Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology
|
|
|
- Risto Toivonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Helsii Uiversity of Tecology Laboratory of Telecommuicatios Tecology S-38. Sigaaliäsittely tietoliieteessä I Sigal Processig i Commuicatios ( ov) Sysy Lueto: Kaavaorjaimet I prof. Timo Laaso Vastaaotto torstaisi lo 0- Huoe G0, pu Säöposti: timo.laaso@ut.fi Misi lieaarisia aavaorjaimia? Viimesi äsiteltii optimaalista sevessi vastaaottoa (MLSD) ja se (approsimatiivista) toteutusta Viterbialgoritmilla MLSD ja Viterbi ovat epälieaarisia datariippuvia algoritmeja Viterbi-algoritmi äyttö o uitei aalaa u Kaava impulssivaste o pitä (omplesisuus) Kaava muuttuu opeasti (aava estimoiti vaieaa, eiä pysy samaa sevessi pituude aja) Optimaalie lieaarie vastaaoti (orjai) o usei elpompi toteuttaa ja taaa riittävä yvä suoritusyvy Teleteiia laboratorio Sivu Kaavaorjaimet Tällä lueolla tutustumise oteea ovat Lieaarie ollaapaottava orjai (liear zero-forcig equalizer, LE-ZF) Taaisiytetty ollaapaottava orjai (decisio-feedbac zero-forcig equalizer, DFE-ZF) Tomliso-Harasima -esioodaus Seuraavalla lueolla jatetaa aieea Lieaarie eliövireorjai (liear mea squared error equalizer, LE-MSE) Taaisiytetty eliövireorjai (decisio-feedbac MSE equalizer, DFE-MSE) Myöemmi tarastellaa orjaimie adaptiivisia toteutusia Teleteiia laboratorio Sivu 3 Z-siirtofutioista Tarastellaa yleistä stabiilia ratioaalista z-siirtofutiota H(z) joa voi olla esim. aava disreettiaiaie malli. O usei yödyllistä esittää se seuraavalaisea ajotelmaa L H( z) = B z H ( z) H ( z) Hzero( z) ( 44. ) mi missä B o vaioerroi L o vaioviive H mi o miimivaieie teijä H max o masimivaieie teijä ja H zero sisältää ysiöympyrällä olevat ollat. max Teleteiia laboratorio Sivu 4
2 ...Z-siirtofutioista Miimivaieie teijä o muotoa M ( cz = Hmi( z) = ' c, d < ( 45. ) ( dz N = eli ollat ja avat ovat ysiöympyrä sisäpuolella. Masimivaieise teijä ollat ja avat ovat vastaavasti ysiöympyrä ulopuolella, eli I ( fz H ( max z ) = = ' f, g < ( 47. ) J ( gz = Teleteiia laboratorio Sivu 5...Z-siirtofutioista ja ysiöympyräollatermi o muotoa K ( ) Hzero( z) = e z, e = ( 46. ) = Heijastettu siirtofutio: Jos sevessi z-muuos o M muotoa ( cz r = H( z) = Az ( 33. ) N dz ( = ii sevessi - * (peilattu ja ojugoitu - tämä o omplesi arvoise sevessi sovitettu suodati!) z-muuos o ( ) M cz r = H ( / z ) = Az ( 5. ) N ( dz = Teleteiia laboratorio Sivu Z-siirtofutioista Z-siirtofutiosta päästää taajuustaso esitysee (spetrii) pysymällä ysiöympyrällä z=e (ω ulmataajuus, T äyteväli): He ( ) = Hz ( ) z= e j ω T Heijastetu siirtofutio spetri saadaa suoraa ojugoimalla aluperäise sevessi spetri: H ( / z ) = H ( e ) z= e eli pätee H( z) H ( / z ) = H( e ) j T z= e ω Teleteiia laboratorio Sivu 7 Teospetri siirtofutioesitys Tarastellaa amplitudiltaa ormaalijaautuutta mutta värillistä oiaa jolla o (z-taso) teospetri S (z). Teospetri o aia ei-egatiivie ysiöympyrällä z=e jω : S ( e ) = H( e ) z-taso teospetri voidaa aia esittää ajotelmaa S ( z) = A G ( z) G ( / z ) missä A o saalausvaio ja G (z) o miimivaieie: ( cz = G ( z) = ' c, d < ( dz = Teleteiia laboratorio Sivu 8 4
3 Värillie oia Teospetri muoaus G (z) o lisäsi mooie, eli se sarjaeitelmä termi z -0 erroi o saalattu yösesi G (z): avat ja ollat ovat ysiöympyrä sisällä ja suodita vastaava stabiili impulssivaste o ausaalie. G * (/z * ): stabiili impulssivaste o tämä peiliuva ja siis atiausaalie. Ysiöympyrällä pätee lisäsi jω jω S ( e ) = A G ( e ) Oletetaa että ollia ei ole ysiöympyrällä. Tällöi myös /G (z) o ausaalie ja stabiili Teleteiia laboratorio Sivu 9 x H(z) Ku disreetti sigaali x (teospetri S x (z) ) suodatetaa lieaarisella suotimella H(z) (impulssivaste, suotime ulostulo spetri o Sy( z) = H( z) H ( / z ) Sx( z) Sy ( e ) = H( e ) Sx ( e ) Ku alutaa muoata sigaali teospetriä, o löydettävä (joi) siirtofutio H(z) joa jotaa aluttuu spetrii Lyeysmeritä: H( z) H ( / z ) H( z) Teleteiia laboratorio Sivu 0 y 5 Valaiseva suodati Suoritetaa edellä äsitelly värillise oiasevessi valaisu: Suodatetaa miimivaieisella teijällä /A G :lla Suodatetu oia teospetrisi saadaa S S ( e ) ( e ) = S e j T ( ) = = ω e j T ( ) ω ( e ) Spetri o siis vaio eli oia o valoista, iiui pitii Myös masimivaieisella teijällä suodattamie ataa sama teospetri, osa teospetri ei uomioi sigaali vaietta Teleteiia laboratorio Sivu x(t)=a δ(t-t s ) TC (t) Valaistu sovitettu suodati (WMF) (t) y(t) MF R (t)= TC (-t) t=t s z(t) Sovitetu suotime (MF) ulostulooia valaisu: Koia teospetri o TC S ( z) = H ( z) S ( z) = A G ( z) G ( / z ) N * ( / z) Suodatetaa masimivaieteijä ääteissiirtofutiolla (syy orjaitoteutusessa, palataa myöemmi!) WF = ( / z ) Teleteiia laboratorio Sivu 0 WF 6
4 Nollaapaottava orjai Nollaapaottava orjaime idea o ysiertaie: valitaa sellaie vastaaottosuodati joa umoaa aava aieuttama lieaarise vääristymä ja paottaa esiäisvaiutuse ollasi Suodattimessa voidaa äyttää WMF-suodita esiasteea, tai olla äyttämättä. Katsotaa molemmat tapauset. Oletuset: disreetti sigaali (äytteytys symbolitaajuudella) evivaletti disreetti aava o ausaalie evivaletti disreetti oia o valoista Gaussi oiaa Teleteiia laboratorio Sivu 3...Nollaapaottava orjai (t) WMF * ( / z) TC (t) R (t)= TC (-t) t=t s x(t)=a δ(t-t s ) y(t) z(t) S () z Kuva raee (LM 0-3: muaa) sisältää ydistety läetys- ja aavasuotime TC (t) = T (t)*c(t) AWGN-oialätee (t) sovitetu suotime R (t) = TC (-t) (reaaliarvoie!) disreeti valaisusuotime / A G * (/z * ) aavaorjaime jäliosa / G (z) G( z) Teleteiia laboratorio Sivu Nollaapaottava orjai...nollaapaottava orjai (t) TC (t) t=t s /H TC (z) H z TC( ) x(t)=a δ(t-t s ) y(t) Korjai x =a δ Edellie uva o seava, osa WMF-esiaste moimutaistaa asioita! Tässä ysiertaisempi raeeuva, jossa o: ydistetty läetys- ja aavasuodi TC (t) = T (t)*c(t) AWGN-oialäde (t) aavaorjai /H TC (z), joa o äytteistety läetys- ja aavasuotime ääteissuodi Molemmat edelliset osittai jatuva-aiaiset järjestelmämallit voidaa pelistää ylläoleva disreettii mallii (modifioitu uvasta LM 0-3) joa sisältää disreeti AWGN-oialätee oiavärjäyssuotime /H TC (z), joa o suoraa orjaime siirtofutio Teleteiia laboratorio Sivu Teleteiia laboratorio Sivu 6 8
5 Nollaapaotusorjaime omiaisuusia Korjaime lädössä sigaaliäytteet ovat samat ui läettimessä (ei ISIä). Koiaspetri o sesijaa muuttuut: N0 N0 SV () z = = S () z H () z (Huom. tässä reaaliarvoie oia toisi ui irjassa => aoe äviää) Mitä tapatuu u läeti-aava taajuusvasteessa o ollia (tai muute vai voimaasta vaimeusta)? Lieaarise ollaapaottava orjaime ogelma o juuri oia vavistumie TC Esimeri LM 0-5 Tarastellaa jatuva-aiaista vastaaotettua pulssia at () t = σ ae u() t TC (Esimeristä 7-0). Disreeti sevessi autoorrelaatiofutiosi saadaa ρ ( ) = σ α, α = e Tämä z-muuosella saadaa pulssi teospetrisi σ ( α ) S() z = HTC() z = ( αz )( αz) at Teleteiia laboratorio Sivu Teleteiia laboratorio Sivu Esimeri LM 0-5 Kääteissuotime teospetri o siis S z z z z z = = + ( α )( α ) α α( () + ) σ ( α ) σ ( α ) Teleteiia laboratorio Sivu 9 ( 0. 3) Koia variassi saadaa teospetri itegraalia (= aritm. esiarvo!) N 0 + α σ v = N0 S ( z) = A σ α Mitä tapatuu u parametri α läestyy yöstä? Esimeri LM 0-6 Nyt oletetaa aavassa vääristyeesi pulssimuodosi TC (t) = 0 (t) + α 0 (t - T) (Esimeristä 7-; pulssi 0 (t) eergia = σ 0 ). Nyt aava o asitappie FIR ja se teospetri o ( + αz )( + αz) S () z = σ ( + α ) eli edellise aava ääteisarvo. Kääteissuotime teospetri o yt muotoa S z = + α () σ ( + αz )( + αz) (HUOM! Kirja aavassa merivire!) Koia variassi o: N 0 + α σv = N0 S () z = A σ α Eli sama ui edellä! Jotopäätöset? Napa tai olla aavassa ytä aitallie orjaime aalta! Teleteiia laboratorio Sivu 0 0
6 Päätöstaaisiytetty orjai Edellä tarasteltii lieaarista ollaapaottavaa orjaita. Se perusogelma o oiavavistus joa jotuu tarvittavasta ääteissiirtofutiosta (reursiivie osa) Uude orjairaetee löytämisesi muoataa WMF: jäleistä osaa seuraavasti: = G () z ( G ()) z...päätöstaaisiytetty orjai LM Kuva 0-4(a,b): Päätöstaaisiytety orjaime joto (Huom! G (z) sis. läetyspulssi, aava ja WMF:, Kuva 0-3) G (z) G (z) z -G (z) Tämä voidaa toteuttaa taaisiytetäraeteella joa taaisiytetäsilmuassa o siirtofutio (-G (z)). Modifioitu raee o esitetty Kuvassa 0-4a: TC(t) MF R(t)= TC(-t) WF * (/ z) -G (z) postursoriorjai Teleteiia laboratorio Sivu preursoriorjai Teleteiia laboratorio Sivu...Päätöstaaisiytetty orjai Pulssimuodot ed. uva raeteessa ) MF: jälee: ) WF: jälee: - 0 ρ () precursor ISI postcursor ISI postcursor ISI Kuva 0-4 raeteessa voidaa erottaa preursori- ja postursorisuodati. Preursori suodattaa tulevia symboliäytteitä ja poistaa iistä ISIä (precursor ISI, esi- ISI ), u taas postursori poistaa vaoje symbolie aieuttamaa ISIä (postcursor ISI, jäli-isi ) - ja vavistaa samalla oiaa! Teleteiia laboratorio Sivu 3 g, Päätöstaaisiytetty orjai Preursori ( = valaisusuodati) ompesoi ei-ausaalise osa pulssi vasteesta, se taia se o masimivaieie Postursori perustaa ISI poisto preorsori atamii pemeisii päätösii jota sisältävät oiaa => oeillaa päätöseteo varetamista taaisiytetäsilmua sisälle! Raee o stabiili ja ausaalie osa G (z) o miimivaieie (u ei ollia ysiöympyrällä). Ei viiveetötä taaisiytetäsilmuaa, osa G (z) o mooie ja (- G (z)) sisältää site aia yde viivee Teleteiia laboratorio Sivu 4
7 ...Päätöstaaisiytetty orjai Saatu raee o päätöstaaisiytetty orjai (Decisio- Feedbac Equalizer, DFE), joa perusidea esitti Austi 967 (s. Kuva 0-4b) DFE-ZF: toimita: Koiato tapaus: ei muutosta li. orjaime toimitaa Koiaie tapaus: päätöseteo leiaa oia ja elimioi se vavistumise taaisiytetäsilmuassa...päätöstaaisiytetty orjai DFE-raetee suoritusyy määräytyy päätöseteo iputi oiateosta, joa o sama ui precursor-osa (WMF) ulostulooia: σ v = N A 0 DFE-orjai sijoittuu suoritusyvyltää lieaarise orjaime ja Viterbi-ilmaisime (MLSD) välii. Toteutus ei ole juuri LEorjaita moimutaisempi mutta suoritusyy o läellä MLSD:tä Teleteiia laboratorio Sivu Teleteiia laboratorio Sivu 6 3 Vireide eteemie Edellie tarastelu pätee tarasti ottae vai sillä oletusella, että aii päätöset ovat oieita ja taaisiytetäosa poistaa postcursor-isi ideaalisesti. Jos vireitä sattuu, vireet eteevät ja aieuttavat uusia vireitä - loputtomii????? Voidaa osoittaa (LM Appedix 0-A), että vireide eteemie loppuu aia u tedää N (reursio asteluu) oieaa päätöstä perääi, ja että äi tapatuu esimääri K symboli uluessa. K: esimääräisesi arvosi voidaa jotaa N K = ( )...Vireide eteemie Kesimääräisesi viretodeäöisyydesi saadaa tällöi N Pe = Pe, 0 eli verrattua ideaalisee tilateesee (viree eteemistä ei uomioida) viret o N -ertaie. Pieillä N: arvoilla tällä ei ole suurta meritystä Teleteiia laboratorio Sivu Teleteiia laboratorio Sivu 8 4
8 DFE-orjaime äyttö DFE-orjai o äytössä moissa sovellusissa, mm. modeemeissa, osa se parataa selvästi lieaarise orjaime suoritusyyä miimaalisi lisäustausi. Ku vireide eteemie voidaa pitää urissa (riittävä lyyt reursiosuodati ja piei viret), se äyttö o varteeotettava vaitoeto. O uitei syytä uomata, että DFE vaatii välittömät päätöset taaisiytetäsilmuassa. Tämä estää äytäöllisesti atsoe ooaa vireeorjaava oodause äytö, sillä oodause puru vaatii yleesä usea symbolijaso viivee. Ku DFE:tä äytetää, o siis pidettävä uoli siitä että aiaasaatu symboliviret o riittävä piei - oodausella sitä ei eää voi parataa. Tomliso-Harasima -esioodaus Ilma vireide eteemistä ja oodausogelmia DFE olisi iateellie orjai. Mite ämä ogelmat voitaisii poistaa? Rataisu: siirretää reursiivie osa läettimee jossa o vireetö tieto läetettävistä symboleista (LM Fig. 0-9a): -G (z) G (z) Teleteiia laboratorio Sivu Teleteiia laboratorio Sivu 30 5 TH -esioodause edut Esioodause etuja: Ku oletetaa WMF-esiaste, vastaaottime päätöseteossa oia o valoista ja oiavavistus o poissa. Tämä jotuu siitä että tarvittava sigaali esiorostus tedää jo läettimessä ee ui oia summautuu aavaa Ei vireide eteemistä => pieempi viret ui DFE:llä Uusia ogelmia: Esiorjaime ertoimet (jota riippuvat aavasta) o estimoitava vastaaottimessa ja läetettävä läettimee Esisuodatus yleesä asvattaa sigaali amplitudia => vaadittava läetysteo asvaa! TH -esioodause toteutus TH-esioodause läetysteo-ogelma voidaa rataista modulo-oodausella (taremmi irjassa LM ss ) TH-esioodaus sopii äytettäväsi u aava muuttuu riittävä itaasti (estimoiti ja ertoimie läetys madollista) alutaa parataa DFE: suoritusyyä vireeorjaavalla oodausella Ysi esimeri TH-esioodause soveltamisesta ovat V.34- tyyppiset puelivero modeemit. Niissä o esioodause lisäsi äytössä adaptiivie lieaarie orjai vastaaottime puolella, joa seuraa opeita aava vaiteluita Teleteiia laboratorio Sivu Teleteiia laboratorio Sivu 3 6
Helsinki University of Technology
Helsiki Uiversity of Tecology Laboratory of Telecommuicatios Tecology S-38. Sigaalikäsittely tietoliiketeessä I Sigal Processig i Commuicatios ( ov) Syksy 997 4. Lueto: Kaavakorjaimet I prof. Timo Laakso
Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology
Helsii Uiversity of Techology Laboratory of Telecommuicatios Techology S-38. Sigaaliäsittely tietoliieteessä I Sigal Processig i Commuicatios ( ov) Sysy 998 9. Lueto: Kaava apasiteetti ja ODM prof. Timo
Helsinki University of Technology
Helsiki Uiversity of Techology Laboratory of Telecommuicatios Techology S-38. Sigaalikäsittely tietoliiketeessä I Sigal Processig i Commuicatios ( ov) Syksy 997 9. Lueto: Kaava kapasiteetti ja ODM prof.
BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 11 Kari Kärkkäinen Syksy 2015
BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS 536A Tietoliienneteniia II Osa Kari Käräinen Sysy 5 Kantataajuusjärjestelmä lähettää ±A -tasoisia symboleita T:n välein. Optimaalinen vastaanotin
Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Usea selittää lieaarie regressiomalli Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, evät 007 8. lueto: Usea selittää lieaarie regressiomalli Selitettävä muuttua havaittue arvoe vaihtelu halutaa selittää selittävie
DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.
Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.
Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology
Helsini University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology Kertausta: AWGN-anava n(t) S-38.211 Signaalinäsittely tietoliienteessä I Signal Processing in Communications (2 ov) Sysy 1998
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg
Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou
Ortogonaalisuus ja projektiot
MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria
Kiinteätuottoiset arvopaperit
Mat-.34 Ivestoititeoria Kiiteätuottoiset arvopaperit 6..05 Lähtöohtia Lueolla tarasteltii tilateita, joissa yyarvo laseassa äytettävä oro oli aettua ja riippuato aiaperiodista Käytäössä orot äärittyvät
DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
Helsinki University of Technology
Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology S-38.11 Signaalinkäsittely tietoliikenteessä I Signal Processing in Communications ( ov) Syksy 1997. Luento: Pulssinmuokkaussuodatus
9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan
3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa
Helsinki University of Technology
Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology S-38.211 Signaalinkäsittely tietoliikenteessä I Signal Processing in Communications (2 ov) Syksy 1997 3. Luento: Optimaalinen
[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
![[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.](/thumbs/70/63966855.jpg "[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.")
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
tasapainotila saavutetaan kun vuo aukon läpi on sama molempiin suuntiin
S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH, Rataisut LHSf-* Kaasusäiliö o jaettu ahtee osaa, joide välisee eristävää seiämää o tehty iei ymyrämuotoie auo, joa halaisija o D Säiliö molemmissa osissa o helium aasua
9. Ominaisarvot. Diagonalisointi
55 9 Omiaisarvot Diagoalisoiti Joaisee matriisii liittyy jouo sille omiaisia luuja, s omiaisarvoja, joista oostuu matriisi "spetri" ämä vaatii uitei luualuee laajetamista omplesiluuihi Jatossa matriisit
6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia
6 Lineaarisen ennustusen sovellusia Lineaarisella ennustusella on hyvin täreä asema monessa puheenäsittelyn sovellusessa. Seuraavassa on esitetty esimerejä siitä miten lineaarista ennustusta voidaan hyödyntää.
Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
, sanotaan niiden sääntöjen ja menetelmien kokonaisuutta, joilla otos poimitaan määritellystä perusjoukosta.
Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) TEKIE YTEEVETO I Otata-asetelmat ja estimoitiasetelmat Perusjouo ja muuttujat Äärellie perusjouo U = {,...,,..., } Tulosmuuttuja y tutemattomat arvot Y,,Y,,Y
q =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2.
Luuteoria I Harjoitusia 2009 1 Osoita, että (a x = x x R, (b x x< x +1 x R, (c x + = x + x R, Z, (d x + y x + y x, y R, (e x y xy x, y R 0 2 Oloot a, b, q, r Z ja a = qb + r, 0 r< b Näytä, että a a q =,
1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot
Digitaalie sigaalikäsittely Sigaalit, joot Teemu Saarelaie, teemu.saarelaie@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Sigal Processig: A Practical Approach H.Huttue, Sigaalikäsittely meetelmät, Opitomoiste,
ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:
10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)
Kirjoitetaan FIR-suotimen differenssiyhtälö (= suodatuksen määrittelevä kaava):
TL536, DSK-algoritmit (S4) Harjoitus. Olkoo x(t) = cos(πt)+cos(8πt). a) Poimi sigaalista x äytepisteitä taajuudella f s = 8 Hz. Suodata äi saamasi äytejoo x[] FIR-suotimella, joka suodikertoimet ovat a
1. Ominaisarvot. Diagonalisointi
MA-45 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 8 Kertaamme Lama :ssa esitettyä omiaisarvoteoriaa, erityisesti - ulotteisissa avaruusissa ulemme tarvitsemaa äitä Lama 5:ssa differetiaaliyhtälöitä
4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
Luento 5. tietoverkkotekniikan laitos
Lueto 5 Lueto 5 Näytteeotto ja DFT 5. Näytteeotto Nyquisti äytteeottoteoreema Oppeheim 7.,7. Aliasoitumie Oppeheim 7.3 Jatuva aiaise sigaali äsittely disreetissä ajassa Oppeheim 7.4 5. DFT Disreetti F
Tehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2
Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista
Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN
SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan
TL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) TTE2SN4X/4Z, TTE2SN5X/5Z Välikoe 1, ratkaisut
TL536DSK-algoritmit (J. Laitie) 4. - 5..4 TTESN4X/4Z, TTESN5X/5Z Välikoe, ratkaiut a) Maiite väitää kaki digitaalite FIR-uotimie etua verrattua IIR-uotimii. b) Mite Reme-meetelmällä uuitellu FIR-uotime
(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
8. Ortogonaaliprojektiot
44 8 Ortogoaaliprojetiot Avaruus R o eemmäi ui pelä vetoriavaruus, osa siiä o mahdollisuus määritellä vetoreide pituus, välie ulma ja erityisesti ohtisuoruus ähä päästää ottamalla äyttöö vetoreide välie
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
i ni 9 = 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, k k
1. Neljä tuistettavissa oleva hiuase iroaoise jouo ahdolliset eergiatasot ovat 0, ε, ε, ε, 4ε,, jota aii ovat degeeroituattoia. Systeei ooaiseergia o 6ε. sitä aii ahdolliset partitiot ja osoita, että irotiloje
Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f
28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa
Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia
Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti
DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus
Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..006 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden
2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? 2/4. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme?
TKK (c) Ila Melli (004) Yleie lieaarie malli Johdatus tilastotieteesee Yleie lieaarie malli Usea selittää lieaarie regressiomalli Yleise lieaarise malli matriisisesitys Yleise lieaarise malli estimoiti
Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
S Piirianalyysi 2 1. Välikoe
S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007 6. lueto: Johdatus regressioaalyysii S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Kai Virtae 1 Regressioaalyysi idea Tavoitteea selittää selitettävä tekiä/muuttua
Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
Määritä seuraavien suodattimien impulssivasteet ja tutki, ovatko ne kausaaleja:
TL56, Näytejoosysteemit (K5). Kausaali suodati käyttää laskeassaa vai ykyisiä ja aiempia ajaetkiä (= pieemmillä ideksiarvoilla) mitattuja tai laskettuja sigaaliarvoja, jotka suodati lukee muistista. Kausaalisuus
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
Matematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
Eksponenttifunktio. Johdanto. Määritelmä. Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
Solmu 3/08 3 Esponenttifuntio Pea Alestalo Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Jodanto Esponenttifuntio e x on eräs täreimmistä matematiiassa ja varsinin sen sovellusissa esiintyvistä
Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
Uudelleenpainotus ja imputointi Perusteita
Heisigi yliopisto Matematiia ja tilastotietee laitos Otatameetelmät Sysy 008 Uudelleepaiotus ja imputoiti Perusteita Prof. Risto Lehtoe, Helsigi yliopisto.1.008 Uudelleepaiotus Otostasoise tiedo äyttö
EX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät 2014 1. Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux +
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 0. syysuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Prediaattilogiia Idutioperiaate Relaatiot ja
Helsinki University of Technology
Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology S-38.11 Signaalinkäsittely tietoliikenteessä I Signal Processing in Communications ( ov) Syksy 1997 7. Luento: Adaptiiviset
Otantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Helsinki University of Technology
Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology S-38.11 Signaalinkäsittely tietoliikenteessä I Signal Processing in Communications ( ov) Syksy 1997 6. Luento: Adaptiiviset
4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 6 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi ja-erik.holmberg@aalto.fi Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus
Luento 5: Kantataajuusvastaanotin AWGNkanavassa I: Suodatus ja näytteistys a. Kuvaa diskreetin ajan signaaliavaruussymbolit jatkuvaan aikaan
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 5: Kantataajuusvastaanotin AWGNkanavassa I: Suodatus ja näytteistys a Olav Tirkkonen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos a [10.1-10.6.3]
3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
TLT-5400 DIGITAALINEN SIIRTOTEKNIIKKA
TLT-5400 DIGITAALINEN SIIRTOTEKNIIKKA Tehtäväkokoelma: Päivitetty 16.3.2006 / MV 1. Piirrä digitaalisen siirtojärjestelmän yleinen lohkokaavio josta nähdään lähettimen ja vastaanottimen keskeiset toiminnot
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto. maalisuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Idutioperiaate Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O
± r = 1e 2 2 ±
SMG- Piirianalyysi II Ehdotuset harjoitusen asi rataisuisi 3 (a) d y ( t) dy ( t) 7 4 y ( t) 4 r + + = y(t) = e rt r r ( ) + 4r + 7 / 4 = KY ± r = 4 4 4 7 / 4 e rt + 4 e rt + 7 / 4 e rt = : e rt r = /
Luento 7. LTI-järjestelmät
Luento 7 Lineaaristen järjestelmien analyysi taajuustasossa Taajuusvaste Stabiilisuus..7 LTI-järjestelmät u(t) h(t) y(t) Tarkastellaan lineaarista aikainvarianttia järjestelmää n n m m d d d d yt () =
Luento 5. Diskreetti Fourier muunnos (DFT)
Lueto 5 Disreetti Fourier-muuos opea Fourier-muuos (FFT) 6..6 Disreetti Fourier muuos (DFT) Tarastellaa disreettiä sevessiä {v,v,,v - } Esim. äytteistetty sigaali v =v(t), T äyteväli Disreetti Fourier-muuos
Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 7 9. lueto: Regressiomalli validoiti Kai Virtae Regressiomalli validoiista Estimoitu hieo regressiomalli: Kuvaako malli tutkittavaa ilmiötä oikei? Kuika hyvi
Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
/ Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
Luento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 7 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi Määritelmä Tarkasteltava
Koska elektronin oletetaan olevan perustilassa sen ionisaatioenergia on 13,6 ev:
LH0- H vetyioi perustila eergia (ytimie välimata, 06 Å) eergia verrattua systeemii, jossa perustilassa oleva vetyatomi ja H -ioi ovat äärettömä auaa toisistaa o,65 ev Lase a) H : eergia verrattua systeemii
HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,
1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava:
Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Päästökaistan maksimipoikkeama δ p =.5. Estokaistan maksimipoikkeama δ s =.. Päästökaistan rajataajuus pb = 5 Hz. Estokaistan rajataajuudet sb = 95 Hz Näytetaajuus
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg 1 Jouo-oppi ja logiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O alto-yliopisto 12. maalisuuta 2015 3 Kombiatoriia ym. Summa-,
Rekursioyhtälön ratkaisu ja anisogamia
Rekursioyhtälö ratkaisu ja aisogamia Eeva Vilkkumaa.0.2008 Rekursioyhtälö ratkaisu (Liite I) Edellie esitelmä: +/m -koiraide (p) ja -aaraide (P) osuus populaatiossa kehittyy rekursiivisesti: p P + + a
5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat
2 5. Lieaarise optimoii perusprobleemat Optimoitiprobleema o lieaarise optimoii tehtävä, jos kohdefuktio o lieaarie fuktio ja rajoitusehdot ovat lieaarisia yhtälöitä tai lieaarisia epäyhtälöitä. Yleisessä
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.
Sattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4