Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut

Transkriptio

1 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot ilmaistaan vuosikorkoina. Jos korko lisätään pääomaan vuosittain ja pääoma A lainataan vuodeksi niin vuoden päästä maksetaan (1+s 1 )A ja jos lainataan kahdeksi vuodeksi niin kahden vuoden päästä maksetaan (1+s 2 ) 2 A. Yleisemmin: mikäli korko lisätään pääomaan m kertaa vuodessa ja pääoma A lainataan t vuodeksi niin t:n vuoden päästä maksetaan (1 + st m )mt A. Nyt on myös mt:n oltava kokonaisluku eli ts. t = 1 mk, missä k on kokonaisluku. Jatkuvan koron tapauksessa saadaan lim (1 + s t m m )mt A = e stt A ja nyt ajan t ei tarvitse olla kokonaisluku. Spot-korot voidaan teoriassa määrittää joko nollakuponkisten joukkovelkakirjojen maturiteettituotoista tai lähtemällä liikkeelle lyhyen maturiteetin joukkovelkakirjoista ja etenemällä portaittain kohti suurempia maturiteetteja. Esim. määritetään s 1 1 vuoden korkotason mukaisesti. s 2 voidaan tällöin ratkaista 2 vuoden joukkovelkakirjan avulla yhtälöstä P = C 1+s 1 + C+F (1+s 2. Näin etenemällä voidaan ratkaista s ) 2 3, s 4,... ja saadaan ns. korkokäyrä. Nollakuponkikorkoisella joukkovelkakirjalla tarkoitetaan sellaista joukkovelkakirjaa, jonka hinta on nimellisarvoaan pienempi ja johon ei sisälly maksettavia kuponkeja. Nollakuponkisen joukkovelkakirjan hinta on F siis sen nimellisarvon F nykyarvo P =, missä n on joukkovelkakirjan maturiteetti. (1 + r) n Nollakuponkikorkoisia joukkovelkakirjoja ei välttämättä aina tarjolla tietylle maturiteetille. Maturiteetiltaan samanlaisista, mutta kuponkikoroiltaan erilaisista joukkovelkakirjoista voidaan kuitenkin rakentaa portfolio, jonka kuponkituotto on nolla. Olkoon joukkovelkakirjojen A ja B maturiteetti n vuotta ja nimellisarvo F euroa. A:n kuponkikorko on λ A ja B:n kuponkikorko λ B < λ A. A:n hinta on P A ja B:n hinta P B < P A. Nollakuponkikorkoinen joukkovelkakirja voidaan tällöin rakentaa ostamalla B:tä n B kpl ja myymällä (so. lasketaan liikkeelle) A:ta n A kpl. Portfolion arvoksi (so. hinta) saadaan tällöin n B P B n A P A Vaaditaan, että kuponkimaksut kumoavat toisensa eli n A λ A + n B λ B = 0 Skaalataan nollakuponkikorkoisen portfolion nimellisarvoksi 100, jolloin täytyy päteä 100n A + 100n B = 100 On siis ratkaistava yhtälöpari n A λ A + n B λ B = 0 100n A + 100n B = 100 Yhtälöparin ratkaisulle pätee n A nb = λb λa Forward-korot määrittävät etukäteen sen koron, joka maksetaan myöhemmin lainattavalle pääomalle. Esimerkiksi lainataan kahdeksi vuodeksi jolloin korko on (1 + s 2 ) 2 tai lainataan ensin vuodeksi ja sen jälkeen uudelleen vuodeksi, jolloin korko on (1 + s 1 )(1 + f), missä f on forward-korko. Arbitraasiperiaatteen mukaisesti on oltava (1 + s 2 ) 2 = (1 + s 1 )(1 + f) ja saadaan f = (1+s 2) 2 1+s 1 1. Yleisemmin voidaan kirjoittaa, että vuodesta i vuoteen j > i lainattavaa pääomaa koskeva forward-korko f i,j saadaan yhtälöstä (1 + s j ) j = (1 + s i ) i (1 + f i,j ) j i, josta f i,j = [ (1+s j) j (1+s i ] 1 ) i j i 1.

2 Immunisoinnilla tarkoitetaan joukkovelkakirjaportfolion rakentamista korkoriskiltä suojautumiseksi. Duraatioanalyysin avulla voidaan tukea sellaisten joukkovelkakirjojen valintaa, jotka minimoivat korkoriskin. Oletetaan spot-korkojen muuttuvan saman verran λ riippumatta ajanhetkestä ja tarkastellaan sen vaikutusta joukkovelkakirjan arvoon (so. hintaan). n x k Nykyarvo: P V (λ) = k=0 (1 + s k+λ m )k dp (λ) n k x k Nykyarvon muutos derivaatan avulla kohdassa λ = 0: λ=0 = m (1 + s k k=0 m ) k+1 Jakamalla tämä puolittain P V (0):lla saadaan ns. kvasimodioitu duraatio nk=0 1 k x k dp (λ) m (1+ s k λ=0 = m ) k+1 P V (0) P V (0) = D Q Korkoriskiltä suojaava portfolio voidaan rakentaa sitoumukselle S siten, että a) portfolion nykyarvo ja b) kvasimodioitu duraatio ovat samat kuin sitoumukselle. Nykyarvo voidaan laskea myös rekursiivisesti: P V (0) = x 0 + d 1 x 1 + d 2 x d n x n P V (0) = x 0 + d 1 [x 1 + d 2 d 1 x dn d 1 x n ] P V (0) = x 0 + d 1 P V (1) Yleisemmin voidaan merkitä d k,n = d k,k+1 d k+1,k+2 d n 1,n ja saadaan P V (k) = x k + d k,k+1 P V (k + 1)

3 1. (L4.3) Tarkastellaan kahta 5 vuoden joukkovelkakirjaa. Ensimmäisen kuponkikorko on 9% ja hinta pistettä. Toisen korko on 7% ja hinta pistettä. Mikä on tällöin 5 vuoden nollakuponkikorkoisen joukkovelkakirjan hinta? Olkoon joukkovelkakirjat A ja B. Skaalataan nollakuponkikorkoisen joukkovelkakirjan nimellisarvoksi 100. Tällöin siis myös hinta ilmoitetaan nimellisarvon perusteella. Vuosi P A B n A A + n B B ? On ratkaistava n A ja n B yhtälöparista: 9n A + 7n B = 0 100n A + 100n B = 100 Ratkaisuksi saadaan n A = 3.5, n B = 4.5. Tämä siis tarkoittaa, että myydään joukkovelkakirjaa A ja ostetaan joukkovelkakirjaa B. Nollakuponkikorkoisen joukkovelkakirjan hinnaksi saadaan pistettä.

4 2. (L4.5) Olkoot s(t), 0 t, spot-korot. Tällöin ajanhetkellä t saadun markan nykyarvo on e s(t)t. Olkoon t 1 < t 2 ja f(t 1, t 2 ) spot-korkojen määräämä forward-korko aikavälille t 1 :stä t 2 :een (t 1 < t 2 ). a) Määritä f(t 1, t 2 ):n lauseke s(t):n avulla. b) Olkoon r(t) = lim f(t, t t2 2). Tällöin r(t):tä voidaan kutsua välittömäksi koroksi hetkellä t. Osoita, että t r(t) = s(t) + s (t)t. c) Pankkiin talletetaan x 0 :n verran rahaa ajanhetkellä t = 0. Pankki maksaa talletukselle jatkuvasti välitöntä korkoa r(t) (korkoa korolle). Pankkitilin tase x(t) toteuttaa tällöin dierentiaaliyhtälön dx(t) = r(t)x(t). Määritä x(t):n lauseke. a) Forward-koron määritelmän perusteella e s(t 2)t 2 = e s(t 1)t 1 e f(t 1,t 2 )(t 2 t 1 ) = e s(t 1)t 1 +f(t 1,t 2 )(t 2 t 1 ) s(t 2 )t 2 = s(t 1 )t 1 + f(t 1, t 2 )(t 2 t 1 ) f(t 1, t 2 ) = s(t 2)t 2 s(t 1 )t 1 t 2 t 1 b) Derivaatan määritelmän sekä tulon derivointisäännön perusteella saadaan r(t) = lim f(t, t s(t 2 )t 2 s(t)t t2 2) = lim = d t t2 t t 2 t [s(t)t] = s(t) 1 + s (t) t = s(t) + s (t)t m.o.t. c) b-kohdasta saadaan, että r(t) = d [s(t)t], jolloin dierentiaaliyhtälö saadaan muotoon = d [s(t)t]x(t) dx(t) dx(t) x(t) = d [s(t)t] Luonnollisen logaritmin derivointisäännön dln(x) dx = x (t) x(t) = dx(t) x(t) avulla saadaan dln(x(t)) = d [s(t)t] Integroidaan ln(x(t)) = s(t)t + C e ln(x(t)) = e s(t)t+c = e s(t)t e C = De s(t)t x(t) = De s(t)t, missä C ja D ovat vakioita. Reunaehto x 0 = x(0) D = x 0, jolloin saadaan lopulta ratkaisuksi x(t) = x 0 e s(t)t.

5 3. (L4.7) Sijoittaja harkitsee 10 vuoden joukkovelkakirjan ostamista ja suunnittelee pitävänsä sen koko lainaajan. Kupongeista sekä nimellisarvosta kauppahinnan ylittävältä osalta joudutaan maksamaan vero samana vuonna. Veroprosentti t on 30%. Kaksi 10 vuoden joukkovelkakirjaa täyttävät sijoittajan vaatimukset. Joukkovelkakirjan 1 kuponkikorko on 10% ja hinta P 1 = Joukkovelkakirjan 2 kuponkikorko on puolestaan 7% ja hinta P 2 = Joukkovelkakirjojen hintojen perusteella sijoittaja haluaa laskea kuvitteellisen 10 vuoden nollakuponkikorkoisen joukkovelkakirjan hinnan. Hinnan tulee olla sellainen, että se ja joukkovelkakirjojen 1 ja 2 hinnat ovat verojen jälkeen keskenään johdonmukaisia. Laske nollakuponkikorkoisen joukkovelkakirjan hinta. Osoita, että se ei riipu veroprosentista. Kuponkikorkojen tulee olla 0 eli 10n 1 + 7n 2 = 0, koska joukkovelkakirjan 1 kuponkikorko on 10% ja joukkovelkakirjan 2 kuponkikorko on 7%. Nimellisarvoksi skaalataan 100 eli 100n n 2 = 100 n 1 + n 2 = 1. Ratkaisemalla molemmat yhtälöt saadaan n 1 = 7 3 = 2.33 ja n 2 = 10 3 = Toisin sanoen myydään (so. lasketaan liikkeelle) joukkovelkakirjaa 1 ja ostetaan joukkovelkakirjaa 2. Nyt on siis muodostettu nollakuponkinen portfolio joukkovelkakirjoista 1 ja 2. Nyt kassavirrat eivät ole kuitenkaan yksikäsitteisesti määriteltyjä, koska ne riippuvat verojen johdosta joukkovelkakirjan hinnasta. Veroja menee nimellisarvosta kauppahinnan ylittävältä osalta 100-P, missä P on joukkovelkakirjan hinta. Koska rakennetaan nollakuponkinen portfolio ei kupongeista makseta veroja. Veroja siis maksetaan määrä 100 (100 P )t. Nyt on siis etsittävä sellainen hinta, jolla joukkovelkakirjojen 1 ja 2 muodostaman nollakuponkisen portfolion verojen jälkeinen nimellismaksu on sama kuin "kuvitteellisen"nollakuponkisen joukkovelkakirjan vastaavan maksun kanssa. Toisin sanoen etsitään sellainen hinta P 0, että siitä sekä replikoivasta portfoliosta tulee samat kassavirrat. n 1 [100 (100 P 1 )t] + n 2 [100 (100 P 2 )t] = 100 (100 P 0 )t Sijoittamalla n 1 + n 2 = 1 saadaan, että P 0 = P 1 n 1 + P 2 n 2 = ( 2.33) Toisin sanoen hinta on veroista huolimatta painotettu summa portfolion sisältämien joukkovelkakirjojen hinnasta kuten pitääkin.

6 4. (L4.13) Taulukossa 1 on esitetty erään yrityksen sitoumusten edellyttämät maksut seuraavien 8 vuoden aikana sekä markkinoiden spot-korot. Yritys on päättänyt sijoittaa kahteen joukkovelkakirjaan. Joukkovelkakirjan 1 laina-aika on 12 vuotta, kuponkikorko 6% ja hinta Joukkovelkakirjan 2 laina-aika on vastaavasti 5 vuotta, kuponkikorko 10% ja hinta Rakenna joukkovelkakirjoista 1 ja 2 immunisoitu portfolio. Taulukko 1: Vuosi Maksu Spot-korko Immunisoidun portfolion rakentamiseksi on määriteltävä ensin sitoumuksen sekä joukkovelkakirjojen nykyarvot sekä kvasimodioidut duraatiot. Nykyarvo, kun spot-korot muuttuvat ajanhetkestä riippumatta λ:n verran: n P (λ) = x k (1 + s k + λ m ) k k=1 Tästä johdetaan kvasimodioidun duraatiolle (QM) yhtälö (huom. kvasimodioitu duraatio ei aikasuure): n dp (0) dp (0) λ=0 = ( k m )x k(1 + s k + λ m ) (k+1) D Q 1 dp (0) P (0) k=1 dp (0) = P (0)D Q Ao. taulukoissa duraatiokertoimella tarkoitetaan QM-duraation osoittajassa olevan summatermin osoittajan kerrointermejä ilman maksuja. Duraatiotemillä puolestaan tarkoitetaan vastaavaa lauseketta, jossa maksut on otettu mukaan. Vuosi Spot-kurssi Diskonttauskerroin Duraatiokerroin Sitoumukset Nykyarvotermi Duraatiotermi QM-duraatioksi saadaan 2.45 = duraatiotermien summa / nykyarvotermien summa.

7 JVK Nykyarvotermi Duraatiotermi QM-duraatioksi saadaan 7.07 = duraatiotermien summa / nykyarvotermien summa. JVK Nykyarvotermi Duraatiotermi QM-duraatioksi saadaan 3.80 = duraatiotermien summa / nykyarvotermien summa. Nyt on siis ratkaistava yhtälöryhmä x 1 P 1 + x 2 P 2 = P sit x 1 P 1 D 1 + x 2 P 2 D 2 = P sit D sit Voidaan ratkaista esim. solverilla ja saadaan joukkovelkakirjojen lukumääriksi x 1 = 14.0 ja x 2 = 31.1.

8 5. (L4.15) Kalle Virtanen halusi tietää, mittaako duraatio hinnan herkkyyttä lyhyiden korojen muutokseen (s.o. r k r k + λ). Aikansa mietittyään Kalle löysi lopulta nykyarvon rekursiiviseen määritelmään perustuvan vastauksen. Olkoon P k (λ) nykyarvo hetkellä k ja kun korkotaso muuttuu λ yksikköä, ja S k = dp k(λ) λ=0. S k :t voidaan laskea rekursiivisesti yhtälöstä S k 1 = a k P k (0) + b k S k, kun P k :t on laskettu ensin omasta rekursioyhtälöstään. Laske a k ja b k. Mittaako duraatio kysyttyä herkkyyttä? Joukkovelkakirjan hinta hetkellä k: P k Kassavirta hetkellä k: c k Lyhyt korko hetkellä k: r k Lyhyen koron muutos: λ Tutkitaan siis nykyarvon P 0 herkkyyttä korkomuutokselle r k r k + λ Spot-korot määräytyvät korkomuutoksen jälkeen seuraavasti: (1 + s k ) k = (1 + r 0 + λ)(1 + r 1 + λ) (1 + r k 1 + λ) Tästä nähdään, että spot-koroissa tapahtuva muutos ei selvästi ole sama kuin mitä duraatio kuvaa eli s k s k + λ Toisin sanoen duraatio ei mittaa kysyttyä herkkyyttä. Lähdetään tutkimaan Kallen kaavaa. Rekursiiviseksi nykyarvon kaavaksi saadaan P k 1 (λ) = x k 1 + P k(λ) 1+r k 1 +λ Derivaataksi voidaan pyöritellä d P k 1(λ) = d (x k 1 + P k(λ) 1+r k 1 +λ ) = Sijoitetaan λ = 0 jolloin saadaan d 1+r k 1 +λ P 1 k(λ) (1+r k 1 +λ) 2 P k (λ) d P k 1(λ) λ=0 = 1 d 1+r k 1 P 1 k(λ) λ=0 (1+r k 1 P ) 2 k (0) Merkitsemällä tehtävänannon mukaisesti S k = d P k(λ) λ=0 saadaan, että S k 1 = 1 1+r k 1 S k 1 (1+r k 1 ) 2 P k (0), mistä saadaan, että a k = 1 (1+r k 1 ) 2 ja b k = 1 1+r k 1.