Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä
|
|
- Jyrki Laaksonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016
2 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus Normi j normivruus Linerikuvus 6 3 Vektorirvoisen funktion (Frechet'n) derivtt Ketjusääntö Välirvoluse j sen seurukset Lähdeluettelo 16 1
3 Johdnto Tutkielmssni ljennetn normli relinlyysi vektorirvoisten funktioiden nlyysiksi. Pohjtietoin on hyvä oll ymmärrys linerilgebrst j relinlyysistä. Tutkielmn luss määritellään iheeseen liittyvää peruskäsitteistöä, kuten vektorivruus, vektori, normi, normivruus, linerikuvus j funktioiden jtkuvuus. Määrittelyjen tueksi olen ottnut muutmi ymmärrettäviä esimerkkejä rtkisuineen. Näiden peruskäsitteiden ymmärtäminen helpott itse nlyysiosion määritelmien, esimerkkien j luseiden ymmärtämistä. Anlyysiosioss määritellään vektorirvoisten funktioiden derivtt eli Frechet'n derivtt. Tässä määritelmässä huomion rvoist on, että se ei kerro itse funktion derivtn lskemisest mitään. Määritelmässä kerrotn vin, että derivtt on jokin linerikuvus, jok täyttää määritelmän ehdon. Frechet'n derivtn ymmärtämisen helpottmiseksi vertn sitä normliin derivtn määritelmään eli erotusosmäärän rj-rvoon. Yhteistä tutulle derivtlle j vektorirvoisten funktioiden derivtlle on se, että molemmt ovt yksikäsitteisiä j derivoituvuus implikoi jtkuvuuden. Relinlyysistä tutut ketjusääntö j dierentililskenn välirvoluse voidn kirjoitt myös vektorirvoisten funktioiden tpuksess. Erityisesti välirvoluse on tärkeä funktioiden nlyysissä j optimointi ongelmien rtkisemisess. Tuttu välirvolusett j vektorirvoisten funktioiden välirvolusett vertilln myös keskenään, jott ymmärretään niiden erot j smnkltisuudet. Tutkielmn viimeisessä esimerkissä tulee hyvin esille vektorirvoisen välirvoluseen käyttö. Normi käytetään erityisesti Freshet'n derivtn määritelmässä j välirvoluseess. Sitä käytetään, jott vektoreit voidn vertill keskenään. Tvllisten relilukujen vertminen keskenään onnistuu helposti ilmn normi, mutt jos otetn vektorivruudeksi vikk Euklidinen vruus R n ei siellä olevi vikkp viisiuloitteisess vruudess olevi vektoreit voi mitenkään vertill ilmn Euklidist normi. Tutkielmss olen käyttänyt kht teost, Debnthin j Mikusinskin kirjoittm kirj "Hilbert spces with pplictions"j Depreen j Swrtz kirjoittm teost "Introduction to rel nlysis". 2
4 1 Vektorivruus Määritelmä 1.1. Vektorivruudell trkoitetn epätyhjää joukko E, johon on määritelty kksi lskutoimitust: lkioiden summ j kunnn F sklrill kertominen siten, että seurvt ehdot toteutuvt kikill x, y, z E j, b F: 1. x + y = y + x (vihdnnisuus) 2. (x + y) + z = x + (y + z) (liitännäisyys) 3. On olemss sellinen 0 E, että 0 + x = x (nollvektori) 4. On olemss sellinen x E, että x + ( x) = 0 (vstvektori) 5. On olemss sellinen 1 F, että 1x = x (ykköslkio) 6. (bx) = (b)x (sklrien tulon vihdnnisuus) 7. ( + b)x = x + bx (sklrien summn osittelu) 8. (x + y) = x + y (osittelulki) Joukoll F trkoitetn yleensä joko relilukujen joukko R ti kompleksilukujen joukko C. Joukon E lkioit kutsutn vektoreiksi. Jos F = R, niin E on relinen vektorivruus j jos F = C, niin E on kompleksinen vektorivruus. Esimerkki 1.2. Vektorist puhuttess, käsitetään se koskemn erityisesti vruudess R n ti C n,joss n Z + olevi lkioit ( 1, 2,..., n ). Määritelmän mukn vektori on kuitenkin minkä thns vektorivruuden lkio. Yksinkertisimpi vektorivruuksi ovt relilukujen ti kompleksilukujen joukko ti, vikk vin joukko {0}. Relilukujen joukko on vektorivruus, jos lskutoimituksiksi määritellään relilukujen yhteenlsku j sklrikertolskuksi relilukujen kertolsku. Nämä lskutoimitukset toteuttvt selvästi kikki määritelmän khdeksn koht. Esimerkki 1.3 (Funktioiden muodostm vektorivruus). Olkoon F kikkien kuvusten R R joukko. Jos f F, g F j R, niin kuvukset f + g j f määritellään seurvsti: f + g : R R, x f(x) + g(x) j f : R R, x f(x) Osoitetn että joukko F, joss yhteenlsku j sklrikertolsku määritellään pisteittäin, on vektorivruus. 3
5 Todistus. 1. Vihdnnisuus: f + g = g + f, f, g F j x R. Nyt (f + g)(x) = f(x) + g(x) j (g + f)(x) = g(x) + f(x). Kosk rvot f(x) j g(x) ovt relilukuj, niin ne ovt vihdnnisi. Eli kuvukset (f + g)(x) j (g + f)(x) ovt yhtäsuuret. 2. Liitännäisyys: (f + g) + h = f + (g + h), f, g, h F j x R. Nyt (f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) = f(x) + (g + h)(x). 3. Nollvektori: Funktioll on olemss nollvektori, jok on vkiofunktio 0(x) = 0, kikill x R. Osoitetn, että se on nollvektori käyttämällä vektorivruuden yhteenlsku. Nyt (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x). 4. Vstvektori: Osoitetn, että funktion f F vstvektori on f. Osoitetn siis, että f + ( f) = 0, eli silloin f(x) on funktion f(x) vstvektori, kikill x R. Eli (f + ( f))(x) = f(x) + ( f(x)) = Ykköslkio sklritulon suhteen: Funktioll on olemss sklritulon suhteen ykköslkio 1 R siten, että (1f(x)) = 1f(x) = f(x). 6. Sklrien tulon vihdnnisuus: Siis (bf(x)) = bf(x) = (b)(f(x)). Kosk, b j f(x) ovt relilukuj, niin osittelulit ovt voimss. 7. Sklrien summn osittelu: Osoitetn, että ( + b)f = f + bf. Nyt (( + b)f)(x) = ( + b)f(x) = f(x) + bf(x) = (f + bf)(x). Käyttämällä sklritulo j yhteenlsku hyväkseen stiin todistettu sklrien summn osittelulki. 8. Osittelulki: Osoitetn, että (f + g) = f + g. Nyt ((f + g)(x)) = (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x). Kosk funktioiden f j g rvot f(x) j g(x) ovt relilukuj, osittelulit ovt voimss. 4
6 1.1 Normi j normivruus Määritelmä 1.4. Kuvust x x, jok sett jokisen vektorivruuden lkion vstmn reliluku, kutsutn normiksi, jos se täyttää seurvt ehdot: 1. x = 0, jos j vin jos x = 0 2. λx = λ x, kikill x E j λ F 3. x + y x + y, kikill x, y E Huomutus 1.5. Koht 3. kutsutn kolmioepäyhtälöksi. Sen nojll 0 = 0 = x x x + x = 2 x, eli x 0 kikill x E. Huom, että kohdst 2. seur, että 0 = 0. Kolmioepäyhtälön toist suunt x y x ± y, käytetään myös usein. Se on seurus kohdist 2. j 3. Huomutus 1.6. Normin käsite on tutun itseisrvon yleisempi muoto. Itseisrvo ilmisee yleisesti vektorin pituutt ti etäisyyttä jostkin. Normi ilmisee vektorin etäisyyttä origost äärellisuloitteisiss vruuksiss. Määritelmä 1.7. Joisskin vektorivruuksiss on määritelty normi. Tällisi vektorivruuksi kutsutnkin normivruuksiksi. Normivruutt merkitään prill (E, ), joss E on vektorivruus j on vektorivruuden normi. Jotkut vektorivruudet miellämme suorn normivruuksiksi. Esimerkiksi vektorivruus R n voidn vrust Euklidisell normill x = x x 2 n. Normill on bsoluuttisi rvoj reliluvuiss j kompleksiluvuiss. Näissä sitä voidnkin hyödyntää esimerkiksi etäisyyksien rvioinniss j rjrvojen määrittelyssä. Esimerkki 1.8. Euklidinen normi: z = ( z z n 2 ), z = (z 1,..., z n ) C n Tämä on normi joukoss C n j tätä normi kutsutn Euklidiseksi normiksi. Vektorivruudell C n on myös muit normej kuten z = z z n ti z = mx{ z 1,..., z n }. 5
7 Esimerkki 1.9. Vrustetn Esimerkin 1.3 vektorivruus normill f = sup f(x). x R Oletetn, että funktiot f j g ovt jtkuvi. Osoitetn, että näin sdn normivruus. Todistus. 1. Osoitetn, että f = 0, jos j vin jos f(x) = 0. Nyt sup x R f(x) = 0, silloin f(x) = 0, jost seur, että f(x) = 0, eli funktion normi f = 0, jos j vin jos f(x) = Käyttämällä supremumin lskusääntöjä sdn, että f = sup x R f(x) = sup f(x) = f. x R Tämän perusteellä kerroin voidn ott normin sisäpuolelt pois. 3. Osoitetn, että f + g f + g (kolmioepäyhtälö) toteutuu funktion normiss. Supremumin lskusääntöjen vull sdn, että f + g = sup x R f(x) + g(x) sup x R f(x) + sup g(x) = f + g. x R Kohtien perusteell f = sup x R f(x) on esimerkin 1.3 normi. 2 Linerikuvus Määritelmä 2.1. Olkoon V j W vektorivruuksi. Kuvust L : V W snotn linerikuvukseksi, jos seurvt ehdot täyttyvät: 1. L(v + w) = L(v) + L(w), kikill v, w V 2. L(v) = L(v), kikill v V j F. Linerikuvust merkitään L L(V, W ). Esimerkki 2.2. Kuvus L : R R on linerinen, jos on olemss sellinen R, että L(x) = x kikill x R. Todistus. R 1. L(x + y) = (x + y) = x + y = L(x) + L(y), kikill x, y j 2. L(λx) = λx = λx = λ(l(x)), kikill λ, x R 6
8 Esimerkki 2.3. Kuvus K : R R, K(x) = x + 5 ei ole linerinen. Todistus. 1. K(x + y) = x y = K(x) + K(y) 5 K(x) + K(y) 2. K(x) = x + 5 K(x) = x + 5 Eli yksinkertinen funktio K(x) = x + 5 ei ole linerikuvus, vikk sen kuvj ksv linerisesti. Esimerkki 2.4. Olkoon X = Y = C(, b) vrustettu normill sup x T (x) j olkoot T : X X määritelty (T u)(x) = Osoitetn, että kuvus on linerinen. Todistus T (u + v)(x) = = = K(x, s)u(s)ds. K(x, s)(u(s) + v(s))ds [K(x, s)u(s) + K(x, s)v(s)]ds K(x, s)u(s)ds + T (cu)(x) = = c K(x, s)cu(s)ds K(x, s)v(s)ds = (T u)(x) + (T v)(x) K(x, s)u(s)ds = c(t u)(x) Kohtien 1. j 2. nojll (T u)(x) = K(x, s)u(s)ds on linerikuvus. Määritelmä 2.5 (Jtkuvuus). Kuvus T L(X, Y ) on jtkuv pisteessä x X, jos kikill ε > 0 löytyy sellinen δ > 0, että T (x) T (y) < ε, kun y Y j y x < δ. Kuvus on jtkuv, jos se on jtkuv jokisess pisteessä x X Määritelmä 2.6 (Tsinen jtkuvuus). Funktio f : S 1 S 2 on tsisesti jtkuv joukoss S 1, jos kikill ε > 0 on olemss δ > 0 siten, että f(x) f(y) < ε, kun x y < δ. 7
9 Luse 2.7. Olkoon X, Y linerisi normivruuksi j kuvus T : X Y on linerinen. Seurvt kohdt ovt silloin yhtäpitäviä: 1. T on jtkuv vruudess X 2. T on jtkuv pisteessä x = 0 3. { T x : x 1} on rjoitettu osjoukko joukoss R 4. On olemss sellinen M 0, että T x M x kikill x X 5. T on tsisesti jtkuv vruudess X Huomutus 2.8. Linerikuvust pisteessä x merkitään yleisesti T x. Se voidn kirjoitt myös tutummin T (x). Huomutus 2.9. Linerivruuksien X j Y normit ovt yleisesti erilisi, kuitenkn erilisi normej ei merkitä yksinkertisuuden vuoksi eri tvoill. Todistus. Osoitetn kohdt 1.-5 yhtäpitäviksi siten, että jokinen koht implikoi seurvn kohdn j koht 5. implikoi kohdn 1. Selvästi nähdään, että kohdst 1. seur koht 2. Oletetn, että koht 2. on voimss, mutt koht 3. ei ole voimss. Silloin on olemss sellinen jono {x k } X, että x k 1 j T x k k. Määritetään y k = x k /k. Silloin y k 0. Kuitenkin T y k = (1/k) T x k 1 j niinpä jono {T y k } ei mene nolln. Siitä seur, että T ei ole jtkuv pisteessä 0. Oletetn, että koht 3. voimss j M = sup{ T x : x 1}. Jos x = 0 sillon koht 4. on selvästi voimss. Jos x 0 määritellään y = x/ x. Silloin y = 1 j T y M. Toisin snoen (1/ x ) T x M j koht 4. toteutuu. Jos koht 4. on voimss, silloin kikille x, y X pätee T x T y = T (x y) M x y. Tästä seur, että T on tsisesti jtkuv j koht 5. on voimss. Välittömästi nähdään, että koht 5. implikoi kohdn 1. Määritelmä 2.10 (Operttorin normi). Olkoon T L(X, Y ). Määritellään T = sup{ T x : x 1}. Huom, että T x T x kikill x X (luseen 2.7 kohdt 3. j 4.). Huom myös, että käytössä ei ole erityistä merkintätp operttorin normille. 8
10 3 Vektorirvoisen funktion (Frechet'n) derivtt Ennen Frechet'n derivtn määritelmää on hyvä plutell tuttu relifunktioiden derivtt, jok määritellään seurvsti f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x) = lim. h 0 h Tämän määritelmän vull funktioille pystytään lskemn derivtt suorn. On syytä huomt, että Frechet'n derivtt ei pystytä kuitenkn lskemn suorn määritelmän vull. Määritelmä 3.1 kertoo vin sen, että derivtt on olemss tietyin ehdoin. Määritelmä 3.1. Funktio f on Frechet derivoituv pisteessä x, jos on olemss sellinen linerikuvus T : X Y, että f(x + h) f(x) T (h) lim h 0 h = 0. (1) Derivtt T (h) merkitään df(x) ti f (x) eli T (h) = f (x) = df(x) Huomutus 3.2. Frechetn derivtn määritelmä ei kerro miten funktion f derivtt f löydetään. Luse 3.3 käsittelee derivtn yksikäsitteisyyttä j Lusess 3.4 todistetn, että derivoituvuudest seur kuvuksen jtkuvuus. Luse 3.3. Oletetn, että T 1 j T 2 L(X, Y ) j toteuttvt seurvn ehdon: Silloin T 1 = T 2. f(x + h) f(x) T i (h) lim h 0 h = 0, i = 1, 2 Todistus. Olkoon A = T 1 T 2 j h X mielivltinen. Nyt A(h) = f(x + h) f(x) T 1 (h) [f(x + h) f(x) T 2 (h)] f(x + h) f(x) T 1 (h) + f(x + h) f(x) T 2 (h). Siitä seur, että A(h) / h 0, kun h 0. Näin ollen, jos h 0 j h X, silloin A(th) / th 0, kun t 0. Mutt A(th) / th on riippumton t:stä, kosk A(th) th = T 1(th) T 2 (th) th = tt 1h tt 2 h th = T 1h T 2 h. h Niinpä A(th) = 0 j A = 0 eli T 1 = T 2. 9
11 Luse 3.4. Jos f on derivoituv pisteessä x, niin f on myös jtkuv pisteessä x. Eli funktion derivoituvuudest seur funktion jtkuvuus. Todistus. Yhtälöstä (1) seur f(x + h) f(x) df(x)(h) / h 1, kun h on riittävän pieni. Käyttämällä kolmioepäyhtälöä sdn f(x + h) f(x) df(x) h h f(x + h) f(x) df(x)(h) h 1, j edelleen f(x + h) f(x) h + df(x) h 0, kun h 0. Esimerkki 3.5. Olkoon D R n j f = (f 1,..., f m ) : D R m. Oletetn, että f on derivoituv pisteessä x D, eli jokinen f i (i = 1,..., m) on derivoituv pisteessä x. Osoitetn, että df(x)(e j ) = (D j f 1 (x),..., D j f m (x)), j = 1,..., n. Todistus. Jos T : R n R m on linerinen, niin se voidn tulkit mtriisin. Tässä j = 1,..., n, olkoon T (e j ) = m i=1 t ije i j olkoon [T ] mtriisi [t ij ], i = 1,..., m j j = 1,..., n. Huom, että T e j koordintit tulevt näkyviin j:n pystysrkkeess mtriisiss [T ]. Jos x = n j=1 x je j R n,, silloin ( n m n ) T (x) = x j T (e j ) = x j t ij e j, j=1 toisin snoen, T (x) on trnspoosi x 1 [T ]x t = [t ij ]. x n i=1 j=1 = (T (x)) t. Kosk f on derivoituv pisteessä x, niin mtriisin derivtt df pisteessä x on D 1 f 1 (x) D n f 1 (x) [ ] fi df(x) =. = (x),. x j D 1 f m (x) D n f m (x) Tätä mtriisi kutsutn f:n Jcobin mtriisiksi pisteessä x. Oletetn m = n. Jos f on kirjoitettu komponentti muodoss: 10
12 y 1 = f 1 (x 1,..., x n ),. y n = f n (x 1,..., x n ), silloin Jcobin mtriisin determinntti on (y 1,..., y n ) (x 1,..., x n ) = (f 1,..., f n ) (x 1,..., x n ) j se on nimetty f:n Jcobin determinntiksi pisteessä x. Esimerkki 3.6. Esimerkissä 2.4 todistettiin, että integrlioperttori (T u)(x) = K(x, s)u(s)ds on linerikuvus. Lsketn integrlioperttorin derivtt. Ensin lsketn T (u + h) T (u), kun h X on mielivltinen. [T (u + h) T (u)](x) = = = K(x, s)[u(s) + h(s)]ds K(x, s)[u(s) + h(s) u(s)]ds K(x, s)h(s)ds = (T h)(x) K(x, s)u(s)ds Huom, että tulokseksi stiin sm integrlioperttori funktion h suhteen. Seurvksi edellisen lskun sijoitetn se Määritelmään 1 derivtn piklle j trkistetn onko kyseessä integrlioperttorin derivtt T (u + h) T (u) K((x, s)h(s)ds h = 0. Kosk yhtälö on tott kikill h 0, se on Frechet derivtt integrlioperttorille. Se voidn kirjoitt DT (h) = K((x, s)h(s)ds. Huomutus 3.7. Yleisesti trkstelln Frechetn derivtn määritelmässä olev erotust f(x + h) f(x) j pyritään siitä päättelemään derivtt, kuten edellisessä esimerkissäkin tehtiin. Luse 3.8. Jos T L(X, Y ), niin dt = T = T. 11
13 Todistus. Jos T linerikuvus, niin sen Frechetn derivtt on T, kosk T (x + h) T (x) T (h) lim h 0 h = lim h 0 T (x) + T (h) T (x) T (h) h = Ketjusääntö Luse 3.9. Olkoon X, Y j Z normitettuj vektorivruuksi, j D X, j f : D Y derivoituv pisteessä x 0 D. Oletetn, että kuvus g : G Z, missä f(d) G Y, on derivoituv pisteessä f(x 0 ). Silloin F = g f on derivoituv pisteessä x 0 j df (x 0 ) = dg(f(x 0 ))df(x 0 ). Todistus. Olkoon y 0 = f(x 0 ), A = df(x 0 ) j B = dg(y 0 ). Määritellään u(x) = f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ), v(y) = g(y) g(y 0 ) B(y y 0 ), x D y G r(x) = F (x) F (x 0 ) BA(x x 0 ), x D. Näytetään, että df (x 0 ) = BA. Riittää näyttää, että r(x) / x x 0 0, kun x x 0. Nyt r(x) = g(f(x)) g(y 0 ) B(f(x) y 0 ) + B[f(x) f(x 0 ) A(x x 0 )] = v(f(x)) + B(u(x)). (2) Olkoon ε > 0, silloin on olemss selliset η > 0, δ > 0, että v(y) ε y y 0, kun y y 0 < η, j f(x) y 0 < η j u(x) < ε x x 0, kun x x 0 < δ. Silloin j v(f(x)) ε f(x) y 0 = ε u(x) + A(x x 0 ) ε 2 x x 0 + ε A x x0, B(u(x)) B u(x) ε B x x0, kun x x 0 < δ. Niin kvn (2) mukn, r(x) / x x 0 0, kun x x 0. 12
14 3.2 Välirvoluse j sen seurukset Ennen vektorirvoisten funktioiden välirvoluseen määritelmää plutetn mieleen tuttu dierentililskennn välirvoluse, jok määritellään seurvsti f(b) f() = f (c)(b ). Tutun välirvoluseen(val) j luseen 3.10 välirvoluseen(vval) suurimpi eroj on se, että VVAL:ss käytetään normej (vektoreiden etäisyyksiä) j yhtäsuuruden sijll käytetään epäyhtälöä. Normej käytetään, kosk vektoreit ei voi muuten verrt keskenään. VVAL:ss käytetään epäyhtälöä, kosk on tilnteit, joss yhtäsuuruus ei päde. Välirvolusett käytetään yleisesti optimointiongelmien rtkisuiss. Luse Olkoon, b R, Y normitettu vektorivruus j kuvus ϕ : [, b] Y on jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä (, b). Silloin on olemss sellinen ζ (, b), että ϕ(b) ϕ() ϕ (ζ) (b ). Todistus. Olkoon L = (b )/3, M = ϕ(b) ϕ(). Määritellään g : [, + 2L] Y siten, että g(s) = ϕ(s + L) ϕ(s). Kosk niin ϕ(b) ϕ() = g() + g( + L) + g( + 2L), M g() + g( + L) + g( + 2L). (3) Osoitetn, että g(s 1 ) M/3, jos < s 1 < + 2L. Tehdään vstoletus, eli g(s) < M/3, kikill < s < + 2L. Kuvus s g(s) on jtkuv, jolloin g() M/3 j g( + 2L) M/3. Tästä tulee ristiriit tuloksen (3) knss. Olkoon t 1 = s 1 + L. Huomtn, että < s 1 < t 1 < b, t 1 s 1 = (b )/3 j g(s 1 ) = ϕ(t 1 ) ϕ(s 1 ) M/3. Päättely voidn toist osvälillä [s 1, t 1 ]. Tästä iheutuu kksi jono {s k } j {t k } välille (, b) siten, että t k s k = (b )/3 k, [s k, t k ] (s k 1, t k 1 ) j ϕ(t k ) ϕ(s k ) M/3 k. Tällöin, ϕ(t k ) ϕ(s k ) (t k s k ) ϕ(b) ϕ(). (b ) Olkoon {ζ} = k=1 [s k, t k ]. Voidn osoitt, että tästä seur ϕ (ζ) ϕ(b) ϕ(). (b ) 13
15 Seurus Jos ϕ luseess 3.10 on sellinen, että M = sup{ ϕ (t) : < t < b}, niin ϕ(b) ϕ() M(b ). Määritelmä 3.12 (Konveksi joukko). Joukko D on konveksi joukko, jos kikill x, y D pätee x + (1 )y D kikill [0, 1]. Seurus Olkoon D konveksi j voin joukko j olkoon f : D Y derivoituv D:ssä. Jos x, y j x 0 D, niin 1. f(y) f(x) y x sup{ df(ζ) : ζ [x, y]} 2. f(y) f(x) df(x 0 )(y x) y x sup{ df(ζ) df(x 0 ) : ζ [x, y]}. Tässä [x, y] = {ty + (1 t)x : 0 t 1} on jn vruudess D. Todistus. 1. Asetetn ϕ : [0, 1] Y kvll ϕ(t) = f(ty + (1 t)x). Tällöin ϕ(0) = f(x) j ϕ(1) = f(y). Ketjusäännön vull sdn, ϕ (t) = df(ty + (1 t)x)(y x). Seurust 3.11 soveltmll sdn väite. Eli eli ϕ(1) ϕ(0) sup ϕ (t) t (0,1) f(y) f(x) sup df(ty + (1 t)x)(y x) t (0,1) sup df(ty + (1 t)x) y x t (0,1) = y x sup{ df(ζ) : ζ [x, y]}. 2. Seur kohdst 1. soveltmll funktioon x f(x) df(x 0 )(x). Esimerkki Mitkä pisteet ζ (0, 1) toteuttvt vektorirvoisenfunktion välirvoluseen ϕ(b) ϕ() ϕ (ζ) (b ), funktiolle ϕ(t) = (t t 2, t t 3 ), 0 t 1? 14
16 Todistus. Lsketn ensin funktion ϕ derivtt. Derivtt on ϕ (t) = (1 2t, 1 3t 2 ) Lsketn seurvksi derivtn normi ϕ (t) = (1 2t, 1 3t 2 ) = (1 2t)2 + (1 3t 2 ) 2 = 2 4t 2t 2 + 9t 4. Lsketn sitten epäyhtälön vsen puoli, kun oletetn, että b = 1 j = 0. Eli ϕ(1) ϕ(0) = ([ ], [ ]) = 0. Nyt epäyhtälöstä sdn, että 0 2 4t 2t 2 + 9t 4 = (1 2t) 2 + (1 3t 2 ) 2. Huomtn, että edellinen yhtälö on in idosti positiivinen, kosk nämä kksi binomin neliötä ovt nolli eri pisteissä. Tästä johtuen yhtälön yhtäsuuruus ei ole koskn voimss. Välirvoluse eli epäyhtälö 0 2 4t 2t 2 + 9t 4. toteutuu kikill välin (0, 1) pisteissä. Huomutus Tämä esimerkki osoitt, että vektorirvoisten funktioiden tpuksiss välirvoluseen yhtäsuuruus ei in päde siksi trvitn epäyhtälö. 15
17 Lähdeluettelo [1] Debnth L j Mikusinski p, Hilbert spces with pplictions, Acdemic Press, 2005, 3rd edition [2] Depree J D j Swrtz C W, Introduction to rel nlysis, Wiley,
TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
Lisätiedot1. Yhtälöiden ratkaisemisesta Olkoon f välillä [a, b] jatkuva funktio, jolle f(a) f(b) < 0. Bolzanon lauseen [A1]
1. Yhtälöiden rtkisemisest Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio, jolle f() f(b)
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
Lisätiedoti 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotKorkeamman kertaluvut derivaatat
LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid
LisätiedotAnalyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto
Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi B
Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
LisätiedotLebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotSarjat ja integraalit
Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotANALYYSIN TEORIA A JA B
ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Lisätiedot4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI
4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P
Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu
ANALYYSI II 800322A Mtemttisten tieteiden litos Luentomoniste työn ll: viimeksi muutettu 13.11.2006 Sisältö Alkusnt Suosituksi opiskelutvoist iii iii Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus 1 1. Merkinnät
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2007) Harjoitus 5, ratkaisuja
58226 Lskennn mllit (syksy 27) Hrjoitus 5, rtkisuj. Muodostetn NF kielelle : ε ε Muunnetn DF:ksi: {,,} {,} {,} {,} Luennoll (s. 5) stiin kielelle seurv DF: Poistmll tästä svuttmttomt tilt sdn Tulos on
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotMika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014
Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotJohdatusta variaatiolaskentaan
LUKU 6 Johdtust vritiolskentn 6.1. Prmetrist riippuvt integrlit [4, Ch. XIII, 8], [2, Ch. 1. Lemm 2.12.2], [3, Ch. VIII, 11], [15, Ch. XI, 7], [8, Ch. II, 3] Luse 6.1. Olkoot E normivruus, F Bnchin vruus,
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
LisätiedotANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu
ANALYYI II 800322A Mtemttisten tieteiden litos Luentomoniste työn ll: viimeksi muutettu 13.11.2006 Alkusnt isältö Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus 1 1. Merkinnät y.m. 1 2. j-rvoist 2 3. Kuvuksen
LisätiedotAnalyysi III S
Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt
LisätiedotIntegroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotAnalyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
LisätiedotNewtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotSuorat, käyrät ja kaarevuus
Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotTehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13
MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
Lisätiedot2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt
.. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
Lisätiedot2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotAUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA
AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
LisätiedotSarjojen tasainen suppeneminen
Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedot2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
Lisätiedotfunktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.
I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..
LisätiedotRiemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua
Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5
Lisätiedot