Talousmatematiikka (3 op)

Transkriptio

1 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011

2 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu Työhuone M231 Kurssin kotisivu tvedenju/talousmatematiikka/ Luennot salissa L7 Laskariryhmät: ma 8-10 M101 ti KO143 pe BK122 2 / 117

3 Kurssin suoritus 1 Loppukoe/päättökoe (ajankohta sovitaan myöhemmin) 3 / 117

4 Kurssin suoritus 1 Loppukoe/päättökoe (ajankohta sovitaan myöhemmin) 2 Kurssin jälkeen pidettävään päättökokeeseen luetaan hyväksi myös laskuharjoituksista saatavat pisteet. 4 / 117

5 Kurssin suoritus 1 Loppukoe/päättökoe (ajankohta sovitaan myöhemmin) 2 Kurssin jälkeen pidettävään päättökokeeseen luetaan hyväksi myös laskuharjoituksista saatavat pisteet. 3 Laskuharjoituspisteitä saa seuraavan taulukon mukaisesti: Harjoituspisteet Tehdyt tehtävät Pisteet alle 25% 0 p. 25%-50% 1 p. 50%-75% 2 p. yli 75% 4 p. 5 / 117

6 Sisältö I FINANSSIMATEMATIIKKA 1 Prosenttilaskua 2 Yksinkertainen korkolasku 3 Diskonttaus 4 Koronkorko 5 Jatkuva korkolasku 6 Jaksolliset suoritukset 7 Luotot ja korkolasku 8 Annuiteettiperiaate 9 Lainan kuolettaminen ja efektiivinen korkokanta 10 Keskimaksuhetki ja Todellinen vuosikorko 11 Investointilaskelmia 6 / 117

7 Sisältö II INDEKSITEORIA 1 Keskiarvoista 2 Indeksiluvun käsite 3 Kuluttajahintaindeksi 4 Aikasarjan deflatointi ja inflatointi 5 Indeksiluvun muodostaminen 6 Keskilukumalli 7 Keskilukumallin painotetut indeksiluvut 8 Kokonaislukumallit 9 Keskilukumallin ja kokonaislukumallin yhteys 10 Fisherin indeksikriteerit 7 / 117

8 Kurssin opiskelusta Huomio a) Älä opettele kaavoja ulkoa. 8 / 117

9 Kurssin opiskelusta Huomio a) Älä opettele kaavoja ulkoa. b) Yritä liittää esitetty teoria/kaava aina johonkin esimerkkiin. 9 / 117

10 Kurssin opiskelusta Huomio a) Älä opettele kaavoja ulkoa. b) Yritä liittää esitetty teoria/kaava aina johonkin esimerkkiin. c) Kysy tarvittaessa! 10 / 117

11 Kurssin opiskelusta Huomio a) Älä opettele kaavoja ulkoa. b) Yritä liittää esitetty teoria/kaava aina johonkin esimerkkiin. c) Kysy tarvittaessa! d) Tee harjoitustehtäviä! 11 / 117

12 Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? 12 / 117

13 Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? 13 / 117

14 Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? c) Kuinka paljon laina/luotto oikeasti maksaa? 14 / 117

15 Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? c) Kuinka paljon laina/luotto oikeasti maksaa? d) Miten tutkia investoinnin kannattavuutta? 15 / 117

16 Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? c) Kuinka paljon laina/luotto oikeasti maksaa? d) Miten tutkia investoinnin kannattavuutta? e) Miten rahan arvon muutoksia seurataan? 16 / 117

17 Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? c) Kuinka paljon laina/luotto oikeasti maksaa? d) Miten tutkia investoinnin kannattavuutta? e) Miten rahan arvon muutoksia seurataan? f) Miten seurata erilaisten hyödykkeiden kulutuksen muutoksia? 17 / 117

18 KORKOLASKENTAA 18 / 117

19 Prosenttilaskua Jos luku a kasvaa p%, niin uusi arvo on a + p 100 a. 19 / 117

20 Prosenttilaskua Jos luku a kasvaa p%, niin uusi arvo on a + p 100 a. Jos luku a vähenee p%, niin uusi arvo on a p 100 a. 20 / 117

21 Prosenttilaskua Esimerkki 1 Paljonko on 1500 e maksava tuote 15% alennusmyynnissä? 21 / 117

22 Prosenttilaskua Esimerkki 1 Paljonko on 1500 e maksava tuote 15% alennusmyynnissä? 1500 e e = 1275 e (= 0, e) / 117

23 Prosenttilaskua Montako prosenttia luku a on luvusta b? p = a b 100% 23 / 117

24 Prosenttilaskua Esimerkki 2 Montako prosenttia luku a on luvusta b? a) a = 15, b = 90 b) a = 90, b = / 117

25 Prosenttilaskua Esimerkki 2 Montako prosenttia luku a on luvusta b? a) a = 15, b = 90 b) a = 90, b = 15 a) % = 16, 7% (= 0, , 167) / 117

26 Prosenttilaskua Esimerkki 2 Montako prosenttia luku a on luvusta b? a) a = 15, b = 90 b) a = 90, b = 15 a) b) % = 16, 7% (= 0, , 167) % = 600% (= 6, 00) / 117

27 Prosenttilaskua Kuinka monta prosenttia p luku a on suurempi (pienempi) kuin luku b? p = a b b 100% 27 / 117

28 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? 28 / 117

29 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 29 / 117

30 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 Vast. 700% 30 / 117

31 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 Vast. 700% b) = 0, / 117

32 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 Vast. 700% b) = 0, 857 Vast. 85, 7% 32 / 117

33 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 Vast. 700% b) = 0, 857 Vast. 85, 7% 33 / 117

34 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 Vast. 700% b) c) = 0, 857 Vast. 85, 7% = 0, / 117

35 Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) = 7 Vast. 700% b) c) = 0, 857 Vast. 85, 7% = 0, 875 Vast. 87, 5% 35 / 117

36 Prosenttilaskua Esimerkki 4 a) Mistä luvusta 24 on 32%? b) Mitä lukua 80 on 20% pienempi? c) Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50? d) Mikä luku on 10% pienempi kuin 30? e) Mikä luku on 32% luvusta 24? 36 / 117

37 Prosenttilaskua Esimerkki 4 a) Mistä luvusta 24 on 32%? b) Mitä lukua 80 on 20% pienempi? c) Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50? d) Mikä luku on 10% pienempi kuin 30? e) Mikä luku on 32% luvusta 24? a) 24 x = 0, 32 0, 32x = 24 x = 24 0, 32 = / 117

38 Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) 38 / 117

39 Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = / 117

40 Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50?) 40 / 117

41 Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50?) x = 0, 15 x 50 = 7, 5 x = 57, 5 41 / 117

42 Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50?) x = 0, 15 x 50 = 7, 5 x = 57, 5 d) (Mikä luku on 10% pienempi kuin 30?) 42 / 117

43 Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50?) x = 0, 15 x 50 = 7, 5 x = 57, 5 d) (Mikä luku on 10% pienempi kuin 30?) 30 x 30 = 0, 1 30 x = 3 x = / 117

44 Prosenttilaskua e) (Mikä luku on 32% luvusta 24?) 44 / 117

45 Prosenttilaskua e) (Mikä luku on 32% luvusta 24?) x = 0, 32 x = 24 0, 32 = 7, / 117

46 Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta/annetusta rahapääomasta (esim. luotto tai talletus). 46 / 117

47 Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta/annetusta rahapääomasta (esim. luotto tai talletus). Korkokanta i on prosenttiluku, joka ilmoittaa kuinka prosenttia (%) pääoma kasvaa korkojakson aikana. 47 / 117

48 Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta/annetusta rahapääomasta (esim. luotto tai talletus). Korkokanta i on prosenttiluku, joka ilmoittaa kuinka prosenttia (%) pääoma kasvaa korkojakson aikana. Korkojakso Korkokanta 1 vuosi i pa. (per annum) 6 kk i ps. (per semester) 3 kk i pq. (per quartal) 1 kk, 2 kk i per (1) kk, i per 2 kk 48 / 117

49 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan ainoastaan yhden korkojakson sisällä. 49 / 117

50 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Yksinkertainen korko Pääoma ajanhetkellä t (0 t 1) on K t = K 0 (1 + it), (1) missä K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) 50 / 117

51 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Yksinkertainen korko Pääoma ajanhetkellä t (0 t 1) on K t = K 0 (1 + it), (1) missä K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Korko ajanhetkellä t on K t K 0 = K 0 it. 51 / 117

52 Yksinkertainen korkolasku Korko on siis suoraan verrannollinen kuluneeseen aikaan korkojakson sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, 52 / 117

53 Yksinkertainen korkolasku Korko on siis suoraan verrannollinen kuluneeseen aikaan korkojakson sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, Pääoman kasvu on siis lineaarista korkojakson sisällä. (vrt. kuva) 53 / 117

54 Yksinkertainen korkolasku Kysymys Korko on siis suoraan verrannollinen kuluneeseen aikaan korkojakson sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, Pääoman kasvu on siis lineaarista korkojakson sisällä. (vrt. kuva) Mitä tapahtuu korkojakson lopussa? 54 / 117

55 Yksinkertainen korkolasku Kysymys Korko on siis suoraan verrannollinen kuluneeseen aikaan korkojakson sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, Pääoman kasvu on siis lineaarista korkojakson sisällä. (vrt. kuva) Mitä tapahtuu korkojakson lopussa? Vastaus Korkojakson lopussa korko liitetään pääomaan eli realisoidaan. Uusi kasvanut pääoma toimii seuraavan korkojakson alkupääomana. 55 / 117

56 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). 56 / 117

57 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). Prolongointi: pääomaa siirretään ajassa eteenpäin. 57 / 117

58 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). Prolongointi: pääomaa siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki 5 Talletetaan e korkokannalla 6% pa. Määrää talletuksen arvo a) vuoden b) 8 kk:n c) 16 kk:n kuluttua? d) 16 kk:n kuluttua, ilman että korko realisoidaan pääomaan aina korkojakson lopussa. 58 / 117

59 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). Prolongointi: pääomaa siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki 5 Talletetaan e korkokannalla 6% pa. Määrää talletuksen arvo a) vuoden b) 8 kk:n c) 16 kk:n kuluttua? d) 16 kk:n kuluttua, ilman että korko realisoidaan pääomaan aina korkojakson lopussa. a) K 0 = e i = 0, 06pa t = 1 ( korkojakson pituus 1 vuosi) 59 / 117

60 Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). Prolongointi: pääomaa siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki 5 Talletetaan e korkokannalla 6% pa. Määrää talletuksen arvo a) vuoden b) 8 kk:n c) 16 kk:n kuluttua? d) 16 kk:n kuluttua, ilman että korko realisoidaan pääomaan aina korkojakson lopussa. a) K 0 = e i = 0, 06pa t = 1 ( korkojakson pituus 1 vuosi) K t = K 0 (1 + it) = e (1 + 0, 06 1) = e 1, 06 = e 60 / 117

61 Yksinkertainen korkolasku b) (aika 8 kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = 61 / 117

62 Yksinkertainen korkolasku b) (aika 8 kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = / 117

63 Yksinkertainen korkolasku b) (aika 8 kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = 8 12 K t = K 0 (1 + it) = e (1 + 0, 06 = e 8 12 ) 63 / 117

64 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) Nyt aika menee korkojakson yli, joten joudutaan laskemaan osissa: 64 / 117

65 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) Nyt aika menee korkojakson yli, joten joudutaan laskemaan osissa: K 1 = e (1 + 0, 06 1) = e 65 / 117

66 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) Nyt aika menee korkojakson yli, joten joudutaan laskemaan osissa: K 1 = e (1 + 0, 06 1) = e Realisoidaan korko pääomaan, jolloin K 2 = e (1 + 0, ) = e 66 / 117

67 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) Lasketaan ilman, että realisoidaan pääomaa. K 0 = e i = 0, 06pa t = ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) 67 / 117

68 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) Lasketaan ilman, että realisoidaan pääomaa. K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = K t = e (1 + 0, ) = e 68 / 117

69 Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) Lasketaan ilman, että realisoidaan pääomaa. K 0 = e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = K t = e (1 + 0, ) = e Huom. 30 e erotus c) kohtaan verrattuna. (Miksi?) 69 / 117

70 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 6 Mikä on alkupääoman e arvo 10 kk kuluttua, kun korkokantana on a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilman koron realisointia pääomaan)? 70 / 117

71 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 6 Mikä on alkupääoman e arvo 10 kk kuluttua, kun korkokantana on a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilman koron realisointia pääomaan)? a) Korkojaksona 12 kk, joten 10 kk kuluttua pääoman arvo on K t = K 0 (1 + it) = e(1 + 0, ) = e 71 / 117

72 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 6 Mikä on alkupääoman e arvo 10 kk kuluttua, kun korkokantana on a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilman koron realisointia pääomaan)? a) Korkojaksona 12 kk, joten 10 kk kuluttua pääoman arvo on K t = K 0 (1 + it) = e(1 + 0, ) = e b) Korkojaksona 6 kk (< 10kk), joten lasketaan osissa: 0 6 kk : K 1 = e(1 + 0, 05 1) = e 72 / 117

73 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 6 Mikä on alkupääoman e arvo 10 kk kuluttua, kun korkokantana on a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilman koron realisointia pääomaan)? a) Korkojaksona 12 kk, joten 10 kk kuluttua pääoman arvo on K t = K 0 (1 + it) = e(1 + 0, ) = e b) Korkojaksona 6 kk (< 10kk), joten lasketaan osissa: 0 6 kk : K 1 = e(1 + 0, 05 1) = e 6 10 kk : K t = e(1 + 0, ) = e 73 / 117

74 Yksinkertainen korkolasku c) Korkojaksona 6 kk eikä realisoida korkoa pääomaan 74 / 117

75 Yksinkertainen korkolasku c) Korkojaksona 6 kk eikä realisoida korkoa pääomaan K t = K 0 (1 + it) = e(1 + 0, ) = e Huom. 30 e erotus b) kohtaan verrattuna. 75 / 117

76 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = / 117

77 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) 77 / 117

78 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) = 1, 07 K 0 78 / 117

79 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) = 1, 07 K i 1 4 = / 117

80 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) = 1, 07 K i 1 4 = i = = = 28% 80 / 117

81 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? 81 / 117

82 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K 0 82 / 117

83 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K 0 83 / 117

84 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K , 1t = 1, / 117

85 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K , 1t = 1, 08 0, 1t = 0, 08 0, 08 t = 0, 1 = 0, 8 85 / 117

86 Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K , 1t = 1, 08 0, 1t = 0, 08 0, 08 t = 0, 1 = 0, 8 Siis kysytty aika on 0, 8 12kk = 9, 6kk. 86 / 117

87 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. 87 / 117

88 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 88 / 117

89 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 89 / 117

90 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 90 / 117

91 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 91 / 117

92 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 92 / 117

93 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, , 05 0, 05t = 1, / 117

94 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, , 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, / 117

95 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, , 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 03 t = = 0, 571(< 1) 1, 05 0, / 117

96 Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, , 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 03 t = = 0, 571(< 1) 1, 05 0, 05 Kysytty aika: 6kk + 0, 571 6kk 9, 4kk. 96 / 117

97 Diskonttaus Yksinkertaista korkolasku yhden korkojakson sisällä ajanhetkellä t (0 t 1) on K t = K 0 (1 + it), (2) missä K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) 97 / 117

98 Diskonttaus Yksinkertaista korkolasku yhden korkojakson sisällä ajanhetkellä t (0 t 1) on missä K t = K 0 (1 + it), (2) K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Entä jos halutaan määrätä tunnettua (tulevan) ajanhetken t > 0 pääomaa K t vastaava alkupääoman arvo K 0? 98 / 117

99 Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0, jolloin 99 / 117

100 Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0, jolloin Virallinen diskonttauskaava K 0 = K t 1 + it. (3) missä K 0 = pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) 100 / 117

101 Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0, jolloin Virallinen diskonttauskaava K 0 = K t 1 + it. (3) missä K 0 = pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Kuten yksinkertainen korkolasku, myös kaavan (3) mukainen diskonttaus toimii ainoastaan yhden korkojakson sisällä. 101 / 117

102 Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0, jolloin Virallinen diskonttauskaava K 0 = K t 1 + it. (3) missä K 0 = pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Kuten yksinkertainen korkolasku, myös kaavan (3) mukainen diskonttaus toimii ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Diskonttaus on siis toimenpide, missä pääomaa siirretään ajassa taaksepäin. 102 / 117

103 Diskonttaus Kuinka paljon pääoma sitten muuttuu kun t 0? 103 / 117

104 Diskonttaus Kuinka paljon pääoma sitten muuttuu kun t 0? Muutos on tietenkin erotus K 0 K t = K t 1 + it K t ( ) 1 = K t 1 + it 1 ( ) it = K t < it) }{{} <0 104 / 117

105 Diskonttaus Kuinka paljon pääoma sitten muuttuu kun t 0? Muutos on tietenkin erotus K 0 K t = K t 1 + it K t ( ) 1 = K t 1 + it 1 ( ) it = K t < it) }{{} <0 Muutoksen itseisarvo eli diskontto on K t = K 0 K t = K t ( it ) 1 + it 105 / 117

106 Diskonttaus Kuinka paljon pääoma sitten muuttuu kun t 0? Muutos on tietenkin erotus K 0 K t = K t 1 + it K t ( ) 1 = K t 1 + it 1 ( ) it = K t < it) }{{} <0 Muutoksen itseisarvo eli diskontto on K t = K 0 K t = K t Vertaa korko K t K 0 = K 0 it. ( it ) 1 + it 106 / 117

107 Diskonttaus Mikä on koron ja diskonton suhde? 107 / 117

108 Diskonttaus Mikä on koron ja diskonton suhde? Diskonton ja koron täytyy tietenkin olla samat. 108 / 117

109 Diskonttaus Mikä on koron ja diskonton suhde? Diskonton ja koron täytyy tietenkin olla samat. Tarkistetaan: ( ) it K t = K t 1 + it ( ) it = (K 0 (1 + it)) 1 + it = K 0 it. 109 / 117

110 Diskonttaus Mikä on koron ja diskonton suhde? Diskonton ja koron täytyy tietenkin olla samat. Tarkistetaan: ( ) it K t = K t 1 + it ( ) it = (K 0 (1 + it)) 1 + it = K 0 it. Siis prolongointi yksinkertaisella korkolaskulla ja virallinen diskonttaus ovat käänteisiä toimituksia. 110 / 117

111 Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? 111 / 117

112 Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = / 117

113 Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), joten 113 / 117

114 Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), joten K 0 = K t 1 + it 114 / 117

115 Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), joten K 0 = K t 1 + it = e 1 + 0, / 117

116 Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), joten K 0 = K t 1 + it = e 1 + 0, = e 1, 06 = e 116 / 117

117 Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? 117 / 117

118 Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. 118 / 117

119 Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. Diskontataan siis osissa: 119 / 117

120 Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. Diskontataan siis osissa: 15kk 12kk 120 / 117

121 Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. Diskontataan siis osissa: 15kk 12kk K 1 = e 1 + 0, / 117

122 Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon e? Nyt K t = e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. Diskontataan siis osissa: 15kk 12kk K 1 = e 1 + 0, = e 1, 02 = 19607, 84 e 122 / 117

123 Diskonttaus 12kk 0kk 123 / 117

124 Diskonttaus 12kk 0kk K 0 = 19607, 84 e 1 + 0, / 117

125 Diskonttaus 12kk 0kk 19607, 84 e K 0 = 1 + 0, , 84 e = 1, 08 = 18155, 41 e 125 / 117

126 Diskonttaus 12kk 0kk 19607, 84 e K 0 = 1 + 0, , 84 e = 1, 08 = 18155, 41 e (Miten voit tarkistaa laskun?) 126 / 117

127 Diskonttaus Virallista diskonttausta käytetään sijoitustodistusten kaupassa. Sijoitus todistus on pankin liikkeelle laskema velkakirja (hinta K 0 ), jonka haltialle pankki maksaa todistukseen mainitun rahan K t ajan t kuluttua. 127 / 117

128 Diskonttaus Virallista diskonttausta käytetään sijoitustodistusten kaupassa. Sijoitus todistus on pankin liikkeelle laskema velkakirja (hinta K 0 ), jonka haltialle pankki maksaa todistukseen mainitun rahan K t ajan t kuluttua. Esimerkki e sijoitustodistus erääntyy 8kk kuluttua. Määrää sen hinta, kun korkokanta on 5% pa. 128 / 117

129 Diskonttaus Virallista diskonttausta käytetään sijoitustodistusten kaupassa. Sijoitus todistus on pankin liikkeelle laskema velkakirja (hinta K 0 ), jonka haltialle pankki maksaa todistukseen mainitun rahan K t ajan t kuluttua. Esimerkki e sijoitustodistus erääntyy 8kk kuluttua. Määrää sen hinta, kun korkokanta on 5% pa. Diskontataan, jolloin K 0 = e 1 + 0, = e 129 / 117

130 Vekselidiskonttaus Vekseleiden yhteydessä käytetään vekseli- eli kauppadiskonttausta. 130 / 117

131 Vekselidiskonttaus Vekseleiden yhteydessä käytetään vekseli- eli kauppadiskonttausta. Vekselidiskonttauskaava K 0 = K t (1 it), (4) missä K 0 = vekselin käteis- eli nykyarvo K t = ajan t kuluttua erääntyvän vekselin nimellisarvo i = diskonttauskorkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) 131 / 117

132 Vekselidiskonttaus Vekseleiden yhteydessä käytetään vekseli- eli kauppadiskonttausta. Vekselidiskonttauskaava K 0 = K t (1 it), (4) missä K 0 = vekselin käteis- eli nykyarvo K t = ajan t kuluttua erääntyvän vekselin nimellisarvo i = diskonttauskorkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Vekselidiskontto: K t = K t K 0 = K t K t (1 it) = K t it. 132 / 117

133 Vekselidiskonttaus Esimerkki 12 Vekseli, jonka nimellisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on käteisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa. 133 / 117

134 Vekselidiskonttaus Esimerkki 12 Vekseli, jonka nimellisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on käteisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa. Käytetään vekselidiskonttausta, jolloin K 0 = 9000 e (1 0, 12 5 ) = 9000 e 450 e = 8550 e / 117

135 Vekselidiskonttaus Esimerkki 13 Mikä on edellisen esimerkin vekselin nykyarvo virallisen diskonttauksen mukaan. 135 / 117

136 Vekselidiskonttaus Esimerkki 13 Mikä on edellisen esimerkin vekselin nykyarvo virallisen diskonttauksen mukaan. Käytetään virallista diskonttausta vekselidiskonttauksen sijaan. Tällöin 9000 e K 0 = 1 + 0, 12 5 = 9000 e 1, 05 = 8571 e / 117

137 Vekselidiskonttaus Esimerkki 14 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? 137 / 117

138 Vekselidiskonttaus Esimerkki 14 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? Käytetään vekselidiskonttausta, jolloin K t = 9000 e 1 0, = 9473, 68 e 138 / 117

139 Vekselidiskonttaus Esimerkki 15 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? 139 / 117

140 Vekselidiskonttaus Esimerkki 15 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? Käytetään vekselidiskonttausta, jolloin K t = 9000 e 1 0, = 9473, 68 e 140 / 117

141 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). 141 / 117

142 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan. 142 / 117

143 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan. Seuraavassa korkojaksossa uusi kasvanut pääoma kasva korkoa kunnes korko jälleen liitetään pääomaan. 143 / 117

144 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan. Seuraavassa korkojaksossa uusi kasvanut pääoma kasva korkoa kunnes korko jälleen liitetään pääomaan. Näin edellisten korkojaksojen tuottama korko kasvaa korkoa aina seuraavilla jaksolla. 144 / 117

145 Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan. Seuraavassa korkojaksossa uusi kasvanut pääoma kasva korkoa kunnes korko jälleen liitetään pääomaan. Näin edellisten korkojaksojen tuottama korko kasvaa korkoa aina seuraavilla jaksolla. Syntyy ns. koronkorko. 145 / 117

146 Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K / 117

147 Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. Pääoma 1. korkojakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). 147 / 117

148 Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. Pääoma 1. korkojakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). Pääoma 2. korkojakson lopussa: K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) / 117

149 Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. Pääoma 1. korkojakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). Pääoma 2. korkojakson lopussa: K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2. Näin jatkamalla saadaan pääoma n. korkojakson lopussa: K n = K n 1 (1 + i) = K n 2 (1 + i) 2 = = K 0 (1 + i) n. 149 / 117

150 Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. Pääoma 1. korkojakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). Pääoma 2. korkojakson lopussa: K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2. Näin jatkamalla saadaan pääoma n. korkojakson lopussa: K n = K n 1 (1 + i) = K n 2 (1 + i) 2 = = K 0 (1 + i) n. Saadaan geometrinen jono (K j ) n j=1, missä K j+1 K j = 1 + i. korkotekijä 150 / 117

151 Koronkorko Koronkorko Pääoma n. korkojakson lopussa on K n = K 0 (1 + i) n, (5) missä K 0 on alkupääoma, i on korkokanta ja n on kokonaisten korkojaksojen lukumäärä. (Huom. Vajaissa korkojaksoissa käytetään yksinkertaista korkolaskua.) 151 / 117

152 Koronkorko Jaksollinen diskonttaus Pääoman arvo alussa on K 0 = K n (1 + i) n, (6) missä K n on pääoman arvo lopussa, i on korkokanta ja n on kokonaisten korkojaksojen lukumäärä. Jaksojen lukumäärä Tästä voidaan selvittää myös jaksojen lukumäärä n: n = Kn ln K 0 ln(1 + i). (7) 152 / 117

153 Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. 153 / 117

154 Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, joten korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl. 154 / 117

155 Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, joten korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl. Siis K 6 = K 0 (1 + i) n = 1000 e 1, 04 6 = 1265 e 155 / 117

156 Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, joten korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl. Siis K 6 = K 0 (1 + i) n = 1000 e 1, 04 6 = 1265 e b) Nyt i = 2% ps, joten korkojaksoja on yhteensä n = 2 6 = 12 kpl. 156 / 117

157 Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, joten korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl. Siis K 6 = K 0 (1 + i) n = 1000 e 1, 04 6 = 1265 e b) Nyt i = 2% ps, joten korkojaksoja on yhteensä n = 2 6 = 12 kpl. Siis K 12 = 1000 e 1, = 1268 e 157 / 117

158 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. 158 / 117

159 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e 159 / 117

160 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. 160 / 117

161 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e 161 / 117

162 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikein? 162 / 117

163 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikein? Ei sillä kaava (6) toimii ainoastaan kokonaisilla korkojaksoilla. Lasketaan tämä siis oikein: 163 / 117

164 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikein? Ei sillä kaava (6) toimii ainoastaan kokonaisilla korkojaksoilla. Lasketaan tämä siis oikein: K 6 = 1000 e 1, 04 6 = 1265, 32 e 164 / 117

165 Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikein? Ei sillä kaava (6) toimii ainoastaan kokonaisilla korkojaksoilla. Lasketaan tämä siis oikein: K 6 = 1000 e 1, 04 6 = 1265, 32 e 6 K 6,5 = K 6 (1 + 0, 04 ) = 1290, 62 e / 117

166 Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? 166 / 117

167 Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteensä n = 8 kpl. 167 / 117

168 Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteensä n = 8 kpl. Halutaan siis kolminkertaistaa alkupääoma K / 117

169 Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteensä n = 8 kpl. Halutaan siis kolminkertaistaa alkupääoma K 0. Siis K 0 (1 + i) 8 = 3K 0 (1 + i) 8 = i = 8 3 i = , / 117

170 Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteensä n = 8 kpl. Halutaan siis kolminkertaistaa alkupääoma K 0. Siis K 0 (1 + i) 8 = 3K 0 (1 + i) 8 = i = 8 3 i = , 147 Haluttu korkokanta on siis 14, 7% pa. 170 / 117

171 Koronkorko b) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 0,5 vuotta, eli korkojaksoja yhteensä n = 2 8 = 16 kpl. 171 / 117

172 Koronkorko b) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 0,5 vuotta, eli korkojaksoja yhteensä n = 2 8 = 16 kpl. Siis K 0 (1 + i) 16 = 3K 0 (1 + i) 16 = i = 16 3 i = , / 117

173 Koronkorko b) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 0,5 vuotta, eli korkojaksoja yhteensä n = 2 8 = 16 kpl. Siis K 0 (1 + i) 16 = 3K 0 (1 + i) 16 = i = 16 3 i = , 071 Haluttu korkokanta on siis 7, 1% ps. 173 / 117

174 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? 174 / 117

175 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä 175 / 117

176 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä e = e (1 + 0, 04) n 176 / 117

177 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä e = e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = / 117

178 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä e = e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 ln 1, 04 n = ln / 117

179 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä e = e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 ln 1, 04 n = ln 5 3 n ln 1, 04 = ln / 117

180 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä e = e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 ln 1, 04 n = ln 5 3 n ln 1, 04 = ln 5 3 n = ln , 024 ln 1, / 117

181 Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä e = e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 ln 1, 04 n = ln 5 3 n ln 1, 04 = ln 5 3 n = ln , 024 ln 1, 04 Tarvitaan siis vähintää 13 kokonaista jaksoa ja osa seuraavaa korkojaksoa. Miten selvitetään tarkka aika? 181 / 117

182 Korkokannoista (Relatiivinen korkokanta) Idea Jaetaan korkoprosentit ja korkojakso samassa suhteessa (esim. puolitetaan prosentti ja korkojakso). 182 / 117

183 Korkokannoista (Relatiivinen korkokanta) Idea Jaetaan korkoprosentit ja korkojakso samassa suhteessa (esim. puolitetaan prosentti ja korkojakso). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. (8) 183 / 117

184 Korkokannoista (Relatiivinen korkokanta) Idea Jaetaan korkoprosentit ja korkojakso samassa suhteessa (esim. puolitetaan prosentti ja korkojakso). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. (8) Relatiivisessa korkokannassa saadaan suurempi korkotuotto, mitä lyhyempi korkojakson pituus on. 184 / 117

185 Korkokannoista (Relatiivinen korkokanta) Idea Jaetaan korkoprosentit ja korkojakso samassa suhteessa (esim. puolitetaan prosentti ja korkojakso). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. (8) Relatiivisessa korkokannassa saadaan suurempi korkotuotto, mitä lyhyempi korkojakson pituus on. Relatiiviset korkokannat eivät anna siis samaa tuottoa pääomalle (esim. 4% pa. ja 2% ps.). 185 / 117

186 Korkokannoista (Konforminen korkokanta) Idea Etsitään eri korkokannalle i (per p) sellainen korkokanta j (per q), että tuotto kummallakin korkokannalla on sama (samassa ajassa). 186 / 117

187 Korkokannoista (Konforminen korkokanta) Idea Etsitään eri korkokannalle i (per p) sellainen korkokanta j (per q), että tuotto kummallakin korkokannalla on sama (samassa ajassa). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. 187 / 117

188 Korkokannoista (Konforminen korkokanta) Idea Etsitään eri korkokannalle i (per p) sellainen korkokanta j (per q), että tuotto kummallakin korkokannalla on sama (samassa ajassa). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. Jos siis aikaan t tarvitaan n kpl korkojaksoja p ja m kpl korkojaksoja q, niin täytyy olla np = mq = n m = q p. (9) 188 / 117

189 Korkokannoista (Konforminen korkokanta) Idea Etsitään eri korkokannalle i (per p) sellainen korkokanta j (per q), että tuotto kummallakin korkokannalla on sama (samassa ajassa). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. Jos siis aikaan t tarvitaan n kpl korkojaksoja p ja m kpl korkojaksoja q, niin täytyy olla np = mq = n m = q p. (9) Käyttäen jaksollista korkolaskua saadaan K 0 (1 + i) n = K 0 (1 + j) m j = (1 + i) q p 1 (10) 189 / 117

190 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 19 Määritä korkokannalle 7% per 10kk a) konforminen neljännesvuosikorkokanta, b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. 190 / 117

191 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 19 Määritä korkokannalle 7% per 10kk a) konforminen neljännesvuosikorkokanta, b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. a) Nyt i = 7% (per p = 10kk) ja j =? (per q = 3kk), joten j = (1 + i) q p 1 = (1 + 0, 07) = 0, 0205 = 2, 05%. 191 / 117

192 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 19 Määritä korkokannalle 7% per 10kk a) konforminen neljännesvuosikorkokanta, b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. a) Nyt i = 7% (per p = 10kk) ja j =? (per q = 3kk), joten j = (1 + i) q p 1 = (1 + 0, 07) = 0, 0205 = 2, 05%. b) Relatiivinen neljännesvuosikorkokanta on 3 0, 07 = 2, 10% / 117

193 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 20 Loppupääomaksi halutaan e. Korkokanta on 4% ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? 193 / 117

194 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 20 Loppupääomaksi halutaan e. Korkokanta on 4% ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? Nyt korkojaksoja on n = 2 6 = 12 kpl, joten ratkaistaan K 0 yhtälöstä K n = K 0 (1 + i) n. 194 / 117

195 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 20 Loppupääomaksi halutaan e. Korkokanta on 4% ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? Nyt korkojaksoja on n = 2 6 = 12 kpl, joten ratkaistaan K 0 yhtälöstä K n = K 0 (1 + i) n. Täten saadaan K 0 = K n (1 + i) n = e 1, = e. 195 / 117

196 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. 196 / 117

197 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. On siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j on kysytty puolivuotiskorkokanta ja K 0 on alkupääoma. Täten 197 / 117

198 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. On siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j on kysytty puolivuotiskorkokanta ja K 0 on alkupääoma. Täten 1, 06 = (1 + j) / 117

199 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. On siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j on kysytty puolivuotiskorkokanta ja K 0 on alkupääoma. Täten 1, 06 = (1 + j) 2 j = 1, , 0296 = 2, 96% 199 / 117

200 Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. On siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j on kysytty puolivuotiskorkokanta ja K 0 on alkupääoma. Täten 1, 06 = (1 + j) 2 j = 1, , 0296 = 2, 96% Konforminen puolivuotiskorkokanta on siis j = 2, 96% ps. (vrt. relatiivinen). 200 / 117

201 Jatkuva korkolasku Miten korkolaskulle käy jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? 201 / 117

202 Jatkuva korkolasku Miten korkolaskulle käy jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? Korkojakson pituus siis lähestyy nollaa, joten korkoa liitetään pääomaan jatkuvasti. 202 / 117

203 Jatkuva korkolasku Miten korkolaskulle käy jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? Korkojakson pituus siis lähestyy nollaa, joten korkoa liitetään pääomaan jatkuvasti. Idea: lasketaan siis koronkorkoa mielivaltaisen pienellä korkojakson pituudella. 203 / 117

204 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 204 / 117

205 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 1 Koronkoron kaava: K t = K 0 (1 + i) n 205 / 117

206 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 1 Koronkoron kaava: K t = K 0 (1 + i) n 2 Nyt t = (aika) (korkojakson pituus) ( korkojaksojen lkm ), joten (aika) = t (korkojakson pituus) 206 / 117

207 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 1 Koronkoron kaava: K t = K 0 (1 + i) n 2 Nyt t = (aika) (korkojakson pituus) ( korkojaksojen lkm ), joten (aika) = t (korkojakson pituus) 3 Jaetaan aikaväli [0, t] n:ään yhtäsuureen osaa ja realisoidaan korko jokaisen osavälin lopussa. 207 / 117

208 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 1 Koronkoron kaava: K t = K 0 (1 + i) n 2 Nyt t = (aika) (korkojakson pituus) ( korkojaksojen lkm ), joten (aika) = t (korkojakson pituus) 3 Jaetaan aikaväli [0, t] n:ään yhtäsuureen osaa ja realisoidaan korko jokaisen osavälin lopussa. 4 Nyt uudeksi korkojaksoksi saadaan (uusi korkojakso) = (aika) n = t (korkojakson pituus) n 208 / 117

209 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Uusi korkokanta on nyt uusi korkokanta = t i per uusi korkojakso. n 209 / 117

210 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Uusi korkokanta on nyt uusi korkokanta = t i per uusi korkojakso. n 2 Korkojaksoja on nyt n kpl välillä [0, t], joten K (n) t = K 0 (1 + i t n )n 210 / 117

211 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Uusi korkokanta on nyt uusi korkokanta = t i per uusi korkojakso. n 2 Korkojaksoja on nyt n kpl välillä [0, t], joten K (n) t = K 0 (1 + i t n )n 3 Sijoitetaan it n = 1 x, jolloin n = x it. 211 / 117

212 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Uusi korkokanta on nyt uusi korkokanta = t i per uusi korkojakso. n 2 Korkojaksoja on nyt n kpl välillä [0, t], joten K (n) t = K 0 (1 + i t n )n 3 Sijoitetaan it n = 1 x, jolloin n = x it. 4 Siis K (n) t = K 0 ( x ) x it. 212 / 117

213 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Annetaan nyt n, jolloin myös x. 213 / 117

214 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Annetaan nyt n, jolloin myös x. 2 Mitä tapahtuu? 214 / 117

215 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Annetaan nyt n, jolloin myös x. 2 Mitä tapahtuu? 3 Nyt korkojakson pituus t n 0, ts. korkojakson pituus lähestyy nollaa. 215 / 117

216 Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Annetaan nyt n, jolloin myös x. 2 Mitä tapahtuu? 3 Nyt korkojakson pituus t n 0, ts. korkojakson pituus lähestyy nollaa. 4 Itseasiassa koska ( K (n) t = K ) x it [( = K ) x ] it x x ja ( lim ) x = e 2, x x 216 / 117

217 Jatkuva korkolasku Jatkuva prolongointi Jatkuva prolongointi voidaan suorittaa kaavalla missä K 0 = alkupääoma K t = pääoman arvo ajanhetkellä t K t = K 0 e it, (11) i = korkointensiteetti jotakin aikaväliä d kohti (esim. 6% pa.) kulunut aika t = d (t 0) 217 / 117

218 Jatkuva korkolasku Esimerkki 22 Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3% pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3% pa. 8 vuoden kuluttua? 218 / 117

219 Jatkuva korkolasku Esimerkki 22 Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3% pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3% pa. 8 vuoden kuluttua? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = / 117

220 Jatkuva korkolasku Esimerkki 22 Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3% pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3% pa. 8 vuoden kuluttua? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K 0 e it = K 0 e 0, / 117

221 Jatkuva korkolasku Esimerkki 22 Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3% pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3% pa. 8 vuoden kuluttua? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo normaalilla korkolaskulla (koronkorko): K 0 (1 + i) n = K 0 1, / 117

222 Jatkuva korkolasku Esimerkki 22 Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3% pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3% pa. 8 vuoden kuluttua? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo normaalilla korkolaskulla (koronkorko): Arvojen suhde: K 0 (1 + i) n = K 0 1, 03 8 K 0 e 0,03 8 K 0 1, 03 8 = e0,03 8 1, , 0035 V : 0, 35% suurempi 222 / 117

223 Jatkuva diskonttaus Jatkuva diskonttaus Jatkuva diskonttaus saadaan ratkaisemalla K 0 yhtälöstä (11) K o = K t e it = K t e it, (12) missä K t = pääoman arvo ajanhetkellä t i = korkointensiteetti jotakin aikaväliä d kohti (esim. 6% pa.) kulunut aika t = d (t 0) 223 / 117

224 Jatkuva diskonttaus Huom 1 Jatkuvassa korkolaskussa pääoman siirtäminen on riippumaton siirtoreitistä. Jatkuvan korkolaskun malli on teoreettinen ja sitä käytetään mm. erilaisten maksusysteemien vertailuissa. 224 / 117

225 Jatkuva diskonttaus Huom 1 Jatkuvassa korkolaskussa pääoman siirtäminen on riippumaton siirtoreitistä. Jatkuvan korkolaskun malli on teoreettinen ja sitä käytetään mm. erilaisten maksusysteemien vertailuissa. Huom 2 Jatkuvan korkolaskun mukainen korko on aina suurempi kuin yksinkertainen korko ja koronkorko, koska e it = 1 k! (it)k = 1 + it (it)2 + > 1 + it k=0 e in = (e i ) n > (1 + i) n 225 / 117

226 Jatkuva diskonttaus Kysymys Miten saadaan selville korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko)? 226 / 117

227 Jatkuva diskonttaus Kysymys Miten saadaan selville korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko)? Olkoon korkojakson pituus d. 227 / 117

228 Jatkuva diskonttaus Kysymys Miten saadaan selville korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko)? Olkoon korkojakson pituus d. Tiedetään siis korkointensiteetti i per d ja selvitetään (konforminen) korkokanta ĩ per d. 228 / 117

229 Jatkuva diskonttaus Kysymys Miten saadaan selville korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko)? Olkoon korkojakson pituus d. Tiedetään siis korkointensiteetti i per d ja selvitetään (konforminen) korkokanta ĩ per d. Pääoma ajanhetkellä t { K 0 (1 + ĩ) t (koronkorko) K 0 e it (jatkuva korkolasku) 229 / 117

230 Jatkuva diskonttaus Kysymys Miten saadaan selville korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko)? Olkoon korkojakson pituus d. Tiedetään siis korkointensiteetti i per d ja selvitetään (konforminen) korkokanta ĩ per d. Pääoma ajanhetkellä t { K 0 (1 + ĩ) t (koronkorko) K 0 e it Konformisuus = (jatkuva korkolasku) K 0 e it = K 0 (1 + ĩ) t (e i ) t = (1 + ĩ) t 230 / 117

231 Jatkuva diskonttaus Ratkaistaan ĩ, joten e i = 1 + ĩ ĩ = e i / 117

232 Jatkuva diskonttaus Ratkaistaan ĩ, joten e i = 1 + ĩ ĩ = e i 1 Voidaan myös ratkaista i, eli saadaan {ĩ = e i 1 i = ln(1 + ĩ) 232 / 117

233 Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä on edellisen esimerkin (esim. 22) korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? 233 / 117

234 Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä on edellisen esimerkin (esim. 22) korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = / 117

235 Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä on edellisen esimerkin (esim. 22) korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K t = K 0 e it = K 0 e 0, / 117

236 Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä on edellisen esimerkin (esim. 22) korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K t = K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo korkokannan ĩ mukaan: K n = K 0 (1 + ĩ) n 236 / 117

237 Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä on edellisen esimerkin (esim. 22) korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K t = K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo korkokannan ĩ mukaan: Koska oltava konformiset, niin K n = K 0 (1 + ĩ) n K 0 e 0,03 8 = K 0 (1 + ĩ) 8 ĩ = e 0,03 1 0, 0305 V: 3,05% pa. 237 / 117

238 Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n jakson ajan (jakson lopussa) toistuva maksu k. 238 / 117

239 Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n jakson ajan (jakson lopussa) toistuva maksu k. Mikä on maksusysteemin pääoma-arvo viimeisen suorituksen hetkellä? 239 / 117

240 Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n jakson ajan (jakson lopussa) toistuva maksu k. Mikä on maksusysteemin pääoma-arvo viimeisen suorituksen hetkellä? Prolongoidaan jokainen maksuerä korkokannalla i per jakso. Tarkastellaan miten talletusten arvo muuttuu: 240 / 117

241 Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n jakson ajan (jakson lopussa) toistuva maksu k. Mikä on maksusysteemin pääoma-arvo viimeisen suorituksen hetkellä? Prolongoidaan jokainen maksuerä korkokannalla i per jakso. Tarkastellaan miten talletusten arvo muuttuu: - 1. jakson maksu k(1 + i) n 1-2. jakson maksu k(1 + i) n 2-3. jakson maksu k(1 + i) n 3. - n-1. jakson maksu k(1 + i) - n. jakson maksu k 241 / 117

242 Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n jakson ajan (jakson lopussa) toistuva maksu k. Mikä on maksusysteemin pääoma-arvo viimeisen suorituksen hetkellä? Prolongoidaan jokainen maksuerä korkokannalla i per jakso. Tarkastellaan miten talletusten arvo muuttuu: - 1. jakson maksu k(1 + i) n 1-2. jakson maksu k(1 + i) n 2-3. jakson maksu k(1 + i) n 3. - n-1. jakson maksu k(1 + i) - n. jakson maksu k Mikä on maksusysteemin pääoma-arvo lopussa? 242 / 117

243 Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli 243 / 117

244 Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli K n = k(1 + i) n 1 + k(1 + i) n 2 + k(1 + i) + k 244 / 117

245 Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli K n = k(1 + i) n 1 + k(1 + i) n 2 + k(1 + i) + k n 1 = k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) j=0 245 / 117

246 Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli K n = k(1 + i) n 1 + k(1 + i) n 2 + k(1 + i) + k n 1 = k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) j=0 = k 1 (1 + i)n 1 (1 + i) 246 / 117

247 Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli K n = k(1 + i) n 1 + k(1 + i) n 2 + k(1 + i) + k n 1 = k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) j=0 1 (1 + i)n = k 1 (1 + i) 1 (1 + i)n = k i 247 / 117

248 Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli K n = k(1 + i) n 1 + k(1 + i) n 2 + k(1 + i) + k n 1 = k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) j=0 1 (1 + i)n = k 1 (1 + i) 1 (1 + i)n = k i = k (1 + i)n 1 i 248 / 117

249 Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli K n = k(1 + i) n 1 + k(1 + i) n 2 + k(1 + i) + k n 1 = k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) j=0 1 (1 + i)n = k 1 (1 + i) 1 (1 + i)n = k i = k (1 + i)n 1 i = k A n,i, missä A n,i = (1 + i)n 1 i 249 / 117

250 Jaksolliset suoritukset Jaksollisten suoritusten prolongointi Talletetaan n jakson lopussa toistuva maksu k kun korkokantana on i% (per jakso). Tällöin pääoma-arvo lopussa on missä K n = k (1 + i)n 1 i A n,i = (1 + i)n 1 i = k A n,i, (13) 250 / 117

251 Jaksolliset suoritukset Jaksollisten suoritusten diskonttaus Systeemin pääoma-arvo alussa (t = 0) saadaan diskontaamalla K n alkuun. Siis K 0 = K n (1 + i) n = k (1 + i)n 1 i(1 + i) n = k a n,i, (14) missä a n,i = A n,i (1 + i) n = (1 + i)n 1 i(1 + i) n 251 / 117

252 Jaksolliset suoritukset Jaksollisten suoritusten diskonttaus Systeemin pääoma-arvo alussa (t = 0) saadaan diskontaamalla K n alkuun. Siis K 0 = K n (1 + i) n = k (1 + i)n 1 i(1 + i) n = k a n,i, (14) missä a n,i = A n,i (1 + i) n = (1 + i)n 1 i(1 + i) n Huom 3 Systeemin pääoma-arvo alussa on se rahasumma K 0, joka kasvaisi korkoa n jakson aikana korkokannalla i per jakso summaan K n. 252 / 117

253 Jaksolliset suoritukset Muutama huomio: Jaksollisissa suorituksissa korkoprosenttiin i täytyy olla korkojaksona maksuerien välinen jakson pituus. 253 / 117

254 Jaksolliset suoritukset Muutama huomio: Jaksollisissa suorituksissa korkoprosenttiin i täytyy olla korkojaksona maksuerien välinen jakson pituus. Ts. ei siis voida käyttää esim. kuukausittaisissa maksusuorituksissa korkokantana vuosikorkoa i%pa. 254 / 117

255 Jaksolliset suoritukset Muutama huomio: Jaksollisissa suorituksissa korkoprosenttiin i täytyy olla korkojaksona maksuerien välinen jakson pituus. Ts. ei siis voida käyttää esim. kuukausittaisissa maksusuorituksissa korkokantana vuosikorkoa i%pa. Jaksollisten suoritusten yhteydessä käytetään relatiivisia korkokantoja, ellei toisin mainita. 255 / 117

256 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 24 Olkoon 6000 e vuoden lopussa toistuva maksu 12 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) alkuarvo ja b) loppuarvo, kun korkokanta on 5% pa.? 256 / 117

257 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 24 Olkoon 6000 e vuoden lopussa toistuva maksu 12 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) alkuarvo ja b) loppuarvo, kun korkokanta on 5% pa.? Nyt k = 6000 e, i = 5% pa. ja n = / 117

258 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 24 Olkoon 6000 e vuoden lopussa toistuva maksu 12 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) alkuarvo ja b) loppuarvo, kun korkokanta on 5% pa.? Nyt k = 6000 e, i = 5% pa. ja n = 12. b) K n = k (1 + i)n 1 i = , , 05 = e 258 / 117

259 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 24 Olkoon 6000 e vuoden lopussa toistuva maksu 12 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) alkuarvo ja b) loppuarvo, kun korkokanta on 5% pa.? Nyt k = 6000 e, i = 5% pa. ja n = 12. b) K n = k (1 + i)n 1 i = , , 05 = e a) K 0 = K n (1 + i) n = k (1 + i)n 1 1, i(1 + i) n = 6000 = e 0, 05 1, / 117

260 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on e kun korkokanta 6% pa.? 260 / 117

261 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. 261 / 117

262 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja nyt n = = 144 kpl. 262 / 117

263 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja nyt n = = 144 kpl. Lisäksi K n = e ja k =?, joten 263 / 117

264 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja nyt n = = 144 kpl. Lisäksi K n = e ja k =?, joten K n = k A n,i 264 / 117

265 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja nyt n = = 144 kpl. Lisäksi K n = e ja k =?, joten K n = k A n,i K n A n,i = k 265 / 117

266 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja nyt n = = 144 kpl. Lisäksi K n = e ja k =?, joten K n = k A n,i K n A n,i = k k = K n i (1 + i) n / 117

267 Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja nyt n = = 144 kpl. Lisäksi K n = e ja k =?, joten K n = k A n,i K n = k A n,i k = K i n (1 + i) n 1 0, 005 k = e 1, = 47, 59 e 267 / 117

268 Annuiteettiperiaate Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). 268 / 117

269 Annuiteettiperiaate Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Annuiteetti Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan maksuerä k, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannassa i, saadaan yhtälöstä k = K 0 i(1 + i) n (1 + i) n 1. (15) 269 / 117

270 Annuiteettiperiaate Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Annuiteetti Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan maksuerä k, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannassa i, saadaan yhtälöstä k = K 0 i(1 + i) n (1 + i) n 1. (15) Kuoletus = lyhennys+korko; Annuiteetti = tasamaksuerä 270 / 117

271 Annuiteettiperiaate Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Annuiteetti Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan maksuerä k, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannassa i, saadaan yhtälöstä k = K 0 i(1 + i) n (1 + i) n 1. (15) Kuoletus = lyhennys+korko; Annuiteetti = tasamaksuerä Käytetään relatiivisia korkokantoja ellei toisin pyydetä. 271 / 117

272 Annuiteettiperiaate Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Annuiteetti Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan maksuerä k, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannassa i, saadaan yhtälöstä k = K 0 i(1 + i) n (1 + i) n 1. (15) Kuoletus = lyhennys+korko; Annuiteetti = tasamaksuerä Käytetään relatiivisia korkokantoja ellei toisin pyydetä. Annuiteetissa maksettu korko lasketaan jäljellä olevasta luoton määrästä. 272 / 117

273 Annuiteettiperiaate Esimerkki 26 Kuinka suuren pankkilainan pankki voi asiakkaalleen myöntää, kun asiakas pystyy kuolettamaan luottoa vuosittain e, laina-aika on 10 vuotta ja korkokanta on 12% pa.? 273 / 117

274 Annuiteettiperiaate Esimerkki 26 Kuinka suuren pankkilainan pankki voi asiakkaalleen myöntää, kun asiakas pystyy kuolettamaan luottoa vuosittain e, laina-aika on 10 vuotta ja korkokanta on 12% pa.? Nyt n = 10 ja i = 0, 12, joten 274 / 117

275 Annuiteettiperiaate Esimerkki 26 Kuinka suuren pankkilainan pankki voi asiakkaalleen myöntää, kun asiakas pystyy kuolettamaan luottoa vuosittain e, laina-aika on 10 vuotta ja korkokanta on 12% pa.? Nyt n = 10 ja i = 0, 12, joten K 0 = k a n,i = k (1 + i)n 1 i(1 + i) n 1, = e 0, 12 1, = , 15 e e 275 / 117

276 Annuiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä on 12 vuodeksi annetun e euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13% pa.? 276 / 117

277 Annuiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä on 12 vuodeksi annetun e euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13% pa.? Korkokantaa 13% pa. vastaava relatiivinen puolivuotiskorko on i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk:n korkojaksoja on n = 2 12 = 24 kpl. 277 / 117

278 Annuiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä on 12 vuodeksi annetun e euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13% pa.? Korkokantaa 13% pa. vastaava relatiivinen puolivuotiskorko on i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk:n korkojaksoja on n = 2 12 = 24 kpl. Puolivuotisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = = e 0, 065 1, , / 117

279 Annuiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä on 12 vuodeksi annetun e euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13% pa.? Korkokantaa 13% pa. vastaava relatiivinen puolivuotiskorko on i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk:n korkojaksoja on n = 2 12 = 24 kpl. Puolivuotisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = = e 0, 065 1, , / 117

280 Annuiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä on 12 vuodeksi annetun e euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13% pa.? Korkokantaa 13% pa. vastaava relatiivinen puolivuotiskorko on i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk:n korkojaksoja on n = 2 12 = 24 kpl. Puolivuotisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = = e 0, 065 1, , Siis vuosittain yht e = e. 280 / 117

281 Annuiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä on 12 vuodeksi annetun e euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13% pa.? Korkokantaa 13% pa. vastaava relatiivinen puolivuotiskorko on i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk:n korkojaksoja on n = 2 12 = 24 kpl. Puolivuotisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = = e 0, 065 1, , Siis vuosittain yht e = e. Maksettu korko: e e = e. 281 / 117

282 Annuiteettiperiaate Esimerkki 28 Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen esimerkin lainalle? 282 / 117

283 Annuiteettiperiaate Esimerkki 28 Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen esimerkin lainalle? Nyt i = % = 1, % per kk ja korkojaksoja on n = = 144 kpl. 283 / 117

284 Annuiteettiperiaate Esimerkki 28 Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen esimerkin lainalle? Nyt i = % = 1, % per kk ja korkojaksoja on n = = 144 kpl. Kuukausittaisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n / 117

285 Annuiteettiperiaate Esimerkki 28 Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen esimerkin lainalle? Nyt i = % = 1, % per kk ja korkojaksoja on n = = 144 kpl. Kuukausittaisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = = 4124 e 0, , , / 117

286 Annuiteettiperiaate Esimerkki 28 Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen esimerkin lainalle? Nyt i = % = 1, % per kk ja korkojaksoja on n = = 144 kpl. Kuukausittaisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = = 4124 e 0, , , Siis vuosittain yht e = e (< e). 286 / 117

287 Annuiteettiperiaate Esimerkki 28 Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen esimerkin lainalle? Nyt i = % = 1, % per kk ja korkojaksoja on n = = 144 kpl. Kuukausittaisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = = 4124 e 0, , , Siis vuosittain yht e = e (< e). Maksettu korko: e e = e. 287 / 117

288 Annuiteettiperiaate Esimerkki 29 Nimellisarvoltaan e laina kuoletetaan 2 vuoden kulueassa korkokannalla 14% pa. käyttäen puolivuosiannuiteetteja. Mikä on koron ja lyhennuksen osuus kussakin annuiteetissa? 288 / 117

289 Annuiteettiperiaate Esimerkki 29 Nimellisarvoltaan e laina kuoletetaan 2 vuoden kulueassa korkokannalla 14% pa. käyttäen puolivuosiannuiteetteja. Mikä on koron ja lyhennuksen osuus kussakin annuiteetissa? Nyt i = 7% ps. ja n = 2 2 = 4. Puolivuosittainen kuoletus on 289 / 117

290 Annuiteettiperiaate Esimerkki 29 Nimellisarvoltaan e laina kuoletetaan 2 vuoden kulueassa korkokannalla 14% pa. käyttäen puolivuosiannuiteetteja. Mikä on koron ja lyhennuksen osuus kussakin annuiteetissa? Nyt i = 7% ps. ja n = 2 2 = 4. Puolivuosittainen kuoletus on k = e 0, 07 1, 074 1, = e 290 / 117

291 Annuiteettiperiaate Muodostetaan taulukko, missä näkyvät korko, lyhennys sekä kuoletus: Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus lyhennys Lyh. jälkeen Yht (Huom. pyöristysvirheet) 291 / 117

292 Tasalyhennys Esimerkki 30 Nimellisarvoltaan e laina kuolletetaan 2 vuoden kuluessa korkokannalla 14% pa. käyttäen puolivuosittaisia tasalyhennyksiä. Määrää kuoletuserien suuruudet ja koron sekä lyhennyksen osuus kussakin kuoletuksessa. Muodostetaan taulukko, missä näkyvät korko, lyhennys sekä kuoletus. 292 / 117

293 Tasalyhennys Nyt laina kuoletetaan siis tasalyhennyksin. Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus lyhennys Lyh. jälkeen Yht / 117

294 Lainan kuolettaminen Esimerkki e laina kuoletetaan seuraavasti: vuoden kuluttua lyhennetään e ja kahden vuoden kuluttua e. Määrää kuoletuserien suuruudet kun korkokantana on 14% pa.. Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus lyhennys Lyh. jälkeen / 117

295 Keskimaksuhetki Keskimaksuhetki Keskimaksuhetki on ajanhetki (tai korkoaika), jonka kuluttua voidaan suorittaa osamaksujen (esim. kuukausierien) summan suuruinen maksu ilman, että kummallekaan osapuolelle tulee korkotappioita. Keskimaksuhetki T saadaan yhtälöstä T = n j=1 a jt j n j=1 a, (16) j missä a j on hetkellä t j erääntyvä maksuerä. 295 / 117

296 Keskimaksuhetki Keskimaksuhetki Keskimaksuhetki on ajanhetki (tai korkoaika), jonka kuluttua voidaan suorittaa osamaksujen (esim. kuukausierien) summan suuruinen maksu ilman, että kummallekaan osapuolelle tulee korkotappioita. Keskimaksuhetki T saadaan yhtälöstä T = n j=1 a jt j n j=1 a, (16) j missä a j on hetkellä t j erääntyvä maksuerä. Huom 5 Lainan arvon kannalta on sama maksetaanko laina useissa erissä vai kerralla keskimaksuhetkenä. 296 / 117

297 Keskimaksuhetki 1 Jos maksut ovat yhtäsuuret, niin a 1 = a 2 =... = a n = k. Tällöin n j=1 T = kt j n j=1 k = k n j=1 t n j j=1 = t j. (17) n k n 297 / 117

298 Keskimaksuhetki 1 Jos maksut ovat yhtäsuuret, niin a 1 = a 2 =... = a n = k. Tällöin n j=1 T = kt j n j=1 k = k n j=1 t n j j=1 = t j. (17) n k n 2 Jos maksut ovat yhtäsuuret ja tasaväliset, niin a 1 = a 2 =... = a n = k ja t j = t 1 + (j 1)d. Tällöin 1):n nojalla T = n j=1 t j n = n (t 1+t n) 2 n = t 1 + t n. (18) / 117

299 Todellinen vuosikorko Todellinen vuosikorko Olkoon K luottomäärä (se osa käteishinnasta, jolle luotto saadaan) ja R luoton kustannukset. Todellinen vuosikorko p saadaan keskimaksuhetken T ja maksusysteemin rahallisen arvon K + R avulla. Keskimaksuhetkellä siis pätee yhtäsuuruus K + R = K(1 + pt ), mistä saadaan p = R K T. (19) 299 / 117

300 Todellinen vuosikorko Esimerkki e maksava tuote myydään osamaksuluotolla, jonka nimelliskorko on 12% pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiannuiteetein. Mikä on luoton keskimaksuhetki? Mikä on luoton todellinen vuosikorko? 300 / 117

301 Todellinen vuosikorko Esimerkki e maksava tuote myydään osamaksuluotolla, jonka nimelliskorko on 12% pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiannuiteetein. Mikä on luoton keskimaksuhetki? Mikä on luoton todellinen vuosikorko? Nyt n = 3 12 = 36, i = 1% per kk ja K 0 = e. 301 / 117

302 Todellinen vuosikorko Esimerkki e maksava tuote myydään osamaksuluotolla, jonka nimelliskorko on 12% pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiannuiteetein. Mikä on luoton keskimaksuhetki? Mikä on luoton todellinen vuosikorko? Nyt n = 3 12 = 36, i = 1% per kk ja K 0 = e. Kuukausiannuiteetti on k = e 0, 01 1, , = 1661 e 302 / 117

303 Todellinen vuosikorko Esimerkki e maksava tuote myydään osamaksuluotolla, jonka nimelliskorko on 12% pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiannuiteetein. Mikä on luoton keskimaksuhetki? Mikä on luoton todellinen vuosikorko? Nyt n = 3 12 = 36, i = 1% per kk ja K 0 = e. Kuukausiannuiteetti on k = e 0, 01 1, , = 1661 e Maksut tasavälisiä tasaeriä, joten keskimaksuhetki T = 1kk + 36kk 2 = 18, 5kk = 1, 5417v 303 / 117

304 Todellinen vuosikorko Luottokustannukset R = Luoton hinta Luoton määrä eli R = e e = 9796 e. 304 / 117

305 Todellinen vuosikorko Luottokustannukset R = Luoton hinta Luoton määrä eli R = e e = 9796 e. Luottomäärä on K = 50000, joten p = R KT = 9796 = 0, , 5417 eli todellinen vuosikorko on p = 12, 7% pa. 305 / 117

306 Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko. 306 / 117

307 Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko. Sisäisen/efektiivisen korkokannan menetelmä on tarkempi menetelmä todellisen korkokannan löytämiseksi. 307 / 117

308 Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko. Sisäisen/efektiivisen korkokannan menetelmä on tarkempi menetelmä todellisen korkokannan löytämiseksi. Sisäisen korkokannan menetelmä on melko haastava käyttää eikä ole täysin ongelmaton. 308 / 117

309 Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko. Sisäisen/efektiivisen korkokannan menetelmä on tarkempi menetelmä todellisen korkokannan löytämiseksi. Sisäisen korkokannan menetelmä on melko haastava käyttää eikä ole täysin ongelmaton. Sisäisen korkokannan menetelmä on erittäin yleisesti käytetty menetelmä investointilaskelmissa. 309 / 117

310 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Idea Sijoitetaan lainapääoma L jollakin tuntemattomalla korolla i e 310 / 117

311 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Idea Sijoitetaan lainapääoma L jollakin tuntemattomalla korolla i e Tehdään annetut vähennykset (kuoletukset) M i ajanhetkillä t i 311 / 117

312 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Idea Sijoitetaan lainapääoma L jollakin tuntemattomalla korolla i e Tehdään annetut vähennykset (kuoletukset) M i ajanhetkillä t i Pyritään siihen, että vähennyksistä huolimatta sijoitus ei tuota tappiota. 312 / 117

313 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Idea Sijoitetaan lainapääoma L jollakin tuntemattomalla korolla i e Tehdään annetut vähennykset (kuoletukset) M i ajanhetkillä t i Pyritään siihen, että vähennyksistä huolimatta sijoitus ei tuota tappiota. Etsitään siis korkokanta i e siten, että sijoituksen arvo tehtävät vähennykset huomioonottaen menee nollaan (eli pienempi korko toisi tappiota). 313 / 117

314 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Siis... 1 Diskontataan maksuerät M i alkuhetkeen t = 0 käyttäen koronkorko-korkolaskun mukaisesti tuntemattomalla korkokannannalla i e (=efektiivinen korkokanta valittua korkojaksoa kohti). 314 / 117

315 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Siis... 1 Diskontataan maksuerät M i alkuhetkeen t = 0 käyttäen koronkorko-korkolaskun mukaisesti tuntemattomalla korkokannannalla i e (=efektiivinen korkokanta valittua korkojaksoa kohti). 2 Asetetaan diskontattujen arvojen summa samaksi kuin lainan nimellisarvo L (tai asiakkaan saama summa=nimellisarvo-kulut). 315 / 117

316 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Siis... 1 Diskontataan maksuerät M i alkuhetkeen t = 0 käyttäen koronkorko-korkolaskun mukaisesti tuntemattomalla korkokannannalla i e (=efektiivinen korkokanta valittua korkojaksoa kohti). 2 Asetetaan diskontattujen arvojen summa samaksi kuin lainan nimellisarvo L (tai asiakkaan saama summa=nimellisarvo-kulut). 3 Ratkaistaan yhtälöstä L = i=1 M i (1 + i e ) t i (20) korkokanta i e. (Huom. Tarvittaessa haarukoimalla riittävän tarkasti.) 316 / 117

317 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Esimerkki e laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein 5600 e. Laske efektiivinen korkokanta. 317 / 117

318 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Esimerkki e laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein 5600 e. Laske efektiivinen korkokanta. Nyt K 0 =10000 e ja lyhennetään laina vuosiannuiteetein 5600 e kahdessa vuodessa. 318 / 117

319 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Esimerkki e laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein 5600 e. Laske efektiivinen korkokanta. Nyt K 0 =10000 e ja lyhennetään laina vuosiannuiteetein 5600 e kahdessa vuodessa = i e (1 + i e ) / 117

320 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Esimerkki e laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein 5600 e. Laske efektiivinen korkokanta. Nyt K 0 =10000 e ja lyhennetään laina vuosiannuiteetein 5600 e kahdessa vuodessa = i e (1 + i e ) = x x (missä x = i e ) 320 / 117

321 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Esimerkki e laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein 5600 e. Laske efektiivinen korkokanta. Nyt K 0 =10000 e ja lyhennetään laina vuosiannuiteetein 5600 e kahdessa vuodessa = i e (1 + i e ) = x x (missä x = i e ) Ratkaistaan siis yo. toisen asteen yhtälö, jolloin saamme efektiivisen koron kaavasta 321 / 117

322 Efektiivinen/sisäinen korkokanta Esimerkki e laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein 5600 e. Laske efektiivinen korkokanta. Nyt K 0 =10000 e ja lyhennetään laina vuosiannuiteetein 5600 e kahdessa vuodessa = i e (1 + i e ) = x x (missä x = i e ) Ratkaistaan siis yo. toisen asteen yhtälö, jolloin saamme efektiivisen koron kaavasta i e = 1 x 1 ( x = 0, 9268 i e = 0, 08 = 8% pa. ) 322 / 117

323 Investoinneista Investointeihin liittyviä käsitteitä: M n 1 J =jäännösarvo (aika) M 1 M 2 M 3 M4... k 1 k2 k3 k4... investointiaika M n k n 1 kn (tuotot) (kustannukset) H =investointikustannukset (Yo. kuvassa M i : t ovat investointituottoja (esim. vuosituotto) ja k i : t investoinnin käyttökustannukset (esim. koneen käyttö-ja huoltokustannukset).) 323 / 117

324 Investointilaskelmia Nykyarvomenetelmä (Nykyarvo = alkuhetkeen diskontattu arvo.) Menetelmä: Muutetaan tuotot ja kustannukset nykyarvoiksi TNA ja KNA ja todetaan investointi kannattavaksi jos TNA KNA. 324 / 117

325 Investointilaskelmia Nykyarvomenetelmä (Nykyarvo = alkuhetkeen diskontattu arvo.) Menetelmä: Muutetaan tuotot ja kustannukset nykyarvoiksi TNA ja KNA ja todetaan investointi kannattavaksi jos TNA KNA. Annuiteettimenetelmä Menetelmä: Muutetaan tuotot ja kustannukset vuosiannuiteeteiksi TA ja KA ja todetaan investointi kannattavaksi jos TA KA. 325 / 117

326 Investointilaskelmia Sisäisenkorkokannan menetelmä Menetelmä: Investoinnin sisäinen korkokanta on se laskentakorko, jolla investoinnin nettonykyarvo on nolla. Investointi on kannattava, jos sen sisäinen korkokanta on riittävän suuri. Usein asetetaan kriteeri, jonka mukaan investointiprojekteilta vaaditaan tietyn arvon ylittävä sisäinen korkokanta. 326 / 117

327 Investointilaskelmia Sisäisenkorkokannan menetelmä Menetelmä: Investoinnin sisäinen korkokanta on se laskentakorko, jolla investoinnin nettonykyarvo on nolla. Investointi on kannattava, jos sen sisäinen korkokanta on riittävän suuri. Usein asetetaan kriteeri, jonka mukaan investointiprojekteilta vaaditaan tietyn arvon ylittävä sisäinen korkokanta. Esimerkki 34 Koneen hankintahinta on e ja arvioitu käyttöikä 5 vuotta. Vuosittainen investointituotto on e ja käyttökustannukset e. Jäännösarvo on e ja laskentakorkokanta 15 % pa. Tutki onko investointi kannattava. (Ratkaisu luennolla) 327 / 117

328 Haarukointimenetelmästä Funktion nollakohtien (yhtälön ratkaisu) etsiminen saattaa olla usein hankalaa. Usein kuitenkin riittää löytää riittävän tarkka likimääräisratkaisu nollakohdan määräämiseksi. Tähän helppo menetelmä on ns. haarukointimenetelmä, missä käytetään hyväksu jatkuvien funktioiden ominaisuutta. Idea on seuraava: Haarukointimenetelmä 1 Ratkaistavana yhtälö f (x) = 0 (esim. x 2 1 3x = 0). 2 Etsitään kaksi pistettä x 1 ja x 2, missä funktio f (x) saa erimerkkiset arvot (esim. f (x 1 ) < 0 ja f (x 2 ) > 0). 3 Kun pisteet löydetään, niin tiedetään, että eräs nollakohta löytyy näiden välistä. 4 Pienennetään väliä [x 1, x 2 ] esim. testaamalla minkä arvon f (x) saa kun valitaan piste välin [x 1, x 2 ] puolesta välistä. Palataan kohtaan 2 ja toistetaan välivaiheita 2-4 kunnes ollaan löydetty riittävä tarkkuus nollakohdalle. 328 / 117

329 Haarukointiesimerkki Esimerkki 35 Ratkaise yhtälö ln x + x 2 = 0 kahden desimaalin tarkkuudella. Ratkaisu. Merkitään f (x) = ln x + x 2. Kokeilemalla huomataan, että f (1, 5) < 0 ja f (2) > 0, joten funktion f (x) eräs nollakohta on välillä 1, 5 < x < 2. x f(x) 1,5-0, <0 2,0 0, >0 ( nollakohta välissä 1, 5 < x < 2, 0) 1,6 0, >0 ( nollakohta välissä 1, 5 < x < 1, 6) 1,55-0, <0 ( nollakohta välissä 1, 55 < x < 1, 6) 1,56 0, >0 ( nollakohta välissä 1, 55 < x < 1, 56) 1,555-0, <0 ( nollakohta välissä 1, 555 < x < 1, 56) 1,558 0, >0 ( nollakohta välissä 1, 555 < x < 1, 558) Siis nähdään, että nollakohta kahden desimaalin tarkkuudella on x 1, 56 (f (1, 56) = ln(1, 56) + 1, 56 2 = 0, ). 329 / 117

330 Indeksiteoriaa Indeksin avulla kuvataan jonkin ryhmän yhteisen suureen kehitystä tilanteesta toiseen ilman, että tutkitaan jokaisen ryhmän jäsenen ko. suureen kehittymistä 330 / 117

331 Indeksiteoriaa Indeksin avulla kuvataan jonkin ryhmän yhteisen suureen kehitystä tilanteesta toiseen ilman, että tutkitaan jokaisen ryhmän jäsenen ko. suureen kehittymistä Erilaisia indeksejä: Hintaideksi mittaa hinnan muutoksia Volyymi-indeksi mittaa määrän muutoksia Arvoindeksi mittaa arvonmuutoksia (esim. tuonti ja vienti eri vuosina) 331 / 117

332 Indeksiteoriaa Indeksin avulla kuvataan jonkin ryhmän yhteisen suureen kehitystä tilanteesta toiseen ilman, että tutkitaan jokaisen ryhmän jäsenen ko. suureen kehittymistä Erilaisia indeksejä: Hintaideksi mittaa hinnan muutoksia Volyymi-indeksi mittaa määrän muutoksia Arvoindeksi mittaa arvonmuutoksia (esim. tuonti ja vienti eri vuosina) Indeksi kuvaa aina suhteellista muutosta johonkin peruskohtaan nähden. 332 / 117

333 Indeksiteoriaa Indeksin avulla kuvataan jonkin ryhmän yhteisen suureen kehitystä tilanteesta toiseen ilman, että tutkitaan jokaisen ryhmän jäsenen ko. suureen kehittymistä Erilaisia indeksejä: Hintaideksi mittaa hinnan muutoksia Volyymi-indeksi mittaa määrän muutoksia Arvoindeksi mittaa arvonmuutoksia (esim. tuonti ja vienti eri vuosina) Indeksi kuvaa aina suhteellista muutosta johonkin peruskohtaan nähden. Indeksi on aina prosenttiluku vaikka sitä ei merkitä. 333 / 117

334 Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? 334 / 117

335 Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahintaindeksi (KHI) on sovittu kulutustavaroiden ja palveluiden hintakehityksen mittari. 335 / 117

336 Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahintaindeksi (KHI) on sovittu kulutustavaroiden ja palveluiden hintakehityksen mittari. KHI muodostetaan painotettuna keskiarvona eri pääryhmien indekseistä (Laspeyresin hintaindeksi). 336 / 117

337 Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahintaindeksi (KHI) on sovittu kulutustavaroiden ja palveluiden hintakehityksen mittari. KHI muodostetaan painotettuna keskiarvona eri pääryhmien indekseistä (Laspeyresin hintaindeksi). Inflaatioprosentti Kuluttajahintaindeksin muutosprosentti = inflaatioprosentti 337 / 117

338 Kuluttajahintaindeksi (KHI) Inflaatioprosentti Olkoon t ja t kaksi ajanhetkeä ja P t sekä P t niitä vastaavat KHI:t. Inflaatioprosentti hetkestä t hetkeen t on P t P ( ) t = P t 1 (21) P t P t 338 / 117

339 Kuluttajahintaindeksi (KHI) Inflaatioprosentti Olkoon t ja t kaksi ajanhetkeä ja P t sekä P t niitä vastaavat KHI:t. Inflaatioprosentti hetkestä t hetkeen t on P t P ( ) t = P t 1 (21) P t P t Ostovoima KHI:n käänteisluku 1 P t (tässä P t ei ole prosenttina) on rahan ostovoima hetkellä t verrattuna perusvuoteen. Ostovoiman muutosprosentti aikavälillä t t on 1 P t 1 P t 1 P t = P t P t P t (22) 339 / 117

340 Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten vertailla eri ajanhetkien rahamäärien arvoja ottaen huomioon inflaation? 340 / 117

341 Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten vertailla eri ajanhetkien rahamäärien arvoja ottaen huomioon inflaation? Rahan reaaliarvo Rahamäärän x t reaaliarvo hetkellä t on x t P t. (23) 341 / 117

342 Deflatointi ja inflatointi Deflatointi ja inflatointi Olkoon x t rahamäärä hetkellä t ja x t rahamäärä hetkellä t. Olkoon lisäksi P t ja P t vastaavat kuluttajahintaindeksit. Jos halutaan rahamäärän x t siirtyvän hetkestä t hetkeen t siten, että reaaliarvo säilyy (ts. inflaatio otetaan huomioon), niin asetetaan kyseisten rahamäärien reaaliarvot samoiksi. Siis x t P t = x t P t. Jos esim. x t on tuntematon, se saadaan ratkaistua kaavasta x t = x t P t P t. (24) Jos t < t, niin kyseessä on inflatointi. Jos t < t, niin kyseessä on deflatointi. 342 / 117

343 Keskilukumalli Indeksejä voidaan muodostaa usealla eri tavalla. 343 / 117

344 Keskilukumalli Indeksejä voidaan muodostaa usealla eri tavalla. Kuitenkin esim. määrä- ja hintasuhteet ovat laaduttomia lukuja, joten ne ovat keskenään vertailukelpoisia. 344 / 117

345 Keskilukumalli Indeksejä voidaan muodostaa usealla eri tavalla. Kuitenkin esim. määrä- ja hintasuhteet ovat laaduttomia lukuja, joten ne ovat keskenään vertailukelpoisia. Hinnan vaihtelua kuvaavaksi indeksiluvuksi otetaan usein hintasuhteiden keskiarvo (usein painotettu). 345 / 117

346 Keskilukumalli Indeksejä voidaan muodostaa usealla eri tavalla. Kuitenkin esim. määrä- ja hintasuhteet ovat laaduttomia lukuja, joten ne ovat keskenään vertailukelpoisia. Hinnan vaihtelua kuvaavaksi indeksiluvuksi otetaan usein hintasuhteiden keskiarvo (usein painotettu). Vastaavasti muodostetaan tietenkin myös volyymi-indeksit. 346 / 117

347 Keskilukumalli Indeksejä voidaan muodostaa usealla eri tavalla. Kuitenkin esim. määrä- ja hintasuhteet ovat laaduttomia lukuja, joten ne ovat keskenään vertailukelpoisia. Hinnan vaihtelua kuvaavaksi indeksiluvuksi otetaan usein hintasuhteiden keskiarvo (usein painotettu). Merkintä Vastaavasti muodostetaan tietenkin myös volyymi-indeksit. Tarkastellaan n:n hyödykkeen ryhmää. Merkitään i. (1 i n) hyödykkeen hintoja p it :llä ja määriä q it :llä ajanhetkellä t. 347 / 117

348 Hintaindeksiluvut (aritm. hintaindeksi) P A 0t = 100 n i=1 n p it p i0 (25) Huom (geom. hintaindeksi) P G 0t = 100 (harm. hintaindeksi) P H 0t = 100 ( n i=1 ) 1 n p it p i0 n n i=1 Aritmeettinen hintaindeksi korostaa suuria muutoksia ja harmoninen taas pieniä. Hintaindeksien laskemisessa ei oteta huomioon kulutuksen määriä (ongelma?). (26) p i0 (27) p it 348 / 117

349 Volyymi-indeksiluvut (aritm. volyymi-indeksi) Q A 0t = 100 n i=1 n q it q i0 (28) Huom (geom. volyymi-indeksi) Q G 0t = 100 ( n (harm. volyymi-indeksi) Q H 0t = 100 i=1 ) 1 n q it q i0 n n i=1 (29) q i0 (30) q it Aritmeettinen volyymi-indeksi korostaa suuria muutoksia ja harmoninen taas pieniä. Volyymi-indeksien laskemisessa ei oteta huomioon hintoja (ongelma?). 349 / 117

350 Painotetut indeksiluvut Keskilukumallin painotetu indeksiluvut saadaan laskettua hinta-/määräsuhteiden painotettuina keskiarvoina. 350 / 117

351 Painotetut indeksiluvut Keskilukumallin painotetu indeksiluvut saadaan laskettua hinta-/määräsuhteiden painotettuina keskiarvoina. Painoina voidaan käyttää mm. perusvuoden kulutuksen arvoja p i0 q i0 ; vertailuvuoden kulutuksen arvoja p it q it ; muita kulutuksen arvoja. 351 / 117

352 Kokonaislukumallit Kokonaislukumallit muodostetaan laskemalla hyödykkeiden määriä tai hintoja sopivasti yhteen. 352 / 117

353 Kokonaislukumallit Kokonaislukumallit muodostetaan laskemalla hyödykkeiden määriä tai hintoja sopivasti yhteen. Voidaan esimerkiksi laskea hintojen yksinkertainen kokonaissumma n i=1 P 0t = p it n i=1 p 100. i0 353 / 117

354 Kokonaislukumallit Kokonaislukumallit muodostetaan laskemalla hyödykkeiden määriä tai hintoja sopivasti yhteen. Voidaan esimerkiksi laskea hintojen yksinkertainen kokonaissumma n i=1 P 0t = p it n i=1 p 100. i0 Tällä indeksillä ei ole kuitenkaan käytännön merkitystä sillä se riippuu hinnoitteluyksiköstä. 354 / 117

355 Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä hintaindeksiä saadaan laskettua hintojen painotettuna kokonaisummana n i=1 P 0t = 100 p it α i n i=1 p, (31) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 355 / 117

356 Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä hintaindeksiä saadaan laskettua hintojen painotettuna kokonaisummana n i=1 P 0t = 100 p it α i n i=1 p, (31) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 1 perusvuoden kulutuksen määriä (α i = q i0 ) 356 / 117

357 Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä hintaindeksiä saadaan laskettua hintojen painotettuna kokonaisummana n i=1 P 0t = 100 p it α i n i=1 p, (31) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 1 perusvuoden kulutuksen määriä (α i = q i0 ) 2 vertailuvuoden kulutuksen määriä (α i = q it ) 357 / 117

358 Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä hintaindeksiä saadaan laskettua hintojen painotettuna kokonaisummana n i=1 P 0t = 100 p it α i n i=1 p, (31) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 1 perusvuoden kulutuksen määriä (α i = q i0 ) 2 vertailuvuoden kulutuksen määriä (α i = q it ) 3 jonkin muun, yhden tai useamman vuoden kulutuksen määriä (esim. α i = (q i0 + q it )/2) 358 / 117

359 Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä volyymi-indeksiä saadaan laskettua määrien painotettuna kokonaisummana n i=1 Q 0t = 100 q it α i n i=1 q, (32) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 359 / 117

360 Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä volyymi-indeksiä saadaan laskettua määrien painotettuna kokonaisummana n i=1 Q 0t = 100 q it α i n i=1 q, (32) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 1 perusvuoden hintoja (α i = p i0 ) 360 / 117

361 Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä volyymi-indeksiä saadaan laskettua määrien painotettuna kokonaisummana n i=1 Q 0t = 100 q it α i n i=1 q, (32) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 1 perusvuoden hintoja (α i = p i0 ) 2 vertailuvuoden hintoja (α i = p it ) 361 / 117

362 Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä volyymi-indeksiä saadaan laskettua määrien painotettuna kokonaisummana n i=1 Q 0t = 100 q it α i n i=1 q, (32) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 1 perusvuoden hintoja (α i = p i0 ) 2 vertailuvuoden hintoja (α i = p it ) 3 jonkin muun, yhden tai useamman vuoden hintoja (esim. α i = (p i0 + p it )/2) 362 / 117

363 Laspeyresin indeksit Valitaan painoksi α i perusvuoden kulutuksen määrät, jolloin saadaan Laspeyresin hintaindeksi: n P0t L i=1 = 100 p itq i0 n i=1 p. (33) i0q i0 363 / 117

364 Laspeyresin indeksit Valitaan painoksi α i perusvuoden kulutuksen määrät, jolloin saadaan Laspeyresin hintaindeksi: n P0t L i=1 = 100 p itq i0 n i=1 p. (33) i0q i0 Valitaan painoksi α i perusvuoden hinnat, jolloin saadaan Laspeyresin volyymi-indeksi: n Q0t L i=1 = 100 q itp i0 n i=1 q. (34) i0p i0 364 / 117

365 Paaschen indeksit Valitaan painoksi α i vertailuvuoden kulutuksen määrät, jolloin saadaan Paaschen hintaindeksi: n P0t P i=1 = 100 p itq it n i=1 p. (35) i0q it 365 / 117

366 Paaschen indeksit Valitaan painoksi α i vertailuvuoden kulutuksen määrät, jolloin saadaan Paaschen hintaindeksi: n P0t P i=1 = 100 p itq it n i=1 p. (35) i0q it Valitaan painoksi α i vertailuvuoden hinnat, jolloin saadaan Paaschen volyymi-indeksi: n Q0t L i=1 = 100 q itp it n i=1 q. (36) i0p it 366 / 117

367 Marshal Edgeworthin indeksit Valitaan painoksi α i perus- ja vertailuvuoden kulutuksen määrien keskiarvo, jolloin saadaan Marshal Edgeworthin hintaindeksi: n P0t P i=1 = 100 p it(q i0 + q it ) n i=1 p i0(q i0 + q it ). (37) 367 / 117

368 Marshal Edgeworthin indeksit Valitaan painoksi α i perus- ja vertailuvuoden kulutuksen määrien keskiarvo, jolloin saadaan Marshal Edgeworthin hintaindeksi: n P0t P i=1 = 100 p it(q i0 + q it ) n i=1 p i0(q i0 + q it ). (37) Valitaan painoksi α i perus- ja vertailuvuoden hintojen keskiarvo, jolloin saadaan Marshal Edgeworthin volyymi-indeksi: n Q0t P i=1 = 100 q it(p i0 + p it ) n i=1 q i0(p i0 + p it ). (38) 368 / 117

369 Keski- ja kokonaislukumallien yhteys Laspeyresin hintaindeksi on Aritmeettinen hintaindeksi, jonka painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot (hintojen ja määrien tulot p i0 q i0 ). 369 / 117

370 Keski- ja kokonaislukumallien yhteys Laspeyresin hintaindeksi on Aritmeettinen hintaindeksi, jonka painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot (hintojen ja määrien tulot p i0 q i0 ). Paaschen hintaindeksi on Harmoninen hintaindeksi, jonka painoina ovat vertailuvuoden kulutuksen arvot (hintojen ja määrien tulot p it q it ). 370 / 117

371 Keski- ja kokonaislukumallien yhteys Laspeyresin hintaindeksi on Aritmeettinen hintaindeksi, jonka painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot (hintojen ja määrien tulot p i0 q i0 ). Paaschen hintaindeksi on Harmoninen hintaindeksi, jonka painoina ovat vertailuvuoden kulutuksen arvot (hintojen ja määrien tulot p it q it ). Vastaavasti myös volyymi-indekseille. 371 / 117

372 Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 372 / 117

373 Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 1 Identiteettikriteeri: P tt = / 117

374 Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 1 Identiteettikriteeri: P tt = 1 2 Suhdekriteeri: jos p it = λ p i0 kaikille hyödykkeille i, niin P 0t = λ. 374 / 117

375 Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 1 Identiteettikriteeri: P tt = 1 2 Suhdekriteeri: jos p it = λ p i0 kaikille hyödykkeille i, niin P 0t = λ. 3 Yksinkönvaihtokriteeri: P 0t on riippumaton raha- ja määräyksiköistä. 375 / 117

376 Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 1 Identiteettikriteeri: P tt = 1 2 Suhdekriteeri: jos p it = λ p i0 kaikille hyödykkeille i, niin P 0t = λ. 3 Yksinkönvaihtokriteeri: P 0t on riippumaton raha- ja määräyksiköistä. Transitiivisuuskriteerit: 376 / 117

377 Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 1 Identiteettikriteeri: P tt = 1 2 Suhdekriteeri: jos p it = λ p i0 kaikille hyödykkeille i, niin P 0t = λ. 3 Yksinkönvaihtokriteeri: P 0t on riippumaton raha- ja määräyksiköistä. Transitiivisuuskriteerit: 1 Ajankääntökriteeri: P 0t P t0 = / 117

378 Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 1 Identiteettikriteeri: P tt = 1 2 Suhdekriteeri: jos p it = λ p i0 kaikille hyödykkeille i, niin P 0t = λ. 3 Yksinkönvaihtokriteeri: P 0t on riippumaton raha- ja määräyksiköistä. Transitiivisuuskriteerit: 1 Ajankääntökriteeri: P 0t P t0 = 1 2 Ketjutuskriteeri: P 0s P st = P 0t kun s t 378 / 117

379 Fisherin indeksikriteerit Kertomakriteeri: missä P 0t Q 0t = V 0t, (39) V 0t = n i=1 p itq it n i=1 p i0q i0 (40) on ns. arvoindeksi, joka ilmoittaa perus- ja vertailuvuoden kulutuksen arvojen suhteen. 379 / 117

380 Fisherin indeksikriteerit Kertomakriteeri: missä P 0t Q 0t = V 0t, (39) V 0t = n i=1 p itq it n i=1 p i0q i0 (40) on ns. arvoindeksi, joka ilmoittaa perus- ja vertailuvuoden kulutuksen arvojen suhteen. Huom. Edellisistä indeksiluvuista kaikki toteuttavat peruskriteerit. Transitiivisuuskriteerin toteuttaa vain painottamaton geometrinen hintaindeksi. Kertomakriteeriä ei toteuta mikään aikaisemmista. 380 / 117

381 Fisherin indeksikriteerit Vaikka kertomakriteeriä ei aikaisemmista indekseistä toteuta mikään, sen avulla voidaan tutkia eri indeksien luotettavuutta laskemalla tulo P 0t Q 0t ja vertaamalla sitä ihannearvoon n i=1 V 0t = p itq it n i=1 p. i0q i0 381 / 117

382 Fisherin indeksikriteerit Vaikka kertomakriteeriä ei aikaisemmista indekseistä toteuta mikään, sen avulla voidaan tutkia eri indeksien luotettavuutta laskemalla tulo P 0t Q 0t ja vertaamalla sitä ihannearvoon n i=1 V 0t = p itq it n i=1 p. i0q i0 Mitä lähempänä tulo P 0t Q 0t on arvoa V 0t, sitä luotettavampana indeksiä pidetään. 382 / 117

383 Fisherin ihanneindeksi Ottamalla Laspeyresin ja Paaschen indeksien geometrinen keskiarvo, saadaan Fisherin ihanneindeksit P0t F = P0t L PP 0t (41) Q0t F = Q0t L QP 0t (42) 383 / 117

384 Fisherin ihanneindeksi Ottamalla Laspeyresin ja Paaschen indeksien geometrinen keskiarvo, saadaan Fisherin ihanneindeksit P0t F = P0t L PP 0t (41) Q0t F = Q0t L QP 0t (42) Nämä indeksit toteuttavat kertomakriteerin sekä ajankääntökriteerin mutta eivät ketjutuskriteeriä. 384 / 117