SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2

Transkriptio

1 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2 Miten spektri lasketaan moduloiduille ja näytteistetyille tietoliikennesignaaleille?

2 KONVOLUUTIO JA KERTOLASKU 2 Kantataajuussignaali (baseband) = sanomasignaali ilman modulaatiota Kaistanpäästösignaali (bandbass) = kantoaaltoon moduloitu sanoma. Laskettaessa moduloitujen signaalien spektrejä, tarvitaan perussääntöjä: kertolasku aika-alueessa konvoluutio taajuusalueessa konvoluutio aika-alueessa kertolasku taajuusalueessa Konvoluutiointegraali kahdelle signaalille: + ( t) x t = 2( ) x1 ( τ ) x2 x ( t τ ) dτ 1 Suodatin (lineaarinen järjestelmä) laskee tulosignaalin ja impulssivasteen välisen konvoluution. Lineaarisille järjestelmille voidaan aina soveltaa superpositioperiaatetta Fourier-analyysissä.

3 KONVOLUUTIO GRAAFISESTI 3 + 1( t) x2( t) = x1( τ ) x2 x ( t τ ) dτ

4 KONVOLUUTIO GRAAFISESTI (S) 4 + 1( t) x2( t) = x1( τ ) x2 x ( t τ ) dτ

5 FUNKTION SIIRTO VAAKA-AKSELILLA 5 Moduloitujen signaalien spektrien esittämisessä tarvitaan usein ns. funktionsiirto-ominaisuutta. Konvoluutio sanoman ja kantoaallon spektrien välillä aiheuttaa sanomasignaalin spektrin siirtymisen nollataajuuden ympäristöstä positiiviselle ja negatiiviselle kantoaaltotaajuudelle ja samalla amplitudispektrin kertomista luvulla ½. Siirto-ominaisuutta tarvitaan mm. DSB/AM/SSB/VSB-modulaatioilla. y=f(x) 0 x y=f(x +x 0 )=f(x x 0 ) y=f(x- -x 0 )=f(x+x 0 ) x x -x 0 0 x 0 -x 0 0 x 0

6 FOURIER-MUUNNOKSEN OMINAISUUKSIA (S) 6 Spektrin laskennassa on usein hyödyllistä superpositio-oletuksen voimassaolo (lineaarisilla järjestelmillä), sillä muuten laskenta vaikeutuu merkittävästi. DSB-modulaatio

7 FOURIER-MUUNNOSPAREJA (S) 7 Muista Muista

8 FOURIER-MUUNNOSPAREJA GRAAFISESTI 8 Reaalitasossa Esim. AWGN-kohinan ACF ja PSD ovat Fouriermuunnospareja. Imaginääritasossa

9 ASKELFUNKTION SPEKTRI (S) 9 Imaginääritasossa DC-komponentti

10 RECT- JA SINC-FUNKTIOT ERI MUUNNOSALUEISSA 10 Opetus: Signaali ei voi olla samanaikaisesti sekä aikarajoitettu että taajuusrajoitettu. Pyrittäessä äärellisen kaistanleveyden signaaleihin joudutaan käyttämään äärettömän kestoisia signaaleja. Signaaliteoriassa ehto: t B 1/2π Vrt. Heisenbergin epätarkkuusperiaate fysiikassa, joka ilmaisee, ettei hiukkasen paikkaa ja nopeutta (tarkemmin impulssimomenttia p = m v) voida mitata samanaikaisesti mielivaltaisen tarkasti, ts. x v h/2π. Katkaistun kosinin spektri on kapea sinc-funktio eikä impulssi

11 KOSINIAALLON JA KATKAISTUN KOSININ SPEKTRIT 11 Ikkunointi leventää kosinin spektriä ikkunan spektrin mukaisesti. Nähdään, että digitaalisessa tiedonsiirrossa kaistanleveys kasvaa bittinopeuden kasvaessa (T B lyhenee) kantoaaltomodulaatiolla.

12 KOMPLEKSIARVOINEN 3D-SPEKTRI DSB-moduloitu signaali: x( t) = sin c(100t )cos(2π 200t + θ ) 12 Alkuvaihekulma θ kosinin sisällä näkyy vain näiden reunajämien pyörähtämisenä toiseen asentoon, ts. se vaikuttaa vain vaihespektriin, eikä amplitudispektriin. Laskenta helpoiten Matlabin FFT-algoritmilla.

13 2D-AMPLITUDISPEKTRI 13 Amplitudispektri on parillinen funktio (symmetrinen y-akselin suhteen). Huomaa FFT:n laskennassa katkaisun vuoksi syntyvä Gibbsin ilmiö ( Batmanin korvat ).

14 2D-VAIHESPEKTRI 14 Vaihespektri on pariton funktio (symmetrinen suoran y = x suhteen).

15 GIBBSIN ILMIÖ (S) 15 Signaalin katkaisun (aikaikkunoinnin) vaikutus spektriin näkyy Gibbsin oskillaatioilmiönä (johtuu Fourier-sarjan epätasaisesta konvergenssista epäjatkuvuuskohdassa). Asiaan ilmenee signaalinkäsittelyssä.

16 NYQVISTIN NÄYTTEENOTTOTEOREEMA 16 Analogisten ja digitaalisten pulssimodulaatioiden, sekä DSP:n yhteydessä operoidaan näytteistetyillä signaaleilla. Nyqvistin näytteenottoteoreeman mukaan näytteitä on otettava vähintään kaksinkertaista kaistanleveyttä vastaavalla nopeudella. Laskostumisvirheen (aliasing) välttämiseksi siis f s 2W, missä W = kantataajuisen informaation kaistanleveys.signaali on tuolloin palautettavissa näytteistä tarkasti takaisin analogiseen muotoonsa ideaalisella alipäästösuodattamalla, jonka kaistanleveys on W.

17 NYQUISTIN NÄYTTEENOTTOTEOREEMA 17 Ideaalisen LPF:n impulssivaste on sinc-funktio, joka määritellään sinc(x)=sin(πx)/πx, ja vastaava siirtofunktio on suorakaiteen muotoineen rect-funktio, jonka kannan leveys on 2W. LP-suodattimeen viedyt näytearvoilla painotetut impulssit aiheuttavat suodattimen lähtöön impulssivasteiden, siis sinc-funktioiden summan, joka on sama kuin alkuperäinen analogiasignaali. s( t) = n= s 2 n W n sin 2πW t 2W n 2πW t 2W

18 LASKOSTUMISEN (ALIASING) SYNTYMINEN 18 Alias näytteenotosta johtuvaa, suodatus ok Alias LP-suodattimen epäideaalisuudesta johtuvaa, näytteistys ok

19 LASKOSTUMISEN (ALIASING) SYNTYMINEN (S)

20 PERIODINEN JA NÄYTTEISTETY SIGNAALI 20

21 KERTOLASKUN JA KONVOLUUTION KÄYTTÖ 21 Opetus: Aikakatkaistun (aikaikkunoidun) kosinin spektri levenee, eli oheisessa kuvassa impulssifunktio muuttuu kapeaksi sinc-funktioksi. Mitä leveämpi aikaikkunafunktio on, niin sitä impulssimaisempi spektri on.