Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Vuosi Indeksi , ,7. a) Jakamalla 1, ,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802"

Transkriptio

1 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi , ,3 108,3 a) Jakamalla 1, ,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha arvo laski 108,3 100 % 96,121 % = 3,878 % 3,88 %. c) Merkitää iflaatioproseti määräämää muutoskerroita muuttujalla q. Tapa 1: Käytetää a-kohda tulosta hyväksi, jolloi saadaa 2 q 1, q 1, , Vai positiivie arvo kelpaa, jote keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti o oi 1,997 % 2,0 %. Tapa 2: Keskimääräie iflaatioprosetti saadaa yhtälöstä 2 104,1q 108, ,3 q 1, ,1 q 1,040341, Vai positiivie arvo kelpaa, jote keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti o oi 1,997 % 2,0 %. Vastaus: a) Koko aikaväli iflaatioprosetti oli 4,03 %. b) Raha arvo oli laskeut 3,88 % tällä aikavälillä. c) Keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti tällä aikavälillä oli 2,0 % Vuosi Ideksi , ,7 116,7 a) Jakamalla 1, ,3 7,76 %. saadaa iflaatioprosetiksi oi b) Tällä aikavälillä o 4 vuotta, jote keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti saadaa a-kohda avulla 4 q 1,07756 q 4 1,077561,01885 Vai positiivie arvo kelpaa, jote keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti o oi 1,89 %. 108,3 c) Jakamalla 0,92802 saadaa, että raha arvo laski 116,7 100 % 92,802 % = 7,197 % 7,2 %. d) Raha arvo keskimääräie lasku vuodessa saadaa c-kohda avulla: q 4 0, ,98149 Vai positiivie arvo kelpaa, jote raha arvo laski vuodessa keskimääri 100 % 98,149 % = 1,850 % 1,85 %. e) Vuosi Ideksi Palkka ( ) , ,7 x (2 052) Lasketaa esi, mikä Mati palkka olisi pitäyt olla vuoa 2012, jotta Mati reaalipalkka olisi pysyyt samaa. Merkitää tätä palkkaa muuttujalla x. KERTOMA 7! MAB7 83

2 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto Reaalipalkka pysyy samaa, jos palkkoje suhde o sama kui ideksie suhde. Palkka o tällöi suoraa verraollie ideksii ja saadaa verrato, josta voidaa ratkaista muuttuja x arvo. x 116, ,3 116,7 x , ,3 (Tai ristii kertomalla) Koska Mati palkka vuoa 2012 oli 2 052, ii Mati reaalipalkka oli kasvaut , = 112, ,39 Määritetää, kuika mota prosettia suurempi Mati palkka oli kui palkka 1 939, ,6121 1, eli Mati reaalipalkka oli oussut oi 5,8 %. Vastaus: a) Vuosie 2008 ja 2012 välie iflaatioprosetti oli 7,76 %. b) Sama ajajakso keskimääräie iflaatioprosetti vuodessa oli 1,89 %. c) Raha arvo oli laskeut 7,2 % tällä aikavälillä. d) Raha arvo keskimääräie laskuprosetti vuodessa oli 1,85 %. e) Mati reaalipalkka oli oussut 5,8 % Merkitää Tuula palkkaa ajajakso alkuhetkellä muuttujalla a. Tällöi Tuula palkka kuude vuode kuluttua oli 1,15a. Merkitää kuluttajahitaideksi arvoa alkuhetkellä vastaavasti muuttujalla b, jolloi se kuude vuode kuluttua oli 1,12b. Ideksi Palkka ( ) b a 1,12b 1,15a Jos Tuula reaalipalkka olisi pysyyt samaa, ii Tuula palkka ajajakso loppuhetkellä olisi ollut 1,12a. Nyt kuiteki Tuula palkka oli 1,15a, jote Tuula reaalipalkka oli oussut. Lasketaa tämä ousu prosetteia eli kuika mota prosettia 1,15a o suurempi kui 1,12a. 1,15 a 1,12 a 1,02678 Reaalipalkka ousi oi 2,68 %. Vastaus: Tuula ostokyky ousi reaalisesti kyseisellä kuude vuode ajajaksolla 2,68 %. 3 Hekilöverotus 205. a) Eakkovero o ,26 = b) Eakkovero o ,26 + ( ) 0,42 = = Vastaus: a) b) KERTOMA 7! MAB7 84

3 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 206. Tulot vuodessa ovat ( ) = Valtio vuode 2014 tuloveroasteiko (kirjassa s. 43) mukaa valtio tuloveroa ei tarvitse maksaa, koska tulot ovat alle vuodessa. Kuallisvero o ,205 = 1 960,62. Nettoasiot ovat ,62 = 7 603,38. Vastaus: Sai ettoasiot vuoa 2014 ovat 7 603, Käytetää peritö- ja lahjaverotaulukoita kirja sivuilla 48 ja 49. Matti joutuu maksamaa peritöveroa 2. veroluoka mukaa eli ( ) 0,2 = Matille jää kätee rahaa = Tämä summa hä lahjoittaa pojallee, joka joutuu maksamaa lahjaveroa 1. veroluoka mukaa eli ( ) 0,10 = Pojalle jää kätee rahaa = Vastaus: Mati poika saa rahaa a) Valtio tuloveroa maksettii tauluko mukaa ( ) 0,235 = b) Espoo kuallisveroa maksettii ,175 = c) Veroja yhteesä maksettii = d) Kokoaisveroprosetti oli 0, ,9 % Vastaus: a) b) c) d) 28,9 % 209. a) Myytivoitto oli = 650. b) Pääomatulovero oli 650 0,30 = 195. c) Kätee jäi = Vastaus: a) 650 b) 195 c) a) Kuukausittaie eakkovero o ,24 = 576. b) Vuosittaie eakkovero o = c) Vuode asiotulo o = Valtio vuode 2014 tuloveroasteiko (kirjassa s. 43) mukaa valtio tulovero o ( ) 0,175 = 1 315,50 d) Kuallisvero o ,185 = e) Yhteelaskettu vero o 1 315, = 6 643,50. f) Koska Tero maksama eakkovero o suurempi, kui todellie maksettavaksi määrätty vero 6 643,50, ii Tero saa veropalautusta ,50 = 268,50 Vastaus: a) Kuukausittaie eakkovero o 576. b) Vuosittaie eakkovero o c) Valtio tulovero o 1 315,50. d) Kuallisvero o e) Yhteelaskettu vero o 6 643,50. f) Veropalautusta tulee 268,50. KERTOMA 7! MAB7 85

4 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 4 Hioittelu ja kustauslasketa 211. Käykä veroto hita o 150, jote verollie myytihita o 150 1,24 = 186. Vastaus: Merkitää verotota hitaa muuttujalla x. x 1, :1, x 892, ,68 ( ) 1, 23 Vastaus: 892,68 Vastaus: a) Verollise myytihia tulee olla 821,20. b) Myytikateprosetti o 19,6 % a) Arvolisäverollie myyti o 600 4,49 = b) Arvolisäveroto myyti o 1, 23 4,49 (Tai ,24 ) 1, ,24. c) Arvolisäveroto kate o 2 190, ,50 = 1 290, ,24 d) Myytikateprosetti o ,9 %. 2190, a) Merkitää verotota hitaa muuttujalla x. x 1, :1, x 532,258 ( ) 1, 24 Jos arvolisäverotota myytikatetta jää 130, ii arvolisäveroto myytihita pitää olla x = 532, = 662,258. Arvolisäverollie myytihita o tällöi 1,24 662,258 = 821,20. Sama voidaa laskea ilma välituloksia: ,24 821,20. 1, 24 b) Myytikateprosetti o ,1962 0,196 19,6 % , , Vastaus: a) b) 2 190,24 c) 1 290,24 d) 58,9 % Arvolisä- Alv veroto , , ,20 1,23 = 25,804 25,80 (tai 0,23 112,195 ) Arvolisäverollie 138 Ostohita Myyti-140,2kate (eli 0,20 140,25 = 112,20 = 28,05 28,05) Myytihita 112,20 140,25 0,8 28,05 0,23 = 6,4515 6,45 172,50 140,25 = 32,25 (tai 0,23 140,25 32,26) 28,05 + 6,45 = 34,50 (tai 1,23 28,05 34,50) ,50 0,8 KERTOMA 7! MAB7 86

5 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 216. a) Peruoide myytiosuus o ,52 = Lattuje myytiosuus o ,12 = 348. Porkkaoide myytiosuus o ,36 = Peruoide myytikate o ,14 = 211,12. Lattuje myytikate o 348 0,28 = 97,44. Porkkaoide myytikate o ,23 = 240,12. b) Kokoaisostohita o ,12 97,44 240,12 = 2 351,32. Vastaus: a) Peruat 211,12, latut 97,44 ja porkkaat 240,12. b) 2 351, a) Veroto hakitahita (koko erä) o ,50 = Veroto myytihita (1 lakki) o 4,92 0,92 = 4,00. Hävikki oli 18 lakkia, jote myytii = lakkia. Veroto myyti (1482 lakkia) o ,00 = Veroto myytikate o = b) Myytikateprosetti o % Vastaus: a) b) 62 % 218. a) Verollie hakitahita o = Veroto hakitahita o , ,76. 1, 23 Verollie myyti o = Veroto myyti o , ,86. 1, 23 Veroto myytikate o , ,76 = 9 756, ,10 b) Myytikateprosetti o % ,86 c) Arvolisävero suuruus o 9 756,10 0,23 = 2 243,90. Vastaus: a) 9 756,10 b) 27 % c) 2 243, a) Veroto myytihita 28 % katteella o 2,8 /kg 3,89 /kg. 0,72 Verollie (alv 13 %) myytihita o 3,89 /kg 1,13 = 4,3957 /kg 4,40 /kg. b) Myyti o 400 kg 60 kg = 340 kg. Häviki osuus o 60 kg 0,176 17,6 %. 340 kg c) Todellie veroto myyti o 3,89 /kg 340 kg = 1 322,60. d) Todellie myytikate o 1 322,60 2,8 /kg 400 kg = 202, ,60 e) Todellie myytikateprosetti o ,3 %. 1322,60 Vastaus: a) Verollie kilohita o 4,40. b) Hävikki o 17,6 % myyistä. c) Todellie veroto myyti o 1 322,60. d) Todellie myytikate o 202,60. e) Todellie myytikateprosetti o 15,3 %. KERTOMA 7! MAB7 87

6 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 5 Korkolasketaa 220. Korkopäiviä o (31 2) = 162 pv. 162 Korko o , , Vastaus: 146, i 199, , 45 i i 0, ,069 6,9 % 221. a) 1.6. lasku päivästä o kuluut aikaa = 10 pv. Laskusta saadaa tällöi siis 2 % aleus, jote o maksettava ,98 = b) o eräpäivästä myöhässä = 5 pv. Maksettava viivästyskorko o ,115 55, , Yhteesä o siis maksettava ,90 = ,90. c) o eräpäivästä myöhässä = 116 pv. Maksettava viivästyskorko o , , , Yhteesä o siis maksettava ,94 = ,94. Vastaus: a) b) ,90 c) ,94 Vastaus: Vuotuie korko oli 6,9 % Merkitää sijoitettavaa summaa k:lla. 10 k 1, k , , 046 Vastaus: O sijoitettava K 5 = ,07 5 =4 908, ,93 Vastaus: Kasvaa 4 908,93 euroksi Lopullie arvo o K 6 = 6 1,4 3 1,6 2 0,3 = 12, ,64. Vastaus: Lopullie arvo o 12, Merkitää sijoitettavaa summaa k:lla. 8 k 1, k 4 384, ,14 8 1, 04 Vastaus: O talletettava 4 384,14. KERTOMA 7! MAB7 88

7 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto q q q 6 1,2202 1,22 Vai positiivie arvo kelpaa, jote vuotuie tuottoprosetti o (1,22 1 = 0,22 =) 22 %. Vastaus: Vuotuie tuotto o 22 % a) Hita laskee vuodessa 2 kertaa ja eljässä vuodessa 4 2 = 8 kertaa. Hita vuoa 2014 o K 8 = 350 0,88 8 = 125, ,87. b) Merkitää hita alussa o a. Ku puhelime saa puolee hitaa, o hita 0,5a. a0,88 0,5 a : a 0,88 0,5 lg 0,88 lg 0,5 lg 0,88 lg 0,5 lg 0,5 5, 422 lg 0,88 Pitää siis odottaa yli 5,422 puoli vuotta eli vuosia 5, ,711 2,8. 2 O odotettava aiaki 2,8 vuotta (3 vuotta). Vastaus: a) Vuode 2014 lopussa maksaa 125,87. b) O odotettava 2,8 vuotta Besalitra hita 20 vuode kuluttua olisi 1,3 1,04 20 = 2,8484 2,85. Vastaus: Besalitra maksaa 2, K 70 = 1 1,30 70 = ,45 Vastaus: Vuoa 2010 maksaa ,45. 6 Jaksolliset suoritukset ja laiat a) Laia lyheys o 833, , b) 1. korko o ,090, maksuerä o 833, = 1 058,33. c) 2. korko o ( ,33) 0,09 0,5 = 187, , maksuerä o 833, ,50 = 1 020,83. d) Viimeisellä maksukerralla laiaa o jäljellä viimeise lyheykse verra 833,33, jote viimeie korko o 833,33 0,09 0,5 = 37, ,50. Viimeie maksuerä o 833, ,50 = 870,83. e) Kaikki korot yhteesä muodostavat aritmeettise summa ,50. Joossa o yhteesä 6 termiä, jote aritmeettie ,50 summa o 6 787,50. 2 KERTOMA 7! MAB7 89

8 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto Voi myös laatia laialaskelma taulukkoo: Maksukerta Laiapääoma ( ) Korko ( ) Lyheys ( ) Hoitomaksu ( ) ,00 225,00 833, , ,67 187,50 833, , ,33 150,00 833,33 983, ,00 112,50 833,33 945, ,67 75,00 833,33 908, ,33 37,50 833,33 870,83 Yhteesä 787,50 Tehtävä 231 (.xls) Vastaus: a) Laia lyheys o 833,33,. b) Esimmäie maksuerä o 1 058,33. c) Toie maksuerä o 1 020,83. d) Viimeie maksuerä o 870,83. e) Korkoje summa o 787, Viimeie sijoitus ei ehdi kasvaa korkoa laikaa ja esimmäie sijoitus kasvaa korkoa korolle 14 vuotta. Saadaa summa viimeie sijoitus 2. sijoitus 1. sijoitus S , , ,20, jossa o 15 termiä. Tämä voidaa laskea geometrisea summaa: 15 a 1(1 q ) , 2 S 28814, ,04 ( ) 1q 11,2 Vastaus: Tilillä o 15 sijoituskerra jälkee rahaa , Merkitää talletettavaa summaa vakiolla k. Talletuste yhteisarvo 30 vuode päästä (esimmäisestä talletuksesta) o viimeie sijoitus 2. sijoitus 1. sijoitus k1, 05 k1, 05 k1, 05, jossa o 30 termiä. Tämä voidaa laskea geometrisea summaa: 30 k 1,051 1, , ,05 k 573, , 39 ( ) 30 1, 05 11, 05 Vastaus: Joka vuosi olisi talletettava 573,39. 8, 4 % 234. Kuukausittaie korko o 0,7 %, jote q = 1, Maksukertoja o 8 12 = ,007 A , , ,82 ( ) 96 11,007 Vastaus: Kuukausittaie tasaerä o 286, Viimeie sijoitus ei ehdi kasvaa korkoa laikaa ja esimmäie sijoitus kasvaa korkoa korolle 14 vuotta. Saadaa summa viimeie sijoitus S , , ,12, jossa o 8 termiä. Tämä voidaa laskea geometrisea summaa: 8 a 1(1 q ) ,12 S 61498, ,47 ( ) 1q 11,12 2. sijoitus 1. sijoitus 6 7 Vastaus: Bisesmiehellä o 8 sijoitukse jälkee rahaa ,47. KERTOMA 7! MAB7 90

9 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 7 Ivestoitilaskelmia 236. (Tietokoeella tai kokeilemalla) a) Vuotuie ettotuotto o = 700, jote sisäie korkokata ratkeaa yhtälöstä q q. 1 q Tästä saadaa kokeilemalla q = 1,33, jote sisäie korkokata o r = 33 %. Tietokoeella laskemalla saadaa r = 32,9753 % 33 %. Vastaus: 33 % b) Sisäie korkokata ratkeaa yhtälöstä q q. 1 q Tästä saadaa kokeilemalla q = 0,975, jote sisäie korkokata o r = 2,5 %. Tietokoeella laskemalla saadaa r = 2,4666 % 2,5 %. Vastaus: 2,5 % Tehtävä 236 (.xls) 237. Ks. Esimerkki 3 ja 4 s ykyarvomeetelmä. Vuotuiset ettotuotot ovat 1. vuosi = vuosi = vuosi = vuosi = vuosi = Tuottoje ykyarvoksi saadaa , , , 08 1,08 1,08 1, , 48 ( ). Koska hakitakustaus o suurempi kui tuottoje ykyarvo, ii ivestoiista jää tappiolle ,48 = 2 276,52 ja ivestoiti ei siis ole kaattava. Vastaus: Ivestoiti ei ole kaattava, tuottaa 2 276, Ks. Esimerkki 5 s. 112 auiteettimeetelmä. Hakitameo o ja vuotuiset kustaukset ovat Käyttöikä o 7 vuotta ja jääösarvo o 0. Rahoituskorkokata o 8 %. Merkitää vuosituottoa muuttujalla a 1. Lasketaa, mikä vuosituoto pitää olla, jotta se tuottaa 7 vuodessa hakitakustaukset ja korot. Vuosittaie auiteetti hakitameosta saadaa yhtälöstä 7 a1 11, ,08 11, ,08 11,08 a , ,43 ( ). 7 11,08 Vuotuiste bruttotuottoje o oltava vähitää , (vuotuiset kustaukset) = ,43. Vastaus: Vuotuise bruttotuoto pitää olla vähitää ,43. KERTOMA 7! MAB7 91

10 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 239. Ks. Esimerkki 6 s. 113 sisäise korkokaa meetelmä. Meot ja tulot ovat ivestoii lopussa yhtä suuret. Merkitää sisäise koro korkokerroita muuttujalla q q Tuloje lopussa ( ) pitää olla yhtä suuret kui meot 1 q lopussa (85000 q 10 ), jote saadaa yhtälö, josta sisäie korkokata ratkeaa (kokeilemalla) q q 1 q Kokeilemalla (tai tietokoeella) saadaa q 1,12, jote sisäie korkokata o r = 1,12 1 = 0,12 = 12 %. Vastaus: Sisäie korkokata o oi 12 % Ks. Esimerkki 8 s takaisimaksumeetelmä. Meoje ja tuloje o ivestoii lopussa oltava yhtä suuret. Saadaa yhtälö, josta ratkaistaa muuttuja arvo , 08 11, , , 08 0, ,08 ( 0,08) , ,08 ( 0,08) , ,08 0, , ,08 0,08 0 1, 08 (120000, ) , , , ,08 2,777 log1,08 log 2,777 log1,08 log 2,777 log 2,777 13,274 13, 3 log1,08 Vastaus: Aikaa kuluu 13,3 vuotta. KERTOMA 7! MAB7 92

11 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto PIKAOSIO 1. Talletuspäivää ei lasketa, jote maaliskuussa korkopäiviä ovat eli 8 päivää. Lokakuussa korkopäiviä ovat eli 10 päivää. Korkopäiviä o yhteesä = Keskimääräie muutos vuodessa saadaa ekspoetiaalise malli avulla: 3 3 1,0140,9851,023 1, , , siis keskimääri +0,72 % vuodessa. 3. EUR JPY 1 135,205 x 1 Valuutat ovat suoraa verraolliset, jote saadaa verratoyhtälö, joka voidaa ratkaista ristii kertomalla ,205 x 1 135,205x 1 1 x 0, , ,205 1 EUR = 135,205 JPY ja 1 JPY = 0,007 EUR Yksi jei o siis oi 0,7 st eli alle 1 seti. Vastaus: Yksi jei o 0, Viivästyskorko o tällöi 30 r kit 7000,08 4,666 4,67 ( ) Olkoo vuoa 2008 tuottee hita H. Vuosi Ideksi Hita , ,3 H Saadaa verratoyhtälö H 115, , 2 115,3 H , ,2 Tuottee hita vuoa 2008 oli 542, Arvolisävero osuus oli 4,50 4,13 = 0,37. 0,37 Prosetteia se o 0, ,0 %. 4,13 7. Vaihtolaitos myy Norja kruuut, jote käytetää myytikurssia eli 1 EUR = 8,43155 NOK. Merkitää Norja kruuuje määrää muuttujalla x. Muodostetaa verratoyhtälö, josta ratkaistaa muuttuja x arvo ristii kertomalla. 1 8, x x 2008, , 31 Vastaus: Norja kruuuja saa 1 686,31. KERTOMA 7! MAB7 93 PIKAOSIO

12 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 8. Merkitää muutoskerroita q:lla, jolloi saadaa yhtälö q 2500 : q 1, q 1, 25 1, Vai positiivie arvo kelpaa, jote vuotuie etto korko. 5,7 %. 9. Koska hiat laskivat 5,2 %, ii vastaava muutoskerroi o 0,948. Raha arvo muutos o tälle kääteie, jote raha arvo muutoskerroi o 1 1, ,948 Vastaus: Raha arvo ousi. 5,5 %. 10. a) Maksukertoje lukumäärä o = = 120. Lyheys o L Seitsemä vuode kuluttua o laiaa lyheetty 7 12 = 84 kertaa. Jäljellä oleva laia määrä o tällöi = Vastaus: Laiaa o jäljellä 7 vuode kuluttua , 4 % b) Kuukausikorko o 0,2 %, jote korkotekijä o q = 1, ,002 A , , ,61( ) ,002 Vastaus: Tasaerälaiassa auiteeti eli tasaerä suuruus o 506,61. KERTOMA 7! MAB7 94 PIKAOSIO

13 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto HARJOITUSKOE 1 1. a) Merkitää x = veroto hita. Tällöi 0, 24x 7,68 7,68 x 32. 0,24 Verollie hita o 32 7,68 39,68. Vastaus: Veroto hita o 32 ja verollie 39,68. b) Outi myi pakille jeit ja pakki osti e, jote käytetää seteli ostokurssia eli 1 = 145,32 JPY Merkitää euroje määrää muuttujalla x ja taulukoidaa tiedot. EUR JPY 1 145,32 x Valuutat ovat suoraa verraolliset, jote saadaa verratoyhtälö, joka voidaa ratkaista ristii kertomalla ,32 x ,32x x 137, ,63 145, JPY = 137,627 EUR Tästä summasta pakki peri 2 euro välityspalkkio, jote Outi sai rahaa 137,63 2 = 135,63. Vastaus: Outi sai 135,63 euroa. 2. a) Nettokorkokata o 0,70 3,2 % = 2,24 %. Ratkaistaa pääoma k. kit = r 200 k 0, k 4, : 4,48 k 1607, ,14 ( ) Vastaus: Pääoma 1 607,14 euroa tuottaa korkoa 20 euroa. b) Nettokorkokata o 0,72 4 % = 2,88 %, jote q = 1,0288. Merkitää kysyttyä aikaa (vuosia) :llä. Lisäksi K = 100 ja K = 200. Saadaa yhtälö, josta ratkaistaa muuttuja arvo logaritmeilla. Kq K 1001, : 100 1, lg lg1,0288 lg 2 lg1,0288 lg 2 : lg1,0432 lg 2 24, (vuotta) lg1,0288 Vastaus: 100 kaksikertaistuu 25 vuodessa. 3. a) Palkka o suurempi kui tuloraja. Perusproseti 26,0 % mukaa pidätetää veroa eurosta. Lisäproseti 40,0 % mukaa pidätetää veroa ylimeevästä osasta. Veroa meee yhteesä 0, , ,92 63, ,12. Kätee jää rahaa ,12 = 2 789,88. Vastaus: Satu sai palkkaa eakkovero pidätykse jälkee kätee 2 789,88 euroa. KERTOMA 7! MAB7 95 HARJOITUSKOE 1

14 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 4. b) Valtio verotus o ( ) 0,175 = ,25 = 1 660,25. Mikkeli kuallisveroprosetti vuoa 2014 oli 20,00, jote Simo maksoi kuallisveroa 0, = Simo maksoi kirkollisveroa 0, = 461,55. Verot yhteesä ovat 1 660, ,55 = 8 275,80 Maksetut eakot 8 525, eli Simo saa veropalautusta ,80 = 249,20. Vastaus: Simo maksoi veroja yhteesä 8 275,80 ja sai veropalautusta 249,20. Vuosi Ideksi , ,4 118,4 a) Jakamalla 1,0793 saadaa iflaatioprosetiksi oi 109,7 7,9 % koko kolme vuode ajajaksoa. b) Tällä aikavälillä o 3 vuotta, jote keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti saadaa a-kohda avulla. 3 q 1,0793 q 3 1,07931,0257 Keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti o oi 2,6 %. 109,7 c) Jakamalla 0,9265 saadaa, että raha arvo laski 118,4 100 % 92,65 % = 7,347 % 7,3 %. d) Vuosi Ideksi Palkka ( ) , ,4 x (2 380) Lasketaa esi, mikä Olli palkka olisi pitäyt olla vuoa 2013, jotta Olli reaalipalkka olisi pysyyt samaa. Merkitää tätä palkkaa muuttujalla x. Reaalipalkka pysyy samaa, jos palkkoje suhde o sama kui ideksie suhde. Palkka o tällöi suoraa verraollie ideksii, ja saadaa verrato, josta voidaa ratkaista muuttuja x arvo. x 118, ,7 118,4 x , ,7 (Tai ristii kertomalla) Koska Olli palkka vuoa 2013 oli 2 380, ii Olli reaalipalkka oli kasvaut. Määritetää, kuika mota prosettia suurempi Olli palkka oli kui palkka 2298, ,03526 eli Olli reaalipalkka oli oussut oi 3,5 %. 2298,924 Vastaus: a) Vuosie 2010 ja 2013 välie iflaatioprosetti oli 7,9 %. b) Sama ajajakso keskimääräie iflaatioprosetti vuodessa oli 2,6 %. c) Raha arvo oli laskeut 7,3 % tällä aikavälillä. d) Olli reaalipalkka oli oussut 3,5 %. KERTOMA 7! MAB7 96 HARJOITUSKOE 1

15 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 5. A-tarjoukse ykyarvo o , ,10-4 = ,221 B-tarjoukse ykyarvo o , ,10-2 = ,743 C -tarjoukse ykyarvo o Vastaus: Myyjälle o edullisi tarjous C, koska se ykyarvo o suuri. 6. a) Tasalyheyslaia Maksukerta Laiapääoma ( ) Korko ( ) Lyheys ( ) Hoitomaksu ( ) ,00 189, , , ,00 157, , , ,00 126, , , ,00 94, , , ,00 63, , , ,00 31, , ,50 Yhteesä 661, , ,50 b) Käsi tehty laskelma: 1 q 6 11,021 AKq 90001, , ,16 6 1q 11,021 1 Esimmäie korko o , Auiteettilaia Maksukerta Laiapääoma ( ) Korko ( ) Lyheys ( ) Hoitomaksu ( ) ,00 189, , , ,84 159, , , ,79 128, , , ,23 97, , , ,51 65, , , ,99 33, , ,16 Yhteesä 672, , ,96 Excelillä tehty laskelma: Auiteettilaia Maksukerta Laiapääoma ( ) Korko ( ) Lyheys ( ) Hoitomaksu ( ) ,00 189, , , ,84 159, , , ,80 128, , , ,24 97, , , ,52 65, , , ,00 33, , ,16 Yhteesä 672, , ,95 Tehtävä 6 (.xls) 7. Tili ettokorkokata 1,2 %, jote i = 0,012 ja q = 1,012. Tarkastellaa esimmäise vuode talletuksia. Koko vuode korot ovat r 50,012 50, , , ,012 0,39 ( ) (Tai aritmeettisella summakaavalla.) Tilillä o rahaa vuode kuluttua 125 0,39 60,39. Kaikki eri vuosie talletukset ovat 60,39. Nämä kasvavat korkoa korolle eri vuosie määrä. Tilillä o rahaa 20 vuode kuluttua 19 S 60,39 60,391, ,391,012. Tämä voidaa laskea geometriseä summaa, missä a 1 =60,39, q = 1,012 ja = ,39 (11,012 ) S , , 93 ( ) 11,012 Vastaus: Tilillä o 20 vuode kuluttua 1 355,93 euroa. KERTOMA 7! MAB7 97 HARJOITUSKOE 1

16 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto HARJOITUSKOE 2 1. a) K = ,04 = (Tai K kr , b) K kr ,060,5 154,50 c) K kr 380 kk0, ,035k 380 k 367, ,15 1, 035 (Tai suoraa 1,035k = 380.) 2. Lasketaa peritövero määrä: ( ) 0, Vastaus: Peritöveroa meee euroa. 3. Muutetaa 200 puiksi (x): x 0,82 x 2000, ( ) Jäljelle jää Muutetaa 64 putaa euroiksi (y): y ,85 0,85y y 75, ,29 ( ) 0,85 4. a) Veroto hita o 40, jote alv o 40 0,24 9,60 ja verollie myytihita o 40 9,60 49,60 (tai 40 1,24 = 49,60). Vastaus: Arvolisävero o 9,60 ja myytihita 49,60. b) Merkitää verotota hitaa muuttujalla x. 1,24x x 52, , 42 1, 24 Arvolisävero o 65 52, 42 12,58 (tai 52,419 0,24 12,58). Vastaus: Arvolisävero o 12,58 ja veroto hita 52,42. 3,6 5. a) Kuukausikorko o 0,3 %, jote korkotekijä o q = 1, Maksukertoja o = 240 kpl ,003 A , , ,13 ( ) ,003 b) 702, kk = , , , = ,10 Vastaus: a) Kuukausittaie tasaerä o 702,13. b) Pekka maksaa korkoja yhteesä ,10. Vastaus: Timo saa pakista 75,29 euroa. KERTOMA 7! MAB7 98 HARJOITUSKOE 2

17 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 6. Hakitameo o ja vuotuiset kustaukset ovat Käyttöikä o 6 vuotta ja jääösarvo o 0. Korkokata o 8 %. Merkitää vuosituottoa muuttujalla a 1. Lasketaa, mikä pitää olla vuosituoto, jotta se 6 vuodessa tuottaa hakitakustaukset ja korot. Vuosittaie auiteetti hakitameosta saadaa yhtälöstä: 6 a1 11, ,08 11, ,08 11,08 a1 5407, ,88 ( ) 6 11,08 Vuotuiste bruttotuottoje o oltava vähitää 5 407, = ,88. Vastaus: Vuotuise bruttotuoto pitää olla vähitää ,88 euroa. KERTOMA 7! MAB7 99 HARJOITUSKOE 2

18 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto HARJOITUSKOE 3 1. a) Palkka yt o vuodessa. Palkka viide vuode päästä o = b) Palkka 5 vuode päästä tulisi olla ,015 5 = 3 231, ,85 ( ). c) Iflaatio mukaa laskettu palkka olisi ,015 = ( ). Palkka todellisuudessa o kuiteki = Reaalipalkka o laskeut = 5 ( ). 5 Reaalipalka lasku o prosetteia 0, ,16 % (Tai 0,9983 eli laskeut. 0,16 % ) 3045 Vastaus: a) b) 3 231,85 c) Reaalipalkka laskee 0,16 %. 2. a) Kuukaudessa hä maksaa eakkoveroja ,23 + ( ) 0,41 = 616 euroa. Vuodessa hä maksaa eakkoveroja = ( ). b) Vuode tulot ovat = Valtio tulovero o ( ) 0,175 = 1 735,50 euroa. (ks. taulukko s. 154) c) Kuallisvero o ,18 = euroa. d) Häe pitäisi maksaa veroja yhteesä 1 735, = 7 351,50 euroa. Hä o vuodessa maksaut eakkoveroja vaa euroa, jote hä saa veropalautusta ,50 = 40,50. Vastaus: a) b) 1 735,50 c) d) Veropalautusta 40, a) Veroto hakitahita o = ( ). Veroto myyti o , ,05 ( ). 1, 23 Veroto myytikate o , = 5 878,05 ( ). b) Veroto myyti o 6000, ,5920, , ,34 ( ). 1,23 1, 23 Veroto myytikate o , = 853,66 ( ). c) Myyi pitäisi olla = ( ). Tällöi veroto myytihita o , ,67 ( ). 600 Verollie myytihita olisi silloi 81,67 1,23 = 100, ,45 ( ). Vastaus: a) 5 878,05 b) 853,66 c) 100,45 4. a) K 4 = ,035 4 = 2 868,81 ( ) b) K 8 = 600 0,93 8 = 335,75 ( ) c) 10 k 1, k 2791, ,97 ( ) 10 1, 06 d) q q q 5 14 q 5 1,1218 1,122 Korko o 1,122 1 = 0,122 = 12,2 %. Vastaus: a) 2 868,81 b) 335,75 c) 2 791,97 d) 12,2 % KERTOMA 7! MAB7 100 HARJOITUSKOE 3

19 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 5. a) Lyheys o b) 1. korko o , ,50 ( ) maksuerä suuruus o ,50 = 577,50 ( ). c) Laiaa o viimeisellä maksukerralla jäljellä Viimeie korko o 3750,054 1,6875 1,69 ( ). 12 Viimeie maksuerä o ,69 = 376,69. d) Kuukausikorko o 5, 4 % 0, 45 %. 12 Auiteeti suuruus o ,0045 A , ,14 ( ) ,0045 Vastaus: a) 375 b) 577,50 c) 376,69 d) A = 486,14 6. Merkitää hakitahitaa muuttujalla S. Meoje ja tuloje o oltava yhtä suuret, jote saadaa ,07 8 S1, 07 11, ,07 S , ,97 ( ). 8 1, 07 11, 07 Vastaus: Yritykse kaattaa maksaa korkeitaa ,97 euroa. KERTOMA 7! MAB7 101 HARJOITUSKOE 3

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT

9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT 9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT ALOITA PERUSTEISTA 370A. Kunnallisveroprosentti oli 19,5, joten 31 200 tuloista oli maksettava kunnallisveroa 0,195 31 200 = 6084. Vastaus: 6084 euroa 371A. a) Hajuveden

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka

Lisätiedot

3 Lukujonot matemaattisena mallina

3 Lukujonot matemaattisena mallina 3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI Sisällysluettelo 1 Prosettilasketa ja verotus 3 Prosettilasketa 3 Verotus 18 2 Hiat ja raha arvo 23 Ideksit 23 Euro ja muut valuutat 39 3 Laiat ja talletukset 52

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

Huippu 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Hank maksaa kunnallisveroa 22 % verotettavasta tulostaan eli 0,22 52 093,84 = 11 460,6448 11 460,64. Hank maksaa kunnallisveroa 11 460,64. Vastaus: 11 460,64 K2. Kimin maksaman

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN 978-951-37-5741-0 Päivitetty 13.8.2014 Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

3.6. Geometrisen summan sovelluksia

3.6. Geometrisen summan sovelluksia Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

3 Lainat ja talletukset

3 Lainat ja talletukset 3 Laiat ja talletukset Korkolasku 17. 0,8 3 = 64,96 ( Lähdevero määrä pyöristetää alaspäi täysii kymmeii setteihi. Lähdeveroa peritää 64,90. 173. 0,05 1 6 = 40,5 ( a 0,8 40,5 = 11,7 ( Lähdeveroa peritää

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

1,085 64,5 12,00 = 839,79 (mk) Vastaus: 839,79 mk

1,085 64,5 12,00 = 839,79 (mk) Vastaus: 839,79 mk K00 1. Asunto-osakeyhtiö nosti asuntojen yhtiövastikkeita 8,5 %. Kuinka suureksi muodostui 64,5 neliömetrin suuruisen asunnon kuukauden yhtiövastike, kun neliömetriltä oli aiemmin maksettu 12,00 mk kuukaudessa?

Lisätiedot

10.5 Jaksolliset suoritukset

10.5 Jaksolliset suoritukset 4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 206 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 5. harjoitus, viikko 7 5. 9.2.206 R ma 0 2 F455 R5 ti 0 2 F9 R2 ma 4 6 F455 R6 to 2 4 F455 R3 ti 08 0 F455 R7 pe 08 0 F455 R4 ti 2 4 F455

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

MAB7 Loppukoe 25.9.2014

MAB7 Loppukoe 25.9.2014 MAB7 Loppukoe 25.9.2014 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko konseptin ekalle sivulle yläreunaan! Valitse kuusi tehtävää, joihin vastaat. Muista että välivaiheet perustelevat

Lisätiedot

diskonttaus ja summamerkintä, L6

diskonttaus ja summamerkintä, L6 diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin.

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin. Rahoitusmuodot HUOM. Tässä esitetään vain teoriaa ja joitakin esimerkkejä. Enemmän esimerkkejä ja laskuja löytyy ratkaistuina EXCEL-tiedostosta "Rahoitusmuodot - laskut ja esimerkit", joka on MOODLESSA

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 04 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 6. harjoitus, viikko 0 3. 7.3.04 R ma 0 D5 R5 ti 4 6 C09 R ma 4 6 D5 R6 to 4 C09 R3 ti 08 0 D5 R7 pe 08 0 D5 R4 ti 4 C09 R8 pe 0 D5. Laske

Lisätiedot

Huippu 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Hank maksaa kunnallisveroa 22 % verotettavasta tulostaan eli 0,22 52 093,84 = 11 460,6448 11 460,64. Hank maksaa kunnallisveroa 11 460,64. Vastaus: 11 460,64 K2. Kimin maksaman

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 kevät 2017 Talousmatematiika perusteet, ORMS1030 Opettaja: Matti Laaksoe A1. välikoe torstaia 16.2.2017 A Ratkaise 3 tehtävää. Kokeessa saa olla mukaa laski ja taulukkokirja (MAOL tai vastaava). Ku teet

Lisätiedot

1 Eksponenttifunktion määritelmä

1 Eksponenttifunktion määritelmä Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella

Lisätiedot

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3 LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100

Lisätiedot

2.1 Kertaus prosenttilaskennasta

2.1 Kertaus prosenttilaskennasta Verotus 2.1 Kertaus prosenttilaskennasta 1. Alennukset yhteensä 1500 + 800 = 2300 Alennusprosentti 2300 0,184 18,4% 12500 Vastaus: Alennus 18,4 % 2. Reetun alennusprosentti: 99,90 0,8649... 115,50 alennusprosentti100%

Lisätiedot

Prosentti- ja korkolaskut 1

Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti- ja korkolaskut 1 Prosentti on sadasosa jostakin, kuten sentti eurosta ja senttimetri metristä. Yksi ruutu on 1 prosentti koko neliöstä, eli 1% Kuinka monta prosenttia on vihreitä ruutuja neliöstä?

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Talousmatematiikan perusteet: Luento 2 Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Viime luennolla Lukujono on päättyvä tai päättymätön jono reaalilukuja a 1, a 2,, a n, joita sanotaan jonon termeiksi. Erikoistapauksia

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika

Lisätiedot

Geometrinen lukujono. Ratkaisu. a2 = 50 4 = 200 a3 = = 800 a4 = = 3 200

Geometrinen lukujono. Ratkaisu. a2 = 50 4 = 200 a3 = = 800 a4 = = 3 200 Geometrie lukujoo 7. Geometrise lukujoo esimmäie jäse o = 0 j peräkkäiste jäsete suhde =. Määritä lukujoo kolme seurv jäsetä. = 0 = 00 = 0 = 800 = 0 = 00 8. Geometrie lukujoo lk seurvsti: ), 0, 0, b) 000,

Lisätiedot

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998.

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Kokooma 23.1.2008. Viimeisi perustemuutos o vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Sisällysluettelo

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t )

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t ) Annuiteettimenetelmä Investoinnin hankintahinnan ja jäännösarvon erotus jaetaan pitoaikaa vastaaville vuosille yhtä suuriksi pääomakustannuksiksi eli annuiteeteiksi, jotka sisältävät poistot ja käytettävän

Lisätiedot

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005 Dro 1345/01/2005 Määräys sähköverkkotoimia tuuslukuje julkaisemisesta Aettu Helsigissä 2 päivää joulukuuta 2005 Eergiamarkkiavirasto o määräyt 17 päivää maaliskuuta 1995 aetu sähkömarkkialai (386/1995)

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu 81112A Tietoraketeet ja algoritmit, 217-218, Harjoitus 4, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä 4.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje

Lisätiedot

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Vaihdettavat valuutat klo 15.30

Vaihdettavat valuutat klo 15.30 HAAGA-HELIA HARJOITUS 4/Ratkaisut s. / 6 Liike-elämän matematiikka Syksy 20 Käytä tehtävissä tarvittaessa alla olevia valuuttakursseja. Kurssit ilmaisevat yhden euron arvon kyseisessä valuuttayksikössä.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot

8 8 x = x. x x = 350 g

8 8 x = x. x x = 350 g PERUSPROSENTTILASKUT Esimerkki. Kuinka paljon koko pitsa painaa? Mistä määrästä 8 % on 28 grammaa? 100 % 8 %? g 28 g % g 8 28 100 x 8 8 x = 100 28 100 28 x 100 28 8 x x = 350 g TEHTÄVIÄ 1. Laske. a) 5

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Korkolasku ja diskonttaus, L6

Korkolasku ja diskonttaus, L6 Korkolasku ja diskonttaus, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti

Lisätiedot

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x = TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii

Lisätiedot

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC.

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC. Kotitehtäviä 6. Aihepiiri Rahoitusmuodot Ratkaisuehdotuksia 1. Pankki lainaa 100000 bullet-luoton. Laina-aika on 4kk ja luoton (vuotuinen) korkokanta 8% Luoton korot maksetaan kuukausittain ja laskutapa

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 kevät 2017 Talousmatematiika perusteet, ORMS1030 Opettaja: Matti Laaksoe A1. välikoe torstaia 16.2.2017 A Ratkaise 3 tehtävää. Kokeessa saa olla mukaa laski ja taulukkokirja (MAOL tai vastaava). Ku teet

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

(1) Katetuottolaskelma

(1) Katetuottolaskelma (1) Katetuottolaskelma Katetuottolaskelmalla tarkastellaan yrityksen kannattavuutta myyntituotto - muuttuvat kustannukset (mukut) = katetuotto katetuotto - kiinteät kustannukset (kikut) = tulos (voitto

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan

Talousmatematiikan perusteet: Luento 2. Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Talousmatematiikan perusteet: Luento 2 Lukujonot Sarjat Sovelluksia korkolaskentaan Lukujonoista Miten jatkaisit seuraavia lukujonoja? 1, 3, 5, 7, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 9, 27, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 8.1.2018 2

Lisätiedot

Tehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.

Tehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770. JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa

Lisätiedot

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen Matematiika ja systeemiaalyysi laitos 1B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava

Lisätiedot

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48

1 Prosenttilaskenta ja verotus 3. 2 Hinnat ja rahan arvo 21. Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43. 3 Lainat ja talletukset 48 Sisällysluettelo 1 Prosenttilaskenta ja verotus 3 Prosenttilaskenta 3 Verotus 12 Kertaustehtäviä 19 2 Hinnat ja rahan arvo 21 Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43 3 Lainat ja talletukset

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

16145 0, 19 = 3067, 55 euroa. Kirkkoon henkilö ei kuulu, joten kirkollisveroa ei makseta. Sairausvaikutusmaksu

16145 0, 19 = 3067, 55 euroa. Kirkkoon henkilö ei kuulu, joten kirkollisveroa ei makseta. Sairausvaikutusmaksu Talousmatematiikka Kotitehtävät 2 - Pakollisten tehtävien ratkaisut 1. Laske valtion tulovero, kunnallisvero, kirkollisvero ja sairausvakuutusmaksu taulukon jokaisen rivin tilanteessa. Laske myös kuinka

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7. 1.1 Tulovero 8

1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7. 1.1 Tulovero 8 SISÄLTÖ 1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA 7 1.1 Tulovero 8 1.2 Hintaan vaikuttavia tekijöitä 13 - Arvonlisävero 13 - Myyntipalkkio ja myyntikate 15 - Alennus ja hävikki 17 1.3 Indeksit 22 - Indeksin käsite 22

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ). HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä

Lisätiedot

Suomen verotus selkeästi

Suomen verotus selkeästi Suomen verotus selkeästi Avainsanat Vero: pakollinen maksu, jonka valtio kerää yhteiskunnan palveluita varten Veroprosentti: osuus, jonka työnantaja ottaa palkasta ja välittää Verohallinnolle Verohallinto:

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu 111A Tietoraketeet ja algoritmit, 016-017, Harjoitus, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje kompleksisuusluokat

Lisätiedot

R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99.

R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99. 9. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Erotusluku a = a + ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs termi o 99. 0. Lukujoo rekursiivie

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99. a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o 99. 0. Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse?

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran / m kertaa vuodessa / jatkuvasti Diskonttaus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Todellinen prosentti

Todellinen prosentti Todellinen prosentti Kaksi ajankohtaista esimerkkiä talousmatematiikasta ja todellisuudesta Tommi Sottinen Vaasan yliopisto 9. lokakuuta 2010 MAOL ry:n syyspäivät 8.-10.10.2010, Vantaa 1 / 16 Tiivistelmä

Lisätiedot

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto

Ekspontentiaalinen kasvu. Eksponenttifunktio. Logaritmifunktio. Yleinen juurenotto Ekspontentiaalinen kasvu Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yleinen juurenotto Missä on eksponenttimuotoista kasvua tai vähentymistä? Väestönkasvu Bakteerien kasvu Koronkorko (useampivuotinen talletus)

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Tilapäinen vanhempainraha lapsen hoidon yhteydessä [Tillfällig föräldrapenning vid vård av barn]

Tilapäinen vanhempainraha lapsen hoidon yhteydessä [Tillfällig föräldrapenning vid vård av barn] Tilapäie vahempairaha lapse hoido yhteydessä [Tillfällig föräldrapeig vid vård av bar] Klicka här, skriv ev. Udertitel Lapset sairastuvat usei. Tämä vuoksi voit saada tilapäistä vahempairahaa, jos joudut

Lisätiedot