1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "1 Aritmeettiset ja geometriset jonot"

Antti Koskinen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään vuoden lopussa laskutavalla 30/360. Paljonko tilillä on rahaa vuoden päästä? Pohdinta: Ensimmäinen sadan euron talletus, joka tehdään tammikuun alussa, kasvattaa korkoa koko vuoden verran joten sen arvo vuoden lopussa on 100 (1 + 0, 06) = 100 1, 06 = 106. Seuraava, helmikuun talletus kasvattaa korkoa vain 11 kuukauden verran joten sen arvo vuoden lopussa on 100 (1 + 0, ) 101, Kolmas talletus kasvattaa korkoa 10 kuukauden verran, neljäs - 9 kuukauden verran jne. Viimeinen, kahdestoista talletus ehtii kasvattaa korkoa vain yhden kuukauden edestä, joten sen arvo vuoden lopussa on 100 (1 + 0, ). Koko saldo vuoden lopussa saadaan kun kaikki nämä 1 talletusta korkoineen lasketaan yhteen. On selvää, että suora yhteenlasku on turhan työläs - täytyy laskea käsin 1 lukua yhteen. Se on vielä ihan mahdollista käytännössä, mutta jos talletuksia tehtäisiin esim. viikoittain, niitä olisi 5 ja summassa olisi 5 yhteenlaskettavaa. Tällaisen summan laskeminen käsin on aivan kohtuutonta. Tosin tietokoneet siihen nykyään pystyisi, mutta niilläkin laskuaika pienenee huomattavasti, jos keksitään joku fiksumpi tapa laskea tällaisia summia. Kirjoitetaan summan termejä käänteisessä järjestyksessä, alkaen viimeisestä, joulukuun tallennuksesta. 1

Pohdinta: Ensimmäinen sadan euron talletus, joka tehdään tammikuun alussa, kasvattaa korkoa koko vuoden verran joten sen arvo vuoden lopussa on 100 (1 + 0, 06) = 100 1, 06 = 106.

2 Joulukuun talletus vuoden lopussa = 100 (1 + 0, 06 1 ) = a 1 1 = 100, 5, Marraskuun talletus vuoden lopussa = 100 (1 + 0, 06 ) = a 1 = a , 06 1, 1 Lokakuun talletus vuoden lopussa = 100 (1+0, 06 3 ) = a 1 3 = a , 06 1, 1 Syyskuun talletus vuoden lopussa = 100 (1+0, 06 4 ) = a 1 4 = a , 06 1, 1. Helmikuun talletus vuoden lopussa = 100 (1 + 0, 06 11) = a 1 11 = a , 06 1, 1 Tammikuun talletus vuoden lopussa = 100 (1 + 0, 06 1) = a 1 1 = a , Huomataan, että saadaan lukujono a 1, a,..., a 11, a 1, jossa seuraava luku saadaan edellisestä aina lisäämällä sama vakio 100 0, , joka on tässä tapauksessa korko yhdestä kuukaudesta. Tällaisia jonoja sanotaan aritmeettisiksi. Aritmeettisen jono summalle löytyy yksinkertainen kaava, josta puhutaan myöhemmin. Sitten, kun tämä kaava on hallussa, voidaan helposti laskea tilin saldo vuoden lopussa. Johdatteleva esimerkki Edellisessä esimerkissä tarkasteltiin jaksollisia suorituksia yhden korkojakson sisällä, eli kyseessä oli yksinkertainen korko. Seuraavaksi tarkastellaan samantyyppinen ongelma, jossa kyseessä on koronkorko. Tilille talletetaan euroa 10 vuoden aikana aina jokaisen vuoden alussa. Tilin nettokorkokanta on %. Korko lisätään vuoden lopussa. Paljonko tilillä on rahaa 10 kokonaisen vuoden päästä (eli 10. vuoden lopussa)? Tarkastellaan talletuksia taas käänteisessä järjestyksessä, alkaen viimeisestä. Viimeisen talletuksen arvo lopussa on , 0 = b 1. Toiseksi viimeisen arvo lopussa on , 0 = b = b 1 1, 0. Vuoden 8 alussa tehdyn talletuksen arvo lopussa on , 0 3 = b 3 =

Helmikuun talletus vuoden lopussa = 100 (1 + 0, 06 11) = a 1 11 = a 10 + 100 0, 06 1, 1 Tammikuun talletus vuoden lopussa = 100 (1 + 0, 06 1) = a 1 1 = a 11 + 100 0, 06 1.

3 b 1, 0 ja niin edelleen. Ensimmäinen talletus korkoineen on b 10 = , Talletukset korkoineen (otettuna käänteisjärjestyksessä ) muodostavat siis taas lukujonon b 1, b,..., b 10, jossa seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla se samalla vakiolla 1, 0. Tällaisia jonoja sanotaan geometrisiksi. Geometrisen jonon summalle on myös olemassa yksinkertainen kaava, jonka avulla voidaan helposti laskea kuinka paljon tilillä on rahaa kaiken kaikkiaan 10 vuoden päästä. Lukujonot Lukujono on mikä tahansa luvuista koostuva jono a 1, a,..., a n, joka on indeksoitu luonnollisilla luvuilla alkaen luvusta 1. Jonon pituus n voi olla mielivaltainen. Jono a 1, a,..., a n sanotaan aritmeettiseksi jos sen peräkkäisten jäsenten erotus pysyy vakiona. Esimerkiksi jono 1, 3, 5, 7 on aritmeettinen, koska 3 1 = 5 3 = 7 5 =. Jono 1, 3, 5, 8 ei ole aritmeettinen, koska 3 1 = mutta 8 5 = 3. Kun jono on aritmeettinen, sen peräkkäisten jäsenten erotusta kutsumme jonon erotusvakioksi ja merkitään d:llä. Aritmeettisesta jonosta riittää tietää sen ensimmäinen jäsen a 1 ja erotusvakio d. Tällöin a = a 1 + d, a 3 = a + d = a 1 + d,... a k = a 1 + (k 1)d, a n = a 1 + (n 1)d. 3

Geometrisen jonon summalle on myös olemassa yksinkertainen kaava, jonka avulla voidaan helposti laskea kuinka paljon tilillä on rahaa kaiken kaikkiaan 10 vuoden päästä.

4 Tästä nähdään, että toinen tapa karakterisoida aritmeettisia jonoja, on sanoa, että niissä seuraava jäsen saadaan edellisestä lisäämällä sama vakio. Edellisestä myös seuraa, että aritmeettisen jonon, jonka ensim. jäsen on a 1 ja erotusvakio on d, mielivaltainen jäsen a k saadaan kaavalla Esimerkki: Jono a 1,..., a 7 on aritmeettinen ja a) a 1 = 1, d = 5, b) a 1 = 3, d =. Laske viimeinen jäsen a 7 ja jäsen a 4. a k = a 1 + (k 1)d. Ratkaisu: a) a 4 = a 1 + (4 1)d = = 16, a 7 = = 31, b) a 4 = a 1 + (4 1)d = ( ) = 3, a 7 = ( ) = 9. Esimerkki: Tiedetään, että jono a 1,..., a 10 on aritmeettinen, siinä on 10 jäsentä, a 1 = 1 ja a 10 = 17 (eli tunnetaan sen ensimmäinen ja sen viimeinen jäsen). Mikä on jäsen a 5? Ratkaisu: Erotusvakio d ei ole annettu, mutta se voidaan helposti laskea. Nimittäin yhtälöstä a 10 = a 1 + (10 1)d saadaan ehto 17 = 1 + 9d, mistä 9d = 18 eli d =. Nyt voidaan laskea Aritmeettisen jono summa a 5 = a 1 + 4d = = 7.. Olkoon a 1,..., a n aritmeettinen jono. Sen jäsenten summa S n a 1 + a a n 4

.., a 7 on aritmeettinen ja a) a 1 = 1, d = 5, b) a 1 = 3, d =. Laske viimeinen jäsen a 7 ja jäsen a 4. a k = a 1 + (k 1)d.

5 merkitään jatkossa myös käyttämällä sigma-notaatiota n a i = a 1 + a a n. i=1 Tällaisessa merkintätavassa kerrotaan mitä indeksin arvoja indeksi i käy läpi, symbolin alapuolelle merkitään ensimmäinen indeksi (i = 1) ja yläpuolelle - viimeinen indeksi (n). Esimerkki: Tarkastellaan aritmeettista jonoa 1,, 3,..., 50, jossa a 1 d = 1 ja jäseniä on 50 kappaletta. Summan = 1, erotusvakio S 50 = 50 i=0 a i = , jossa on 50 yhteenlaskettavaa, laskeminen käsin suoraan olisi tuskalista. Jaetaan jonon jäsenet pareihin - 1 ja 50, ja 49, 3 ja 48 ja niin edelleen. Jokaisessa parissa lukujen summa pysyy vakiona - se on 51. Viimeinen pari on pari (5, 6), joten pareja on 5 = 50/ kappaletta. Tästä saadaan suoraan = 5 51 = 50 (1 + 50) = n (a 1 + a n ). Samalla periaatteella voidaan johtaa yleinen kaava minkä tahansa aritmeettisen jonon summalle - S n = n (a 1 + a n ), missä n on jonon jäsenten lukumäärä, a 1 on ensimmäinen termi ja a n on viimeinen. Kun nämä kolme ovat tiedossa, minkä tahansa aritmeettisen jonon summa voidaan laskea tällä kaavalla, vaikka siinä olisi vaikka kuinka paljon jäseniä. Yllä mainitun kaavan käyttä edellyttää, että viimeinen jäsen a n on tiedossa. Koska a n = a 1 + (n 1)d, kaava voidaan myös kirjoittaa muotoon S n = n (a 1 + a 1 + (n 1)d) = na n(n 1) d.

Esimerkki: Tarkastellaan aritmeettista jonoa 1,, 3,..., 50, jossa a 1 d = 1 ja jäseniä on 50 kappaletta. Summan = 1, erotusvakio S 50 = 50 i=0 a i = 1 + +.

6 Tällainen muoto on kätevä kun tiedossa ovat a 1, d ja n. Esimerkki: a) Laske aritmeettisen jonon a 1,..., a 10 summa, jos a 1 = 1 ja a 10 = 17. b) Laske kahdenkymmenen ensimmäisen parittoman luonnollisen luvun summa. Ratkaisu: a) Tässä tunnetaan ensimmäinen jäsen a 1 = 1, viimeinen jäsen a n = 17 ja jäsenten lukumäärä n = 10. Yleinen kaava antaa tälle summalle suoraan arvoksi n = n (a 1 + a n ) 10 ( ) = b) Kyseessä on jono joka alkaa 1, 3, 5,..., ja jossa on 0 jäsentä. Kahden peräkkäisen parittoman luvun erotus on vakio, se on. Jono on siis aritmeettinen ja siitä tiedetään a 1 = 1, d = ja n = 0. Summan kaavan muoto S n = na 1 + n(n 1) d. on kätevä tässä yhteydessä, siitä saadaan suoraan (laskematta a 0 ), että Geometrinen jono 0 i=1 a i = = 400. Lukujono b 1,..., b n on geometrinen jos sen peräkkäisten jäsenten osamäärä pysyy vakiona, eli jos on olemassa luku q (jonon suhdeluku) siten, että b b 1 = b 3 b =... = b n b n 1 = q. Jotta jakaminen aina onnistuisi, sovitaan tässä yhteydessä, että tarkasteltavassa jonossa b 1,..., b n ei esiinny nollia. 6

Yleinen kaava antaa tälle summalle suoraan arvoksi n = n (a 1 + a n ) 10 ( 1 + 17) = 5 80. b) Kyseessä on jono joka alkaa 1, 3, 5,..., ja jossa on 0 jäsentä.

7 Osamäärä-ehto voidaan kirjoittaa uudestaan muotoon b = b 1 q, b 3 = b q = b 1 r,. b k = b 1 q k 1, b n = b 1 q k 1. Geometrisessä jonossa siis seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla se samalla vakiolla r. Jonon yleiselle termille b k saadaan kaava b k = b 1 q k 1. Esimerkki a) Jono 1,, 4, 8, 16, 3, 64, 18 on geometrinen - seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla luvulla joka on tämän jonon suhdeluku. b) Jono 3, 9, 7, 81 on geometrinen, sen suhdeluku on 1 3. c) Vakiojono,,,,, on geometrinen - suhdeluku 1. Myös jono 1, 1, 1, 1, 1 on geometrinen - sen suhdeluku on ( 1). Geometrisen jonon summa Myös geometrisen jonon summalle on johdettu kaava. Se on S n = q n 1 a i = a 1 i=1 q 1, missä a 1 on ensimmäinen termi, n termien lukumäärä ja q jonon suhdevakio. Kun q = 1 kaava ei toimi (jaetaan nollalla). Tällöin jono on vakio jono a 1, a 1,..., a 1, joten tässä erikoistapauksessa S n = i=1 a i = na 1. 7

Esimerkki a) Jono 1,, 4, 8, 16, 3, 64, 18 on geometrinen - seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla luvulla joka on tämän jonon suhdeluku.

8 Esimerkki Jonon 1,, 4, 8, 16, 3, 64, 18 summa on Jonon 3, 9, 7, 81 S 8 = = 8 1 = 55. summa on S 4 = 3 ( 1/3)4 1 1/3 1 = 3 1/81 1 1/3 1 = Vakiojonon,,, summa on = S 4 = 4 = 8. Jonon 1, 1, 1, 1 summa on kaavan mukaan mikä nähdään suoraankin, S 4 = 1 ( 1) = 0, = 0. 8

Samankaltaiset tiedostot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku