Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin

Transkriptio

1 Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä niiden suunnitteluun on kehitetty runsaasti hyviä algoritmeja ja ohjelmistoja niille on olemassa hyviä toteutusrakenteita Lineaariset suodattimet soveltuvat sovelluksiin, joissa hyötysignaali ja häiriöt sijaitsevat eri taajuusalueilla. Mediaanisuodattimet ovat epälineaarisia suodattimia, joilla on seuraavia tärkeitä ominaisuuksia: hyötysignaalissa olevat terävät muutokset säilyvät suodatetussa signaalissa Digitaalinen suodatus Julius Luukko /467

2 yksittäiset pulssit (häiriöpiikit) suodattuvat kokonaan Mediaanisuodatin määritellään seuraavasti y(n) = MED[x(n k),x(n k + 1),...,x(n 1),x(n),x(n + 1),...,x(n + k)], MED tarkoittaa parametrina olevan joukon mediaania eli suuruusjärjestyksessä keskimmäistä alkiota. Jos alkioita on parillinen määrä, on mediaani kahden järjestyksessä keskimmäisen alkion keskiarvo. Digitaalinen suodatus Julius Luukko /467

3 Mediaanisuodattimien ominaisuudet 1. Jos x( k) x( k + 1)... x(0)... x(k 1) x(k), niin MED[x( k),...,x(0),...,x(k)] = x(0) (sekvenssin pituus on 2k + 1 eli pariton). 2. Jos x( k) x( k + 1)... x(0)... x(k 1), niin MED[x( k),...,x(0),...,x(k 1)] = (x( 1) + x(0))/2 (sekvenssin pituus on 2k eli parillinen). 3. Jos funktio g(x) on monotoninen, niin MED[g(x(1)),..., g(x(2k + 1))] = g(med[x(1),...,x(2k + 1)]). 4. MED[k{x(n)}] = k MED[{x(n)}]. 5. Mediaanioperaatio on epälineaarinen. 6. Mediaani y joukolle {x(1), x(2),..., x(n)} minimoi erotusten itseisarvojen summan N i=1 x(i) y. 7. Mediaanisuodatin, jonka ikkunan leveys on N näytettä, viivästää signaalia (N 1)/2:n näytteen verran (vrt. lineaarivaiheinen FIR-suodatin). Digitaalinen suodatus Julius Luukko /467

4 8. Mediaanioperaatio ei pyöristä reunoja signaaleissa, jotka koostuvat paloittain vakioarvoisista alueista, joita erottavat monotoniset muutosalueet, edellyttäen, että vakioarvoalueet ovat pitempiä kuin puolet mediaanin ikkunan pituudesta. 9. Mediaanisuodatin seuraa tarkasti signaaleja, jotka ovat matala-asteisia polynomeja. Kuitenkin, mitä pitempi ikkuna on, sitä enemmän myös matala-asteiset polynomit muuttuvat. 10. Mediaanisuodatin poistaa signaalissa esiintyvät pulssit, jotka ovat lyhyempiä kuin puolet mediaani-ikkunan pituudesta. Digitaalinen suodatus Julius Luukko /467

5 Mediaanisuodattimien ominaisuudet (jatkuu) Mediaanisuodatin epälineaarinen ei voi määritellä taajuusvastetta samaan tapaan kuin lineaarisille suodattimille Yleensä mediaanisuodattimia käytettäessä ollaan enemmän kiinnostuneita suodattimen aikatason ominaisuuksista. Mediaanisuodatuksen toteutus ei vaadi kerto- ja yhteenlaskuja, kuten lineaariset suodattimet perustuu lajitteluun ja vertailuun Lajittelu on työlästä, jos mediaani-ikkuna on leveä. Digitaalinen suodatus Julius Luukko /467

6 Lineaari-mediaanihybridisuodatin (LMH) Lajittelutyötä helpottamaan on kehitetty muunnelma standardimediaanisuodattimesta (SM), ns. lineaari-mediaanihybridisuodatin (LMH): LMH-suodattimissa mediaani lasketaan pienestä joukosta alisuodattimien ulostuloja MedHybr(X 1,X 2,...,X N ) = MED{F 1 (X 1,X 2,...,X N ),...,F M (X 1,X 2,...,X N )} missä suodattimet F 1 ( ),...,F M ( ) ovat lineaarisia suodattimia Tällöin tarvitaan vain kapea mediaani-ikkuna (3 tai 5 näytettä), vaikka koko LMH-suodattimen ikkuna on leveä. x(n) H 1 (z) H n 1 (z) H n (z) MED[ ] y(n) Digitaalinen suodatus Julius Luukko /467

7 Alisuodattimet ovat lineaarisia suodattimia. Näiden ominaisuudet määräävät osittain koko LMH-suodattimen ominaisuudet. LMH-suodattimilla on useita aliluokkia esim. FIR-mediaanihybridisuodattimet (FMH). FMH-suodattimissa alisuodattimet ovat FIR-tyyppisiä. Yksinkertaisimmillaan FIR-alisuodattimet ovat liukuvan keskiarvon suodattimia. esim. H 1 (z) = z M M H 2 (z) = z M [ z M + z M z 1] = 1 M [ 1 + z z M+1] H 3 (z) = z M M [ z 1 + z z M] = 1 M [ z M 1 + z M z 2M] Digitaalinen suodatus Julius Luukko /467

8 Painotettu mediaanisuodatin Perusmediaanisuodattimessa kaikki ikkunan arvot ovat samanarvoisia Tämä aiheuttaa mm. kuvansuodatuksessa pienten yksityiskohtien katoamista Pääsyy tähän on ajallisen (tai tila-) järjestyksen hylkääminen Mediaanisuodattimelle saadaan uusia ominaisuuksia painottamalla ikkunan sisällä olevia näytteitä eri tavoin painotetaan esim. nykyhetken arvoa enemmän kuin muita painotettu mediaanisuodatin (weighted median filter) Painotetun mediaanisuodattimen lähdon muodostamiseksi moninkertaistetaan jokainen tulosignaalin arvo a i kertaa Merkitään moninkertaistamisoperaatiota :lla: r x = x,...,x } {{ } r kertaa Digitaalinen suodatus Julius Luukko /467

9 Tätä merkintää käyttäen voidaan esittää esim. lukujono {1,1,1,2,3,3} = {3 1,2,2 3} Painotetun mediaanisuodattimen lähtö on silloin WeightMed(X 1,X 2,...,X N ; a) = MED{a 1 X 1,a 2 X 2,...,a N X N } Toinen määritelmä mahdollistaa positiiviset ei-kokonaislukukertoimet: WeightMed(X 1,X 2,...,X N ; a) = argmin β N i=1 a i X i β ts. joukon (X 1,X 2,...,X N ; a) painotettu mediaani on arvo β, joka minimoi funktion N a i X i β i=1 Digitaalinen suodatus Julius Luukko /467

10 Rekursiivinen mediaanisuodatin Edellä esitellyt mediaanisuodattimet ovat käyttäneet mediaanin laskentaan vain tulosignaalin arvoja Mediaanisuodatin voidaan myös modifioida rekursiiviseksi RecMed(X 1,X 2,,X N ) = MED{Y 1,Y 2,...Y k,x k+1,...,x N } Digitaalinen suodatus Julius Luukko /467

11 Katkaistu keskiarvo -suodatin Katkaistun keskiarvon suodattimen (trimmed mean filter) idea on sama kuin esim. mäkihypyn tuomaripisteissä: jätetään suurin ja pienin huomiotta Yleisesti katkaistu keskiarvo voidaan määritellä seuraaavasti: TrMean(X 1,X 2...,X N ;r,s) = N s 1 N r s X i i=r+1 missä näytteet on järjestetty suuruusjärjestyskeen X 1 < X 2... < X N ja hylätään r pienintä ja s suurinta näytettä (ns. (r, s)-fold trimmed mean) Variaatio tästä on ns. Winsorized mean, jossa r pienintä näytettä korvataan X r+1 :llä ja s suurinta X N s :llä: WinMean = (X 1,X 2...,X N ;r,s) = 1 N ( rx r+1 + ) N s X i + sx N s i=r+1 Digitaalinen suodatus Julius Luukko /467

12 Ominaisuudet: Mitä vähemmän arvoja jätetään pois, sitä lähempänä suodatin on liukuvan keskiarvon suodatinta Mitä enemmän arvoja jätetään pois, sitä lähempänä suodatin on mediaanisuodatinta Digitaalinen suodatus Julius Luukko /467

13 Mediaanisuodattimien ohjelmallinen toteuttaminen Lajitteluoperaatio on aikaa vievä operaatio verrattuna esim. LTI-järjestelmän toteuttamiseen Lajitteluun on kehitetty useita algoritmeja, mm. kuplalajittelu (O(n 2 )) Quicksort (O(nlog 2 n)) Heapsort AHU (Aho, Hopcroft, Ullman) Algoritmeille löytyy monia erilaisia toteutuksia, erona mm. muuttaako alkuperäisen datan järjestystä, vai vaaditaanko lajittelua varten lisätilaa rekursio (esim. Wirthin ei-rekursiivinen toteutus AHU-algoritmista) Digitaalinen suodatus Julius Luukko /467