Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, , 67AC.

Transkriptio

1 Kotitehtäviä 6. Aihepiiri Rahoitusmuodot Ratkaisuehdotuksia 1. Pankki lainaa bullet-luoton. Laina-aika on 4kk ja luoton (vuotuinen) korkokanta 8% Luoton korot maksetaan kuukausittain ja laskutapa 30/360. Laske luotosta maksettavat maksuerät. Ratkaisu: Eriä on 4. Kolme ensimmäistä erää kostuvat pelkästä korosta ja ovat suurudeltaan , 08/12 666, 67AC. Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, , 67AC. 2. Asuntoa varten otetaan kiinteänkorkoista tasalyhennyslainaa. Laina-aika on 15 vuotta, lyhennyksiä tehdään neljännesvuosittain. Korkokanta 6, 5%. a) Laske ensimmäinen maksuerä. b) Kuinka paljon lainaa on jäljellä 12. maksuerän jälkeen? c) Kuinka suuri on 13. maksuerä? d) Kuinka paljon lainasta maksetaan kaikkiaan korkoa? Ratkaisu: Vakiolyhennys on = = 750, 00AC. 60 a) Ensimmäinen erä on lyhennys+korko koko lainasta eli 750, , /4 = 1481, 25AC. Muista, että korkokannan on oltava relatiivisesti muutettu vastamaan korkojaksoa, tästä syystä yllä jaetaan 4:llä. b) 12 maksuerän jälkeen lainaa on lyhennetty 12 kertaa, joten jäljellä =

2 c) 13. erä on lyhennys+korko jäljellä olevasta lainasta, joka laskettiin b)-kohdassa eli 750, , /4 = 1335AC. d) Tasalyhennyslainan korot muodostavat aritmeettisen jonon, jossa ensim. jäsen a 1 = 0, /4 = 731, 25 on ensimmäisen erän korko (koko lainan korko), viimeinen jäsen a 60 = 0, /4 = 12, 1875 on lyhennyksen korko (viimeisessä erässä lainaa jäljellä tasan yhden lyhennyksen verran) ja jäseniä 60 = Aritmeettisen jonon summan kaava antaa kokonaiskorot, S = a 1 + a n 2 n = 731, , = 22303, 125AC. 3. Tasalyhenteistä asuntolainaa nostetaan euroa. Lainasta maksetaan suorituksia kuukausittain 20 vuoden ajan. Ensimmäinen maksuerä on 1080 euroa. Mikä on lainan korkokanta? Ratkaisu: Lyhennys on L = Merkitään (vuotuinen) korkokanta i:llä. Ensimmäinen maksuerä on lyhennys+koko lainan korko, mistä saadaan i:lle yhtälö i/12 = 1080, i/12 = , i = 12 ( )/ , 058 = 5, 8%. 4. Kiinteäkorkoisen euron tasaerälaina korkokanta on 6% ja laina maksetaan 15 vuodessa. Laske tasaerät ja kokonaiskorot kun tasaerät maksetaan a) puolivuosittain, 2

3 b) kuukausittain. Ratkaisu: Tasaerä lasketaan annuiteettikaavalla (1 + i) n 1 A, missä A = on laina, i korkokanta per korkojakso ja n maksuerien lukumäärä. a) Kun erät maksetaan 2 kertaa vuodessa, korkokanta on i = 6%/2 = 3% = 0, 03 ja n = 15 2 = 30. Tasaeräksi saadaan k = 1, , 03 1, Kaiken kaikkiaan maksetaan , 31AC. 6122, , 33. Näistä korot , = 63669, 33. b) Kun erät maksetaan 12 kertaa vuodessa, korkokanta on i = 6%/12 = 0, 5% = 0, 005 ja n = = 180. Tasaeräksi saadaan k = 1, , 005 1, Kaiken kaikkiaan maksetaan , 63AC. 1012, , 07. Näistä korot , = 62273, 07. 3

4 5. Villen nettoansiot ovat 1500 euroa kuukaudessa. Niistä 35% menee asuntolainan kuukausittaiseen tasaerään. Lainan korkokanta on 6% ja laina-aika 15 vuotta. a) Kuinka suuri on Villen asuntolaina? b) Kuinka paljon lainaa on jäljellä 10 vuoden lainan ottamisen päästä (eli heti 120 maksuerän jälkeen)? Ratkaisu: a) Tasaerä on Annuiteettikaavasta saadaan kaava lainan määrälle , 35 = 525. (1 + i) n 1 A A = (1 + i)n 1 (1 + i) n i k, missä nyt k = 525AC, i = 6%/12 = 0, 005, n = = 180. Näitä sijoittamalla saadaan A = 1, , 35AC. 1, , 005 b) Lainajäännös lasketaan samannäköisellä kaavalla A = (1 + i)m 1 (1 + i) m i k, missä m = = 60 on jäljellä olevien maksuerien lukumäärä. Tästä saadaan A = 1, , 92AC 1, , Asuntolainan suuruus on euroa. Laina on annuiteettilaina, jonka korkokanta on alussa 4, 5% ja laina-aika 20 vuotta. Tasaerät maksetaan kuukausittain. Välittömästi 24. tasaerän jälkeen korkokanta nousee 0, 75 prosenttiyksikköä. Laske uusi tasaerä (jos oletetaan, että maksuaika pysyy samana)? 4

5 Ratkaisu: Lasketaan ensin alkuperäinen tasaerä, (1 + i) n 1 A, missä i = 4, 5%/12, n = 20 12, A = Saadaan k 759, 18AC. Laina-jäännös 24. tasaerän jälkeen on A = (1 + i)m 1 (1 + i) m i k, missä m = = 216 (jäljellä olevien erien lkm), i = 4, 5%/12, A = , k laskettu edellä. Saadaan A = , 72AC. Uusi tasaerä saadaan tasaeräkaavalla (1 + i) n 1 A, missä nyt i = (4, 5 + 0, 75)% = 5, 25% (uusi korkokanta), A = A = , 72, n = = 216. Uusi tasaerä on k 804, Vaihtuvakorkoisen tasaerälainan tasaerä on kiinteä 627, 60 euroa/kk, kun laina-aika on aluksi 22 vuotta ja lainan korkokanta 6, 24%. Kuinka paljon laina-aika lyhenee, kun 24. tasaerän jälkeen korkokanta laskee 0, 84 prosenttiyksikköä? Oletetaan, että tasaerä pysyy samana. Ratkaisu: Lainaa on 24 tasaerän jälkeen jäljellä A = (1 + i)m 1 (1 + i) m i k, missä m = = 240 (jäljellä olevien erien lkm), i = 6, 24%/12, k = 627, 60. Sijoittamalla arvoja saadaan A = 85931, 94. Lasketaan tälle lainalle uusi maksu-aika m kaavasta A = (1 + j)m 1 (1 + j) m j k, 5

6 missä j = (6, 24 0, 84)%/12 = 5, 4%/12 on uusi korkokanta ja k = 627, 60 vanha tasaerä, joka pidetään samana. Merkitään y = (1 + i) m, jolloin saadaan y:lle yhtälö y 1 jy A = y 1 y j k, = A k = 85931, , 70 = b y 1 = bjy, y(1 bj) = 1, (1 + j) m = y = 1 1 bj Otetaan logaritmi molemmilta puolelta, saadaan m ln(1 + j) = ln m = (ln 1 1 bj, 1 )/ ln(1 + j). 1 bj Sijoittamalla arvoja (parempi vastaa tässä vaiheessa, ei lasketa likiarvoilla välivaiheissa) saadaan m 213, 20. Kun tähän lisätään 24 kuukautta, jotka ovat jo menneet, saadaan uudeksi laina-ajaksi 237, 2 kuukautta eli noin 19, 77 vuotta. Laina-aika lyhenee noin 2 vuotta ja 3 kuukautta. 8. Osamaksuehdot ovat seuraavat: myyntihinta euroa käsiraha 6000 euroa luoton perustamismaksu 120 euroa korko 6, 3% laskutuspalkkio 9 euroa/kk luottoaika 32 kk 6

7 Laske a) Tasaerät, jos oletetaan, että ne ovat kaikki samat. b) Erät, jos oletetaan, että kaikki, paitsi viimeinen, ovat samat ja viimeinen on 25% myyntihinnasta. Laske myös luottohinta ja luottokustannukset molemmissa tapauksissa. Kummassa tavassa luottohinta on pienempi? Kummassa erät ovat (viimeistä lukuun ottamatta) pienempiä? Ratkaisu: a) Rahoitettava määrä on Maksuerä on A = = 19120AC. (1 + i) n 1 A, missä A = 19120, n = 32, i = 6, 3%/12. Sijoittamalla saadaan k 650, 66. Osamaksuerä on maksuerä+9 euron palvelumaksu eli Luottohinta on Luottokustannukset ovat b) Viimeinen maksuerä on 650, = 659, 66AC. 659, = 27109, , = 2109, 16AC. 0, = 6250AC ja osamaksuerä = 6259AC. Muilla 31 erillä on maksettavaa rahoitettava määrä miinus viimeisen erän nykyarvo kaupantekohetkellä eli 6250 B = (1 + 0, )32 on se "lainan määrä"joka pitää maksaa 31:ssä maksuerässä. Maksuerälle saadaan (1 + i) n 1 B, 7

8 missä nyt n = 31, i = 0, 063/12. Tästä k 484, 73. Osamakueräksi saadaan 483, = 493, 73 Luottohinta on Luottokustannukset ovat 493, = 27564, , = 2564, 63. Erät ovat (viimeistä lukuun ottamatta) pienempiä vaihtoehdossa b), mutta luottohinta on pienempi a):ssä. 9. Auto rahoitetaan 48 kuukauden leasingsopimuksella. Vuokrat maksetaan kuukausittain etukäteen ja auton jäännösarvo on 25% auton hankintahinnasta, joka on euroa. Korkokanta 12%. a) Laske leasingvuokra jos oletetaan, että kaikki vuokrat ovat suuruudeltaan samoja. b) Laske leasingvuokra jos oletetaan, että kaikki vuokrat ovat suuruudeltaan samoja, paitsi ensimmäinen vuokra, joka on 10% auton hankintahinnasta. Laske myös leasingkerroin molemmassa tapauksessa. Ratkaisu: a) Leasingin vuokra saadaan kaavasta k = A J (1+i) n 1 + (1+i)n 1 1 (1+i) n 1 i missä nyt A = J = 0, , i = 0, 12/12 = 0, 01 ja n = 48. Sijoittamalla arvoja saadaan k 506, 69. Leasing kerroin on 506, , 2%. b) Erikoistapauksessa jossa ensim. vuokra on poikkeava, muut erät lasketaan kaavalla k = A J V (1+i) n 1, 8 (1+i) n 1 1 (1+i) n 1 i,

9 missä nyt A = J = 0, , V 1 = 0, = 2300, i = 0, 12/12 = 0, 01 ja n = 48. Sijoittamalla arvoja saadaan k 458, 68. Leasing kerroin on 458, %. 9