2.1 Kertaus prosenttilaskennasta

Transkriptio

1 Verotus 2.1 Kertaus prosenttilaskennasta 1. Alennukset yhteensä = 2300 Alennusprosentti ,184 18,4% Vastaus: Alennus 18,4 % 2. Reetun alennusprosentti: 99,90 0, ,50 alennusprosentti100% 86,49...% 13,50...% Vilman alennusprosentti: 125,00 0, ,90 alennusprosentti100% 83,38...% 16,61...% 13,50% Vastaus: Vilman alennus prosentti on suurempi , Arvo laski 100% 48% 52%. 4. Talletuksen korko 0, ,50 1

2 Verotus 5. a) Verrataan tuotekehittelyosaston henkilöstömäärää (osoittaja) markkinointiosaston henkilöstömäärään (nimittäjä): 138 1,84 184% 75 Tuotekehittelyosaston henkilöstömäärä on 184 % % = 84 % suurempi b) Verrataan markkinointiosaston henkilöstämäärää (osoittaja) tuotekehittelyosaston henkilöstömäärään (nimittäjä) 75 0, % 138 Markkinointiosaston henkilöstömäärä on 100 % - 54 % = 46 % pienempi 6. a) Sijoituksen arvo vuoden kuluttua: 4,25 (1 ) 700 1, , b) Koska sijoitettava summa on kummassakin tapauksessa sama, voidaan tilanteita vertailla tuottoprosenttien avulla. Verrataan Eetun tuottoprosenttia Netan tuottoprosenttiin: 4,90% 1, % 4,25% Eetun rahaston tuotto on siis 115 % % = 15 % suurempi. 2

3 Verotus 7. Merkitään kahvipaketin hintaa Veijon valinnassa kirjamella a. Kahvin hinta Pekan puodissa 1,015a Kahvin hinta Marjatan marketissa 1,035a a) 3,5 1,5 2,0 (prosenttiyksikköä) b) 1,035 a 1, % eli 2,0 % enemmän 1,015a c) 1,015 a 0, ,1% 1,035a eli 100% 98,1% 1,9% vähemmän 8. a) 15,00 1,600,8 19,20 b) 19,20 1,28 128% 15,00 Kauppias saa yhdestä saapasparista 28 % enemmän. c) Alkuperäinen myyntihinta 1, Kauppiaalle jää saapasparista. Ennen poistomyyntiä myydystä saappaista kauppiaalle jää: Alennetusta hinnasta 19,20 kauppiaalle jää 19,20 15 = 4,20 saapasparista. Poistomyynnissä myydyistä saappaista kauppiaalle jää: 204,20 84 Kauppiaalle jää yhteensä 100 saapasparin myynnistä = Merkitään lipun hintaa alussa kirjaimella a. 3

4 Verotus Lipun hinta muutosten jälkeen: 1, 2 1,1 1, 05a 1,386a Hinta nousi 138,6% 100% 38,6% 39%. 10. Foni Oy Merkitään markkinaosuutta alussa (vuonna 2008) kirjaimella a. Markkinaosuus vuonna 2010 on 1,16 1,06 1,04a 1, a. Kasvua 27,84 % Puhe Oy Merkitään markkinaosuutta alussa (vuonna 2008) kirjaimella b. Markkinaosuus vuonna 2010 on 1,1 1,09 1,07b 1, 28293b Kasvua 28,29 % > 27,87 % Vastaus: Puhe Oy on kasvattanut markkinaosuuttaan enemmän 11. Hinta Koko Kilohinta Alussa Lopussa a 1,05a b 1,085b a b 1, 05a 0, ,085b 12. Kilohinta laski 100% 96,77...% 3,225...% 3,2% Alussa Lopussa 4

5 Verotus Kilohinta Kysyntä Myyntitulot a 1,08a b 0,95b ab 1,08a 0,95b 1,026ab Myyntitulot nousivat 102,6 % % = 2,6 %. 13. Merkitään alkuperäistä kuukausipalkkaa kirjaimella x. 1,035x 2550 :1,035 x 2463, Vastaus: 2463,77 (tai 2464 ) 14. Merkitään lomarahaa kirjaimella x. Ismon sijoittama summa 1 2 x. Puolen vuoden jälkeen sijoituksen arvo 1 1,025 x ,5125x 520 : 0,5125 x 1014, Vastaus: 1014,63 (tai 1015 ) 5

6 Verotus 15. Merkitään velatonta hintaa kirjaimella x. Leena saa myyntihinnasta välityspalkkion jälkeen 100% 3,8% 96, 2%. Saadaan yhtälö 0,962x = :0,962 x = Vastaus: a) Merkitään kuukausipalkkaa kirjaimella x. 0,315x 650 :0,315 x 2063, ,49 ( ) b) Käteen jää verojen vähentämisen jälkeen prosentteina 100% 29,5% 70,5%. Käteen jäävä rahasumma on 0, , ,76 Vastaus: a) 2063,49 b) 1454, Merkitään alentamatonta hintaa kirjaimella x. 0,6 0,3x 6,55 0,18x 6,55 :0,18 x 36, Vastaus: 36, Olkoon palkka ennen korotuksia a. 6

7 Verotus Palkka x-kertaistuu molempina vuosina eli kahden korotuksen jälkeen se on c. Koska kokonaiskorotus oli 5,5 %, on palkka lopussa 1,055a. Saadaan yhtälö 2 xa a a a x 2 1,055 :, 0 1,055 x 1, Vuotuinen korotus on 1, , ,7%. 19. Merkitään prosenttikerrointa kirjaimella k. Saadaan yhtälö k 5 10,50 17,80 :10, ,80 k 10,50 17,80 k 5 10,50 5 k 1, k 1, Päivittäinen nousu on 1, = 0, % Vastaus: päivittäinen nousu 11 % (tai 11,13 %) 7

8 Verotus 20. a) 26,0 1, ,883...% 24,1 Liikevaihto oli 107,883 % % = 7,883 % 7,88 % suurempi b) 24,9 0, ,031...% 25,4 Liikevaihto oli 100 % - 98, % = 0, % 1,97 % pienempi 21. Merkitään prosenttikerrointa kirjaimella k. 120 k 123 :120 k 1, ,5 % Vastaus: Tilin korkoprosentti 2,5 % 22. a) Helmikuussa talletettiin 20 % enemmän eli 1, b) Joulukuussa (11 kuukauden kuluttua) talletettiin 11 1, , , Merkitään kirjan alkuperäistä hintaa kirjaimella a. Kirjan hinta hinnan nousun jälkeen 1,05a. Kirjan hinta hinnan laskun jälkeen 0,92 1,05a 0,966a 8

9 Verotus Hinta oli siis 96,6 % alkuperäisestä hinnasta eli hinta laski 100% 96,6% 3, 4%. Vastaus: Hinta laski 3,4 % 24. Pääsymaksu Alussa Lopussa a 1,15a Kävijämäär ä b 0,9b Myyntitulot ab 1,15a 0,9b 1, 035ab Myyntitulot kasvoivat 103,5 % % = 3,5 % 25. Merkitään talletettua rahasummaa kirjaimella x. a) 1,018x 96,51 :1,018 x 94, x 94,80 ( ) b) 3 3 1,018 x 84, 40 :1,018 x 80, x 80 ( ) Vastaus: a) 94,80 b) 80 9

10 Verotus 2.2 Ansiotulojen verotus 26. Perusprosentti 28,5 % Lisäprosentti 46,5 % Tuloraja 2850,50 a) Kun tulot ovat 2500, pidätetään vain perusprosentin mukaan: 0, ,50 b) 3000 tuloista 2850,50 pidätetään perusprosentilla eli veroa pidätetään 0, ,50 812, ,39. Ylimenevältä osalta, ,50 149,50, pidätetään vero lisäprosentin mukaan: 0, ,50 69, ,52 Käteen jää ,39 69, , Ennakonpidätysprosentti 42 % Bruttopalkka x Palkasta jää käteen % 58%. 0,58x 847,30 :0,58 x 1460, x 1460,86 Veroa on siis maksettu 1460,86 847,30 613,56. 10

11 Verotus 28. a) on tuloverotaulukossa luokassa Vero alarajan kohdalla on 489. Ylimenevältä osalta pidätetään 17,5 % veroa: 0,175 ( ) 0, Tuloveroa yhteensä = b) on tuloverotaulukossa luokassa Vero alarajan kohdalla on Ylimenevältä osalta pidätetään 21,5 % veroa: 0,215 ( ) 0, Tuloveroa yhteensä = a) on tuloverotaulukossa luokassa Vero alarajan kohdalla on 8. Ylimenevältä osalta pidätetään 6,5 % veroa: 0,065 ( ) 0, ,50. Tuloveroa yhteensä ,50 = 27,50 b) on tuloverotaulukon luokan alaraja. Vero alarajan kohdalla on Tämä on kokonaisuudessaan euron tuloista pidätettävä veron määrä. 11

12 Verotus 30. Maksettu veron määrä on pienempi kuin kolmannen luokan alarajalla maksettava verojen määrä (2974 ). Sonjan verotettavat tulot kuuluvat tällöin luokkaan Merkitään kirjaimella x Sonjan verotettavaa ansiotuloa. Saadaan yhtälö 489 0,175( x 22600) ,175x ,175x 5226 : 0,175 x 29862, x Vastaus: Verotettava ansiotulo on a) Valtion tulovero 8 0,065 ( ) 8 0, ( ) Kunnallisvero Mikkeli 19,50 % Veroa maksettava 0, Veroja yhteensä =

13 Verotus b) Valtion tulovero 8 0,065 ( ) 8 0, ( ) Kunnallisvero Turku 18,75 % Veroa maksettava 0, Veroja yhteensä = Eerika maksaa kunnallisveroa 20,00 % eli 0, Minja maksaa kunnallisveroa 17,5 % eli 0, ,50. Minja maksaa 437, ,50 enemmän. 33. a)valtion tulovero Ellin palkka kuuluu luokkaan Vero alarajan kohdalla Ylimenevältä osalta pidätetään 21,5 % eli 0,215 ( ) 0, Valtion tuloveroa yhteensä =

14 Verotus Muut verot ja veronkaltaiset maksut Kunnallisvero 19,00 % Eläkemaksu 4,50 % Tyött.vak.maks u 0,40 % Yhteensä 23,9 % Veroa 0, ,80 Kaikki verot yhteensä ,80 = 12404,80 b)valtion tulovero Urhon palkka kuuluu luokkaan Vero alarajan kohdalla Ylimenevältä osalta pidätetään 21,5 % eli 0,215 ( ) 0, ,70. Valtion tuloveroa yhteensä ,70 = 3958,70. Muut verot ja veronkaltaiset maksut Kunnallisvero 19,00 % Kirkollisvero 1,25 % Eläkemaksu 4,50 % Tyött.vak.maks u 0,40 % Yhteensä 25,15 % Veroa 0, ,07 Kaikki verot yhteensä 3958, ,07 = 14365,77 14

15 Verotus 34. Konstan vuositulot ,50 = Valtion tulovero Konstan palkka kuuluu luokkaan Vero alarajan kohdalla , ,25, Ylimenevän osan vero: Veroa yhteensä ,25 = 2440,25 Muut verot ja veronkaltaiset maksut Kunnallisvero 19,00 % Kirkollisvero 1,25 % Eläkemaksu 4,50 % Tyött.vak.maks u 0,40 % Yhteensä 25,15 % Veroa 0, = 8488, ,13 Kaikki verot yhteensä 2440, ,13 = 10928, a) mk kuuluu luokkaan mk mk. Veroa maksetaan luokan alarajalla 9540 mk. Ylimenevästä osasta mk mk veroa maksetaan 25,0 % eli 0, mk mk Veroa maksetaan yhteensä 9540 mk mk mk. 15

16 Verotus b) Jos vuositulot olisivat mk mk, jäisi pidätyksen jälkeen käteen alle mk. Vuositulot kuuluvat luokkaan mk mk. Merkitään vuosituloja kirjaimella x. Vuosituloista maksetaan veroja ,31x ,31x ,31x Saadaan yhtälö x0,31x x0,31x ,69x :0,69 x , x Vastaus: a) mk b) mk 16

17 Verotus 36. Esimerkiksi Helsinki (kunnallisvero 17,50 %) Kunnallisvero tulot vero tulot vero Valtion tulovero 17

18 Verotus 37. a) Alle 2150 euron tuloista veroa pidätetään perusprosentin mukaan 0, = 524,70 b)perusprosentilla pidätetään 2150 euroon asti. 0, = 569, euron ylimenevältä osalta veroa pidätetään lisäprosentin mukaan 0,42 ( ) = 0, = 134,40 Veroa pidätetään yhteensä 569, ,40 = 704, Vuosiansiot ,60 = 23647,20 Valtion tulovero Verotettava tulo kuuluu luokkaan Vero alarajan kohdalla 489 Vero alarajan ylittävästä osasta 0,175 (23647, ) = 183,26 Veroa yhteensä ,26 = 672,26 Muut verot ja veronkaltaiset maksut Kunnallisvero 19,50 % Kirkollisvero 1,25 % Eläkemaksu 4,50 % Tyött.vak.maks u 0,40 % Yhteensä 25,65 % Veroa yhteensä 0, ,20 = 6065, ,51 Kaikki verot yhteensä 672, ,51 = 6737,77 18

19 Verotus 39. Merkitään vuosiansioita kirjaimella x. Koska veroa maksettiin 6250, ansiot kuuluvat veroluokkaan Vero alarajan kohdalla 2974 Alarajan ylittävästä osasta on x , 215 x Siitä maksetaan veroa 21,5 % eli Veroa yhteensä siis 0,215 x , joten saadaan yhtälö 0, 215x , 215x ,215x :0,215 x 52037, 2093 x ( ) 40. Valtion tulovero Verotettavat tulot kuuluvat luokkaan Vero alarajan kohdalla 489 Vero alarajan ylittävästä osasta 0,175 ( ) = 420 Veroa yhteensä = 909 Muut verot Kunnallisvero 19,00 % eli 0, = 4750 Kaikki verot yhteensä = 5659 Tuloista menee veroihin , ,6%

20 Verotus 2.3 Muut verot 42. Ilmari maksaa veron myyntivoitosta Veroja maksetaan 28 % eli 0, Osakkeet maksoivat Osakkeiden arvo kurssinousun jälkeen 1, ,50. a) Voitosta maksetaan veroa 28 %: 0, , ,50 b) Voitto verojen jälkeen 287, , Vuokratulo vuodessa Nettotulo = 800 Vero 0, =

21 Verotus 46. Perintö pyöristetään verotuksessa arvoon Vaarilta saatava perintö verotetaan 1. veroluokan mukaan. Perintö on luokassa Vero alarajan kohdalla on Vero ylimenevältä osalta on 13 % eli 0,13( ) = 9659 Veroa maksetaan yhteensä = a) äiti kuuluu 1. veroluokkaan Vero alarajan kohdalla on 100 Vero alarajan ylimenevältä osalta on 7 % eli 0,07( ) = 770 Lahjasta tulee maksaa veroa = 870 b) serkku kuuluu 2. veroluokkaan Vero alarajan kohdalla 100 vero alarajan ylimenevältä osalta on 20 % eli 0,20( ) = 2200 Lahjasta tulee maksaa veroa =

22 Verotus c) Kummankin isovanhemman antama lahja on suuruudeltaan : 2 = 7500 Isovanhemmat kuuluvat 1. veroluokkaan. Lasketaan ensin 7500 euron lahjasta maksettavat verot. Vero alarajan kohdalla 100 Vero alarajan ylimenevältä osalta on 7 % eli 0,07 ( ) = euron lahjasta pitää maksaa veroa = 345. Koska tällaisia rahalahjoja on kaksi veroa pitää maksaa yhteensä = 690 Vastaus: a) 870 b) 2300 c) Ulla Ulla lahjoittaa 0, Sisaret kuuluvat 2. veroluokkaan Vero alarajan kohdalla 100. Vero ylimenevältä osalta 20 %: 0,20 ( ) =220 Ullan lahjasta makettava veroa = 320 Maija Maija lahjoittaa = Koska lahjoitettava summa on alle 4000, siitä ei tarvitse maksaa veroja. Koko lahjoituksesta on siis maksettava veroja

23 Verotus 49. Merkitään perinnön arvoa kirjaimella x. Koska Iiro perii tätinsä, veroa maksetaan 2. veroluokan Koska veron määrä on yli 4100 ja alle 9300, kuuluu perintö luokkaan Veroa maksetaan luokan alarajalla Alarajan ylimenevästä osasta maksetaan veroa 26 % eli euroina 0,26 (x 40000) Saadaan yhtälö ,26 x , 26x , 26x :0,26 x Vastaus: Huom! Koska verotuksessa summa pyöristetään alaspäin satoihin euroihin voi lahjoitettava summa olla välillä [45000, [

24 Verotus 51. a) Kuukausitulot ( ) Alaraja Yläraja Vakio säästösumma alarajan kohdalla ( ) Säästöprosentti alarajan ylittävältä osalta (%) , x x , x 0,08 80 eli b) 2400 kuuluu luokkaan Summa alarajan kohdalla 80. Alarajan ylittävältä osalta säästöön 8 %: 0, Kaikkiaan säästöön =

25 Verotus 52. Tuote tai palvelu Veroton hinta ( ) Alv ( ) Verollinen hinta ( ) leipä 0,93 0,130,93 0,1209 0,12 1,130,93 1,0509 1, 05 cdsoitin 139,00 113,01 1, ,00 113,01 25,99 139,00 taksi 4,21 46,78 0,09 4,21 46,78 4,21 50,99 tuote A 1,52a 1, 23 1, 24a 1,52a 1, 24a 0,28a 1,52a 53. a) Veroton hinta x Koska arvonlisäveroa maksetaan myös polttoaineverosta, saadaan yhtälö 1, 23( x 0,6270) 1,30 :1,23 x 0,6270 1, x 0, x 0,43 ( / l) 25

26 Verotus b) Bensiinin hinnassa on veroa 1,30 /l 0,43 /l = 0,87 /l Veron osuus prosentteina 0,87 0, % 1, Elintarvikkeiden verollinen hinta 1,13 21,20 23,956 23,96 Ei -elintarvikkeen verollinen hinta 34,20-23,96 = 10,24 Ei-elintarvikkeen veroton hinta x: 1,23x 10,24 :1,23 x 8, x 8,33 Arvonlisäveroa maksetaan yhteensä 34,20-21,20-8,33 = 4, a) Kuluttaja maksaa 1,2325,00 30,75 b) Kauppiaan maksama hinta 1,2318,00 22,14 c) Yritys tilitti alv:a (eli kauppias maksaa alv:a ostaessaan tuotteen): 22,14 18,00 4,14. Alv:n osuus loppuhinnasta (kuluttajan maksama alv): 30,75 25,00 5,75. Kauppias tilittää 5,75 4,14 1,61. 26

27 Verotus 56. Ostojen veroton hinta x. 1, 23x :1, 23 x 16260, x 16260,16 Ostoissa arvonlisäveroa , ,84 Myyntituottojen veroton hinta m 1,23m :1,23 m 32520, m 32520,33 Myyntituotoissa arvonlisäveroa , ,67 Vimma Oy tilittää arvonlisäveroa myynnin alv ostojen alv 7479, , ,83. 27

28 Verotus 57. Valmistajan veroton hinta v 1, 23v 7400 :1, 23 v 6016, v 6016, 26 Arvonlisäveron määrä , ,74 Liikkeen veroton hinta l 1, 23l :1, 23 l 8455, l 8455, 28 Arvonlisäveron määrä ,28 = 1944,72 a) Kännykkäliike tilittää arvonlisäveroa 1944, ,74 = 560,98 b) Valtio saa arvonlisäveroa sekä valmistajalta että myyjältä: 1383, ,98 = 1944,72. Tämä on sama määrä, minkä kuluttaja maksaa arvonlisäveroa ostaessaan tuotteen. 28

29 Verotus 58. a) Veroton hinta h Verollinen hinta 1,23h Arvonlisävero 0,23h 0,23h 0, % 1, 23h b) Veroton hinta h Verollinen hinta 1,09h Arvonlisävero 0,09h 0,09h 0, ,3% 1, 09h c) Veroton hinta h Verollinen hinta 1,13h Arvonlisävero 0,13h 0,13h 0, % 1,13h 59. a) Veroton hinta k Verollinen hinta ennen korotusta 1,09k Verollinen hinta korotuksen jälkeen 1,13k Muutos 1,13k 1, ,7% 1, 09k eli nousee 3,7 % 29

30 Verotus b) Vanha veroton hinta k Vanha verollinen hinta 1,09k Uusi veroton hinta 0,9k Uusi verollinen hinta 1,13 0,9k 1,017k Muutos 1,017k 0, ,3% 1, 09k eli laskee 100 % - 93,3 % = 6,7 % c) Vanha veroton hinta k Vanha verollinen hinta 1,09k Uusi veroton hinta 1,05k Uusi verollinen hinta 1,13 1, 05k 1,1865k Muutos 1,1865k 1, ,9% 1, 09k eli nousee 8,9 % 60. Karkkipussin veroton hinta x. Karkkipussin verollinen hinta 1,13x Arvonlisävero 0,13x Lehden veroton hinta y Lehden verollinen hinta 1,09y Arvonlisävero 0,09y 30

31 Verotus 1,13x 1,09y 7,80 0,13 0,13x0,09y 0,76 1,13 0,1469x0,1417y 1,014 0,1469x 0,1017 y 0,8588 0,04y 0,1552 : 0,04 y 3,88 Sijoitetaan saatu y:n arvo ensimmäiseen yhtälöön. 1,13x 1,093,88 7,80 1,13x 3,5708 :1,13 x 3,16 Karkkipussin hinta 3,16 Lehden hinta 3, Yrityksen verottomat myyntitulot x Verolliset myyntitulot 1,23x Arvonlisävero 0,23x Tarvikeostojen veroton hinta y 1, 23y :1, 23 y 10081, y 10081,30 Arvonlisäveron määrä ,30 = 2318,70 31

32 Verotus Yritys tilittää valtiolle 3560,75, joten saadaan yhtälö: 0, 23x 2318, ,75 0, 23x 5879, 45 :0,23 x 25562, x 25562,83 Verolliset myyntitulot 1, , , Arvonlisävero 13 % Lasketaan kalastajan myymien kalojen veroton hinta 1,13x 3 3 x 1,13 x 2, x 2,65 Arvonlisäveron määrä 3-2,65 = 0,35 Lasketaan tukkukauppiaan myymien kalojen veroton hinta 1,13 y 6 6 y 1,13 y 5, y 5,31 Arvonlisäveron määrä 6-5,31 = 0,69 32

33 Verotus Tukkukauppias tilittää valtiolle myynnin alv ostojen alv 0,69-0,35 = 0,34. Olkoon kalan veroton kilohinta kaupassa h. Kalan arvonlisäveron määrä kalakaupassa 0,35 + 0,34 + 0,49 = 1,18 Arvonlisävero on 13 % verottomasta hinnasta h 0,13h 1,18 :0,13 x 9, x 9,08 Kalojen kilohinta kaupassa (verollinen) on siis 9,08 1,13 10, , a) Lankojen veroton hinta paitaa kohti 1,23x x 1, 23 x 20, x 20,33 Arvonlisäveron määrä 25-20,33 = 4,67 33

34 Verotus Kutoja myy paidan hintaan 95. Paidan veroton hinta 1,23y y 1, 23 y 77, y 77,24 Arvonlisäveron määrä 95-77,24 = 17,76 Kutoja tilittää valtiolle 17,76-4,76 = 13,00 b) Paidan veroton hinta kaupassa 1,23h h 1, 23 h 121, h 121,95 Arvonlisäveron määrä ,95 = 28,05 Kauppias tilittää 28,05-4,67-13 = 10,38 c) Valtio saa 28, Vuokratulot yhteensä Veronalainen tulo Vero 0, ,80 34

35 Verotus 65. Leikkauksen veroton hinta 1, 22x x 1, 22 x 18, x 18,85 Jos arvonlisävero olisi 22 % - 13 % = 9 %, verollinen hinta olisi 1,09 18,85 20, , a) Äidin lahjoittama osuus 6000 Äiti kuuluu 1. veroluokkaan vero alarajan kohdalla 100 vero alarajan ylimenevästä osasta 0,07 ( ) = 140 Verot äidin lahjoittamasta osasta: = 240 Äidin sisaren lahjoittama osuus 6000 Äidin sisar kuuluu 2. veroluokkaan vero alarajan kohdalla 100 vero alarajan ylimenevästä osasta 0,20 ( ) = 400 Verot äidin sisaren lahjoittamasta osasta = 500 Verot koko rahalahjoituksesta =

36 Verotus Lahjoituksesta jää käteen = b) Verojen osuus rahalahjasta 640 0, ,3% Elintarvikkeiden veroton hinta x Arvonlisävero 0,13x Verollinen hinta 1,13x Vaatteiden veroton hinta y Arvonlisävero 0,23y Verollinen hinta 1,23y 0,13x0, 23y 30 1,13 1,13x1, 23y 167,60 0,13 0,1469x0, 2599y 33,9 0,1469x 0,1599y 21,788 0,1y 12,112 :0,1 y 121,12 Sijoitetaan saatu y:n arvo yhtälöön 0,13x + 0,23y = 30: 0,13x 0,23121, ,13x 2,1424 :0,13 x 16,48 Elintarvikkeiden veroton hinta 16,48 Vaatteiden veroton hinta 121,12 36

37 Verotus 68. a) Viljelijän veroton hinta 1,13x 2,50 2,50 x 1,13 x 2, x 2,21 Arvonlisäveron määrä 2,50-2,21 = 0,29 Viljelijä tilittää arvonlisäveroa 0,29 Tukkukauppiaan veroton hinta 1,13y 4,50 4,50 y 1,13 y 3, y 3,98 Arvonlisäveron määrä 4,50-3,98 = 0,52 Tukkukauppias tilittää arvonlisäveroa 0,52-0,29 = 0,23 Kuluttaja maksaa arvonlisäveroa 0,75. Jälleenmyyjä tilittää arvonlisäveroa 0,75-0,23-0,29 = 0,23 b) Olkoon mansikoiden veroton hinta jälleenmyyjällä x. 0,13x 0,75 :0,13 x 5, x 5,77 Verollinen hinta on 1,13 5,77 6,5201 6,52 37

38 Korkolasku 3.1 Yksinkertainen korkolasku 69. Pääoma 150 Korko 1,7 % = 0,017 Lähdevero 28 % = 0,28 a) Korko r 150 0,017 2,55 b) Vero 0, 28 2,55 0,714 0,71 c) Nettokorkokanta 0,72 1,7% 1, 22% d) 1, , , Pääoma 400 a) Nettokorkokanta 0,72 1,25% 0,9% 0,009 b) Nettokorko 0, ,60 Kasvanut pääoma 400 3,60 403, c) 4kk a a Korko r 400 0,009 1,20 3 Kasvanut pääoma 400 1,20 401,20 38

39 Korkolasku 71. Korkokanta 0,85 % Pääoma 250 a) Nettokorkokanta 0,72 0,85 % = 0,612 % b) Korkopäivät: Kesäkuu Heinäkuu 31 Elokuu 31 Syyskuu 14 Yhteensä 96 Korko 96 r 0, , , Rahaa tilillä ,40 = 250, Pääoma 2300 a) Korkokanta 1,225 % Korkoaika vuorokausina: = 260 Koska korkona euribor 360, vuodessa 360 päivää. 260 Korko r , , ,

40 Korkolasku b) Korkokanta 1,242 % Korkoaika vuorokausina: = 199 Koska korkona euribor 365, vuodessa 365 päivää. Korko 199 r , , , Pääoma Korkoaika 3kk a 0,25a 12 a) Nettokorko r 101, ,60 Nettokorkokantakerroin x: 0, 25100x 1,60 25x 1,60 :25 x 0,064 eli nettokorkokanta 6,4 % b) Olkoon korkokanta p %. Tällöin 0,72 p 6,4 p 8, p 8,9 eli korkokanta on 8,9 %. 40

41 Korkolasku 74. Pääoma 500 Korko 3,80 Korkopäivät: Maaliskuu Huhtikuu 30 Toukokuu 31 Kesäkuu 30 Heinäkuu 31 Elokuu 31 Syyskuu 16 Yhteensä 190 päivää Tilin korkokantakerroin on x. Saadaan yhtälö x 3, x 1387 : x 0,0146 Tilin korkokanta on 1,46 %. 41

42 Korkolasku 75. Lainapääoma 1200 Korkokantakerroin x Korko 1223, ,40 Laina-aika 0,5 a 0,51200 x 23, x 23, 40 :600 x 0,039 Korkokanta siis 3,9 % Marginaali 3,9% 2,5% 1,4% 76. Korkoaika t (vuotta) Korkokanta 1,60% 0,016 Pääoma 730 Korko 3 0, t 3 11,68t 3 :11,68 t 0, , a 3650, d 93,75d 94d 42

43 Korkolasku 77. Pääoma 2300 Korko 2302, ,54 Korkokanta 1,75% 0,0175 Nettokorkokanta 0,72 0,0175 0,0126 Korkoaika t päivää t 0, , , t 2,54 :0, t 31, t 32 Talletus oli tilillä 32 päivää. Talletuspäiviä kesäkuussa Talletuspäiviä heinäkuussa siis = 3 Leila nosti talletuksen 3. heinäkuuta. 78. Pääoma k Kasvanut pääoma 231,80 Nettokorkokanta 0,721,30% 0,936% 0,00936 Vuoden aikana pääoma 1,00936-kertaistuu: 1,00936 k 231,80 :1,00936 k 229, k 229,65 Lauri talletti 229,65. 43

44 Korkolasku 79. Laina-aika 2 a 1 a 12 6 Lainasumma k Korkokanta 1, 242 0,90 % 2,142% 0,02142 Korko kahdelta kuukaudelta 1 0, , k k k 0,00357k 2508,93 1,00357k 2508,93 :1,00357 k 2500, Lainasumma oli Laina-aika 3 a 0,25a 12 Pääoma x Korot 20,40 Korkokanta 13,6% 0,136 0,136 0, 25x 20, 40 0,034x 20, 40 :0,034 x 600 Vekseli on suuruudeltaan

45 Korkolasku 82. Tammikuun sijoitussumma x Korko vuodelta 0,12x Heinäkuun sijoitussumma 2x Korko puolelta vuodelta 0,5 0,12 2x 0,12x Sijoitukset ja korot yhteensä x 0,12x2x0,12x 3,24x Saadaan yhtälö 3,24x :3,24 x eli pankkiiri sijoitti tammikuussa Laina-aika on kuukautta 1. kuukauden korko: 0, , kuukauden korko: 3. kuukauden korko: 0, kuukauden korko: 0, kuukauden korko: 0, Korot yhteensä 0, , , , aritmeettinen summa: d250, n , ,50 ( ) 45

46 Korkolasku 84. Talletus 100 Korkoaika (vuosina) Korko vuoden lopussa ( ) , , , , Korkoa kertyy vuodessa , , , , aritmeettinen summa , ,725 10,73 ( ) Talletuksia tehdään vuodessa Tilillä rahaa vuoden kuluttua , ,73. 46

47 Korkolasku 85. a) Maari, korkokanta 1,18 % Talletus ( ) Korkoaika Korko vuoden (vuosina) lopussa ( ) , , , , Korot yhteensä , , , , , , , , 45 ( ) Maarin tilillä rahaa ,45 543,45 47

48 Korkolasku Katri, korkokanta 2,35 % Korot yhteensä , , ,11 ( ) Katrin tilillä rahaa ,11 486,11 543,45 Maarilla on vuoden kuluttua enemmän rahaa. b) Yhteinen talletus:40 e + 45 = 85 Korkokanta 1,9 % Korot vuoden kuluttua: , , , , , , ,50 ( ) Tilillä rahaa , ,50 Jos rahat erillisillä tileillä, rahaa olisi yhteensä 543, ,11 = 1029,56 < 1030,50 Yhteinen tili olisi ollut kannattavampi. 48

49 Korkolasku 86. Merkitään kuukausittaista säästösummaa kirjaimella x. Korot vuoden kuluttua x0,0173 x0, x0, x 0, x 0, ,11245x Tilillä on vuoden kuluttua rahaa 12x + 0,11245x = 12,11245x Saadaan yhtälö 12,11245x 1500 :12,11245 x 123, x 123,84 Vastaus: 123,84 49

50 Korkolasku 87. Vuoden 2000 alussa tilillä on rahaa 1, mk = mk. Lasketaan korkopäivien määrä: Tammikuu 31 Helmikuu 29 Maaliskuu 31 yht.152d Huhtikuu 30 Toukokuu 31 Tilillä on rahaa , , ,07 (mk) Lasketaan korkopäivien määrä välillä Kesäkuu 30 Heinäkuu 31 yht. 85d Elokuu 24 Korkoa kertyy ,07mk 0, , mk 2388,53mk 366 Lähdevero 29 % on 0, ,53mk 692,6737mk. Tämä pyöristetään täysiksi markoiksi eli lähdevero on 693 mk. Nettokorko on 2388,53 mk 693 mk = 1695,53 mk. Virtanen sai nostaessaan ,07 mk ,53 mk = ,60 mk 50

51 Korkolasku 88. Pääoma 650, korkokanta 1,47 % a) Nettokorkokanta 0,72 1,47 % = 1,0584 % b) Vuosikorko 0, = 6,8796 6,88 Kasvanut pääoma 650 6,88 656,88 c) Korko neljältä kuukaudelta 4 0, ,2932 2,29 12 Kasvanut pääoma 650 2,29 652, Korkokanta 1,95 % Nettokorkokanta 0,721,95% 1,404% 0,01404 Talletusaika t vuorokautta Korko 6730, ,93 t 0, , ,068t 11289, 45 : 94,068 t 120, Talletusaika oli 120 vuorokautta. 51

52 Korkolasku 90. Talletuspäivät: Toukokuu Kesäkuu 30 Heinäkuu 31 Elokuu 6 yht. 94 Korko 136, ,70 a) Olkoon x nettokorkokerroin x 1, x 620,5 :12690 x 0, ,049 Nettokorkokanta on 4,9 %. b) Korkokantakerroin y 0,72y 0, :0,72 y 0, y 0,068 Korkokanta 6,8 %. 52

53 Korkolasku 91. Laina-aika 5 a 12 Lainasumma k Korkokanta 1, 242 2,3 % 3,542 % 0,03542 Korko 5,16 5 0,03542 k 5, ,1771k 61,92 : 0,1771 k 349, k 350 Lainasumma oli Talletu s ( ) Korkoaika vuosina Korko ( ) , , ,

54 Korkolasku Korot vuoden lopussa , , , , , ,06 ( ) Tilillä on rahaa vuoden lopussa ,06 = 555,06 Vastaus: 555,06 54

55 Korkolasku 3.2 Koronkorkolasku 93. a) Korkokerroin q 1,014 Kasvanut pääoma 7 K , , ,21 ( ) b) Nettokorkokanta 0,72 1, 4% 1,008% Korkokerroin q 1,01008 Kasvanut pääoma K , , ,73 ( ) Vastaus: a) 1102,21 b) 1072, Nettokorkokanta 0,72 1,63% 1,1736% Korkokerroin q 1, Kasvanut pääoma K 1251, , ,47 ( ) Vastaus: 140,

56 Korkolasku 95. Merkitään korkokerrointa kirjaimella q. Saadaan yhtälö q 520 :500 q 5 1, 04 5 q 1, 04 q 1, Tilin korkokanta on 1, , ,79% b) Korkokerroin q 1,012 Saadaan yhtälö n 5001, :500 n 1,012 1, 2 n lg1,012 lg1, 2 n lg1,012 lg1, 2 :lg1,012 lg1,2 n lg1,012 n 15, Vastaus: 16 vuoden kuluttua (15. vuoden aikana) 56

57 Korkolasku 96. Lasketaan, mikä olisi sijoitusvakuutuksen arvo 7 vuoden kuluttua, jos se kasvaisi vuosittain 2,6 % , , ,43 Korkoa olisi siis pitänyt kertyä 215, ,43 16,80 Vastaus: Ei toteutunut 97. Merkitään alkuperäistä talletusta kirjaimella a. Talletus on kymmenen vuoden kuluttua 1,3a. Merkitään korkokerrointa kirjaimella q. Saadaan yhtälö 10 aq 1,3 a : a 0 q 10 1,3 10 q 1,3 q 1, Korkokerroin aina positiivinen, joten q 1, Vastaus: Tilin korkokanta on 2,7 %. 57

58 Korkolasku 98. Merkitään korkokerrointa kirjaimella q. Tilin saldo on toisen vuoden alussa q. Saldon kolmannen vuoden alussa q 5000q q 4500q 2 Saadaan yhtälö q 4500q 9894, q 4500q9894, ,85 q q ,80... q q 1, tai 1 1, (eikäy) Tilin nettokorkokanta on 2,698 % Merkitään korkokantaa kirjaimella x. 0,71x 0, :0,71 x 0, Tilin korkokanta on 3,8 %. Vastaus: 3,8 % 58

59 Korkolasku 99. Korkokerroin q 1,0058 Saadaan yhtälö n 200 1, :200 n 1,0058 1, 25 n lg1,0058 lg1, 25 nlg1,0058 lg1,25 :lg1,0058 lg,125 n 38,58... lg1,0058 Vastaus: 39 vuoden kuluttua 100. a) Merkitään korkokerrointa kirjaimella q q 171,75 : ,75 q 1, ,75 q q 1, Korkokerroin aina positiivinen, joten q 1, Tilin nettokorkokanta on 1,40 %. b) Merkitään korkokantaa kirjaimella x. 0,72 x 0,0140 :0,72 x 0, Tilin korkokanta on 1,94 %. 59

60 Korkolasku 101. Tilin nettokorkokanta 0,72 1,50% 1,08% Tarkastellaan ensimmäisen vuoden talletuksia. Talletus ( ) Korko vuoden lopussa ( ) , , , Koko vuoden korot , , , , , , 053 1, 05 ( ) Tilillä rahaa vuoden kuluttua ,05 181,05. 60

61 Korkolasku Kaikki eri vuosien talletukset ovat 181,05. Nämä kasvavat korkoa korolle eri vuosien määrän. 1. vuosi ,05 1, vuosi ,05 1, vuosi ,05 1, vuosi 181,05 Tilillä rahaa 20 vuoden kuluttua 181,05 181,05 1, ,05 1, ,05 1,0108 1, , , ,73 ( ) Vastaus: 4017, ,0108 S , Merkitään alkuperäistä pääomaa kirjaimella x. Tapa 1: Diskontataan talletushetkeen. 1 5 Diskonttaustekijä on 1, , x , ,73 5 1,

62 Korkolasku Tapa 2: Käytetään koronkorkolaskua. x 1, :1, x 5 1, 035 x 8419, Vastaus: 8419, a) Tilin nettokorkokanta 2,3 % ja talletusaika 30 vuotta 1 30 Diskonttaustekijä on 1, ,023 b) Diskontataan 5000 talletushetkeen , , , Merkitään kertatalletusta kirjaimella x. Tapa 1 Diskontataan kaikki rahasumman ensimmäiseen talletushetkeen x1,011 x1, x (1 1,011 ) 1, : (1 1,011 ) x 10 1, ,011 4 x 6672, x 6672,93 ( ) 62

63 Korkolasku Tapa 2 Käytetään koronkorkolaskua x x ,011 1, x ,011 1, : 1,011 1, x 1,011 1, x 6672, x 6672,93 ( ) 105. Diskontataan kaikki summat kaupantekohetkeen. Vaihtoehto 1: , , ,13 2 Vaihtoehto 2: , , , , a) Vaihtoehto 2 on Lassen leipä Oy:n kannalta edullisempi, sillä koneen hinta ostohetkellä on alhaisempi. b) Koska koneen hinta on vaihtoehdossa 1 myyntihetkellä suurempi, on vaihtoehto 1 myyjän kannalta edullisempi. Vastaus: a) vaihtoehto 2 b) vaihtoehto 1 63

64 Korkolasku 106. Diskontataan kummassakin maksutavassa kaikki rahasummat kaupantekohetkeen. Maksutapa 1: ,064 2 Maksutapa 2: a ,064 5 Saadaan yhtälö 5 2 a , ,064 a , ,064 a 50166,834.. a 50166,83 ( ) Vastaus: 50166, Diskontataan kaikki stipendit nykyhetkeen, 200 1, , , , , , ( ) Lahjoituksen on oltava Vastaus:

65 Korkolasku 108. Diskontataan kaikki rahasummat ostohetkeen , , , ,0085 1, ,0085 S Geom. summa 1, , , , , ,07 1 1, , , , Vastaus: 281,07 65

66 Korkolasku 109. Kuukausikorko on 4,8% 0,40% 12 Korkokerroin q 1, 0040 Merkitään maksuerän suuruutta kirjaimella x. Maksueriä on kahdessa vuodessa 24 kpl. Diskontataan nämä kaikki nykyhetkeen. x1,0040 x1, x1, x 1,0040 1, ,0040 S ,0040 1, , ,0040 1, , , x 22, Osamaksulla jää maksettavaksi Saadaan yhtälö 22, x 1900 :22, x 83, x 83,19 Vastaus: 83,19 66

67 Korkolasku 110. Nettokorkokanta on 0,721,73% 1,2456%. Korkokerroin q 1, a) Kasvanut pääoma 5 K 17001, , ,55 ( ) b) Kasvanut pääoma K , , ,25 ( ) Vastaus: a) 1808,55 b) 1972, a) Merkitään korkokerrointa kirjaimella q q 800 : q 1, q q 1, Nettokorkokanta on 2,3 %. b) Merkitään tilin korkokantaa kirjaimella x. Saadaan yhtälö 0,72x 0,023 :0,72 x 0, Korkokanta on 3,2 %. 67

68 Korkolasku 112. Merkitään sijoitettua summaa kirjaimella x. Tapa 1: Diskontataan 7500 euroa nykyhetkeen , , Tapa 2: Käytetään koronkorkolaskua 5 5 x 1, :1,075 x 5224, x 5224,19 ( ) Vastaus: 5224, Ulla Kuukausikorko 3,9% 0,325% 12 Diskontataan kaikki maksuerät nykyhetkeen , , ,53 68

69 Korkolasku Arttu Kuukausikorko 3,6% 0,3% 12 Merkitään toisen maksuerän suuruutta kirjaimella x. Diskontataan kaikki nykyhetkeen x 1, ,53 x 1, ,53 :1, x 750, x 750,24 Vastaus: 750, Nettokorko 0,712,00% 1,42% talletus 1. K 2. 1, 02 K , 02 K talletus 7:nen vuoden lopussa 7 K 1, ,02K 1, ,02 K 1, , 02 K 6 1,02 K 1,

70 Korkolasku Talletukset yhteensä 7:nen vuoden lopussa: K1,0142 1,02K1,0142 1,02 K1, ,02 K1, K 1,0142 1,02 1, ,02 1,0142 Geom. lukujono 6 1,02 1,0142 q 7 1, , K 1, ,0057 7, K 7,859976K 1 1,02 1,0142 1, Kun K 500, säästösumma on 7, , ,99 70

71 Sijoittaminen ja rahoitus 4.1 Sijoittaminen ,65% 0,0065 Nettokorkokanta 0,72 0,65% 0, 468% 0,00468 Kasvanut pääoma 3 1, , Lisäkorko 8,7 % nettolisäkorko 0,72 8,7% 6,264% Lisäkorko 0, ,60 Rahaa kolmen vuoden kuluttua 2535, , , Kasvua 2691, , ,7%

72 Sijoittaminen ja rahoitus 116. Korko 0,44 % Talletus 1,0044-kertaistuu vuosittain eli viiden vuoden kuluttua se on 5 1, Lisäkorkokerroin x Saadaan yhtälö 5 1, x x 526, x 0, x 0,106 Lisäkorkokanta oli 10,6 % Ensimmäisenä vuonna sijoitetaan 2000 Muina vuosina sijoitetaan 1000 Tuotto on 12 %, joten viiden vuoden kuluttua sijoituksen arvo on , , , , , , , ,12 1,12 1,12 1,12 1, , ,83 ( ) Sijoitusvakuutuksen tuotto 11062,83 ( ) 4002,83 Nettotuotto 0, , , ,04 72

73 Sijoittaminen ja rahoitus 118. Juulin sijoitukset: Nettokorkokannat 0,72 0,68% 0,4896% 0, ,72 12,5% 9% 0,09 Pääoma korkoineen 3 1, , , ,60 Reiman sijoitukset: Korkokanta 5,5% 0,055 Pääoma korkoineen ennen veroa on 3 1, , Voitto 11742, ,41... Voitto veron jälkeen 0,721742, , ,54 Pääoma korkoineen verojen jälkeen , ,54. Vastaus: Reima teki paremman sijoituksen. 73

74 Sijoittaminen ja rahoitus 119. Vuosikorko 4,4 % Vakuutusmaksupalkkio 0, ,20 Sijoitettava nettosumma 60 1,20 1,35 57, vuoden korot: , 450,044 57, 450, , 450, ,450, ,45 0, , 4307 Pääoma korkoineen 12 57,45 16, , ,83 Vastaavalla tavalla lasketaan muidenkin vuosien korko ja pääoma. Nämä vuosittaiset summat kasvavat korkoa korolle, jolloin niistä muodostuu summa ,83 1, ,83 1, , , , , ,83 1 1, , ,11 ( ) Tuotto 6597, ,11 Puhdas tuotto 0,71837,11 594,35 74

75 Sijoittaminen ja rahoitus 120. a) Korko 63 0, ,573 19, b) Emissiokurssi 105 % Velkakirjan hinta ilman korkoa 1, Kokonaishinta ,57 = 3694,57 c) Korkoa maksetaan vuosittain 0, = 113,40 Oston yhteydessä Pia maksoi ensimmisen 63 päivän koron, joten ensimmäisenä vuonna korkotuottoa tuli 113,40-19,57 = 93,83 Korko laina-ajan päättyessä 93, ,40 = 547,43 Todellinen korkotuotto 0,72 547,43 = 394, , a) Korko 0, , , Obligaation hinta 110 %:n emissiokurssilla on siis 1, ,56 = 7803,56. b) Velkakirjan korkotuotto sijoitusajan päättyessä 10 (0, ) 103,56 = 3046,44 Tuotto verojen jälkeen 0, ,44 = 2193, ,44 75

76 Sijoittaminen ja rahoitus 122. Obligaation arvo a 1 korko 0,05a nettokorko 0,72 0,05a 0,036a eli todellinen korko on 3,6 % 2 korkokerroin x 0,72 xa0,05 a : a 0,72x 0,05 :0,72 x 0, x 0,069 eli todellinen korko 6,9 % 123. Ostohinta ,80 = Välityspalkkio 0, = 40,96 Osinko ,85 = 1360 Osinkotuloista 30 % on verovapaata, joten verotettava osuus 0, = 952 Netto-osinko on 0, = 685,44 Myyntihinta ,10 = Välityspalkkio 0, = 48,32 76

77 Sijoittaminen ja rahoitus Myynnistä saadaan voittoa = 3680 Nettotulo 0,72 ( ,96 48,32 ) = 2585, ,32 Nettovoitto = netto-osinko + nettotulo Nettovoitto on 685, ,32 = 3270, Osake A: kurssimuutos 2,54 1,67 0,87 kokonaismuutos 90 0,87 78,3 Osake B: kurssimuutos 14,25 17,50 3, ,25 81,25 kokonaismuutos Osake C: kurssimuutos 25,10 12,67 12, 43 kokonaismuutos 1012,43 124,30 Salkun muutos 78,30 81, ,30 121,35 Salkun arvo kasvanut 121,35. Muutos prosentteina: 121,35 0, % 1, , ,

78 Sijoittaminen ja rahoitus 125. Sijoitettava summa a ( ) Rahasto-osuuden hinta tammikuussa a 0, a 115 Rahasto-osuuden hinta helmikuussa a 0, a 94 Muutos 0, a 0, a 0, a 0, ,34...% 22% Rahasto-osuuden arvo noussut 22 % 126. Osuuden arvo ennen nousua ,25 80 Osuuden uusi hinta 1,074 56, 25 60, 4125 Osuuksia saa nyt , ,5 (74) 60,

79 Sijoittaminen ja rahoitus 128. a) Osakkeen hinta alussa a Laskun jälkeen hinta 0,8a Nousun jälkeen 1,07 0,8a 0,856a Osakkeiden arvo laskenut a0,856a 0,144a eli 14,4 %. b) Jos ostohinta a ja myyntihinta 0,856a, 0,144a 900 : 0,144 a 6250 Osakkeisiin oli sijoitettu c) Osakkeen arvon olisi pitänyt x-kertaistua. x 0,856 a a : a 0,856x 1 :0,856 x 1, x 1,17 Kurssin olisi pitänyt nousta vielä 17 %. 79

80 Sijoittaminen ja rahoitus 129. Talletussumma x Nettokorkokanta 0,72 2,4% 1,728% Korkotekijä 1, ,01728 x0,720,045x1707,61 2 1, ,0324 x 1707,61 x 1599,96... x 1600 Summa oli Pääoma 1. vuoden jälkeen ,08 Pääoma 2. vuoden jälkeen , ,08 Pääoma 15. vuoden jälkeen , , , , ,08 1 1, , Tuotto 43986, , Nettotuotto 0, , , , 23 80

81 Sijoittaminen ja rahoitus 131. Nimellisarvo x Korko 2 0,05x 0, x 12 0, x 1,08 x 9250,83 1, x 9250,83 :1, x 8499, x 8500 Nimellisarvo oli Osuuksia neljän ensimmäisen kuukauden aikana yhteensä , , 21 3, 20 4,10 4,14 Salkun arvo toukokuussa 1553, , , ,45 Koska rahastoon on sijoitettu , Perttu on voitolla 492,45. 81

82 Sijoittaminen ja rahoitus 133. a) Osakkeiden hinta ,89 = Välityspalkkio 0, = 85, ,39 Alma maksoi yhteensä ,39 = 11470,39 b) Myyntihinta 1500 (7,89 + 2,56 ) = Välityspalkkio 0, = 117, ,56 Myynnistä saadaan tuloa = 4290 Nettovoitto 0,72 ( ,39-117,56 ) = 2942, ,68 82

83 Sijoittaminen ja rahoitus 4.2 Erilaisia lainoja 134. a) Kuukausikorko 5,52% 0,46% 12 Viidessä vuodessa maksukertoja on kpl. Lyhennyksien suuruus Ensimmäisen maksuerän korot 0, ,16 Ensimmäinen maksuerä ,16 204,16 Viimeisen maksuerän korot 0, ,736 0,74 Viimeinen maksuerä 160 0,74 160,74 b) Lainaa lyhennetään kymmenessä lyhennyksessä Lainaa jäljellä Vastaus: a) ensimmäinen maksuerä 204,16 viimeinen maksuerä 160,74 b)

84 Sijoittaminen ja rahoitus 135. a) Vuodessa maksueriä 4 kappaletta 7 vuodessa maksueriä kappaletta Lyhennyksen suuruus b) Ensimmäisessä maksuerässä maksetaan korkoa koko lainasummasta. Lainan korkokanta 3,50% 1,30% 4,80% Kolmen kuukauden korko 4,80% 1, 20 % 4 Korko 0, Ensimmäinen maksuerä Viimeisessä maksuerässä korkoja maksetaan viimeisestä lyhennyksestä. 0, Viimeinen maksuerä Vastaus: a) 3000 b) ensimmäinen maksuerä 4008, viimeinen maksuerä

85 Sijoittaminen ja rahoitus 136. Kuudessa vuodessa maksueriä kpl Lainaa lyhennetään kerralla , ,89 72 Merkitään korkokerrointa kirjaimella k. Ensimmäisen maksuerän korot ovat k Saadaan yhtälö 138, k k 61,11 :10000 k 0, Lainan kuukausikorko on 0,6111 %. Lainan vuosikorko on 120,6111% 7,332% 7,33% 137. Kuukausikorko 8,59% 0, % 12 Merkitään syyskuun lainamäärää kirjaimella x. Maksuerässä maksetaan korkoja Saadaan yhtälö 0, x 50 :0, x 6984, x 6984,87 ( ) 85

86 Sijoittaminen ja rahoitus Lyhennyksiä on jäljellä 0, ,75 Jos viimeinen maksuerä saa olla muita suurempi, laina on maksettu 8 kk kuluttua eli toukokuussa Jos viimeinen maksuerä ei saa olla muita suurempi, laina on maksettu 9 kk kuluttua eli kesäkuussa Vastaus: toukokuussa 2001 tai kesäkuussa Lyhennyskertoja on kappaletta. Kuukausikorko 3,72% 0,31% 12 Lyhennyksen suuruus , , Maksukerta Lainaa jäljellä ( ) Korot ( ) , ,28 0, , ,56 0, , ,72 0, ,72 Koska lainamäärä vähenee aina lyhennyksen 659,72 verran, vähenevät korot aina 0, ,72 2, ,05 86

87 Sijoittaminen ja rahoitus Korot muodostavat aritmeettisen lukujonon. a 0, ,50 a , ,72 2, ,05 Korot yhteensä S ,50 2, ,60 2 Pankille maksetaan yhteensä , ,60. Huom! Koska kuukausilyhennyksen suuruus on likiarvo, viimeinen lyhennys on todellisuudessa 660,04. Tätä ei kuitenkaan ole tehtävän ratkaisussa huomioitu a) Lainan korko 2,05% 2,15% 4,20% Kuukausikorko 4,20% 0,35% 12 Maksueriä kpl Yhden lyhennyksen suuruus , maksuerää lyhentää lainaa 40562, Lainaa on jäljellä =

88 Sijoittaminen ja rahoitus b) Ensimmäisen maksuerän korko 0, ,50 Ennen viimeistä maksuerää lainaa jäljellä ,50 Viimeisen maksuerän (40.) korko 0, ,50 395, ,72 Lainasumma pienenee aina lyhennyksen verran, joten korko pienenee aina 0, ,50 1, ,97 Korot muodostavat aritmeettisen lukujonon. Korot yhteensä 472,50 395,72 S ,40 2 Korko nousee 0,6-prosenttiyksikköä eli uusi korko on 4, 2% 0,6% 4,8%. Uusi kuukausikorko 4,8% 0,40% maksuerässä maksetaan korkoa 0, Viimeisessä maksuerässä (240.) maksetaan korkoa 0, ,50 2,25. Korkoa loppuosalta eli jäljellä olevilta 200 erältä yhteensä 450 2,25 S Korkoa maksetaan yhteensä 17364, ,40 88

89 Sijoittaminen ja rahoitus 140. a) Korko 2,09% 1,75% 3,84% Kuukausikorko 3,84% 0,32% 12 Maksuerien määrä kpl Annuiteetti A , , ,32 11, ,0032 b) Pankille maksetaan yhteensä , Korkoja maksetaan siis = Vastaus: a) 908,32 b) a) Kuukausikorko 4,2% 0,35% 12 Maksueriä on kpl Annuiteetti A , , ,14 11, ,

90 Sijoittaminen ja rahoitus b) Ensimmäisellä maksukerralla korkoa maksetaan 0, Ensimmäisellä maksukerralla lainaa lyhennetään 798, ,14. c) Ennen viimeistä maksuerää lainaa jäljellä ,0035 V , ,14 1 1, , ,50 ( ) Viimeisessä maksuerässä lyhennetään koko loppulaina. Vastaus: a) 798,14 b) 595,14 c) 795, Kuukausikorko 4,92% 0,41% 12 Maksueriä kpl Maksuerien suuruus olisi ,0041 A , , , ,99 ( ) Maksuerä 707,99 580, joten Siri ja Artturi eivät voi ostaa lainarahalla asuntoa. Vastaus: eivät voi

91 Sijoittaminen ja rahoitus 143. Kuukausikorko 12% 1% 12 Maksueriä 24 kpl Merkitään lainasummaa kirjaimella x. Saadaan yhtälö 24 11,01 24 x 1, ,01 11,01 x ,01 ( 0,01) ,01 :1,01 0, ,01 x x 8348, x 8350 ( ) 24 1, 01 0, 01 Vastaus:

92 Sijoittaminen ja rahoitus 144. Korko 2,05% 2,15% 4,20% Kuukausikorko 4,20% 0,35% 12 Maksueriä on yhteensä kpl Lasketaan ensin annuiteetti ,0035 A , , , ,37 ( ) 240 Lainaa on jäljellä 40 maksuerän jälkeen V 40 11, , ,37 1 1, , ,75 ( ) Vastaus: ,75 92

93 Sijoittaminen ja rahoitus 145. Lainaa otetaan 0, ,8% Kuukausikorko 0,40% 12 Maksueriä kpl ENSIMMÄINEN MAKSUERÄ Tasalyhennyslaina Lyhennys , ,10 84 Korko 0, Maksuerä 238, ,10 Annuiteettilaina A , , ,80 11, , ENSIMMÄINEN LYHENNYS Tasalyhennyslaina Lyhennys 238,10 Annuiteettilaina Ensimmäisessä maksuerässä korkoja 0, Lyhennys 280, ,80 93

94 Sijoittaminen ja rahoitus VIIMEINEN MAKSUERÄ Tasalyhennyslaina Viimeisen maksuerän korot: 0, ,10 0,9524 0,95 Viimeinen maksuerä 238,10 0,95 239,05 Annuiteettilaina Viimeinen maksuerä 280,80 VIIMEISEN ERÄN LYHENNYS Tasalyhennyslaina Lyhennys 238,10 Annuiteettilaina Lainaa jäljellä ennen viimeistä maksuerää: 83 11,0040 V , ,80 1 1, , ,93 ( ) Viimeinen lyhennys on siis 279,

95 Sijoittaminen ja rahoitus KORKOJEN KOKONAISMÄÄRÄ Tasalyhennyslaina Korot pienenevät aina joka maksukerta 0, ,10. Ne muodostavat aritmeettisen lukujonon. a 80, a 0, Korot yhteensä 80 0,95 S ,90 2 Annuiteettilaina Takaisin maksetaan yhteensä , , 20. Korkoja maksetaan yhteensä 23587, , 20. Vastaus: Ensimmäinen maksuerä Ensimmäinen lyhennys Viimeinen maksuerä Viimeisen erän lyhennys Korkojen kokonaismäärä Tasalyhennys Annuiteetti 318,10 280,80 238,10 200,80 239,05 280,80 238,10 279, , ,20 95

96 Sijoittaminen ja rahoitus 146. a) Kuukausikorko 4,2% 0,35% 12 Elias Maksueriä kappaletta Maksuerän suuruus alussa ,0035 A , , , ,98 ( ) Lainaa jäljellä kahden vuoden kuluttua 24 11,0035 V , ,98 1 1, , ,88 ( ) 360 Maksueriä jäljellä kpl 24 Uusi kuukausikorko 6,0% 0,50% 12 Uusi maksuerä A ,88 1, , ,32( ) 11, ,

97 Sijoittaminen ja rahoitus Aleksi Maksueriä kappaletta Maksuerän suuruus alussa ,0035 A , , , ,11 ( ) Lainaa jäljellä kahden vuoden kuluttua 24 11,0035 V , ,11 1 1, , ,17 ( ) 180 Maksueriä jäljellä kpl 24 Uusi kuukausikorko 6,0% 0,50% 12 Uusi maksuerä A ,17 1, , ,13( ) 11, , Vastaus: Elias 920,32, Aleksi 1290,13 97

98 Sijoittaminen ja rahoitus 147. Säiliön vesimäärä alussa K 1200litraa Prosenttikerroin q 1,15 Vesimäärä vähenee aina yhtä paljon A 200litraa Vettä on jäljellä kahden viikon kuluttua ,15 V , ,15 389, (l) Vastaus: 390 litraa 148. Merkitään bakteerien määrää alussa kirjaimella K. Prosenttikerroin q 1, 05 Bakteerien määrä 24 tunnin kuluttua on ,05 V24 K1, ,05 Saadaan yhtälö ,05 K 1, ,05 11,05 K K Vastaus: bakteeria , , , ,99... K 26899,32... K

99 Sijoittaminen ja rahoitus 149. Kuukausikorko 5,1% 0,425% 12 Maksueriä kpl Maksuerän suuruus alussa 72 11,00425 A , , , ,96 ( ) Vuoden jälkeen lainaa jäljellä 11,00425 V , ,96 1 1, , ,72 ( ) Uusi korko 5,1% 2,1% 7,2% Uusi kuukausikorko 7,2% 0,6% 12 a) Maksueriä jäljellä 60 kappaletta. Maksuerän suuruus A 39274,72 1, , ,40 ( ) 11,006 11,

100 Sijoittaminen ja rahoitus b) Merkitään tarvittavien maksukertojen määrää kirjaimella x. Saadaan yhtälö x 11, ,72 1, ,96 11,006 x 11,006 x x 39274,72 1,006 11, ,96 11,006 x 39274,72 1,006 0, ,96 742,96 1,006 x x 39274,72 0,006 1, ,96 1, ,96 x 39274,72 0, ,96 1, ,96 Maksueriä tarvitaan siis 64 kappaletta. Laina-aika kasvoi siis 4 kuukautta. x 507,313481, ,96 :507,31348 x 1,006 1, x lg1,006 lg1, x lg1,006 lg1, :lg1,006 lg1, x lg1,006 x 63, x x Vastaus: a) 781,40 b) aika kasvoi 4 kuukautta 100

101 Sijoittaminen ja rahoitus 150. Kuukausikorko 4,2% 0,35% 12 Elias Maksueriä kpl A , , ,98 ( ) 11, , Lainaa jäljellä 24 kk kuluttua 11,0035 V , ,98 1 1, , ,88 ( ) Merkitään takaisinmaksuerien määrää kirjaimella x. Uusi kuukausikorko 6,0% 0,50%

102 Sijoittaminen ja rahoitus x 11, ,881, ,98 11,0050 x 11,0050 x x ,88 1,0050 0, ,98 1, ,98 x x 748,0744 1, ,98 1, ,98 x 757,98 748,0744 1, ,98 x 9,90561, ,98 :9,9056 x 1, , x lg1,0050 lg 76, x lg1,0050 lg 76, : lg1,0050 lg76, x lg1,0050 x 869,67... x 870 x Maksueriä olisi alun perin ollut jäljellä kpl. Nyt niitä on enemmän. Maksuaika pienenee 534kk 44a 6kk. Aleksi Maksueriä kappaletta Maksuerän suuruus A , , ,11 ( ) 11, ,

103 Sijoittaminen ja rahoitus Lainaa jäljellä 24 kk kuluttua 11,0035 V , ,11 1 1, , ,17 ( ) Merkitään takaisinmaksuerien määrää kirjaimella y. Uusi kuukausikorko 0,50% y 11,0050 y ,17 1, ,11 1 1,0050 y 11,0050 y 11,0050 y ,17 1, ,111, ,11 y 11,0050 y y 697,575851, ,111, ,11 y y 1162,111, ,575851, ,11 y 1162,11697, , ,11 y 464,534151, ,11 : 464,53415 y 1,0050 2, y lg1,0050 lg 2, y lg1,0050 lg 2, : lg1,0050 lg 2, y lg1,0050 y 183,84... y 184 Maksueriä olisi ollut jäljellä kpl. Nyt niitä on kpl enemmän. Maksuaika pitenee28kk 2a 4kk. Vastaus: Elias 44 vuotta 6 kk, Aleksi 2 vuotta 4 kk 103

104 Sijoittaminen ja rahoitus 151. Kuukausikorko 6,0% 0,50% 12 Maksueriä kpl A , , ,10 ( ) 11, , Vastaus: 1199, a) Annuiteettilainassa kaikki maksuerät ovat yhtä suuria. Tasalyhennyslainassa lyhennykset ovat yhtä suuria. b) Annuiteettilainassa lyhennyksen osuus vaihtelee. Tasalyhennyslainassa lyhennys on aina sama. c) Kummassakin lainassa korkojen osuus vaihtelee. d) Tasalyhennyslainassa ensimmäinen maksuerä on aina suurin, sillä lyhennyksen lisäksi siinä maksetaan koko lainasumman korot. e) Molemmissa lainoissa ensimmäisessä maksuerässä maksetaan enemmän korkoja kuin muissa, sillä korkoa maksetaan koko lainasummasta. f) Tasalyhennyslainan viimeinen maksuerä on pienin, sillä siinä maksetaan korkoja vain viimeisestä lyhennyksestä. 104

105 Sijoittaminen ja rahoitus 153. Puolivuosikorko 6,0% 3,0% Maksuerien määrä a) Lyhennys ( ) Korot ( ) Maksuerän suuruus ( ) , , , , = 2571,25 446, , ,50 0, ,50 382, , ,75 0, ,75 318, , , , , 25 0, ,25 191, , ,50 0, ,50 127, , , , ,75 b) Korkoja yhteensä , , , ( ) 2 105

106 Sijoittaminen ja rahoitus 154. a) Kuukausikorko 3,36% 0,28% 12 Maksueriä kpl Maksuerän suuruus A , , ,41 ( ) 11, ,0028 b) Lainaa maksetaan yhteensä , Korkoja maksetaan siis Vastaus: a) 690,41 b)

107 Sijoittaminen ja rahoitus 155. Annuiteetin suuruus 0, Merkitään lainasummaa kirjaimella K. Kuukausikorko 3,72% 0,31% 12 Maksueriä kpl Saadaan yhtälö 11,0031 K 1, , , K 1, , , ,0031 K K 84067, K ( ) 120 1, ,0031 Vastaus:

108 Sijoittaminen ja rahoitus 156. Lasketaan ensin maksuerän suuruus 10 11,04 A , , , ,64 ( ) Viiden vuoden kuluttua lainaa jäljellä ,04 V , ,64 1 1, , ,76 ( ) Merkitään maksuerien määrää kirjaimella x. Koron nousun jälkeen: x 11, ,76 1, ,64 11,06 x 11,06 x x 21954,761,06 0, , ,64 1,06 x x 1317, , ,64 1, ,64 x 4931, , , ,64 x 3614,3544 1, ,64 :3614,3544 x 1,06 1, x lg1,06 lg1, xlg1,06 lg1, :lg1,06 lg1, x lg1,06 x 5, Viimeinen erä maksetaan siis 6. vuonna korotuksen jälkeen eli vuonna x 108

109 Sijoittaminen ja rahoitus Lainaa on jäljellä viimeisenä vuonna ,06 V ,76 1, ,64 1 1, , ,31 ( ) Tämä kasvaa vuoden korkoa eli maksettava summa on vuoden lopussa 1, , , ,13 Vastaus: Erän suuruus 4931,64, viimeinen erä maksetaan vuoden 2013 lopussa ja sen suuruus on 1675,13 109

110 Raha ja sen arvo 5.1 Valuutat 157. Käytetään matkavaluutan myyntikursseja. a) 1 = 42,595 THB ,595THB 1064,875THB 1064,88THB b) 1 = 1,4330 CHF ,4330CHF 35,825CHF 35,83 CHF c) 1 = 9,5923 SEK ,5923 SEK 239,8075 SEK 239,81 SEK 158. Käytetään matkavaluutan ostokurssia. a) 1 = 129,09 JPY JPY 11, ,62 129,09 b) 1 = 10,044 SEK SEK 179, ,21 10,044 c) 1 = 0,8890 GBP GBP 956, ,13 0,

111 Raha ja sen arvo 159. Käytetään matkavaluutan myyntikursseja. 1 = 9,5923 SEK ,5923 SEK 1151,076 SEK 1151,08 SEK 1 1, 4501AUD ,4501AUD 652,545AUD 652,55AUD 1 1,3426 USD ,3426 USD 671,30 USD 160. a) Käytetään matkavaluutan ostokurssia 1 129,09JPY JPY 774, ,65 129,09 b) Käytetään myyntikursia 1 = 120,29 JPY 136,50 = 136,50 120,29 JPY =16419,585 JPY 16419,59 JPY

112 Raha ja sen arvo 162. Käytetään matkavaluutan ostokurssia GBP 254, ,22 0,8890 Palkkion, 1,2 %, jälkeen 0, , , , Frangit euroiksi (ostokurssi) 1 = 1,5019 CHF CHF 432, ,79 1,5019 Eurot kruunuiksi (myyntikurssi) 1 = 9,5923 SEK 432,79 = 432,79 9,5923 SEK = 4151,451 SEK 4151,45 SEK 164. a) Käytetään ostokursseja. 145 USD = , ,38 1, SEK = 4, ,98 10, THB = , ,20 48,395 Euroja yhteensä 103,38 + 4, ,20 = 220,56 112

113 Raha ja sen arvo b) Euroja vaihdetaan 0,2 220,56 = 44,112 44,11 Käytetään myyntikurssia 44,11 = 44,11 0,8490 GBP =37,449 GBP 37,45 GBP 165. Muutetaan Ruotsin ja Tanskan kruunut euroiksi. Koska vaihto on tehty euroista kruunuiksi, vaihdossa on kätetty myyntikursseja. 1 = 9,5923 SEK 9,5923x = 767,20 x = 79,980 79,98 ( ) 1 = 7,2855 DKK 7,2855y = 873,60 y = 119, ,91 ( ) Julia vaihtaa Turkin liiroiksi ,98-119,91 = 50,11 Julia saa liiroja (myyntikurssi) 50,11 = 50,11 1,8566 TRY = 93,034 TRY 93,03 TRY 113

114 Raha ja sen arvo x SEK x SEK 1066,50SEK 120x 1066,50 :120 x 8,8875 Kurssi on 8,8875 eli 1 8,8875SEK Brian: 1 = 1,1754 USD USD 127, ,62 1,1754 Pamela: 1 = x USD USD x Palkkion jälkeen Pamela saa x ,62 x ,62 x 132,62x 150 :132,62 x 1, x 1,1311 Ostokurssi 1 = 1,1311 USD 114

115 Raha ja sen arvo 168. a) 1 1,9558DEM b) 1 166,38ESP c) 1 6,5595FRF 169. a) Helmikuussa 2009, tällöin käyrä alimmalla tasollaan. b) Huhtikuussa (ja kesäkuussa) 2008, tällöin käyrä kaikkein ylimmällä tasolla a) NOK muutos 7,8233 7, , ,0% 7,8233 NOK:n kurssi vahvistunut 7,0 % eli euro devalvoitunut CZK muutos 35,047 31,577 0, ,9% 35,047 CZK:n kurssi vahvistunut 9,9 % eli euro devalvoitunut SGD muutos 1,8199 1,6126 0, % 1,6126 SGD:n kurssi heikentynyt 13 % eli euro revalvoitunut b) Singaporesta, koska euro on revalvoitunut eli vaihdettaessa v sai Singaporen dollarilla enemmän euroja. 115

116 Raha ja sen arvo 171. a) Alussa Lopussa 1 1JPY 0, ,92 1 1JPY 0, ,39 0, , ,0% 0, Jeni on devalvoitunut 100% 86,0% 14,0%. b) Alussa Lopussa 1 1LTL 0, ,72 1 1LTL 0, ,45 0, , ,8% 0, Litas on revalvoitunut 107,8% 100% 7,8%. c) Alussa 1HUF 0,0038 Lopussa 1HUF 0,0042 0,0042 1, ,5% 0,0038 Forintti on revalvoitunut 110,5% 100% 10,5%. 116

117 Raha ja sen arvo 172. Alussa 1DKK 0, DKK 7,547...DKK 0,1325 Lopussa 1DKK 0, DKK 6, DKK 0,1567 Muutos 7, , , % 7, Euron kurssi heikentynyt 15 % eli euro devalvoitunut 173. Alussa 1 a ZAR Lopussa 1 0,95a ZAR Viinin lirtahinta Etelä-Afrikassa ei muutu. Litrahinta b ZAR. Ennen devalvaatiota Devalvaation jälkeen kurssi 1 = a ZAR 1 = 0,95a ZAR viinin lirtahinta (ZAR) viinin litrahinta ( ) b b a b 0,95a b b 1, a Viinin litrahinta nousi devalvaation jälkeen 5,3 %. 117

118 Raha ja sen arvo 174. Alussa 1 9,22SEK 1 1SEK 0, ,22 Paidan uusi hinta 55 1,03 56,65 Devalvaation jälkeen 1SEK 0,9750, , Paidan uusi hinta devalvaation jälkeen 56,65 SEK 535,705...SEK 535,71SEK 0, a) 1 1,4339 CHF (myyntikurssi) , 4339CHF 143,39CHF Koska Kreikka ja Saksa käyttävät euroja, hän ottaa mukaan 200 ja 143,39 CHF. b) 1 1,5019 CHF (ostokurssi) 50 50CHF 33, , 29 1,

119 Raha ja sen arvo 176. Lasketaan ensin, kuinka paljon Eero saa euroja. Käytetään ostokursseja GBP 196, ,85 0, JPY 48, ,34 129,09 Euroja yhteensä 196, ,34 = 245,19. Vaihdetaan eurot Ruotsin kruunuiksi (myyntikurssi). 245,19 = 245,19 9,5923 SEK = 2351,936 SEK 2351,94 SEK 177. USD Tammikuussa ( ) 1EUR 1,1569 USD 1 1USD EUR 0, ,86438EUR 1,1569 Heinäkuussa ( ) 1EUR 1,0124 USD 1 1USD EUR 0, ,98775EUR 1,0124 Dollari on vahvistunut. 0, EUR 1, ,27...% 0, EUR Kurssi vahvistunut 14,3 %. 119

120 Raha ja sen arvo JPY Tammikuussa ( ) 1EUR 126,33JPY 1 1JPY 0, EUR 0, EUR 126,33 Heinäkuussa ( ) 1EUR 123,82 JPY 1 1JPY EUR 0, EUR 0, EUR 123,82 Jeni on vahvistunut 0, EUR 1, ,027...% 0, EUR Kurssi vahvistunut 2,0 %. Vastaus: Dollarin kurssi vahvistunut 14,3 %, jenin kurssi vahvistunut 2,0 % 178. Alussa 1 zloty = a 1 zloty 1-0,16 a 0,84 a Lopussa Turistilla alussa määrä b euroja. Vaihtaessa hän saa zlotyja määrän b a. Devalvoitumisen jälkeen turistilla määrä b euroja. 1 Vaihtaessa hän saa zlotyja määrän b b 1, b 0,84a 0,84 a a eli saa 19% enemmän zlotyja. 120

121 Raha ja sen arvo 179. Ennen muutosta 1 a won Kenkien hinta ennen muutosta b joka on euroina. a b won, a) Devalvoitumisen jälkeen 1 10,045 a won 0,955a won Devalvoitumisen jälkeen kenkien hinta b won, b b joka on euroina 1, ,955a a Kenkien hinta nousee 4,7 %. b) Revalvoitumisen jälkeen 1 10,045 a won 1,045a won Revalvoitumisen jälkeen kenkien hinta b won, b b joka on euroina 0, , 045a a Kenkien hinta laskee 100 % - 95,7 % = 4,3 %. 121

122 Raha ja sen arvo 5.2 Indeksilaskenta 180. a) Vuosi Hintasuhde Indeksi ,36 1 3,36 100,0 3,53 1, ,36 105,1 4,02 1, ,36 119,6 3,55 1, ,36 105,7 b) Vuosi Hintasuhde Indeksi ,36 0, ,55 94, ,53 0, ,55 99, ,02 1, ,55 113,2 3,55 1 3,55 100,0 122

123 Raha ja sen arvo 181. Vuosi Hintasuhde Indeksi ,38 0, ,50 97, ,50 1 4,50 100,0 4,55 1, ,50 101,1 4,80 1, ,50 106,7 a) Vuoden 2010 indeksistä saadaan muutos. Hinta on noussut 6,7 % b) Verrataan indeksejä. 106,7 1, ,3 Hinta noussut 9,7 % c)

124 Raha ja sen arvo 182. Vuosi Hintasuhde Indeksi ,18 1 1,18 100,0 1, 42 1, ,18 120,3 1,16 0, ,18 98,3 1,36 1, ,18 115,3 a) Indeksistä saadaan: Hinta noussut 15,3 %. b) Verrataan indeksejä: 98,3 0, ,7% 120,3 Hinta on laskenut 100 % - 81,7 % = 18,3 % c)

125 Raha ja sen arvo 183. Junamatka Linja-automatka Vuosi Hintasuhde Indeksi Hintasuhde Indeksi ,60 0, ,80 41,30 89,3 0, ,60 86, ,20 0, ,80 42,90 98,0 0, ,60 90, , ,80 47,60 100,0 1 47,60 100, ,00 1, ,80 48,80 104,5 1, ,60 102, ,40 1, ,80 51,30 121,7 1, ,60 107,8 a) juna linja-auto b) Junamatkan hinta noussut 21,7 % Linja-automatkan hinta noussut 7,8 % < 21,7 % Junamatkan hinta noussut suhteessa enemmän. 125

126 Raha ja sen arvo c) Verrataan indeksejä Junamatka Linja-automatka 121,7 1, ,0 107,8 1, ,1 Junamatkan hinta noussut 24,2 %. Linja-automatkan hinta noussut 19,6 % a) henkilöstö liikevaihto Henkilöstön määrä ja liikevaihto muuttuvat pääsääntöisesti samaan suuntaan. Muutosten suuruus ei ole sama. Henkilöstön määrä kasvaa suhteessa vähemmän kuin liikevaihto. 126

127 Raha ja sen arvo b) Suhteutetaan liikevaihto henkilöstömäärään. liikevaihto/ indeksi henkilöstö , ,4 1, ,0 100,5 88,8 1, ,0 121,6 101,0 1, ,4 128,8 117,6 1, ,9 136,9 138,90 1, ,5 153,5 139,3 1, ,5 152, a) aravahuoneistot vapaarahoitteiset asunnot Vuosi Hintasuhde Indeksi Hintasuhde Indeksi ,54 1 7,54 100,0 7,68 1, ,54 101,9 7,96 1, ,54 105,6 8,58 1, ,54 113,8 8,93 1, ,54 118,4 8,81 1 8,81 100,0 8,93 1, ,81 101,4 9,35 1, ,81 106,1 9,73 1, ,81 110,4 10,07 1, ,81 114,3 b) aravahuoneistojen hinta on noussut suhteessa enemmän 127

128 Raha ja sen arvo Hinta Hintasuhde Indeksi 13, 2 0, ,60 2,81,00 33, ,0 13, 2 0, ,52 2,81,28 37,628 37,628 33, ,1 13, 20, ,07 2,81,12 42,152 42,152 33, ,6 13, 2 0,85 522,79 2,80,97 41,836 41,836 33, ,7 a) 125,6 1, ,1 Hinnat ovat nousseet 12,0 %. b) 124,7 0, ,6 Hinnat ovat laskeneet 0,7 % Lasketaan painotettujen pistelukujen summa. 133,4 114,62 51,6 116,77 50,0 99,63 213,4 113,12 55, 4 105,67 47,8105,17 146,2 102,17 34,8 92,06 120,4 102,80 5,0 113,05 69,1114,99 72,9 109, ,172 Painoarvojen summa on Kuluttajahintaindeksi vuonna 2009 on , ,

129 Raha ja sen arvo Hinta Suhde Indeksi 258,55 250,157,13 240, , ,66 250,157,14 243, , , , ,05 250,157,21 253, , , , ,44 250,157,18 262, , , ,3 Harrastusmenot ovat kasvaneet 9,3 % Merkitään kokonaislukutusta vuonna 2005 merkinnällä 1000a. Asumisen painoarvo 213,4, joten asumisen osuus kokonaiskulutuksesta on 213,4a. Muihin hyödykeryhmiin kuluu 1000a 213,4a = 786,6a. Asumisen painoarvo laskee 4,5 %, joten asumiseen kulutetaan painoarvon laskun jälkeen 0, ,4a = 203,797a Kulutuksen määrä painoarvon muutoksen jälkeen 203,797a + 786,6a = 990,397a. Kuluttajahintaindeksin uusi arvo 990,397a 0, ,0 1000a 129

130 Raha ja sen arvo Jos kuluttajahintaindeksi laskee 3,5 pisteellä, on uuden kuluttajahintaindeksin pisteluku 96,5. Merkitään, että asumiseen kuluttaminen k-kertaistuu, jolloin uusi kulutua on 213,4ka. Muiden hyödyksryhmien kulutus on 786,6a. Saadaan yhtälö 213,4ka 786,6a 0, a 213, 4k 786, ,4k 178,4 : 213,4 k 0, Painoarvon on laskettava 100 % - 83,59 % = 16,40 % 16,4 % Ruokakorin hinta alussa 100a Ruokakorin hinta lopussa: 1,02 35a0,99 25a1,04420a0,942 14a1,062 6a 100,89a Ruokakorin hinta nousi 0,89 %. 130

131 Raha ja sen arvo 191. Vuokrien suhde Indeksi , , , , , , ,4 a) Vuokran nousu 118,4 100,0 18,4 eli 18,4 % b) 118,4 1, ,140 Vuokra on 14 % korkeampi. 103, Asuinhuoneistot Pinta-ala Suhde Indeksi Suhde Indeksi 1 100, , , , , , ,6 135,3 145,1 151,0 131

132 Raha ja sen arvo määrä pinta-ala 193. a) Ostoskori Suhde Indeksi ,52,45 120,73 322,44 100,82 41,05 41, , ,52,74120,72322,39100,8341,02 42,21 2,53,00 120,87 322,88101,19 41,02 51,2 2,52,99 120,89 322,29 101,21 41,01 48,035 42,21 41, ,7 51,2 41, ,1 48,035 41, ,6 b) Hintoja tulisi nostaa 14,6 %. 132

133 Raha ja sen arvo 194. Roskien määrä alussa 100a Roskapaperien uusi määrä 0,5 64,3a 32,15a Muovien uusi määrä 2 17,7 a 11,8 a 3 Roskien määrä lopussa 2,7a7,6a11,8a32,15a7,7a 61,95a Roskien määrä alkuperäiseen verrattuna 61,95a 0, a Määrä pienenee 100 % - 61,95 % = 38,05 % 38 % 133

134 Raha ja sen arvo 5.3 Inflaatio ja rahan arvo 195. Makkara v ,32 /kg v ,28 /kg a) Makkaran kilohinta: 3, 28 1, ,414 2,32 Kilohinta on 1,414-kertaistunut eli noussut 41,4 %. Inflaatioprosentti on 41,4 %. b) Hinta on x-kertaistunut vuosittain. 24 2,32 x 3, 28 : 2,32 24 x 1, x 1, x 1, x 1,015 Vuosittain hinta 1,015-kertaistuu eli vuotuinen inflaatio on 1,5 %. 134

135 Raha ja sen arvo 196. Inflatoidaan viikkorahat vuoteen 2005 ja muutetaan rahasummat euroiksi. Martta ,97 0,50 mk 7,97 mk 1, ,94573 Tero , ,00mk 8,132...mk 1, ,94573 Anna , ,00mk 13,012...mk 2, ,94573 Venla , ,00mk 17,201...mk 2, ,94573 Jussi 2,50 Suurin viikkoraha on Venlalla. 135

136 Raha ja sen arvo 197. a) Hinta /l Indeksi , x 1730 Muodostetaan verranto ja ratkaistaan x: 0, x x 1314,8 :1248 x 1, x 1, 05 Bensiinin hinta vuonna ,05 /l. b) Hinnanmuutos: , , Hinnat ovat 1,39-kertaistuneet eli inflaatio on ollut 39 % Deflatoidaan vuoden 2000 hinta jokaiseen vuoteen. a) x x x 15445, x 15445,70 136

137 Raha ja sen arvo b) x x :1501 x 72863, x 72863, 42 c) x x :1501 x ,9127 x , a) Lainamäärä oli vähentynyt = Lainamäärä vähentynyt nimellisesti ,28 28% b) Inflatoidaan otettu lainasumma vuoden 2008 rahaksi ,3 x 115,3 105,3x :105,3 x ,0114 x ,01 Lainamäärä oli vähentynyt , = 44996,01 Lainamäärä vähentynyt reaalisesti 44996,01 0, % ,01 137

138 Raha ja sen arvo 200. Muuttaan vuoden 2005 rahaksi , , , 21 Asunnon arvon muutos , = 23252,21 Asunnon reaalisen arvon muutos 23252, 21 0, % Arvo on noussut 24 % Palkka = 2100 Indeksi , ,3 a) Nimellispalkka nousi 250 0, ,135 13,5% 1850 b) Jos palkka olisi noussut samassa suhteessa, palkka vuonna 2009 olisi ollut ,1 x 115,3 108,1x :108,1 x 1973, x 1973,

139 Raha ja sen arvo Vuoteen 1990 deflatoitu palkka ( ) x x x x x x x x Vuoteen 2008 inflatoitu palkka ( ) y y y y y y y y nimellinen deflatoitu inflatoitu 139

140 Raha ja sen arvo 203. elinkustannusindeksi a) Elinkustannusindeksien suhde: , Inflaatioprosentti 15,3 %. b) Tuotteen hinta 2000 a ,1525 a Ostetaan tuotetta rahamäärällä b. Tuotetta saadaan 2000 b a kpl 2009 b b kpl 0, kpl 1, a a Tuotetta saadaan 100 % - 86,76 % = 13,23 % 13,2 % vähemmän vuonna 2009 kuin vuonna Rahan ostovoima on siis vähentynyt 13,2 % Merkitään autojen hintoja alussa kirjaimella a. Hinnat lopussa ovat 1,12a. b b eurolla sai alussa kpl autoja. a b b b eurolla sai lopuksi kpl 0,8928 kpl autoja. 1,12a a Ostovoima on laskenut 1 0, , %. 140

141 Raha ja sen arvo 205. a) lapsilisä ( ) ,20 Vuoteen 2009 inflatoitu lapsilisä ( ) 3, y y 24, ,08 27, y y2 71, ,28 67, y y3 93, , y y4 103, ,00 100, nimellinen inflatoitu 141

142 Raha ja sen arvo b) Verrataan lapsilisien nimellisiä määriä , % 3,20 Lapsilisät ovat nousseet nimellisesti 3125 % % = 3025 %. Verrataan lapsilisien inflatoituja määriä 100 4, % 24,83 Lapsilisät ovat nousseet reaalisesti 303 % a) Muutetaan markat ensin euroiksi mk 302, ,74 5,94573 Inflatoidaan tämä vuoden 2000 rahaksi , x 651x ,74 :651 x 698, x 698,02 b) Palkan nimellinen mutos euroina 698,02-302,74 = 395,28 Palkan reaalinen muutos euroina on

143 Raha ja sen arvo 207. a) Palkan muutos Nimellinen muutos 0, ,3% 3084 b) Inflatoidaan vuoden 2002 palkka vuoteen 2004: ,6 x 105,3 104,6x , 2 x 3104, x 3104,64 Reaalinen muutos ,64 0, ,6% 3104,64 Palkka nousi reaalisesti 8,6 % 208. a) Rahamäärällä a saadaan alussa tuotetta määrä b, jolloin tuotteen hinta a b. Jos ostovoima laskee 15 %, rahamäärällä a saadaan tuotetta enää määrä 1 0,15b 0,85b. a a Tuotteen hinta on 1, ,85b b Tuotteen hinta on noussut 1, a a 0, a 0,18 a b b b b Inflaatio on ollut 18 %. 143

144 Raha ja sen arvo b) Tuotteen hinta alussa a b Tuotteen hinta kolmen vuoden kuluttua 0, a b. Saadaan yhtälö a 3 a a x 0, : b b b x 3 0, x 3 0, x 1, Vuosittainen inflaatio on 105,566 % % 5,6 %. 144

145 Kertausosa 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15, ,58 b) Indeksin muutos: , Indeksi nousi 13,04... % Metson osakkeen arvon muutos: 15,58 1, ,63 Arvo nousi 23,35... % Verrataan Metson osakkeen arvon nousua indeksin arvon nousuun: 23,35...% 1, ,04...% Metson osakkeen arvo nousi 79 % enemmän. 145

146 Kertausosa 2. Liittymä puhelimella Kahden vuoden aikana paketti maksaa 24 28, Peruspaketti ja puhelin: 50 :lla saadaan puheaikaa min 0,05 / min 24 kuukauden aikana Lassi puhuu 24500min 12000min maksettavaa puheaikaa 12000min1000min 11000min Liittymä maksaa siis kahden vuoden aikana ,05 240,6 564,40 Puhelimen kanssa hinnaksi tulee 564, ,40. Puhelimen sisältävä liittymä tulisi siis 754, , ,33...% 9,3% edullisemmaksi. 754,40 3. Alussa Lopussa koko a 1,2a hinta b 1,13b kilohinta b a 1,13b 1, 2a b 0, a Kilohinta laski 100 % - 94,16 % 5,8 % 146

147 Kertausosa 4. Bruttopalkka x Nettopalkka 0,65x Asuntomenojen jälkeen palkasta jää 0,7 0,65x 0,455x. Muiden menojen jälkeen palkasta jäljellä 0,455x 0, 2275x 2 0, 2275x 450 :0, 2275 x 1978, x 1978,02 Villen bruttopalkka on 1978, Alussa Lopussa Käyttökustannukset a 1,1a Polttoaine 0,35a k 0,35a Muut käyttökustannukset 0,65a 0,65a Saadaan yhtälö 0,35ka 0,65a 1,1 a : a 0 0,35k 0,65 1,1 0,35k 0, 45 : 0,35 k 1, Polttoainekustannukset voivat kasvaa 28,57... % 28,6 %. 147

148 Kertausosa 6. a) ,175( ) = 909 b) ,215( ) = Valtion tulovero: ,215( ) = 5382 Muut verot ja veronkaltaiset maksut: Kunnallisvero 20 % Kirkollisvero 1,25 % Eläkemaksu 4,50 % Työttömyysvak.maksu 0,40 % Yhteensä 26,15 % Veroa maksettava 0, Verot yhteensä = Nettoansiot =

149 Kertausosa 8. Vuositulot x Vuositulojen täytyy kuulua luokkaan Vero alarajan kohdalla ,175 x Vero ylimenevältä osalta Saadaan yhtälö 489 0,175 x ,175x ,175x 5886 :0,175 x 33634, x 33634, 29 ( ) Tulot valtion verotuksessa olivat 33634, Bruttoansiot a Vaasassa: Kunnallisveron 19,5 % jälkeen palkasta jää 0,805a. Valtion tuloveroa maksetaan 0,13a. Nettoansiot 0,805a0,13a 0,675a Jyväskylässä: Kunnallisveron 19,0 % ja kirkollisveron 1,35 % jälkeen palkasta jää 0,79655a. Valtion tuloveroa maksetaan 0,13a. Nettoansiot 0,7965a 0,13a 0,6665a 0,675a 0,6665a 0,675a 0, ,3% Nettoansiot laskivat 1,3 %. 149

150 Kertausosa 10. a) Äiti kuuluu 1. veroluokkaan ,07( ) = 695 b) Molemmat sisaret lahjoittavat : 2 = Sisaret kuuluvat 2. veroluokkaan. Lasketaan ensin yhdeltä sisarelta saatavasta lahjasta maksettava vero ,20( ) = 550. Koko rahalahjasta tulee maksaa veroa = Verotusarvo x Perintö kuuluu luokkaan Täti kuuluu 2. veroluokaan. Vero alarajan kohdalla ,26 x Vero ylimenevältä osalta Saadaan yhtälö , 26( x 40000) ,36x ,36x x 42138, Osakkeiden verotusarvo oli 42138,

151 Kertausosa 12. a) Veroton hinta x Verollinen hinta 1,09x 1,09x 4, 20 :1,08 x 3, x 3,85 Veroa 4,20-3,85 = 0,35 b) Lääkkeen myyntihinnasta arvonlisäveroa 0,35 0, ,3% 4, Mansikanviljelijän verollinen hinta 1, Veroton hinta x 1,13x 2850 :1,13 x 2522, x 2522,12 Veroa ,12 = 327,88 Kauppiaan verollinen hinta , Veroton hinta y 1,13y 4800 :1,13 y 4247, y 4247,79 Veroa ,79 = 552,21 Kauppias tilittää veroa 552,21-327,88 = 224,33 151

152 Kertausosa 14. Osake A ostohinta 500 4, myyntihinta 500 7, voittoa Osake B ostohinta 5008, myyntihinta 500 6, tappiota Voitto tappioiden vähentämisen jälkeen Veroa maksetaan 0, Pääoma Nettokorkotekijä x 1 Aika 4kk a 3 1 x x 620 x 0, Nettokorkokanta on 2,066 %. Korkokanta y 0,72y 2, : 0,72 y 2, Korkokanta 2,9 % 152

153 Kertausosa 16. Korkopäivät: Elokuu = 20 Syyskuu 30 Lokakuu 31 Marraskuu 30 Joulukuu 31 Yhteensä 142 Nettokorkokanta 0,72 2,14% 1,5408% 0, Nettokorko 142 0, , , Korkokanta alussa p % Korotuksen jälkeen p 0,3 % Korko ensimmäiseltä puolelta vuodelta: p 0, p 100 Korko vuoden jälkipuoliskolta p 0,3 0, p0,340 p Saadaan yhtälö 40 p40 p p 120 :80 p 1,5 Korkokanta vuoden alussa 1,5 % 153

154 Kertausosa 18. Talletussumma x Korko 1. talletuksesta 2. talletuksesta 3. talletuksesta 8. talletuksesta 12 0,028 x ,028 x ,028 x ,028 x 12 Korot yhteensä: ,028x 0,028 x...0,028x ,028 x ,028x , Saadaan yhtälö: 0, x 38,08 :0, x 240 Talletussumma on

155 Kertausosa 19. a) Nettokorkokanta 0,72 3,20% 2,304% Kuuden vuoden kuluttua tilillä on 6 1, , Nettokorko 2866, , ,13 b) Nettokorkotekijä x x ,06 x 6 1, x 6 1, x 1, (vain positiivinen arvokäy) x 1, Nettokorkokanta 2,016 % Korkokanta 2,016...% 2,800...% 2,80% 0,72 155

156 Kertausosa 20. Talletussumma x Korkotekijä 100 % 1,8% 101,8% 1, 018 Rahaa 1. vuoden jälkeen Rahaa 2. vuoden jälkeen Rahaa 3. vuoden jälkeen 1, 018x 2 1,018x 1,018 x 2 3 1,018x 1,018 x 1,018 x Rahaa tilillä 10. vuoden kuluttua ,018x 1,018 x... 1,018 x 11,018 1, 018x 11,018 11, x Saadaan yhtälö 11, x 13245,52 :11, x 1199, x 1200 Maija tallettaa 1200 vuodessa

157 Kertausosa 21. Vuoden talletukset: Nettokorkokanta 0,72 2,9 % = 2,088 % Vuoden korot: , , , , , ,716 40,72 Summa ,72 = 3640,72 kasvaa korkoa korolle. Rahaa tilillä 5. vuoden kuluttua ,72 1, ,72 1, , , , , ,72 1 1, , ,82 ( ) 157

158 Kertausosa 22. Vähittäismaksulla hinnaksi tulee , , , ,65 Edullisempi tapa on maksaa erissä. 23. Diskontataan arvopaperien arvot 3 1, , , , , ,62 Arvopapereista maksetaan siis 13144, ,62 = 27742, Kymmenen vuoden kuluttua sijoitusten arvo on , , , ,09 1, , , ,73 ( ) Tuotto 41400, ,73 Nettotuotto 0, , , ,53 158

159 Kertausosa 25. Kysytty hinta x Ostopäivän ja liikkeellelaskupäivän välinen korko 60 0,072 x 0, x 365 Saadaan yhtälö x 0, x 9917,60 1, x 9917,60 :1, x 9801, x 9800 Obligaation hinta ensimmäisenä myyntipäivänä oli Ostohinta , Palkkio 0, Osingot , Osingoista 30 % on verovapaata, joten veroja maksetaan 0,7 750 = 525 summasta. Osinkotuotto verojen jälkeen 0, Myyntihinta , Palkkio 0, ,50 Myyntivoitto , ,50 Nettovoitto 0, , ,36 Äyrinen ansaitsi osakkeillaan 1710, ,

160 Kertausosa 27. Talletussumma x Nettokorkokanta 0,72 4,0% 2,88% Rahaa tilillä kolmen vuoden kuluttua Lisäkorko 0,72 0,08x 0,0576x 3 1,0288 x Saadaan yhtälö 3 1,0288 x0,0576x16624, 43 1, x 16624,43 :1, x 14500, x Tilille talletettiin Mikko ostaa osuuksia summalla a. Osuuksia a tammikuussa kpl 1, 2 a helmikuussa 1, 02 kpl a maaliskuussa 0,85 kpl a huhtikuussa 1, 25 kpl Huhtikuussa Mikolla yhteensä osuuksia a a a a 3, a (kpl) 1, 2 1,02 0,85 1,

161 Kertausosa Kun osuuden arvo huhtikuussa on 1,25 /kpl, salkun arvo on 3, a1,25 4, a Mikko on sijoittanut kuukausien aikana 4a eli hän on voitolla 4, a4a 0, a Prosentteina 0, a 0, ,18 18% 4a 29. Kuukausikorko 3,0% 0,25% 0, Lainasumma Lainakuukausia Kuukausilyhennys a) 1. takaisinmaksuerä 250 0, Viimeinen takaisinmaksuerä 250 0, , ,63 161

162 Kertausosa b) Lainasumma pienenee joka kuukausi 250 Korot ovat yhteensä 0, , , , , ,8% 30. a) Kuukausikorko 0,4% 12 Korkotekijä 100% 0,4% 100,4% 1,004 Lyhennyskertoja A , , ,54 11,004 11, ,8% b) Neljännesvuosikorko 1, 2 % 4 Korkotekijä 100% 1,2% 101,2% 1,012 Lyhennyskertoja A , , ,90 11,012 11,

163 Kertausosa 31. Annuiteetti 600 3,6% Kuukausikorko 0,3% 12 Korkotekijä 100% 0,3% 100,3% 1,003 Lyhennyskertoja Lainasumma K 11,003 K 11, , K 0, :0, K , K Lainasumma voi olla Puun määrä alussa 1,5 (milj. m 3 ) Kasvukerroin 100% 10% 110% 1,1 Sovelletaan annuitettilainan kaavaa. Annuiteettina 0,2 (milj. m 3 ) Jäljellä olevan puun määrä 10 vuoden kuluttua ,1 1,5 1,1 0,2 0, ,1 0,70 Puuta on jäljellä 0,70 miljoonaa kuutiometriä. 163

164 Kertausosa 33. Lyhennyskertoja n 3,36% Kuukausikorko 0,28% 12 Korkotekijä 100% 0,28% 100,28% 1,0028 Annuiteetti 675,83 Lainasumma n 11, , ,83 n 11,0028 :80000 n 1,0028 0,0028 0, n 11,0028 : 0,0028 n 1,0028 n 11,0028 3, n 3, ,0028 1,0028 n n 3, , ,0028 1,0028 n n 3, ,0028 1,0028 3, n 2, ,0028 3, :2, n 1,0028 1, n lg1,0028 lg1, 495 nlg1,0028 lg1, 495 lg1, 495 n lg1,0028 n 143, n 144 n Laina-aika 144 kuukautta eli 12 vuotta. 164

165 Kertausosa 34. Myyntikurssi 1 = 0,8490 GBP ,8490 GBP = 1698 GBP Matkan jälkeen jäljellä GBP 339,6GBP 5 Ostokurssi 1 = 0,8890 GBP Trappet saavat euroja 339,6 382, , Alussa yhdellä eurolla saa a ruplaa. Barrelihinta ruplina b a) Muutoksen jälkeen yhdellä eurolla saa 1,05a ruplaa. b b Barrelihinta euroina 0, , 05a a Barrelihinta laskee 100 % - 95,2... % 4,8 %. b) Muutoksen jälkeen yhdellä eurolla saa 0,95a ruplaa. b b Barrelihinta euroina 1, ,95a a Barrelihinta nousee siis 5,3 %. 165

166 Kertausosa 36. Dollarien määrä x Ostokurssi 1 = 1,4026 USD eli 1 USD = 1 1, 4026 x Eemeli saa euroja 1, 4026 Ruptsin kriinin myyntikurssi 1 = 9,5923 SEK x Eemeli saa kruunuja 9,5923 SEK. 1,4026 Saadaan yhtälö x 9, , , ,5923x 1220,262 : 9,5923 x 127, x 127, 21 Eemelillä oli 127,21 USD. 166

167 Kertausosa 37. Sijoittaja saa dollareita ,3025USD USD Ennen revalvaatiota yhden dollarin arvo euroina oli 1 0, ,3025 Revalvaation jälkeen dollarin arvo on 1,040, , Sijoituksen arvo euroina on nyt 0, = Sijoittaja saa a) Vuosi Indeksi , , ,3% , , ,9% , , ,0% , ,1% ,1 167

168 Kertausosa b) Merkitään kolmion hintaa vuonna 2010 kirjaimella x ,1 x 100x :100 x Kolmion hinta a) Vuosiluku Montako vuotta kulunut vuodesta 2000? Indeksi ,2 Lineaarista kasvua kuvaa ensimmäisen asteen polynomifunktio, jonka kuvaajana on suora. Muodostetaan suoran yhtälö. Suoran kulmakerroin Yhtälö y100 2,1 x0 x2,1x , ,1 Kun vuodesta 2000 on kulunut x vuotta, indeksiluku on f ( x) 2,1x 100 b) Indeksi vuonna 2009 on f (9) 2, ,9 Ero todelliseen arvoon 118,9 115,3 0, ,1% 115,3 168

169 Kertausosa 40. Vismuttia 50 % = 0,5 Lyijyä 25 % = 0,25 Tinaa 12,5 % = 0,125 Kadmiumia 12,5 % = 0,125 Tiheydet painotetaan prosenttiosuuksien mukaisesti: Woodin metalli kg kg kg kg 0,59,75 0, 2511,35 0,1257,28 0,1258,65 dm dm dm dm kg 9,70375 dm 3 kg 9,7 dm Olkoon kokeen arvosana x. 0,2 9 0,15 8,5 0,2 8 0,057 0,4x 8,5 5,025 0, 4x 8,5 0,4x 3,475 x 8,6875 Helin on saatava kokeesta vähintään

170 Kertausosa 42. Lasketaan indeksien avulla Snällin palkka vuonna x 1501x :1501 x 89900, x ( ) Indeksin muutos Rouva Snällin palkan pitäisi olla vuonna = 3000 suurempi, joten hänen reaaliansionsa pienenivät Indeksien suhde , Vuonna 2000 tuotteen hinta oli a, tuotetta saatiin rahamäärällä yhteensä kpl. a Vuonna 2009 tuotteen hinta oli 1, a b b tuotetta saatiin rahamäärällä b yhteensä kpl 0, kpl 1, a a Ostovoima laskenut 100 % - 86,76... % 13,2 % 170

171 Kertausosa 44. a) Vuosi Indeksi Hinta x ,26 b) 392 1x , x 493,92 :1390 x 0, x 0,36 ( ) Lehti olisi maksanut 0,36. Vuosi Indeksi Hinta , x 392 0, x 392x 361,4 :392 x 0, x 0,92 ( ) Inflatoitu hinta 0,92. Ero todelliseen hintaan 1, 26 0,92 0, % 1, 26 Inflatoitu hinta on 27 % todellista hintaa pienempi. 171

172 Kertausosa 1. Harjoituskoe 1. Merkitään tuotteen hintaa alussa kirjaimella a. a) Hinta lopussa 1,151,25a 1,4375a 1,44a Hinta nousi yhteensä 44 %. b) Merkitään prosenttikerrointa kirjaimella k. 1, 4375 ak a : a 0 1, 4375k 1 :1, 4375 k 0, Hintaa on laskettava 10, , %. Vastaus: a) 44 % b) 30 % 2. a) Loppupääoma 10 K10 1, , ,

173 Kertausosa b) Korkojaksoja = 120 kappaletta Kuukausikorko 1,5 % 0,125% 12 Loppupääoma 120 K120 1, , ,25 Vastaus: a) 11605,41 b) 11617,25 3. a) Nettokorkokanta 0,721,5% 1,08% Korkoaika 4 1 vuotta Korko r , b) Merkitään talletusaikaa kirjaimella t. Saadaan yhtälö ,0108t 50 54t 50 : 54 t 0, ,925...a 11,11...kk 11kk 3,333...d 11kk 3d Vastaus: a) 18 b) 11 kk 3 d 173

174 Kertausosa 4. a) Kuukausikorko 9,6% 0,8% 12 Maksuerien määrä kpl Annuiteetti A 11, , , , ,78 Ensimmäinen ja viimeinen maksuerä 736,78. b) Tasalyhennyksen suuruus , ,33 60 Ensimmäisen maksuerän korko 0, = 280 Ensimmäinen maksuerä 583, = 863,33 Viimeisen maksuerän korko 0, ,33 = 4, ,67 Viimeinen maksuerä 583,33 + 4,67 = 588,00 Vastaus: a) molemmat 736,78 b) ensimmäinen erä 863,33, viimeinen erä 588,00 174

175 Kertausosa 5. a) Pankki ostaa 1100 USD 1 = 1,3201 USD eli 1 1USD 1,3201 Turisti saa: , , 27 1,3201 b) Merkitään turistin vaihtamaa euromäärää kirjaimella x. Pankki myy dollareita: 1 = 1,2790 USD Turisti saa siis 1,2790x USD. 1,2790x 342 :1,2790 x 267, x 267, 40 ( ) Vastaus: a) 833,27 b) 267,40 6. a) Lehden myyntihinta 1,09 2,80 3,052 3,05 b) Merkitään elintarvikkeiden verotonta hintaa kirjaimella x. 1,13x 35 3 x 30, x 30,97 Arvonlisäveroa: 35-30,97 = 4,03 175

176 Kertausosa Merkitään lehtien verotonta hintaa kirjaimella y. 1,09y 5,80 9 y 5, y 5,32 Arvonlisäveroa: 5,80-5,32 = 0,48 Arvonlisäveroa yhteensä: 4,03 + 0,48 = 4,51 7. a) Nimellinen muutos ,04 104% 1500 Palkka nousi nimellisesti 4 %. b) Muutetaan 1560 aikaisemman ajankohdan rahaksi. Palkka Indeksi ,2 x , 2 x ,2x :114, 2 x 1502, x 1502,63 Reaalinen muutos 1502,63 1, ,2% 1500 Palkka nousi reaalisesti 0,2 %. 176

177 Kertausosa 2. Harjoituskoe 1. Valtion tuloveroa maksetaan 489 0, , ,48 Muita maksuja maksetaan yhteensä 20 % + 1,25 % + 4,5 % + 0,4 % = 26,15 % Tämä on euroina 0, = 9130, ,80 Veroja ja veronkaltaisia maksuja yhteensä 2644, ,80 = 11775,28 2. Alussa Lopussa Lomapaketin hinta a a Hotellikustannukset b 0,95b Matkakustannukset c 1,18c Lomapaketin hinta muodostuu hotelli- ja matkakustannuksista, joten a bc a 0,95b 1,18c bc0,95b1,18c 0,05b 0,18 c : 0,05 c 3,6b Matkakustannukset lomapaketin hinnasta alussa c c c c 1 0, ,7% a bc 3,6cc 4,6c 4,6 177

178 Kertausosa 3. Diskontataan tarjouksen B rahat nykyhetkeen , , , Tarjous A on parempi. 4. Lainan korko kolmen kuukauden ajalta 4,8% 1, 2 % 4 Maksueriä on 15 vuodessa kpl a) Tasalyhennyslaina Lyhennys Korot ensimmäisessä maksuerässä 0, Ensimmäinen maksuerä Korot viimeisessä maksuerässä 0, = 36 Viimeinen maksuerä = 3036 Tasaerälaina Annuiteetti on A , , ,71 ( ) 11,012 11,

179 Kertausosa b) Tasalyhennyslaina Lainan määrä 45 lyhennyksen jälkeen Tasaerälaina Lainaa jäljellä 11,012 V , ,71 1 1, , ,76 ( ) Vastaus: a) tasalyhennyslaina 5160 ja 3036, tasaerälaina 4225,71 b) tasalyhennyslaina , tasaerälaina ,76 5. Talletukset ensimmäisenä vuonna Talletus ( ) Korko vuoden lopussa ( ) 1. kk , kk , kk , kk , kk , kk ,

180 Kertausosa Korot yhteensä , , , , S ,5 2 0, ,5 96,6 ( ) Vuoden lopussa tilillä on ,6 7296,60. Tarkastellaan talletuksia vuosittain. Talletus tarkastelun lopussa ( ) 1. v u o ,60 1,023 s i 2. v u ,60 1,023 o 180

181 Kertausosa s i 3. v u o ,60 1,023 s i 4. v u o 7296,60 1,023 s i 5. v u 7296,60 o s 181

182 Kertausosa i Talletukset yhteensä 7296, ,60 1, ,60 1, ,60 1 1, , , ,26 ( ) Vastaus: 38200,

183 Kertausosa 3. Harjoituskoe 1. a) Rahoitettavaksi jää Maksueriä on kpl Kuukausikorko 5,52% 0,46% 12 Lainan maksuerä A , , ,82 ( ) 11, ,0046 Maksuerä käsittelymaksuineen 290, ,82 48 b) Auton hinta osamaksulla , , ,36 1, Auto tulee 11 % kalliimmaksi. 183

184 Kertausosa 2. Merkitään verotonta hintaa kirjaimella x. Saadaan yhtälö 1,09x 32 :1,09 x 29, x 29,36 ( ) Hinnassa on arvonlisäveroa 32 29,36 2, a) Pankki myy 1 eurolla 8,12320 kruunua. Merkitään annettavien eurojen määrää kirjaimella x. Saadaan yhtälö 8,12320x 2300 :8,12320 x 283, x 283,14 Euroja tulee antaa 283,14 + 5,50 = 288,64 b) Pankki ostaa kurssilla 1 = 8,44820 NOK eli eli 1 1NOK 8,44820 Tällöin NOK 260 8, , ,78 Tästä maksetaan palvelumaksu eli turisti saa 30,78-5,50 = 25,

185 Kertausosa 4. Merkitään kokonaiskulutusta alussa kirjaimella a. Kirjoihin käytetään muutoksen jälkeen 1,0250,08a 0,082a Kulttuuriin käytetään muutoksen jälkeen 0,9750, 20a 0,915a Kokonaiskulutus muutoksen jälkeen 0,082a0,1a0,195a0,15a0, 47a 0,997a Kokonaiskulutus pienenee 0,003a eli 0,003 a 0,3% a Vastaus: Kokonaiskulutus pienenee 0,3 % 5. Inflaatio laskee rahan arvoa 2,0 % vuodessa. Muutetaan sijoitusten arvot ensin saman ajankohdan rahaksi. Diskontataan sijoituksen alkuhetkeen , , ,60 Merkitään muutoskerrointa kirjaimella q q 19587,60 :15000 q 7 1, q 1,30584 q 1, Vastaus: Reaalinen korkokanta oli 3,9 % 185

186 Kertausosa 6. a) Maksueriä 10 kpl Maksuerän suuruus A , , , 41 ( ) 11, ,0425 b) Lainaa jäljellä viiden maksuerän jälkeen ,0425 V , ,41 1 1, , ,21 ( ) Uusi korko 4,25% 0,50% 4,75% Lainaa jäljellä alkuperäisen laina-ajan lopussa ,0475 V ,211, ,41 1 1, , ,38 ( ) Tämä maksetaan kokonaan korkoineen seuraavana vuonna. 1, ,38 = 806, ,97 Vastaus: a) 9986,41 b) 806,

187 Ekstrat Lukujonot ja summat 1. a) an 8 n1 3 83n3 3n 11 a b) differenssi d an 25 n1 ( 8) 25 8n n a a) Jonon differenssi d ensimmäinen jäsen a1 85 Yleinen jäsen an 85 n n n a

188 Ekstrat b) a15 a d 30 a1 14d 30 a60 a d 165 a1 59d 165 Ratkaistaan yhtälöparin avulla a 1 ja d. a1 14d 30 a1 59d 165d 1 a1 14d 30 a1 59d 165 a 1 45d 135 : 45 d a 12 Yleinen jäsen: an 12 n n 3 3n 15 1 a

189 Ekstrat 3. a) Yhteenlaskettavia 150 kpl S b) Yhteenlaskettavia 12 kpl S a) Differenssi d a2 a Viimeinen yhteenlaskettava a Summa S b) a d 4 3d Saadaan yhtälö 43d 10 3d 6 :3 d 2 Viimeinen yhteenlaskettava a Summa S

190 Ekstrat 5. a) Yhteenlaskettavia 1000 kpl. Summa S b) Differenssi d 84 4 Yleinen jäsen an 4n14 44n 4 4n Lasketaan yhteenlaskettavien määrä. 4n 1300 :4 n 325 Summa S

191 Ekstrat 6. Lukujonon yleinen jäsen on a 38 n1 7 n 38 7n 7 7n 31 Saadaan yhtälö 38 7n 31 n n 38 7n n n n n n TAI n , eikäy Vastaus: 49 jäsentä 7. a) Jonon differenssi d 250 Vuoden 2003 joulukuun sijoitus on 24. eli a24 a a a1 650 Yleinen jäsen an 650 n n

192 Ekstrat b) 250n n 9600 n 38,4 Vasta jonon 39. jäsen on suurempi kuin ( ). 39 kk = 3 a 3 kk eli maaliskuussa vuonna Kerroksien paanumäärät muodostavat aritmeettisen jonon: a1 3 d 8 an 3n18 38n 8 8n 5 Viimeinen, alin kerros: a Paanuja yhteensä: S

193 Ekstrat 9. a) Yleinen jäsen a n 15 2 n 1 7. jäsen 71 6 a b) Lukujonon suhdeluku ( q Yleinen jäsen a n n1 7. jäsen a Geometrisen lukujonon suhdeluku Yleinen jäsen 9. jäsen 1 a 2 2 n n 91 8 a q Aritmeettisen lukujonon differenssi d Yleinen jäsen an 2n1222n2 2n 9. jäsen a Verrataan jonojen yhdeksänsiä jäseniä , ,4...% 18 Geometrisen lukujonon 9. jäsen on 2844,4...% 100% 2744% suurempi. 193

194 Ekstrat 11. Olkoon jonon suhdeluku q. Tällöin a 128q a a a q 128q 128q Saadaan yhtälö 4 128q 2048 :128 q 4 16 q Yleinen jäsen n 1 an a1 q Jos q 2, a a a a Jos q 2, 101 a a a a

195 Ekstrat 12. Jonon suhdeluku Yleinen jäsen 5 4 q 0, ,25 n a n Saadaan yhtälö n1 50,25 0,00001 :5 n1 0,25 0, lg0,25 n1 lg0, n 1 lg0,25 lg0, :lg0,25 n 1 lg0, lg 0,25 n 10, a a ,25 0, , ,25 0, ,00001 eli jäsen a

196 Ekstrat 13. a) Summa S b) a8 3q 3 q 81 7 Saadaan yhtälö 7 3q 6561 :3 q q 7 q Summa S a) Suhdeluku 2 q 2 Yleinen jäsen 1 a n 12 2 n1 n1 Lasketaan montako yhteenlaskettavaa summassa on. n lg 2 n1 lg16384 n 1 lg 2 lg16384 :lg 2 n 1 lg16384 lg 2 lg16384 n 1 lg 2 n 15 Summa S

197 Ekstrat b) Suhdeluku 6 q 2 Yleinen jäsen 3 a n 32 n 1 Lasketaan yhteenlaskettavien määrä. n :3 lg 2 n n1 lg512 n 1 lg 2 lg512 :lg 2 n 1 lg512 lg 2 lg512 n 1 lg 2 n 10 Summa S a) Yhteenlaskettavia on 12 kappaletta. 2 1,05 20 Suhdeluku q 1, 05 1,05 20 Summa 12 11,05 S12 1, , , 26 11,05 197

198 Ekstrat b) Yhteenlaskettavia on 9 kappaletta a1 1, , 02 a 500 1, , a Suhdeluku 2 1, q 1, 02 a 8 1 1, ,02 Summa S 9 1, , , 74 11, a) Suhdeluku 22 1, 06 q 1, 06 1, , Yhteenlaskettavia summassa on 23 kappaletta- Summa S , , (1,06 ) 11,06 11,06 11,06 49, ,

199 Ekstrat b) Suhdeluku 29 1, 03 q 30 1, ( 30) 1 1, 03 1, 03 1, 03 Koska 1,03 0 =1, on viimeisen yhteenlaskettavan eksponentti 0. Summassa on tällöin yhteenlaskettavia = 31 kappaletta. Summa 11,03 S31 11, ,03 20, , Varastoidun jätteen määrä 0,9-kertaistuu vuoden aikana. Vuoden 2003 alussa varastoitu jäte ennättää hajota 48 vuotta. Jäte-eristä muodostuu geometrinen summa , , , , ,9 a ,9 q0,9 n 48 Jätettä on yhteensä 1 0,9 S ,9 1 0, , (kg)

200 Ekstrat Investointilaskenta ,08 2 NPV 200 1,08 171, , Lasketaan vaihtoehdon B nykyarvo ,10 1, , , , ,78 Vastaus: Kannattaa valita vaihtoehto B. 20. Diskontataan kaikki kassaan maksut nykyhetkeen. Kassaan maksujen nykyarvo on ,10 1,10 1,10 1, , , , , , Nettonykyarvo NPV 88361, , Vastaus: Investointi ei ole kannattava 200

201 Ekstrat 21. Merkitään nykyarvoa kirjaimella x x 2381, ,50 3 1, 08 Merkitään korkotekijää kirjaimella q q 4 q q 7011 :5250 q 4 1, q 1, q 1, Korkotekijä aina positiivinen, joten q 1, Korkokanta on siis 7,5 %. Merkitään nimellisarvoa kirjaimella y. y ,12 5 1,12 5 y 6751,12 y 1189, y 1189,58 ( ) 201

202 Ekstrat Merkitään aikaa vuosina kirjaimella n. 800 n 712 1,05 n 1, 05 n 1, :712 n 1,05 1, n lg1,05 lg1, nlg1,05 lg1, :lg1,05 lg1, n lg1,05 n 2, n 2,4 (vuotta) Vastaus: nykyarv nimellisarv aika o ( ) o ( ) vuosina korkokanta 2381, % ,5 % , % ,4 5 % 202

203 Ekstrat 22. Linja A Nettonykyarvo NPV , , , , ,61 Linja B Nettonykyarvo NPV , , , , , ,61 Vastaus: kannattaa valita linja A. 23. Tarkastellaan ensimmäistä vaihtoehtoa. Kopiokoneen vuotuiset kustannukset ovat ,022 = 3080 Investoinnin ja kopioinnin menot 8 vuodessa ovat ,065 1,065 1, ,065 1, , , , ,35 S Geom. summa q1, ,065 1, ,065 6,

204 Ekstrat Koneen myynnistä saatava nykyarvo on , , Nettonykyarvo NPV = 2416, ,35 = ,43 Toisessa vaihtoehdossa vuotuiset kustannukset ovat , Kustannusten nykyarvo on ,065 1,065 1, ,065 1, , , ,065 11, , , ,13 Nettonykyarvo on siis , , , Vastaus: Palvelun ostaminen on yritykselle edullisempi vaihtoehto. 204

205 Ekstrat 24. Merkitään yhden pesukerran hintaa kirjaimella x. Vuodessa kertyy tuloja 3000x. Tulojen nykyarvo 3000x 3000x 3000x 3000x ,08 1,08 1,08 1,08 1, x 1,08 1,08 1,08 1,08 1, , x 1, ,08 1, x 3, , , 08 Menojen nykyarvo , 08 1, 08 1, ,08 1, , , , , ,55 ( ) , ,

206 Ekstrat Tulojen ja menojen nykyarvojen pitää olla samat, joten saadaan yhtälö x 3, ,55 1, ,13... x ,55 1, ,13... x , x 8, Vastaus: Hinnan oltava vähintään 8,88 /pesu 206

207 Ekstrat Katetuottolaskenta 25. Katetuotto on 0, Tulos saadaan, kun katetuotosta vähennetään kiinteät kustannukset % myyntituotto ,6 100 muuttuvat kustannukset 0, = katetuotto = 60 kiinteät kustannukset = ,55 55% 2000 tulos 0, a) Myyntituotto vuodessa Muuttuvat kustannukset vuodessa Katetuotto Tulos

208 Ekstrat b) Myynti laskee 15 % eli uusi myynti 0, Myyntituotto Muuttuvat kustannukset Katetuotto Tulos = Toiminta ei ole kannattavaa. 28. Vaadittu katetuotto on = Merkitään taskutietokoneiden verotonta hintaa kirjaimella x. Katetuotto hinnalla x on 2200 x 54. Saadaan yhtälö 2200x :2200 x 54 81, x 135, x 135,82 Verollinen hinta 1,23135,82 167, ,06 208

209 Ekstrat 29. a) Merkitään myyntituottoa kirjaimella a. Katetuotto on tällöin 0,52a ja kiinteät kustannukset 0,38a. Yrityksen tulos on 0,52a0,38a 0,14a. Suhteellinen tulos on 14 %. b) Kiinteät kustannukset 1, 08 0,38a Muuttuvat kustannukset alussa a 0,52a 0,48a lopussa 0,98 0,48a 0,4704a. Katetuotto on tällöin a0,4704a 0,5296a. Yrityksen tulos 0,5296a0,4104a 0,1192a Suhteellinen tulos on 12 %. 209

210 Ekstrat 30. a) Myyntihinta per litra 1, 20 3, 20 0,375 Katetuotto litraa kohti on 3,20 1,20 2,0 Kriittinen piste / kk 2,0 / l 49000l/kk Pulloina kriittinen piste l/kk ,66... pulloa/kk pulloa/kk 0,375 l/pullo b) Myyntitulo kriittisessä pisteessä , , Merkitään tuotteiden määrää kirjaimella x. a) K( x) muuttuvat kustannukset kiinteät kustannukset K( x) 2x 600 b) Yksikkökustannusfunktio K( x) 2x kx ( ) 2 x x x c) Myyntituotto ,00 = Kokonaiskustammukset K(26000) = = ( ) Tulos = Yksikkökustannukset k(26000) 2 2, ,02 ( )

211 Ekstrat 32. a) Merkitään ajettavien kilometrien määrää kirjaimella x. K( x) 0,23 x muuttuvat kustannukset kiinteät kustannukset b) 0,23x kx ( ) 0,23 x x c) Taksinyrittäjän tuotto 1, 09x Tulosfunktio T( x) 1,09 x 0,23x ,86x25000 Tuotto Kustannukset d) e) Lasketaan kriittinen piste 1,09x 0,23x ,86x x 29069, Ajettava km vuodessa. 211

212 Ekstrat 33. a) Määritetään kustannusfunktion arvo. Derivaatta K( x) 0,50x 16 2 K( x) 0,25x 16x 400 pienin Derivaatan nollakohta: 0,50x ,50x 16 :0,50 x 32 K(x) 32 x Pienin arvo derivaatan nollakohdassa eli, kun x = 32 (kpl) b) Tulosfunktio T( x) M( x) K( x) 2 1,5 x(0,25x 16x400) 2 0,25x 17,5x400 Derivaatta T( x) 0,50x 17,5 Derivaatan nollakohta: 0,50x 17,5 0 0,50x 17,5 : 0,50 x 35 x T(x) Suurin arvo derivaatan nollakohdassa eli, kun x = 35 (kpl). 212