a) (1, 0735) , 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

Transkriptio

1 Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c) neljä kertaa vuodessa d) jatkuvasti. Ratkaisu: Aloitetaan laskemalla nettokorkokanta, sillä se on juuri se korkokanta joka oikeasti määrää koron suuruutta. Nettokorkokanta on 10, 5% 0, 7 = 7, 35%. a) (1, 0735) , 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Vastaus on 7, 35% 12 = 0, 6125% (1, ) , 26. c) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Vastaus on 7, 35% 4 = 1, 8375% (1, ) , 72. d) Jatkuva korko lasketaan kaavalla K = k e mi, missä k = , m = 8 ja i = 7, 35% = 0, Sijoittamalla saadaan loppuarvoksi K = e 8 0, , 15. Huomaa, että jatkuva korko tosiaankin antaa suurimman loppuarvon. 1

2 2. Auton arvo vähenee 10% vuodessa. Mikä oli auton arvo 4 vuotta sitten, jos se on nyt euroa? Ratkaisu: Olkoon x auton arvo neljä vuotta sitten. Kolmen vuotta sitten sen arvo oli 0, 9x, kahden vuoden päästä 0, 9 0, 9x jne. Neljän vuoden päästä auton arvo on siis 0, 9 4 x. Saadaan yhtälö 0, 9 4 x = 15000, josta x = , , euron talletus tuotti kolmessa vuodessa 33, 10AC:n verran korkoa. Korko liitetään pääomaan aina kaksi kertaa vuodessa. Mikä oli vuotuinen korkokanta? Ratkaisu: Merkitään vuotuinen korkokanta (desimaalilukuna ilmaistuna!) i:llä. Koska korkojakso on puolen vuoden pituinen, kolmen vuoden päästä tilillä on oltava rahaa Pelkät korot tällöin ovat 100 (1 + i 2 )3 2 = 1000 (1 + i 2 ) (1 + i 2 ) Saadaan yhtälö 100 (1 + i 2 )6 100 = 33, 10, josta ratkaistaan i: 100 (1 + i 2 )6 = 133, 10 jaetaan 100:llä, (1 + i 2 )6 = 1, 331 otetaan kuudes juuri, 1 + i 2 = 6 1, 331 vähennetään 1, 2

3 (Vuotuinen) korkokanta on 9, 8%. i/2 = 6 1, 331 1, i = 2( 6 1, 331 1) 0, Tilin bruttokorkokanta on 2, 15% ja inflaatio keskimäärin 0, 8% vuodessa. Mikä on talletuksen reaalinen vuotuinen nettokorkokanta, kun lähdevero on 30%? Ratkaisu: Oletetaan, että tilille talletetaan pääoma k ja lasketaan ensin sen nimellinen loppuarvo. (Nimellinen) nettokorkokanta on 2, 15% 0, 7 = 1, 505%, joten vuoden päästä tilillä on a 1, (oletetaan, että korko liitetään kerran vuodessa). Kuitenkin inflaation takia tämän rahasumman todellinen arvo (alkutilanteen rahassa) on a 1, , 008 Näin ollen reaalinen korko on 0, 699%. 1, 00699a. 5. Ostajalle tarjotaan myytävästä teollisuushallista kahta eri maksutapaa: Tapa 1 - maksetaan euroa heti ja kahden vuoden kuluttua Tapa 2 - maksetaan euroa heti ja sen jälkeen kaksi kertaa euroa vuoden välein. Kumpi maksutapa on ostajalle edullisempi, kun korkokanta on 9%? Ratkaisu: Lasketaan molemman tarjouksen nykyarvo diskonttaamalla ja verrataan kumpi on edullisempi. Nykyarvo tavassa 1: Nykyarvo tavassa 2: , 24. 1, , , 11. 1, 092 Tapa 1 on edullisempi ostajalle. 3

4 6. Alkoholin kulutusta halutaan vähentää 30% 10 vuodessa. Mikä tulee asettaa vuotuiseksi prosentuaaliseksi vähentämistavoitteeksi? Ratkaisu: Olkoon a kulutuksen muutos per vuosi (oletetaan pysyvän vakiona). Tällöin 10 vuoden päästä kulutus on a 10 -kertainen. Saadaan joten a 10 = 1 0, 3 = 0, 7, a = 10 0, 7 0, 965. Koska 1 0, 965 = 0, 035, tästä seuraa, että riittää vähentää alkoholin kulutusta noin 3, 5% vuodessa. 7. Missä ajassa 500 euron talletus kasvaa 561, 80 suuruiseksi, jos vuotuinen korkokanta on 6% ja korko liitetään pääomaan kuukausittain? Ratkaisu: Sijoittamalla koronkoron perusyhtälöön K = k(1 + i) n arvot K = 561, 80, k = 500, i = 6%/12 = 0, 5%, saadaan yhtälö 561, 80 = 500 1, 005 n josta ratkaistavaa n. Koska tuntematon esiintyy potenssina, otetaan logaritmi molemmasta puolesta, jolloin saadaan n = ln(561, 80/500) ln 1, , 4. Käytännössä siis menee 24 kuukautta eli tasan 2 vuotta. 8. Määritä 2% vuotuista korkokantaa vastaava neljännesvuoden konforminen korkokanta. Ilmoita tämä korkokanta myös vastaavana relatiivisena vuotuisena korkokantana. 4

5 Ratkaisu: Olkoon i sellainen korkokanta per vuoden neljännes joka tuottaa vuodessa samaa korkoa kuin 2% vuotuinen korko, joka maksetaan kerran vuodessa. Talletaan pääoma a, koska molempien tapojen mukaan tulee samaa korkoa, saadaan tästä yhtälö mistä 1 + i = 4 1, 02 joten (1 + i) 4 a = 1, 02a, i = 4 1, , Näin ollen 0, 496% kerran neljännesvuodessa tuottaa samaa korkoa kuin 2% maksettuna kerran vuodessa. Relatiivisesti 0, 496% kerran neljännesvuodessa on sama asia kuin vuodessa. 0, 496% 4 0, 1985% 9. Yksilön hinta oli euroa ja kolme vuotta myöhemmin euroa. Inflaatio on ollut keskimäärin 1, 5% vuodessa. Kuinka monta prosenttia on reaalinen keskimääräinen vuotuinen hinnan nousu? Ratkaisu: Deflatoidaan euroa alkutilanteeseen, jolloin saadaan , 85. 1, 0153 Tämä on hinnan loppuarvon todellinen arvo alkutilanteen rahassa mitattuna. Seuraavaksi pitää laskea millä keskimääräisellä vuotuisella korkoprosentilla euron kokoinen pääoma kasvaa kolmessa vuodessa arvoon 47815, 85. Merkitään tämä prosentti i:llä (tulkitaan desimaalilukuna), jolloin saadaan ehto Tästä ratkaistaan i, (1 + i) 3 = 47815, 85. (1 + i) 3 = 47815, , 47815, 85 i = 3 1 0, Reaalinen keskimääräinen vuotuinen nousu on ollut 6, 1%. 5

6 10. Perintönä saatu euroa talletettiin kasvutilille Tilin korkokanta on 1, 7% ja lähdevero 30%. Korko lisätään pääomaan aina vuoden viimeisenä päivänä tai silloin kun tili lopetetaan. Laskin tilin saldo tiliä lopetettaessa Laskutapa 30/360. Ratkaisu: Aloitetaan laskemalla kuinka paljon tilillä on rahaa vuoden 2008 lopussa. Koska kyseessä on vaaja korkojakso, tämä lasketaan yksinkertaisen koron periaatteella. Laskutapa on 30/360, joten kesäkuussa 2008 korkopäiviä kertyy 30 5 = 25 ja jäljellä olevista kuudesta kuukaudesta 6 30 = 180 korkopäiviä. Korkopäiviä on = 205, joten vuoden 2008 lopussa tilillä on ( , 017 0, 7) = 60406, Tämä pääoma kasvattaa vuosina koronkorkoa, koska nämä ovat kokonaisia korkojaksoja. Näitä vuosia on 4 (ei kolme!) - 9, 10, 11, 12, joten vuoden 2012 lopussa tilillä on 60406, 583 (1 + 0, 017 0, 7) , 67. Lopuksi tämä pääoma kasvattaa vielä vaajalta korkojaksolta yksinkertaista korkoa. Korkopäiviä on = 103, joten loppuarvo on 63333, 67 ( , 017 0, 7) = 63549,