Talousmatematiikan perusteet

Transkriptio

1 kevät 219 / orms.1 Talousmatematiikan perusteet 1. Laske integraalit a 6x 2 + 4x + dx, b 5. harjoitus, viikko 6 x + 1x 1dx, c xx dx a termi kerrallaan kaavalla ax n dx a n+1 xn+1 +C. 6x 2 + 4x + dx 6 x x2 + x +C 2x + 2x 2 + x +C b x + 1x 1dx x 2 1dx 1 x x +C c Tehdään laskun aikana muuttujan vaihto x t x 2 1, jolloin dt 2xdx, ja xx dx 1 x xdx 2 1 t 2 dt t +C 1 6 x2 1 +C 2. Laske integraalit a 4 1 2x + 4dx, b perustele: J 4 x x 1 dx > 1, c 4xe x2 /σ 2 dx a 4 1 / 4 2x + 4dx 1 x2 + 4x b Integroitava on isompi kuin 1 koko integroimisvälillä. siksi J 4 1dx / 4 x 4 1.

2 Lasketaan myös arvo: c J 1 4 x + 1 x 1 dx 4 4 / 4 4xe x2 /σ 2 dx 2σ 2 1 x dx x x 1 dx x + 2lnx ln + 2ln2 e x2 /σ 2 x 2 d σ 2 1/σ 2 2σ 2 e t dt 2σ 2/ 1/σ 2 e t 2σ 2 e 12 /σ 2 1 2σ 2 1 e 12 /σ 2. Olkoon x satunnaismuuttuja, joka saa arvoja väliltä x 2. Satunnaismuuttujan x jakauma noudattaa todennäköisyystiheyttä f x ax. a Millä a:n arvolla 2 f xdx 1. Laske x:n odotusarvo a a:lla pitää olla sellainen arvo, että x 2 x f xdx, b Odotusarvo on x axdx 1 x f xdx 1 2 x2 dx / 2 a 2 x2 1 a / x 1 6 x 1 2 xdx a 1/

3 4. Verrataan kahta projektia. Projektin A perusinvestointi on 2 e ja se tuottaa kahden vuoden ajan 1e/kk. Projektin B perusinvestointi on 15 5eja se tuottaa kymmenen vuoden ajan 2e/kk. Ovatko projektit kannattavia, kun laskentakorko on 8% todellinen vuosikorko? Siirrytään kuukausijaksotukseen. Sitä varten laskemme kuukausikorkotekijän. 1 + i tod i 1.8 1/12 Lasketaan kummankin projektin nettonykyarvo. Jos nettonykyarvot ovat positiivisia käytetyllä laskentakorolla, niin projektit ovat kannattavia. NPV A 2e + 2e + 24 j1 24 j1 1e 1 + i j 1e 1.8 j/12 2e + 1e 1.8 1/ / /12 2e e e >, kannattava NPV B 155e + 155e + 12 j1 12 j1 2e 1 + i j 2e 1.8 j/12 155e + 2e 1.8 1/ / /12 155e e e >, kannattava Vastaus: Nettonykyarvon perusteella kumpikin projekti on kannattava käytetyllä laskentakorolla. Huomautus: Projektien keskinäistä paremmuutta mietittäessä on oltava varovainen. Siitä, että NPV B > NPV A ei seuraa, että B olisi projektina parenmpi. Itse asiassa A tuottaa perusinvestointiin suhteutettuna enemmän ja nopeammin kuin B. Vaikka kassavirrat ovat tärkeä asia, projektien käynnistämisessä on muitakin tärkeitä asioita. Joskus kannattaa aloittaa huonompikin projekti, jos sillä varmistetaan yrityksen markkina-asema. 5. Laske edellisen tehtävän projekteille nettonykyarvot ja suhteelliset nettonykyarvot. Kumpi projekteista on kannattavampi? Nettonykyarvot laskettiin edellä ja tulosten perusteella näyttää siltä kuin B olisi parempi kuin A NPV B e > NPV A e

4 Lasketaan seuraavaksi suhteelliset nykyarvot SNA tulovirran NA / menovirran NA. Tarvittavat nykyarvot laskettiin jo edellisessä laskussa. Siis SNA A tulovirran NA menovirran NA e 2e 1.19 SNA B tulovirran NA menovirran NA e 155e 1.77 Vastaus: A-projekti on kannattavampi. Vaikka Nykyarvo näyttäisi todistavan vastakkaista. A- ja B-projekti ovat eri kokoisia, jolloin niitä ei saa vertailla nykyarvolla, joka suosii isoa. Suhteellinen nykyarvo on nyt parempi mittari, vaikka silläkin on omat puutteensa. Huomautus: Jos A-projekti voidaan toteuttaa viisi kertaa peräkkäin, niin silloin on mahdollista saada aikaan tulovirta, jonka nykyarvo on 1e 1e 1.8 j/ / / / e 12 j1 Jos nyt vertaamme kahta kymmenen vuoden projektia ketjutettu A ja B, niin projekti sidottu pääoma tuotto NA ketjutettu A 2e e B 15 5e e A antaa selvästi paremman tuoton sidotulle pääomalle. 6. a Laske pääoman tuottoasteet ROI edellisten tehtävien projekteille A ja B. b arvioi projektien A ja B sisäisiä korkokantoja. Jos käytössäsi on Excel-ohjelma, niin laske sisäiset korkokannat IRR-funktiolla. Pääoman tuottoaste on tilinpäätösanalyyseissä käytetty tunnusluku, joka ei sellaisenaan aina sovi projektien arviointiin. eli tässä tapauksessa ROI I netto-vuositulos keskimäärin sidottu pääoma 1%, 12 1e ROI I,A 2e/2 12% ROI I,B 12 2e 155e/2 1.% Luvut tuntuvat kovin isoilta. Kohtuullisempia tuloksia saadaan, kun lasketaan ROI II ROI II netto-vuositulos alussa sidottu pääoma 1%,

5 eli tässä tapauksessa 12 1e ROI II,A 2e 6% 12 2e ROI II,B 155e 15.5% Lasketaan vielä kolmas ROI-muunnelma, jossa nettotuloksesta vähennetään pääoman palautukset ROI I eli tässä tapauksessa nettovuositulos - pääoman palautukset keskimäärin sidottu pääoma ROII,A /24e 2.% 2e/2 ROII,B /12e 11.% 15 5e/2 1%, b Koska Nettonykyarvot 8%:n laskentakorolla olivat positiivisia, on kummankin projektin sisäinen korkokanta enemmän kuin 8%. ROI liioittelee aina projektin sisäistä korkokantaa, siksi projektien sisäiset korkokannat ovat pienempiä, kuin edellä lasketut ROI I ja ROI II. Excel antaa sisäisiksi korkokannoiksi ks Excel taulu alla irr A 19.75%, irr B 9.85%. Huomaa, että excel tauluun on talletettu kuukausi-dataa. Siksi IRR-funktio antaa kuukausijakson sisäisen koron. Tämä tulee ensin muuttaa vuosijakson sisäiseksi koroksi. Vastaus: a ROI II,A 6%, ROI II,B 15.5% b Excelillä irr A 19.8% ja irr B 9.9%. 7. Vertailtavana on kaksi projektia C ja D. Projektin C perusinvestointi on 2 e ja se tuottaa kolmen vuoden ajan 15e/kk. Jäännösarvo on JA 5e. Projektin D arvioitu nettokassavirta on seuraavan taulukon mukainen JA 2e. a Laske projektien NettoNykyarvot. Laskentakorko 8% p.a.tod.vk. b Selvitä projektien sisäiset korkokannat. Kumpi projekti on kannattavampi?

6 n k n huom. -12 perusinvestointi sisältää JA:n a Lasketaan projektien nettonykyarvot 6 15e NNA C 2e + j1 1 + i j + 5e 1 + i 6 2e + 15e / / /12 2e e e e + 5e 1.8 6/12 NNA D 12e + 4e 1 + i + 15e 1 + i 2 + 5e i + 1e j4 1 + i j + e 1 + i 21 12e + 4e 15e 5e 1e / / /12 1.8/ / /12 12e 974.4e e e e e e b Excelin antamat sisäiset korkokannat ovat Excel taulukko alla. irr C 19.5%, irr D 16.4%. Vastaus: a Projektien nettonykyarvot ovat NPV C e ja NPV D e b Projektien sisäiset korkokannat ovat irr C 19.5% ja irr D 16.4%. Tällä kertaa isompi on parempi, eli projekti C on parempi kuin projekti D. + e /12

7 8. Selvitä takaisinmaksuaika edellisen tehtävän projekteille C ja D Laskentakorko 8% p.a.tod.vk. Huomaa, että alla olevaa takaisinmaksuajan kaavaa on helppo soveltaa projektiin C, mutta projektin D kohdalla tulee kaavaan suhtautua kriittisesti. D-projektin takaisinmaksuajan saa

8 parhainten Excelillä. Lasketaan ensin projektin C takaisinmaksuaika. Projektin C rahoitustarve on B H JA 5e 2e 28.84e 1 + i n 1,86/12 Sijoitetaan tämä takaisinmaksuajan kaavaan n lnk/k ib ln ln1 + i ln1.8 1/12 15e 15e 1,8 1/ e 29.4 kk Projektin D kassavirta ei ole vakio, joten kaavan soveltaminen ei ole helppoa. Koko projektin nettonykyarvo laskettiin edellä, ja se on positiivinen, joten projekti maksaa itsensä takaisin. Silloin takaisinmaksuaika on enintään 21kk. D-projektin takaisinmaksuaika on siin lyhyempi kuin projektilla C. Alla olevaan Excel tauluun on rakennettu D-projektin kassavirta. Perusinvestoinnin paikalla on rahoitustarve B 12e 2e e 1.821/12 Sarakkeeseen E on merkitty k ensimmäisen jakson perusteella laskettu nykyarvo NAn B + n j1 k j 1 + i j. Kun tämä lauseke muuttuu negatiivisesta positiiviseksi, voimme sanoa, että projekti on maksanut itsensä takaisin. Tämä tapahtuu 2.4 kuukauden kuluttua. Vastaus: Projektien takaisinmaksuajat ovat n C 29.4kk ja n D 2.4kk. Huomautus: Vaikka projektin D takaisinmaksuaika on pienempi kuin projektin C takaisinmaksuaika, tästä ei pidä vetää liian pikaista johtopäätöstä. Kannattaa miettiä seuraavia asioita: Miten kauan projekti jatkuu vielä sen jälkeen kun se on maksanut itsensä takaisin? Miten hyvin jännösarvo osataan ennakoida? Miten herkkä projektin kannattavuus on jännösarvon suhteen? Kaavoja: yksinkertainen korkolasku: K t 1 + itk 1 + p 1 tk, kun < t < 1 koronkorkolasku: K t 1 + i t K, kun t 1,2,,... jatkuva korkolasku: K t 1 + i t K e ρt K, kun t > 1 ja 1 + i e ρ Jaksolliset suoritukset prolongointitekijä, diskonttaustekijä, kuoletuskerroin

9 Pääoman tuottoaste s n,i 1 + in 1, a n,i 1 + in 1 i1 + in i i1 + i n, c n,i 1 + i n 1 ROI II k H 1%, ROI I k H/2 1%, ROI I k kk H/n 12 1% H/2 Takaisinmaksuaika n lnk/k ib ln1 + i