Helsini University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology Kertausta: AWGN-anava n(t) S-38.211 Signaalinäsittely tietoliienteessä I Signal Processing in Communications (2 ov) Sysy 1998 3. Luento: Optimaalinen ML-vastaanotto ja Viterbi-algoritmi prof. Timo Laaso Vastaanotto torstaisin lo 10-11 Huone G210, puh. 451 2473 Sähöposti: timo.laaso@hut.fi x(t)=σa δ(t-t s ) h T (t) Σ h R (t) t=t s Edellisellä luennolla tarasteltiin siirtojärjestelmää AWGNanavassa Ysittäiselle pulssille johdettiin SNR:n masimoiva vastaanottosuodin. Tämä on optimaalinen vastaanotin siinä mielessä että se minimoi bittivirhetodennäöisyyden (un ainoa häiriö anavassa on AWGN-ohina!) Jos lähetys- ja vastaanottosuodatin yhdessä täyttävät Nyquistin riteerin, järjestelmä toimii myös jatuvassa siirrossa (ISI = 0) Σ a δ 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 2 1 h T (t) x(t)=σa δ(t-t s ) Kertausta: Lineaarinen anava c(t) n(t) Σ y(t) h R (t) t=t s z(t) MUTTA: jos anavassa on lineaarista vääristymää (esim. taajuusriippuvaa vaimennusta), lineaarisella suodatusella ei pystytä poistamaan ISIä ja vaimentamaan ohinaa samanaiaisesti niin että BER minimoituu (ISI on epälineaarinen datariippuva häiriö!) Tarvitaan epälineaarisia vastaanottomenetelmiä! Σ a δ Optimaalinen ML-vastaanotto Kun ISIä ei ole, riittää un tarastellaan yhtä symbolia errallaan ISI:n tapausessa ysi lähetetty pulssi häiritsee viereisten pulssien vastaanottoa => annattaa tarastella usempaa uin yhtä symbolia errallaan (sevenssin vastaanotto) Voidaan johtaa maximum lielihood (ML) -tyyppinen optimaalinen sevenssin vastaanottoalgoritmi joa minimoi sevenssin a priori (etuäteis-) virhetodennäöisyyden Viterbi-algoritmi on ML-sevenssi-ilmaisimen tehoas approsimatiivinen toteutus 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 3 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 4 2
xx x(t)=σa δ(t-t s ) Optimaalinen PAM-signaalin ML-vastaanotto h T (t) c(t) n(t) Σ y(t) h R (t) t=t s z(t) Tarastellaan uvan (antataajuista) PAM-järjestelmää Lähetys- ja vastaanottosuodin voivat olla sovitettu suodinpari jota yhdessä täyttävät Nyquistin riteerin (EI välttämätöntä!) Kanavassa on lineaarista vääristymää ja siten aina ISIä! Tarastellaan K:n symbolin mittaisen sevenssin ML-ilmaisua (Maximum Lielihood Sequence Detection, MLSD) 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 5 z MLSD Σ a δ PAM-signaalin ML-vastaanotto Vastaanotettu signaali on muotoa: K yt () = ah ( t T) + nt () = 1 TC jossa symboli a valitaan M-jäsenisestä aaostosta, h TC (t) on lähetyspulssimuoto anavan jäleen ( = h T (t)*c(t) ) ja n(t) on valoista Gaussin ohinaa. Vastaanottimen esiaste oostuu sovitetusta suotimesta ja näytteenotosta: z = y() t h ( t T) = y() t h ( t T) dt R t= T TC Sovitettu suodatin voidaan tulita orrelaattorisi! 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 6 3 PAM-signaalin ML-vastaanotto Voidaan osoittaa, että sevenssi z, =1,2,,K sisältää riittävän statistiian (sufficient statistics) optimaaliseen ilmaisuun, eli saman informaation uin vastaanotettu jatuvaaiainen signaali Vastaanotettua sevenssiä voidaan siis tarastella K-ulotteisena vetorina johon on summautunut K-ulotteinen ohinavetori PAM-signaalin ML-vastaanotto Disreettiaiainen malli siirtojärjestelmälle symbolitaajuudella: n a g Σ z MLSD z = a g + n = a g + n m m= Tässä g on disreettiaiainen vastine oo suodatusetjulle eli lähetyssuotimelle, anavalle ja vastaanottimelle! Voidaan myös osoittaa, että sevenssiin summautunut disreettiaiainen ohina on normaalijaautunutta 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 7 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 8 4
PAM-signaalin ML-vastaanotto Optimaalisen ML-sevenssi-ilmaisun toteutus: 1) Generoi aii mahdolliset lähetyssevenssit a 2) Generoi vastaavat ulostulosevenssit s =a *g disreetin mallin avulla 3) Vertaa s :ta vastaanoton päätösmuuttujasevensseihin z ja valitse se lähetyssevenssi a joa on lähin Vertailuriteeri: eulidinen (neliöllinen) etäisyys: min min 2 { } z s = a, =,,..., K = { a, =,,..., K} 12 1 12 = 1 K K 2 z a g PAM-signaalin ML-vastaanotto Toteutusessa useita äytännön ongelmia: 1) Kanava tunnettava Rataisu: yleensä anava estimoidaan eriseen 2) Kohina voi olla alunperin värillistä Rataisu: lisätään valaisusuodatus (=> valaistu sovitettu suodatin, Whitened Matched Filter, WMF) 3) Kun äytössä M-tasoinen aaosto, mahdollisia sevenssejä on M K appaletta - yleensä toluton määrä (esim. M=2, K=10 => M K = 1024) Rataisu: Viterbi-algoritmi! 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 9 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 10 5 Marov-etjuista Marov-etjuja äytetään mallintamaan tilaoneita (finite state machines) joiden tulosignaali on satunnainen. Seuraavassa niitä äytetään mallintamaan symbolien esinäisvaiutusta. Marov-etju {ψ } on disreettiaiainen ja -arvoinen satunnaisprosessi jona tila {ψ } toteuttaa ehdon ( Ψ+ 1Ψ, Ψ 1,... ) = p( Ψ+ 1Ψ) p Tilan todennäöisyys riippuu siis vain edellisestä tilasta (ja mahd. satunnaisteijästä, mutta ei aiemmista tiloista). Marov-etjuista Marov-etju on homogeeninen jos siirtymätodennäöisyys p(ψ ψ +1 ) ei riipu :sta (vastaa stationäärisyyttä tai aiainvarianssia). Homogeenisen Marov-etjun ominaisuudet määräytyvät tilanmuutostodennäöisyysistä: ( ) = ( ) p ji p ji Ψ+ 1 Ψ (Vasen puoli lyhennetty merintä.) 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 11 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 12 6
Esimeri Marov-etjusta Siirtoreisteriprosessi (LM Kuva 3-7): Ψ X -1 X -2 X -M X z -1 z -1 z -1 z -1 Tässä X on disreettiarvoinen satunnaismuuttuja joa on riippumaton edellisistä arvoista X -1,,X -M-1. Tilasi määritellään Ψ = { X 1,..., X M } Järjestelmä toteuttaa Marov-ehdon. Kyseessä on vetoriarvoinen Marov-etju. 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 13 Symbolien esinäisvaiutus Tarastellaan symbolien ilmaisua anavassa jossa on esinäisvaiutusta. Tämä määräytyy anavan impulssivasteesta (olettaen Nyquist-riteerin toteutuvan ilman anavaa). Oletetaan että näytetaajuus on sama uin symbolitaajuus. Signaalia, jossa on symbolien esinäisvaiutusta, voidaan mallintaa homogeenisellä Marov-etjulla. Käytetään siirtoreisteriprosessia mallina (LM Kuva 9-14): X z -1 z -1 z -1 h(x,,x -J ) = g(ψ,ψ +1 ) Noise Gen. Model 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 14 z -1 S Y 7...Symbolien esinäisvaiutus Tila on ψ ={X -1,,X -M } ja signaalinäyte saadaan tilanmuutosten funtiona: S = g( Ψ, Ψ+ 1 ) missä g(.,.) on muistiton funtio. Satunnaismuuttujat X ovat riippumattomia ja niiden jaaumat ovat identtisiä. Impulssivaste h on yleensä äärellinen estoltaan ja niin on esinäisvaiutusin, eli S = M i= 0 h X i i 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 15 LM Esimeri 9-25: Tarastellaan anavaa jona impulssivaste on = δ + 05δ 1 h. Tätä voidaan mallintaa Marov-etjulla (LM Kuva 9-15): X =A z -1 X -1 =A -1 h(x,x -1 ) = X + 0.5 X -1 S N + Y 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 16 (0,0) (X,S )=(1,1) 0 1 (0,0.5) (1,1.5) Tilaaavion haaroihin on meritty tulon A =X ja lähdön S arvot (ennen ohinaa N ). Huomaa että Marov-etjun tila(vetori) on aina disreettiarvoinen, vaia järjestelmän lähtö olisiin jatuva-arvoinen. 8
Trellis-aavio Toinen esitysmuoto Marov-etjulle on trellis-aavio (trellis = ristio, säleiö). Edellisellä esimerille saadaan tällainen trellis-esitys (LM Kuva 9-17): = 0 = 1 = 2 = K-1 = K Ψ = 0 Ψ = 1 (1,1.0) (0,0.5) (X,S )=(0,0.0)...Trellis-aavio Kuin aavion jaso edustaa yhtä symbolijasoa. Kaaviossa nähdään aii mahdolliset tilat ja tilatransitiot eri hetinä aiille tulosevensseille. Kaaviolla on alutila ψ 0 = 0 ja lopputila ψ K = 0. Alutilan ja lopputilan välillä on jouo poluja. Kuin polu edustaa yhtä K:n pituista symbolisevenssiä. Polun haaroista voidaan luea vastaava signaali(sevenssi) S. Tämä olisi vastaanotettu, esinäisvaiutusta sisältävä signaali ohinattomassa tapausessa. (1,1.5) 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 17 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 18 9 Sevenssi-ilmaisin Esim. jatuva-arvoisen anavan tapausessa ilmaisimelle tulee signaali Y = S + N. Sevenssi-ilmaisin pyrii tähän havaintoon perustuen päättämään miä oli lähetetty symbolisevenssi. HUOM! Kanavan malli tunnettava (miten ohinaton signaali riippuu tilamuuttujista) Trellisaaviossa sevenssin ilmaisu vastaa oiean polun etsimistä alu- ja lopputilan välillä. Metriia ML-periaatteen muaan valitaan se polu, joa on lähinnä havaittua sevenssiä tietyn metriian muaisesti. Kun on yse summautuvasta jatuva-arvoisesta ohinasta, on etsittävä polu jolla on pienin eulidinen etäisyys (=neliövirhemitta) havaittuun sevenssiin. Kullein polulle määritellään polun mitta (path metric), joa on o. polua vastaavien signaaliarvojen ja havaitun sevenssin välinen eulidinen etäisyys. 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 19 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 20 10
Metriia Kuin trellis-aavion jaso vastaa yhtä symbolijasoa. Tämän jason havaintonäyte on Y. Kaavion eri haaroista nähdään aii mahdolliset signaali näytearvot symbolijasolla. Kullein trellis-aavion haaralle määritellään haaran mitta (branch metric): Jatuva-arvoinen Gaussin anava: eulidinen eli neliöllinen etäisyys Y -S 2 Binäärinen symmetrinen anava: Hammingin etäisyys (bittivirheiden luumäärä) d H (Y,S ) Polun mitta saadaan summaamalla haarojen mitat Sevenssi-ilmaisimen toteuttaminen ML-sevenssi-ilmaisin voitaisiin toteuttaa seuraavasti: 1) Lasetaan aiien haarojen mitat 2) Lasetaan aiien mahd. polujen ( = haaraombinaatioiden) mitat ja etsitään pienin 3) Pienintä mittaa vastaavan polun tulosymbolit muodostavat ilmaistun sevenssin Ongelma: Lasenta asvaa esponentiaalisesti sevenssin pituuden muana! 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 21 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 22 11 Viterbi-algoritmi Viterbi-algoritmi on dynaamisen ohjelmoinnin periaatteen soveltamista polun mitan minimointiongelman tehoaaseen rataisemiseen. Periaate: 1) Trellisaavio äydään läpi jaso errallaan alusolmusta loppusolmuun 2) Kussain vaiheessa tiedetään lyhimmät (= pienimmän mitan) polut alusolmusta o. jason aiiin tulosolmuihin. 3) Seuraavasi etsitään lyhimmät polut o. jason lähtösolmuihin. Nämä löydetään äymällä läpi aii haarautumisvaihtoehdot....viterbi-algoritmi Viterbi-algoritmin olennainen idea on polujen arsiminen seuraavaan sääntöön perustuen: jos lyhin polu alusolmusta loppusolmuun ulee solmun x autta, niin tämän polun mitta on ahden lyhimmmän osapolun (alusolmu-x ja x- loppusolmu) mittojen summa. => N tilan (solmun) järjestelmässä riittää N polun ja niiden mittojen tallennus globaalin minimin löytämiseen! 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 23 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 24 12
Viterbi-esimeri Viterbi-esimeri Tarastellaan Esimerin 9-25 tilannetta jossa anava on h =δ + 0.5δ -1 ja muana on summautuvaa Gaussin ohinaa. Vastaanotettu sevenssi oloon {0.2, 0.6, 0.9, 0.1}. Kaaviosta nähdään haarojen mitat ja alupolujen mitat ussain vaiheessa. Ja näin se sujuu: y -s 2 0.2-0 2 = 0.04 0.64 haaran mitta 0.04 0.64 polun mitta 0.04 0.36 0.40 0.20 = 0 0.04 = 1 0.36 = 2 0.81 = 3 0.01 = 4 Ψ = 0 0.64 Ψ = 1 0.01 0.01 0.81 0.36 Havaintoarvot: 0.2 0.6 0.9 0.1 0.04 0.36 0.01 0.36 0.41 0.04 0.01 0.37 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 25 Päätöset 0 1 0 0 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 26 13 Viterbi-algoritmin ominaisuusia Viterbi-algoritmin ullain jasolla (alua ja loppua luuunottamatta) tehdään tietty lasentatyö. Siten lasennan määrä on verrannollinen sevenssin pituuteen K. Esitetyssä muodossa Viterbi-algoritmi antaa tulosena ilmaistun sevenssin vastaun oo sevenssi on äyty läpi. Tästä aiheutuu haitallista viivettä. Osittaisrataisu voi löytyä jo aiemmin. Esim. ensimmäinen symboli selvisi jo toisen jason aiana, osa tällöin aii alupolut ulivat saman haaran autta. Viterbi-algoritmissa äy yleensä näin. Pitää sevenssiä ilmaistaessa alupolut yleensä yhtyvät. Tuntuisi järevältä päättää alupään symboleista tietyn varoajan jäleen. Kataisusyvyys Käytännössä tehdään niin, että jasoa äsiteltäessä jason -d ohdalla arsitaan pidemmät polut ja ilmaistaan vastaava symboli. Kun ataisusyvyys d valitaan riittävän suuresi, tämä ei juuri huononna lopputulosta. Tyypillinen valinta ataisusyvyydelle on n. 5 ertaa anavan impulssivasteen pituus 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 27 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 28 14
Viterbi-algoritmin äyttö Viterbi-algoritmi sopii aiiin ML-ilmaisuongelmiin joissa signaalinmuoausta voidaan mallintaa homogeenisena Marov-etjuna ohinaomponentit ovat riippumattomia (=valoista) Täreitä erioistapausia ovat ilmaisu Gaussin anavassa jossa on lisäsi esinäisvaiutusta eräiden oodausmenetelmien deoodaus (mm. onvoluutioja trellisoodaus) binäärisessä anavassa purseinen siirto häipyvässä radioanavassa (esim. GSM) 28.9.1998 Teleteniian laboratorio Sivu 29 15