Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan

Transkriptio

1 Talousmatematiikan perusteet: Luento 2 Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan

2 Viime luennolla Lukujono on päättyvä tai päättymätön jono reaalilukuja a 1, a 2,, a n, joita sanotaan jonon termeiksi. Erikoistapauksia Aritmeettisen jonon peräkkäisten termien erotus on vakio: a n+1 a n = d Geometrisen jonon peräkkäisten termien suhde on vakio: a n+1 a n = q Joissakin erikoistapauksissa jonon kaikki termit voidaan esittää kompaktissa muodossa Aritmeettinen jono: (a n ) = a 1 + (n 1)d Geometrinen jono: (a n ) = a 1 q n1 Lukujono suppenee, jos sen termit lähestyvät jotakin äärellistä raja-arvoa Eeva Vilkkumaa 2

3 Tällä luennolla Lukujonon termien osasummista s n = a 1 + a a n koostuvaa lukujonoa s 1, s 2 kutsutaan sarjaksi Sarjoille on olemassa monia käteviä laskusääntöjä, joita voidaan soveltaa mm. korkojen laskemiseen Luennon agenda Sarjat: aritmeettinen ja geometrinen Suppeneminen ja sarjan summa Sovelluksia: korkojen laskeminen, annuiteettimenetelmä Eeva Vilkkumaa 3

4 Sarjat Esim. Opiskelija X ottaa pankista puolivuosittain lainaksi 3000 vuosikorolla 4%. Lainaa ei lyhennetä opiskeluaikana, mutta kertyneen lainapääoman korko maksetaan puolivuosittain. Maksettavat korot muodostavat aritmeettisen jonon: , , , = 60,120,180, eli jonon a n = 60n (= (n 1)) Korkojen kokonaismäärä vuosipuoliskoon n mennessä: n n s n = a a n = a i = 60i i=1 i=1 Termit s 1 = 60, s 2 = ,, s n = n 60 muodostavat uuden lukujonon s n = n i=1 60i Eeva Vilkkumaa 4

5 Sarjat Uutta jonoa s n sarjaksi = n i=1 a i sanotaan lukujonosta a n muodostetuksi Lauseketta a 1 + a 2 + = i=1 a i sanotaan sarjan summaksi Jonon s n termi s n = n i=1 a i on sarjan n. osasumma Aritmeettisesta jonosta muodostettua sarjaa sanotaan aritmeettiseksi sarjaksi Geometrisesta jonosta muodostettua sarjaa sanotaan geometriseksi sarjaksi Eeva Vilkkumaa 5

6 Aritmeettinen sarja Esim. Opiskelija lainaa puolivuosittain % vuosikorolla ja maksaa aina samalla kertyneen lainan koron. Korot muodostavat aritmeettisen jonon (a n ) = 60n. Erä (n) Korko (60n) Erä (15-n) Korko (60(15-n)) Summa Korkoja maksetaan yhteensä: s 14 = Osasumma s 14 voidaan laskea helposti: Listataan korot uudelleen käänteisessä järjestyksessä Summataan saman rivin korot keskenään: 60n n = = n Lasketaan osasumma kaavalla s 14 = s 14 = 14 2 = Summa s Summa s 14 2 s 14 Eeva Vilkkumaa 6

7 Aritmeettinen sarja Yleisesti aritmeettisen sarjan n. osasumma saadaan kaavalla Perustelu: s n = n(a 1 + a n ) 2 = na 1 + n n 1 d 2 + s n = a 1 + a a n1 + a n s n = a n + a n1 + + a 2 + a 1 2s n = a 1 + a n + a 2 + a n1 + + a n1 + a 2 + (a n + a 1 ) 2s n = a 1 + a n + a 1 + d + a n d + + (a n d + a 1 + d) + (a n + a 1 ) 2s n = n a 1 + a n = n a 1 + a 1 + n 1 d = 2na 1 + n n 1 d 7

8 Artimeettinen sarja Esim. Ekonomisti E alkaa kuntoilla vuoden alussa. 1. viikolla hän harjoittelee 120 min ja lisää aikaa joka viikko 5 min. Paljonko E harjoittelee koko vuoden (52 viikkoa) aikana? s n = na 1 + n n 1 d min s 52 = min + 2 = min = h Harjoitusaika viikoittain Kumulatiivinen harjoitusaika viikoittain

9 Geometrinen sarja Esim. Yritys sitoutuu maksamaan aiheuttamastaan haitasta vuosittain korvauksen, joka on 1. vuonna 5000 ja sitä seuraavina vuosina % vuosittaisella inflaatiokorjauksella. 1. Kuinka suuri tulee olemaan korvauksen vuosittainen (nimellis-)arvo 1., 2., 3., ja n. vuonna? 2. Entä maksettujen korvausten yhteenlaskettu määrä? Korvauksen arvo vuosittain Vuosittaiset korvaukset muodostavat geometrisen jonon: 5000, , ,, n1 Kumulatiiviset korvausmäärät muodostavat geometrisen sarjan: s 1 = 5000 s 2 = s 3 = s n = n Kumulatiivinen korvausmäärä vuosittain

10 Geometrinen sarja Osasummien laskemiseksi voidaan johtaa kätevä kaava: s n = n1 = ( n2 ) = s n1 s n = s n1 = (s n n1 ) (Koska s n = s n1 + a n = s n n1 ) (1.04 1)s n = (1.04 n 1)5000 s n = (1.04n 1)5000 (1.04 1) Esim. 15 vuodessa yritys maksaa yhteensä ( )5000 (1.041) = korvauksia. Eeva Vilkkumaa 10

11 Geometrinen sarja Yleisesti geometrisen sarjan n. osasumma saadaan kaavalla Perustelu kuten edellä: s n = a 1 + a 1 q + a 1 q a 1 q n1 = a 1 + q(a 1 + a 1 q + + a 1 q n2 ) = s n1 s n = (qn 1)a 1 (q 1) = (1 qn )a 1 (1 q) s n = a 1 + qs n1 = a 1 + q(s n a 1 q n1 ) (Koska s n = s n1 + a n = s n1 + a 1 q n1 ) (q 1)s n = (q n 1)a 1 s n = (qn 1)a 1 (q 1) Eeva Vilkkumaa 11

12 Sarjan suppeneminen Sarja suppenee, jos sen osasummien jono (s n ) lähestyy jotain äärellistä rajaarvoa s: lim s n = s. n Raja-arvoa s kutsutaan sarjan summaksi. Esim. Henkilö vuokraa tontin. Vuorkasopimus on ikuinen ja vuokrasta sovitaan, että se on 1. vuonna 2000 ja pienenee sen jälkeen vuosittain 10%. Kuinka suuri on maksettavien vuokrien kokonaismäärä 5, 10, 50, 100, 200 vuoden kuluttua? Ratkaisu: Vuosivuokrat muodostavat geometrisen jonon a n = n1. Vuokrakertymä vuonna n: s n = (1qn )a 1 (1q) = (10.9n ) Osasummien jono lähestyy euroa sarja suppenee ja sen summa on Vuosi Vuokra Kertymä E Eeva Vilkkumaa 12

13 Sarjan suppeneminen a n = 1 n Jos sarja ei suppene, se hajaantuu. Jotta sarja a 1 + a 2 + suppenisi, on termeistä a n tultava merkityksettömän pieniä, kun n kasvaa. Välttämätön ehto suppenemiselle onkin lim a n = 0. n Esim. Edellä lim n1 = 0. n Tämä ehto ei kuitenkaan ole riittävä! Esim. Lukujonosta a n = 1 n muodostettu 1 harmoninen sarja hajaantuu, vaikka lim = 0. n n Syy: termit a n eivät mene nollaan tarpeeksi nopeasti s n = n 1 i= i 13

14 Geometrisen sarjan suppeneminen Voidaan osoittaa, että geometrinen sarja suppenee täsmälleen silloin, kun q < 1. Tällöin sarjan summa s = lim s n = lim (1qn )a 1 n n (1q) = a 1 (1q) Vuokra vuosittain (Jatkoa ikuisen vuokrasopimuksen esimerkkiin.) Vuosivuokrat muodostavat geometrisen jonon a n = n1. Koska 0.9 < 1, vuokrakertymää kuvaava sarja suppenee. Ikuisen vuokrasopimuksen aikana vuokrakertymä on 2000 = (10.9) Vuokrakertymä vuosittain

15 Yhteenveto sarjoista Lukujonosta a n muodostettujen osasummien s n = n i=1 a i jonoa s n sanotaan sarjaksi. Aritmeettinen sarja: s n = n(a 1+a n ) 2 Geometrinen sarja: s n = (qn 1)a 1 (q1) = na 1 + = (1qn )a 1. (1q) n n1 d 2, Sarja suppenee, jos sen termit lähestyvät jotain äärellistä raja-arvoa s: lim s n = s. n Raja-arvoa s sanotaan sarjan summaksi. Geometrinen sarja suppenee jos ja vain jos q < 1, jolloin sarjan summa s = a 1 (1q). 15

16 Presemo-kysymys Pirjo ja Pena osallistuvat tammikuun vegaanihaasteeseen. Lisämotivaation aikaansaamiseksi he sopivat, että ensin eläinkunnan tuotteisiin sortunut joutuu maksamaan toiselle 100 ja seuraavina vuosina aina 80% edellisvuoden summasta jatkuen ikuisesti. Kuinka paljon maksettavaa kertyisi yhteensä? , , 3. Äärettömästi. 16

17 Sovelluksia korkolaskentaan Esimerkki 1: Opiskelija lainaa puolivuosittain % vuosikorolla ja maksaa aina samalla kertyneen lainan koron. Lainatun pääoman hän maksaa takaisin seitsemän vuoden opintojen päätyttyä. Kuinka paljon maksettavaa kertyy kaikkiaan? Maksettava lainapääoma: = Korot muodostavat aritmeettisen jonon a n = n 1 s 14 = Maksettavaa yhteensä: = = Vuosipuolikas Laina Korot = = = = 840 Summa = Eeva Vilkkumaa 17

18 Sovelluksia korkolaskentaan Esimerkki 2: Entä jos opiskelija maksaa koko summan (lainan ja korot) vasta opintojen päätyttyä? n. vuosipuolikasta ennen opintojen päättymistä otetun lainan arvo opintojen päättymishetkellä: n Maksettava summa on tällöin geometrisen sarjan osasumma s 14 = 14 i= i = i= i1 = ( ) = Korkojen osuus: = Vuosipuolikas Laina + korkokertymä Summa

19 Annuiteettimenetelmä Joissakin tapauksissa lainan hoitomaksu (sisältäen lyhennyksen ja korot) suoritetaan tasaerinä Tätä tasaerää kutsutaan annuiteetiksi Esim. Opiskelija X:llä on velkaa (=K). Pankin kanssa sovitaan, että Laina maksetaan takaisin kuukausittain 20 vuodessa, Vuosikorko on 3.6% ja Joka kuukausi pankille maksetaan saman suuruinen erä b. Kuinka suuri on erä b (=annuiteetti)? Eeva Vilkkumaa 19

20 Annuiteettimenetelmä Eriä on = 240 kpl (=n) Korkotekijä kuukautta kohden on r = / = Kk Jäljellä oleva velka b b b = b( ) b b b = b( ) n n b(1.003 n n ) Geometrisen sarjan osasumma s n : a 1 = 1, q = r =

21 Annuiteettimenetelmä 20 vuoden kuluttua maksetaan viimeinen erä, jolloin jäljellä oleva velka: b = b ( ) = 0 b = (1.0031) ( ) /kk Korkokustannukset ovat =

22 Annuiteettimenetelmä Yleisesti: b = rn K(r1) (r n 1), missä K = lainasumma, r = korkotekijä, n = maksuerien määrä. Esim. Kuinka suuri on maksuerän suuruus, kun laina (K = ) maksetaan puolivuosittain annuiteettiperiaatteella 20 vuodessa (n = 40) ja vuosikorko on 3.6% (r = 1.018)? b = ( ) ( ) = Korkokulut ova tällöin =

23 Annuiteettimenetelmä Esim. Kuinka suuret ovat korkokulut, jos pääoman lyhennykset ovat yhtä suuria? Lainaa lyhennetään = 1500 puolivuosittain Kk Maksettavat korot = = = = = = Aritmeettisen sarjan osasumma s n : a 1 = 27, d = = 1 27 s 40 = 40( ) 2 = =

24 Yhteenveto sovelluksista Sarjoilla on monenlaisia taloudellisia sovelluksia Kassavirta-analyysi Sijoitusten/lainojen nykyarvojen laskeminen Esim. Annuiteettiperiaatteella myönneyt lainan maksuerän b laskemisessa voidaan hyödyntää geometrisen sarjan ominaisuuksia: b = rn K(r 1) (r n 1) Sarjoja käytetään myös monimutkaisten funktioiden approksimoinnissa (ei käsitellä tällä kurssilla): e x = 1 + x + x2 + x3 + x4 + = n=0 sin x = x x3 + x5 + = n=0 xn, kun x 0 n! (1)n x 2n+1, kun x 0 (2n+1)! 24

25 Presemo-kysymys Meiju lainaa pankista , jonka hän sopii maksavansa takaisin vuosittaisina tasaerinä 10 vuodessa. Mikä on vuosittaisen tasaerän suuruus, kun vuosikorko on 5%?