TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI

Transkriptio

1 TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI

2 Sisällysluettelo 1 Prosettilasketa ja verotus 3 Prosettilasketa 3 Verotus 18 2 Hiat ja raha arvo 23 Ideksit 23 Euro ja muut valuutat 39 3 Laiat ja talletukset 52 Korkolasku 52 Lukujoot ja summat 61 Korokorko 68 Korkokausittai toistuvat suoritukset 76 Laialaskelmia 81 Sijoittamie 92 2

3 1 Prosettilasketa ja verotus Prosettilasketa 1. 6 a) 0, 2 20 % 30 = = b) 4,5 0,3 30% 15 = = 5 c) 0, ,5 % 37 = 2. a) 0, = 42,50 ( ) b) 0, = 882 (kg) c) 0, = 1,4 (ml) 3. 0, = ( ) a) = 0, ,2 % b) 100 % 85,2 % = 14,8 % 5. a) b) 0,12 x = 78 : 0,12 x = 650 ( ) 0,03 x = 0,72 : 0,03 x = 24 (l) 3

4 c) 0,0125 x = 22,75 : 0,0125 x = ( ) 6. 0,08 x = : 0,08 x = ( ) 7. a) 0, = 0,9845 (mrd. euroa) = 984,5 milj. euroa 980 milj. euroa b) 0,0053 x = 1011 : 0,0053 x = , (milj. euroa) = 191 (mrd. euroa) 8. a) Muutokse jälkeie hita o 1,15-kertaie eli 115 % alkuperäisestä. Hita ousi 115 % 100 % = 15 %. b) Muutokse jälkeie hita o 0,934-kertaie eli 93,4 % alkuperäisestä. Hita laski 100 % 93,4 % = 6,6 % = 1, ,4 % 36 Hita ousi 119,4 % 100 % = 19,4 % 10. 3,65 = 1, ,9 % 2,90 Hita ousi 125,9 % 100 % = 25,9 %. 392 = 0, ,1% 440 Hita laski 100 % 89,1 % = 10,9 %. 50 = 0, ,3 % 65,5 4

5 Hita laski 100 % 76,3 % = 23,7 %. 13,10 = 1, ,1% 11,90 Hita ousi 110,1 % 100 % = 10,1 % a) = 1, ,4 % 37 Tuote A o 151,4 % 100 % = 51,4 % kalliimpi kui tuote B. 37 b) = 0, ,1 % 56 Tuote B o 100 % 66,1 % = 33,9 % halvempi kui tuote A. 12. a) vääri b) vääri c) oikei d) oikei 13. a) Arvolisävero laski = 4 prosettiyksikköä. b) Laia korkokata ousi 2,7 1,9 = 0,8 prosettiyksikköä. c) Työttömyysaste laski 10,3 8,2 = 2,1 prosettiyksikköä Ee: = 0, ,3 % Nyt: = 0, ,6 % Asumiskuluje osuus laski 21,3 20,6 = 0,7 prosettiyksikköä. 5

6 15. a) h + 0,04h = 1, 04h b) h 0,06h = 0, 94h 16. a) 100 % + 16,5 % = 116,5 % 1, = 396,10 ( ) b) 100 % 15 % = 85 % 0,85 56,80 = 48,28 ( ) % 10 % = 90 % 0, = ( ) 100 % 5 % = 95 % 0, = 4 702,50 ( ) Aleuste vähetämisjärjestyksellä ei ole merkitystä lopputulokse kaalta. 18. Merkitää hitaa vuode alussa x:llä. Hita vuode lopussa o 1,12 0,95 1,04 1,10 0,91 x = 1, x = 1, 108x, joka o 110,8 % vuode alu hiasta. Hita ousi 110,8 % 100 % = 10,8 % ,09x = 119,90 :1,09 a) x = 110 ( ) b) 0,94x = 112,80 : 0,94 x = 120 ( ) 20. 0,92x = : 0,92 x = , (kpl) 6

7 21. 0,16x = 6, 20 : 0,16 x = 38,75 ( ) Hita korotukse jälkee 38,75 + 6,20 = 44, Hita Myyti Myytitulot Ee a b ab Muutos + 5 % 2 % Jälkee 1,05a 0,98b 1,05a 0,98b = 1,029ab Myytitulot olivat 102,9 % aiemmasta myytituloje määrästä. Myytitulot kasvoivat 102,9 % 100 % = 2,9 %. 23. Edellie vuosi Seuraava vuosi Markkioitikustaukset Liikevaihto Osuus % + 4 % = 0,04 = 4% 1, = ( ) 1, = ( ) = 0, ,6% Markkioitikustauste osuus liikevaihdosta ousi 4,6 4 = 0,6 prosettiyksikköä. 24. Edellie vuosi Seuraava vuosi Osasto myyti Osuus Koko myyti ,2 % 0,182x = : 0,182 x = , , 26 (milj. ) + 8,5 % 2 prosettiyksikköä 1, = ( ) 16,2 % 0,162x = : 0,162 x = , ,82 (milj. ) 7

8 19,82 1, ,9 % 16,26 = Marketi myyti oli 121,9 % 100 % = 21,9 % edellistä vuotta suurempi. 25. Reilut baaait Osuus Baaait yhteesä Ee 0,09x 9 % x Muutos + 15 % Jälkee 0,12 1,15x = 0,138x 12 % 1,15x 0,138x 1, ,3 % 0,09x = Reilu kaupa baaaie myyti kasvoi 153,3 % 100 % = 53,3 % , = ( ) ,035 3,5 % = = 28. 0,0465x = : 0,0465 x = ( ) 29. a) 104 1, ,8 % 82 = = Muutos o 126,8 % 100 % = 26,8 % kasvua. b) 5,5 0, ,7 % 6, 2 = = Muutos o 100 % 88,7 % = 11,3 % väheystä. 8

9 30. Fortum: 16,80 0, ,3 % 17,26 = = Kurssi laski 100 % 97,3 % = 2,7 %. Wärtsilä: 24,99 0, ,3 % 25, 42 = = Kurssi laski 100 % 98,3 % = 1,7 %. Nordea: 5,33 0, ,6 % 5,52 = = Kurssi laski 100 % 96,6 % = 3,4 %. Nokia rekaat: 13,62 1, ,3 % 13,06 = = Kurssi ousi 104,3 % 100 % = 4,3 %. 31. a) 30 % + 2 prosettiyksikköä = 32 % b) 1,3 % + 0,4 prosettiyksikköä = 1,7 % c) 3,4 % 0,5 prosettiyksikköä = 2,9 % 32. 1,06x = 551, 20 :1,06 x = 520 ( ) 33. 1, 2x = 150 :1, 2 x = 125 (ml) 34. Vuosi TK-kustaukset Kustaukset yhteesä Osuus , ,9 (%) = , ,4 (%) = 9

10 Osuus kasvoi 16,4 13,9 = 2,5 prosettiyksikköä ,92x = 225, 40 : 0,92 x = 245 ( ) 36. Väkiluku Alle 18-vuotiaide osuus Alle 18-vuotiaita Aiemmi ,0 % 0, = prosettiyksikköä 5 vuotta myöhemmi , ,8 (%) = a) , ,2 (%) = Määrä ousi 104,2 % 100 % = 4,2 %. b) Osuus laski 16,0 15,8 = 0,2 prosettiyksikköä. 37. Hita Myyti Tulot Ee a b ab Muutos + 15 % 8 % Jälkee 1,15a 0,92b 1,15a 0,92b = 1,058ab Tulot olivat 105,8 % aiemmasta myytituloje määrästä. Myytitulot kasvoivat 105,8 % 100 % = 5,8 %. 38. a) Hita Katsojamäärä Lipputulot Ee a b ab Muutos 15 % Jälkee 0,85a ab 0,85a = 1, b ab 10

11 Katsojamäärä pitää olla 117,6 % aiemmasta määrästä. Katsojamäärä pitää kasvaa 117,6 % 100 % = 17,6 %. b) Hita Katsojamäärä Lipputulot Ee a b ab Muutos 15 % + 5 % Jälkee 0,85a 1,05ab 1,05ab = 1, b 0,85a Katsojamäärä pitää olla 123,5 % aiemmasta määrästä. Katsojamäärä pitää kasvaa 123,5 % 100 % = 23,5 %. 39. a) Ratkaistaa hita ee jälkimmäistä korotusta. 0,05x = 25, 20 : 0,05 x = 504 ( ) Lopullie hita oli ,20 = 529,20 ( ). b) 1,12 1,05 x = 1,176x Lopullie hita o 117,6 % alkuperäisestä. Hita ousi kaikkiaa 117,6 % 100 % = 17,6 %. 40. Yhtiövastike Vuokra Ee a 1,35a Muutos + 8 % Jälkee 1,08a 1,4 1,08a = 1,512a 1,512a 1, % 1, 35a = = Uude vuokra pitää olla 112 % aiemmasta vuokra määrästä. Vuokraa o ostettava 112 % 100 % = 12 %. 11

12 41. 1,125 3,20 = 3,60 ( /m 2 ) 3,60 35,5 = 127,80 ( ) 42. x+ 0,89x= 6, 0 1,89x = 6, 0 :1,89 x = 3, , 2 (milj. ) 43. a) Paketi koko Pakettie määrä Muroje määrä Ee a b ab Muutos + 10 % 10 % Jälkee 1,10a 0,9b 1,1a 0,9b = 0,99ab Muroje määrä oli 99 % aiemmasta määrästä. Määrä laski 100 % 99 % = 1 %. b) Hita Pakettie määrä Myyti rahaa Ee a b ab Muutos + 12 % 10 % Jälkee 1,12a 0,9b 1,12a 0,9b = 1,008ab Myyti rahaa oli 100,8 % aiemmasta määrästä. Myyti rahaa kasvoi 100,8 % 100 % = 0,8 % ,88 0,88 0,88 x = ,88 3 x = 4200 :0,88 3 x = 6 163, (mk) 4 0, ,94573 = 423, ( ) 12

13 45. Euroopa ulkopuolie myyti o 100 % 60 % = 40 % vieistä. Ratkaistaa viei määrä. 0, 4x = 182 : 0, 4 x = 455 (milj. ) Viei osuus koko myyistä o 100 % 30 % = 70 %. Ratkaistaa koko myyti. 0,7x = 455 : 0,7 x = 650 (milj. ) Verotus 48. a) 0, = 521, ,38 ( ) b) 0, ,39 ( ) = 716,90 ( ) 49. a) ,215 ( ) = 3 726,10 ( ) b) 0, ,10 = 7 569, ,05 ( ) c) 0, ,10 = 697, ,15 ( ) d) 3 726, , ,15 = ,30 ( ) 50. a) 0 ( ) b) 0,11 ( ) = 337,70 ( ) ,215 ( x ) = 4 219, ,215x 8 535,5 = 4 219,93 0,215x = 4 219, ,5 0,215x = 9 532,43 : 0,215 x = , ( ) 13

14 52. a) 0,1 25 = 2,5 ( ) b) 1,1 25 = 27,5 ( ) 53. 1,14x = 76,80 :1,14 x = 67, ,37 ( ) 54. 1, 24x = 58 :1, 24 x = 46, , 77 ( ) 58 46,77 = 11,23 ( ) 55. a) 0,24x = 3,73 : 0,24 x = 15, ,54 ( ) b) 15,54 + 3,73 = 19,27 ( ) 56. Veroto hita Alv ( ) Alv (%) Verollie hita 282,00 0, = 67, ,68 = 349,68 6,00 0,84 0,84 0,14 14 (%) 6 = = 6 + 0,84 = 6,84 26,80 = 24, ,36 1, ,60 = ,24 26,80 24,36 = 2, , , ,60 = , Ratkaistaa vaihtopullo veroto hita. 1, 24 x = 0, 40 :1, 24 x = 0, ,32 ( ) Vaihtopullo hiassa arvolisäveroa o 0,40 0,32 = 0,08 ( ). 14

15 Ratkaistaa pullo sisällö veroto hita. 1,14 x = 2, 40 :1,14 x = 2, ,11 ( ) Pullo sisällö hiassa arvolisäveroa o 2,40 2,11 = 0,29 ( ). Yhteesä Maisa maksaa arvolisäveroa 0,08 + 0,29 = 0,37 ( ). 58. Tapa 1 Ratkaistaa kirjasarja veroto hita. 1,1 x = 126 :1,1 x = 114, ,55 ( ) Uusi veroto hita o 114, = 123,55 ( ). Uusi verollie hita o 1,1 123,55 = 135, ,90 ( ). Tapa 2 Verollie hia korotus o 1,1 9 = 9,9 ( ) Uusi verollie hita o ,9 = 135,90 ( ). 59. Ratkaistaa auto veroto hita. 1, 24 x = :1,24 x = 7 056, ,45 ( ) Uusi verollie hita o 1, ,45 = 8 891, ( ). 60. a) Merkitää verotota hitaa x:llä. Verollie hita ee muutosta o 1,14x ja muutokse jälkee 1,16x. 1,16x 1, ,8 (%) 1,14x = Muutokse jälkee verollie hita o 101,8 % 100 % = 1,8 % aikaisempaa korkeampi. 15

16 b) Merkitää verotota hitaa x:llä. Verollie hita ee muutosta o 1,24x ja muutokse jälkee 1,20x. 1, 20x 0, ,8 (%) 1, 24x = Muutokse jälkee verollie hita o 100 % 96,8 % = 3,2 % aikaisempaa edullisempi ,26 ( ) = ( ) 62. a) ,13 ( ) = ( ) b) = ( ) ,07 ( ) = 450 ( ) c) : 2 = ( ) ,07 ( ) = 975 ( ) = ( ) 63. a) ,07 ( ) = 618 ( ) b) ,07 ( ) = 219 ( ) = 438 ( ) c) 0 ( ) 64. 0, ,44 ( ) = ( ) 65. a) ,175 ( ) = 2 739, ,83 ( ) b) 0, = 7 071,27 ( ) c) 0, = 586, ,40 ( ) d) 2 739, , ,40 = ,50 ( ) 16

17 66. a) 0, ,25 = 7 839, ,24 ( ) b) 0, ,25 = 8 898, ,59 ( ) c) Haapajärvellä kuallisvero o 21 % 18,5 % = 2,5 prosettiyksikköä korkeampi. 8898,59 1, ,5 (%) 7839, 24 = Haapajärveläie maksaa veroa 113,5 % 100 % = 13,5 % eemmä. 67. Verotulot Kuallisvero (%) Verotettava tulo Ee 522,6 (milj. ) 18 Muutos + 12 % + 0,5 prosettiyksikköä Jälkee 0, ,27 = 5 59, ,7 (milj. ) 522,6 = 2903, ,33(milj. ) 0,18 + 4,2 % 18,5 1, ,33 = 3 025, ,27 (milj. ) a) 559,7 522,6 = 37,1 (milj. ) b) 559,7 1, ,1 (%) 522,6 = Verotulot ousivat 107,1 % 100 % = 7,1 %. 68. Veroto hita Alv ( ) Alv (%) Verollie hita 64,00 8,96 8,96 0,14 14 (%) 64 = = ,96 = 72,96 530,00 0, = 127, ,20 = 657,20 12,54 1,54 = 11 1,54 1, 54 0,14 14 (%) 11 = = 12,54 100, ,10 91 = 9, ,10 = 1,1 17

18 69. a) 1, = ( ) b) = ( ) , , 4 (%) = 70. Ratkaistaa veroto hita 0,1 x = 2,18 : 0,1 x = 21,8 Verollie hita o 21,8 + 2,18 = 23,98 24( ). 71. Ratkaistaa keilarada vuokra veroto hita. 1,1 x = 25 :1,1 x = 22, , 73( ) Keilarada vuokrassa arvolisäveroa o 25 22,73 = 2,27 ( ). Ratkaistaa kekie veroto hita. 1, 24 x = 40 :1, 24 x = 32, , 26 ( ) Kekie hiassa arvolisäveroa o 40 32,26 = 7,74 ( ). Ratkaistaa kolmioleivä ja juoma veroto hita. 1,14 x = 6, 20 :1,14 x = 5, , 44 ( ) Kolmioleivä ja juoma hiassa arvolisäveroa o 6,20 5,44 = 0,76 ( ). Ratkaistaa bussimatka veroto hita. 1,1 x = 2, 5 :1,1 x = 2, , 27 ( ) Bussimatka hiassa arvolisäveroa o 2,50 2,27 = 0,23 ( ). Yhteesä Keijo maksaa arvolisäveroa 2,27 + 7,74 + 0, ,23 = 11,23 ( ). 18

19 72. a) Veroto hita Alv-% Verollie hita Ee x 22 1,22x Jälkee x 13 1,13x Muutokse jälkee verollie hita oli 1,13 x 0, ,6 % 1, 22x Verollie hita laski 100 % 92,6 % = 7,4 %. b) Veroto hita Alv-% Verollie hita Ee x 22 1,22x Jälkee 1,05x 13 1,13 1,05x = 1,1865x Muutokse jälkee verollie hita oli 1,1865 x 0, ,3 % 1, 22x Verollie hita laski 100 % 97,3 % = 2,7 %. c) Veroto hita Alv-% Verollie hita Ee x 22 1,22x Jälkee 0,92x 13 1,13 0,92x = 1,0396x Muutokse jälkee verollie hita oli 1,0396 x 0, , 2 % 1, 22x = aikaisemmasta. Verollie hita laski 100 % 85,2 % = 14,8 %. 73. a) Merkitää verotota hitaa x:llä. Arvolisävero määrä o tällöi 0,14x ja verollie hita x + 0,14x = 1,14x. Vero osuus verollisesta hiasta o 0,14 x 0, ,3 % 1,14x =. 19

20 b) Merkitää verotota hitaa x:llä. Arvolisävero määrä o tällöi 0,1x ja verollie hita x + 0,1x = 1,1x. Vero osuus verollisesta hiasta o 0,1 x 0, ,1 % 1,1x =. 74. Merkitää verotota hitaa x:llä ja ratkaistaa veroto hita yhtälöstä. 0,24 x = 14,40 : 0,24 x = 60 ( ). Verollie hita o 60, ,40 = 74, ,13 ( ) = ( ) = ( ) ,13 ( ) = ( ) 77. a) ,07 ( ) = 170 ( ) = 340 ( ) b) ,07 ( ) = 520 ( ) 80. a) 1, 50 0,6 60 (%) 2,50 = = Matkakortilla maksamie o 100 % 60 % = 40 % edullisempaa. b) 2,50 1, ,7 (%) 1, 50 = = Kertamaksu o 166,7 % 100 % = 66,7 % kalliimpi. 20

21 81. a 1,12 0,95 1,04 1,1 0,91 = 1,10766 a 1,108a Kurssimuutos oli 110,8 % 100 % = 10,8 % ,8x = : 0,8 x = ( ) 83. Ratkaistaa veroto hita. 0,1x = 7, 28 : 0,1 x = 72,80 ( ) Verollie hita o 72,80 + 7,28 = 80,08 ( ). 84. verolaji vero määrä valtiovero ,215 ( ) = 5 255, ,83 kuallisvero 0, = 8 746,46 kirkollisvero 0, = 805, ,60 yhteesä , Vieti Koko myyti Viei osuus (%) , ,4 (%) = 0, = , = , ,7 (%) = Viei osuus laski 59,4 46,7 = 12,7 prosettiyksikköä. 21

22 86. Hita Myyimäärä Myytitulo a b ab 0,8a 1,4b 0,8a 1,4b = 1,12ab Myytitulo kasvaa 112,0 % 100 % = 12,0 % ,1x = 94 :1,1 x = 85, ,45 ( ) Yöpymise hiassa arvolisäveroa oli 94 85,45 = 8,55 ( ). 1,24x = 24 :1,24 x = 19, ,35 ( ) Yöpymise hiassa arvolisäveroa oli 24 19,35 = 4,65 ( ). Loppusumma sisälsi arvolisäveroa 8,55 + 4,65 = 13,20 ( ) ,10 ( ) = ( ) 89. a) ,07 ( ) = 450 ( ) b) ,07 ( ) = 135 ( ) = 270 ( ) 22

23 2 Hiat ja raha arvo Ideksit 90. Vuosi Hita Ideksi (2009 = 100) , = 105, , = 111, , = 117, , = 114, , a) Vuosi Asiakkaita Ideksi (2010 = 100) 100, , , , b) Vuosi Asiakkaita Ideksi (2012 = 100) , , , ,

24 92. Pääkaupukiseutu Ideksi (2008 = 100) Muu Suomi Ideksi (2008 = 100) , , , , , , , , , , b) Vuoa 2012 hitataso o 122,4 % vuode 2008 hitatasosta. Hiat ousivat 122,4 % 100 % = 22,4 %. c) 93. a) 12,3 % b) 35,9 % c) Vuode 2010 hitatasoo ähde hitataso o laskeut viestiä hyödykeryhmässä. d) Vuodesta 2010 eite o ousua tapahtuut hyödykeryhmässä elitarvikkeet ja alkoholittomat juomat. e) Vuodevaihteessa eite hiat ousivat hyödykeryhmässä ravitolat ja hotellit. 24

25 , ( /kk) 1726 = 95. a) 2,50 1, (%) 2 = = 125 % 100 % = 25 %. b) 100 = 50 matkaa = 40 matkaa 2,5 c) 40 0,8 80 (%) 50 = = Ostovoima laski 100 % 80 % = 20 %. 96. Vuosi Raha arvo Ideksi 2000 a x 1751 a 1751 = x x = 1501a :1751 x = 0,85722 a 0,857a Vuode 2010 raha arvo o 85,7 % vuode 2000 raha arvosta. Raha arvo laski 100 % 85,7 % = 14,3 % , 04 = 427, , 61 ( )

26 98. Vuosi Raha arvo RKI 2005 a 111, x 134,9 a 134,9 = x 111,7 134,9x = 111,7a :134,9 x = 0,82802 a 0,828a Vuode 2012 raha arvo o 82,8 % vuode 2005 raha arvosta. Raketamisee käytettävä raha arvo laski 100 % 82,8 % = 17,2 %. 99. Raha arvo Ideksi a y x 1,045y a 1, y = 045 x y a x = 1, 045 x a = 1,045x :1,045 x = 0, ,7 (%) Raha arvo laskee 100 % 95,7 % = 4,3 % Vuosi Maksu RKI , ,9 Lasketaa vuode 2009 maksu vuode 2012 rahassa. 26

27 ,1 = x 134,9 126,1x = ,9 126,1x = 51531,8 :126,1 x = 408, ,66 ( ) Vuode 2012 maksu o vuode 2009 maksua vastavasta euromäärästä 462 1, ,1 (%) 408,66 = Maksu reaaliarvo ousi 113,1 % 100 % = 13,1 % Vuosi Maksu EKI , ,87 ( ) 5,94573 = , a) 104,19 1, ,7 (%) 95,87 = Lapsilisä imellie arvo ousi 108,7 % 100 % = 8,7 %. b) Lasketaa vuode 1994 lapsilisä vuode 2009 rahassa. 95,87 = x x = 95, x = ,81 :1376 x = 129, ,80 ( ) Vuoa 2012 lapsilisä oli vuode 1994 lapsilisää vastavasta euromäärästä 104,19 0, ,3 (%) 129,80 = Lapsilisä reaaliarvo oli laskeut 100 % 80,3 % = 19,7 %. 27

28 102. Vuosi Hita EKI Lasketaa vuode 2005 hita vuode 2009 rahassa = x x = x = :1594 x = , ( ) Vuode 2009 hita o vuode 2005 hitaa vastavasta euromäärästä , ,7 (%) = Hia reaaliarvo ousi 126,7 % 100 % = 26,7 % a) b) 120, = 2712, ( ) 115, 4 120, , 018 = 2761, ( ) 115, Pääkaupukiseutu eliöhita ( /m 2 ) EKI Neliöhita v rahassa = = 3239, = 3273, = 3288,

29 b) 105. Ideksi Hekilöautot (2001 = 100) , , , , , , , , ,

30 106. Vuosi Kuolemaa johtaeet Ideksi (2001 = 100) oettomuudet , , , , , , , , ,

31 107. Vuosi Ikäryhmä alle 20 - vuotiaat Ideksi (2001 = 100) Ikäryhmä 20-vuotiaat ja vahemmat Ideksi (2001 = 100) , , , , , , , , , , , , , , , ,

32 Alle 20-vuotiailla raskaudekeskeytyste määrä o vähetyyt selvästi. 20 vuotta täyttäeillä määrässä ei ole tapahtuut suurta muutosta a) 6 0,75 75 (%) 8 = = 100 % 75 % = 25 %. 24 b) = 3 ateriaa 8 24 = 4 ateriaa 6 c) 4 1, ,3 (%) 3 = = Ostovoima ousi 133,3 % 100 % = 33,3 % ,1 267,50 = 280, ,19 ( ) 122, , = , ( ) 122,8 32

33 111. Vuosi Liikevaihto EKI a) , ,1 (%) = Liikevaihto ousi äeäisesti 110,1 % 100 % = 10,1 %. b) Lasketaa vuode 2009 liikevaihto vuode 2010 rahassa = x x = x = :1812 x = , ( ) Vuoa 2012 liikevaihto oli vuode 2011 liikevaihtoa vastavasta euromäärästä , ,2 (%) = Liikevaihdo reaaliarvo oli oussut 107,2 % 100 % = 7,2 % Vuosi Osakkeide arvo ( ) EKI a) , (%) = = Arvo ousi äeäisesti 138 % 100 % = 38 %. b) Lasketaa vuode 1998 osakkeide arvo vuode 2012 rahassa. 33

34 = x x = x = :1435 x = , ( ) Vuoa 2012 arvo oli vuode 1998 arvoa vastavasta euromäärästä , ,3 (%) = Osakkeide reaaliarvo oli oussut 106,3 % 100 % = 6,3 % a) Vuosi Palkka ( ) KHI Ee a 117,2 Nyt a 120,5 Muutetaa aiempi palkka jälkimmäise ajakohda rahaksi. a 117,2 = x 120,5 117,2x = 120,5a :117,2 x = 1, a 1,0282a ( ) Palkka oli aiempaa palkkaa vastavasta euromäärästä a 0, ,3 (%) 1, 0282a = Palka reaaliarvo oli laskeut 100 % 97,3 % = 2,7 %. b) Vuosi Palkka ( ) KHI Ee a 117,2 Nyt 1,045a 120,5 Muutetaa aiempi palkka jälkimmäise ajakohda rahaksi. a 117,2 = x 120,5 117,2x = 120,5a :117,2 34

35 x = 1, a 1,0282a ( ) Palkka oli aiempaa palkkaa vastavasta euromäärästä 1,045a 1, ,6 (%) 1, 0282a = Palka reaaliarvo oli oussut 101,6 % 100 % = 1,6 % Vuosi Palkka ( ) Hita ( ) Ee a b Nyt 1,112a 1,076b Muutetaa aiempi palkka jälkimmäise ajakohda rahaksi. a b = x 1,076b x = 1, 076a Palkka oli aiempaa palkkaa vastavasta euromäärästä 1,112a 1, ,3 (%) 1,076a = Palka reaaliarvo oli oussut 103,3 % 100 % = 3,3 % a) Raha arvo a Hita ( ) b x 1,25b a 1, b = 25 x b a x = 1, 25 x a = 1,25x :1,25 x = 0,8 = 80 (%) Raha arvo laskee 100 % 80 % = 20 %. 35

36 b) Raha arvo a Hita ( ) b x 0,92b a 0, b = 92 x b a x = 0, 92 x a = 0,92x :0,92 x = 1,08695 = 108,7 (%) Raha arvo ousee 108,7 % 100 % = 8,7 % Bruttopalkka Vero-% Nettopalkka Hiat , = b a , a=1886,5a 1,021b Muutetaa aiempi ettopalkka jälkimmäise ajakohda rahaksi b = x 1, 021b x = ,021 = 1 901,102 Ratkaistaa palkakorotustarve yhtälöstä 1886,5a = 1, , ,5a = 1 958,13506 :1886,5 a = 1, ,038 Uude bruttopalka pitää olla 103,8 % aiemmasta, eli korotustarve o 3,8 %. 36

37 117. KEVYT BENSIINI 95E ( /litra) DIESEL-ÖLJY ( /litra) POLTTOÖLJY ( /litra) KHI (2000=100) ,286 0,988 0, , ,431 1,144 0, ,7 a) 1, 431 1, ,3 (%) 1, 286 = 111,3 % 100 % = 11,3 % Muutetaa vuode 2005 hita vuode 2010 rahaksi. 116,7 1, 286 = 1, , 413 ( /litra) 106, 2 1,431 1, ,3 (%) 1,413 = 101,3 % 100 % = 1,3 % b) 1,144 1, ,8 (%) 0,988 = 115,8 % 100 % = 15,8 % Muutetaa vuode 2005 hita vuode 2010 rahaksi. 116,7 0,988 = 1, , 085 ( /litra) 106,2 1,144 1, , 4 (%) 1,085 = 105,4 % 100 % = 5,4 % c) 0,767 1, ,4 (%) 0,632 = 121,4 % 100 % = 21,4 % Muutetaa vuode 2005 hita vuode 2010 rahaksi. 37

38 116,7 0, 632 = 0, , 694 ( /litra) 106,2 0,767 1, ,5 (%) 0,694 = 110,5 % 100 % = 10,5 % 118. Vuosi Nettopalkka ( /kk) Kuluttajahitaideksi 100,0 103,4 106,3 Nettopalkka ( /kk) vuode 2012 rahassa 106,3 106, ,0 103, Reaaliasioideksi (2010 = 100) 100, , , KEVYT BENSIINI 95E ( /litra) DIESEL- ÖLJY ( /litra) POLTTO- ÖLJY ( /litra) KHI (2000 =100) , ,7 1,157 1, , ,7 0,827 0, , ,7 0,444 0, , , ,7 1,113 1, ,6 0, ,7 0,822 0, ,6 0, ,7 0,407 0, ,6 102, , ,7 1,091 1, ,2 0, ,7 0,771 0, ,2 0, ,7 0,365 0, ,2 104, , ,7 1,099 1, ,1 0, ,7 0,780 0, ,1 0, ,7 0,361 0, ,1 105, , ,7 1,167 1, ,3 0, ,7 0,859 0, ,3 0, ,7 0,480 0, ,3 105, , ,7 1,286 1, ,2 0, ,7 0,988 1, ,2 0, ,7 0,632 0, ,2 106,2 38

39 2006 1, ,7 1,375 1, ,1 1, ,7 1,058 1, ,1 0, ,7 0,712 0, ,1 108, , ,7 1,324 1, ,8 1, ,7 1,007 1, ,8 0, ,7 0,634 0, ,8 110, , ,7 1,504 1, ,3 1, ,7 1,364 1, ,3 0, ,7 0,887 0, ,3 115, , ,7 1,359 1, ,3 1, ,7 1,021 1, ,3 0, ,7 0,649 0, ,3 115, ,431 1,431 1,144 1,144 0,767 0, ,7 Valuutat 123. a) ,115 = SEK 500 b) = 54, ,85 9, a) = 82, ,42 0,825 b) 125 0,825 =103, ,13 GBP 39

40 125. a) Yksi euro o 7,9523 Norja kruuua setelivaluuta myytikurssi mukaa. b) Yksi euro o 1,4504 Kaada dollaria tilivaluuta ostokurssi mukaa a) Myytikurssia, koska pakki myy valuuttaa. b) 400 8,6291 = 3 451,64 SEK 127. a) = 347 ( ) 347 0,8093 = 280, ,83 GBP b) = 354, ,88 140, ,88 4 = 350, Pakki: ,226 = 108, ,39 108, = 110,39 Valuuttakauppa: ,165 = 109, ,11 Valuuttakaupassa 1000 kruuua saa 1,28 edullisemmi a) Pakki myy valuuttaa, jote käytetää myytikurssia b) = 6534, ,13 1, Tilivaluuta myytikurssi o 1,

41 ,2142 = 15236, , Setelivaluuta myytikurssi o 1, , = ,1929 = 3542, ,91CHF 132. Laskuje määrä muutetaa euroiksi tilivaluuta myytikurssi mukaa , ,0793 = 2191, ,38 = 2945, , , ,80 6 = , , = 960 ( ) 960 7,2173 = 6 928, DKK 240 8,6291 = 2 070, SEK 134. a) 10,11 1, ,5 % 9,403 = Euro vahvistui suhteessa kruuuu 107,5 % 100 % = 7,5 %. b) 9, 403 0, ,0 % 10,11 = Kruuu heikkei suhteessa euroo 100 % 93,0 % = 7,0 %. 41

42 135. a) 0,8735 1, ,0 % 0,8321 = Puta vahvistui suhteessa euroo 105,0 % 100 % = 5,0 %. b) 0,8321 0, ,3 % 0,8735 = Euro heikkei suhteessa putaa 100 % 95,3 % = 4,7 % ,92 1,3680 = 1, , = 10,100 SEK Kurssi mukaie kruuumäärä vastaa vahvistumisesa jälkee 100 % + 12 % = 112 % aiemmasta euromäärästä. 1,12 1 = 10,100 SEK : 1,12 1 = 9, ,0179 SEK 138. Tuottee hita kruuuia o 70 10,9610 = 767,27 SEK Uude kurssi mukaa valmistaja saa tuotteestaa 767, 27 77, ,54 ( ) 9,895 = Hita (USD) Kurssi Hita ( ) 60 1, , , ,57 = 50, ,85 = 60, ,51 60,51 1, ,0 (%) 50,85 = Euromääräie hita ousi 119,0 % 100 % = 19,0 %. 42

43 140. Hita (USD) Kurssi Hita ( ) 16 a 15 0,88a 16 a 15 17, ,0455 = 0,88a a a 17, 0455 a 17,0455 a 17,0455 = = = 1, ,5 (%) 16 a a Osakkee euromääräie hita ousi 106,5 % 100 % = 6,5 % Hita (USD) Kurssi Hita ( ) a b a b 1,035a b 1,035a 1,088 1,035a a = = 1, ,088 b b b 1,088 Euromääräie hita o 112,6 % aiemmasta. Euromääräie hita ousi 112,6 % 100 % = 12,6 % Hita ( ) Kurssi Hita (USD) a b ab 1,015a b 1,088 b 1,015a = 0, ab 1,088 Dollarimääräie hita o 93,3 % aiemmasta. Dollarimääräie hita laski 100 % 93,3 % = 6,7 %. 43

44 143. Hita (USD) Kurssi Hita ( ) 10200a a a 0,8a a = ,8a Moottoripyörä maksaa euro heiketymise jälkee a) Pakki ostaa valuuttaa, jote käytetää ostokurssia. b) , ,32 ( ) 9,0216 = a) 405, , 60 ( ) 8,6291 = b) 500 8,6291 = 4314,55 SEK a) 704, , 20 ( ) 7,9523 = 1000 b) 129, ,87 ( ) 7,7003 = ,80 1,2142 = 1 517,51 CHF , ,34 ( ) 1,3700 = 149. a) =

45 596 40,1723 = , ,69 RUB b) , ,16 ( ) 4,4811 = 223,16 3 = 220,16 ( ) , ,55 ( ) 1,3330 = ,40 8,7616 = , ,68 SEK , ,97 ( ) 7,9523 = 414, = 418,97 ( ) , ,52 ( ) 8,4563 = 100,52 4 = 96,52 ( ) 418,97 96,52 = 322,45 ( ) 153. a) ,3095 = 1 702,35 Teppo saa dollaria b) 1260, , 02 ( ) 1,3095 = 1, ,02 = 1 272, ,62 ( ) ,62 = 27,38 ( ) , ,55 ( ) 8,6291 = 45

46 463, = 467,55 ( ) ,55 4 = 1 328,45 ( ) 1 328,45 7,9523 = , ,23 NOK 155. a) 1,305 0, ,8 (%) 1,453 = Euro arvo suhteessa dollarii laski 100 % 89,8 % = 10,2 %. b) 1, 453 1, ,3 (%) 1,305 = Dollari vahvistui suhteessa euroo 111,3 % 100 % = 11,3 % = 130,1 JPY Kurssi mukaie jeimäärä vastaa heiketymisesä jälkee 100 % 9 % = 91 % aiemmasta euromäärästä. 0,91 1 = 130,1 JPY : 0,91 1 = 142, ,0 JPY ,4625 = 4932, ,81 RUB 4932,81 134, ,13 ( ) 36,7755 = 158. Hita ( ) Kurssi Hita (USD) a b ab 1,08a 0,8b 1,08a 0,8b = 0,864ab Dollarimääräie hita o 86,4 % aiemmasta hiasta. Dollarimääräie hita laskee 100 % 86,4 % = 13,6 %. 46

47 159. Hita ( ) Kurssi Hita (SEK) a b ab 1,08a b 1,06 b 1,08a = 1, ab 1, 019ab 1,06 Kruuumääräie hita ousee 101,9 % 100 % = 1,9 % Hita (NOK) Kurssi Hita ( ) , : 8,9770 = , , ,958 8,977 = 8, , : 8,6000 = , ,35 Yritys hävisi maksamise viivästymise johdosta , ,79 = 478,56 ( ) a) Suomalaie ostaja kokee sama hia ousu 1,5 %. b) Hita (JPY) Kurssi Hita ( ) a a b b 0,955 a b a b 0,955 = 0, 955 a b Euromääräie hita laskee 100 % 95,5 % = 4,5 %. c) Hita (JPY) Kurssi Hita ( ) a 1,015a b b 0,955 a b 1,015a b 0,955 a = 0, , 969 b a b Euromääräie hita laskee 100 % 96,9 % = 3,1 %. 47

48 , ,83 ( ) 8,6291 = , ,34 ( ) 1,3524 = = 117, ,91 ( ) Besiii ( /l) EKI (10:1951 = 100) , , Vuode 2006 litrahita vuode 2012 rahassa: ,40 = 1, , , 68 1, ,5 % 1,608 = Besiii reaalihita ousi 104,5 % 100 % = 4,5 % ,0 x 1,10 = 1, x 1, 228x 112,0 Palka pitäisi olla 122,8 % aiemmasta palkasta. Palka pitäisi ousta 122,8 % 100 % = 22,8 % a) 1, 35 1, ,7 % 1, 29 = Euro arvo ousi suhteessa dollarii 104,7 % 100 % = 4,7 %. 48

49 b) 1, 29 0, ,6 % 1, 35 = Dollari arvo laski suhteessa euroo 100 % 95,6 % = 4,4 % Vuosi Hita (st/kwh) Ideksi (2005 = 100) , , ,7 4,5 100 = 115, ,4 3,9 4,7 100 = 120, ,5 3, , , ,6 5,7 100 = 146, ,2 3,9 6,0 100 = 153, ,8 3,9 6,6 100 = 169, ,2 3,9 b) c) Sähköhia ousu o ollut yleisee hitakehityksee ähde oi seitsekertaie. 49

50 169. a) Vuosi Hita ( ) KHI (2005 = 100) Hita vuode 2010 rahassa ,35 109,7 6,35 = 6, ,86 101,6 101, ,95 109,7 5,95 = 6, ,27 104,1 104, ,51 109,7 6,51 = 6, ,59 108,3 108, ,71 109,7 6,71 = 6, ,80 108,3 108, ,43 109,7 6,43 b) Hita oli reaalisesti kallei vuoa ,5 ( ) 1, 28 = 13 9, ,155 ( ) 1, 42 = 9,155 0, , 2 (%) 12,5 = Euromääräie hita laski 100 % 73,2 % = 26,8 % = , ( ) 1, 22 a) 1 = 0,9 1,22 = 1,098 USD , ( ) 1,098 = Saatavie euromääräie arvo ousee = ( ). 50

51 b) 0,88 1 = 1,22 USD : 0,88 1 = 1, ,386 USD , ( ) 1,386 = Saatavie euromääräie arvo laskee = ( ). 51

52 3 Laiat ja talletukset Korkolasku ,30 232,50 = 69,75 ( ) Lähdevero määrä pyöristetää alaspäi täysii kymmeii setteihi. Lähdeveroa peritää 69, , = 40,25 ( ) a) 0,30 40,25 = 12,075 ( ) Lähdeveroa peritää 12,00. b) Matti saa korkoa 40,25 12,00 = 28, , = 96 ( ) 0,30 96 = 28,80 ( ) Esimmäise vuode korosta lähdeveroa väheetää 28,80. Talletukse arvo esimmäise vuode jälkee o ,80 = 3 067,20. 0, ,20 = 98, ,15 ( ) 0,30 98,15 = 29,445 ( ) Toise vuode korosta lähdeveroa väheetää 29,40. Tili eräätyessä Sami saa 3 067, ,15 29,40 = 3 135, a) 1 kk = 1 30 korkopäivää = 30 korkopäivää b) 4 kk = 4 30 korkopäivää = 120 korkopäivää c) 9,5 kk = 9,5 30 korkopäivää = 285 korkopäivää 52

53 176. a) (31 4) = 151 korkopäivää b) (30 4) = 150 korkopäivää 177. Vuosi 2012 o karkausvuosi, jolloi helmikuussa o 29 päivää. a) (29 29) + 28 = 28 korkopäivää b) (30 29) + 28 = 29 korkopäivää 178. (31 14) = 181 korkopäivää ,025 = 150, ,83 ( ) (30 2) = 60 korkopäivää ,40 0,115 = 16, ,30 ( ) 360 Jääösvero viivästyskorkoiee oli 850, ,30 = 866,70 ( ) a) (31 25) = 181 korkopäivää ,0425 = 101, ,50 ( ) 360 b) 181 korkopäivää ,0425 = 100, ,11 ( ) 365 c) (30 25) = 180 korkopäivää ,0425 = 100, ,94 ( )

54 181. (31 13) = 155 korkopäivää Yhtä korkopäivää kohti korko o 56, , ,99 ( ) 155 = Ratkaistaa pääoma yhtälöstä. 0,03 x = 130,9935 : 0,03 x = 4 366, ,45 ( ) 56,40, jota vastaava vuotuie korko o (31 15) = 92 korkopäivää Yhtä korkopäivää kohti korko o ( ) 92 = Ratkaistaa pääoma yhtälöstä. 0,045 x = 900 : 0, x = ( ) Vuotuie korko o ( ) 75 = Korkokata o 0,06 6 (%) = = , jota vastaava vuotuie korko o 92 (31 3) = 184 korkopäivää Korkoa maksettii 6 165, = 165,60. Yhtä korkopäivää kohti korko o 165, ( ) 184 =. 324 Korkokata o 0,054 5, 4 (%) 6000 = =. 165,60, jota vastaava vuotuie korko o

55 185. (30 15) = 209 korkopäivää Tuottoa saatii 8 512, = 112,60. Yhtä korkopäivää kohti tuotto o 112, , ,95 ( ) 209 =. Korkokata o 193,95 0, ,3 (%) 8400 =. 112,60, jota vastaava vuotuie tuotto o Yhdeltä päivältä viivästyskorko o 640 0,115 = 0, ,204 ( ) ,18 Viivästyskorko o laskettu = 40, päivältä. 0, (30 1) + 31 = 60 korkopäivää Korko o prosetteia pääomasta 60 4,25 0, , (%) 360 =. Ratkaistaa alkupääoma yhtälöstä 1, x = :1, x = , ,32 ( ) 188. (30 25) = 91 korkopäivää Talletusaja korko o prosetteia pääomasta 91 3,5 0, ,88472 (%) 360 =. Ratkaistaa talletukse määrä yhtälöstä 1, x = :1, x = 4 956, ,15 ( ) 55

56 189. 0, = 9,20 ( ) a) 0,30 9,20 = 2, 76 ( ) Lähdevero määrä o 2,70. b) ,20 2,70 = 406,50 ( ) , = 116 ( ) 0,3 116 = 34,80 ( ) Esimmäise vuode korosta perittävä lähdevero o 34,80 ( ). Esimmäise vuode jälkee pääoma o ,80 = 4 081,20 ( ). 0, ,20 = 118, ,35 ( ) 0,3 118,35 = 35,505 ( ) Toise vuode korosta perittävä lähdevero o 35,50 ( ). Toise vuode jälkee pääoma o 4 081, ,35 35,50 = 4 164,05 ( ). 0, ,05 = 120, ,76 ( ) 0,3 120,76 = 36,228 ( ) Kolmae vuode korosta perittävä lähdevero o 36,20 ( ). Kolmae vuode jälkee pääoma o 4 164, ,76 36,20 = 4 248,61 ( ) a) (31 1) = 161 korkopäivää b) (30 1) = 160 korkopäivää 192. (31 16) = 196 korkopäivää ,37 = 2 577,63 ( ) Yhtä korkopäivää kohti tuotto o 2577, = 4800, ,18 ( ) ,63, jota vastaava vuotuie tuotto o ,18 Tuotto vuotuisea korkokataa o 0, , 20 (%) ,37 =. 56

57 193. (31 8) = 151 korkopäivää ,0465 = 195, ,04 ( ) (31 15) = 250 korkopäivää ,0325 = 372, ,40 ( ) (31 5) + 28 = 54 korkopäivää ,15 0,115 = 3,8986 3,90 ( ) 365 Asiakkaa maksettava 229,15 + 3, = 238,05 ( ) (30 15) = 260 korkopäivää Yhtä korkopäivää kohti korko o 175, ( ) 260 =. Ratkaistaa talletus yhtälöstä 0,03x = 243 : 0,03 x = ( ) 175,50, jota vastaava vuotuie korko o korkopäivää Yhtä korkopäivää kohti korko o 2, ( ) 4 =. Vuotuie korkokata o 207 4, (%) 50 = =. 2,30, jota vastaava vuotuie korko o 4 57

58 198. Koro määrä yhdeltä korkopäivältä o ,025 = 17, ,3611 ( ) , (korkopäivässä) 17,3611 = = 199. Nettokorkokata o 0,7 5 % = 3,5 %. Kertyyt korko o 7 389, = 89,06 ( ) ,035 Korko yhdeltä päivältä o = 0, , ,06 =126 (korkopäivää) 0,7079 ( ). Talletus o tehty 126 päivää aiemmi, eli Nettokorkokata o 0,7 4,5 % = 3,15 %. (30 15) = 176 korkopäivää 176 Korko o prosetteia talletusajalta 3,15 = 1,54 (%). 360 Ratkaistaa pääoma yhtälöstä 1,0154x = :1,0154 x = 4 683, ,87 ( ) 201. (31 24) = 341 korkopäivää 341 Tuotto o prosetteia talletusajalta 5,5 = 5, ,13836 (%). 365 Ratkaistaa pääoma yhtälöstä 1, x = : 1, x = , ,66 ( ) 58

59 202. Nettokorkokata o 0,7 5 % = 3,5 % ,035 = 621,29 ( ) 360 Ilma elokuu lopussa tehtävää talletusta tililtä puuttuisi vuode lopussa ,29 = 378,71 ( ). (31 30) = 123 korkopäivää 123 Korko o prosetteia korkoajalta 3,5 = 1, (%). 360 Ratkaistaa talletus yhtälöstä 1, x = 378,71 :1, x = 374, ,23 ( ) Pvm Tapahtuma Korkopäivät Korko ,022 = 42, , ,022 = 4,686 4, ,022 = 2, , Yhteesä ,957 39,96 ( ) 0,3 39,96 = 11,988 Lähdevero o 11,90 ( ) ,96 11,90 = 2 848,06 ( ) 204. Pääoma Korkokata Korko vuodessa ,5 % 0, = ,75 % 0, = ,5 % 0, = 97,5 Yhteesä , ,50 0, ,18 (%) = 59

60 205. (31 1) = 200 korkopäivää 200 Korko o prosetteia laia-ajalta 8 = 4, , (%) 360 Ratkaistaa laiattu summa yhtälöstä 1, x = : 1, x = 2 700, ,00 ( ) Nettokorkokata 0,7 4,75 % = 3,325 (%). (30 15) = 107 korkopäivää 107 Korko prosetteia korkoajalta o 3,325 = 0,98826 (%) 360 Nettokorkokata 0,7 5,50 % = 3,85 (%) = 74 korkopäivää 74 Korko prosetteia korkoajalta o 3,85 = 0,79139 (%) 360 Ratkaistaa talletus yhtälöstä 1, , x = 8 350,78 : 1, : 1, x = 8 204, ,13 ( ) Nettokorkokata o 0,7 2,5 % = 1,75 %. (30 6) = ,0175 = 6 078,46 ( ) 360 Ilma syyskuu 20. päivä tehtävää talletusta tililtä puuttuisi vuode lopussa ,46 = 3 921,54 ( ). (30 20) = 102 korkopäivää 102 Korko o prosetteia korkoajalta 1,75 = 0, (%). 360 Ratkaistaa talletus yhtälöstä 1, x = 3 921,54 :1, x = 3 902, ,19 ( ) 60

61 Lukujoot ja summat 208. a) 6 2 = 4 b) = 14, = 18, = d = 2,0 0,8 = 1,2 0,8 + (30 1) 1,2 = 35, d = 9 3 = ( ) 6 = d = = 0, 5 4 a 30 = 3 + (30 1) 0,5 = 17, d = 125 ( 130) = = 5 a 30 = (30 1) 5 = S 30 = 30 = d = 5,6 ( 1,4) = 5,6 + 1,4 = 7 a 20 = 1,4 + (20 1) 7 = 131,6 1, ,6 S 20 = 20 =

62 214. a) a 10 = 3 + (10 1) 4 = S 10 = 10 = b) d = 54 2 = 52 a 10 = 2 + (10 1) 52 = S 10 = 10 = c) 0 10 d = = 2 5 a 10 = 10 + (10 1) ( 2) = ( 8) S 10 = 10 = d = 50 m = 0,05 km a 1 = 2 km a 30 = 2 + (30 1) 0,05 = 3, ,45 S 30 = 30 = 81, 75 2 Suvi kävelee yhteesä 81,75 km d = = 15 4 a 100 = (100 2) ( 15) = Kuukausittai tehtävie talletuste korkoajat muodostavat aritmeettise lukujoo Korkoaikoje summa o S 12 = 12 = 78 (kuukautta). 2 62

63 78 Talletuste tuottama korko o 100 0,03 = 19,50 ( ). 12 Tilillä o vuode lopussa ,50 = 1 219,50 ( ) q = = 1, 5 16 a 7 = 16 1,5 7 1 = 182, a 1 = 900 a 2 = 900 ( 0,5) = 450 a 3 = 900 ( 0,5) 2 = 225 a 4 = 900 ( 0,5) 3 = 112,5 a 5 = 900 ( 0,5) 4 = 56,25 a 6 = 900 ( 0,5) 5 = 28, q = = 3 2 a 12 = = q 2 = 9 : 4 q 2 = 2,25 q = 1,5 (tai q = 1,5, mikä ei kelpaa, koska lukujoo jäseet ovat positiivisia.) a 8 = 4 1,5 8 1 = 68, q = = 1, ,5 1 = 1 913,625 : 112 1,5 1 = 17,

64 lg1,5. 1 ( 10 ) = 10 lg17, ( 1)lg1,5 lg17, =10 ( 1)lg1,5 = lg17, : lg 1,5 lg17, = lg1,5 lg17, = + 1 = 8 lg1, q = = 2, (1 2,5 ) S = 1 2,5 6 = 3 241, q = = 1, (1 1,25 ) S 15 = = 4387, ,5 1 1, q = = 2 1 S 10 1(1 ( 2) ) = = 1 ( 2) q = = = : = lg3. 1 ( 10 ) = 10 lg ( 1)lg3 lg =10 64

65 ( 1)lg3 = lg : lg 3 S lg = lg3 lg = + 1 = 12 lg3 12 3(1 3 ) = = a) Voi olla aritmeettie (d = 9). b) Ei voi olla aritmeettie eikä geometrie. c) Voi olla geometrie (q = 1,02) d) Voi olla aritmeettie (d = 5) 228. d = = 5 a 85 = 13 + (85 1) 5 = S 85 = 85 = d = 4 ( 100) = 96 a 15 = ( 100) + (15 1) 96 = S 15 = 15 = a) q = = 6 3 b) a 4 = = 648 a 5 = = a 6 = =

66 231. a 1 = 800 a 2 = 800 0,5 = 400 a 3 = 800 0,5 2 = 200 a 4 = 800 0,5 3 = 100 a 5 = 800 0,5 4 = 50 a 6 = 800 0,5 5 = ,3 q = = 2 0,15 a 10 = 0, = 76, q = = 2 2 S 2(1 2 = 1 2 ) = ,5 50 d = = 2, 5 5 a 15 = 50 + (15 3) 2,5 = S , 2 (1 4, 2 ) = = , , a 1 = 5 st d = 5 st a) a 365 = 5 + (365-1) 5 = 1825 (st) 66

67 b) S 365 = 365 = st = 3 339, a 1 = 100 d = 10 a = ( 1) ( 1) 10 = = ( ) = = 0 : = 0 19 ± = 19 ± = ( 600) = = 35, (egatiivie ratkaisu ei kelpaa) 2 tai = = 16, Rahaa pitää laittaa lippaasee 17 kertaa, jotta lippaasee olisi kertyyt Viimeie talletus tapahtuu toukokuussa q = = (1 2 ) S14 = = st = 819,

68 239. a) Kuukausittai tehtävie talletuste korkoajat muodostavat aritmeettise lukujoo Korkoaikoje summa o S 12 = 12 = 78 (kuukautta) Talletuste tuottama korko o 30 0,04 = 7,80 ( ). 12 b) Tilillä o vuode lopussa ,8 = 367,80 ( ). Korokorko ,04 6 = 1 518, ,38 ( ) 241. Nettokorkokata o 0,7 2,5 % = 1,75 % , = 316, ,03 ( ) 242. a) ,06 10 = 8954, ,24 ( ) b) ,03 20 = 9 030, ,56 ( ) c) , = 9 070, ,09 ( ) ,9 10 = 8 716, ( ) 244. K 1, 035 = :1, K = = , ( ) 10 1,035 68

69 245. 0,7 4 % = 2,8 % K 1,028 5 = :1, K = = , ,55( ) 5 1, K 0,955 = ,84 : 0, K ,84 = = , ,00 ( ) 0, Tarjous I: = , ,03 ( ) 2 1, Tarjous II: = , ,88 ( ) 3 1, 05 Myyjälle o edullisempi Tarjous II q = q = 3000 q = : 3000 = 1, ,107 Pääoma kasvaa vuodessa 1,107-kertaiseksi. 1,107 = 110,7 % Nettokorkokaa pitää olla 110,7 % 100 % = 10,7 %. 69

70 249. a) 2500 q q 3 = q = = 3123 : 2500 = 1, ,077 Pääoma kasvaa vuodessa 1,077-kertaiseksi. 1,077 = 107,7 % Arvoousu oli vuotuisea korkokataa 107,7 % 100 % = 7,7 %. b) 2500 q q 3 = q = = 2350 : 2500 = 0, ,980 Pääoma muuttuu vuodessa 0,980-kertaiseksi. 0,980 = 98,0 % Sijoitukse arvo laski vuosittai 100 % 98,0 % = 2,0 % K q q 5 q = = 1,4 5 5 = K 1,4 : K 1,4 = 1, ,070 Pääoma muuttuu vuodessa 1,070-kertaiseksi. 1,070 = 107,0 % Sijoitukse arvo ousi vuosittai 107,0 % 100 % = 7,0 %. 70

71 251. 0,7 4 % = 2,8 % , 028 = 3000 : ,028 = , 028 = 1,5 lg1,028 lg1,5 (10 ) 10 = lg1,028 lg1, = lg1, 028 = lg1,5 : lg1, 028 lg1, 5 = = 14,68... lg1, 028 Sijoitukse arvo ylittää vuode kuluttua a) K 1, 01 = K 2 : K 1, 01 = 2 1, 01 = 2 (10 ) = 10 lg1,01 lg 2 10 = 10 lg1,01 lg 2 lg1,01 = lg 2 : lg1,01 lg 2 = = 69,66... lg1, 01 Kaksikertaistumisee kuluu 70 vuotta. b) K 1, 07 = K 2 : K 1, 07 = 2 1, 07 = 2 (10 ) = 10 lg1,07 lg 2 10 = 10 lg1,07 lg 2 lg1,07 = lg 2 : lg1,07 lg 2 = = 10, lg1, 07 Kaksikertaistumisee kuluu 11 vuotta. 71

72 c) K 1,10 = K 2 : K 1,10 = 2 (10 ) = 10 lg1,10 lg 2 10 = 10 lg1,10 lg 2 lg1,10 = lg 2 : lg1,10 lg 2 = = 7, lg1,10 Kaksikertaistumisee kuluu 8 vuotta q = q = 4000 q = : 4000 = 1, ,03789 Pääoma muuttuu vuodessa 1,03789-kertaiseksi. 1,03789 = 103,789 % Sijoitukse arvo ousu vuosittai vastasi ettokorkokataa 103,789 % 100 % = 3,789 %. Ratkaistaa korkokata yhtälöstä 0,7 x = 3,789 3,789 x = = 5, ,4(%) 0, K 1, 08 = K 3 : K 1, 08 = 3 lg1,08 lg3 (10 ) = 10 lg1,08 lg3 10 = 10 lg1,08 = lg 3 : lg1,08 lg 3 = = 14, lg1, 08 Kolmikertaistumisee kuluu 15 vuotta. 72

73 255. a) ,055 2 = 1 113, ,03 ( ) b) , = 1 708, ,14 ( ) c) , = , ,64 ( ) ,7 2,6 % = 1,82 % , = 4 222, ,40 ( ) ,7 4,5 % = 3,15 % K 1, 0315 = , 07 :1, ,07 K = = , , 21 ( ) 1, a) ,01 48 = 4 836, ,68 ( ) b) ,06 8 = 4 781, ,54 ( ) c) ,12 4 = 4 720, ,56 ( ) 259. K 1,10 6 = K 1, K 1,772 Toti arvo muuttuu 1,772-kertaiseksi. 1,772 = 177,2 % Toti arvo ousi kuudessa vuodessa 177,2 % 100 % = 77,2 % a) ,8 4 = ( ) 73

74 b) ,8 = : ,8 = 0,1 lg0,8 lg0,1 (10 ) 10 = lg0,8 lg0, = lg 0,8 = lg 0,1 : lg 0,8 lg 0,1 = = 10, lg 0,8 Koee arvo o alle 10 % alkuperäisestä arvosta 11 vuode kuluttua K 1, 025 = K 2 : K 1, 025 = 2 (10 ) = 10 lg1,025 lg 2 10 = 10 lg1,025 lg 2 lg1,025 = lg 2 : lg1,025 lg 2 = = 28,07... lg1, 025 Kaksikertaistumisee tarvitaa 29 vuotta K 1,01 12 = K 1, K 1,127 Vuodessa pääoma kasvaa 1,127-kertaiseksi. 1,127 = 112,7 % Vastaava vuotuie korkokata o 112,7 % 100 % = 12,7 % K q = K 2,95 : K q 15 q = 2,95 15 = = 2,95 1, , 075 Talo arvo kasvaa vuodessa 1,075-kertaiseksi. 1,075 = 107,5 % Talo arvo ousi vuosittai 107,5 % 100 % = 7,5 %. 74

75 = , ,48 ( ) 3 1, a) q = : 5000 q 3 q = = 3 = 1, ,050 Pääoma kasvaa vuodessa 1,050-kertaiseksi. 1,050 = 105,0 % Osakkeide arvoousu oli vuotuisea korkokataa 105,0 % 100 % = 5,0 %. b) : 5000 q = q 3 q = , ,944 = 3 = Pääoma muuttuu vuodessa 0,944-kertaiseksi. 0,944 = 94,4 % Osakkeide arvo laski vuosittai 100 % 94,4 % = 5,6 % Ee oli lähdeverotettu korko p 1 = 0,71 1,5 = 1,065 ja korkotekijä q 1 = 1+0,01p 1 = 1, jälkee oli lähdeverotettu korko p 2 = 0,72 1,5 = 1,08 ja korkotekijä q 2 = 1+0,01p 2 = 1,0108. Liisa 1000 euro talletus oli korkoiee q 3 1 ja kaksi vuotta myöhemmi eli viisi vuotta 2 3 talletukse alusta 1000q q 1054, 709 euroa Talletukse reaaliarvo muutoskerroi o q 2q1 1, , jote reaaliarvo o kasvaut 0,0423 % Vastaus: Talletus o korkoiee 1054,71 euroa. Se reaaliarvo o kasvaut 0,0423 %. 75

76 ,045 = ,036 : , 045 = 1, 036 :1, , = 1, , ,036 = , lg lg 1, (10 ) = = 10 1, lg lg 1, , ,045 lg lg : lg( ) 1,036 = , lg = = 5, ,045 lg 1,036 Mikaeli talletukse arvo o Markukse talletusta suurempi kuude vuode kuluttua. Korkokausittai toistuvat suoritukset 268. Talletuste arvot muodostavat geometrise lukujoo 500, 500 1,025; 500 1,025 2 ; 500 1,025 3 ; 500 1,025 4 ; 500 1,025 5 ; 500 1,025 6 ; 500 1,025 7 Sijoitetaa geometrise summa kaavaa a 1 = 500, q = 1,025 ja = 8 S (1 1, 025 ) = = 4368, , 06 ( ) 1 1, Sijoitetaa geometrise summa kaavaa a 1 = 3 000, q = 1,06 ja = 10 S (1 1, 06 ) = = , ,38 ( ) 1 1, 06 76

77 270. 0,7 6 % = 4,2 % Sijoitetaa geometrise summa kaavaa S 7 = , q = 1,042 ja = 7, ja ratkaistaa a 1. 1 a 1 1, (1 1,042 ) 1 = a 7, = : 7, lg1,035 ( ) a = , ,58( ) ,7 5 % = 3,5 % Sijoitetaa geometrise summa kaavaa S = , q = 1,035 ja a 1 = 2 000, ja ratkaistaa. 2000(1 1, 035 ) = : , 035 (1 1,035 ) = 20 (1 1, 035) 1 1, ,035 = 0,72 1, 035 = 1, 72 ( 1) 1,035 = 1,72 10 = = 10 lg1,72 lg1,035 lg1,72 lg1, 035 = lg1, 72 : lg1, 035 lg1, 72 = = 15,76... lg1, 035 Talletuksia pitää tehdä 16 kertaa Ratkaistaa esi vuosittaiste talletuste yhteisarvo viimeise talletukse tapahduttua geometrise summa kaava avulla. Sijoitetaa geometrise summa kaavaa a 1 = 1 000, q = 1,035 ja = 10. S (1 1, 035 ) = = , ,393 ( ) 1 1, 035 Lasketaa pääoma, joka kymmeessä vuodessa kasvaa yhtä suureksi K 1, 035 = ,393 :1, 035 K = 8316, , 61( ) 77

78 273. 0,7 4 % = 2,8 % Ratkaistaa esi vuosittaiste ostoje yhteisarvo viimeise osto hetkellä geometrise summa kaava avulla. Sijoitetaa geometrise summa kaavaa a 1 = 250, q = 1,028 ja = 7. S (1 1, 028 ) = = 1904, , 055 ( ) 1 1, 028 Lasketaa pääoma, joka seitsemässä vuodessa kasvaa yhtä suureksi. K 1, 028 = 1904, 055 :1, K = 1569, ,38 ( ) 274. Ratkaistaa ostoje lukumäärä kausittaisia suorituksia vastaava alkupääoma kaavalla K 1 q = 1 q A q. Sijoitetaa kaavaa K = , q = 1,025 ja A = 3 000, sekä ratkaistaa. 1 1, = (1 1, 025) 1, , 025 1, ,025 = (1 1,025 ) , 025 = , , ,025 = , 025 = 3000 : , 025 = 1,5 lg1,025 ( ) 10 = 10 lg1.5 lg1,025 lg = 10 lg1, 025 = lg1.5 : lg1, 025 lg1.5 = = 16,42... lg1, 025 Nostoja voidaa tehdä 16 kertaa ,7 4 % = 2,8 % Ratkaistaa ostoje lukumäärä kausittaisia suorituksia vastaava alkupääoma kaavalla K 1 q = 1 q A q. 78