4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

Transkriptio

1 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako kohdassa funktiot saavat arvon 7. Yhtälö Ratkaisujen lukumäärä x = 7 x 3 = 7 1 x 4 = 7 x 5 = 7 1

2 b) Tutkitaan vastaavasti kuin a-kohdassa kuvaajien avulla, milloin funktiot f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 saavat arvon 7. Yhtälö Ratkaisujen lukumäärä x = 7 0 x 3 = 7 1 x 4 = 7 0 x 5 = 7 1

3 c) a-kohdassa ratkaisuja on kaksi, kun eksponentti on parillinen ja yksi, kun eksponentti on pariton. Kun luku korotetaan parilliseen potenssiin, sekä positiivisesta, että negatiivisesta kantaluvusta tulee positiivinen tulos. Tällöin yhtälöillä, joissa on parillinen eksponentti, on kaksi ratkaisua. Pariton eksponentti säilyttää kantaluvun merkin, joten ratkaisuja on vain yksi. b-kohdassa parillisilla eksponenteilla yhtälöillä ei ole ratkaisua ja parittomilla on yksi ratkaisu. Parillisilla eksponenteilla yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska minkään luvun parillinen potenssi ei voi olla negatiivinen. Pariton eksponentti säilyttää kantaluvun merkin, joten ratkaisuja on yksi.

4 . a) Muutetaan vakioiden a, b, c, d ja e arvoja ja tarkkaillaan, kuinka monta nollakohtaa funktiolla on. Kokeilun perusteella neljännen asteen polynomifunktiolla voi olla nollasta neljään nollakohtaa kuten alla olevat kuvat osoittavat. Ei nollakohtia: Yksi nollakohta:

5 Kaksi nollakohtaa: Kolme nollakohtaa: Neljä nollakohtaa:

6 b) Muutetaan appletissa neljännen asteen termin kertoimeksi nolla eli a = 0. Näin saadaan kolmannen asteen polynomifunktio. Muutetaan vakioiden b, c, d ja e arvoja ja tarkkaillaan, montako nollakohtaa funktiolla on. Kokeilun perusteella kolmannen asteen polynomifunktiolla näyttäisi aina olevan yhdestä kolmeen nollakohtaa kuten alla olevat kuvat osoittavat. Yksi nollakohta: Kaksi nollakohtaa:

7 Kolme nollakohtaa:

8 4.1 Yleinen potenssifunktio ja juuri YDINTEHTÄVÄT 401. A Funktio on parillinen potenssifunktio, joten kuvaajiksi sopivat II ja IV B Funktio on pariton potenssifunktio. I ja III C Funktio ei saa negatiivisia arvoja. II ja IV D Funktio saa jokaisen arvonsa täsmälleen kerran. I ja III E Funktio saa jokaisen positiivisen arvonsa kahdessa eri kohdassa. II ja IV 40. a) 3 8, koska 3 = 8 b) 9 1 1, koska ( 1) 9 = 1 c) , koska 3 4 = 81 d) 8 36, ei ole olemassa

9 403. a) x 3 = 15 3 x 15 x 5 b) 4x 5 = 97 : 4 5 x 43 5 x 43 x 3 c) x 3 = 0 x = 0 d) x 8 = x 1 tai x 1 x = 1 tai x = 1 e) x 4 = 4800 x 4 = 480 : x 4 = x 401 tai x 401 x = 7 tai x = 7 f) 3x = 0 3x 8 = 13 : 3 x 8 = 41 ei ratkaisua 404. a) 5 0 1, ,871 b) 3x 4 = 18 : 3 x 4 = 6 x 4 6 1,57 tai x 4 6 1,57

10 405. a) x 5 = 7 b) x 5 = 4 x 1,5 x 1,3 c) x 4 = 6 x 1,6 tai x 1,6 d) x 4 = 3 ei ratkaisua, x 4 ei saa negatiivisia arvoja

11 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 406. a) 8 1 1, koska 1 8 = 1. b) 4 0 0, koska 0 4 = 0. c) 3 0 0, koska 0 3 = 0. d) 4 1 ei ole olemassa e) 5 3, koska ( ) 5 = 3. f) , koska ( ). 8 g) , koska ( ). 3 7 h) , koska ( ) a) x x x x x = x 5 b) x x 3 = x + 3 = x 5 c) 500x x = 500x + 1 = 500x 3 d) x 500x 4 = 500x 4 x = 500x = 500x 5

12 408. alku 500 1v kuluttua x 500 v kuluttua x (x 500 ) = x 500 5v kuluttua x a) Lauseke 500x kuvaa tilillä olevaa rahamäärää yhden vuoden kuluttua alkuhetkestä. Lauseke 500x kuvaa tilillä olevaa rahamäärää kahden vuoden kuluttua alkuhetkestä. b) Viiden vuoden kuluttua tilin saldo on 500x 5. c) Saadaan yhtälö: x = 760 : x x , , Koska korkokerroin on noin 1,00, on tilin korko 0,00 =,0 % Merkitään väkiluvun vuotuista kasvua kuvaavaa kasvukerrointa kirjaimella x (milj.) 1881 x (milj.) 188 x (milj.) 1950 x 70 (milj.) Saadaan yhtälö: x 70 = 4 : x 70 = x tai x (vain positiivinen arvo käy) x 1,00995 Kasvukerroin on 1,00995, eli vuotuinen kasvu on n. 1,0 %. Vuoteen 05 on kulunut alkuhetkestä vuotta. 1, milj. 8,4 milj. Vuonna 05 väkiluku olisi 8,4 miljoonaa.

13 410. Merkitään vuotuista arvonalenemaa kuvaavaa kerrointa kirjaimella x. uutena v kuluttua x v kuluttua x v kuluttua x Saadaan yhtälö: x = : x 4 = x tai x vain positiivinen arvo käy x = 0,8596 Vuotuinen arvon alenema oli 1 0,8596 0,14 = 14 %.

14 411. a) b) Parilliset potenssifunktiot saavat vain positiivisia arvoja tai arvon nolla origossa. Kun positiivisen kantaluvun arvo kasvaa, tulee funktion arvosta yhä suurempi. Kun negatiivisen kantaluvun arvo pienenee, tulee funktion arvosta myös yhä suurempi. Funktio saa vastakkaismerkkisillä muuttujan x arvoilla a ja a saman arvon, joten funktio on symmetrinen y-akselin suhteen. Pariton potenssifunktio saa positiivisilla kantaluvun arvoilla positiivisen arvon ja negatiivisilla negatiivisen, sekä origossa arvon nolla. Kun kantaluku kasvaa, tulee funktion arvosta yhä suurempi ja vastaavasti, kun kantaluku pienenee, tulee funktion arvosta yhä pienempi. Funktio saa vastakkaismerkkisillä muuttujan x arvoilla a ja a lukuarvoltaan yhtä suuret, mutta vastakkaismerkkiset arvot, joten funktio on symmetrinen origon suhteen. 41. a) f(x) = x 3 I, g(x) = x 5 IV, h(x) = x 4 II ja p(x) = x 8 III

15 413. a) f() = 1 = 1 b) f( 11) = ( 11) 1 = c) d) e) 414. a) b) f ( ) ( ) 1: g(3) ( 5) 5 g( 5) ( 5) x 1 3 x x x 3 5 3x x 6 6 x x x 4 4 x x 4

16 415. a) Yhteiset pisteet ovat (1, 1), (0, 0) ja ( 1, 1), koska f(1) = 1 3 = 1 ja g(1) = 1 5 = 1 f(0) = 0 3 = 0 ja g(0) = 0 5 = 0 f( 1) = ( 1) 3 = 1 ja g( 1) = ( 1) 5 = 1. b) Kun potenssin kantaluku on välillä ]0, 1[ on tulos sitä pienempi, mitä suurempi eksponentti on, koska joka kerran kerrottaessa lukua itsellään tulon arvo pienenee. Esimerkiksi 0,1 = 0,01 ja 0,1 3 = 0,001. Tämän vuoksi x 3 > x 5 välillä ]0, 1[. Kun potenssin kantaluku on välillä ]1, [, on tulo sitä suurempi, mitä suurempi eksponentti on, koska joka kerran kerrottaessa lukua itsellään tulon arvo suurenee. Esimerkiksi 5 = 3 ja 3 = 8. Tämän vuoksi x 5 > x 3 välillä ]1, [. c) Tarkasteltaessa kuvaajia välillä ]0, [, huomataan, että suurilla x:n arvoilla sininen kuvaaja on ylempänä, eli sen arvot ovat suurempia, joten sininen käyrä funktion g kuvaaja ja punainen käyrä funktion f kuvaaja Merkitään korkokerrointa kertoimella x. alku v kuluttua x 1000 v kuluttua x v kuluttua x x = 1033,36 : 1000 x 3 = 1, x = 1, Korkokerroin on noin 1,011. Ratkaistaan, kuinka monen vuoden kuluttua tilillä on 1500 euroa. x n 1000 = 1500 x n = 1,5 n = log x 1,5, missä x = 1, n 37,1 Tilillä on 1500 euroa 38 vuoden kuluttua.

17 417. a) a 1 = 7 ja a 4 = 875. Geometrisessä lukujonossa yleisen termin lauseke on a n = a 1 q n 1. a 4 = a 1 q = 7 q 3 : 875 q 3 = 15 q = 3 15 q = 5 Jonon 11. jäsen on a 11 = a 1 q 10 = = b) a 1 = 3 ja a 8 = 384 a 8 = a 1 q = 3 q 7 : 3 q 7 = 18 q = 7 18 q = Jonon 11. jäsen on a 11 = a 1 q 10 = 3 10 = 3 07.

18 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 418. Merkitään geometrisen lukujonon ensimmäistä jäsentä a 1 ja suhdelukua q. Kuudes jäsen saadaan toisesta jäsenestä, kun toinen jäsen kerrotaan suhdeluvulla neljä kertaa. a 6 = a q 4 96 = 486 q 4 : 486 q 4 = q 4 16 tai q Ratkaistaan ensimmäinen jäsen. a = a 1 q 486 a1 tai 486 a 1 ( ) 3 3 a : a1 486 : ( ) 3 3 a a1 486 ( ) a 79 a Kymmenen ensimmäisen jäsenen summa, kun a 1 = 79 ja q = 3 on: S 1 ( ) q a q tai, kun a 1 = 79 ja q = 3 on: S 1 ( ) q a q 1 ( ) 7 3

19 419. Merkitään vuotuista vähennyskerrointa kirjaimella x ja määrärahojen määrää alussa kirjaimella a. alku a 1 v kuluttua x a v kuluttua x a 3 v kuluttua x 3 a Kolmen vuoden aikana vähennys on 30 %, eli määrärahat ovat 70 % alkuperäisestä, eli 0,7a. Saadaan yhtälö: x 3 a = 0,7a : a 0 x 3 = 0,7 x = 3 0,7 x = 0,8879 Vuotuinen kerroin on 0,8879, joten vähennys on vuosittain 1 0,8879 0,11 = 11, %.

20 40. a) Pisteet ovat (x, f(x)) ja ( x, f( x)) = ( x, f(x)), jos f on parillinen. Pisteillä on sama y-koordinaatti ja niiden x-koordinaatit sijaitsevat yhtä kaukana origon eri puolilla. Kaikki parilliset funktiot ovat siten symmetrisiä y-akselin suhteen. b) Funktio f on parillinen funktio, jos f( x) = f(x). Parilliset potenssifunktiot ovat muotoa f(x) = x n, missä n =, 4, 6, f( x) = ( x) n = ( 1 x) n = ( 1) n x n = 1 x n = x n = f(x), kun eksponentti n on parillinen. Jokainen parillinen potenssifunktio on siis parillinen funktio. c) g(x) = x + x Huomataan, että g(1) = = =, mutta g( 1) = ( 1) + ( 1) = 1 1 = 0. Kaikilla x ei siis päde g( x) = g(x) Funktio g ei ole parillinen. g( x) g( x) hx ( ) x x x x x x Koska funktio h on parillinen potenssifunktio, se on b-kohdan perusteella parillinen funktio.

21 41. a) Pisteet ovat (x, f(x)) ja ( x, f( x)) = ( x, f(x)), jos f on pariton. Pisteiden x- ja y-koordinaatit ovat toistensa vastalukuja. Pisteet ovat peilikuvat origon suhteen eli ne sijaitsevat samalla origon kautta kulkevalla suoralla, eri puolilla origoa. Kuvaajat ovat symmetrisiä origon suhteen. b) Jokainen pariton potenssifunktio on pariton funktio, jos f( x) = f(x). Parittomat potenssifunktiot ovat muotoa f(x) = x n, missä n = 1, 3, 5, f( x) = ( x) n = x n = f(x), kun eksponentti n on pariton. Jokainen pariton potenssifunktio on siis pariton funktio. c) g(x) = x + x g( x) = ( x) x = x x g(x) Funktio g ei ole pariton. gx ( ) g( x) x x ( x x) x hx ( ) Koska funktio h on pariton potenssifunktio, se on b-kohdan perusteella pariton funktio. 4. a) Väite: a n < b n, jos a < b, kun n =, 3, 4,... Väite on tosi aina, kun n on pariton. Kun n on parillinen, väite on tosi, jos a ja b ovat positiivisia ja epätosi muulloin. b) Parittoman potenssifunktion kuvaaja on nouseva. Tällöin aina pienemmällä muuttujan arvolla myös funktion arvo on pienempi kuin suuremmalla muuttujan arvolla. Parillisen potenssifunktion kuvaaja on nouseva, kun kantaluku on positiivinen. 43. Korotetaan molemmat kuudenteen potenssiin Koska molemmat kantaluvut < x 3 ja 3 5 ovat positiivisia lukuja ja koska 6 3, on edellisen tehtävän perusteella 3 > 3 5.

22 4. Korkeamman asteen polynomifunktio ja yhtälö YDINTEHTÄVÄT 44. a) x 3 x 5 = x = x 8 b) x 4 ( 7x 3 ) = 7x 3 x 4 = 7x = 7x 7 c) 5x 4x 3 = 5 4x x 3 = 0x + 3 = 0x 5 d) x 3 ( x 8 ) = ( 1) x 3 x 8 = x = x a) x(x + 5x 4) = x x + x 5x x 4 = x x 8x Asteluku on 3. b) 3x (6x 3 x + 8) = 3x 6x 3 3x x + 3x 8 = 18x 5 6x 3 + 4x Asteluku on a) (3x 4 4x 3 + x) ( 11x 4 + 6x 3 + 1) = 3x 4 4x 3 + x + 11x 4 6x 3 1 = 3x x 4 4x 3 6x 3 + x 1 = 14x 4 10x 3 + x 1 Kolmannen asteen termin kerroin on 10. b) x(x 3) + x(3x x) = x 3 6x + 3x 3 x = 5x 3 x 6x Kolmannen asteen termin kerroin on 5. c) 7x x ( 3x + 5x ) = 7x + 3x 4 5x 3 + x = 3x 4 5x 3 + 9x Kolmannen asteen termin kerroin on 5. d) (x 1)(x 3 + ) = x x 3 + x 1 x 3 1 = x 5 + x x 3 = x 5 x 3 + x Kolmannen asteen termin kerroin on 1.

23 47. a) f(x) = (x + )(x 5) + 3x + 10 = x 3 10x + x x + 10 = x 3 + x 7x f( 1) = ( 1) 3 + ( 1) 7 ( 1) = = 7 b) Korkeimman asteen termin kerroin on. 48. a) x x = 0 x (x + 16) = 0 x = 0 tai x + 16 = 0 x = 0 x = 16 b) x 3 16x = 0 x(x 16) = 0 x = 0 tai x 16 = 0 x = 16 x = 4 tai x = a) x 5 16x = 0 x(x 4 16) = 0 x = 0 tai x 4 16 = 0 x 4 = 16 4 x 16 tai 4 x 16 x x b) x 6 16x 3 = 0 x 3 (x 3 8) = 0 x 3 = 0 tai x 3 8 = 0 x 3 = 0 x 3 = 8 x = 0 x x = 3 8

24 430. a) f(x) = 0,1(x + 1)(x 6)(x 4) Ratkaistaan nollakohdat yhtälöstä f(x) = 0. 0,1(x + 1)(x 6)(x 4) = 0 x + 1 = 0 tai x 6 = 0 tai x 4 = 0 x = 1 x = 6 : x = 4 x = 3 x = tai x = Nollakohdat ovat x =, x = 1, x = ja x = 3. b) f(x) = x 3 x + 3x Ratkaistaan nollakohdat. x 3 x + 3x = 0 x( x x + 3) = 0 x = 0 tai x x + 3 = 0 ( ) 4 ( 1) 3 x (1) x 6 3taix 1 Nollakohdat ovat x = 3, x = 0 ja x = 1.

25 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 431. a) (x ) 3 = x 3 = x 6 b) (3x) = 3 x = 9x c) ( x 4 ) 3 = ( ) 3 (x 4 ) 3 = 8x 1 d) ( x 3 ) 4 = x a) (x 1)(x + 1) = (x ) 1 = x 4 1 b) (x 3 + 1) = (x 3 ) + x = 4x 6 + 4x c) (x 4 1) = (x 4 ) x = x 8 x a) f(x) = (x ) (x 1) = 4x 4 (x 4 x + 1) = 3x 4 + x f ( ) 3 ( ) ( ) b) Luku x = on funktion f nollakohta, jos f( ) = 0. f( ) = 3 ( ) 4 + ( ) 1 = = = 55 0 Luku x = ei ole funktion f nollakohta a) Funktion f(x) = x (x )(x + 3) asteluku on viisi, koska kun kaikkien tekijöiden korkeimman asteluvun termit kerrotaan, saadaan termi x x x = x 5. Nollakohdat: x (x )(x + 3) = 0 x = 0 tai x = 0 tai x + 3 = 0 x = 0 x = x = 3 x taix Nollakohdat ovat x = 3, x =, x = 0 ja x =. b) f(x) = x (x )(x + 3) = x (x 3 + 3x x 6) = x 5 + 3x 4 x 3 6x Asteluku on viisi.

26 435. a) (x 1)(x + 1)(x 3) = (x 1)(x 3) = x 3 3x x + 3 b) (x + 1)(3x 1)(x + ) = (6x x + 3x 1)(x + ) = (6x + x 1)(x + ) = 6x 3 + 1x + x + x x = 6x x + x 436. a) x 3 + x + 9x + 18 = x x + x + 9x + 9 = x (x + ) + 9(x + ) = (x + )(x + 9) b) x3 + x + 9x + 18 = 0 (x + )(x + 9) = 0 x + = 0 tai x + 9 = 0 x = x = 9 ei ratkaisua

27 437. a) 3x 3 + 4x 3x 4 = 0 x (3x + 4) (3x + 4) = 0 (3x + 4)(x 1) = 0 3x + 4 = 0 tai x 1 = 0 3x = 4 x = 1 x = 4 3 x = 1 tai x = 1 b) x 3 + x 4x 4 = 0 x (x + 1) 4(x + 1) = 0 (x + 1)(x 4) = 0 x + 1 = 0 tai x 4 = 0 x = 1 x = 4 x = tai x = c) x 3 8x = 3x + 1 x 3 8x + 3x 1 = 0 x (x 4) + 3(x 4) = 0 (x 4)(x + 3) = 0 x 4 = 0 tai x + 3 = 0 x = 4 x = 3 x = 3 ei ratkaisua d) x 4 3x 3 + 8x = 4 x 4 3x 3 + 8x 4 = 0 x 3 (x 3) + 8(x 3) = 0 (x 3)(x 3 + 8) = 0 x 3 = 0 tai x = 0 x = 3 x 3 = 8 x = 3 8 x =

28 438. a) x 4 8x = 0 x(x 3 8) = 0 x = 0 tai x 3 8 = 0 x 3 = 8 x = b) 3x 6 = 30x 3 3x 6 30x 3 = 0 3x 3 (x 3 10) = 0 3x 3 = 0 tai x 3 10 = 0 x 3 = 0 x 3 = 10 x = 0 x = 3 10 c) x 4 = x (3 4x) x 4 x (3 4x) = 0 x (x (3 4x) = 0 x (x + 4x 3) = 0 x = 0 tai x + 4x 3 = 0 x = ( 3) x 1 x x x 7 tai x 7 c) x 5 9x 3 + x 9 = 0 x 3 (x 9) + (x 9) = 0 (x 9)(x 3 + 1) = 0 x 9 = 0 tai x = 0 x = 9 x 3 = 1 x = 3 tai x = 3 x = 1

29 439. a) Kohta x = a on funktion f nollakohta, jos f(a) = 0. f( 1) = ( 1) 3 8 ( 1) + ( 1) + 1 = = 0 f() = = = 0 f(3) = = = 0 Kaikki annetut kohdat ovat funktion nollakohtia. Funktio on kolmannen asteen polynomifunktio. Sillä on korkeintaan kolme nollakohtaa. Funktiolla ei voi olla muita nollakohtia. b) x 3 8x + x + 1 = (x + 1)(x )(x 3) 440. a) Jos polynomilla x 5 + x 3 x 1 tekijä x 1, sen nollakohta on x = 1 ja jos x + 1, sen nollakohta on x = 1. Sijoitetaan x = 1 polynomin lausekkeeseen = = 0 Koska tulos on nolla, on x 1 polynomin tekijä. Sijoitetaan x = 1 polynomin lausekkeeseen. ( 1) 5 + ( 1) 3 ( 1) ( 1) = = 0 Koska tulos ei ole nolla, x + 1 ei ole polynomin tekijä. b) 3x 4 + 6x 3 15x 18x on nollakohdat x = 3, x = 1, x = 0 ja x =. Polynomi on neljännen asteen polynomi, joten sillä ei voi olla muita nollakohtia. 3x 4 + 6x 3 15x 18x = 3(x + 3)(x + 1) x (x ) = 3x(x + 3)(x + 1)(x ) c) x 3 + 4x + 46x 10 = 0 x = 5, x = 3 tai x = 4 x 3 + 4x + 46x 10 = (x + 5)(x 3)(x 4) 441. a) f(x) = (x 1)(x )(x 3) = x 3 6x + 11x 6 b) f(x) = (x + 3)(x )(x + 1) = x 3 + x 5x 6 c) f(x) = x(x + )(x + ) = x 3 + 4x + 4x

30 44. a) Koska funktio f on neljännen asteen polynomifunktio, sillä ei ole muita nollakohtia, kuin tehtävässä mainitut. Funktio on muotoa f(x) = a(x + 3)(x + 1)(x 1)(x ). Ratkaistaan kerroin a tiedosta f(0) = 1. f(0) = a(0 + 3)(0 + 1)(0 1)(0 ) = 6a 6a = 1 : 6 a = 1 6 f(x) = 1 (x + 3). (x + 1)(x 1)(x ) 6 b) Koska funktio f on neljännen asteen polynomifunktio, sillä ei ole muita nollakohtia, kuin tehtävässä mainitut. Koska x = 1 on kaksinkertainen nollakohta, on funktiolla tekijä (x 1) sekä tekijät (x + 3) ja (x ). Funktio on muotoa f(x) = a(x + 3)(x )(x 1). Ratkaistaan kerroin a tiedosta f(0) = 1. f(0) = a(0 + 3)(0 )(0 1) = a 3 ( ) 1 = 6a 6a = 1 : ( 6) a = 1 6 f(x) = 1 (x + 3)(x )(x 1) 6

31 c) Koska funktio f on neljännen asteen polynomifunktio, sillä ei ole muita nollakohtia, kuin tehtävässä mainitut. Kohdat x = ja x = 1 voivat olla kaksinkertaiset nollakohdat, jolloin funktiolla on tekijät (x + ) ja (x 1). Funktio on muotoa f(x) = a(x + ) (x 1). Ratkaistaan kerroin a tiedosta f(0) = 1. f(0) = a(0 + ) (0 1) = a 4 1 = 4a 4a = 1 : 4 a = 1 4 f(x) = 1 4 (x + ) (x 1) HUOM! Polynomifunktio voi olla myös esimerkiksi muotoa f(x) = a(x + )(x 1)(x + 1) Tällöinkään funktiolla ei ole muita nollakohtia kuin x = ja x = 1.

32 443. Funktiolla on nollakohdat x = 3, x = ja x =, joten sillä on tekijät x + 3, x + ja x. Sillä ei ole muita tekijöitä, koska se on kolmannen asteen polynomifunktio. Funktion lauseke on muotoa f(x) = a(x + 3)(x + )(x ). Koska kuvaajalla on piste (3, 30), on f(3) = 30. Ratkaistaan kerroin a tästä ehdosta. f(3) = a(3 + 3)(3 + )(3 ) = a = 30a 30a = 30 a = 1 f(x) = (x + 3)(x + )(x ) = (x + 3)(x 4) = x 3 + 3x 4x Sijoitetaan x = 1 polynomin x 3 x x + d lausekkeeseen ja ratkaistaan vakio d. ( 1) 3 ( 1) ( 1) + d = d = d d = 0 d = Polynomi on x 3 x x + Polynomi voidaan jakaa tekijöihin ryhmittelemällä. x 3 x x + = x (x ) (x ) = (x )(x 1) = (x )(x + 1)(x 1)

33 445. a) (x + 1) 3 = x x x = x 3 + 3x + 3x + 1 b) (x + ) 3 = x x + 3 x + 3 = x 3 + 6x + 1x + 8 c) (x 3) 3 = x x ( 3) + 3 x ( 3) + ( 3) 3 = x 3 9x + 7x 7 d) (x + 10) 3 = x x x = x x + 300x a) 11 3 = (10 + 1) 3 = = = 1331 b) 1 3 = (10 + ) 3 = = = 178 c) 1,1 3 = (1 + 0,1) 3 = , ,1 + 0,1 3 = 1 + 0,3 + 0,03 + 0,001 = 1,331 d) 99 3 = (100 1) 3 = ( 1) ( 1) +( 1) 3 = = = a) x 3 + 1x + 48x + 64 = x x x = x x x = (x + 4) 3 b) x 3 15x + 75x 15 = x 3 3 x x = x 3 3 x x = (x 5) 3

34 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 448. x 4 3x 4 = 0 Tehdään sijoitus z = x. z 3z 4 = 0 z 1 z 3 5 4taiz ( 3) 4 1 ( 4) 3 5 x = 4 tai x = 1 x = tai x = ei ratkaisua 449. a) x 4 9x + 8 = 0 Merkitään x = z. z 9z + 8 = 0 z z tai z x = 8 x = 1 x = tai x = x = 1 tai x = 1 b) 8x6 + 9x3 + 1 = 0 Tehdään sijoitus z = x 3. 8z + 9z + 1 = 0 z z tai z x 3 = 1 x 3 = 1 8 x = 1 3 x = x = 1 x = 1

35 450. Jaetaan lauseke tekijöihin. x 3 + 3ax + x = x(x + 3ax + 1) = 0 Jotta yhtälöllä ei olisi muita juuria, kuin x = 0, ei lausekkeella x + 3ax + 1 saa olla muita nollakohtia kuin x = 0. Kun sijoitetaan x = 0 lausekkeeseen, huomataan, että sillä ei ole nollakohtaa x = 0. Näin ollen lausekkeella x + 3ax + 1 ei saa olla nollakohtia. Lauseke x + 3ax + 1 on toisen asteen polynomi, joten sillä ei ole nollakohtia, jos yhtälön x + 3ax + 1 = 0 diskriminantti on negatiivinen. D = (3a) = 9a 4 < 0 Nollakohdat: 9a 4 = 0 a = 3 9a 4 < 0, kun a. 3 3 Yhtälöllä ei ole muita juuria, kuin x = 0, kun a. 3 3 Yhtälöllä on kolme juurta, kun lausekkeella x + 3ax + 1 on kaksi nollakohtaa. Lausekkeella on kaksi nollakohtaa, kun yhtälön x + 3ax + 1 = 0 diskriminantti on positiivinen, eli kun a tai a. 3 3 Yhtälöllä ei voi olla neljää juurta, koska se on kolmannen asteen polynomiyhtälö, jolla on korkeintaan kolme juurta.

36 451. Merkitään lukua kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö. 3 4 x x x 3 4 x x x 4 3 x x x 0 x ( x x ) 0 x 0taix x 0 x 0 x 1 x 1 3 1tai x ( ) 1 3 Kysytyt luvut ovat, 0 ja a) x 4 16 = (x ) 4 = (x 4)(x + 4) = (x + )(x )(x + 4) b) x 6 81 = (x 3 ) 9 = (x 3 9)(x 3 + 9) c) x 4 6x + 9 = (x ) x = (x 3) d) 9x 4 1x + 4 = (3x ) 3x + = (3x ) e) 5x 8 49 = (5x 4 ) 7 = (5x 4 7)(5x 4 + 7) f) x 3 + 9x + 7x + 7 = x x x = (x + 3) 3

37 453. a) (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b + 10a b 3 + 5ab 4 + b 5 Kertoimet ovat Pascalin kolmion lukuja. b) Kolmion seuraava rivi on (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b + 0a 3 b a b 4 + 6ab 5 + b 6 c) (x + ) 4 = x 4 + 4x 3 + 6x + 4x = x 4 + 8x 3 + 4x + 3x + 16 (x 1) 5 = x 5 + 5x 4 ( 1) + 10x 3 ( 1) + 10x ( 1) 3 + 5x ( 1) 4 + ( 1) 5 = x 5 5x x 3 10x + 5x 1 d) 11 = (10 + 1) = = = = (10 + 1) 3 = = = = (10 + 1) 4 = = = = (10 + ) 4 = = = 0736

38 4.3 Korkeamman asteen epäyhtälö YDINTEHTÄVÄT 454. a) Funktion f nollakohdat ovat x = 1, x = 1, x = 4 ja x = 8. b) Funktion f arvo on positiivinen väleillä x < 1, 1 < x < 4 ja x > 8.

39 455. a) x 3 x 3x = 0 x(x x 3) = 0 x = 0 tai x x 3 = 0 ( ) 4 1 ( 3) x 4 1 x 6 3taix 1 x = 1, x = 0 tai x = 3 b) x 3 x 3x 0 Lasketaan funktion f(x) = x 3 x 3x arvo testipisteissä nollakohtien välissä ja ulkopuolella. Testikohta x f(x) = x 3 x 3x Merkki (väliltä x < 1) ( ) 3 ( ) 3 ( ) = 10 0,5 (väliltä 1 < x < 0) ( 0,5) 3 ( 0,5) 3 ( 0,5) = 0, (väliltä 0 < x < 3) = 4 4 (väliltä x > 3) = 0 + Kootaan tulokset merkkikaavioon x 3 x 3x + + x 3 x 3x 0 väleillä 1 x 0 ja x 3. c) Kuvaaja: Kuvaaja on x-akselin yläpuolella b-kohdassa saaduilla väleillä.

40 456. Ratkaistaan funktion f(x) = x 3 4x nollakohdat. x 3 4x = 0 x(x 4) = 0 x = 0 tai x 4 = 0 x = 4 x = tai x = Nollakohdat ovat x =, x = 0 ja x = Lasketaan funktion f(x) = x 3 4x arvo testipisteissä nollakohtien välissä ja ulkopuolella. Testikohta x f(x) = x 3 4x Merkki 3 (väliltä x < ) ( 3) 3 4 ( 3) = 15 1 (väliltä < x < 0) ( 1) 3 4 ( 1) = (väliltä 0 < x < ) = 3 3 (väliltä x > ) = 15 + Kootaan tulokset merkkikaavioon. 0 x 3 4x + + Funktio f(x) = x 3 4x saa positiivisia arvoja väleillä < x < 0 ja x > ja negatiivisia arvoja väleillä x < ja 0 < x <. Kuvaaja:

41 457. a) x 3 + x 0 Tarkasteltava lauseke voidaan kirjoittaa tulomuotoon: x 3 + x = x (x + 1) Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat. x = 0 tai x + 1 = 0 x = 0 x = 1 Tulon tekijät ovat ensimmäisen ja toisen asteen polynomit. Toisen asteen polynomi x saa vain positiivisia arvoja nollakohtansa ulkopuolella. Ensimmäisen asteen polynomin x + 1 kuvaaja on nouseva suora. Laaditaan merkkikaavio. 1 0 x x x 3 + x + + x 3 + x 0 välillä x 1.

42 b) x 4 x > 0 Tarkasteltava lauseke voidaan kirjoittaa tulomuotoon: x 4 x = x (x 1) Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat. x = 0 tai x 1 = 0 x = 0 x = 1 x = 1 tai x = 1 Tulon tekijät ovat toisen asteen polynomit. Toisen asteen polynomi x saa vain positiivisia arvoja nollakohtansa ulkopuolella. Toisen asteen polynomin x 1 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Laaditaan merkkikaavio x x x 4 x + + x 4 x > 0 väleillä x < 1 ja x > 1

43 c) x 4 + x 3 1x 0 Tarkasteltava lauseke voidaan kirjoittaa tulomuotoon: x 4 + x 3 1x = x (x + x 1) Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat. x = 0 tai x + x 1 = 0 x = 0 x 1 x 6 3 tai x ( 1) 1 7 Tulon tekijät ovat toisen asteen polynomit. Toisen asteen polynomi x saa vain positiivisia arvoja nollakohtansa ulkopuolella. Toisen asteen polynomin x + x 1 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Laaditaan merkkikaavio x x + x x 4 + x x x 4 + x 3 1x 0 välillä 4 x 3.

44 458. a) Esimerkiksi f(x) = x 3 + 4x. b) Esimerkiksi f(x) = 0,1x 3 0,7x + 0,4x + 1,.

45 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 459. a) f(x) = 4x 3 4x 3 < 0 4x < 3 : 4 x < 3 4 Funktio saa negatiivisia arvoja, kun x < 3 4. b) f(x) = x 5x x 5x < 0 nollakohdat x 5x = 0 x(x 5) = 0 x = 0 tai x 5 = 0 x = 5 : x = 5 Funktio saa negatiivisia arvoja, kun 0 < x < 5

46 c) f(x) = x 3 + 6x 7x x 3 + 6x 7x < 0 x(x + 6x 7) < 0 Funktion merkkiin vaikuttaa molempien tekijöiden x ja x + 6x 7 merkki. Lasketaan nollakohdat. x 3 + 6x 7x = 0 x(x + 6x 7) = 0 x = 0 tai x + 6x 7 = 0 Laaditaan merkkikaavio x ( 7) 6 8 x 1 x 1 tai x 14 7 x + 6x f(x) + + x 3 + 6x 7x < 0 väleillä x < 7 ja 0 < x < 1.

47 460. a) x 6 + x 5 0 x 5 (x + 1) 0 Lausekkeen merkkiin vaikuttaa molempien tekijöiden x 5 ja x + 1 merkki. Laaditaan merkkikaavio. x 5 on positiivinen, kun x > 0 ja negatiivinen, kun x < 0. x + 1 = 0 x = x 5 + x x 5 (x + 1) + + x 6 + x 5 0, kun x 1 tai x 0 b) x 5 4x 3 x 5 4x 3 0 x 3 (x 4) 0 Lausekkeen merkkiin vaikuttaa molempien tekijöiden x 3 ja x 4 merkki. Laaditaan merkkikaavio. x 3 on positiivinen, kun x > 0 ja negatiivinen, kun x < 0. x 4 = 0 x = 4 x = ± 0 x x x(x 4) + + x 5 4x 3, eli x 5 4x 3 0 väleillä x ja 0 x

48 c) 6x(x 1) 5x 6x 3 6x 5x 0 x(6x 5x 6) 0 Lausekkeen merkkiin vaikuttaa molempien tekijöiden x ja 6x 5x 6 merkki. Laaditaan merkkikaavio. x on positiivinen, kun x > 0 ja negatiivinen, kun x < 0. 6x 5x 6= ( 6) x x 18 3 tai x x + + 6x 5x x(6x 5x 6) + + 6x(x 1) 5x eli x(6x 5x 6) 0 väleillä 0 3 x ja x 3.

49 461. a) f(x) = x 6 10x 5 + 5x 4 x 6 10x 5 + 5x 4 > 0 x 4 (x 10x + 5) > 0 x 4 (x 5) > 0 Molemmat tekijät x 4 ja (x 5) ovat ei-negatiivisia kaikilla muuttujan x arvoilla. Kun x = 0 ja kun x = 5, saa funktio arvon nolla. Funktion arvo on positiivinen, kun x 0 ja kun x 5. b) f(x) = x 4 x x 4 x > 0 x (x + 1) > 0 Tekijä x + 1 on positiivinen kaikilla muuttujan x arvoilla. Koska x on ei negatiivinen, on x negatiivinen kaikilla muilla muuttujan x arvoilla, paitsi kun x = 0 se saa arvon nolla. Funktion f arvo ei ole positiivinen millään muuttujan arvolla. 46. a) Parittomat potenssifunktiot x 3, x 5, x 7 jne. saavat positiivisia arvoja, kun kantaluku x on positiivinen ja negatiivisia arvoja, kun kantaluku x on negatiivinen. Parittomassa potenssifunktiossa on pariton määrä kantaluvun kertolaskuja. Jos kantaluku on negatiivinen, kerrotaan pariton määrä negatiivisia lukuja keskenään, joten tulo on negatiivinen. b) Parilliset potenssifunktiot x, x 4, x 6 jne. saavat positiivisia arvoja kaikilla muuttujan x arvoilla paitsi arvolla nolla, potenssifunktio saa arvon nolla. Parillinen potenssifunktio ei saa koskaan negatiivista arvoa. Parillisessa potenssifunktiossa on parillinen määrä kantaluvun kertolaskuja. Jos kantaluku on negatiivinen, kerrotaan parillinen määrä negatiivisia lukuja keskenään, joten tulo on positiivinen.

50 463. a) f(x) = x x > 0 Ratkaistaan nollakohdat yhtälöstä x = 0 x 3 = 8 x = Lasketaan funktion arvo testipisteissä f( 3) = = 19 < 0 f(0) = 8 > 0 Kootaan tulokset merkkikaavioon. x x > 0, kun x > b) f(x) = x 4 16 x 4 16 > 0 Ratkaistaan nollakohdat yhtälöstä x 4 16 = 0 x 4 = 16 x = ± Lasketaan funktion arvo testikohdissa. f( 3) = = 65 > 0 f(0) = 16 < 0 f(3) = = 65 > 0 Kootaan tulokset merkkikaavioon. x x 4 16 > 0, kun x < ja x >

51 c) f(x) = x 6 + x 6 + > 0 Epäyhtälö toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla, koska x 6 on parillisena potenssifunktiona aina positiivinen, joten x 6 + on myös aina positiivinen a) x 3 x 9x + 9 = x (x 1) 9(x 1) = (x 1)(x 9) = (x 1)(x + 3)(x 3) b) x 3 x 9x (x 1)(x + 3)(x 3) 0 Lausekkeen merkkiin vaikuttaa tekijöiden x 1, x + 3 ja x 3 merkki. Laaditaan merkkikaavio. x 1 on positiivinen, kun x > 1 ja negatiivinen, kun x < x x x 3 + x 3 x 9x x 3 x 9x väleillä 3 x 1 ja x 3.

52 465. a) f(x) = x 4 + x 3 8x 8 x 4 + x 3 8x 8 < 0 x 3 (x + 1) 8(x + 1) < 0 (x + 1)(x 3 8) < 0 Lausekkeen merkkiin vaikuttaa molempien tekijöiden x + 1 ja x 3 8 merkki. Laaditaan merkkikaavio. x + 1 on positiivinen, kun x > 1 ja negatiivinen, kun x < 1. x 3 8 = 0 x 3 = 8 x = 3 8 x 3 8 on negatiivinen, kun x < ja positiivinen, kun x >. 1 x x 3 + x(x 6) + + f(x) on negatiivinen välillä 1 x. b) f(x) = x 7 + x 6 x x 7 + x 6 x < 0 x 6 (x + ) (x + ) < 0 (x + )(x 6 1) < 0 (x + )(x 6 1) = 0 x + = 0 tai x 6 1 = 0 x = x 6 = 1 x = 1 tai x = 1 Nollakohdat ovat x =, x = 1 ja x = 1.

53 Lasketaan funktion arvo testipisteissä. f( 3) = 78 < 0 f( 1,5) = 5,19... > 0 f(0) = < 0 f() = 5 > 0 Kootaan tulokset merkkikaavioon. 1 1 f(x) + + f(x) on negatiivinen väleillä x < ja 1 < x < a) f(x) = x + 3 Termi x on ei negatiivinen kaikilla muuttujan x arvoilla. Kun ei negatiiviseen lukuun x lisätään luku 3 on saatu luku positiivinen. b) f(x) = x 6 + x 4 + x + = x 4 (x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x 4 + ) Tekijä x + 1 on aina positiivinen ja samoin x 4 + on aina positiivinen. Molemmat tekijät ovat positiivisia, joten niiden tulo on positiivinen x 6 + x 5 3x 4 0 x 4 (x x + 3) 0 Ratkaistaan tekijän x x + 3 nollakohdat. x x + 3 = 0 ei ratkaisua Lausekkeen x x + 3 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia. Lauseke saa vain positiivisia arvoja. x 4 saa negatiivisia arvoja tai arvon nolla, kun x = 0. Epäyhtälö x 4 (x x + 3) 0 on tosi kaikilla muuttujan arvoilla.

54 468. f(x) = x 3 30x + 300x 1000 = x 3 3 x x = (x 10) 3 Lausekkeen eksponentti on pariton, joten funktion merkki on sama kuin kantaluvun x 10 merkki. x 10 > 0 ja x 10 < 0 x > 10 x < 10 Funktio saa positiivisia arvoja, kun x > 10 ja negatiivisia arvoja, kun x < 10.

55 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 469. Ratkaistaan funktion f(x) = x 4 6x + 8.nollakohdat. x 4 6x + 8 = 0, tehdään sijoitus x = z z 6z + 8 = 0 z = tai z = 4 x = tai x = 4 x = tai x = x = tai x = Nollakohdat ovat x =, x =, x = ja x =. Lasketaan funktion arvo testikohdissa. f( 3) = 35 > 0 f( 1,5) = 0,4375 < 0 f(0) = 8 > 0 f(1,5) = 0,4375 < 0 f(x) Funktio f saa positiivisia arvoja, kun x <, x ja x >. Funktio f saa negatiivisia arvoja, kun x ja x.

56 470. a) px 3 + 6x x 0 x(px + 6x 1) 0 Tulon pitää olla positiivinen tai nolla. Ratkaisuna tulee olla x 0, eli epäyhtälön tulee toteutua vain silloin kun kerroin x on negatiivinen tai nolla. Epäyhtälö toteutuu täsmälleen kun x 0, jos myös px + 6x 1 on aina negatiivinen tai nolla, eli tulon molemmat tekijät ovat negatiivisia tai nollia. Lausekkeen px + 6x 1 kuvaaja on paraabeli. Jos p on positiivinen, on paraabeli ylöspäin aukeava. Tällöin lauseke px + 6x 1 ei voi milloinkaan olla aina negatiivinen tai nolla. Jos p on negatiivinen, on paraabeli alaspäin aukeava. Tällöin lauseke px + 6x 1 on aina negatiivinen tai nolla, jos paraabelilla on korkeintaan yksi nollakohta. Lausekkeella px + 6x 1 on korkeintaan yksi nollakohta, kun yhtälön px + 6x 1 = 0 diskriminantti on negatiivinen tai nolla. D = 6 4 p ( 1) = p p 0 4p 36 : 4 p 9 Epäyhtälön ratkaisu on x 0, kun p 9.

57 b) x 6 px > 0 Merkitään x 3 = z. z pz + 3 > 0 Lausekkeen z pz + 3 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Epäyhtälö on aina tosi, jos lausekkeella z pz + 3 ei ole nollakohtia, eli yhtälön z pz + 3 = 0 diskriminantti on negatiivinen. D = ( p) = p 1 p 1 < 0 Diskriminantin lausekkeen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Lauseke saa negatiivisia arvoja nollakohtien välissä. p 1 = 0 p = 1 p = 1 3 Epäyhtälö z pz + 3 > 0 ja myös epäyhtälö x 6 px > 0 on tosi kaikilla muuttujan x arvoilla, kun 3 p 3.

58 471. a) f(x) = x 4 + qx 3 qx = x (x + qx q) Tekijä x on aina ei-negatiivinen, joten funktio ei saa negatiivisia arvoja, jos x + qx q ei saa negatiivisia arvoja. Tekijän x + qx q kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Lauseke x + qx q ei saa negatiivisia arvoja, jos sillä on korkeintaan yksi nollakohta, eli yhtälön x + qx q = 0 diskriminantti on nolla tai negatiivinen. D = q 4 1 ( q) = q + 8q q + 8q 0 q + 8q = 0 q(q + 8) = 0 q = 0 tai q = 8 8 q 0 b) Funktio saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja, jos tekijällä x + qx q on kaksi nollakohtaa, eli yhtälön x + qx q = 0 diskriminantti on positiivinen. q < 8 tai q > 0

59 47. a) Polynomifunktio voi vaihtaa merkkinsä vain nollakohdissa. Funktion nollakohdat ovat x = 1, x = 0 ja x = 1. Koska se on kolmannen asteen polynomifuntio, sillä ei voi olla muita nollakohtia. Polynomifunktiolla on tällöin tekijät (x + 1), x ja (x 1). Funktion lauseke on muotoa ax(x + 1)( x 1). Valitaan a:n arvoksi 1. Tällöin funktion lauseke on f(x) = x(x + 1)(x 1). Lasketaan funktion arvo väleillä ], 1[ ja ]0, 1[ sekä ] 1, 0[ ja ]1, [ olevissa testikohdissa. f( ) = ( 1) ( 3) = 6 < 0 f(0,5) = 0,5 1,5 ( 0,5) = 0,375 < 0 f( 0,5) = 0,5 0,5 ( 1,5) = 0,375 > 0 f() = 3 1 = 6 > 0 Vaatimus arvojen merkeistä toteutuu, joten jokin ehdot täyttävä funktio on f(x) = x(x + 1)(x 1). b) Kolmannen asteen polynomifunktiolla on ainakin yksi nollakohta. Koska funktio g on positiivinen vain välillä ], [, se vaihtaa merkkinsä kohdassa x =, joka on tällöin funktion g nollakohta. Funktiolla g on tällöin tekijä (x ). Eräs mahdollinen funktion g lauseke on muotoa g(x) = a(x ) 3. Valitaan a = 1. Tällöin g(x) = (x ) 3. Lasketaan funktion g arvo väleillä ], [ ja ], [ olevissa testipisteissä. g(0) = ( ) 3 = 8 < 0. g(3) = 1 3 = 1 > 0 Koska funktion arvon tulee olla positiivinen välillä ], [, tulee kertoimen a olla negatiivinen. Mahdollinen funktion g lauseke on g(x) = (x ) 3.

60 c) Funktio h toteuttaa ehdon h(x) 0 vain välillä x. Muulloin funktion arvo on positiivinen. Funktiolla h on siten tarkalleen kaksi nollakohtaa ix = ja x =. Mahdollinen neljännen asteen funktio on h(x) = x Polynomifunktio h on parillinen polynomifunktio, joka käyttäytyy, kuten toisen asteen polynomifunktio. Funktion h kuvaaja aukeaa ylöspäin ja lauseke on negatiivinen nollakohtien välissä, eli välillä x.

61 473. a) f(x) = x 3 ja g(x) = x 3 x x + 1 f(x) = x 4 ja g(x) = x 4 x f(x) = x 5 ja g(x) = x 5 x 4 + x 3

62 f(x) = x 6 ja g(x) = x 6 x 3 + x Kuvaajien samankaltaisuus johtuu korkeimman asteen termin asteluvusta ja kertoimen merkistä.

63 b) I Parillinen, merkki on positiivinen. Polynomifunktiolla on neljä nollakohtaa, eikä sillä ole muita nollakohtia, joten se on vähintään neljännen asteen polynomifunktio. Koska kuvaajaa nostamalla y-akselin suunnassa, saadaan kuvaajasta sellainen, ettei sillä ole yhtään nollakohtaa, on kyseessä parillisen asteluvun polynomifunktio. Korkeimman asteen termin kertoimen merkki on positiivinen, koska kuvaaja on ylöspäin aukeava, eli käyttäytyy samoin kuin ylöspäin aukeava paraabeli. II Pariton, merkki on positiivinen. Polynomifunktiolla on viisi nollakohtaa, joten se on vähintään viidennen asteen polynomifunktio. Jos kuvaajaa liikutetaan y-akselin suunnassa, on sillä aina ainakin yksi nollakohta, joten kyseessä on parittoman asteluvun polynomifunktio. Korkeimman asteen termin kertoimen merkki on positiivinen, koska kuvaaja on nouseva, eli käyttäytyy samoin kuin nouseva suora.

64 III Parillinen, merkki on negatiivinen. Polynomifunktiolla on kuusi nollakohtaa, eikä sillä ole muita nollakohtia, joten se on vähintään kuudennen asteen polynomifunktio. Koska kuvaajaa laskemalla y-akselin suunnassa, saadaan kuvaajasta sellainen, ettei sillä ole yhtään nollakohtaa, on kyseessä parillisen asteluvun polynomifunktio. Korkeimman asteen termin kertoimen merkki on negatiivinen, koska kuvaaja on alaspäin aukeava, eli käyttäytyy samoin kuin alaspäin aukeava paraabeli.