määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.
|
|
|
- Maija-Leena Inkeri Auvinen
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. s07/10. Ratkaise graafisesti epäyhtälöryhmä y x 2 7x + 2y 14 5x + 4y 28 Anna vastauksena kuvio, johon on merkitty ratkaisujoukko. s07/8. Keltaista ja sinistä väripigmenttiä käytettiin kahden erisävyisen vihreän maalin sekoittamiseen. Maaliin A tarvittiin litraa kohden 80 g keltaista pigmenttiä ja 110 g sinistä pigmenttiä, maaliin B vastaavasti 120 g keltaista ja 90 g sinistä pigmenttiä. Kuinka monta litraa kumpaakin maalia valmistettiin, kun keltaista pigmenttiä käytettiin 3,2 kg ja sinistä 3,5 kg? s10/13. Millä vakion a arvolla yhtälöparilla 2x + ( a + 1) y = 5 3x + ( a 2) y = a ei ole ratkaisua? s96/2a. Tasoaluetta rajoittavat suorat x =2, y = x ja y + 3 = 0. Piirrä alue ja kirjoita epäyhtälöt, jotka määräävät kyseisen alueen (ilman reunoja). k98/9. Tietokoneella, johon voidaan kytkeä joko kirjoitin A tai kirjoitin B, valmistetaan 1200 kappaleen erä mainoslehtisiä. Käyttämällä ensin kirjoitinta A 1 h 55 min ja sitten kirjoitinta B 1 h 30 min tulee työ tehtyä. Sama työ saatiin tehdyksi käyttämällä ensin kirjoitinta B 1h 20 min ja sitten kirjoitinta A 2 h 10 min. Kuinka monta mainoslehteä kirjoittimet A ja B tulostavat minuutissa? Kuinka kauan työ kestää, jos käytetään vain nopeampaa kirjoitinta? k00/14. Henkilö suunnittelee kalastusaltaan perustamista liikeyrityksenä. Altaaseen istutettaisiin toukokuun alussa kirjolohta. Joka viikko altaan kirjolohista pyydettäisiin noin 20 %, ja seuraavan viikon alussa altaaseen siirrettäisiin aina 100 uutta kirjolohta. Kirjolohia voi suurissa erissä ostaa kalankasvattajalta 10 markan kappalehintaan. Kuinka monta kalaa altaassa olisi 20 viikon kuluttua kalastussesongin päättyessä? Mikä pitäisi asettaa altaasta pyydettävän kirjolohen hinnaksi, jotta liikeyritykselle jäisi kalojenhankintakustannusten jälkeen katteeksi 20 viikon ajalta mk, kun mahdolliset pyytämättä jääneet kirjolohet myytäisiin kalasavustamoon 13 markan kappalehintaan?
2 Sarja 2 k09/13. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 1, viimeinen termi on 61, ja jonon termien summa on 961. Mikä on jonon toinen termi? k09/14. Talletustilin vuosikorko on 1,50 prosenttia, ja korkotuotosta peritään vuosittain 29 prosentin lähdevero. Tiliä avattaessa talletetaan e, eikä muita talletuksia tehdä. a) Kuinka paljon tilillä on rahaa kymmenen vuoden kuluttua, kun korko liitetään pääomaan vuoden välein? b) Monenko vuoden kuluttua talletus on kaksinkertaistunut? s08/10. Lukujonon ensimmäinen termi on 2, ja jonon kukin seuraava termi on aina 5 % suurempi kuin edellinen termi. Muodosta jonon n:nnen termin lauseke. Tutki tämän avulla, kuinka moni jonon termi on pienempi kuin 1000 miljoonaa. Laske näiden termien summa kolmen numeron tarkkuudella. k08/11. Isoisä avasi vuoden 2006 alussa lapsenlastaan varten tilin, jonka vuotuinen korkoprosentti lähdeveron vähentämisen jälkeen on 1,750, ja talletti tilille 700 euroa. Isoisä jatkaa seuraavina vuosina tallettamalla saman summan. Korko lisätään vuosittain tilin saldoon vuoden viimeisenä päivänä. Kuinka paljon tilillä on rahaa vuoden 2010 lopussa koron lisäyksen jälkeen? Muodosta ja sievennä lauseke, joka antaa tilin saldon vuoden lopussa, kun talletus on tehty n kertaa. Minkä vuoden lopussa rahaa on vähintään euroa? s07/9. Vanhassa tarinassa šakkilaudan 64 ruudulle sijoitetaan vehnänjyviä: ensimmäiselle ruudulle yksi, toiselle kaksi, kolmannelle neljä jne. Seuraavalla ruudulla on aina edellisen ruudun määrä kaksinkertaisena. Kuinka monta ruutua voidaan täyttää Suomen vuotuisella 700 miljoonan kilogramman vehnäsadolla, jos oletetaan, että yksi vehnänjyvä painaa 25 mg? s06/14. Henkilö osallistuu jatkuvasti lottoarvontaan täyttämällä Internetissä yhden lottorivin kymmeneksi viikoksi joka toisen kuukauden alussa. Laske, kuinka paljon henkilölle kertyisi rahaa pankkitilille, jos hän loton sijasta 40 vuoden ajan, alkaen tammikuun 1. päivästä, tallettaisi joka toisen kuukauden alussa 7 euroa tilille, joka kasvaa korkoa 1,5 % vuodessa. Lähdeveroa ei oteta huomioon. k06/11. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 2 3, toinen on 7 ja viimeinen 117. Laske jonon summa. k11/13. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 10 ja toinen termi 12. Geometrisen jonon ensimmäinen termi on 2 ja suhdeluku q = 21/20. Monennestako termistä lähtien geometrisen jonon termi on suurempi kuin vastaava aritmeettisen jonon termi? Muodosta tarvittava epäyhtälö ja etsi sille ratkaisu kokeilemalla.
3 Sarja 1 Ratkaisut k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. s07/10. Ratkaise graafisesti epäyhtälöryhmä y x 2 7x + 2y 14 5x + 4y 28 Anna vastauksena kuvio, johon on merkitty ratkaisujoukko. s07/8. Keltaista ja sinistä väripigmenttiä käytettiin kahden erisävyisen vihreän maalin sekoittamiseen. Maaliin A tarvittiin litraa kohden 80 g keltaista pigmenttiä ja 110 g sinistä pigmenttiä, maaliin B vastaavasti 120 g keltaista ja 90 g sinistä pigmenttiä. Kuinka monta litraa kumpaakin maalia valmistettiin, kun keltaista pigmenttiä käytettiin 3,2 kg ja sinistä 3,5 kg?
4 s10/13. Millä vakion a arvolla yhtälöparilla 2x + ( a + 1) y = 5 3x + ( a 2) y = a ei ole ratkaisua? s96/2a. Tasoaluetta rajoittavat suorat x =2, y = x ja y + 3 = 0. Piirrä alue ja kirjoita epäyhtälöt, jotka määräävät kyseisen alueen (ilman reunoja). Piirretään rajoittavat suorat x = 2, y = x ja y = < 2 1 < 1 ja havaitaan että yhtälöt ovat tosia. 1 > 3 Koska alue on suorien rajoittama, sen täytyy olla suorien rajoittama. Päätellään epäyhtälöt siitä kummalla puolella suoraa alue on: x < 2 y < x y > 3 Osoitetaan että alue on yllä oleva, sijoitetaan piste (1, -1) yhtälöryhmään: k98/9. Tietokoneella, johon voidaan kytkeä joko kirjoitin A tai kirjoitin B, valmistetaan 1200 kappaleen erä mainoslehtisiä. Käyttämällä ensin kirjoitinta A 1 h 55 min ja sitten kirjoitinta B 1 h 30 min tulee työ tehtyä. Sama työ saatiin tehdyksi käyttämällä ensin kirjoitinta B 1h 20 min ja sitten kirjoitinta A 2 h 10 min. Kuinka monta mainoslehteä kirjoittimet A ja B tulostavat minuutissa? Kuinka kauan työ kestää, jos käytetään vain nopeampaa kirjoitinta? Merkitään x = tulostetut lehdet A:lla / min y = tulostetut lehdet B:llä / min A B 1h 55 min = 115 min 115x + 90y = h 30 min = 90 min
5 A 2 h 10 min = 130 min 130x + 80y = 1200 B 1h 20 min = 80 min Saadaan yhtälöpari 115x + 90y = 1200 ( 130) 130x + 80y = x 11700y = x y = y = y = 7,2 Jos y = 7, 2, niin 115x ,2 = x = x = 552 :115 x = 4,8 :( 2500) Tulostus vain nopealla kirjoittimella kestää Vastaus: Tulostin A 4,8 lehteä/min Tulostin B 7,2 lehteä/min Tulostus nopeammalla kirjoittimella B kestää 2 h 50 min min = 166,66... min 2h 50 min. 7,2 k00/14. Henkilö suunnittelee kalastusaltaan perustamista liikeyrityksenä. Altaaseen istutettaisiin toukokuun alussa kirjolohta. Joka viikko altaan kirjolohista pyydettäisiin noin 20 %, ja seuraavan viikon alussa altaaseen siirrettäisiin aina 100 uutta kirjolohta. Kirjolohia voi suurissa erissä ostaa kalankasvattajalta 10 markan kappalehintaan. Kuinka monta kalaa altaassa olisi 20 viikon kuluttua kalastussesongin päättyessä? Mikä pitäisi asettaa altaasta pyydettävän kirjolohen hinnaksi, jotta liikeyritykselle jäisi kalojenhankintakustannusten jälkeen katteeksi 20 viikon ajalta mk, kun mahdolliset pyytämättä jääneet kirjolohet myytäisiin kalasavustamoon 13 markan kappalehintaan? a n = kalat n. viikon päästä a 1 = 0, = 4000 (määrä 1. viikon lopussa) Määräksi seuraavien viikkojen lopussa saadaan a = 0,8( a ), n = 2,3,... Kaloja 20 viikon kuluttua a1 = 4000 M a2 = 3280 a17 = 501 a3 = 2704 a18 = 481 a4 = 2243 a19 = 465 a = 1873 a = (kpl) 5 20 Kaloja on istutettu kaikkiaan = 6900 (kpl). Merkitään pyydettävän kirjolohen hintaa x. n n
6 Kaloja pyydetty = 6450 (kpl) Tulot: 6450 x ,20 = 6450x ( ) Kulut: ,68 = ( ) Kate on 8400, kun Tulot Kulut = x = x = x = 2, :6450 Hinnaksi pitää laittaa 2,95. Vastaus: Jäljellä 450 kalaa. Hinta pitää olla 2,95 /kpl. Sarja 2 Ratkaisut k09/13. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 1, viimeinen termi on 61, ja jonon termien summa on 961. Mikä on jonon toinen termi? k09/14. Talletustilin vuosikorko on 1,50 prosenttia, ja korkotuotosta peritään vuosittain 29 prosentin lähdevero. Tiliä avattaessa talletetaan e, eikä muita talletuksia tehdä. a) Kuinka paljon tilillä on rahaa kymmenen vuoden kuluttua, kun korko liitetään pääomaan vuoden välein? b) Monenko vuoden kuluttua talletus on kaksinkertaistunut? s08/10. Lukujonon ensimmäinen termi on 2, ja jonon kukin seuraava termi on aina 5 % suurempi kuin edellinen termi. Muodosta jonon n:nnen termin lauseke. Tutki tämän avulla, kuinka moni jonon termi on pienempi kuin 1000 miljoonaa. Laske näiden termien summa kolmen numeron tarkkuudella.
7 k08/11. Isoisä avasi vuoden 2006 alussa lapsenlastaan varten tilin, jonka vuotuinen korkoprosentti lähdeveron vähentämisen jälkeen on 1,750, ja talletti tilille 700 euroa. Isoisä jatkaa seuraavina vuosina tallettamalla saman summan. Korko lisätään vuosittain tilin saldoon vuoden viimeisenä päivänä. Kuinka paljon tilillä on rahaa vuoden 2010 lopussa koron lisäyksen jälkeen? Muodosta ja sievennä lauseke, joka antaa tilin saldon vuoden lopussa, kun talletus on tehty n kertaa. Minkä vuoden lopussa rahaa on vähintään euroa? s07/9. Vanhassa tarinassa šakkilaudan 64 ruudulle sijoitetaan vehnänjyviä: ensimmäiselle ruudulle yksi, toiselle kaksi, kolmannelle neljä jne. Seuraavalla ruudulla on aina edellisen ruudun määrä kaksinkertaisena. Kuinka monta ruutua voidaan täyttää Suomen vuotuisella 700 miljoonan kilogramman vehnäsadolla, jos oletetaan, että yksi vehnänjyvä painaa 25 mg? s06/14. Henkilö osallistuu jatkuvasti lottoarvontaan täyttämällä Internetissä yhden lottorivin kymmeneksi viikoksi joka toisen kuukauden alussa. Laske, kuinka paljon henkilölle kertyisi rahaa pankkitilille, jos hän loton sijasta 40 vuoden ajan, alkaen tammikuun 1. päivästä, tallettaisi joka
8 toisen kuukauden alussa 7 euroa tilille, joka kasvaa korkoa 1,5 % vuodessa. Lähdeveroa ei oteta huomioon. k06/11. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 2 3, toinen on 7 ja viimeinen 117. Laske jonon summa. k11/13. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 10 ja toinen termi 12. Geometrisen jonon ensimmäinen termi on 2 ja suhdeluku q = 21/20. Monennestako termistä lähtien geometrisen jonon termi on suurempi kuin vastaava aritmeettisen jonon termi? Muodosta tarvittava epäyhtälö ja etsi sille ratkaisu kokeilemalla.
Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2
Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään
4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on
Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)
MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
Potenssiyhtälö ja yleinen juuri
Potenssiyhtälö ja yleinen juuri 253. Tutki sijoittamalla, mitkä luvuista ovat yhtälön ratkaisuja. a) x 2 = 1 b) x 3 = 8 x = 2 x = 1 x = 1 x = 2 x 2 = 1 x = 1 ja x = 1, koska 1 2 = 1 ja ( 1) 2 = 1 x 3 =
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.
1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT
9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT ALOITA PERUSTEISTA 370A. Kunnallisveroprosentti oli 19,5, joten 31 200 tuloista oli maksettava kunnallisveroa 0,195 31 200 = 6084. Vastaus: 6084 euroa 371A. a) Hajuveden
= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.
Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..
Ma4 Yhtälöt ja lukujonot
Ma4 Yhtälöt ja lukujonot H4 Lukujonot 4.1 Kirjoita lukujonon seuraavat viisi termiä, kun ensimmäinen termi on 1 ja muut muodostuvat seuraavien sääntöjen mukaan. a) Lisää edelliseen termiin 3. b) Kerro
PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)
1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,...
Vastaukset:. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,.... a) 0 b) 0 c) ( a 3) 3. 0 5 8 3 4 4 4. a) 7 b) -7 c) d) 5 5. - 8-7 0 6 5 4 6. a) Tbsjub b) Eino c) - 7. a) b) 5
Koontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
diskonttaus ja summamerkintä, L6
diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson
Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan
Talousmatematiikan perusteet: Luento 2 Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Viime luennolla Lukujono on päättyvä tai päättymätön jono reaalilukuja a 1, a 2,, a n, joita sanotaan jonon termeiksi. Erikoistapauksia
MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.
MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan
Prosenttilaskentaa osa 2
Prosenttilaskentaa osa 2 % 1 9. Perusarvon laskeminen Perusarvo = alkuperäinen arvo Esimerkki 1. Mikä on a) luku, josta 72 % on 216 b) aika, josta 40 % on 38 min c) matka, josta 5 % on 400 m Esimerkki
Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset
Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin
2 arvo muuttujan arvolla
Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta.
Seuraava esimerkki on yhtälöparin sovellus tyypillisimmillään Lukion ekaluokat suunnittelevat luokkaretkeä Sitä varten tarvitaan tietysti rahaa ja siksi oppilaat järjestävät koko perheen hipat Hippoihin
Suora kulkee pisteen (1, 5) kautta leikkaamatta suoraa 2y - x + 1 = 0. Mikä on suoran yhtälö? Piirrä kuvio. (s97)(y = ½x + 9/2))
KURSSI MB6: MATEMAATTISIA MALLEJA II Kahden muuttujan yhtälö (suora) Suora kulkee pisteen (1, 5) kautta leikkaamatta suoraa 2y - x + 1 = 0. Mikä on suoran yhtälö? Piirrä kuvio. (s97)(y = ½x + 9/2)) Missä
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LUKUVUODEN E-KURSSI
1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB6 Matemaattisia malleja II Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi MAB6-kurssin työtila on nähtävillä myös
MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.
MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008
Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka)
sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Polynomi ja yhtälö Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x. Ratkaisu a) 7a b) 12x c) 6x + 6
Polynomi ja yhtälö 103. Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x a) 7a b) 12x c) 6x + 6 104. Ratkaise yhtälöt. a) 2x + 3 = 9 b) 8x + 2 = 5x + 17 a) 2x + 3 = 9 3 2x = 6 : 2 x = 3 b) 8x + 2 = 5x + 17 2
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
5 Kertaus: Matemaattisia malleja
5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5. Kurssin keskeiset asiat. a) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = ja pisteen (0, 3) avulla. y ( 3) ( x 0) y 3 x y x 3 b) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin
3 Eksponentiaalinen malli
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 6, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 6, Kevät 2018 Päivityksiä: Ratkaisuja päivitetty paljon. 1. Fiktiivisellä saarella asuu pieniä otuksia, joiden elinkaari on seuraavanlainen: jokainen
MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.
MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen
Aritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 =
Prosentti- ja korkolaskut 1
Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?
a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Kenguru 2017 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä.
c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan
Talousmatematiikan perusteet: Luento 2 Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Lukujonoista Miten jatkaisit seuraavia lukujonoja? 1, 3, 5, 7, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 9, 27, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 8.1.2018 2
Eksponenttiyhtälö ja logaritmi
Eksponenttiyhtälö ja logaritmi 225. Valitse yhtälölle oikea ratkaisu. a) 3 = 9 b) 7 = 7 c) 2 = 16 = 1 = 2 = 3 = 4 a) = 2 b) = 1 c) = 4 226. Päättele yhtälön ratkaisu. a) 10 = 100 b) 10 = 1 000 000 c) 10
LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.
LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan tilaan. Mikäli
mplperusteet 1. Tiedosto: mplp001.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x 1 ( mplp002.tex (PA P1 s.2011)
![mplperusteet 1. Tiedosto: mplp001.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x 1 ( mplp002.tex (PA P1 s.2011)](/thumbs/91/107207023.jpg "mplperusteet 1. Tiedosto: mplp001.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x 1 ( mplp002.tex (PA P1 s.2011)")
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos -e mplperusteet. Tiedosto: mplp00.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x ( x )( + x ). Kokeile funktiota simplify. 2. mplp002.tex
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Jaksolliset suoritukset, L13
, L13 1 Jaksollinen talletus Tarkastellaan tilannetta, jossa asiakas tallettaa pankkitilille toistuvasti yhtäsuuren rahasumman k aina korkojakson lopussa. Asiakas suorittaa talletuksen n kertaa. Lasketaan
Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto
Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus)
MAA1.1 Koe Jussi Tyni Kastellin lukio Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä 6 tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet
MAA. Koe Jussi Tyni 0.9.0 Tee pisteytysruudukko! Vastaa yhteensä tehtävään. Muista kirjoittaa selkeät välivaiheet A-OSIO Vastaa tehtävistä A A kahteen ja palauta vastaukset. Tähän osioon on käytettävissä
matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus
1 Luvut jonossa 1. Kuinka monta pikkuneliötä on a) neljännessä kuviossa b) seitsemännessä kuviossa c) kymmenennessä kuviossa?
1 1 Luvut jonossa Kuinka monta pikkuneliötä on a) neljännessä kuviossa b) seitsemännessä kuviossa c) kymmenennessä kuviossa? kuvio kuvio kuvio 10 28 55 a) Jos muodostelmaluistelujoukkue tekee 4 luistelijan
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 16.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 16.9.2015 1 / 26 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran
Kenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua
MAB yo-tehtäviä prosenttilaskennasta ja talousmatematiikasta
MAB yo-tehtäviä prosenttilaskennasta ja talousmatematiikasta (https://matta.hut.fi/matta/yoteht/index.html) (http://oppiminen.yle.fi/abitreenit/) (http://www.mafyvalmennus.fi/abikurssit.htm) (k2015/3)
MATEMATIIKKAKILPAILU
Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 14.11.2013 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö
MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
Matematiikkaa kauppatieteilijöille
Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 9, syksy 2018 1. 1. Ratkaisutapa (Yksinkertainen korkolaskenta) Olkoon alkupääoma K 0 ja korkokanta i = 10% pa. Koska korkokanta on 10 % pa., niin pääoma kasvaa
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin.
Rahoitusmuodot HUOM. Tässä esitetään vain teoriaa ja joitakin esimerkkejä. Enemmän esimerkkejä ja laskuja löytyy ratkaistuina EXCEL-tiedostosta "Rahoitusmuodot - laskut ja esimerkit", joka on MOODLESSA
2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa
Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät
PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka 4..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
Jakso, jonka aikana verkkokurssi on suoritettu: Kurssiarvosana muodostuu seuraavien kahden osion yhteistuloksena:
Nimi: Jakso, jonka aikana verkkokurssi on suoritettu: Arviointiperusteet Oma kurssiarvosanatavoite asteikolla 4-10 on. Se ohjaa oppimistasi. Suorita sen perusteella perus-, taitaja- ja mestaritason tehtäviä.
Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
5. Jos x < 1 2,niin x x 1 on aina. , 1] b) pienempi kuin Yhtälön 3 3 x +3 x =4ratkaisujenlukumääräon a) 0 b) 1 c) 2 d) enemmän kuin 2.
![5. Jos x < 1 2,niin x x 1 on aina. , 1] b) pienempi kuin Yhtälön 3 3 x +3 x =4ratkaisujenlukumääräon a) 0 b) 1 c) 2 d) enemmän kuin 2.](/thumbs/102/153341150.jpg "5. Jos x < 1 2,niin x x 1 on aina. , 1] b) pienempi kuin Yhtälön 3 3 x +3 x =4ratkaisujenlukumääräon a) 0 b) 1 c) 2 d) enemmän kuin 2.")
5. Jos x < 1 2,niin x x 1 on aina a) välillä [ 1 2, 1] b) pienempi kuin 1 c) välillä [ 1 2, 3 ] 2 d) ei välttämättä mikään edellisistä. 6. Yhtälön 3 3 x +3 x =4ratkaisujenlukumääräon a) 0 b) 1 c) 2 d)
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
Tenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Ohjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."
Ympyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
Valintakoe
Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..
OSA 2: MATEMATIIKKAA TARVITAAN, LUKUJONOT JA SUMMAT SEKÄ SALAKIRJOITUS
OSA : MATEMATIIKKAA TARVITAAN, LUKUJONOT JA SUMMAT SEKÄ SALAKIRJOITUS Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Pyydä ystävääsi ajattelemaan
4. Nokian osakkeen arvo oli eräänä päivänä 12,70 ja kaksi päivää myöhemmin 11,22. Kuinka monta prosenttia osakkeen arvo oli muuttunut?
Perustehtävät 1. Kuinka monta prosenttia a) 5 on luvusta 75 b) 13 cm on 2,2 metristä? 2. Laske a) 15 % luvusta 2340 b) 0,3 % 12000 km:stä. 3. Tuotteen alkuperäinen hinta on a. Kuinka monta prosenttia hinta
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01
KOKEITA KURSSI kurssi (A). Laske. Kirjoita ainakin yksi vдlivaihe. 9 a) :. Merkitse ja laske. a) Lukujen ja tulosta vдhennetддn. Luvusta vдhennetддn lukujen ja erotus. Lukujen ja summan kolmasosa kerrotaan
Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.
MAA Kurssikoe 9..0 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. Nimi:. Kaikki kohdat ½ pisteen arvoisia. a) x x x (x ) b) 0
Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =
Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?
Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa
Harjoituksia 9 Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa 1. Kirjoita yhtälö ja ratkaise x. a) lukujen x ja 6 summa on yhtä suuri kuin lukujen x ja 4 tulo. b) Kun luku x kerrotaan kolmella
2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2
.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030
Tampereen kesäyliopisto, syksy 2016 Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 1. harjoitus, (la 29.10.2016) 1. Laske seuraavat laskut. Laske kukin lasku ensin käsin kynää ja paperia käyttäen. Anna vastaukset