kriittinen piste (euroina) voidaan laskea paitsi kokeilemalla, myös käyttämällä kiinteitä kustannuksia ja katetuottoprosenttia: kiinteät kustannukset ( ) kriittinen piste = 100 katetuottoprosentti (%) Lasku perustuu tietysti siihen, että kriittisessä pisteessä katetuotto ja kiinteät kustannukset ovat yhtä suuret.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 10(45) 2.3. Kustannus-, tuotto- ja tulosfunktiot Kustannuksia, niin kiinteitä kuin muuttuviakin, voidaan tutkia valmistus- tai myyntimäärän x funktiona. Kustannusfunktio tai kokonaiskustannusfunktio, määritellään K(x) = muuttuvat kustannukset + kiinteät kustannukset Jos (kun) tuotteen määrä x tunnetaan, saadaan yksikkökustannusfunktio: k( x) K( x) x Myyntihinnan ja määrän x kautta saadaan tuottofunktio: T(x) = Myyntihinta x Tulosfunktio puolestaan saadaan tuoton ja kustannusten erotuksena: V(x) = T(x) - K(x) Todettakoon jälleen, että taulukkolaskenta (Excel) on kätevä työkalu myös näiden funktioiden muodostamiseen, käsittelyyn ja havainnollistamiseen.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 11(45) 2.4. Tehtäviä Tehtävä 2.1. Miksi Arska lisää ALV:a 22 % eikä 17 %? Tehtävä 2.2. Määritä Arskan yögrillin kriittinen piste euroina ja myynnin kappalemääränä. Tehtävä 2.3. Arska ja Veke analysoivat tarkemmin grillin toimintaa. He päätyvät tulokseen, että myynti on viikonloppuna (pe-la-su) ollut tasaisesti 400 kpl/päivä. Kiinteät kulut jakautuvat myös tasaisesti, 433,33 /päivä. Piirrä samaan koordinaatistoon grillin kustannusfunktio ja tuottofunktio ja määritä siitä kannattavan toiminnan alue (=alue, jossa tulosfunktio saa positiivisen arvon) sekä kriittinen piste. Täsmääkö edelliseen tehtävään? Tehtävä 2.4. Veke pyörittää hieman suurempaa bisnestä kuin Arska. Hänen erään yrityksensä (Säle & Säpäle Oy) tulosprosentti on 10 % ja myyntikate 25 %. Laske kuinka monta prosenttia myyntitulosta ovat a) kiinteät kustannukset, b) muuttuvat kustannukset. c) Laske yrityksen uusi tulos, jos jostain syystä käy niin, että kiinteät kustannukset laskevat 20 % ja muuttuvat taas kasvavat 5 %.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 12(45) 3. Indeksit Tässä luvussa tutustutaan indeksisarjoihin. Oppimistavoitteet ovat yksinkertaisen indeksisarjan muodostaminen ja muutoksen arviointi indeksisarjan avulla. Indeksisarja kuvaa palvelun tai tuotteen (tai minkä tahansa rahalla arvotettavan) hinnan tai määrän muutosta ajan suhteen. Indeksisarjan muodostamiseen tarvitaan havaintosarja. Havaintosarja voi koostua vaikkapa kahvikupin hinnasta uudenvuodenpäivänä vuosina 1967 2007. Riippuen siitä onko vertailtavana hinta tai määrä, voidaan puhua hintaindekseistä tai määräindekseistä eli volyymi-indekseistä. Indeksisarjaa muodostettaessa valitaan yksi ajankohdista perusajankohdaksi. Perusajankohdan indeksin arvoksi asetetaan 100,0. Perusajankohta voidaan merkitä indeksiin esimerkiksi näin: Kahvikuppi-indeksi (1967=100). Indeksisarjan arvot lasketaan vertaamalla kunkin ajankohdan arvoa perusarvoon. Näin saatu luku kerrotaan sadalla, jolloin saadaan ko. ajankohdan indeksipisteet. Kyse on siis itse asiassa siitä, kuinka monta prosenttia tarkasteltavan ajankohdan luku on vertailuajankohdan luvusta! Katso myös http://www.tilastokeskus.fi/tup/verkkokoulu/data/ind/ 3.1 Yksinkertainen indeksisarja Yksinkertainen indeksisarja kuvaa yhden asian (tuotteen, palvelun) muutosta. Alla näkyvän taulukon kaksi ensimmäistä saraketta kuvaavat 95E-bensiinin hinnan kehitystä vuosituhannen vaihteessa. (Alkupään summat on jo etukäteen muunnettu markoista euroiksi.) Vuosi Hinta Indeksi 95E (1999=100) Miten indeksi on laskettu 1999 0,974 100,0 0,974 / 0,974 = 1,000 2000 1,130 116,0 1,130 / 0,974 = 1,160 2001 1,108 113,8 1,108 / 0,974 = 1,138 2002 1,089 111,8 1,089 / 0,974 = 1,118 2003 1,129 115,9 1,129 / 0,974 = 1,159 2004 1,139 116,9 1,139 / 0,974 = 1,169 Toistan: Indeksilukemia (indeksipistelukemia) muodostettaessa siis lasketaan, montako prosenttia kunkin ajankohdan arvo on perusajankohdan arvosta. Perusajankohdan arvo on tietysti 100 % itsestään, muina aikoina prosenttiluku voi vaihdella. Perusajankohta on usein aikasarjan ensimmäinen arvo, mutta näin ei välttämättä tarvitse olla. Indeksisarjojen(kin) laskennassa taulukkolaskenta (Excel) on erinomainen apuväline!

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 13(45) 3.2 Ryhmäindeksi Indeksejä, jotka muodostetaan käyttäen useampaa lähtötietoa, kutsutaan ryhmäindekseiksi. Tarkastellaan tätä pienen esimerkin kautta: Kumppanukset Arska ja Veke nauttivat mielellään lihamakaronilaatikkoa. Tarvittavista raaka-aineista (5 dl makaronia, 500 g jauhelihaa, 4 dl maitoa, 2 kananmunaa) on heille kertynyt ostoskuitteja useamman vuoden ajalta. Niistä saatiin koostetuksi seuraava taulukko raaka-aineiden keskihintojen kehityksestä: Aine Määrä 2003 2004 2005 2006 2007 Makaroni ( /kg) 0,4 kg 1,27 1,05 0,95 0,89 0,90 Jauheliha ( /kg) 0,5 kg 5,46 5,48 5,51 5,53 5,92 Maito ( /l) 0,4 l 0,65 0,65 0,63 0,63 0,67 Kananmunat ( /kg) 0,2 kg 1,78 1,78 2,06 2,28 2,21 Yhden lihamakaronilaatikkoannoksen raaka-aineiden hinta ( ostoskorin hinta ) eri vuosina on siis 2003 0,4 1,27 + 0,5 5,46 + 0,4 0,65 + 0,2 1,78 = 3,85 2004 0,4 1,05 + 0,5 5,48 + 0,4 0,65 + 0,2 1,78 = 3,78 2005 0,4 0,95 + 0,5 5,51 + 0,4 0,63 + 0,2 2,06 = 3,80 2006 0,4 0,89 + 0,5 5,53 + 0,4 0,63 + 0,2 2,28 = 3,83 2007 0,4 0,90 + 0,5 5,92 + 0,4 0,67 + 0,2 2,21 = 4,03 Jos valitaan perusvuodeksi 2003, näistä saadaan seuraava Lihamakaronilaatikkoindeksi(2003=100) Vuosi Indeksi Miten se laskettiin? (2003=100) 2003 100,0 3,85/3,85 100 = 100,00 2004 98,18 3,78/3,85 100 = 98,18 2005 98,70 3,80/3,85 100 = 98,70 2006 99,48 3,83/3,85 100 = 99,48 2007 104,67 4,03/3,85 100 = 104,67 Tästä nähdään mm. se, että vuonna 2005 lihamakaronilaatikko oli 1,3 % halvempaa kuin vuonna 2003, mutta vuonna 2007 se oli 4,67 % kalliimpaa kuin perusvuonna. Tämä yksinkertainenkin esimerkki kuvastaa samalla hyvin ryhmäindeksin ongelmia: Entä jos Arska laittaa hirmuisesti ketsuppia annokseensa, mutta Veke taas ei ollenkaan. Silloin todelliset ateriakustannukset saattavat käyttäytyä aivan eri tavalla kuin indeksi. Tai jos sankarit tekevät annoksia vuorotellen, ja toinen heistä käyttää hieman eri seossuhteita kuin toinen 3.2. Inflaatio- ja deflaationprosentit Muistakin tuotteista kuin lihamakaronilaatikon aineista seurataan hintojen kehitystä. Tilastokeskuksen laskema kuluttajahintaindeksi on eräs ryhmäindeksi, jonka laskennassa käytetään monia kulutustavaroita ja päivittäistuotteita. Kuluttajahintaindeksi antaa laaja-alaisempaa tietoa yleisemmästä hintojen kehityksestä. Hintojen nousuilmiöstä käytetään nimitystä inflaatio. Kyse on siis rahan arvon alenemisesta: Jotta saisi litran

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 14(45) 95E:tä tai annoksen lihamakaronilaatikkoa, tarvitaan enemmän rahaa kuin muutama vuosi aikaisemmin. Hintojen nousu luo paineita palkkojen nostamiseen, joka taas aiheuttaa tarvetta nostaa hintoja. Talouskasvu tarvitsee kuitenkin sopivaa inflaatiota pysyäkseen käynnissä. Edellä mainittu kuluttajahintaindeksi on inflaation virallinen mittari. Sitä on nykymuodossaan laskettu lokakuusta 1951 asti. Indeksilukema annetaan kuukausittain. Koska indeksi 1951:10=100 on jo aika epämukavan suuri luku (suuruusluokkaa 1600), käytetään jokapäiväisissä toimissa viiden vuoden välein nollautuvia indeksiarvoja. Tällä hetkellä on käytössä indeksi 2005=100, jonka indeksilukema on kesäkuussa 2009 arvossa 108,7. (Katso http://www.stat.fi/til/khi/index.html) Eri indeksien (esim. 2000 ja 2005) välillä voidaan arvoja vertailla. Kun tunnetaan esimerkiksi vuoden 2005 indeksilukema indeksille, jonka perusvuosi on 2000, voidaan joko vuoden 2000 indeksiä jatkaa 2005:stä eteenpäin, tai laskea vuoden 2005 indeksille arvoja vuosille 2004, 2003, jne. Tätä käsitellään laskuharjoituksissa. 3.3. Indeksisidonnaisuus ja reaalinen muutos Rahan arvon heikkeneminen on väistämätön ilmiö. Niinpä joissakin asioissa, esimerkiksi vuokrasopimuksessa, saattaa olla indeksisidonnaisuus, joka määrittelee jonkin rahasumman muuttuvaksi tietyn indeksin muutosten mukana. Silloin sovituin tarkastusvälein summaa muutetaan indeksin lukeman muuttumisen mukaisesti. Sama toimii myös toisin päin: Voidaan laskea, paljonko jonkin summan pitäisi olla, ja nähdä siitä onko se pysynyt inflaation mukana, ts. mikä esimerkiksi on palkan reaalinen nousu, joka ottaa huomioon rahan ostovoiman vähenemisen. Esimerkki 3.1. Asunto-osakeyhtiön tilintarkastuspalkkio on sidottu elinkustannusindeksiin. Vuonna 2006, kun elinkustannusindeksin 2005=100 lukema oli 101,2 palkkioksi määrättiin 150 : Mikä oli palkkion suuruus vuonna 2008, kun elinkustannusindeksi oli 106,2? Lasketaan kuinka monta prosenttia indeksi on noussut: 106,2 / 101,2 = 1,0494 = 4,94 % Palkkiota tulee siis korottaa 4,94 % alkuperäisestä, eli uusi palkkio on 150 1,0494 = 157,41 Esimerkki 3.2. Ohjelmistosuunnittelijan palkka lamavuonna 1991 oli 7700 markkaa. Kaksi vuotta myöhemmin se oli 7800 markkaa, mutta samalla inflaatio oli syönyt 2,5 % rahan arvosta. Mikä oli palkan reaalinen muutos? Lasketaan mikä olisi vuoden 1991 palkka vuonna 1993, jos se olisi kasvanut inflaatioprosentin verran, ts. inflatoidaan palkka: 1,025 7700 mk = 7892,50 mk. Palkan reaalinen arvo oli siis itse asiassa pienentynyt. Uuden palkan ostovoima on 7800/7892,50 = 0,988 = 98,8 % entisestä, joten sen reaaliarvo oli pienentynyt 1,2 %.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 15(45) Voitaisiin myös laskea toisin päin, muuntamalla vuoden 1993 palkka vuoden 1991 palkaksi, jolloin olisi kyse deflatoinnista. Näillä laskutavoilla voidaan muodostaa reaalisia aikasarjoja siirtämällä joukko ajan funktiona annettuja arvoja vastaamaan jonkin yhden, tietyn ajankohdan arvoa. Esimerkki 3.3. Lasketaan edellinen esimerkki niin, että deflatoidaan vuoden 1993 palkka vuodelle 1991. Rahan arvon muutos on sama kuin edellä. Nyt lasketaan: 7800 mk / 1,025 = 7609,76 mk, ts. vuoden 1993 palkalla saa yhtä paljon asioita kuin vuonna 1991 olisi saanut 7609,76 markalla.. Uuden palkan ostovoima on siis 7609,76/7700,00 = 0,988 = 98,8 % entisestä, joten sen reaaliarvo oli pienentynyt 1,2 %.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 16(45) 3.4. Tehtäviä Tehtävä 3.1. Onko edellä esitetyissä 95E-indeksissä ja Lihamakaronilaatikkoindeksissä havaittavissa yhtäläisyyksiä tai riippuvuuksia? Tehtävä 3.2. Kuinka paljon rahan ostovoima on pienentynyt vuodesta 2005 vuoden 2007 elokuuhun? Tehtävä 3.3. Jos vuoden 2005 alussa tehdyssä vuokrasopimuksessa on silloinen 1500 euron kuukausivuokra sidottu elinkustannusindeksiin, niin mikä olisi uusi vuokrasumma jos sitä tarkistettaisiin elokuussa 2007? Tehtävä 3.4. Bytenibblers Ltd:n Minor Executive Officerin bruttopalkka vuonna 2005 oli 3900. Elokuussa 2007 se oli 4100. Mikä on palkan reaalinen muutos?

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 17(45) 4. Yksinkertainen korkolasku Tarkastellaan seuraavaksi ns. yksinkertaista korkolaskua (joka viittaa lähinnä laskennassa eteen tulevaan aikaan, ei laskijaan). Tämän osan oppimistavoite on lyhytaikaisen korkolaskun perussuureiden hallinta. Yksinkertainen korkolasku on koron laskua lyhyille, alle korkojakson pituisille korkoajoille. Koronkorkolasku (seuraavassa luvussa) on koron laskua pitkille, useiden korkojaksojen korkoajoille. Monet seuraavassa esitettävät käsitteet ja periaatteet soveltuvat molempiin näistä. 4.1 Peruskäsitteet Katsotaan ensin hieman tärkeitä peruskäsitteitä. Korkokanta on yhden korkojakson korko prosentteina pääomasta. Esimerkiksi korkojakso voi olla yksi vuosi ja korkokanta 6 %. Korkokanta määräytyy usein jonkin viitekoron kautta. Viitekorko voi olla esimerkiksi pankkien oma prime-korko tai euribor-korko (Euro Interbank Offered Rate). Talletusten korkolaskun yhteydessä törmätään usein lähdeveron käsitteeseen. Talletukselle maksettavasta korosta menee verottajalle 28 %. Itselle jää siis 72 %. Jos laskun maksu myöhästyy, joutuu maksamaan viivästyskorkoa. Korkolaskun peruskäsitteitä merkitään usein seuraavilla symboleilla: Pääomaa merkitään symbolilla k Korkokantaa merkitään symbolilla p (joskus myös i) Korkoaika merkitään symbolilla t Korko on rahamäärä, joka saadaan korvaukseksi, symboli r Kasvanut pääoma on sijoitetun pääoman ja koron summa, symboli K Jos talletuksen tai lainan kesto on lyhyempi kuin korkokannan korkojakso, käytetään kertoimena korkojakson murto-osaa. Tällöin puhutaan usein osavuoden korosta. Pankki maksaa säästötilille korkoa 1,5 %. Kuinka paljon rahaa on nostettavissa puolen vuoden kuluttua 1000 euron talletuksen tekemisestä, kun pankki tilittää kertyneestä korosta 28 % lähdeverona verottajalle. Jotta lasku onnistuisi, tulee nyt laskea erikseen talletuksesta saatava korko käyttäen pääomaa ja kerrointa 0,015. Tämä tulee vielä kertoa kertoimella ½, koska korkoa saadaan vain puolelta vuodelta. Lisäksi tästä vähennetään vielä 28 % vero, eli nettokorkoa jää 72 % kertyneestä bruttokorosta. Bruttokorko on 1 2 0,015 1000 7,50 Nettokorkoa jää siis 0,72 7,50 = 5,40. Kun tähän lisätään pääoma, saadaan kokonaissumma: 5,40 + 1000 = 1005,40

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 18(45) Voitaisiin myös laskea ensin nettokorkokanta, 0,72 1,5 % = 1,08 %, ja käyttää tätä laskussa. Vuoden murto-osien sijasta korkolaskussa käytetään yleensä korkopäivien lukumäärää jaettavana ja vuoden päivien määrää jakajana. Tässä on olemassa eri käytänteitä, joista seuraavassa alaluvussa enemmän. 4.2 Korkopäivien laskutapoja Eri tilanteissa saatetaan käyttää erilasia tapoja koron laskentaan. Seuraavat kolme eurooppalaisten valtioiden mukaan nimettyä tapaa ovat yleisimmät. Saksalaisessa tavassa oletetaan jokaiseen (täyteen) kuukauteen 30 korkopäivää ja kokonaiseen vuoteen 360 päivää. Englantilaisessa tavassa lasketaan sekä kuukauteen että vuoteen todelliset päivät. Ranskalaisessa tavassa lasketaan jokaisen kuukauden todelliset päivät, mutta vuoteen lasketaan kuitenkin 360 päivää. Esimerkki: Lasketaan korkopäivien määrä ajanjaksolla 17.2. 11.8.2007 käyttäen eri tapoja. Todetaan ensin, että vuosi 2007 ei ole karkausvuosi (mistä sen tietää?), joten helmikuussa on 28 päivää. Kunkin kuukauden korkopäivät ovat nyt (rautalangasta kuukausittain laskien ). Kuukausi Saksalainen tapa Ranskalainen tapa Englantilainen tapa helmikuu 30 17 = 13 28-17 = 11 28-17 = 11 maaliskuu 30 31 31 huhtikuu 30 30 30 toukokuu 30 31 31 kesäkuu 30 30 30 heinäkuu 30 31 31 elokuu 11 11 11 Yhteensä 174 175 175 Ranskalainen ja Englantilainen tapa antavat siis saman tuloksen päivien lukumäärälle. Lasketaan sitten kuinka paljon 1000 esimerkkitalletus kasvaa korkoa kyseisenä aikana 1,5 % mukaan eri laskutavoilla. Laskutapojen väliset pienet erot tulevat tästä selvästi näkyviin. Saksalainen tapa Ranskalainen tapa Englantilainen tapa päiviä 174 175 175 jakaja 360 360 365 korko 174/360 0,015 1000 = 7,25 175/360 0,015 1000 = 7,29 175/365 0,015 1000 = 7,19 Korkopäivien määrä voitaisiin Saksalaisessa tavassa laskea kohtuullisen helposti myös vähennyslaskulla:

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 19(45) 8 kuukautta 11 päivää - 2 kuukautta 17 päivää ------------------------------- 5 kuukautta 24 päivää = 5 30 + 24 päivää = 174 päivää Koska 11 päivää on vähemmän kuin 17 päivää, täytyy lainata yksi kuukausi, kuten tavallisessakin vähennyslaskussa voidaan joutua tekemään. Ranskalaisessa ja englantilaisessa tavassa on yleensä helpompi tarkastella asiaa kuukausi kerrallaan. Edellä esitetyt laskuperiaatteet voidaan formalisoida seuraavasti: k euron korko t päivältä p % korkokannan mukaan on r euroa. Saksalainen tai Ranskalainen tapa: r k p t 100 360 k p t 36000 Englantilainen tapa: r k p t 100 365 k p t 36500 Kaavaa valitessa tulee t laskea samalla laskutavalla. Lisättäessä näin laskettu korko pääomaan on kaava K = k + r, jolloin siis saadaan uusi, kasvanut pääoma. 4.4. Erilaisia tehtävänasetteluja Tarkastellaan keskeisimpiä yksinkertaisen korkolaskun tilanteita muutaman esimerkin avulla. Korkoaika: Missä ajassa verolliselta tililtä saadaan nettokorkona 60, kun korkokanta on 2,0 %, lähdevero 28 % ja pääoma 130 000. Ranskalainen koronlaskutapa. Lasketaan ensin nettokorko: 0,72 2,0 % = 1,44 %. Koko vuodelta korkoa kertyisi 0,0144 130 000 = 1872. Lasketaan kuinka suuri osa tästä on 60, jolloin saamme myös korkoajan suhteen vuoden pituuteen. 60 / 1872 = 0,03205. 360 0, 03205 = 11,538 Aikaa tarvitaan siis 12 päivää (11 ei vielä riitä). Pääoma tunnetun koron perusteella: Mikä pääoma kasvaa 200 päivässä korkoa 120 korkokannan ollessa 3 % ja lähdeveron 28 %? Ranskalainen koronlaskutapa.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 20(45) Lasketaan ensin nettokorko: 0,72 3 % = 2,16 %. Selvitetään sitten mikä on koko vuoden korkokertymä: Jos 200 päivää tuottaa 120, niin yksi päivä tuottaa 120 / 200 = 0,60 ja 360 päivää silloin 216. Merkitään tuntematonta pääomaa x:llä, ja lasketaan 0,0216 x = 216. Tästä x = 10 000. Pääoma kasvaneen pääoman perusteella: Mikä pääoma kasvaa viidessä kuukaudessa 4500 :ksi, kun korkokanta on 4 % ja lähdevero 28 %. Saksalainen laskutapa. Jälleen ensin nettokorkokanta: 0,72 4 % = 2,88 %. Saksalaisen tavan viisi kuukautta on 150 päivää. Alkuperäinen pääoma on nyt tuntematon x. Lasku, jossa se on mukana, menee nyt näin: 150 / 360 0,0288 x + x = 4500 (Eli korko euroina + vanha pääoma = uusi pääoma.) Tästä saadaan edelleen 0,012 x + x = 4500 (0,012 + 1) x = 4500 x = 4500 / 1,012 = 4446,64. (Tarkistus: 4446,64 + 150/360 0,0288 4446,64 = 4500. Näistä esimerkeistä huomataan helposti, että korkolaskussa on kyse vain ja ainoastaan prosenttilaskusta! 4.3. Keskikorkokanta ja keskisaldo Jos samalla instanssilla (vaikkapa Arskalla) on useita lainoja (tai talletuksia), saattaa näillä olla erilaiset korkokannat. Esimerkiksi pitkäaikaisen pankkilainan ja tilapäiseksi tarkoitetun kulutusluoton korkokanta voi olla hyvinkin erilainen. Tämäntyyppisen tilanteen kuvaamisessa saattaa keskikorkokanta olla hyödyllinen käsite. Olkoon Arskalla olemassa kaksi velkaa: Kuukauden pankkilaina 1 000, korkokanta 5 %, ja kuukauden päästä maksuun menevä luottokorttilasku, 1800, korkokanta 9,5 %. Helposti nähdään, että kuukauden aikana Arska joutuu maksamaan korkoa pankkilainasta 30/360 0,05 1000 = 4,17 luottokortistaan 30/360 0,095 1800 = 14,25 Yhteensä siis 18,42. Pankkilainalle ja luottokorttivelalle voidaan laskea keskikorkokanta, jossa käytetään pääomilla painotettua korkokannan keskiarvoa, koska korkoajat ovat samat. Näin: (1000 5 % + 1800 9,5 %) / (1000+1800) = 7,893 %

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 21(45) Arskan näiden lainojen korkomenot saadaan nyt kätevästi tämän yhden korkokannan avulla: 30/360 0,07893 2800 = 18,42. Arskalla on myös 500 kulutusluotto, jonka hän maksaa kerralla pois vuoden lopussa. Papereistaan Arska toteaa joutuvansa maksamaan korkoa 120 päivää korkokannan 8,75 % mukaan ja vielä 30 päivää korkokannan 8,25 % mukaan. Tälle luotolle voidaan laskea keskikorkokanta, jossa käytetään korkoajoilla painotettua korkokannan keskiarvoa, koska pääoma on koko ajan sama. Näin: (120 8,75 % + 30 8,25 %) / (120+30) = 8,65 % Onhan Arskalla myös rahaa pankissa. Lasketaan hänen tililleen keskisaldo. Syyskuun 2007 tiliotteesta saadaan laskettua seuraavaa: Päiväsaldo ( ) Korkopäivät 210,00 3 120,00 10 0,70 17 Painotetaan eri saldoja ottaen huomioon niiden voimassaoloajat: (3 210 + 10 120,00 + 17 0,70 ) / (3 + 10 + 17) = 52,40 Ei tarvinne enää erikseen mainita, mikä tietokonesovellus on erinomainen apuväline myös korkojen laskuun

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 22(45) 4.4. Tehtäviä Tehtävä 4.1. Lasketaan, mikä pääoma tuottaa 6 % mukaan 135 päivässä korkoa 121,50. Tehtävä 4.2. Minkä korkokannan mukaan 4820 tuottaa 288 päivässä korkoa 241? Tehtävä 4.3. 73 000 euron sijoitus nostetaan 16.8., jolloin sille saadaan korkoa 812 euroa. Milloin talletus on tehty, kun korkokanta on 10,15 % ja korkoaika lasketaan todellisten päivien mukaan? Tehtävä 4.4. Opiskelija ottaa 14.9. opintolainaa 2000. Lainan korkokanta on 9,5 %. Korko erääntyy puolivuosittain, mutta sitä ei makseta vaan se lisätään lainan pääomaan. Laske lainan määrä vuoden kuluttua.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 23(45) 5. Koronkorko Kun talletus on kerryttämässä korkoa pitempään kuin kokonaisen korkojakson, joudutaan yleensä laskemaan korkoa korolle. Esimerkiksi pankissa oleva rahasumma saa kerran vuodessa seurakseen siitä kertyneen koron (miinus lähdevero). Esimerkki 5.1: Talletustilin korko on 3,5 %. Kuinka paljon tilillä on rahaa, kun 1000 talletus kasvaa korkoa kolme vuotta? Lasketaan nettokorkokanta: 0,72 3,5 % = 2,52 %. Vuoden kuluttua rahaa on 1,0252 1000 = 1025,20. Kahden vuoden kuluttua rahaa on 1,0252 1025,50 = 1051,04. Kolmen vuoden kuluttua rahaa on 1,0252 1051,34 = 1077,52. Tai yksinkertaisemmin potenssin avulla: 1000 (1,0252) 3 = 1000 1,07752 = 1077,52. Koska talletuksen alku ja loppu harvemmin sattuu juuri vuodenvaihteeseen (tai yleisemmin: korkojakson alkuun tai loppuun), joudutaan yleensä laskemaan alussa ja/tai lopussa myös osavuoden korkoa. Silloin täytyy olla tietoinen myös sovellettavasta korkopäivien laskutavasta (vrt. edellinen luku). 5.1 Erilaisia korkojaksoja Korkojaksoja on muitakin kuin yksi vuosi. Tässä tiivistelmä korkojaksoista ja niiden nimistä: Korkojakso Lyhennys vuotuinen p.a. (per annum) puolivuosittainen p.s. (per semester) neljännesvuosittainen p.q. (per quartal) kuukausittainen per kk päivittäinen per pv 5.2 Kasvanut ja diskontattu pääoma Kasvanutta pääomaa laskettaessa selvitetään pääoman tuleva arvo, joka sisältää korot ja koronkorot, joita se kerää. Esimerkki 5.1. yllä tekee juuri näin. Kaavana tämä voidaan ilmaista näin: K = (1 + i) n k Asia voi mennä myös toisin päin. Jos asia (esim. tuotannon arvo) alenee jonkin tunnetun prosenttiosuuden esimerkiksi vuodessa, saadaan sen alentunut arvo annetun ajan päästä kaavalla A = (1 - i) n k Kolmas kysymyksenasettelu voi olla se, että mikä pitäisi pääoman arvo olla nyt, että se annettuun aikaan mennessä kasvaisi tietyn summan suuruiseksi (vrt. taas edellinen luku):

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 24(45) Esimerkki 5.2: Paljonko pitäisi nyt tallettaa 3 % tilille (miinus verot), että vuoden päästä voisi nostaa tonnin? Entä jos aikaa olisi kaksi vuotta? Lasketaan nettokorkokanta: 0,72 3,0 % = 2,16 %. Tuntematon nykyhetken pääoma olkoon x. Vuoden päästä pitäisi pystyä korkoa lisätessä laskemaan 1,0216 x = 1000, eli saadaan x = 1000 / 1,0216 = 978,86. Jos odotettaisiin kaksi vuotta, saisi pääomaan kaksi korkoa. Lasku olisi 1,0216 1,0216 x = 1000, eli (1,0216) 2 x = 1000, josta x = 1000 / (1,0216) 2 = 958,16 Esimerkki 5.2:n toisen kohdan opetus on se, että jos pääomaa kasvatetaan useampia vuosia, niin pääomaa laskettaessa tulee jakajaan korkotekijä ajan ilmoittamaan potenssiin korotettuna. Sovelletaan tätä diskonttauksen eli nykyarvon laskemisen ajatusta eri maksutapojen vertaamiseen: Esimerkki 5.3: Olkoon korkokanta 5 %. Yritys voi maksaa ostamansa laitteen kahdella eri tavalla. Laske kumpi tulee halvemmaksi. Vaihtoehto A: Kaupantekohetkellä maksetaan 10 000, vuoden kuluttua 4000 ja kolmen vuoden kuluttua 8 000. Vaihtoehto B: Kahden vuoden kuluttua maksetaan kerralla koko kauppasumma 22 000. Lasketaan kaikille mainituille summille se, minkä arvoisia ne ovat kaupantekohetkellä: Vaihtoehto A:ssa 10 000 on jo nykyhetkessä. Vuoden kuluttua menevän 4000 nykyarvo on 4000 /1,05 = 3809,52. (Toisin sanoen, jos yritys saisi vuoden maksuaikaa 4000 :lle, sille riittäisi laittaa nyt 3809,52 kasvamaan korkoa.) Kolmen vuoden kuluttua menevän 8000 nykyarvo on 8000 / (1,05) 3 = 6910,70 Vaihtoehto A:n nykyarvo on siis yhteensä 10 000 + 3809,52 + 6910,70 = 20720,22. Näin paljon pitäisi tällä hetkellä olla rahaa, että A-vaihtoehdon maksut saataisiin hoidettua. Vaihtoehto B:ssä saadaan nykyarvo selville yhdellä laskulla: 22 000 / (1,05) 2 = 19954,65. Johtopäätös on siis se, että vaihtoehdosta B suoriutumiseen tarvitaan vähemmän tämän hetken rahaa, ja se on halvempi. (Myyjän kannalta asia tietysti on päinvastoin.)

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 25(45) Tässä diskonttausajatuksessa ovat korkokannan ja nettokorkokannan käsitteet hieman hämärtyneet. Yleensä tässä yhteydessä puhutaan vain korkokannasta. Tämä liittyy siihen, että korkokanta voi viitata muuhunkin kuin pankkitalletuksen kautta saatavaan tuottoon. Tai kyse voi olla jopa siitä, kuinka suurta tuottoa rahalle halutaan. Kysykää johdon laskentatoimen opettajilta tarkemmin... :-] Edellä on ollut puhetta inflaatiosta, joka syö osaltaan esimerkiksi saatujen korkojen arvoa. Esimerkki 5.4: Pääoma kasvoi viidessä vuodessa 4000 :sta 5500 suuruiseksi. Samana aikana hintaindeksin pisteluku kasvoi lukemasta 107 lukemaan 118. Mikä oli pääoman reaalinen vuosituotto prosentteina? Voidaan lähteä siitä, että selvitetään mikä on 4000 reaaliarvo viiden vuoden kuluttua, ts. inflatoidaan se. Indeksin kasvu on 118/107 = 1,1028 eli 10,28 %, ts. neljää tuhatta viiden vuoden päästä vastaava rahasumma on 1,1028 4000 = 4411,21. Nyt siis viiden vuoden aikana pääoma on kasvanut 5500 / 4411,21 -kertaiseksi, eli 1,2468 - kertaiseksi. Toisin sanoen joku tuntematon korkokanta korotettuna viidenteen potenssiin on 1,2468. Otamme siis viidennen juuren luvusta 1,2468 (ei onnistu päässälaskuna useimmilta opiskelijoilta), joka on 1,0451. Reaalinen vuosituotto on siis ollut 4,51 %. Muistettava asia on tässä se, että kasvanut pääoma on saatu kertomalla alkuperäinen pääoma jollakin luvulla. Jos korkojaksoja (vuosia) on mennyt useita, niin on vielä otettava juuri, jotta saadaan yhden vuoden korkokanta. Tässä on siis tavallaan koronkoron määritelmä takaperin! 5.3. Relatiiviset ja konformiset korkokannat Katsotaan tämän luvun lopuksi vielä pari korkokantoihin liittyvää käsitettä, jotka saattavat tulla myöhemmin eteen. Korkokannat ovat relatiivisia, jos korkokanta ja korkojaksojen pituudet ovat suoraan verrannollisia. Esimerkiksi 4 % p.a. ja 2 % p.s. ovat relatiivisia (4 % vuodessa ja 2 % puolessa vuodessa). Relatiiviset korkokannat antavat samasta pääomasta eri suuren koron korkojakson aikana. Esimerkki: 1000 talletetaan 4 % p.a. vuodeksi: 1,04 1000 = 1040 1000 talletetaan 2 % p.s. puoleksi vuodeksi: 1,02 1000 = 1020 Tätä käsitettä käytetään joskus tasaerillä hoidettavissa lainoissa. Jos lainan korko on 4 % p.a., ja sitä hoidetaan kolmen kuukauden välein, niin korkokanta voi olla 1 % p.q. Silloin ei korkoa laskettaessa tarvitse käyttää osavuoden korkoa. (No, olipas iso apu...!) Hieman hankalampi (ts. käyttökelpoisempi) on se tilanne, kun korkokannat ovat konformisia, eli jos käy niin, että erilaisesta korkojaksosta huolimatta ne antavat jollekin pääomalle samassa ajassa saman koron. Esimerkki: 1000 talletetaan 10 % p.a. vuodeksi: 1,10 1000 = 1100 1000 talletetaan 4,881 % p.s. vuodeksi: (1,04881) 2 1000 = 1100 Mistä tuo 0,04881 tuli? Jotta pääoma + korko yllä olisi yhtäsuuri, pitää päteä 1,10 = (1,04881) 2

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 26(45) Niinpä on etsitty luku, joka toiseen korotettuna antaa 1,1 eli on otettu neliöjuuri luvusta 1,1. Jos korkojaksoja on useampia, niin pitää tietysti ottaa korkeampiasteisia juuria (esimerkiksi p.q. - tapauksessa neljäs juuri). Esimerkki 5.5: Arskan kulutusluotto (jatkoa viime luvusta). Arskan 500 kännykkävipin korkokanta on 2,5 % per kk. Mikä on sen korkokanta p.a.? Tutkitaan asiaa niin päin, että ajatellaan pääomaa, joka kasvaa korkoa 2,5 % per kk, ja etsitään vastaava p.a. -korkokanta (tuntematon x). (1,025) 12 500 = x 500 : 500 (1,025) 12 = x x = 1,345 Eli vastaava korkokanta p.a. on 34,5 %. Lopputulos: Arska on p.a.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 27(45) 5.4. Tehtäviä Tehtävä 5.1. Mikä voisi olla sellainen tilanne, että talletus on tallessa useamman korkojakson, mutta silti ei tarvitse laskea koronkorkoa? (Periaatteessa saatat keksiä kaksikin vastausta...) Tehtävä 5.2. Kokeile tehdä esimerkki 5.4. niin, että deflatoit 5500 viisi vuotta taaksepäin.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 28(45) 6. Jaksolliset suoritukset Harvempi asia nykymaailmassa enää hoituu kertamaksulla. Niinpä rahan kanssa toimiessa törmätään usein jaksollisiin suorituksiin. Kyse on yleisesti sanoen korkojakson välein toistuvista samansuuruisista suorituksista. 6.1 Jaksollisten suoritusten loppuarvo Yksinkertainen perustilanne on esimerkiksi se, että Arska (tai Veke) tallettaa 31.12.2007 alkaen joka vuoden viimeinen päivä 10 tilille, jonka nettokorkokanta on 3 %. Ja sitten kysytään, että paljonko tilillä on rahaa 31.12.2012? Ensimmäinen kymppi kerää korkoa 5 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 5 10 = 11,59 Toinen kymppi kerää korkoa 4 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 4 10 = 11,25 Kolmas kymppi kerää korkoa 3 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 3 10 = 10,93 Neljäs kymppi kerää korkoa 2 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 2 10 = 10,61 Viides kymppi kerää korkoa 1 vuotta, eli siitä tulee (1,03) 1 10 = 10,30 Kuudes kymppi ei ehdi kerätä korkoa yhtään mitään, eli se on edelleen 10,00. Excelillä tämäkin on helppo laskea päräyttää, ja saadaan että tilillä on yhteensä 64,68. Raha tuloa ei voi estää. On näin saatu määrättyä talletuksen loppuarvo. Matemaatikot ovat suuressa viisaudessaan kehittäneet käsitteen nimeltä geometrinen sarja, joka noista edellä kuvatuista suorituksista muodostuu. Sivuutamme kuitenkin tässä ko. käsitteen määrittelyn, ja tyydymme toteamaan, että matemaatikkojen 1 keksintöjen perusteella saadaan jaksollisten suoritusten loppuarvo näin: S (1 i) i n 1 k kun i = korkokanta (desimaalilukuna), n = suoritusten lukumäärä ja k = suorituksen euromäärä. Testataan Arskan talletukseen. nyt i = 0,03, n = 6 ja k = 10 : S (1 i) i n 1 k (1 0,03) 0,03 6 1 10 64,68 Älkää opetelko tätä kaavaa ulkoa, vaan opetelkaa tunnistamaan se, jos se joskus tulee eteen suuren kaavajoukon keskellä. Tämän kaavan antamaa k:n kerrointa sanotaan prolongaatiotekijäksi. Excel-työkalussa on tarjolla funktio nimeltä TULEVA.ARVO() (tai englanninkielisessä FV()). Koska Arska antaa rahaa pois (pankkiin), merkitään maksuerä negatiiviseksi, jolloin tulos tulee oikein päin (paljonko saadaan pankista takaisin). 1 Opekin on matematiikasta valmistunut, joskus viime vuosituhannella, silloin kun Matti Nykänen ensimmäisen kerran hyppäsi mäkeä...

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 29(45) Kuva 3 Tuleva arvo Excelissä 6.2 Jaksollisten suoritusten alkuarvo Otetaan sama takaperin: Kuinka paljon on talletettava tilille, jonka nettokorkokanta on 1,5 %, jotta voitaisiin joka vuosi nostaa 500 yhteensä 10 vuoden ajan? Tuntuu aika tikkuiselta tehtävältä. Mutta nyt meillä on kaikki tiedot olemassa, jotta saamme laskettua ko. operaation loppuarvon: S (1 i) i n 1 k (1 0,015) 0,015 10 1 500 5351,36 (Kysymys on siis käännetty niin, että paljonko 500 jaksollisten suoritusten loppuarvo on 10 vuoden päästä.) Tämä on siis summa kymmenen vuoden päässä tulevaisuudessa. Siitä saadaan nykyrahaa diskonttaamalla se nykyisyyteen, korkokannan 10. potenssilla jakamalla: A (1 S i ) n 5351,36 10 (1,015) 4611,09 Jaksollisten suoritusten alkuarvon laskentakaava on siis A (1 S i ) n (1 (1 n i) i) n 1 i k (Saatteeksi samat sanat kuin edellä loppuarvon kaavalle.) Tässä oli kyse diskonttauksesta, ja niinpä k:n edessä olevaa kerrointa sanotaankin diskonttausktekijäksi. Excel-vekkuli tuntee tämän nimellä NA() (tai englanninkielisessä PV().) Kuva 4 esittää edellistä laskua. Nyt on järkevää merkitä 500 eteen miinus, koska se on systeemistä pois otettua rahaa. Sekä prolongaatiotekijöitä että diskonttaustekijöitä on aikaisemmin (ennen Excelin keksimistä...) laskennan helpottamiseksi taulukoitu valmiiksi erilaisille korkokannoille. Nykyisin näitä taulukoita harvemmin tarvitaan.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 30(45) Kuva 4 Excel ja nykyarvo 6.3. Annuiteetti Suurimmalla osalla tämän lukijoista lienee ensimmäisen asuntolainan nosto vielä edessä. Viimeistään siinä vaiheessa on hyvä tuntea annuiteetin käsite, joten katsomme sitä seuraavaksi. Annuiteetti on tasaisin aikavälein toistuva vakioerä. Annuiteetit yhteenlaskettuna vastaavat tiettyä kokonaispääomaa. Kun tämä viimeksi mainittu tieto yhdistetään kahden edellisen alaluvun juttuihin, niin homma alkaakin olla paketissa. Esimerkki. Esimerkki 6.1: Nuoripari (avoliitto tai rekisteröity parisuhde) hankkii auton, jonka hinnasta 20 000 rahoitetaan pankista otetulla annuiteettilainalla. Laina-aika on kolme vuotta ja korkokanta 5 %. Laske annuiteetin suuruus, kun lainaa lyhennetään kerran vuodessa. Tässä hyödynnetään alkuarvon käsitettä. Jotta laina ja korot saadaan maksetuiksi, on suoritusten alkuarvon oltava 20 000, eli se, mitä pankista nostetaan. Alkuarvon kaavaa siis kehiin: 3 1,05 1 20000 k 3 1,05 0,05 Eli tilanne on se, että k on tällä kertaa tuntematon. Pienellä pyöräytyksellä (jaetaan molemmat puolet k:n kertoimella) saamme 3 1,05 1 20000 k 20000 : 7344,17 3 1,05 0,05 2,72 (Anteeksi vähän hämäävä kahden eri jakolaskumerkinnän käyttö ) Jälkimmäiseltä kaavariviltä voimme poimia suoraan kaavan annuiteetin laskemiseksi. Kun vielä muutamme jakolaskun kertolaskuksi (taas tarvittiin murtolukuja!) vaihtamalla osoittajan ja nimittäjän keskenään, tulee kaavaksi tasaerä (1 (1 i) n i) n i 1 A Kaavan suhteen jälleen samat huomautukset: Älä opettele ulkoa, mutta opi tunnistamaan.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 31(45) A:n kerroin on nimeltään annuiteettitekijä. Taulukkolaskentaystävämme osaa tämän kaavalla MAKSU() (englanninkielisessä PMT()). Kuva 5 Annuiteetin laskeminen 6.4. Jaksollisten suoritusten lukumäärä Toinen kysymyksenasettelu voisi olla, että mitä jos annuiteettiin on käytettävissä jokin tietty rahamäärä esim. kuukaudessa, mutta erien lukumäärä on auki. Esimerkiksi juuri lainan maksussa tämä on tavallista: Tiedetään, että lainan hoitoon liikenee muutama satanen kuussa, joten pitää laskea kauanko (=montako erää) jonkin tietyn lainan takaisinmaksuun menee. Esimerkki 6.2:Tallettaja suunnittelee sijoittavansa vuosittain 5000 sijoitustilille, jolle on onnistunut neuvottelemaan 5 % koron (miinus verot). Kuinka monen vuoden kuluttua tilille on kertynyt 100000? Aina kun vero on mukana, niin aloitetaan nettokorkokannan laskennalla: 0,72 5 % = 3,6 %. Nyt tiedetään loppuarvo, 10 000 ja korkokanta. Otetaan siis loppuarvon kaava käyttöön: n (1 0,036) 1 100000 5000 0,036 Se, mitä ei tiedetä, on nyt erien määrä n. Koetetaan saada se laskusta ulos: (1 0,036) 0,036 n n (1,036) 1 1 n (1,036) 100000 5000 20 1,72 0,036 0,036 + 1 Nyt näyttää muuten hyvältä, paitsi että tuntematon on eksponentissa. Tarvitaan siis logaritmia. Periaatteessa vielä 1,036-kantaista logaritmia, mutta voimme ottaa apuun logaritmien laskusäännön, joka antaa tämännäköistä: log1,72 n 15,334 log1,036 Tarkoittaa sitä, että tarvitaan 16 erää, koska 15 ei ihan riitä.

HZZ10100 Liiketoimintaosaamisen lähtökohdat: kauppamatematiikka 32(45) Tälle laskulle en anna valmista kaavaa, vaan opetelkaa johtamaan se. Käyttämämme taulukkolaskennan vastaava funktio on NJAKSO() (tai englanniksi NPER()). Kuva 6 Jaksollisten suoritusten lukumäärä