Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Transkriptio

1 Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun vuotuinen korkokanta r: n 1 n P x (r) = (1 + r) i x i. Määritellään diskonttotekijä d = 1 1+r ja saadaan P x(d) = d i x i. On huomattava, että jos korko lisätään pääomaan useammin kuin kerran vuodessa (esim. joka kuukausi = 12 kertaa vuodessa) on nykyarvoa laskettaessa vuotuinen korkokanta jaettava perioidien lukumäärällä. Esim. kuukausittaiseksi korkokannaksi saadaan r kk = r 12, kun vuotuinen korkokanta on r. Vastaavasti tällöin diskonttotekijäksi saadaan d kk = 1 1+r kk. Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) sisäinen korkokanta (IRR) määritellään yhtälön P x (r) = x r x 1 1+,..., (1 + r) n x n = 0 ratkaisuna korkokannan r suhteen. Ts. sisäinen korkokanta on se korko, jolla kassavirran nykyarvo on 0. Yhtälölle ei yleensä löydy analyyttista ratkaisua, mutta se voidaan ratkaista lähes aina numeerisesti. Esim. Excelissä funktio IRR(values;guess), missä values viittaa soluihin, joissa kassavirta ja guess on alkuarvaus sisäiselle korkokannalle. Algebran peruslauseen mukaisesti sisäisellä korkokannalla on vähintään 1 ja korkeintaan n kpl eri ratkaisuja, mutta osa näistä (tai kaikki) voivat olla kompleksisia. Kts. IRR:n peruslause luentokalvoista tai Luenbergin sivuilta (Main theorem of internal rate of return). Inaatiolla tarkoittaa hintatason yleistä nousua, jolloin rahan ostovoima alenee. Jos inaatio oletetaan vakioksi f = 2% vastaa 1000 euroa tänään ostovoimaltaan 1050 euroa vuoden kuluttua. Mikäli tänään talletat pankkiin 5% korolla 1000 euroa niin saat vuoden päästä 1050 euroa, mutta mikäli 2% inaatio otetaan huomioon, on investoinnin ostovoima nykyrahassa 1050/1.02 = 1029 euroa. Ts. ostovoiman kannalta investointi on kasvanut korkoa ainoastaan 2.9%.

2 1. (L2.5) Suuressa eurooppalaisessa lotossa on päävoittona 10 miljoonaa euroa, joka maksetaan 20 vuoden aikana euron erissä. Voittaja saa ensimmäisen erän heti. Mikä on lottovoiton nykyarvo, kun korkokanta on 10%? Korkokanta r = 0.10 ja diskonttotekijä d = Kassavirta x = (x 0, x 1,..., x 19 ), missä x i = euroa kaikille i = 0,..., 19. Nykyarvo P x (d) = x 0 + d x d 19 x euroa. 2. (L2.6) Nuoripari on maksanut kuuden kuukauden vuokrasopimuksesta ensimmäisen kuukauden vuokran 700 euroa, jota ei voi periä takaisin. Seuraavana päivänä he löytävät toisen aivan yhtä hyvän asunnon, mutta jonka vuokra on vain 600 euroa kuussa. Korkokanta on 12%. a) Kannattaako nuorenparin vaihtaa asuntoaan, kun he suunnittelevat asuvansa siinä vain kuusi kuukautta? b) Entä jos he asuisivat vuoden? a) Mahdolliset kassavirrat Wanha asunto: x = (x 0, x 1,..., x 5 ), missä x i = 700 euroa kaikille i = 0,..., 5. Uusi asunto: y = (y 0, y 1,..., y 5 ), missä y 0 = = 1300 euroa ja y i = 600 euroa kaikille i = 1,..., 5. Kuukausittainen korkokanta r kk = 0.12/12 = 0.01 ja diskonttotekijä d kk = Kassavirtojen nykyarvot: P x (d kk ) = x 0 + d kk x d 5 kk x euroa. P y (d kk ) = y 0 + d kk y d 5 kk y euroa. P x (d kk ) > P y (d kk ) ts. uusi asunto tulee kalliimmaksi ei kannata vaihtaa. b) Mahdolliset kassavirrat Wanha asunto: x = (x 0, x 1,..., x 11 ), missä x i = 700 euroa kaikille i = 0,..., 11. Uusi asunto: y = (y 0, y 1,..., y 11 ), missä y 0 = = 1300 euroa ja y i = 600 euroa kaikille i = 1,..., 11. Kuukausittainen korkokanta r kk = 0.12/12 = 0.01 ja diskonttotekijä d kk = Kassavirtojen nykyarvot: P x (d kk ) = x 0 + d kk x d 11 kk x euroa. P y (d kk ) = y 0 + d kk y d 11 kk y euroa. P x (d kk ) < P y (d kk ) ts. wanha asunto tulee kalliimmaksi kannattaa vaihtaa.

3 3. (L2.8) Saatavilla on kaksi kopiokonetta, joiden kummankin käyttöikä on viisi vuotta. Toisen näistä voi joko vuokrata tai ostaa, toisen voi vain ostaa. Näin ollen valinta tehdään kolmen vaihtoehdon välillä: A (koneen 1 vuokraus), B (koneen 1 osto) ja C (koneen 2 osto). Taulukossa 1 on esitetty vaihtoehtojen kulut ja tuotot sekä nykyarvo laskettuna 10% korolla. Nykyarvon perusteella vaihtoehto B tulisi valita. Sisäistä korkokantaa ei voida suoraan laskea, koska kaikki tulevaisuuden kassavirrat eivät ole positiivisia. Voimme kuitenkin laskea sisäisen korkokannan, jolla vaihtoehdosta toiseen siirtymisen (vaihtoehtojen kassavirtojen erotuksen) nykyarvo menee nollaksi. Mikäli tämä ylittää annetun korkokannan, kannattaa tämän kriteerin perusteella siirtyä vaihtoehdosta toiseen. a) Kannattaako vaihtoehdosta A siirtyä vaihtoehtoon B? b) Entä vaihtoehdosta B vaihtoehtoon C? Taulukko 1: Kopiokonevaihtoehdot Vaihtoehto A B C Alkuinvestointi ttainen kustannus (kohdistetaan vuoden alkuun) Jälleenmyyntiarvo (kohdistetaan viimeisen vuoden loppuun) Nykyarvo Kassavirrat ovat Vaihtoehdolle A: x = (x 0,..., x 5 ), missä x 0 = 14000, x i = 8000 kaikille i = 1,..., 4 ja x 5 = 0. Vaihtoehdolle B: y = (y 0,..., y 5 ), missä y 0 = 32000, y i = 2000 kaikille i = 1,..., 4 ja y 5 = Vaihtoehdolle C: z = (z 0,..., z 5 ), missä z 0 = 36600, z i = 1600 kaikille i = 1,..., 4 ja z 5 = Kun vuotuinen korkokanta r = 0.10, kassavirtojen nykyarvot ovat 1 Vaihtoehdolle A: P x (r) = (1 + r) i x i euroa. Vaihtoehdolle B: P y (r) = Vaihtoehdolle C: P z (r) = 1 (1 + r) i y i euroa. 1 (1 + r) i z i euroa. Lasketaan kassavirtojen erotukset termeittän: a) Vaihtoehdosta A siirtyminen vaihtoehtoon B (B-A). Kassavirta a = (a 0,..., a 5 ) = (y 0 x 0,..., y 5 x 5 ), missä a 0 = ( 14000) = 18000, a i = 2000 ( 8000) = kaikille i = 1,..., 4 ja a 5 = = Kassavirran a nykyarvoksi saadaan P a (r) = 5 1 a (1+r) i i euroa. Lisäksi kassavirran a sisäiseksi korkokannaksi saadaan laskettua (esim. Excel) r a 0.24 ja koska r a = 0.24 > 0.10 = r saadaan, että vaihtoehdosta A kannattaa siirtyä vaihtoehtoon B.

4 b) Vaihtoehdosta B siirtyminen vaihtoehtoon C (C-B). Kassavirta b = (b 0,..., b 5 ) = (z 0 y 0,..., z 5 y 5 ), missä b 0 = ( 32000) = 4600, b i = 1600 ( 2000) = +400 kaikille i = 1,..., 4 ja b 5 = = Kassavirran b nykyarvoksi saadaan P b (r) = 5 1 (1+r) i b i 2090 euroa. Lisäksi kassavirran b sisäiseksi korkokannaksi saadaan laskettua (esim. Excel) r b 0.06 ja koska r b = 0.06 < 0.10 = r saadaan, että vaihtoehdosta B ei kannatta siirtyä vaihtoehtoon C. 4. (L2.13) Kaksi kassavirtajonoa x = (x 0, x 1,..., x n ) ja y = (y 0, y 1,..., y n ) leikkaavat, jos x 0 < y 0 ja n n x i > y i. Olkoot P x (d) ja P y (d) x:n ja y:n nykyarvot diskonttotekijän d funktiona (d = 1 1+r ). a) Osoita, että on olemassa leikkauspiste c > 0 siten, että P x (c) = P y (c). b) Laske taulukon 2 kassavirroille leikkauspistekorko. Taulukko 2: Projektien 1 ja 2 kassavirrat Projekti Projekti n n n a) Lähtötiedoista saadaan x 0 y 0 < 0 ja x i y i > 0 x i y i > 0. Määritellään kassavirta n z = (z 0,..., z n ) siten, että z i = x i y i kaikille i = 0,..., n. Nyt pätee siis z 0 < 0 ja z i > 0. Toisin sanoen kassavirran z nykyarvolle pätee esim. P z (0) < 0 ja P z (1) > 0, joten väliarvolauseen perusteella, jollekin c [0, 1] pätee P z (c) = 0. m.o.t. b) Olkoon projektin 1 kassavirta x = ( 100, 30, 30, 30, 30, 30) ja projektin 2 kassavirta y = ( 150, 42, 42, 42, 42, 42). Tällöin siis x 0 = 100 > 150 = y 0 ja lisäksi pätee x i = 50 < 60 = y i jolloin a) kohdan perusteella, jollekin c [0, 1] pätee P z (c) = 0, missä kassavirta z = (y 0 x 0,..., y 5 x 5 ). Lasketaan leikkauspiste Excelin Solverilla ja saadaan c

5 5. (L2.15) ABBOX on kehittänyt uuden tuotteen. Tuotannon käynnistäminen vaatii 10 miljoonan euron alkuinvestoinnin. Tuotteen menekiksi arvioidaan miljoona yksikköä vuodessa seuraavan viiden vuoden aikana, jonka jälkeen tuote poistuu markkinoilta vanhentuneena ja tuotanto lopetetaan. Tuotteen vuosittainen tuotanto vaatii henkilötyötuntia ja 100 tonnia raaka-ainetta. Tällä hetkellä (vuosi 0) palkkataso on 30 euroa tunnilta ja raaka-aineen hinta on 100 euroa tonnilta. Tuotteen myyntihinta on 3.30 euroa, joka nousee vuosittain ainostaan inaation verran ja muuten pysyy vakiona. ABBOX käyttää 12% korkoa tämän tyyppisille projekteille ja joutuu maksamaan 34% veron myyntivoitosta. Poistot alkuinvestoinneista voidaan tehdä viiden vuoden aikana siten, että vuosittain vähennetään viidennes alkuinvestoinnista. Poistot alentavat maksettavan veron määrää pienentämällä liikevoittoa. Poistot eivät ole kassavirtaa, joten niitä ei muutoin huomioida investointilaskelmassa. a) Mikä on investoinnin nykyarvo, kun inaatiota ei oteta huomioon? b) Mikä on investoinnin nykyarvo 4%:n vuosittaisella inaatiolla? Inaatio nostaa palkkatasoa, raakaainekustannuksia sekä tuotteen myyntihintaa. Lähtötiedot: Alkuinvestointi: I = (euroa) Tuotteen menekki: S = (yksikköä/vuosi) Tuotantoon tarvitaan: p hl = (henkilötyötuntia/vuosi) ja p ra = 100 (raaka-aine tonnia/vuosi) Palkkataso tällä alussa: c hl = 30 (euroa/henkilötyötunti) Raaka-aineen hinta alussa: c ra = 100 (euroa/raaka-aine tonni) Tuotteen myyntihinta alussa: h = 3.30 (euroa/yksikkö) Korkokanta: r = 0.12 Veroprosentti: v = 0.34 Vuotuiset poistot: P = (euroa) Liikevaihto = Tuotteen menekki Tuotteen myyntihinta = S h = = (euroa/vuosi). Kustannukset = Henkilötyötuntien tarve Palkkataso + Raaka-aineen tarve Raaka-aineen hinta = p hl c hl + p ra c ra = = (euroa/vuosi). Käyttökate = Liikevaihto - Kustannukset = (euroa/vuosi). Poistot alentavat vain maksettavan veron määrää pienentämällä liikevoittoa. Ne eivät siis ole kassavirtaa, joten niitä ei huomioida investointilaskelmassa.

6 a) Muodostetaan tilikauden voiton/tappion laskemiseksi seuraavanlainen taulukko: Käyttökate Poistot Liikevoitto/-tappio Verot Tilikauden voitto/tappio ttainen kassavirta saadaan ensimmäisen vuoden alussa (vuosi 0) alkuinvestoinneista. Muina vuosina kassavirta = toiminnan kassavirta - verot. Toisin sanoen saadaan: Σ Kassavirta Nykyarvo Investoinnin nykyarvo on siis euroa, kun inaatiota ei oteta huomioon.

7 b) Nyt myyntihinta sekä palkka- ja raaka-ainekustannukset nousevat inaation verran. Käyttökatteeksi saadaan nyt Käyttökate = liikevaihto 1.04 i - kustannukset 1.04 i = (liikevaihto - kustannukset) 1.04 i, missä i = 0,..., 5 viittaa vuoteen. Toisin sanoen käyttökate kasvaa a) kohtaan verrattuna. Muodostetaan tilikauden voiton/tappion laskemiseksi vastaavanlainen taulukko kuin a) kohdassa: Käyttökate Poistot Liikevoitto/-tappio Verot Tilikauden voitto/tappio Edelleen taulukosta voidaan laskea kassavirta ja sen nykyarvo: Σ Kassavirta Nykyarvo Investoinnin nykyarvo on siis euroa, kun inaatio otetaan huomioon.