3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

Transkriptio

1 MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muua asteiksi,5 radiaaia.. a) Ratkaise yhtälö si(5 x ) 0,55. Ilmoita vastaus radiaaeia! 6 b) Määritä lukujoo,,,, kolmaskymmees jäse. a) Geometrisessa joossa a = 5 ja a 7 = 5. Määritä joo kaksi esimmäistä jäsetä. b) Ratkaise yhtälö si( x ) si( x). Määritä fuktio f (x) =, tarkkuudella. x + cos x suuri ja piei arvo suljetulla välillä. Ilmoita tarkka vastaus ja likiarvovastaus kolme desimaali 5. a) Jussi päättää juosta vuode jokaisea päivää. Jos hä juoksee esimmäiseä päivää km, ja joka päivä matkaa pideetää 50 metrillä, ii kuika paljo Jussi juoksee vuode aikaa? b) Geometrise joo,,, summa o 095, motako jäsetä joossa o? 6. Tutki fuktio f ( x) x cos x kulkua. Ilmoita, oko sillä ääriarvokohtia ja jos o, mitkä e ovat. Ilmoita lisäksi mite fuktio kulkee (kasvava ja väheevä) koordiaatistossa erilaisilla x-akseli väleillä 7. Atlati raikolla vede korkeus muuttui erää vuorokaude aikaa 9 ( t ) seuraava fuktio mukaisesti: ht ( ) cos( ). 6

2 Fuktiossa t o aika tuteia vuorokaude alusta lukie ja h o vede korkeus metreiä. Ilmoita mihi vuorokaude aikaa vesi oli korkeimmillaa. Ilmoita myös paljoko korkeus silloi oli! 8. Puistossa o kaksi toisiaa vaste kohtisuorassa olevaa käytävää, käytävät A ja B. Lisäksi puistossa o koirie suosima puu, joka etäisyys käytävästä A o 60 m ja käytävästä B 00 m. Käytävie välii o muodostuut lyhi mahdollie, luotisuora oikopolku, joka kulkee puu kautta. Mikä kulma tämä polku muodostaa käytävä A kassa? Vastaus asteia! MALLIKUVA teht. 8: TRIGONOMETRISIIN TEHTÄVIIN YKSIKKÖYMPYRÄT JA MUISTIKOLMIOT VASTAUKSEN PERUSTELUIKSI, MIKÄLI TARPEELLISTA!

3 Vastaukset:. a) si x. Sii o egatiivie, jote vastauskulmat III ja IV sektoreissa (yksikköympyrä perusteluksi). Kyseessä ei ole muistikolmio kulma, jote kääteissii puolittai: si x si x 0, 655 tai x 0, 655,56 b) 5 astee muistikolmiosta: Yksikköympyrä mukaa egatiivie kosii, luetaa cos 80 80,5 c) 80 : rad,5,5 rad,

4 . a) Sii eg. => vastaukset III ja IV sektoreissa. Kääteissii puolittai, ii saadaa: 5x 0,58 tai 5x 0, x 0,58 tai 5x 0, x 0,876 tai 5x, : 5 x 0,75 tai x 0, b) Lukujoo o geometrie ja se suhdeluku q = a = a q a 0 = 9 =778. a) Ratkaisu a = a q a q = 5 a q 6 = 5 Jaetaa edellie yhtälö jälkimmäisellä q = 5 q = 5 Sijoitetaa q: arvo esimmäisee yhtälöö Vastaus: a = 5, a = 5 a = 5 : 5 a = 5 5 = 5 a = 5 5 = b) si( x ) si( x) x x tai x x x x tai x x x tai x x tai x 8

5 . Jatkuva fuktio saa suurimma ja pieimmä arvosa suljetulla välillä derivaata ollakohdissa tai tarkasteluväli päätepisteissä. x f (x) = + cos x f (x) = si x si x = 0 si x = x = + x = + Tarkasteluvälillä oleva derivaata ollakohta: x = f = =,07,, piei f = + =,66,6, suuri f = =,07, Vastaus: Suuri arvo o,6 ja piei arvo, 5. a) Aritmeettie joo ja aritmeettie summa: a 000m d 50m 65 a 000 (65 ) S m 05,5km puuttuu b)joo o geometrie ja peräkkäiste jäsete osamäärä q = / = / =. Esimmäie jäse a = ja summa s = 095. Geometrise joo summa s = ( a q ) ( ) = = ( q) ( ) 095, josta saadaa yhtälö - =-095, joka sieveee muotoo = 096. Ottamalla lg 096 puolittai logaritmit saadaa = =. lg Vastaus: Joossa o jäsetä. 6. f ' ( x) si x. Ääriarvot derivaata ollakohdista, jote muodostetaa yhtälö: si x 0 si x si x x x Tutkitaa derivaata arvoja ollakohda molemmi puoli: f (0) si 0 posit. f ( ) si( ) si posit.!!

6 Eli derivaatalla o yksi ollakohta, mutta derivaatta saa se molemmi puoli positiivisia arvoja. Alkuperäie fuktio f(x) o siis kasvava kaikkialla ja ääriarvokohta, vaa terassikohta, joka toistuu x-akselilla pii välei. x ei ole 7. 9 ( t ) 9 h( t) cos( ) cos( t ) ( t) ( t) h ( t) si( ) si( ) Ääriarvot derivaata ollakohdista: ( t ) si( ) 0 :( ) 6 ( t ) si( ) 0 6 ( t) ( t) 0 tai ( t ) 0 tai ( t ) 6 : t 0 tai t 6 t tai t 8 t oli aika tuteia, jote tässä täytyy ajatella tavallaa kellotaulu :sta tutia, eli t=+ voidaa ajatella, että se o klo :00 tai klo :00, eli aamulla tai iltapäivällä. Sama tieteki toiselle vastaukselle. Sijoitetaa yt alkuperäisee fuktioo ja kokeillaa t= tai t=8 kumpi o mi ja kumpi max. f()=6m, joka o suurempi arvo, eli vesi o korkeimmillaa klo 0:00 tai :00 ja korkeus o silloi 6m. 8. pituus S=a+b Nyt pikkukolmioista voidaa muodostaa, että polu

7 Ratkaistaa a ja b kulma alfa avulla: si a a si cos b b cos S( ) si cos 60(si ) 00(cos ) Ääriarvot, eli tässä tapauksessa polu pituude mi. ja max. löytyvät derivaata ollakohdista, jote ei muuta kui derivoimaa: S x ( ) 60(si ) cos 00(cos ) ( si ) 60 cos 00si si cos Tästä ollakohdat: 60 cos 00si 00si 60 cos 0 si cos cos si 60 cos 00si :00 cos si 5 si cos si : cos ta ta 5 5 cos 5 0, Heitellää derivaatalle kokeiluarvoja ollakohda molemmi puoli, jotta ähdää merkkikaaviotarkastelu avulla oko kyseessä polu pituude S: miimi vai maksimikohta: 60cos0 00si 0 S (0 ) 0 66, 666 5, si 0 cos 0 60cos60 00si 60 S (60 ) 0 6, 06, si 60 cos 60 Merkkikaavio o siis mallia: 0, S (x) - + S(x) Ollaa siis löydetty polu pituude miimikohta, ku polku leikkaa polu A 0, astee kulmassa.

8