Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen
|
|
- Simo Aho
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen
2 Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran / m kertaa vuodessa Diskonttaus ja nykyarvo Lukujonot ja suppeneminen 2
3 Prosenttilaskennan kertausta Yksi prosentti (1%) luvusta a: 1 a p% luvusta a: p a Prosenttilaskennassa tarkastellaan suhteellisia osuuksia / muutoksia Esim. Henkilön X bruttotulo on /v. ja nettotulo /v. Absoluuttinen ennakonpidätys = = Suhteellinen ennakonpidätys = = 0.33 = 33%. 3
4 Montako prosenttia luku a on luvusta b? Esim. Tuotteen tukkuhinta on 120 ja vähittäishinta 180. Kuinka monta prosenttia vähittäishinta on tukkuhinnasta? Mitä verrataan Mihin verrataan (=%) = 1.5 = 120 = = 150% Vähittäishinta on 1.5-kertainen % 150% Esim. Kuinka monta prosenttia henkilön vuosituloista menee veroihin, kun tulo on ja vero ? 47k 33.1% Mitä verrataan Mihin verrataan (=%) = = 33.1% Vero on kertainen 142k % 4
5 Prosentuaalinen muutos Jos luku a (esim. rahamäärä) kasvaa p%, se muuttuu (1 + p )-kertaiseksi Jos luku a (esim. auton arvo) pienenee p%, se muuttuu (1 p )-kertaiseksi 5
6 Prosentuaalinen muutos Esim. Rahastoon sijoitetaan ja vuosikorko on 5%. Paljonko rahaa on vuoden kuluttua? Pääoma kasvaa 5% eli 1.05-kertaistuu = % % 20k 21k Esim. Auton arvo on ja arvellaan, että se vähenee vuosittain 20%. Mikä on arvo vuoden kuluttua? Arvo vähenee 20% eli jäljelle jää 80% Arvo 0.8-kertaistuu = % % 60k 80% 48k 6
7 Prosentuaalisen kasvun suuruus Esim. Eräänä vuonna henkilön vuositulo oli ja seuraavana vuonna Montako prosenttia tulo oli jälkimmäisenä vuonna suurempi kuin edellisenä vuonna? Jälkimmäisenä vuonna tulo on = kertainen eli % alkuperäisestä Tulo kasvoi ( )%=18.75% 15k 18.75% 95k % 80k % Vastaavasti: Absoluuttinen kasvu: = Suhteellinen kasvu alkuperäiseen verrattuna: =18.75% 7
8 Prosentuaalisen vähenemän suuruus Esim. Vuonna 2005 kunnassa oli asukasta ja vuonna asukasta. Montako prosenttia vähemmän asukkaita oli v kuin v. 2005? Vuonna 2015 asukasmäärä oli = kertainen eli % alkuperäisestä Asukasmäärä väheni ( )%=15.625% 5 kas % 32 kas. % 27 kas % Vastaavasti: Absoluuttinen vähenemä: as as. = as. Suhteellinen vähenemä alkuperäiseen verrattuna: =15.625% 8
9 Prosentti vs. prosenttiyksikkö Esim. Keskustan kannatus oli vuoden 2011 eduskuntavaaleissa 15.76% ja vuoden 2015 eduskuntavaaleissa 21.20%. Kannatus nousi % % = 5.34 %-yksikköä Kannatus nousi %15.76 % % = 34.5% Esim. Kristillisdemokraattien kannatus oli vuoden 2011 eduskuntavaaleissa 4.03% ja vuoden 2015 eduskuntavaaleissa 3.54%. Kannatus laski 4.03 % 3.54 % = 0.49 %-yksikköä Kannatus laski 4.03 %3.54 % 4.03 % = 12.2% 9
10 Presemo-kysely Terttu sai 20% palkankorotuksen, minkä jälkeen hänen palkkansa oli 4800 kuussa. Mikä oli Tertun palkka ennen korotusta?
11 Prosenteista korkoihin Prosenttien laskeminen liittyy suhteellisiin muutoksiin Esim. Rahastossa oli vuoden alussa Paljonko rahaa oli seuraavan vuoden alussa, kun vuosituotto oli 5%? Koron kertyminen vastaa peräkkäisiä suhteellisia muutoksia Esim. Paljonko rahastossa oli viiden vuoden kuluttua, kun tuotto oli joka vuosi sama 5%? 11
12 Auton arvo Rahaston arvo Peräkkäiset suhteelliset muutokset Rahastoon sijoitetaan 5% vuosikorolla siten, että korko liitetään pääomaan aina vuoden lopussa. Paljonko rahaa on 1,2,3,,n vuoden kuluttua? Rahaa n vuoden jälkeen: = n Esim. kolmen vuoden jälkeen: = = Alussa arvoisen auton arvo vähenee 20% vuosittain. Paljonko arvosta on jäljellä 1,2,,n vuoden kuluttua? n kpl n kpl Arvo n vuoden jälkeen: = n Esim. kolmen vuoden jälkeen: = = Vuosi Vuosi 12
13 Korkojen laskemisesta Käsitteitä Alkupääoma / pääoman nykyarvo: K 0 Korkokanta: p% (yl. vuodessa) Pääoma t vuoden kuluttua: K t = K p Pääoman suhteellinen muutos eli korkotekijä: r = K t K 0 t. Korko: ΔK = K t K 0 Esim. Rahastoon sijoitetaan 5% vuosikorolla Kuinka suureksi pääoma on kasvanut a) vuoden, b) kolmen vuoden kuluttua? a) K 1 = = 20 r = 1.05 ja ΔK = 0, b) K 3 = = r = ja ΔK =
14 Koron laskemisesta Pääoma mielivaltaisella ajanhetkellä t lasketaan kaavalla K t = K p Täydet vuodet missä t on suurin kokonaisluku siten, että t t. t 1 + (t t )p, Ylijäämä täysistä vuosista Esim. Rahastoon sijoitetaan 5% vuosikorolla Paljonko rahaa on a) 4 kk:n, c) 5.5 vuoden kuluttua? a) t = 4 12 t = 0 K 4/12 = b) t = 5.5 t = 5 K 5.5 = = =
15 Koron lisääminen m kertaa vuodessa Usein korkokanta p ilmoitetaan (nimellisenä) vuosikorkona, mutta korkoa lisätään pääomaan esim. kuukausittain Jos korko p/m lisätään pääomaan m kertaa vuodessa, on pääoma 1 vuoden kuluttua: K 1 = K p/m m r = 1 + p/m Ajanhetkellä t (vuotta), kun t m on kokonaisluku: K t = K p/m m tm r = 1 + p/m tm Esim. Rahastoon sijoitetaan 5% vuosikorolla siten, että korko liitetään pääomaan kuukausittain. Paljonko rahaa on a) 4 kk:n, b) vuoden, c) 5.5 vuoden kuluttua? a) m = 12, t = 4 12 tm = 4 K 4/12 = /12 b) m = 12, t = 1 tm = 12 K 1 = /12 c) m = 12, t = 5.5 tm = 66 K 5.5 = /12 4 = = , 66 =
16 r Koron lisääminen jatkuvasti Tarkastellaan tilannetta, jossa nimellinen vuosikorko on % (eli p=) ja korkoa lisätään m kertaa vuodessa Vuoden kuluttua maksettavan lainan korkokerroin on r = Kuinka suuri korkokerroin on, jos korkoa lisätään pääomaan a) 2 kertaa vuodessa, b) 10 kertaa vuodessa, c) kertaa vuodessa? e 1 + p/m m = m m Mitä lukua korkokerroin lähestyy? r = lim m m m = e m 16
17 Koron lisääminen jatkuvasti Yleisesti: Kun vuosikorko on p ja korkoa lisätään jatkuvasti, korkotekijä t vuoden kuluttua maksettavalle pääomalle K t on r = lim m 1 + p/m mt = e pt K t = K 0 r = K 0 e pt Esim. Rahastoon sijoitetaan 5% vuosikorolla siten, että korko liitetään pääomaan jatkuvasti. Paljonko rahaa on a) 4 kk:n, b) 5.5 vuoden kuluttua? a) t = 4 12 r = e K4/12 = e = , b) t = 1 r = e K1 = e 5 = , c) t = 5.5 r = e K 5.5 = e =
18 Nimellinen vs. efektiivinen korko 5% nimellistä vuosikorkoa käyttäen :n pääoma kasvoi vuodessa = 5.12%, kun korkoa lisättiin kuukausittain 1 = 5.13%, kun korkoa lisättiin jatkuvasti Todellista pääoman kasvua kutsutaan efektiiviseksi koroksi Esim. Mikä nimellisen vuosikoron pitäisi olla, jotta efektiivinen vuosikorko olisi 5%, kun korkoa lisätään pääomaan kuukausittain? K 1 = K p/m m = 1.05K p/m m = 1.05 p = m m p = Mikä on tällöin kunkin kuukauden korkoprosentti? p= m p= m 18
19 Diskonttaus Edellä on tarkasteltu prolongointia eli pääoman arvon kasvua koron johdosta nykyhetkestä tulevaisuuteen. Diskonttaus on käänteinen toimenpide prolongoinnille: mikä on pääoman arvon alenema tulevaisuudesta nykyhetkeen? K 0 = dk t = 1 r K t Diskonttaus Pääoman nykyarvo K 0 K t Pääoman tuleva arvo Prolongointi r = korkotekijä d = diskonttotekijä K t = rk 0 = 1 d K 0 19
20 Prolongointi vs. diskonttaus Prolongointi Pääoman tuleva arvo, kun nykyarvo tunnetaan: Diskonttaus Pääoman nykyarvo, kun tuleva arvo tunnetaan: K t = K p K t = K p/m K t = K 0 e pt t tm 1 + t t p K 0 = K 0 = 1+ p K t 1+ p/m K 0 = K t e pt K t t 1+ tm t t p Pääoman suhteellinen muutos nykyarvosta tulevaan arvoon eli korkotekijä: r = K t K 0 Pääoman absoluuttinen muutos nykyarvosta tulevaan arvoon eli korko: K t K 0 Pääoman suhteellinen muutos tulevasta arvosta nykyarvoon eli diskonttotekijä: d = K 0 = 1 K t r Pääoman absoluuttinen muutos tulevasta arvosta nykyarvoon eli diskontto: K 0 K t 20
21 Diskonttaus, kun korko lisätään pääomaan kerran vuodessa Pääoman nykyarvo saadaan kaavalla K 0 = 1 + p t K t 1 + t t p Esim. On sovittu, että 5000 korvaus maksetaan vuoden kuluttua. Kuinka suuri on kohtuullinen maksun arvon alennus (diskontto), jos korvaus maksetaankin a) heti, b) 4kk sovittua aikaisemmin, kun korkokanta on 6% vuodessa? a) t = 1: K 0 = b) t = 4 12 : K 0 = = = Diskontto on 5000 K 0 = = = Diskontto on 5000 K 0 =
22 Diskonttaus, kun korkoa lisätään pääomaan m kertaa vuodessa Pääoman nykyarvo saadaan kaavalla K 0 = K t 1 + p/m tm Esim. Henkilö ostaa joukkovelkakirjan, joka takaa hänelle laina-ajan umpeutuessa. Nimellinen vuosikorko on 5%, ja korkoa lisätään lainapääomaan kuukausittain. Mikä on joukkovelkakirjan hinta (ts. nykyarvo), kun laina-aika on a) yksi vuosi, b) 4 kk? a) t = 1: K 0 = /12 b) t = 4 12 : K 0 = / = = = =
23 Yhteenveto korkolaskennasta Pääoman nykyarvon ollessa K 0 ja korkokannan p, pääoman arvo hetkellä t saadaan prolongoimalla K t = rk 0, missä korkotekijä r = 1 + p t 1 + (t t )p, jos korko lisätään pääomaan vuosittain r = 1 + p/m tm, jos korkoa lisätään pääomaan m kertaa vuodessa r = e pt, jos korkoa lisätään pääomaan jatkuvasti. Pääoman tulevan arvon ollessa K t, pääoman nykyarvo saadaan diskonttaamalla K 0 = dk t, missä diskonttotekijä d = 1/r. 23
24 Presemo-kysymys Kaapo sijoittaa säästötililleen % vuosikorolla. Kuinka paljon rahaa tilillä on 4.5 vuoden kuluttua?
25 Lukujonoista Lukujonoilla voidaan kuvata monien taloudellisten ilmiöiden systemaattista kehittymistä. Esim sijoitus 5% vuosikorolla voidaan esittää lukujonona 1. v. alussa 2. v. alussa 3. v. alussa n. v. alussa , , ,, n1 Lukujono on päättyvä tai päättymätön jono reaalilukuja a 1, a 2,, a n, joita sanotaan jonon termeiksi. Joskus lukujono voidaan esittää sääntönä (a n ) Esim. Edellä (a n ) = n1. 25
26 Aritmeettinen jono Jos lukujonon peräkkäisten termien absoluuttiset erot ovat yhtä suuria, jonoa kutsutaan aritmeettiseksi: a n+1 a n = d n = 1,2, Esim. Opiskelija HH saa kotoa muuttaessaan 2000 ja sen jälkeen kuukausittain 500. Kertynyttä rahamäärää kuvaa artimeettinen jono 1. kk alussa 2. kk alussa 3. kk alussa n. kk alussa 2000, , ,, 2000+(n-1) 500 a 1 a 2 a 3 a n Edellä a n+1 a n = n n = 500 = d Aritmeettinen jono voidaan esittää sääntönä (a n ) = a 1 + (n 1)d 26
27 Aritmeettinen jono: Esimerkki lainan vuosikorko on 16% ja sitä lyhennetään 500 puolivuosittain 20 kpl lyhennyksiä Puolen vuoden korko 16%/2=8% Maksettavan 1., 2., 3., ja n. koron suuruutta kuvaa jono Lyhennys n 20 Pääoma 00 = = = (n-1) Korko 0.08 ( ) =800 = ( ) =760 = ( ) =720 = (n-1) =40 Jono on aritmeettinen: (a n ) = (n 1) a 1 = 800 ja d =
28 Geometrinen jono Esim sijoitus 5% vuosikorolla voidaan esittää lukujonona 1. v. alussa 2. v. alussa 3. v. alussa n. v. alussa , , ,, n1 a 1 a 2 a 3 a n Lukujono ei ole aritmeettinen, sillä Sen sijaan a n+1 a n = (1.05 n 1.05 n1 ) vakio a n+1 a n = n n1 = 1.05 = vakio Jos lukujonon peräkkäisten termien suhteelliset erot ovat yhtä suuria, jonoa kutsutaan geometriseksi a n+1 a n = q n = 1,2, Geometrinen jono voidaan esittää sääntönä (a n ) = a 1 q n1 28
29 Geometrinen jono: Esimerkki hintaisen auton arvon arvellaan vähenevän aina 20% edellisen vuoden arvosta. Kunkin vuoden alussa jäljellä olevaa arvoa kuvaa jono: 1. v. alussa 2. v. alussa 3. v. alussa n. v. alussa , , ,, n1 a 1 a 2 a 3 a n Jono on geometrinen: a 1 = ja q =
30 Aritmeettinen vs. geometrinen jono Aritmeettinen jono kuvaa lineaarista muutosta Geometrinen jono kuvaa eksponentiaalista muutosta d> q> d< q<
31 Muita esimerkkejä lukujonoista 60 a 1 = a 2 = 1, a n = a n2 + a n1 n 3 (Fibonaccin jono) a n = n n a 1 = 1, a 2 = 1, a n = a n2 n
32 Lukujonon suppeneminen Lukujono suppenee, jos sen termit a n lähestyvät jotakin äärellistä lukua a <, kun n. Esim. Geometrisen lukujonon termi a n = a 1 q n1 0, jos q < 1. Esim. Termi a n = n n e. Jos lukujono ei suppene, se hajaantuu Termi a n ei lähesty mitään arvoa (esim. Jono 1, -1, 1,-1 ) Termi a n lähestyy ääretöntä / miinus ääretöntä o Aritmeettinen jono, kun d 0 o Geometrinen jono, kun q > 1 o Fibonaccin jono 32
33 Lukujonon suppeneminen Opiskelijan HH kerryttämä rahamäärä n. kuussa on a n = n a n, kun n. Opiskelijan kerryttämä rahamäärä hajaantuu. Mitä tämä tarkoittaisi käytännössä? Alun perin arvoisen auton hinta vuoden n alussa on a n = n1 a n 0, kun n Auton arvo suppenee. Mitä tämä tarkoittaa käytännössä? 33
34 Yhteenveto lukujonoista Lukujono on päättyvä tai päättymätön jono reaalilukuja a 1, a 2,, a n, joita sanotaan jonon termeiksi. Erikoistapauksia Aritmeettisen jonon peräkkäisten termien erotus on vakio: a n+1 a n = d Geometrisen jonon peräkkäisten termien suhde on vakio: a n+1 a n Joissakin erikoistapauksissa jonon kaikki termit voidaan esittää kompaktissa muodossa Aritmeettinen jono: (a n ) = a 1 + (n 1)d Geometrinen jono: (a n ) = a 1 q n1 = q Lukujono suppenee, jos sen termit lähestyvät jotakin äärellistä raja-arvoa 34
35 Presemo-kysymys Moottoriveneen hinta uutena on Arvo alenee 20% vuodessa. Mikä on moottoriveneen arvo 3 vuoden kuluttua?
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran / m kertaa vuodessa / jatkuvasti Diskonttaus
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 2. Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan
Talousmatematiikan perusteet: Luento 2 Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Lukujonoista Miten jatkaisit seuraavia lukujonoja? 1, 3, 5, 7, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 9, 27, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 8.1.2018 2
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 2. Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan
Talousmatematiikan perusteet: Luento 2 Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Viime luennolla Lukujono on päättyvä tai päättymätön jono reaalilukuja a 1, a 2,, a n, joita sanotaan jonon termeiksi. Erikoistapauksia
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
Talousmatematiikan perusteet 1 Lukujonoista ja sarjoista, finanssimatematiikkaa 1.1 Suhteellinen muutos - kuinka moninkertainen jokin arvo on lähtöarvoon verrattuna Prosenttilaskennan kertausta 1. Yksi
Lisätiedotdiskonttaus ja summamerkintä, L6
diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson
LisätiedotTalousmatematiikka (3 op)
Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu
Lisätiedot9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT
9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT ALOITA PERUSTEISTA 370A. Kunnallisveroprosentti oli 19,5, joten 31 200 tuloista oli maksettava kunnallisveroa 0,195 31 200 = 6084. Vastaus: 6084 euroa 371A. a) Hajuveden
LisätiedotJaksolliset suoritukset, L13
, L13 1 Jaksollinen talletus Tarkastellaan tilannetta, jossa asiakas tallettaa pankkitilille toistuvasti yhtäsuuren rahasumman k aina korkojakson lopussa. Asiakas suorittaa talletuksen n kertaa. Lasketaan
LisätiedotDiskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä
Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava K t 1 + it. (3) missä pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson
LisätiedotTalousmatematiikka (3 op)
Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus
Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus
Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio
Lisätiedot4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio
Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö- tai määrittelyjoukko
LisätiedotKorkolasku ja diskonttaus, L6
Korkolasku ja diskonttaus, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotTodellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa
Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.
LisätiedotOn olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin.
Rahoitusmuodot HUOM. Tässä esitetään vain teoriaa ja joitakin esimerkkejä. Enemmän esimerkkejä ja laskuja löytyy ratkaistuina EXCEL-tiedostosta "Rahoitusmuodot - laskut ja esimerkit", joka on MOODLESSA
Lisätiedota) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on
Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)
LisätiedotViimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC.
Kotitehtäviä 6. Aihepiiri Rahoitusmuodot Ratkaisuehdotuksia 1. Pankki lainaa 100000 bullet-luoton. Laina-aika on 4kk ja luoton (vuotuinen) korkokanta 8% Luoton korot maksetaan kuukausittain ja laskutapa
Lisätiedot1 Aritmeettiset ja geometriset jonot
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 18. Määrätty integraali Epäoleellinen integraali
Talousmatematiikan perusteet: Luento 18 Määrätty integraali Epäoleellinen integraali Motivointi Viime luennoilla opimme integrointisääntöjä: Tavalliset funktiotyypit (potenssi-, polynomi- ja eksponenttifunktiot)
LisätiedotJonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).
Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f
LisätiedotKertausta Talousmatematiikan perusteista
Kertausta Talousmatematiikan perusteista Ensimmäinen välikoe luokittelu 1. asteen yhtälö 1. asteen epäyhtälö 2. asteen yhtälö 2. asteen epäyhtälö Prosentti Määritelmä "b on p a a:sta." b = p 100 a p% =
LisätiedotKorkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat
Korkolasku, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti i = p 100
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto
Talousmatematiikan perusteet: Luento 7 Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Viime luennolla Funktion Derivaatta f (x) kuvaa funktion
Lisätiedot10 Liiketaloudellisia algoritmeja
218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden
LisätiedotLukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.
Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 8. Tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto
Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Viime luennoilla Derivointisääntöjä eri funktiotyypeille: Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
LisätiedotNykyarvo ja investoinnit, L14
Nykyarvo ja investoinnit, L14 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n netto 0 1 2 3 4 5 6...
LisätiedotKertausta Talousmatematiikan perusteista
Kertausta Talousmatematiikan perusteista Ensimmäinen välikoe luokittelu 1. asteen yhtälö 1. asteen epäyhtälö 2. asteen yhtälö 2. asteen epäyhtälö Prosentti Määritelmä "b on p a a:sta." b = p 100 p% = b
LisätiedotRatkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2
Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 6. Swap -sopimukset
Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 6 Swap -sopimukset 1. Swapit eli vaihtosopimukset Swap -sopimus on kahden yrityksen välinen sopimus vaihtaa niiden saamat tai maksamat rahavirrat keskenään.
LisätiedotOsamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8
Osamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8 1 Kerrataan kaavoja s n;i = ((1 + i)n 1) i = prolongointitekijä a n;i = ((1 + i)n 1) i(1 + i) n = diskonttaustekijä c n;i = i(1 + i) n ((1 + i) n 1) = kuoletuskerroin
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
Lisätiedot6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %
6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka
LisätiedotProsentti- ja korkolaskut 1
Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?
LisätiedotInduktio, jonot ja summat
Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka
Lisätiedot1 PROSENTTILASKENTAA 7
SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 3. Funktiot Lineaarinen funktio Paloittain lineaarinen funktio Lineaarinen interpolointi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 3 Funktiot Lineaarinen funktio Paloittain lineaarinen funktio Lineaarinen interpolointi s(n) p e m K(t) Tähän mennessä Olemme jo tarkastelleet erilaisten muuttujien
LisätiedotMillaisia ovat finanssipolitiikan kertoimet
Millaisia ovat finanssipolitiikan kertoimet Antti Ripatti Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki 20.3.2013 Antti Ripatti (HECER) fipon kerroin 20.3.2013 1 / 1 Johdanto Taustaa Finanssipolitiikkaa ei
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotKuutio % Kappaleet kertaus
Kuutio % Kappaleet 1-6 + kertaus % 1 1. Prosentti 1 % = 1 100 = 0,01 Prosentti on sadasosa. 2 % = = 20 % = = Alleviivattu muoto on 200 % = = nimeltään prosenttikerroin Esimerkki 1. Kuinka monta prosenttia
LisätiedotTalousmatematiikka (4 op)
Talousmatematiikka (4 op) M. Nuortio, T. Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Talousmatematiikka 2012 Yhteystiedot: Matti Nuortio mnuortio@paju.oulu.fi Työhuone M225 Kurssin
LisätiedotMatematiikkaa kauppatieteilijöille
Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 9, syksy 2018 1. 1. Ratkaisutapa (Yksinkertainen korkolaskenta) Olkoon alkupääoma K 0 ja korkokanta i = 10% pa. Koska korkokanta on 10 % pa., niin pääoma kasvaa
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotNykyarvo ja investoinnit, L7
Nykyarvo ja investoinnit, L7 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k n k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... 0 1 2 3 4 5 6... n j netto
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 19
Talousmatematiikan perusteet: Luento 19 Integraalin sovelluksia kassavirtaanalyysiin Differentiaaliyhtälöt Motivointi Edellisillä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä Tällä luennolla tarkastelemme
Lisätiedot2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
Lisätiedot1 PROSENTTILASKENTAA 7
SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 4. Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio
Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö-
LisätiedotMa4 Yhtälöt ja lukujonot
Ma4 Yhtälöt ja lukujonot H4 Lukujonot 4.1 Kirjoita lukujonon seuraavat viisi termiä, kun ensimmäinen termi on 1 ja muut muodostuvat seuraavien sääntöjen mukaan. a) Lisää edelliseen termiin 3. b) Kerro
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Lisätiedot6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %
6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...
LisätiedotHuippu 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Hank maksaa kunnallisveroa 22 % verotettavasta tulostaan eli 0,22 52 093,84 = 11 460,6448 11 460,64. Hank maksaa kunnallisveroa 11 460,64. Vastaus: 11 460,64 K2. Kimin maksaman
LisätiedotOsa 5. lukujonot ja sarjat.
Osa 5. lukujonot ja sarjat. Summamerkintä Kurssilla on jo tullut vastaan ns. summamerkintä (kreikkalainen iso sigma): n k=1 Indeksin loppuarvo Indeksi jonka suhteen summataan a k =a 1 +a +a 3 +...+a n
Lisätiedot1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24
SISÄLTÖ 1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN 7 1.1 Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 1.2 Yhtälöitä 29 Epäyhtälö 30 Yhtälöpari 32 Toisen
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotTämä. Tili-ja kulutusluotot. -aineisto on tarkoitettu täydentämään. Liiketalouden matematiikka 2. kirjan sisältöä.
Tämä Tili-ja kulutusluotot -aineisto on tarkoitettu täydentämään Liiketalouden matematiikka 2 kirjan sisältöä. 1 Sisällysluettelo TILI- JA KULUTUSLUOTOT...3 Esim. 1... 4 Esim. 2... 6 Esim. 3... 7 Esim.
Lisätiedotmäärittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.
Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.
Lisätiedot2.1 Kertaus prosenttilaskennasta
Verotus 2.1 Kertaus prosenttilaskennasta 1. Alennukset yhteensä 1500 + 800 = 2300 Alennusprosentti 2300 0,184 18,4% 12500 Vastaus: Alennus 18,4 % 2. Reetun alennusprosentti: 99,90 0,8649... 115,50 alennusprosentti100%
LisätiedotKANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET
KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 4.6.05 MALLIVASTAUKSET Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja,. painos, 04] sivuihin. () (a) Bretton Woods -järjestelmä:
LisätiedotRatkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy
Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotMAB7 Loppukoe 25.9.2014
MAB7 Loppukoe 25.9.2014 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko konseptin ekalle sivulle yläreunaan! Valitse kuusi tehtävää, joihin vastaat. Muista että välivaiheet perustelevat
LisätiedotMAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.
MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen
LisätiedotVerkkokurssin tuotantoprosessi
Verkkokurssin tuotantoprosessi Tietotekniikan perusteet Excel-osion sisältökäsikirjoitus Heini Puuska Sisältö 1 Aiheen esittely... 3 2 Aiheeseen liittyvien käsitteiden esittely... 3 2.1 Lainapääoma...
LisätiedotHuippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 7 Swap sopimuksista lisää
Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 7 Swap sopimuksista lisää 1. Pankki swapin välittäjänä Yleensä 2 eri-rahoitusalan yritystä eivät tee swap sopimusta keskenään vaan pankin tai yleensäkin
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotMat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.
Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen
Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotTodellinen prosentti
Todellinen prosentti Kaksi ajankohtaista esimerkkiä talousmatematiikasta ja todellisuudesta Tommi Sottinen Vaasan yliopisto 9. lokakuuta 2010 MAOL ry:n syyspäivät 8.-10.10.2010, Vantaa 1 / 16 Tiivistelmä
LisätiedotMAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.
MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotMat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008
Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotKauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut
Kauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut Johtaminen ja markkinointi: 1. / Ratk: Osiot 1, 2 ja 3 / Tosia (s.1 ja s. 1 sekä s. 2). Osio 4 / Epätosi; Ei, vaan klassisissa organisaatioteorioissa tutkimuksen
LisätiedotMetsätalouden erityispiirteistä ja kannattavuuden mittaamisesta, II ilta
Metsänomistajan talouskoulu/martti Linna 1 Metsätalouden erityispiirteistä ja kannattavuuden mittaamisesta, II ilta Ohjelma Viisi syytä osata korkolaskennan perusteet. Ajan merkitys metsätaloudessa. Esimerkkilaskelmia
LisätiedotKansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa
Kansainvälinen rahatalous Matti Estola ermiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa 1. Valuuttariskien suojauskeinot Rahoitusalan yritykset tekevät asiakkailleen valuuttojen välisiä termiinisopimuksia
LisätiedotSuhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.
PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
LisätiedotProsenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?
PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100
LisätiedotVastaukset. 1. a) 5 b) 4 c) 3 d) a) x + 3 = 8 b) x - 2 = -6 c) 1 - x = 4 d) 10 - x = a) 4 b) 3 c) 15 d) a) 2x. c) 5 3.
Vastaukset. a) 5 b) 4 c) d) -. a) x + = 8 b) x - = -6 c) - x = 4 d) 0 - x =. a) 4 b) c) 5 d) 8 4. a) x 8 b) 5x 5 x c) 5 x d) 6 5. a) kyllä b) ei c) kyllä d) ei 6. a) x x x b) x x x 0 0 0 x c) x x x x 00
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, ORMS1030
Vaasan yliopisto, kevät 20 Talousmatematiikan perusteet, ORMS030 4. harjoitus, viikko 6 6.2. 0.2.20) R ma 2 4 F249 R5 ti 4 6 F453 R2 ma 4 6 F453 R6 to 2 4 F40 R3 ti 08 0 F425 R to 08 0 F425 R4 ti 2 4 F453
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssi Y1
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 16.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 16.9.2015 1 / 26 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.
LisätiedotOutoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.
Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen
Lisätiedot1 Prosenttilaskua 3. 2 Yksinkertainen korkolasku 4. 3 Diskonttaus 6. 4 Koronkorko 8. 5 Korkokannat 9. 6 Jatkuva korko 10. 7 Jaksolliset suoritukset 11
Sisältö Prosenttilaskua 3 2 Yksinkertainen korkolasku 4 3 Diskonttaus 6 4 Koronkorko 8 5 Korkokannat 9 6 Jatkuva korko 0 7 Jaksolliset suoritukset 8 Luotot ja korkolasku 2 8. Annuiteettiperiaate........................
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,
Lisätiedot